Problemas de C´alculo Diferencial e Integral I Versi´on...

Problemas de Calculo Diferencial e Integral IVersion preliminar

L. F. Resendis O.

Indice general

1. Numeros reales L.F. Resendis O. 51.1. Intervalos de la recta real R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Graficas de Rectas y parabolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Desigualdades L.F. Resendis O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Desigualdades con valor absoluto L.F. Resendis O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Funciones L.F. Resendis O. 132.1. Elementos de funciones L.F. Resendis O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Funciones seccionadas L.F. Resendis O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3. Funciones seccionadas L.F. Resendis O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4. Operaciones entre funciones L.F. Resendis O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5. Valores de funciones trigonometricas L.F. Resendis O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6. Operaciones de traslado para funciones L.F. Resendis O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.7. Problemas para planteamiento de funciones L.F. Resendis O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3. Lımites L.F. Resendis O. 453.1. Graficado de funciones racionales L.F. Resendis O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2. Lımites finitos L.F. Resendis O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3. Lımites al infinito L.F. Resendis O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4. Continuidad y lımites laterales L.F. Resendis O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.5. Interpretacion grafica L.F. Resendis O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.6. Teorema del Valor intermedio L.F. Resendis O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.7. Graficacion L.F. Resendis O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4. La derivada L.F. Resendis O. 734.1. Tangentes y velocidades L.F. Resendis O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2. Reglas de Derivacion L.F. Resendis O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3. Regla de la cadena y derivacion implıcita L.F. Resendis O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.4. Monotonıa de funciones L.F. Resendis O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.5. Concavidad y convexidad de funciones L.F. Resendis O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.6. Razon de cambio relacionada L.F. Resendis O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.7. Optimizacion L.F. Resendis O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3

4 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Numeros reales L.F. Resendis O.

1.1. Intervalos de la recta real R.Ejercicio 1.1.1 Considere los intervalos

I = [−5, 6), J = [−23,∞), K = (−3, 5

2].

Calcule de manera grafica los siguientes conjuntos

i) I ∪ J ii) J ∩K iii) Ic ∩Kiv) Kc ∩ Ic v) (J ∪K)c vi) (I ∪ J) ∩Kc.

Ejercicio 1.1.2 Considere los intervalos

I = (−∞, 53], J = [−2. 5, 10), K = (−3,

√19].




I = [−3,∞), J = [−174,∞), K = (−4, 5

2].


i) I ∪ [−8, 4] ii) (−9. 5, 5] ∩K iii) Ic ∩ [0, 3)iv) (Kc ∩ Ic) ∩ (−5, 5) v) (J ∪ (−12, 6))c vi) (I ∪ J) ∩ (1, 2)c.


I = [−3, 4), J = [−53,∞), K = (−2, 7

2].



5

6 CAPITULO 1. NUMEROS REALES L.F. RESENDIS O.


I = (−∞, 74], J = [−3. 5, 8), K = (−2,

√22].




I = [−1,∞), J = [−195,∞), K = (−3, 7

3].




I = (−2,∞), J = [−133,∞), K = [−6, 5

3].




I = [−4, 5), J = [−157,∞), K = (−3, 7

4].



1.2. Graficas de Rectas y parabolas

Ejercicio 1.2.1 a) Grafique la recta y1 = −3x+ 12. Determine los intervalos donde y1 > 0, y1 ≤ 0.

b) Grafique la parabola y2 = x2 − 3x− 2. Determine los intervalos donde y2 > 0, y2 ≤ 0.

c) Resuelva y1 y2 ≤ 0, y1y2> 0.

Ejercicio 1.2.2 a) Grafique la recta y1 = 3x− 23. Determine los intervalos donde y1 > 0, y1 ≤ 0.

b) Grafique la parabola y2 = x2 + 5x− 1. Determine los intervalos donde y2 > 0, y2 ≤ 0.

c) Resuelva y1 y2 ≤ 0, y1y2≥ 0.

1.2. GRAFICAS DE RECTAS Y PARABOLAS 7

Ejercicio 1.2.3 a) Grafique la recta y1 = 4x− 75. Determine los intervalos donde y1 ≥ 0, y1 ≤ 0.

b) Grafique la parabola y2 = −x2 + 5x+ 2. Determine los intervalos donde y2 < 0, y2 ≥ 0.c) Resuelva y1 y2 ≤ 0, y1

y2> 0.

Ejercicio 1.2.4 a) Grafique la recta y1 = −32x+ 1. Determine los intervalos donde y1 ≥ 0, y1 ≤ 0.

b) Grafique la parabola y2 = x2 + x+ 1. Determine los intervalos donde y2 < 0, y2 ≥ 0.

c) Resuelva y1 y2 ≤ 0, y1y2> 0.


b) Grafique la parabola y2 = x2 + x− 3. Determine los intervalos donde y2 < 0, y2 ≥ 0.

c) Resuelva y1 y2 > 0,y1y2≤ 0.

Ejercicio 1.2.6 a) Grafique la recta y1 =74x− 2. Determine los intervalos donde y1 ≥ 0, y1 ≤ 0.

b) Grafique la parabola y2 = x2 + x− 3. Determine los intervalos donde y2 < 0, y2 ≥ 0.


Ejercicio 1.2.7 a) Grafique la recta y1 =54x+ 1. Determine los intervalos donde y1 ≥ 0, y1 ≤ 0.

b) Grafique la parabola y2 = 2x2 + x− 3. Determine los intervalos donde y2 ≥ 0, y2 < 0.



b) Grafique la parabola y2 = −2x2 + x+ 5. Determine los intervalos donde y2 ≥ 0, y2 < 0.c) Resuelva y1 y2 > 0,

y2y1≤ 0.

Ejercicio 1.2.9 a) Grafique la recta y1 = −34x− 1. Determine los intervalos donde y1 ≥ 0, y1 ≤ 0.

b) Grafique la parabola y2 = −x2 + 2x+ 2. Determine los intervalos donde y2 ≥ 0, y2 < 0.c) Resuelva y1 y2 > 0,

y2y1≤ 0.

Ejercicio 1.2.10 a) Grafique la recta y1 =136x− 1. Determine los intervalos donde y1 ≥ 0, y1 ≤ 0.

b) Grafique la parabola y2 = −x2 + x+ 2. Determine los intervalos donde y2 ≥ 0, y2 < 0.c) Resuelva y1 y2 > 0,

y2y1≤ 0.


1.3. Desigualdades L.F. Resendis O.

Ejercicio 1.3.1 Resuelva las desigualdades

i)6x

7− 3 ≤ 7

5+ 3x , ii) x2 − 3x+ 5 ≥ 8− 7x ,

iii)2 + 3x− x21 + 2x

≥ 2 , iv)2 + 3x− x21 + 2x

≥ 2x .


i)7x

9+ 5 ≤ 4

5− 2x , ii) − x2 + 3x+ 4 ≥ 2− 7x ,

iii)2 + 2x− x21− 2x ≥ −3 , iv)

2 + 2x− x21− 2x ≥ −3x .


i)6x

5− 4 ≥ 5

6− 3x , ii) − x2 + 2x+ 3 ≤ 2− 5x ,

iii)3 + 2x

5− 2x ≥ 4 , iv)3 + 2x

5− 2x ≥ 4x .


i)8x

3− 7 ≥ 8

3+ 5x , ii) − 2x2 + 2x+ 5 ≤ 2 + 5x ,

iii)7x− 43− 2x ≤ −2 , iv)

7x− 43− 2x ≤ 2x .


i)9x

4− 3 ≥ 7

3+ 3x , ii) 2x2 + 2x+ 5 ≤ 7 + 3x ,

iii)3 + 2x

5− 2x ≤ 3 + 2x , iv)3 + 2x

5− 2x ≤ 3 + 2x .


i)3x

7− 8 ≤ 8

7− x , ii) 2x2 − x+ 2 ≤ 8− 3x ,

iii)5x− 34− 2x ≤ 2 , iv)

5x− 34− 2x ≤ 2 + 3x .


i)6x

7− 4 ≤ 7

5− 3x , ii) x2 − 3x+ 3 ≤ 7− 6x ,

iii)2 + 3x− x21 + 2x

≥ 4 , iv)2 + 3x− x21 + 2x

≥ 4x .

1.3. DESIGUALDADES L.F. RESENDIS O. 9


i)7x

3+ 6 ≤ 7

5− 4x , ii) − x2 + 3x+ 5 ≤ 1− 7x ,

iii)3x− x21 + 2x

≥ −3 , iv)3x− x21 + 2x

≥ x− 3 .


i)9x

4− 5 ≥ 7

6− 2x , ii) − x2 + 2x+ 4 ≤ 1− 3x ,

iii)3x− 51 + 2x

≥ −3 , iv)3x− 51 + 2x

≥ x− 3 .


i)8x

3− 6 ≥ 8

3+ 7x , ii) 2x2 + 2x+ 3 ≤ 7 + 2x ,

iii)5 + 3x

2− 3x ≤ −1 , iv)5 + 3x

2− 3x ≤ 6 + 2x .


i)9x

5+ 4 ≥ 7

4− 3x , ii) x2 + 2x+ 5 ≤ 7 + 2x ,

iii)5 + 3x

2− 3x ≤ 5 , iv)5 + 3x

2− 3x ≤ 5 + 2x .


i)4x

7− 5 ≤ 8

7− 2x , ii) 2x2 − x+ 2 ≤ 7− 3x ,

iii)6x− 34− 2x ≤ x , iv)

6x− 34− 2x ≤ 1 + 3x .


i)3x

7− 5 ≤ 9

7− 3x , ii) 2x2 − 3x+ 2 ≤ 7− 4x ,

iii)5x− 34− 2x ≤ 2 , iv)

5x− 34− 2x ≤ 1 + 2x .


i)5x

7− 4 ≤ 9

4− 8x , ii) 3x2 − 3x− 2 ≥ 3− 2x ,

iii)2x− 71− 3x ≥ −5 , iv)

2x− 71− 3x ≥ 5− 2x .


i)3x

7− 5 ≥ 9

7− 4x , ii) 2x2 − 4x− 2 ≥ 5− 2x ,

iii2x− 71− 3x ≥ −3 , iv)

2x− 71− 3x ≥ 5− 2x .


1.4. Desigualdades con valor absoluto L.F. Resendis O.

Ejercicio 1.4.1 Resuelva analıticamente las desigualdades

i) |4x− 1| ≤ 5 ii) |1− 3x| ≤ 2− |2x+ 3|

iii) |3x− 2| ≤ 4x− 1 iv)|1− 3x|x

≤ 2 .


i) |2x− 1| ≤ 4 ii) |3x− 4| ≥ 2|4x− 1|

iii) |3x− 2| ≤ 2x+ 1 iv)|1− 2x|x

≤ 2 .


i) |2x− 13| ≤ 2 ii) |3− 4x| ≥ 2− |x+ 1|

iii) |3x+ 2| ≤ 2x+ 4 iv)|1 + 2x|x

≤ 4 .


i) |2− x3| ≤ 2 ii) |2x− 3| ≥ 3 + |x+ 4|

iii) |3x+ 1| ≥ 2x+ 4 iv)|1 + 2x|x+ 1

≤ 3 .


i) |3− x2| ≥ 4 ii) |2x− 3| ≥ 2− |x− 3|

iii) |3x− 1| ≤ 2x+ 3 iv)|1− 2x|x+ 1

≥ −2 .


i) |3 + x2| ≥ 3 ii) |3x− 5| ≤ 6 + |2x− 1|

iii) |2x− 3| ≥ x+ 3 iv)|4− x|x+ 2

≤ −3 .


i) |12− 3x| ≥ 2 ii) |2x− 3| ≤ 1 + |x− 5|

iii) |2x+ 3| ≤ 3− x iv)|4− x|x− 2 ≥ −2 .

1.4. DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO L.F. RESENDIS O. 11


i) |x+ 23| ≤ 5 ii) |x− 4| ≤ 1− |2x− 5|

iii) |2x− 3| ≤ 3− x iv)|4− 3x|x− 2 ≥ −2 .


i) |2x+ 14| ≥ 3 ii) |2x− 3| ≤ 2 + |x+ 1|

iii) |2x− 3| ≤ 4− x iv)|4− 3x|x− 3 ≤ −2 .


i) |2x− 34| ≥ 6 ii) |3x− 7| ≥ 2|4x− 1|

iii) |5x− 3| ≤ 4− x iv)|4− 5x|x− 1 ≥ −3 .


i) |5x− 23| ≥ 5 ii) |3x+ 5| ≤ |x+ 4|+ 3

iii) |5x− 2| ≥ 4− x iv)|4− 5x|x− 1 ≤ −4 .


i) |2x− 73| ≥ 4 ii) |3x− 5| ≤ |x+ 5|+ 6

iii) |5x− 2| ≤ 3− 2x iv)|3− 6x|x− 2 ≥ −4 .


i) |5x− 72| ≤ 4 ii) |3x− 7| ≤ |x− 2|+ 4

iii) |5x− 4| ≥ 5− 2x iv)|2− 6x|x− 2 ≤ −4 .


i) |7x− 35| ≤ 5 ii) |7x− 4| ≥ |2x− 3|+ 6

iii) |5x− 1| ≤ 3− 2x iv)|2− 7x|2x− 1 ≥ −1 .



i) |5x+ 23| ≤ 6 ii) |8x− 3| ≤ 1− |2x+ 5|

iii) |5x− 2| ≤ 3− 2x iv)|2− 5x|2x+ 1

≥ 2 .

Capıtulo 2

Funciones L.F. Resendis O.

2.1. Elementos de funciones L.F. Resendis O.

Ejercicio 2.1.1 Para las siguientes funciones determinar dominio, raıces, grafica e imagen.

i) f : (−8, 1) ∪ [2,∞)→ R , f(x) = 2x− 3 ;ii) g : (−∞, 3)→ R , g(x) = −x2 + 3x+ 5 ;iii) p(x) = 2−√4− x ; iv) q(x) = −1 +√2− x2 + 2x.


i) f : (−4, 0) ∪ [1, 3]→ R , f(x) = 3x− 1 ;ii) g : (−1

2,∞)→ R , g(x) = 2x2 − 3x− 4 ;

iii) p(x) = 2−√2x− 3 ; iv) q(x) = 1−√2− x2 − 2x.Ejercicio 2.1.3 Para las siguientes funciones determinar dominio, raıces, grafica e imagen.

i) f : (−4,−1) ∪ [1,∞)→ R , f(x) = −2x− 1 ;ii) g : (−1

2,∞)→ R , g(x) = −2x2 + 3x+ 4 ;

iii) p(x) = −3 +√2x− 3 ; iv) q(x) = −1 +√2− x2 − 2x.Ejercicio 2.1.4 Para las siguientes funciones determinar dominio, raıces, grafica e imagen.

i) f : (−4,−1) ∪ [2,∞)→ R , f(x) = −3x+ 2 ;ii) g : (−∞, 1)→ R , g(x) = −2x2 + 3x+ 4 ;iii) p(x) = −4 +√2x− 3 ; iv) q(x) = −1 +√1− x2 − 2x.


i) f : (−∞,−1) ∪ [2,∞)→ R , f(x) = 3x− 2 ;ii) g : (−∞, 1)→ R , g(x) = 2x2 − 3x− 4 ;iii) p(x) = 4−√2x− 3 ; iv) q(x) = 1−√1− x2 − 2x.


i) f : (−∞, 1) ∪ [4, 6)→ R , f(x) = 5x− 2 ;ii) g : (−∞, 2)→ R , g(x) = 2x2 − 5x− 2 ;iii) p(x) = 3−√3x− 4 ; iv) q(x) = −1 +√1− x2 − 4x.

13

14 CAPITULO 2. FUNCIONES L.F. RESENDIS O.


i) f : (−3, 1) ∪ [4,∞)→ R , f(x) = 2− 5x ;ii) g : (0,∞)→ R , g(x) = −2x2 + 5x+ 2 ;iii) p(x) = −3 +√3x− 4 ; iv) q(x) = 1−√1− x2 − 4x.


i) f : (−3, 0) ∪ [2,∞)→ R , f(x) = 5x− 3 ;ii) g : (1,∞)→ R , g(x) = 2x2 − 5x− 4 ;iii) p(x) = 3−√5x− 2 ; iv) q(x) = −1 +√2− x2 − 4x.


i) f : (−∞, 0) ∪ [1, 5)→ R , f(x) = 5x− 3 ;ii) g : (−∞, 2)→ R , g(x) = −2x2 + 5x+ 4 ;iii) p(x) = −3 +√2− 5x ; iv) q(x) = 1−√2− x2 − 4x.


i) f : (−∞,−1) ∪ [2, 5)→ R , f(x) = 5x− 2 ;ii) g : (−∞, 1)→ R , g(x) = −2x2 + 3x+ 3 ;iii) p(x) = 2−√4x− 3 ; iv) q(x) = −1 +√2− x2 − 6x.


i) f : (−5,−1) ∪ [2,∞)→ R , f(x) = 2− 5x ;ii) g : (0,∞)→ R , g(x) = 2x2 − 3x− 3 ;iii) p(x) = −3 +√3− 4x ; iv) q(x) = 1−√2− x2 − 6x.


i) f : (−4, 0) ∪ [2,∞)→ R , f(x) = 3x− 4 ;ii) g : (0,∞)→ R , g(x) = −3x2 + 2x+ 1 ;iii) p(x) = 1−√7x− 3 ; iv) q(x) = −2 +√3− x2 − 6x.


i) f : (−∞, 0) ∪ [3, 6)→ R , f(x) = 4− 3x ;ii) g : (−∞, 1

2)→ R , g(x) = 3x2 − 2x− 1 ;

iii) p(x) = −1 +√3− 7x ; iv) q(x) = 2−√3− x2 − 6x.Ejercicio 2.1.14 Para las siguientes funciones determinar dominio, raıces, grafica e imagen.

i) f : (−∞,−1) ∪ [1, 6)→ R , f(x) = 5x− 4 ;ii) g : (−∞, 1]→ R , g(x) = −3x2 + 4x+ 1 ;iii) p(x) = 2−√3− 5x ; iv) q(x) = 2−√2− x2 − 6x.


i) f : (−4,−1) ∪ [1,∞)→ R , f(x) = 4− 5x ;ii) g : (0,∞]→ R , g(x) = 3x2 − 4x− 1 ;iii) p(x) = −3 +√3− 5x ; iv) q(x) = −2 +√2− x2 − 6x.

2.2. FUNCIONES SECCIONADAS L.F. RESENDIS O. 15

2.2. Funciones seccionadas L.F. Resendis O.

Ejercicio 2.2.1 Sea f la funcion definida por

f(x) =

⎧⎨⎩−2x− 4 si x ∈ (−4,−2],x2 − 6 si x ∈ (−2, 3),2 +√x− 3 si x ∈ [3,∞),

Determinar dominio, raices, grafica e imagen (o rango).


f(x) =

⎧⎨⎩ −√−x2 − 6x si x ∈ (−6,−3],

x2 − 4 si x ∈ (−3, 2),8− x si x ∈ [2,∞),



f(x) =

⎧⎨⎩ 1 +√3− x si x ∈ (−∞,−2],

x+ 1 si x ∈ (−2, 2),−x2 + x+ 10 si x ∈ [2, 4],



f(x) =

⎧⎨⎩√−x2 − 6x si x ∈ (−∞,−3],x2 − x− 2 si x ∈ (−3, 2),13− x si x ∈ [2, 5),



f(x) =

⎧⎨⎩x+ 6 si x ∈ (−∞,−4],x2 + 4x− 5 si x ∈ (−4, 2),√4x− x2 si x ∈ [2, 4),



f(x) =

⎧⎨⎩√−x2 − 4x si x ∈ (−4,−2],x si x ∈ (−2, 2),−x2 + x+ 10 si x ∈ [2, 4],




f(x) =

⎧⎨⎩x+ 7 si x ∈ (−6,−3],−x2 − x+ 2 si x ∈ (−3, 2),2−√x− 2 si x ∈ [2,∞),



f(x) =

⎧⎨⎩√−6− 2x− 1 si x ∈ (−∞,−3],x2 + x− 4 si x ∈ (−3, 2),−x2 + 2x si x ∈ [2, 4),



f(x) =

⎧⎨⎩16− x2 si x ∈ (−∞,−3],√9− x2 si x ∈ (−3, 2),−x+ 5 si x ∈ [2, 5),



f(x) =

⎧⎨⎩−2x+ 2 si x ∈ (−4,−3],−√16− x2 si x ∈ (−3, 4],−x2 + 5x− 8 si x ∈ (4,∞),



f(x) =

⎧⎨⎩−2x− 3 si x ∈ (−5,−3],x2 + 2x si x ∈ (−3, 1),3−√4x− 3 si x ∈ [1,∞),



f(x) =

⎧⎨⎩√−x2 − 6x si x ∈ (−5,−3],x2 − 2x si x ∈ (−3, 2),5− x si x ∈ [2,∞),


2.2. FUNCIONES SECCIONADAS L.F. RESENDIS O. 17


f(x) =

⎧⎨⎩√−x2 − 6x si x ∈ (−6,−2],x2 − 2x si x ∈ (−2, 2),4− 2x si x ∈ [2,∞),



f(x) =

⎧⎨⎩2x− 3 si x ∈ (−6, 0],x2 + 2x si x ∈ (0, 2),2−√3x− 2 si x ∈ [2,∞),



f(x) =

⎧⎨⎩9− x2 si x ∈ (−∞,−2],1−√9− x2 si x ∈ (−2, 3],−2x+ 5 si x ∈ (3, 5),


2.4. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES L.F. RESENDIS O. 21

2.4. Operaciones entre funciones L.F. Resendis O.

Ejercicio 2.4.1 a) Determinar los dominios de las funciones

i) f(x) =√2x+ 1 ii) g(x) = 7− 2x− 3x2

iii) h(x) = |x− 2|− 5 iv) q(x) =x

x+ 2.

b) Calcular formulas y dominios de

i) f(x) + q(x) ii)f 2(x) + q(x)

g(x)iii) (f ◦ g)(x)

iv) (h ◦ q)(x) v) s(x) =f(x)

g(x) + x2 − x vi)f(x)

h(x).


i) f(x) =√2x− 1 ii) g(x) = 3− 2x+ x2

iii) h(x) = |x− 3|− 2 iv) q(x) =2x

x− 3 .


i) f(x) + q(x) ii)f 2(x) + q(x)


iv) (h ◦ q)(x) v) s(x) =f(x)

g(x) + x2 − x vi)f(x)

h(x).


i) f(x) =√3x− 10 ii) g(x) = −3 + 2x− x2

iii) h(x) = 4− |x− 2| iv) q(x) =x+ 1

x− 4 .


i) f(x) + q(x) ii)f 2(x) + q(x)


iv) (h ◦ q)(x) v) s(x) =f(x)

g(x) + x2 − x vi)f(x)

h(x).



i) f(x) =√4x− 2 ii) g(x) = −3 + x− 2x2

iii) h(x) = 3− |x− 1| iv) q(x) =2− x2x− 3 .


i) f(x) + q(x) ii)f2(x) + q(x)


iv) (h ◦ q)(x) v) s(x) =f(x)

g(x) + x2 − x vi)f(x)

h(x).


i) f(x) =√5− 3x ii) g(x) = −2 + x− x2

iii) h(x) = 8− |x− 1| iv) q(x) =4− x3x− 2 .


i) f(x) + q(x) ii)f 2(x) + q(x)


iv) (h ◦ q)(x) v) s(x) =f(x)

g(x)− x2 − x vi)f(x)

h(x).


i) f(x) =√5− 3x ii) g(x) = −2 + x− x2

iii) h(x) = 8− |x− 1| iv) q(x) =x+ 1

3x− 2 .


i) f(x) + q(x) ii)f 2(x) + q(x)


iv) (h ◦ q)(x) v) s(x) =f(x)

g(x)− x2 − x vi)f(x)

h(x).



i) f(x) =√5− 2x ii) g(x) = 3 + x− 2x2

iii) h(x) = |x− 1|− 2 iv) q(x) =x− 24x− 3 .


i) f(x) + q(x) ii)f 2(x) + q(x)


iv) (h ◦ q)(x) v) s(x) =f(x)

g(x) + x− 1 vi)f(x)

h(x).


i) f(x) =√3 + 2x ii) g(x) = 5− x− 2x2

iii) h(x) = |x− 2|− 1 iv) q(x) =3x− 12x− 5 .


i) f(x) + q(x) ii)f2(x) + q(x)


iv) (h ◦ q)(x) v) s(x) =f(x)

g(x) + 2x− 3 vi)f(x)

h(x).


i) f(x) =√−3− 2x ii) g(x) = −1− x+ 2x2

iii) h(x) = |x− 3|− 1 iv) q(x) =1

3x− 7 .


i) f(x) + q(x) ii)f 2(x) + q(x)


iv) (h ◦ q)(x) v) s(x) =f(x)

g(x) + x− 3 vi)f(x)

h(x).



i) f(x) =√−5− 2x ii) g(x) = −2− x+ 2x2

iii) h(x) = |x− 4|− 2 iv) q(x) =2− x4x− 5 .


i) f(x) + q(x) ii)f 2(x) + q(x)


iv) (h ◦ q)(x) v) s(x) =f(x)

g(x) + x2 − 2 vi)f(x)

h(x).


i) f(x) =√−3− 2x ii) g(x) = −1− x+ 2x2

iii) h(x) = |x− 3|− 2 iv) q(x) =5 + 2x

4x− 3 .


i) f(x) + q(x) ii)f 2(x) + q(x)


iv) (h ◦ q)(x) v) s(x) =f(x)

g(x) + x2 − 2x− 3 vi)f(x)

h(x).


i) f(x) =√−5− 2x ii) g(x) = −2− x+ x2

iii) h(x) = 2− |x− 3| iv) q(x) =2− x5x+ 3

.


i) f(x) + q(x) ii)f2(x) + q(x)


iv) (h ◦ q)(x) v) s(x) =f(x)

g(x) + x− 5 vi)f(x)

h(x).



i) f(x) =√−5− 3x ii) g(x) = −2 + x+ x2

iii) h(x) = 2− |x− 4| iv) q(x) =2− x3x− 2 .


i) f(x) + q(x) ii)f 2(x) + q(x)


iv) (h ◦ q)(x) v) s(x) =f(x)

g(x) + 2x+ 5vi)

f(x)

h(x).


i) f(x) =√3− 5x ii) g(x) = 2 + x− 2x2

iii) h(x) = 3− |x− 2| iv) q(x) =1− 3x3x− 2 .


i) f(x) + q(x) ii)f2(x) + q(x)


iv) (h ◦ q)(x) v) s(x) =f(x)

g(x)− 2x− 1 vi)f(x)

h(x).


i) f(x) =√5x+ 4 ii) g(x) = 2x2 − 3x− 2

iii) h(x) = 3− |x− 4| iv) q(x) =1 + 3x

3x+ 5.


i) f(x) + q(x) ii)f 2(x) + q(x)


iv) (h ◦ q)(x) v) s(x) =f(x)

g(x)− x2 − 1 vi)f(x)

h(x).


2.5. Valores de funciones trigonometricas L.F. Resendis O.

Ejemplo 2.5.1 Usando la tabla de valores principales de las funciones trigonometricas calcular

sen (α+ β) = senα cosβ + cosα senβ

con los valores siguientes para los angulos:i) α = π

6y β = π

4;

ii) α = −5π6y β = 7π

4;

Solucion Para el inciso i) al consultar la tabla de valores se tiene directamente

senπ

6=1

2, cos

π

6=

√3

2, sen

π

4=

√2

2, cos

π

4=

√2

2.

Ası

senπ

6+π

4= sen

π

6cos

π

4+ cos

π

6sen

π

4

sen5π

12=

1

2

√2

2+

√3

2

√2

2=

√2(1 +

√3)

4.

Para el inciso ii) es necesario transformar el valor de la tabla al valor correspondiente del cuadrantepues el angulo α = −5π

6se encuentra en el tercer cuadrante (ademas leıdo en sentido negativo) y el

angulo β = 7π4esta en el cuarto cuadrante. Por tanto

sen−5π6

= −12, cos

−5π6

= −√3

2, sen

7π

4= −√2

2, cos

7π

4=

√2

2.

Ası

sen −5π6+7π

4= sen

−5π6cos

7π

4+ cos

−5π6sen

7π

4

sen11π

12= − sen π

6cos

π

4− cos π

6(− sen π

4)

sen11π

12= −1

2

√2

2+

√3

2

√2

2=

√2(√3− 1)4

.

2.5. VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS L.F. RESENDIS O. 27

Ejercicio 2.5.1 Usando la tabla de valores principales de las funciones trigonometricas calcular

sen (α+ β) = senα cosβ + cosα sen β


3y β = π

4.

ii) α = 2π3y β = −π

4.

iii) α = −2π3y β = 5π

4.

iv) α = 4π3y β = 7π

4.


sen (α− β) = senα cosβ − cosα sen βcon los valores siguientes para los angulos:i) α = π

6y β = π

4.

ii) α = −5π6y β = −π

4.

iii) α = −2π3y β = 5π

4.

iv) α = 10π6y β = 7π

4.


cos(α+ β) = cosα cosβ − senα senβcon los valores siguientes para los angulos:i) α = π

6y β = π

4.

ii) α = −5π6y β = −π

4.

iii) α = −2π3y β = 5π

4.

iv) α = 10π6y β = 7π

4.


sen (α+ β) = senα cosβ + cosα sen β


3y β = π

4.

ii) α = 2π3y β = −π

4.

iii) α = −2π3y β = 5π

4.

iv) α = 4π3y β = 7π

4.


2 senα+ β

2cos

α− β

2= senα+ sen β


3y β = π

4.

ii) α = 2π3y β = −π

4.

iii) α = −2π3y β = 5π

4.

iv) α = 4π3y β = 7π

4.



2 cosα+ β

2sen

α− β

2= senα− sen β


6y β = π

4.

ii) α = −5π6y β = −π

4.

iii) α = −2π3y β = 5π

4.

iv) α = 10π6y β = 7π

4.


2 cosα+ β

2cos

α− β

2= cosα+ cosβ


6y β = π

4.

ii) α = −5π6y β = −π

4.

iii) α = −2π3y β = 5π

4.

iv) α = 10π6y β = 7π

4.


−2 sen α+ β

2sen

α− β

2= cosα− cosβ


3y β = π

4.

ii) α = 2π3y β = −π

4.

iii) α = −2π3y β = 5π

4.

iv) α = 4π3y β = 7π

4.


sen 2α = 2 senα cosα ; cos 2α = cos2 α− sen 2αcon los valores siguientes para elangulo:i) α = π

3.

ii) α = 5π3.

iii) α = −7π6.

iv) α = 7π4.


senα

2=

1− cosα2

con los valores siguientes para elangulo:i) α = π

3.

ii) α = 5π4.

iii) α = −2π3.

iv) α = 4π3.



tan(α+ β) =tanα+ tan β

1− tanα tan βcon los valores siguientes para los angulos:i) α = π

3y β = π

4.

ii) α = 2π3y β = −π

4.

iii) α = −2π3y β = 5π

4.

iv) α = 4π3y β = 7π

4.


tan(α− β) =tanα− tan β1 + tanα tan β


6y β = π

4.

ii) α = −5π6y β = −π

4.

iii) α = −2π3y β = 5π

4.

iv) α = 10π6y β = 7π

4.



sen (α+ β)

cosα cosβ= tanα+ tanβ)


3y β = π

4.

ii) α = 2π3y β = −π

4.

iii) α = −2π3y β = 5π

4.

iv) α = 4π3y β = 7π

4.


sen (α− β)

cosα cosβ= tanα− tan β)


6y β = π

4.

ii) α = −5π6y β = −π

4.

iii) α = −2π3y β = 5π

4.

iv) α = 10π6y β = 7π

4.



1

2sen (α+ β) +

1

2sen (α− β) = senα cosβ


6y β = π

4.

ii) α = −5π6y β = −π

4.

iii) α = −2π3y β = 5π

4.

iv) α = 10π6y β = 7π

4.


-2 2 4 6

-1

-0.5

0.5

1

Figura 2.1: Funcion senx.

2.6. Operaciones de traslado para funciones L.F. Resendis O.

Ejemplo 2.6.1 Considere la funcion f : R → R definida por f(x) = −34sen (2x + π

2). Calcular el

perıodo de f(x).Determinar la grafica de f en [0, π] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = sen (2x) a partir de la grafica del senx.b) Trazar la grafica de p(x) = 3

4h(x).

c) Trazar la grafica de r(x) = −p(x).d) Determine a tal que f(x) = r(x+ a). Trazar la grafica de f(x) = r(x+ a).e) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.f)Determine la grafica de l(x) = 2 + f(x).

Solucion Para determinar el perıodo de f(x) se debe tener f(x+T ) = f(x) para cada x ∈ R, es decir

−34sen 2(x+ T ) +

π

2= −3

4sen (2x+

π

2) ,

y como el perıodo del senx es 2π se debe cumplir

2(x+ T ) +π

2= 2x+

π

2+ 2π .

Cancelando y despejando resulta que el perıodo de f(x) es T = π.Para el inciso a) se muestra en la figura 2.1, la grafica de la funcion senx para x ∈ [−π, 2π]. Observela diferencia de escalas en el eje horizontal y vertical.Para el inciso a) se observa que la grafica de h(x) duplica la frecuencia del senx. Ası su grafica seve como en la figura 2.2.Para el inciso b) se observa que la grafica de p(x) reduce la amplitud de h(x) a 3

4de la amplitud

original. Ası su grafica se ve como en la figura 2.3 con formula p(x) = 34h(x) = 3

4sen (2x).

Para el inciso c) se observa que la grafica de r(x) refleja la grafica de p(x) con respecto al eje x.Ası su grafica se ve como en la figura 2.4 con formula r(x) = −p(x) = −3

4sen 2x.

2.6. OPERACIONES DE TRASLADO PARA FUNCIONES L.F. RESENDIS O. 33

-2 2 4 6

-1

-0.5

0.5

1

Figura 2.2: Funcion h(x) = sen 2x.

-2 2 4 6

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

Figura 2.3: Funcion p(x) = 34h(x) = 3

4sen 2x.

-2 2 4 6

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

Figura 2.4: Funcion r(x) = −p(x) = −34sen 2x.


-2 2 4 6

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

Figura 2.5: Funcion f(x) = r(x+ π4) = −3

4sen (2x+ π

2).

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

Figura 2.6: Funcion f(x) = −34sen (2x+ π

2) para x ∈ [0,π].

Para el inciso d) se requiere 2(x+ a) = 2x+ π2y al cancelar y despejar a = π

4. Por tanto

f(x) = r x+π

4= −3

4sen 2 x+

π

4

se obtiene de un traslado horizontal por π4hacia la izquierda de la grafica de r(x) como lo muestra

la figura 2.5La grafica de la funcion r(x) para x ∈ [0, π] se muestra la figura 2.6Los ceros o raıces de la funcion f(x) son los puntos que satisfacen

f(x) = 0 , −34sen 2x+

π

2= 0 , 2x+

π

2= kπ , k = 0,±1,±2, · · ·

o sea

x =(2k − 1)π

4, k = 0,±1, ±2, · · · .


Los puntos maximos de la funcion f(x) son los puntos que satisfacen

f(x) =3

4, −3

4sen 2x+

π

2=3

4, sen 2x+

π

2= −1

o sea

2x+π

2= −π

2+ 2kπ , k = 0,±1,±2, · · · , x =

(2k − 1)π2

, k = 0,±1, ±2, · · · .

Los puntos mınimos de la funcion f(x) son los puntos que satisfacen

f(x) = −34, −3

4sen 2x+

π

2= −3

4, sen 2x+

π

2= 1

o sea2x+

π

2=π

2+ 2kπ , k = 0,±1,±2, · · · , x = kπ, k = 0,±1, ±2, · · · .

Se recuerda que los intervalos donde senx es creciente son

2kπ − π

2< x < 2kπ +

π

2, k = 0,±1, ±2, · · ·

Por tanto lon intervalos donde f(x) es decreciente son las x ∈ R tal que

2kπ − π

2< 2x+

π

2< 2kπ +

π

2, k = 0,±1, ±2, · · ·

Resolviendo las desigualdades se tiene

(4k − 1)π2

< x < kπ , k = 0,±1, ±2, · · · .

Se recuerda que los intervalos donde senx es decreciente son

2kπ +π

2< x < 2kπ +

3π

2.

Por tanto lon intervalos donde f(x) es creciente son las x ∈ R tal que

2kπ +π

2< 2x+

π

2< 2kπ +

3π

2, k = 0,±1, ±2, · · ·

Resolviendo las desigualdades se tiene

kπ < x <(2k + 1)π

2, k = 0,±1, ±2, · · · .

f) La grafica de l(x) no es mas que el trasladado vertical de f(x) en dos unidades hacia arriba comolo muestra la grafica 2.7. Observe que en esta ultima grafica se ha puesto como dominio de [−π, π].


-3 -2 -1 1 2 3

1.4

1.6

1.8

2.2

2.4

2.6

Figura 2.7: Funcion l(x) = 2 + f(x) = 2− 34sen (2x+ π

2) para x ∈ [−π, π].

Ejercicio 2.6.1 Considere la funcion f : R→ R definida por f(x) = −32sen (3x+ π). . Calcular el

perıodo de f(x).

Determinar la grafica de f en [0, π] a traves de los siguientes pasos:

a) Trazar la grafica de h(x) = sen (3x) a partir de la grafica del senx.

b) Trazar la grafica de p(x) = 32h(x).

c) Trazar la grafica de r(x) = −p(x).d) Determine a tal que f(x) = r(x+ a). Trazar la grafica de f(x) = r(x+ a).

e) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.

f)Determine la grafica de l(x) = 2 + f(x).

Ejercicio 2.6.2 Considere la funcion f : R → R definida por f(x) = −32cos(3x + π) . Calcular el

perıodo de f(x).

Determinar la grafica de f en [0, π] a traves de los siguientes pasos:

a) Trazar la grafica de h(x) = cos(3x) a partir de la grafica del cosx.


c) Trazar la grafica de r(x) = −p(x).d) Determine a tal que f(x) = r(x+ a). Trazar la grafica de f(x) = r(x+ a).

e) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.

f)Determine la grafica de l(x) = 2 + f(x).

Ejercicio 2.6.3 Considere la funcion f : R → R definida por f(x) = 3 sen (x2− π

8). Calcular el

perıodo de f(x).

Determinar la grafica de f en [−6π, 6π] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = sen (x

2) a partir de la grafica del senx.


c) Determine a tal que f(x) = p(x+ a). Trazar la grafica de f(x) = p(x+ a).

d) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.

f)Determine la grafica de l(x) = f(x)− 2.


Ejercicio 2.6.4 Considere la funcion f : R → R definida por f(x) = 2 cos(x2− π

8). Calcular el

perıodo de f(x).Determinar la grafica de f en [−6π, 6π] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = cos(x

2) a partir de la grafica del cosx.

b) Trazar la grafica de p(x) = 2h(x).c) Determine a tal que f(x) = p(x+ a). Trazar la grafica de f(x) = p(x+ a).d) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.f)Determine la grafica de l(x) = 2 + f(x).

Ejercicio 2.6.5 Considere la funcion f : R → R definida por f(x) = −52cos(4x + π). Calcular el

perıodo de f(x).Determinar la grafica de f en [0,π] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = cos(4x) a partir de la grafica del cosx.b) Trazar la grafica de p(x) = 5

2h(x).

c) Trazar la grafica de r(x) = −p(x).d) Determine a tal que f(x) = r(x+ a). Trazar la grafica de f(x) = r(x+ a).e) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.f)Determine la grafica de h(x) = f(x)− 3.

Ejercicio 2.6.6 Considere la funcion f : R → R definida por f(x) = −52sen (4x + π). Calcular el

perıodo de f(x).Determinar la grafica de f en [0,π] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = sen (4x) a partir de la grafica del senx.b) Trazar la grafica de p(x) = 5

2h(x).


Ejercicio 2.6.7 Considere la funcion f : R→ R definida por f(x) = −2 cos(2x− π/2). Calcular elperıodo de f(x).Determinar la grafica de f en [−2π, 0] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = cos(2x) a partir de la grafica del cosx.b) Trazar la grafica de p(x) = 2h(x).c) Trazar la grafica de r(x) = −2h(x).d) Determine a tal que f(x) = r(x+ a). Trazar la grafica de f(x) = r(x+ a).e) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.f)Determine la grafica de l(x) = 3 + f(x).


Ejercicio 2.6.8 Considere la funcion f : R→ R definida por f(x) = −2 sen (2x− π/2). Calcular elperıodo de f(x).Determinar la grafica de f en [−2π, 0] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = sen (2x) a partir de la grafica del senx.b) Trazar la grafica de p(x) = 2h(x).c) Trazar la grafica de r(x) = −2h(x).d) Determine a tal que f(x) = r(x+ a). Trazar la grafica de f(x) = r(x+ a).e) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.f)Determine la grafica de l(x) = 3 + f(x).

Ejercicio 2.6.9 Considere la funcion f : R → R definida por f(x) = −32sen (3x − π). Calcular el

perıodo de f(x).Determinar la grafica de f en [0, π] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = sen (3x) a partir de la grafica del senx.b) Trazar la grafica de p(x) = 3

2h(x).

c) Trazar la grafica de r(x) = −p(x).d) Determine a tal que f(x) = r(x+ a). Trazar la grafica de f(x) = r(x+ a).e) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.f)Determine la grafica de h(x) = f(x)− 2.Ejercicio 2.6.10 Considere la funcion f : R → R definida por f(x) = −3

2cos(3x− π). Calcular el

perıodo de f(x).Determinar la grafica de f en [0, π] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = cos(3x) a partir de la grafica del cosx.b) Trazar la grafica de p(x) = 3

2h(x).

c) Trazar la grafica de r(x) = −p(x).d) Determine a tal que f(x) = r(x+ a). Trazar la grafica de f(x) = r(x+ a).e) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.f)Determine la grafica de l(x) = f(x)− 2.Ejercicio 2.6.11 Considere la funcion f : R → R definida por f(x) = 3 sen (x

2+ π

8). Calcular el

perıodo de f(x).Determinar la grafica de f en [−6π, 6π] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = sen (x

2) a partir de la grafica del senx.

b) Trazar la grafica de p(x) = 3h(x).c) Determine a tal que f(x) = p(x+ a). Trazar la grafica de f(x) = p(x+ a).d) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.f)Determine la grafica de l(x) = f(x)− 2.Ejercicio 2.6.12 Considere la funcion f : R → R definida por f(x) = 2 cos(x

2+ π

3). Calcular el

perıodo de f(x).Determinar la grafica de f en [−6π, 6π] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = cos(x

2) a partir de la grafica del cosx.

b) Trazar la grafica de p(x) = 2h(x).c) Determine a tal que f(x) = p(x+ a). Trazar la grafica de f(x) = p(x+ a).d) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.f)Determine la grafica de l(x) = f(x)− 2.


Ejercicio 2.6.13 Considere la funcion f : R → R definida por f(x) = −52cos(4x − π). Calcular el


2h(x).

c) Trazar la grafica de r(x) = −p(x).d) Determine a tal que f(x) = r(x+ a). Trazar la grafica de f(x) = r(x+ a).e) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.f)Determine la grafica de l(x) = f(x)− 2.

Ejercicio 2.6.14 Considere la funcion f : R→ R definida por f(x) = −52sen (4x− π). Calcular el


2h(x).


Ejercicio 2.6.15 Considere la funcion f : R → R definida por f(x) = −2 cos(2x + π/2). Calcularel perıodo de f(x).Determinar la grafica de f en [−2π, 0] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = cos(2x) a partir de la grafica del cosx.b) Trazar la grafica de p(x) = 2h(x).c) Trazar la grafica de r(x) = −2h(x).d) Determine a tal que f(x) = r(x+ a). Trazar la grafica de f(x) = r(x+ a).e) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.f)Determine la grafica de h(x) = f(x)− 3.


Ejercicio 2.6.16 Considere la funcion f : R→ R definida por f(x) = −32cos(3x+ π

2). Determinar

la grafica de f en [0,π] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = cos(x+ π

2);


c) Trazar la grafica de r(x) = −p(x).d) Determine a tal que f(x) = r(ax). Trazar la grafica de f(x) = r(ax).e) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.f)Determine la grafica de l(x) = −2 + f(x).

Ejercicio 2.6.17 Considere la funcion f : R→ R definida por f(x) = −32sen (3x+ π

2). Determinar

la grafica de f en [0,π] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = sen (x+ π

2);



Ejercicio 2.6.18 Considere la funcion f : R→ R definida por f(x) = 3 cos(x2− π

8). Determinar la

grafica de f en [−6π, 6π] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = cos(x− π

8);

b) Trazar la grafica de p(x) = 3h(x).c) Determine a tal que f(x) = p(ax). Trazar la grafica de f(x) = p(ax).d) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.f)Determine la grafica de l(x) = f(x) + 2.

Ejercicio 2.6.19 Considere la funcion f : R→ R definida por f(x) = 2 sen (x2− π

8). Determinar la

grafica de f en [−6π, 6π] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = sen (x− π

8);

b) Trazar la grafica de p(x) = 2h(x).c) Determine a tal que f(x) = p(ax). Trazar la grafica de f(x) = p(ax).d) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.f)Determine la grafica de l(x) = −2 + f(x).

Ejercicio 2.6.20 Considere la funcion f : R→ R definida por f(x) = −52sen (4x+ π). Determinar

la grafica de f en [0,π] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = sen (x+ π);b) Trazar la grafica de p(x) = 5

2h(x).

c) Trazar la grafica de r(x) = −p(x).d) Determine a tal que f(x) = r(ax). Trazar la grafica de f(x) = r(ax).e) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.f)Determine la grafica de h(x) = f(x) + 3.


Ejercicio 2.6.21 Considere la funcion f : R→ R definida por f(x) = −52cos(4x+ π). Determinar

la grafica de f en [0, π] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = cos(x+ π);b) Trazar la grafica de p(x) = 5

2h(x).


Ejercicio 2.6.22 Considere la funcion f : R→ R definida por f(x) = −2 sen (2x−π/2). Determinarla grafica de f en [−2π, 0] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = sen (x− π/2);b) Trazar la grafica de p(x) = 2h(x).c) Trazar la grafica de r(x) = −2h(x).d) Determine a tal que f(x) = r(ax). Trazar la grafica de f(x) = r(ax).e) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.f)Determine la grafica de l(x) = −3 + f(x).

Ejercicio 2.6.23 Considere la funcion f : R→ R definida por f(x) = −2 cos(2x−π/2). Determinarla grafica de f en [−2π, 0] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = cos(x− π/2);b) Trazar la grafica de p(x) = 2h(x).c) Trazar la grafica de r(x) = −2h(x).d) Determine a tal que f(x) = r(ax). Trazar la grafica de f(x) = r(ax).e) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.f)Determine la grafica de l(x) = 3 + f(x).

Ejercicio 2.6.24 Considere la funcion f : R→ R definida por f(x) = −32cos(3x− π

2). Determinar

la grafica de f en [0, π] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = cos(x− π

2);


c) Trazar la grafica de r(x) = −p(x).d) Determine a tal que f(x) = r(ax). Trazar la grafica de f(x) = r(ax).e) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.f)Determine la grafica de h(x) = f(x) + 2.

Ejercicio 2.6.25 Considere la funcion f : R→ R definida por f(x) = −32sen (3x− π

2). Determinar

la grafica de f en [0, π] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = sen (x− π

2);


c) Trazar la grafica de r(x) = −p(x).d) Determine a tal que f(x) = r(ax). Trazar la grafica de f(x) = r(ax).e) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.f)Determine la grafica de l(x) = f(x) + 2.


Ejercicio 2.6.26 Considere la funcion f : R→ R definida por f(x) = 3 cos(x2+ π

8). Determinar la

grafica de f en [−6π, 6π] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = cos(x+ π

8);


Ejercicio 2.6.27 Considere la funcion f : R→ R definida por f(x) = 2 cos(x2+ π

8). Determinar la

grafica de f en [−6π, 6π] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = cos(x+ π

8);


Ejercicio 2.6.28 Considere la funcion f : R→ R definida por f(x) = −52sen (4x− π). Determinar

la grafica de f en [0,π] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = sen (x− π);b) Trazar la grafica de p(x) = 5

2h(x).

c) Trazar la grafica de r(x) = −p(x).d) Determine a tal que f(x) = r(ax). Trazar la grafica de f(x) = r(ax).e) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.f)Determine la grafica de l(x) = f(x)− 2.

Ejercicio 2.6.29 Considere la funcion f : R→ R definida por f(x) = −52cos(4x− π). Determinar

la grafica de f en [0,π] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = cos(x− π);b) Trazar la grafica de p(x) = 5

2h(x).


Ejercicio 2.6.30 Considere la funcion f : R→ R definida por f(x) = −2 sen (2x+π/2). Determinarla grafica de f en [−2π, 0] a traves de los siguientes pasos:a) Trazar la grafica de h(x) = sen (x+ π/2);b) Trazar la grafica de p(x) = 2h(x).c) Trazar la grafica de r(x) = −2h(x).d) Determine a tal que f(x) = r(ax). Trazar la grafica de f(x) = r(ax).e) Determine raıces, puntos maximos y puntos mınimos. Intervalos de monotonıa.f)Determine la grafica de h(x) = f(x)− 3.

Capıtulo 3

Lımites L.F. Resendis O.

3.1. Graficado de funciones racionales L.F. Resendis O.

Ejercicio 3.1.1 Para c = 0 se tienen los siguientes ’valores’ para las expresiones indeterminadasc

0= ±∞ y

c

±∞ = 0 y el crecimiento de un polinomio lo determina el termino de maxima potencia.

Usando esto obtener para las siguientes funciones su a) dominio; b) raıces; c) bosquejo grafico; d)imagen.

i) f(x) =3x− 22− x ii) g(x) =

3x− 5x2 − 1 iii) h(x) =

x2 + x− 6x2 − 1 .


0= ±∞ y

c



i) f(x) =5x− 23 + 2x

ii) g(x) =1− xx2 − 4 iii) h(x) =

2x2 + 10x+ 12

x2 − 4 .


0= ±∞ y

c



i) f(x) =7x− 34 + 2x

ii) g(x) =x+ 3

x2 − 9 iii) h(x) =2x2 − 2x− 40

x2 − 9 .


0= ±∞ y

c



i) f(x) =2x+ 3

4− 5x ii) g(x) =2− xx2 − 9 iii) h(x) =

2x2 + 18x+ 40

x2 − 9 .

45

46 CAPITULO 3. LIMITES L.F. RESENDIS O.


0= ±∞ y

c



i) f(x) =2x− 34 + 5x

ii) g(x) =2− xx2 − 16 iii) h(x) =

2x2 − 3x− 2x2 − 16 .


0= ±∞ y

c



i) f(x) =2x− 33x− 4 ii) g(x) =

2 + x

x2 − 4 iii) h(x) =2x2 − 3x− 2x2 − 4 .


0= ±∞ y

c



i) f(x) =4x− 53x+ 4

ii) g(x) =2x+ 1

x2 − 4 iii) h(x) =2x2 + 5x− 3x2 − 4 .


0= ±∞ y

c



i) f(x) =x− 57x+ 4

ii) g(x) =3x− 7x2 − 9 iii) h(x) =

3x2 − x− 2x2 − 9 .


0= ±∞ y

c



i) f(x) =x− 47x+ 3

ii) g(x) =4x− 9x2 − 16 iii) h(x) =

3x2 + 5x+ 2

x2 − 16 .


0= ±∞ y

c



i) f(x) =x− 46x+ 1

ii) g(x) =5x− 10x2 − 9 iii) h(x) =

2x2 − x− 3x2 − 16 .

3.1. GRAFICADO DE FUNCIONES RACIONALES L.F. RESENDIS O. 47


0= ±∞ y

c



i) f(x) =2x− 53x+ 4

ii) g(x) =3x− 5x2 − 25 iii) h(x) =

4x2 − 2x− 2x2 − 25 .


0= ±∞ y

c



i) f(x) =2x− 47x− 3 ii) g(x) =

4x− 16x2 − 36 iii) h(x) =

2x2 + 4x+ 2

x2 − 36 .


0= ±∞ y

c



i) f(x) =x− 46x− 1 ii) g(x) =

3x− 10x2 − 4 iii) h(x) =

2x2 − 3x− 9x2 − 4 .


0= ±∞ y

c



i) f(x) =x− 46x+ 1

ii) g(x) =5x− 2

x2 + x− 6 iii) h(x) =2x2 − x− 3x2 + x− 6 .


0= ±∞ y

c



i) f(x) =2x− 13x+ 10

ii) g(x) =7x− 2

x2 − x− 6 iii) h(x) =2x2 + x− 3x2 − x− 6 .


0= ±∞ y

c



i) f(x) =3− 2x4x+ 5

ii) g(x) =5x− 3

−x2 − x+ 6 iii) h(x) =2x2 + x− 10−x2 − x+ 6 .


3.2. Lımites finitos L.F. Resendis O.

Ejercicio 3.2.1 Calcular los lımites correspondientes

i) lımx→1

16x− x2 − 2 2√4x

4− 4√16x3

ii) lımx→− 5

2

2x3 + x2 − 4x+ 154x3 + 12x2 + 7x+ 5

iii) lımx→3

(x3 − 4x2 + 4x− 3)20(3x3 − 20x2 + 39x− 18)10 iv) lım

y→3

√2y + 10− 2√y + 1y2 − 2y − 3

v) lımy→1

y4 − 2y3 + 2y2 − 2y + 13y3 − 8y2 + 7y − 2 vi) lım

t→8

√1 + t− 34−√2t

vii) lımy→0

sen 5y

sen 2yviii) lım

t→02t

tan 3t

ix) lımx→0

1− cos 3xx2

x) lımz→0

cos 2z − cos 5zz2


i) lımx→2

16x− x2 − 2 2√8x

6− 4√2x3

ii) lımx→ 1

3

6x2 − 5x+ 13x3 − x2 + 3x− 1

iii) lımx→1

(x3 − x2 + 2x− 2)20(2x3 − 5x2 + 4x− 1)10 iv) lım

y→2

√3y + 10− 2√y + 2y2 + y − 6

v) lımy→2

y4 − 3y3 + y2 + 4y3 − 5y2 + 8y − 4 vi) lım

t→4

√5 + t− 3

6− 2√2t+ 1

vii) lımy→0

sen 3y

sen 5yviii) lım

t→05t

tan 2t

ix) lımx→0

1− cos 2xx2

x) lımz→0

cos z − cos 2zz2

3.2. LIMITES FINITOS L.F. RESENDIS O. 49


i) lımx→2

8x− x2 − 2 2√16x

3− 4√2x3

ii) lımx→ 3

4

4x2 + x− 34x3 − 3x2 + 8x− 6

iii) lımx→−3

(x3 + 3x2 + x+ 3)20

(x3 + 8x2 + 21x+ 18)10iv) lım

y→3

√3y + 7− 2√y + 1y2 − 2y − 3

v) lımy→−2

y4 + 4y3 + y2 − 12y − 12y3 + y2 − 8y − 12 vi) lım

t→5

√4 + t− 3

6− 2√2t− 1

vii) lımy→0

sen 2y

sen 6yviii) lım

t→0t

tan 5t

ix) lımx→0

1− cos 4xx2

x) lımz→0

cos 3z − cos zz2


i) lımx→2

7x− x3 − 2 2√4x+ 8

5− 4√2x3

ii) lımx→ 3

2

2x2 − 9x+ 92x3 − 3x2 + 2x− 3

iii) lımx→4

(x3 − 4x2 + x− 4)20(x3 − 5x2 − 8x+ 48)10 iv) lım

y→42√2y + 1−√y + 32y2 − y − 12

v) lımy→2

y4 − 4y3 + 5y2 − 4y + 4y3 − 12y + 16 vi) lım

t→6

√4 + 2t− 4

6− 2√t+ 3

vii) lımy→0

sen 7y

sen 3yviii) lım

t→0sen t− sen 3t

sen 5t

ix) lımx→0

1− cos x2

x2x) lım

z→0cos 4z − cos z

z2



i) lımx→2

3x− x3 − 4 2√3x+ 10

3− 4√2x3

ii) lımx→ 2

3

3x2 + 4x− 43x3 − 2x2 + 9x− 6

iii) lımx→−4

(x3 + 4x2 + 2x+ 8)20

(x3 + 11x2 + 40x+ 48)10iv) lım

y→4

√2y + 8− 2√yy2 − 3y − 4

v) lımy→−2

y4 + 4y3 + y2 − 12y − 12y3 + 2y2 − 4y − 8 vi) lım

t→4

√4 + 3t− t

6− 2√t+ 5

vii) lımy→0

seny

2sen 3y

viii) lımt→0

sen 4t− sen tsen 2t

ix) lımx→0

1− cos 3x2

x2x) lım

z→0cos 4z − cos 3z

z2


i) lımx→2

4x− x2 − 3 2√8x+ 9

3− 3√2x3 + 11

ii) lımx→ 5

3

3x3 − 5x2 + 3x− 5−6x3 + 13x2 − 2x− 5

iii) lımx→−5

(−x3 − 4x2 + 6x+ 5)20(2x3 + 21x2 + 60x+ 25)10

iv) lımy→−3

√19− 2y − 5√4 + yy2 + y − 6

v) lımy→−2

−y4 − 4y3 − 3y2 + 4y + 42y3 + 7y2 + 4y − 4 vi) lım

t→3

√4 + 4t− t− 19− 3√t+ 6

vii) lımy→0

sen 5y

seny

3

viii) lımt→0

sen t− sen 3tsen 5t

ix) lımx→0

1− cos 2x3

x2x) lım

z→0cos 4z − cos 2z

z2



i) lımx→2

4x− x2 − 3 2√8x+ 9

3− 3√2x3 + 11

ii) lımx→ 5

3

3x3 − 5x2 + 3x− 5−6x3 + 13x2 − 2x− 5

iii) lımx→−5

(−x3 − 4x2 + 6x+ 5)20(2x3 + 21x2 + 60x+ 25)10

iv) lımy→−3

√19− 2y − 5√4 + yy2 + y − 6

v) lımy→−2

−y4 − 4y3 − 3y2 + 4y + 42y3 + 7y2 + 4y − 4 vi) lım

t→3

√4 + 4t− t− 19− 3√t+ 6

vii) lımy→0

sen 2y

seny

3

viii) lımt→0

sen 2t− sen 3tsen 5t

ix) lımx→0

1− cos xsen 2x

x) lımx→0

1− cosx+ sen 2x

1− cos 2x+ sen 3x


i) lımx→3

16x− x2 − 2 2√4x+ 4

5− 3√3x2

ii) lımx→− 1

2

x+ 2− 6x22x3 + x2 − 6x− 3

iii) lımx→4

(2x3 − 9x2 + 5x− 4)20(x3 − 7x2 + 8x+ 16)10 iv) lım

y→−3

√2y + 10−√1− y2y2 + 7y + 3

v) lımy→−1

2y4 + 4y3 + 3y2 + 2y + 1

y3 − 3y − 2 vi) lımt→4

√5 + t− 3

5−√2t+ 17

vii) lımy→0

sen4y

3sen 2y

viii) lımt→0

sen 3t

sen 5t− sen 2t

ix) lımx→0

1− cosxtan2 x

x) lımx→0

1− cos 3x+ sen 4x

1− cosx+ sen 2x



i) lımx→−1

13x− x2 − 2 2√4x

7− 4√16x2

ii) lımx→− 1

3

6x3 + 5x2 − 2x− 19x2 − 9x+ x− 4

iii) lımx→2

(2x3 − 3x−3x+ 2)20(3x3 − 16x2 + 28x− 16)10 iv) lım

y→5

√2y + 15 + y − 10y2 + 8y + 15

v) lımy→1

2y4 − 9y3 + 11y2 − 42y3 − 13y2 + 28y − 20 vi) lım

t→72√2 + t− 6

4−√2t+ 2

vii) lımy→0

sen4y

7sen 2y

viii) lımt→0

tan 4t

tan 5t− tan 2t

ix) lımx→0

sen 2x

1− cosx x) lımx→0

1− cos 3x− sen 5x1− cosx+ sen 2x


i) lımx→1

16x− x2 − 2 2√4x

5 + x− 3√20x2 + 7

ii) lımx→ 3

5

10x2 − 31x+ 155x3 − 8x2 − 2x+ 3

iii) lımx→3

(x3 − 5x2 + 5x+ 3)20(2x3 − 17x2 + 48x− 45)10 iv) lım

y→3

√10y + 6− 3√y + 1y2 − 2y − 3

v) lımy→2

y4 − 4y3 + 3y2 + 4y − 42y3 − 13y2 + 28y − 20 vi) lım

t→5

√2t− 1− 32−√t− 1

vii) lımy→0

sen7y

5sen 3y

viii) lımt→0

tan 8t− tan 2ttan 5t

ix) lımx→0

tan2 x

1− cosx x) lımx→0

1− cosx+ sen 5x

1− cos 4x− sen 3x



i) lımx→1

16x− x2 − 2 2√9x

5 + x− 3√22x2 + 5

ii) lımx→ 2

3

6x2 − 19x+ 103x3 − 2x2 − 3x+ 2

iii) lımx→3

(x3 + 3x2 − x− 3)20(2x3 + 7x2 − 12x− 45)10 iv) lım

y→−3

√6− y − 3√y + 4y2 − y − 12

v) lımy→−2

y4 + 4y3 + 3y2 − 4y − 42y3 + 3y2 − 12y − 20 vi) lım

t→3

√2t+ 3− 32−√t+ 1

vii) lımy→0

tan 7y

tan 3yviii) lım

t→0sen 8t− tan 2t

tan 3t

ix) lımx→0

senx tanx

1− cos x x) lımx→0

1− cosx+ sen 4x

1− cos 3x− tan 5xEjercicio 3.2.12 Calcular los lımites correspondientes

i) lımx→2

16x− x2 − 2 2√9x+ 7

5 + x− 3√11x2 + 20

ii) lımx→ 2

3

12x2 − 11x+ 218x3 − 69x2 + 68x− 20

iii) lımx→3

(2x3 − 6x2 + x− 3)20(x3 − 11x2 + 39x− 45)10 iv) lım

y→−3

√19− y − 4√y + 4y2 + y − 6

v) lımy→−2

2y4 + 8y3 + 9y2 + 4y + 4

y3 − y2 − 16y − 20 vi) lımt→4

√2t+ 8− 43−√t+ 5

vii) lımy→0

sen 6y

tan 5yviii) lım

t→0sen 3t

tan 8t− sen 2t

ix) lımx→0

sen 2x tanx

1− cos x x) lımx→0

1− cosx+ tan 4x1− cos 3x− sen 5x


3.3. Lımites al infinito L.F. Resendis O.

Ejercicio 3.3.1 Calcular los siguientes lımites:

i) lımx→7+

x2 − 4x+ 1x− 7 ii) lım

x→5−x2 − 4x+ 1x2 − 5x− 14

iii) lımx→∞

6x17 − 13x+ 1x− 3x7 + 1 iv) lım

x→∞7x− 5x16/3 − 6

4x− 25x2(7x10− 12)1/3

v) lımx→∞

x(3− 2x11)1/3 + x22x− 5x2(x8 − 12)1/3 vi) lım

x→−∞(6x3 − 4x+ 2)3

6− |5x3 − 7|(x6 + 8)

vii) lımx→∞

(√7x+ 1−

√7x) viii) lım

x→∞√8x+ 1− 8x+

√2x

ix) lımx→π+

x2 + x+ 1

2 senxx) lım

x→π−x2 + 1

3 senx

xi) lımx→∞

√8x2 + 2x− 1− 5x√

2xxii) lım

x→−∞(√9x2 + 4x− 1 + 3x− 1) .


i) lımx→−3+

x2 − 4x− 13 + x

ii) lımx→5−

x2 − 4x− 1−2x2 − 5x+ 3

iii) lımx→∞

−7x18 − 13x+ 12x− 5x9 + 1 iv) lım

x→∞3x− 5x18/5 − 6

2x− 2x2(4x8 − 12)1/5

v) lımx→∞

2x(3− 2x3)3/4 + x22x− 5x2(x5 − 12)1/4 vi) lım

x→−∞(2x3 − 4x+ 2)4

3− |5x4 + 7|(x8 + 8)

vii) lımx→∞

√2x− 1−√x3√x+ 1

viii) lımx→∞

√3x2 + 13−√7x2 − 8

2x− 8

ix) lımx→π

2+

x2 − x− 3cosx

x) lımx→π

2−

x2 − x− 3cosx

xi) lımx→∞

√2x2 + 3x− 1− 3x

6xxii) lım

x→−∞(√4x2 + 5x− 7 + 2x− 1) .

3.3. LIMITES AL INFINITO L.F. RESENDIS O. 55


i) lımx→−4+

2x2 − 3x− 14 + x

ii) lımx→−4−

2x2 − 3x− 12x2 + 7x− 4

iii) lımx→∞

−5x11 − 13x+ 17x− 5x10 + 5 iv) lım

x→∞3x− 5x19/5 − 6

7x− 4x3(4x2 − 13)2/5

v) lımx→∞

5√x(3− 2x5)3/4 + x2

2x− 5x2(x3 − 8)3/4 vi) lımx→−∞

(7x4 − 4x+ 2)33− |2x3 + 7|(x9 + 5)

vii) lımx→∞

(√3x2 + 16−

√3x2 − 5x) viii) lım

x→−∞( 3x2 +

√6− x+

√3x− 8)

ix) lımx→ 3π

2

+

x2 + x− π

cosxx) lım

x→ 3π2

−

x2 + x− π

cos x


i) lımx→2+

2x2 − 3x− 12− x ii) lım

x→2−2x2 − 3x− 1−x2 − x+ 6

iii) lımx→∞

7x9 − 13x+ 14x− 5x7 − 8 iv) lım

x→∞3x− 5x20/7 − 6

7x− 4x2(4x3 − 13)2/7

v) lımx→∞

−2x9/4(3− x6)3/4 + x22x− 7x3(x5 − 8)3/4 vi) lım

x→−∞(2x2 − 3)√5x2 − 7x+ 1

7− 5x3 + x2

vii) lımx→∞

(√2x2 + 16−

√2x2 − 7x) viii) lım

x→−∞( 5x2 +

√4− x+

√5x− 3)

ix) lımx→π

2

x2 + x− π

tanxx) lım

x→− 3π2

−

x2 + x− π

cosx

xi) lımx→∞

√5x2 + 2x− 9− 6x√

3x+ 1xii) lım

x→−∞(√5x2 + 4x+ 4 +

√5x− 3) .



i) lımx→3+

−5x2 + 7x− 1x− 3 ii) lım

x→2−−5x2 + 7x− 1x2 − 2x− 3

iii) lımx→−∞

2x9 − 14x+ 13x+ 8x6 − 2 iv) lım

x→∞2x− 7x8/3 − 6

7x− 10x2(4x3 − 4)2/9

v) lımx→∞

−5x11/7(7− x6)3/7 + x24x− 3x2(x5 − 8)3/7 vi) lım

x→−∞(−5x2 − 3)√9x2 − 4x+ 1

7− 2x3 − 4x2

vii) lımx→∞

(√2x2 + 3x− 16−

√2x2 − 9x+ 1) viii) lım

x→−∞(√7x2 + 4− x+

√7x− 3)

ix) lımx→π

2+

2x2 + x− π

tanxx) lım

x→−2π−x2 + x− π

senx

xi) lımx→∞

√16x2 + 3x− 1− 3x√

7x− 2 xii) lımx→−∞

(√25x2 + 4x− 7 + 5x+ 2) .


i) lımx→7+

−x2 + 9x− 1x− 7 ii) lım

x→2−−x2 + 9x− 1x2 + x− 6

iii) lımx→−∞

−3x8 − 17x+ 15x− 4x6 − 2 iv) lım

x→∞8x− 5x18/7 − 6

7x− 5x2(3x2 − 4)2/7

v) lımx→∞

−5x7/5(7− x6)2/5 + x24x− 3x2(x3 − 8)3/5 vi) lım

x→−∞(−3x2 + 6)√4x2 − 4x+ 1

7− 3x3 + 5x2

vii) lımx→∞

√2x2 + 3x− 16−√4x2 − 9x+ 1

3x+ 1viii) lım

x→−∞(√25x2 + 4− x+ 5x− 3)

ix) lımx→2π+

2x2 + x− π

senxx) lım

x→−2π−x2 + x− π

senx

xi) lımx→∞

√9x2 + 7x− 1− 2x


(√8x2 + 4x− 1 +

√8x− 1) .

3.3. LIMITES AL INFINITO L.F. RESENDIS O. 57


i) lımx→4+

−3x2 − 7x− 1x− 4 ii) lım

x→3−−5x2 + 7x− 1x2 − 2x− 3

iii) lımx→−∞

−x9 − 4x+ 13x− 8x7 − 2 iv) lım

x→∞5x− 6x8/3 − 6

7x− 10x2(4x5 − 4)2/9

v) lımx→∞

−5x11/7(7− x6)3/7 + x24x− 3x2(x5 − 8)3/7 vi) lım

x→−∞(−5x2 − 3x)√16x2 − 5x+ 1

7− 20x3 − 2x2

vii) lımx→∞

(√2x2 + 7x− 16−

√2x2 − 6x+ 1) viii) lım

x→−∞(√11x2 + 4− x+

√11x− 3)

ix) lımx→π

2−

x2 + 3x− π

tanxx) lım

x→−2π−x2 + x− π

sen (x+ π)

xi) lımx→∞

√7x2 + 5x− 1− 3x−2x+ 3 xii) lım

x→−∞(√49x2 + 4x− 1 + 7x+ 3) .


i) lımx→4+

−x2 + 3x− 1x− 4 ii) lım

x→−2−−x2 + 5x− 1−x2 + x+ 6

iii) lımx→−∞

−6x8 − 7x3 + 15x− 3x6 − 2 iv) lım

x→∞3x− 15x18/7 − 6

7x− 4x2(3x2 − 4)2/7

v) lımx→∞

−6x7/5(11− 2x6)2/5 + 3x24x− 6x2(2x3 − 8)3/5 vi) lım

x→−∞(−3x2 + 6)√25x2 − 4x+ 1

7− 15x3 + 5x2

vii) lımx→∞

√2x2 + 3x− 16−√4x2 + 6x+ 1

3x+ 1viii) lım

x→−∞(√36x2 + 4− x+ 6x− 3)

ix) lımx→−2π+

2x2 + x− π

senxx) lım

x→4π−x2 + x− π

senx

xi) lımx→∞

√7x2 + 5x− 1− 6x+ 1


(√36x2 + 6x− 1 + 6x− 3) .



i) lımx→−2+

−x2 + 3x− 12x+ 4

ii) lımx→−3−

−x2 + 2x− 1−x2 + x+ 12

iii) lımx→−∞

−6x4 − 5x7 + 15x− 3x4 − 2 iv) lım

x→∞−4x− 15x20/7 − 67x− 4x2(2x3 − 4)2/7

v) lımx→∞

−6x2(11− 2x6)3/5 + 3x24x− 6x2(2x6 − 8)3/5 vi) lım

x→−∞(−3x2 + 6)√36x2 − 4x+ 1

7− 18x3 − 5x2

vii) lımx→∞

√2x2 + 3x− 16−√4x2 − 7x+ 1

4x− 1 viii) lımx→−∞

(√49x2 + 4− x+ 7x− 3)

ix) lımx→− 3π

2

+

2x2 + x− π

cosxx) lım

x→π2+

x2 + x− π

cosx

xi) lımx→∞

√7x2 + 2x− 1− 3x

5x+ 7xii) lım

x→−∞(√4x2 − 4x− 1 + 2x+ 7) .


i) lımx→−3+

−x2 + 5x− 12x+ 6

ii) lımx→−3−

−x2 + 2x− 4x2 + 8x+ 15

iii) lımx→−∞

−3x4 − 5x9 + 15x− 3x4 − 12 iv) lım

x→∞3x− 20x20/7 + 6

2x− 5x2(2x3 − 4)2/7

v) lımx→∞

5− 7x2(11− 3x6)3/5 + 3x24x− 6x2(4x6 − 8)3/5 vi) lım

x→−∞(−5x2 + 6)√81x2 − 4x+ 1

7− 27x3 − 6x2

vii) lımx→∞

√3x2 + 3x− 16−√5x2 − 7x+ 1

8x− 1 viii) lımx→−∞

(√25x2 + 4− 2x+ 5x− 3)

ix) lımx→− 3π

2

+

2x2 + 3x− π

cosxx) lım

x→π2+

x2 + 3x− π

cosx

xi) lımx→∞

√6x2 + 5x− 1− 4x

5x+ 7xii) lım

x→−∞(√64x2 + 4x− 1 + 8x− 7) .

3.4. CONTINUIDAD Y LIMITES LATERALES L.F. RESENDIS O. 59

3.4. Continuidad y lımites laterales L.F. Resendis O.

Ejercicio 3.4.1 Considere la siguiente funcion

g(x) =

⎧⎪⎨⎪⎩3− 2a sen xπ

4si x ∈ (−∞,−2]

ax2 + bx− 1 si x ∈ (−2, 2)√29− x2 si x ∈ [2, 7] .

a) Calcular los siguientes lımites:

lımx→−2−

g(x), lımx→−2+

g(x), lımx→2−

g(x), lımx→2+

g(x).

b) ¿Cuando existen lımx→−2 g(x), lımx→2 g(x)? ¿Porque?c) Determine el valor de las constantes a, b para que la funcion sea continua en −2 y 2.


g(x) =

⎧⎪⎨⎪⎩x− 2 si x ∈ (−∞,−2]ax2 − bx− 2 si x ∈ (−2, 2)10a

x+ 2cosxπ si x ∈ [2, 6] .


lımx→−2−

g(x), lımx→−2+

g(x), lımx→2−

g(x), lımx→2+

g(x).



g(x) =

⎧⎪⎨⎪⎩5− x2 si x ∈ (−∞,−3]ax2 + x+ b si x ∈ (−3, 2)a sen

π

3xsi x ∈ [2,∞) .


lımx→−3−

g(x), lımx→−3+

g(x), lımx→2−

g(x), lımx→2+

g(x).




g(x) =

⎧⎨⎩5 sen 23x+ 8b si x ∈ (−∞, 0)a√3x+ 4 + b si x ∈ [0, 4]

3x− 2b si x ∈ (4,∞).


lımx→0−

g(x), lımx→0+

g(x), lımx→4−

g(x), lımx→4+

g(x).

b) ¿Cuando existen lımx→0 g(x), lımx→4 g(x)? ¿Porque?c) Determine el valor de las constantes a, b para que la funcion sea continua en 0 y 4.


g(x) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩b− ax

tan 2xsi x ∈ (−∞, 0)

bx2 + a− 2 si x ∈ [0, 2]a · x

2 − x− 2x− 2 − 3bx si x ∈ (2,∞) .


lımx→0−

g(x), lımx→0+

g(x), lımx→1−

g(x), lımx→1+

g(x).



g(x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

5x2 + 8

x4 + 2+ a si x ∈ (−∞, 0)

a 9− 5x3+ b si x ∈ [0, 3]

3bx− 2 si x ∈ (3,∞).


lımx→0−

g(x), lımx→0+

g(x), lımx→3−

g(x), lımx→3+

g(x).




g(x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

ax2 +1− cos(x+ 1)(x+ 1)2

si x ∈ (−∞,−1)

a 9− 8(x+ 1)2

9− bx si x ∈ [−1, 2]

4x− 3b+ 1 si x ∈ (3,∞).


lımx→−1−

g(x), lımx→−1+

g(x), lımx→2−

g(x), lımx→2+

g(x).



g(x) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩3a · sen (x+ 3)

x+ 3− x si x ∈ (−∞,−3]

ax2 − 2bx+ 1 si x ∈ (−3, 2)b · 3√23 + x2 si x ∈ [2, 7] .


lımx→−3−

g(x), lımx→−3+

g(x), lımx→2−

g(x), lımx→2+

g(x).



g(x) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−x2 + ax− 2x+ 2a

x2 − 4 si x ∈ (−∞,−2]3ax+ 2bx2 + 1 si x ∈ (−2, 1)a√3 + x2 + bx− 1 si x ∈ [1, 9] .


lımx→−2−

g(x), lımx→−2+

g(x), lımx→1−

g(x), lımx→1+

g(x).




g(x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

a cosπx

1 + 3x2si x ∈ (−∞,−1]

a sen 2πx

2+ bx si x ∈ (−1, 1)

10a tan πx4

x+ 4si x ∈ [1, 8] .


lımx→−1−

g(x), lımx→−1+

g(x), lımx→1−

g(x), lımx→1+

g(x).



g(x) =

⎧⎨⎩3a− 2x si x ∈ (−∞,−2]2ax− 3bx2 − 3 si x ∈ (−2, 1)3a 3√7 + x2 − 2bx+ 3 si x ∈ [1, 6] .


lımx→−2−

g(x), lımx→−2+

g(x), lımx→1−

g(x), lımx→1+

g(x).



g(x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

− 2x

2a+ x2si x ∈ (−∞,−1]

x2 + 2

a− b+ 1 si x ∈ (−1, 1)

3x+ x2

ax+ bsi x ∈ [1, 8] .


lımx→−1−

g(x), lımx→−1+

g(x), lımx→1−

g(x), lımx→1+

g(x).




g(x) =

⎧⎨⎩ 2a√x2 + 5− bx+ 1 si x ∈ (−∞,−2]

3ax− 2bx2 − 1 si x ∈ (−2, 1)a 3√3x2 − 4− 3bx+ 2 si x ∈ [1, 6] .


lımx→−2−

g(x), lımx→−2+

g(x), lımx→1−

g(x), lımx→1+

g(x).



-7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 10

-6

-4

-2

0

2

4

6

Figura 3.1: La funcion f(x).

3.5. Interpretacion grafica L.F. Resendis O.

Ejercicio 3.5.1 Considere la siguiente grafica de la funcion f , figura 3.1De la grafica de la funcion f obtengaa) Dominio, b) Raices, c) Imagen.Tambien obtenga los siguientes lımites:i) lımx→−5− f(x), ii) lımx→−5+ f(x), iii) lımx→1− f(x), iv) lımx→1+ f(x), v) lımx→4− f(x), vi) lımx→4+ f(x),vii) lımx→7. 5− f(x) y lımx→7. 5+ f(x).Responda las siguientes preguntas usando los resultados anteriores:¿ Tiene f lımite en el punto −5? ¿ Es la funcion f continua en −5?¿ Tiene f lımite en el punto 1? ¿ Es la funcion f continua en 1?¿ Tiene f lımite en el punto 4? ¿ Es la funcion f continua en 4?¿ Tiene f lımite en el punto 7. 5? ¿ Es la funcion f continua en 7. 5?Clasifique las discontinuidades removibles y las esenciales de la funcion f .

3.5. INTERPRETACION GRAFICA L.F. RESENDIS O. 65

-10 -5 0 5 10

-7.5

-5

-2.5

0

2.5

5

7.5

10


Ejercicio 3.5.2 Considere la siguiente grafica de la funcion f , figura 3.2De la grafica de la funcion f obtengaa) Dominio, b) Raices, c) Intervalos de continuidad, d) Ecuaciones de las asıntotas, e) Imagen.Tambien obtenga los siguientes lımites:i) lımx→−2− f(x), ii) lımx→−2+ f(x), iii) lımx→2− f(x), iv) lımx→2+ f(x), v) lımx→5− f(x), vi) lımx→5+ f(x),vii) lımx→6− f(x), viii) lımx→6+ f(x), ix) lımx→−∞ f(x), x) lımx→∞ f(x)Responda las siguientes preguntas usando los resultados anteriores:¿ Tiene f lımite en el punto −2? ¿ Es la funcion f continua en −5?¿ Tiene f lımite en el punto 2? ¿ Es la funcion f continua en 2?¿ Tiene f lımite en el punto 5? ¿ Es la funcion f continua en 5?¿ Tiene f lımite en el punto 6? ¿ Es la funcion f continua en 6?Clasifique las discontinuidades removibles y las esenciales de la funcion f .


-10 -5 0 5 10

-7.5

-5

-2.5

0

2.5

5

7.5

10


Ejercicio 3.5.3 Considere la siguiente grafica de la funcion f , figura 3.4 De la grafica de la funcionf obtengaa) Dominio, b) Raices, c) Intervalos de continuidad, d) Ecuaciones de las asıntotas, e) Imagen.Tambien obtenga los siguientes lımites:i) lımx→−2− f(x), ii) lımx→−2+ f(x), iii) lımx→2− f(x), iv) lımx→2+ f(x), v) lımx→5− f(x), vi) lımx→5+ f(x),vii) lımx→6− f(x), viii) lımx→6+ f(x), ix) lımx→−∞ f(x), x) lımx→∞ f(x)Responda las siguientes preguntas usando los resultados anteriores:¿ Tiene f lımite en el punto −2? ¿ Es la funcion f continua en −5?¿ Tiene f lımite en el punto 2? ¿ Es la funcion f continua en 2?¿ Tiene f lımite en el punto 5? ¿ Es la funcion f continua en 5?¿ Tiene f lımite en el punto 6? ¿ Es la funcion f continua en 6?Clasifique las discontinuidades removibles y las esenciales de la funcion f .

3.5. INTERPRETACION GRAFICA L.F. RESENDIS O. 67

-10 -5 0 5 10

-8

-6

-4

-2

0

2

4


Ejercicio 3.5.4 Considere la siguiente grafica de la funcion f , figura ?? De la grafica de la funcionf obtengaa) Dominio, b) Raices, c) Intervalos de continuidad, d) Ecuaciones de las asıntotas, e) Imagen.Tambien obtenga los siguientes lımites:i) lımx→−5− f(x), ii) lımx→−5+ f(x), iii) lımx→0− f(x), iv) lımx→0+ f(x), v) lımx→5− f(x), vi) lımx→5+ f(x),vii) lımx→8− f(x), viii) lımx→8+ f(x), ix) lımx→−∞ f(x), x) lımx→∞ f(x)Responda las siguientes preguntas usando los resultados anteriores:¿ Tiene f lımite en el punto −5? ¿ Es la funcion f continua en −5?¿ Tiene f lımite en el punto 0? ¿ Es la funcion f continua en 0?¿ Tiene f lımite en el punto 5? ¿ Es la funcion f continua en 5?¿ Tiene f lımite en el punto 8? ¿ Es la funcion f continua en 8?Clasifique las discontinuidades removibles y las esenciales de la funcion f .


3.6. Teorema del Valor intermedio L.F. Resendis O.

Ejercicio 3.6.1 a) Pruebe que f(x) = x3 − 2x2 − x + 1 tiene al menos tres raıces en el intervalo[−1, 3]. Aproxime una de ellas hasta decimas.b)Pruebe que h(x) = 1− x2 − senx tiene al menos dos raıces en el intervalo [−2, 1].

Ejercicio 3.6.2 a) Pruebe que f(x) = x3 − 3x2 − x + 4 tiene al menos tres raıces en el intervalo[−3/2, 3]. Aproxime una de ellas hasta decimas.b)Pruebe que h(x) = 3− x2 − cosx tiene al menos dos raıces en el intervalo [−2, 2].

Ejercicio 3.6.3 a) Pruebe que f(x) = x4 − 5x2 − x+ 1 tiene al menos cuatro raıces en el intervalo[−3, 3]. Aproxime una de ellas hasta decimas.b)Pruebe que h(x) = 2x cos x− 1 tiene al menos dos raıces en el intervalo [0,π/2].

Ejercicio 3.6.4 a) Pruebe que f(x) = x3 − 5x2 − x+ 4 tiene al menos cuatro raıces en el intervalo[−1, 6]. Aproxime una de ellas hasta decimas.b)Pruebe que h(x) = 3 + tanx− 8x2 tiene al menos tres raıces en el intervalo (−π/2,π/2).

Ejercicio 3.6.5 a) Pruebe que f(x) = x4 − 5x2 − x+ 4 tiene al menos cuatro raıces en el intervalo[−2, 3]. Aproxime una de ellas hasta decimas.b)Pruebe que h(x) = 1− x2 + 2x cosx tiene al menos dos raıces en el intervalo [−1/2,π/2].

Ejercicio 3.6.6 a) Pruebe que f(x) = 2x4−10x2−x+4 tiene al menos cuatro raıces en el intervalo[−3, 3]. Aproxime una de ellas hasta decimas.b)Pruebe que h(x) = 1− 6x2 + 2 tanx tiene al menos tres raıces en el intervalo (−π/2,π/2).

Ejercicio 3.6.7 a) Pruebe que f(x) = 2x3 − 5x2 − x + 3 tiene al menos tres raıces en el intervalo[−1, 3]. Aproxime una de ellas hasta decimas.b)Pruebe que h(x) = sen (x+ 1)− cosx tiene al menos dos raıces en el intervalo [−3, 1].

Ejercicio 3.6.8 a) Pruebe que f(x) = 2x3 − 4x2 − x + 1 tiene al menos tres raıces en el intervalo[−1, 3]. Aproxime una de ellas hasta decimas.b)Pruebe que h(x) = −1 + sen (2x+ 1)− cosx tiene al menos dos raıces en el intervalo [−3, 3].

Ejercicio 3.6.9 a) Pruebe que f(x) = 2x3 − 2x2 − 3x+ 2 tiene al menos tres raıces en el intervalo[−2, 2]. Aproxime una de ellas hasta decimas.b)Pruebe que h(x) = x tan(2x+ 1)− x2 − 1 tiene al menos dos raıces en el intervalo (−π/2, 1/2].

Ejercicio 3.6.10 a) Pruebe que f(x) = x5−3x2+1 tiene al menos tres raıces en el intervalo [−1, 2].Aproxime una de ellas hasta decimas.b)Pruebe que h(x) = senx+x tan(2x+1)−x2−2 tiene al menos dos raıces en el intervalo (−π/2, 1/2].

Ejercicio 3.6.11 a) Pruebe que f(x) = x5 − 4x2 + x + 1 tiene al menos tres raıces en el intervalo[−1, 2]. Aproxime una de ellas hasta decimas.b)Pruebe que h(x) = 3x senx+ x− 1 tiene al menos tres raıces en el intervalo (0, 2π].

3.7. GRAFICACION L.F. RESENDIS O. 69

3.7. Graficacion L.F. Resendis O.

Ejemplo 3.7.1 Considere la funcion

f(x) =x2 − 2x− 12x− 3 .

Determine para la funcion f(x) a) Dominio, raıces e intervalos de continuidad. b) Asıntotas. c)Bosquejo grafico e imagen.

Solucion a) El dominio de f se obtiene al observar que es suficiente que el denominador no sea 0,ası Df = (−∞, 32)∪ (32 ,∞). Estos mismos intervalos son los intervalos de continuidad pues la funciones racional. Las raıces se obtienen al resolver f(x) = 0 o sea

f(x) =x2 − 2x− 12x− 3 = 0 o x2 − 2x− 1 = 0 ,

lo que da Rf = {1−√2, 1 +

√2}.

b) Se calculan primero las asıntotas verticales. Estas pueden existir donde el denominador de f(x)es 0. Se observa que

f(x) =x2 − 2x− 12x− 3

x= 32−→ (3

2)2 − 2(3

2)− 1

2x− 3 =−74

2x− 3 .

Por tanto si

x <3

2o sea 2x− 3 < 0

luego−74

2x− 3 > 0 y se tiene

lımx→ 3−

2

f(x) = lımx→ 3−

2

x2 − 2x− 12x− 3 = +∞

y x =3−

2es asıntota vertical hacia arriba. Ahora si

3

2< x o sea 0 < 2x− 3

luego−74

2x− 3 < 0 y se tiene

lımx→ 3+

2

f(x) = lımx→ 3+

2

x2 − 2x− 12x− 3 = −∞

y x =3+

2es asıntota vertical hacia abajo.

Otra manera de determinar el signo es dibujar la grafica de la recta y = 2x− 3 y observar el signo ala izquierda y a la derecha del punto x =

3

2.


-7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 10-15

-10

-5

0

5

10

15

Figura 3.5: Grafica de f(x) =x2 − 2x− 12x− 3 y su asıntota y = x− 1

4.

Para calcular las asıntotas oblicuas se nota que

f(x)

x=x2 − 2x− 12x2 − 3x

x→±∞−→ x2

2x2=1

2,

por tanto

lımx→±∞

f(x)

x=1

2.

Hay posibilidad de asıntota oblicua con pendiente m =1

2. Se calcula ahora

lımx→±∞

f(x)− x2= lım

x→±∞x2 − 2x− 12x− 3 − x

2= − lım

x→±∞x+ 6

2(2x+ 3)= −1

4.

Luego la asıntota oblicua es y = x− 14y lo es tanto a a la izquierda como a la derecha.

El bosquejo grafico aparece en la figura 3.5, donde se ha incluıdo la grafica de la asıntota oblicua.De la grafica se observa que la imagen es R.

3.7. GRAFICACION L.F. RESENDIS O. 71

Ejercicio 3.7.1 Considere las funciones. Determine para ellas a) Dominio, raıces e intervalos decontinuidad. b) Asıntotas. c) Bosquejo grafico e imagen.

i) f(x) =x2 − 2x− 32x− 4 ii) g(x) =

x2 − 4x+ 4x2 − 5x+ 6

iii) h(x) =x2 − 1

x2 − 5x+ 6 iv) p(x) =

√x+ 6

x2 − 5x+ 6Ejercicio 3.7.2 Considere las funciones. Determine para ellas a) Dominio, raıces e intervalos decontinuidad. b) Asıntotas. c) Bosquejo grafico e imagen.

i) f(x) =2x2 − 5x− 3

x− 4 ii) g(x) =x2 − 2x− 3x2 − 3x− 4

iii) h(x) =2x2 − 18x2 − 3x− 4 iv) p(x) =

√6− x

x2 − 3x− 4Ejercicio 3.7.3 Considere las funciones. Determine para ellas a) Dominio, raıces e intervalos decontinuidad. b) Asıntotas. c) Bosquejo grafico e imagen.

i) f(x) =x2 + 2x− 33x− 6 ii) g(x) =

x2 + 2x− 32x2 − 3x+ 1

iii) h(x) =4− x2

2x2 − 3x+ 1 iv) p(x) =

√5− x

2x2 − 3x+ 1Ejercicio 3.7.4 Considere las funciones. Determine para ellas a) Dominio, raıces e intervalos decontinuidad. b) Asıntotas. c) Bosquejo grafico e imagen.

i) f(x) =2x2 + 7x+ 6

x− 3 ii) g(x) =2x2 + 7x+ 6

2x2 − 7x− 15

iii) h(x) =x2 + 6x+ 9

2x2 − 7x− 15 iv) p(x) =x√7− x

2x2 − 7x− 15Ejercicio 3.7.5 Considere las funciones. Determine para ellas a) Dominio, raıces e intervalos decontinuidad. b) Asıntotas. c) Bosquejo grafico e imagen.

i) f(x) =3x2 + x− 22x+ 4

ii) g(x) =3x2 + x− 23x2 − 11x+ 6

iii) h(x) =x2 − x− 23x2 − 11x+ 6 iv) p(x) =

√2x− 3


i) f(x) =3x2 + 5x− 24x+ 10

ii) g(x) =3x2 − 7x+ 24x2 + 2x− 20

iii) h(x) =x2 − 8

4x2 + 2x− 20 iv) p(x) =

√x+ 4

4x2 + 2x− 20


Ejercicio 3.7.7 Considere las funciones. Determine para ellas a) Dominio, raıces e intervalos decontinuidad. b) Asıntotas. c) Bosquejo grafico e imagen.

i) f(x) =2x2 − x− 33x− 5 ii) g(x) =

3x2 − 5x+ 23x2 + 7x− 6

iii) h(x) =x2 − 6

3x2 + 7x− 6 iv) p(x) =

√4− x

3x2 + 7x− 6Ejercicio 3.7.8 Considere las funciones. Determine para ellas a) Dominio, raıces e intervalos decontinuidad. b) Asıntotas. c) Bosquejo grafico e imagen.

i) f(x) =8x2 − 10x+ 3

3x− 5 ii) g(x) =8x2 − 10x+ 34x2 + 9x− 9

iii) h(x) =x2 − 9

4x2 + 9x− 9 iv) p(x) =

√x+ 5


i) f(x) =2x2 + 2x− 12

3x− 8 ii) g(x) =2x2 + 2x− 122x2 − 12x+ 16

iii) h(x) =x2 − 9

2x2 − 12x+ 16 iv) p(x) =

√6− x


i) f(x) =3x2 − 14x+ 8

2x− 1 ii) g(x) =3x2 − 14x+ 83x2 + 7x− 6

iii) h(x) =x2 − 4

3x2 + 7x− 6 iv) p(x) =

√5 + x


i) f(x) =6x2 − 13x+ 6

2x− 1 ii) g(x) =6x2 − 13x+ 63x2 − 14x+ 8

iii) h(x) =x2 − 1

3x2 − 14x+ 8 iv) p(x) =

√6 + x

3x2 − 14x+ 8

Capıtulo 4

La derivada L.F. Resendis O.

4.1. Tangentes y velocidades L.F. Resendis O.

Ejercicio 4.1.1 a) Sea f(x) = x2 − x+ 1.i) Calcular la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f(x) en el punto (−2, f(−2)) usando ladefinicion de derivada.ii) Usando la ecuacion de la recta tangente aproximar el valor de f(−1. 999).b) Sea s(t) =

√t2 + 1 la posicion de una partıcula t, donde t se mide en segundos y s(t) en metros.

i) Calcule la velocidad en el tiempo t = 1 usando la definicion de derivada.ii) Aproximar el valor de la velocidad en t = 1. 01 usando la ecuacion de la recta tangente en (1, s(1)).

Ejercicio 4.1.2 a) Sea f(x) = x2 − 3x+ 2.i) Calcular la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f(x) en el punto (−1, f(−1)) usando ladefinicion de derivada.ii) Usando la ecuacion de la recta tangente aproximar el valor de f(−. 999).b) Sea s(t) =

√t2 + t la posicion de una partıcula t, donde t se mide en segundos y s(t) en metros.

i) Calcule la velocidad en el tiempo t = 1 usando la definicion de derivada.ii) Aproximar el valor de la velocidad en t = . 99 usando la ecuacion de la recta tangente en (1, s(1)).

Ejercicio 4.1.3 a) Sea f(x) = 3x2 − x− 2.i) Calcular la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f(x) en el punto (1, f(1)) usando ladefinicion de derivada.ii) Usando la ecuacion de la recta tangente aproximar el valor de f(. 999).b) Sea s(t) = 2 +

√t la posicion de una partıcula t, donde t se mide en segundos y s(t) en metros.

i) Calcule la velocidad en el tiempo t = 4 usando la definicion de derivada.ii) Aproximar el valor de la velocidad en t = 3. 99 usando la ecuacion de la recta tangente en (4, s(4)).

73

74 CAPITULO 4. LA DERIVADA L.F. RESENDIS O.

Ejercicio 4.1.4 a) Sea f(x) =3

x.

i) Calcular la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f(x) en el punto (2, f(2)) usando ladefinicion de derivada.ii) Usando la ecuacion de la recta tangente aproximar el valor de f(1. 999).b) Sea s(t) = t2−3t+1 la posicion de una partıcula t, donde t se mide en segundos y s(t) en metros.i) Calcule la velocidad en el tiempo t = 2 usando la definicion de derivada.ii) Aproximar el valor de la velocidad en t = 2. 01 usando la ecuacion de la recta tangente en (2, s(2)).


x− 1 .i) Calcular la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f(x) en el punto (2, f(2)) usando ladefinicion de derivada.ii) Usando la ecuacion de la recta tangente aproximar el valor de f(1. 999).b) Sea s(t) = −t2 − 3t + 2 la posicion de una partıcula t, donde t se mide en segundos y s(t) enmetros.i) Calcule la velocidad en el tiempo t = 2 usando la definicion de derivada.ii) Aproximar el valor de la velocidad en t = 2. 01 usando la ecuacion de la recta tangente en (2, s(2)).

Ejercicio 4.1.6 a) Sea f(x) =√x2 + 5.

i) Calcular la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f(x) en el punto (2, f(2)) usando ladefinicion de derivada.ii) Usando la ecuacion de la recta tangente aproximar el valor de f(2. 001).b) Sea s(t) = −t2 + 5t + 2 la posicion de una partıcula t, donde t se mide en segundos y s(t) enmetros.i) Calcule la velocidad en el tiempo t = 2 usando la definicion de derivada.ii) Aproximar el valor de la velocidad en t = 1. 99 usando la ecuacion de la recta tangente en (2, s(2)).


3x.

i) Calcular la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f(x) en el punto (2, f(2)) usando ladefinicion de derivada.ii) Usando la ecuacion de la recta tangente aproximar el valor de f(2. 001).b) Sea s(t) = 2+3t− t2 la posicion de una partıcula t, donde t se mide en segundos y s(t) en metros.i) Calcule la velocidad en el tiempo t = 3 usando la definicion de derivada.ii) Aproximar el valor de la velocidad en t = 2. 99 usando la ecuacion de la recta tangente en (3, s(3)).


x+ x.

i) Calcular la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f(x) en el punto (1, f(1)) usando ladefinicion de derivada.ii) Usando la ecuacion de la recta tangente aproximar el valor de f(1. 001).b) Sea s(t) = 2+ t+ t2 la posicion de una partıcula t, donde t se mide en segundos y s(t) en metros.i) Calcule la velocidad en el tiempo t = 3 usando la definicion de derivada.ii) Aproximar el valor de la velocidad en t = 2. 99 usando la ecuacion de la recta tangente en (3, s(3)).

4.1. TANGENTES Y VELOCIDADES L.F. RESENDIS O. 75

Ejercicio 4.1.9 a) Sea f(x) = 3 +√x2 + 3.

i) Calcular la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f(x) en el punto (1, f(1)) usando ladefinicion de derivada.ii) Usando la ecuacion de la recta tangente aproximar el valor de f(1. 001).b) Sea s(t) = 2+ t− t2 la posicion de una partıcula t, donde t se mide en segundos y s(t) en metros.i) Calcule la velocidad en el tiempo t = 2 usando la definicion de derivada.ii) Aproximar el valor de la velocidad en t = 1. 99 usando la ecuacion de la recta tangente en (2, s(2)).

Ejercicio 4.1.10 a) Sea f(x) = 5−√2x2 + 1.i) Calcular la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f(x) en el punto (2, f(2)) usando ladefinicion de derivada.ii) Usando la ecuacion de la recta tangente aproximar el valor de f(1. 999).b) Sea s(t) = 2− t+3t2 la posicion de una partıcula t, donde t se mide en segundos y s(t) en metros.i) Calcule la velocidad en el tiempo t = 3 usando la definicion de derivada.ii) Aproximar el valor de la velocidad en t = 2. 99 usando la ecuacion de la recta tangente en (3, s(3)).


x+ 3.

i) Calcular la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f(x) en el punto (1, f(1)) usando ladefinicion de derivada.ii) Usando la ecuacion de la recta tangente aproximar el valor de f(1. 001).b) Sea s(t) = t2−2t+5 la posicion de una partıcula t, donde t se mide en segundos y s(t) en metros.i) Calcule la velocidad en el tiempo t = 3 usando la definicion de derivada.ii) Aproximar el valor de la velocidad en t = 2. 99 usando la ecuacion de la recta tangente en (3, s(3)).


x− 2x.

i) Calcular la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f(x) en el punto (1, f(1)) usando ladefinicion de derivada.ii) Usando la ecuacion de la recta tangente aproximar el valor de f(1. 001).b) Sea s(t) = 3t2− t+1 la posicion de una partıcula t, donde t se mide en segundos y s(t) en metros.i) Calcule la velocidad en el tiempo t = 2 usando la definicion de derivada.ii) Aproximar el valor de la velocidad en t = 1. 99 usando la ecuacion de la recta tangente en (2, s(2)).


4.2. Reglas de Derivacion L.F. Resendis O.

Ejercicio 4.2.1 Derivar las siguientes funciones

i) f(x) = x3/5 − 7x3 + 2x− 3 ii) g(t) = 2t7/3 + 5t4 − 2t2 + 1

iii) p(x) = (3x−4 − 2x+ 1)(x2/3 − 4x2 + 2) iv) h(z) =z1/4 + z

z5 + 3z + 1

v) r(y) = (5y3 − 2y5 + 3y − 5)4 vi) s(t) =2t+ 3

t2 − 17/3

vii) z(x) = 3 senx− 53tanx viii) u(t) =

t+ sen t

cos t

ix) m(x) = 3 sen 5/32x−√tan 5x x) n(t) =

2t+ tan t

cos 3t

2/3


i) f(x) = 2x6/7 − 5x4 − 2x− 1 ii) g(t) = 3t5/4 + 5t3 − 3t2 + 1

iii) p(x) = (5x−3 + 2x+ 1)(x4/3 − 4x3 + 2) iv) h(z) =z3/5 + z

z6 − 3z + 1

v) r(y) = (5y4 − 2y3 − 4y − 5)5 vi) s(t) =5t− 3t3 − 1

9/4

vii) z(x) = x2 +2

3cosx− 4 tanx viii) u(t) =

2t+ cos t

tan t

ix) m(x) = 4 cos5/4 2x−√tan 2x x) n(t) =

2t+ sen t

cos 3t

2/3


i) f(x) = −3x9/4 − 2x4 − 5x− 1 ii) g(t) = −4t7/4 − 5t4

iii) p(x) = (5x3 − 2x2 + 1)(2x5/3 − 4x3 + 2) iv) h(z) =z4/7 + 3z

z5 − 5z + 1

v) r(y) = (3y7 − 2y−4 − 4y − 5)6/5 vi) s(t) =t2 + 3

t3 − t9/4

vii) z(x) = x3 +4

3senx− 5 cosx viii) u(t) =

sen t

t+ tan t

ix) m(x) = 5 cos7/5 2x− 3√tan 3x x) n(t) =

t2 + cos t

tan 3t

2/3

4.2. REGLAS DE DERIVACION L.F. RESENDIS O. 77


i) f(x) = −5x7/5 − 8x3 − 6x− 1 ii) g(t) = −2t3/4 − 7t4

iii) p(x) = (5x4 − 2x2 + x)(3x7/3 − 2x3) iv) h(z) =z3/7 − 2zz4 − 2z + 1

v) r(y) = (3y−4 − 2y3 − 7y − 5)9/5 vi) s(t) =t2 − 3t4 − 2t

7/3

vii) z(x) = x3 +2

3tanx− 4 cosx viii) u(t) =

cos t

t+ sen t

ix) m(x) = 3 cos5/3 2x− 3√sen 3x x) n(t) =

t2 + tan t

cos 3t

2/3


i) f(x) = 6x9/5 − 4x3 − 6x− 1 ii) g(t) = −3t4/5 − 7t3

iii) p(x) = (4x−5 − 2x3 + 2x)(3x9/4 − 2x4) iv) h(z) =z5/7 − 3zz3 − 3z + 1

v) r(y) = (5y6 − 2y4 − 7y − 5)11/3 vi) s(t) =2t2 − 3t+ 1t3 − 2t

8/3

vii) z(x) = x4 +5

3tanx− 7 senx viii) u(t) =

cos t

t+ tan t

ix) m(x) = 4 cos5/4 3x− 3√x+ tan 3x x) n(t) =

t+ tan t

sen 3t

2/3


i) f(x) = 7x8/7 − 4x5 + 7x− 1 ii) g(t) = 4t8/5 − 7t4

iii) p(x) = (3x6 − 2x4 + 3x)(−2x9/7 − 2x5) iv) h(z) =z9/7 − 5zz4 − 2z + 1

v) r(y) = (4y−7 − 2y5 − 9y − 5)11/5 vi) s(t) =3t3 − 2tt4 − 2

7/8

vii) z(x) = 2x3 +7

3cosx− 7 senx viii) u(t) =

tan t

t2 + sen t

ix) m(x) = 4 tan5/4 3x− 3√senx+ tan 3x x) n(t) =

t+ cos t

t+ sen t

4/3



i) f(x) = 3x8/5 − 4x3 − 7x− 1 ii) g(t) = 4t7/6 − 7t5

iii) p(x) = (−2x5 − 2x7 + 3x)(−2x3/7 − 2x5) iv) h(z) =z3/4 + 5z

z3 − 2z + 1

v) r(y) = (4y−2 − 2y3 − 9y2 − 5)7/5 vi) s(t) =5t2 − 2tt3 − 2

9/8

vii) z(x) = 2 tanx senx viii) u(t) =t sen t

t+ cos t

ix) m(x) = 4 tan5/3 4x− 3√sen 2x+ cos x x) n(t) =

t− sen tt+ tan t

5/3


i) f(x) = −2x8/3 − 4x4 − 7x2 − 1 ii) g(t) = −2t9/4 − 7t3

iii) p(x) = (−2x7 − 2x5 + 3x)(−2x4/7 − 3x4) iv) h(z) =z5/4 − 3zz3 − 2z2 + 1

v) r(y) = (5y−3 − 2y4 − 9y − 5)7/3 vi) s(t) =4t2 − 5tt3 − 2t

5/3

vii) z(x) = 7 cos x− 5 senx viii) u(t) =t tan t

t+ sen t

ix) m(x) = 6 tan5/3 3x− 4√senx+ cosx x) n(t) =

t− tan tt+ tan t

5/3


i) f(x) = −3x7/3 − 4x3 − 2x− 1 ii) g(t) = −5t7/3 − 8t3

iii) p(x) = (5x6 − 2x3 + 3x)(−2x2/7 − 3x3) iv) h(z) =z2/3 − 3zz4 − 2z2 + 3

v) r(y) = (6y−2 − 2y5 − 9y2 − 5)5/4 vi) s(t) =4t3 − 5tt2 − 2t

2/3

vii) z(x) = 7 senx cosx− 5 tanx viii) u(t) =t cos t

t+ sen t

ix) m(x) = 6 cos5/3 3x− 4√tanx+ cosx x) n(t) =

t− sen tt+ sen t

5/3

4.2. REGLAS DE DERIVACION L.F. RESENDIS O. 79


i) f(x) = −7x8/3 − 5x4 − 2x2 − 1 ii) g(t) = −5t7/5 − 8t2

iii) p(x) = (−2x6 + 2x4 + 3)(−2x3/7 − 4x2) iv) h(z) =z1/3 − 5zz3 − z2 + 5

v) r(y) = (5y−3 − 2y3 − 2y2 − 5)7/6 vi) s(t) =−2t3 − 5t2t2 − 2

5/3

vii) z(x) = 2 cos x senx− 3 tanx viii) u(t) =t+ cos t

t sen t

ix) m(x) = 9 cos7/3 6x− 4√tanx+ senx x) n(t) =

t− cos tt+ cos t

5/3


i) f(x) = −5x7/4 − 5x3 − 2x− 1 ii) g(t) = −10t3/5 − 9t2

iii) p(x) = (−2x5 + 2x3 + 3x)(−14x4/7 − x2) iv) h(z) =z2/3 − 5zz2 − z + 5

v) r(y) = (−2y−3 − 2y2 − 2y − 5)9/5 vi) s(t) =3t3 − 2t2t3 − 2

7/3

vii) z(x) = 2 tanx senx− 3 cosx viii) u(t) =t+ tan t

t sen t

ix) m(x) = 2 cos√x2 + 1− 3

√cos 2x+ senx x) n(t) =

t+ tan t

t− cos t5/3


4.3. Regla de la cadena y derivacion implıcita L.F. Resendis O.

Ejercicio 4.3.1 i) Despeje a y como funcion de x y a x como funcion de y en la expresion

5x− 4y + 3 = x2 − 3y + 2

y dar los dominios correspondientes. Calculardy

dxydx

dy.

ii) Considere el lugar geometrico definido por

x3 + 2y2 − senxy = x2y + 1 .

Calculardy

dx.

iii) Considere el lugar geometrico definido por

x

y+ x2y3 = 5 + x− 2y

Obtener las ecuaciones de las rectas normal y tangente en el punto (2, 1).


y3 − 4 = 3x2 + 5

y dar sus dominios correspondientes. Calculardy

dxydx

dy.


x4 + 2xy3 = x cos y + 1 .

Calculardy

dx.


y + 1

x− 3x2y = x3 + 5y .


Ejercicio 4.3.3 i) Despeje a y como funcion de x y a x como funcion de y en la expresion√x+ 3√y = 1


dxydx

dy.


x4 + 2y3 =sen y

x+ 2 .

Calculardy

dx.

iii) Considere el lugar geometrico definido por√xy + 2y = x .


4.3. REGLA DE LA CADENA Y DERIVACION IMPLICITA L.F. RESENDIS O. 81


4x2 − 9y2 = 36


dxydx

dy.


1

tanx+ 2y3 = y + 5− 4 .

Calculardy

dx.


y + 1 + xy = 5x+ y2 .



|x|− |y| = 3


dxydx

dy.


1

x+ y+ y3 = − senxy − 4 .

Calculardy

dx.


(y2 − 2)2 = xy + 2 .Obtener las ecuaciones de las rectas normal y tangente en el punto (1, 2).


y + |x|y2 = 1


dxydx

dy.


tan y

x+ y3 =

x

y+ 2 .

Calculardy

dx.


(1 + xy)3 = 8x .




y + 2xy2 = 1


dxydx

dy.


x

y− cos y3 = x+ 1

y+ 2 .

Calculardy

dx.


(1 + xy)3 = 6x+ y + 1 .



(1 + x)y + y2 = 1


dxydx

dy.


x+ 2

y− y3 = senx

y + 1+ 2 .

Calculardy

dx.


(1 +x

y)3 = 6x+ y + 1 .



y

x+ y2 = 1


dxydx

dy.


2x− 1y

+ y3 =tan y

x+ 1+ 5 .

Calculardy

dx.


xy + 8 = x+ y + 1 .


4.3. REGLA DE LA CADENA Y DERIVACION IMPLICITA L.F. RESENDIS O. 83


(2− x)y + y2 = 1


dxydx

dy.


x

y − 2 − y3 =

2x+ 3

y+ y cosx .

Calculardy

dx.


(1 +y

x)3 = 6x+ y + 1 .



4.4. Monotonıa de funciones L.F. Resendis O.

Ejercicio 4.4.1 Determine el dominio de cada funcion, calcule su derivada y determine sus inter-valos de monotonıa, puntos crıticos y su clasificacion.

a) f(x) = x3 − 2x2 − 5x+ 1 b) g(x) = x4 − 3x3 + 1c) l(x) =

x2 − x− 3x2 − 1 d) t(x) = (x+ 3)

√x2 − 1

e) p(x) = − cos(2x+ π3) f) q(x) = senx cos(x+ π

5)

g) t(x) = x− cos(2x+ π3), en [0,π].


a) f(x) = 2x3 − 3x2 + x+ 1 b) g(x) = 2x4 − 3x2

c) l(x) =−x2 + 2x+ 4

x2 − 1 d) t(x) = (2x− 1)√1− x2e) p(x) = −2 cos(x

2+ π

3) f) q(x) = cosx cos(x+ π

5)

g) t(x) =x

2− cosx, en [0, 2π].


a) f(x) = −x3 + 4x2 − x+ 2 b) g(x) = x5 − 4x2

c) l(x) =x2 − 3x+ 54− x2 d) t(x) = (x+ 1)

√9− x2

e) p(x) = −3 sen (2x+ π3) f) q(x) = senx cos(x+ π

4)

g) t(x) =

√3x

2− cosx, en [0, 2π].


a) f(x) = x3 − 3x2 + 2x+ 6 b) g(x) = −2x4 + 7x2

c) l(x) =−x2 − 3x+ 9

3− x2 d) t(x) = (x+ 5)√x2 + 1

e) p(x) =3

2sen (x+

π

3) f) q(x) = cosx sen (x− π

5)

g) t(x) =x

2− senx, en [0, 2π].


a) f(x) = −x3 + 5x2 − 7x+ 2 b) g(x) = −x5 + 3x3 + 1c) l(x) =

x2 − 4x+ 5x2 − 3 d) t(x) = (x2 − 5)√x2 + 1

e) p(x) = −3 sen (x+ π4) f) q(x) = senx sen (x+ π

5)

g) t(x) =x√2− senx, en [0, 2π].

4.4. MONOTONIA DE FUNCIONES L.F. RESENDIS O. 85


a) f(x) = 2x3 − 5x2 − x+ 2 b) g(x) = x6 − 4x4 + 1c) l(x) =

x2 − 3x+ 12x+ 1

d) t(x) = (x2 − 3)√9− x2e) p(x) = −2 cos(2x− π

4) f) q(x) = cosx sen (x− π

3)

g) t(x) = x− sen 2x, en [0,π].Ejercicio 4.4.7 Determine el dominio de cada funcion, calcule su derivada y determine sus inter-valos de monotonıa, puntos crıticos y su clasificacion.

a) f(x) = 4x3 + 15x2 − 72x+ 6 b) g(x) = x6 − 2x4 + 1c) l(x) =

x2 − 3x+ 1x− 3 d) t(x) = (x2 − 3)√1− x2

e) p(x) = −2 cos(x+ π3) f) q(x) = sen (x+ π

2) sen (x+ π

3)

g) t(x) = −x+ sen 2x, en [0, π].


a) f(x) = 4x3 − 33x2 + 90x− 2 b) g(x) = 2x5 − 4x2 − 5c) l(x) =

x2 + 3x+ 1

1− x d) t(x) = (1− x2)√x+ 3e) p(x) = 3 sen (3x+ π

2) f) q(x) = cos(x− π

2) sen (x− π

3)

g) t(x) = x−√2 senx, en [0, 2π].Ejercicio 4.4.9 Determine el dominio de cada funcion, calcule su derivada y determine sus inter-valos de monotonıa, puntos crıticos y su clasificacion.

a) f(x) = x3 + 4x2 − 3x+ 7 b) g(x) = 2x6 − 3x4 − 5c) l(x) =

x2 + 3x+ 1

1− x d) t(x) = (1− x2)√x+ 2e) p(x) = 3 sen (x+ π

4) f) q(x) = cos(x+ π

3) sen (x+ π

2)

g) t(x) =√3x− cos 2x, en [0,π].


a) f(x) = 5x3 + 12x2 − 12x− 2 b) g(x) = x8 − 4x6 + 3c) l(x) =

−x2 + x+ 1x+ 5

d) t(x) = (1− x2)√x+ 5e) p(x) = 1

2cos(2x+ π

3) f) q(x) = sen (x− π

2) cos(x− π

3)

g) t(x) = x−√2 cosx, en [0, 2π].Ejercicio 4.4.11 Determine el dominio de cada funcion, calcule su derivada y determine sus inter-valos de monotonıa, puntos crıticos y su clasificacion.

a) f(x) = 5x3 − 27x2 + 27x+ 3 b) g(x) = x8 − x6 + 5c) l(x) =

−x2 + x+ 1x+ 3

d) t(x) = (x− 3)√x2 − 1e) p(x) = 2 sen (x+ π

6) f) q(x) = cos(x+ π

4) cos(x+ π

2)

g) t(x) = x−√3 cos x, en [0, 2π].


4.5. Concavidad y convexidad de funciones L.F. Resendis O.

Ejercicio 4.5.1 Obtenga el dominio de las siguientes funciones. Tambien calcule su segunda deriva-da y determine sus intervalos de concavidad hacia abajo y concavidad hacia arriba y puntos deinflexion.

a) f(x) = x4 − 2x3 − x2 + 2 b) g(x) = 2x5 − 5x3 − x+ 2c) l(x) =

x2 − 1x+ 2

d) t(x) =x2 − 1x2 + 1

e) h(x) =x2

4− senx f) m(x) = 3x− 2 cos(2x− π

3)

en [0, 2π] en [0,π]

Ejercicio 4.5.2 Obtenga el dominio de las siguientes funciones. Tambien calcule su segunda deriva-da y determine sus intervalos de concavidad hacia abajo, concavidad hacia arriba y puntos de in-flexion.

a) f(x) = −x4 + x3 − 2x2 + 1 b) g(x) = −x5 − x3 + 1c) l(x) =

x2 − 1x2 + 1

d) t(x) = (x− 2)√x+ 1

e) h(x) =x2

4− cosx f) m(x) = x+ 2 sen (2x− π

3)

en [0, 2π] en [0,π]


a) f(x) = x4 − x3 − 2x2 − x+ 1 b) g(x) = x7 − x5 − 8x+ 9c) l(x) =

x2 − 4x2 + 3

d) t(x) = x√x2 + 1

e) h(x) =x2√3

4− senx f) m(x) = 3x− 2 sen (2x− π

4)

en [0, 2π] en [0,π]


a) f(x) = 2x4 − 3x3 + x+ 1 b) g(x) = x6 − 5x4 + x+ 1c) l(x) =

x2 − 1x2 + 4

d) t(x) = x√x2 − 4

e) h(x) =x2

4+ cosx f) m(x) = 3x− 2 cos(x− π

6)

en [0, 2π] en [0, 2π]

4.5. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE FUNCIONES L.F. RESENDIS O. 87


a) f(x) = x4 − x3 − x2 + 1 b) g(x) = x6 − x3 + x+ 1c) l(x) =

x2 − 4x2 + 2

d) t(x) = x√x2 − 1

e) h(x) =x2

4+ senx f) m(x) = x− 3 cos(x+ π

6)

en [0, 2π] en [0, 2π]


a) f(x) = x4 − x3 − 5x2 + 3 b) g(x) = x7 − 2x4 + 3c) l(x) =

x2 − 1x2 + 2

d) t(x) =

√x2 − 1x

e) h(x) =x2√3

4− cosx f) m(x) = −2x+ 3 cos(2x− π

4)

en [0, 2π] en [0,π]


a) f(x) = 3x4 − 28x3 + 48x2 − 7x+ 3 b) g(x) = 3x6 − 4x3 + 3x− 5c) l(x) =

x2 − 1x2 + 3

d) t(x) =

√x+ 1

2x− 5e) h(x) =

x2√2

4− cosx f) m(x) = −2x+ 3 sen (2x− π

3)

en [0, 2π] en [0,π]


a) f(x) = x4 − 7x3 − 45x2 + 8x− 3 b) g(x) = x7 − 4x3 + 8x− 5c) l(x) =

x3

x2 + 1d) t(x) =

√1− xx+ 5

e) h(x) =x2√2

4− senx f) m(x) = −2x+ 3 cos(2x− π

3)

en [0, 2π] en [0,π]


a) f(x) = 2x4 + 11x3 − 9x2 + 5x− 3 b) g(x) = x9 − 3x5 + 8x− 5c) l(x) =

x2 + 2

x2 + 1d) t(x) =

√1 + x

x− 1e) h(x) =

x2√2

4+ senx f) m(x) = −2x− 3 cos(2x− π

4)

en [0, 2π] en [0,π]



a) f(x) = 3x4 − 14x3 − 36x2 + 7x− 3 b) g(x) = x8 − 3x6 − 9x− 5c) l(x) =

x2 + 2

x2 + 1d) t(x) = (x2 + 4)

√1 + x

e) h(x) =x2√2

4+ cosx f) m(x) = 5x+ 2 sen (2x− π

4)

en [0, 2π] en [0, π]


a) f(x) = 2x4 − 5x3 − 18x2 + 4x− 3 b) g(x) = 2x7 − 3x4 − 9x− 5c) l(x) =

x2 + 4

x2 + 1d) t(x) = (x2 + 3)

√2 + x

e) h(x) = x2 + cos 2x f) m(x) = senx+ cosxen [0,π] en [0, 2π]


a) f(x) = 2x4 + 3x3 − 3x2 b) g(x) = x7 + 3x4 − 3x+ 1c) l(x) =

x2 − x2x+ 1

d) t(x) = (x2 − 4)√x+ 9e) h(x) = x2 − cos 2x f) m(x) = senx− cosxen [0, π] en [0, 2π]

4.6. RAZON DE CAMBIO RELACIONADA L.F. RESENDIS O. 89

4.6. Razon de cambio relacionada L.F. Resendis O.

Ejercicio 4.6.1 i) Si una bola de nieve se funde de manera que su area superficial disminuye a razonde 2. 5 cm2/min. Determine:a) La razon a que disminuye el radio cuando el diametro mide 20 cm.b) La razon a que disminuye el volumen cuando el diametro mide 20 cm.ii) Un hombre empieza a caminar hacia el norte a razon de 1. 5 m/seg desde un punto P . Cincominutos mas tarde, una mujer empieza a caminar hacia el sur a 2. m/seg desde un punto a 100 mal este de P . Determine la rapidez con que cambia la distancia entre el hombre y la mujer 15 mindespues que la mujer comenzo a caminar.iii) Se descarga grava desde un transportador de banda, a razon de 35 ft3/min y su grosura es talque se forma un cono con base igual al doble de la altura. Determine la rapidez con la que aumentala altura cuando tiene 10 ft de alto.iv) Una farola de la calle esta suspendida de un poste de 5 m de alto. Un hombre cuya altura es de1. 70 m se aleja del poste a 2 m/seg a lo largo de una trayectoria recta.a) Determine la rapidez con la que se mueve su sombra cuando el hombre esta a 17 m del poste.b) Determine la rapidez con la que varia el angulo de elevacion del extremo mas alejado de la sobraal farol cuando el hombre esta a 17 m del poste.v) Una escalera de 20 m de longitud se apoya contra una barda vertical. La base de la escalera resbalaa . 4 m/seg.a) Determinar la rapidez con que la escalera resbala por la pared, cuando la distancia a la pared esde 7 m.b) Determine la variacion del angulo interior que hace la escalera con la pared, cuando la distanciaa la pared es de 7 m.c) Determine la variacion del area del triangulo formado por la escalera, la pared y el piso, cuandola distancia a la pared es de 7 m.vi) Una camara de filmacion esta situada a 1200 m de la base de despegue de un cohete. Calcular larazon de cambio del angulo de elevacion de la camara, 8 s despues del despegue del cohete, si esteparte con una velocidad de 18 m/s,


Ejercicio 4.6.2 i) Un globo aerostatico esferico pierde aire a razon de . 5 m3/min. Determine:a) La razon a que disminuye el radio cuando el diametro mide 10 m.b) La razon a que disminuye el area superficial cuando el diametro mide 10 m.ii) Un hombre empieza a caminar hacia el norte a razon de 1. 5 m/seg desde un punto P . Tresminutos mas tarde, una mujer empieza a caminar hacia el sur a 1. 2 m/seg desde un punto a 50 mal este de P . Determine la rapidez con que cambia la distancia entre el hombre y la mujer 10 mindespues que la mujer comenzo a caminar.iii) Se descarga grano desde un transportador de banda, a razon de 20 ft3/min y su grosura es talque se forma un cono con base igual al doble de la altura. Determine la rapidez con la que aumentala altura cuando tiene 10 ft de alto.iv) Una farola de la calle esta suspendida de un poste de 4 m de alto. Un hombre cuya altura es de1. 60 m se aleja del poste a 1. 5 m/seg a lo largo de una trayectoria recta.a) Determine la rapidez con la que se mueve su sombra cuando el hombre esta a 15 m del poste.b) Determine la rapidez con la que varia el angulo de elevacion del extremo mas alejado de la sobraal farol cuando el hombre esta a 15 m del poste.v) Una escalera de 25 m de longitud se apoya contra una barda vertical. La base de la escalera resbalaa . 5 m/seg.a) Determinar la rapidez con que la escalera resbala por la pared, cuando la distancia a la pared esde 8 m.b) Determine la variacion del angulo interior que hace la escalera con la pared, cuando la distanciaa la pared es de 8 m.c) Determine la variacion del area del triangulo formado por la escalera, la pared y el piso, cuandola distancia a la pared es de 8 m.vi) Una camara de filmacion esta situada a 1100 m de la base de despegue de un cohete. Calcular larazon de cambio del angulo de elevacion de la camara, 9 s despues del despegue del cohete, si esteparte con una velocidad de 19 m/s.


Ejercicio 4.6.3 i) Si una bola de nieve se funde de manera que su area superficial disminuye a razonde 3. 5 cm2/min. Determine:a) La razon a que disminuye el radio cuando el diametro mide 25 cm.b) La razon a que disminuye el volumen cuando el diametro mide 25 cm.ii) Un hombre empieza a correr hacia el sur a razon de 4 m/seg desde un punto P . Dos minutos mastarde, una mujer empieza a caminar hacia el Norte a 1. 4 m/seg desde un punto a 100 m al oestede P . Determine la rapidez con que cambia la distancia entre el hombre y la mujer 10 min despuesque la mujer comenzo a caminar.iii) Se descarga grava desde un transportador de banda, a razon de 25 ft3/min y su grosura es talque se forma un cono con base igual al triple de la altura. Determine la rapidez con la que aumentala altura cuando tiene 8 ft de alto.iv) Una farola de la calle esta suspendida de un poste de 6 m de alto. Un hombre cuya altura es de1. 80 m se aleja del poste a 1,8 m/seg a lo largo de una trayectoria recta.a) Determine la rapidez con la que se mueve su sombra cuando el hombre esta a 20 m del poste.b) Determine la rapidez con la que varia el angulo de elevacion del extremo mas alejado de la sobraal farol cuando el hombre esta a 20 m del poste.v) Una escalera de 15 m de longitud se apoya contra una barda vertical. La base de la escalera resbalaa . 2 m/seg.a) Determinar la rapidez con que la escalera resbala por la pared, cuando la distancia a la pared esde 10 m.b) Determine la variacion del angulo interior que hace la escalera con la pared, cuando la distanciaa la pared es de 10 m.c) Determine la variacion del area del triangulo formado por la escalera, la pared y el piso, cuandola distancia a la pared es de 10 m.vi) Una camara de filmacion esta situada a 1300 m de la base de despegue de un cohete. Calcular larazon de cambio del angulo de elevacion de la camara, 7 s despues del despegue del cohete, si esteparte con una velocidad de 20 m/s.


Ejercicio 4.6.4 i) Un globo aerostatico esferico se infla a razon de . 2 m3/seg. Determine:a) La razon a que amenta el radio cuando el diametro mide 6 m.b) La razon a que aumenta el area superficial cuando el diametro mide 8 m.ii) Un hombre empieza a corer hacia el norte a razon de 6 m/seg desde un punto P . Tres minutosmas tarde, una mujer empieza a caminar hacia el sur a 1. 2 m/seg desde un punto a 50 m al estede P . Determine la rapidez con que cambia la distancia entre el hombre y la mujer 7 min despuesque la mujer comenzo a caminar.iii) Se descarga grano desde un transportador de banda, a razon de 25 ft3/min y su grosura es talque se forma un cono con base igual al triple de la altura. Determine la rapidez con la que aumentala altura cuando tiene 11 ft de alto.iv) Una farola de la calle esta suspendida de un poste de 8 m de alto. Una mujer cuya altura es de1. 70 m se aleja del poste a 1. 8 m/seg a lo largo de una trayectoria recta.a) Determine la rapidez con la que se mueve su sombra cuando la mujer esta a 25 m del poste.b) Determine la rapidez con la que varia el angulo de elevacion del extremo mas alejado de la sobraal farol cuando la mujer esta a 25 m del poste.v) Una escalera de 20 m de longitud se apoya contra una barda vertical. La base de la escalera resbalaa . 3 m/seg. Determinar la rapidez con que la escalera resbala por la pared, cuando la distancia a lapared es de 12 m.b) Determine la variacion del angulo interior que hace la escalera con la pared, cuando la distanciaa la pared es de 12 m.c) Determine la variacion del area del triangulo formado por la escalera, la pared y el piso, cuandola distancia a la pared es de 12 m.vi) Un avion vuela a 7 km de altitud y a una velocidad de 300 km/hr hacia un punto situadoexactamente arriba de un observador. Determinar la razon de cambio del angulo de elevacion delobservador cuando el angulo es de π

3.


Ejercicio 4.6.5 i) Si una bola de nieve se funde de manera que su volumen disminuye a razon de8 cm3/min. Determine:a) La razon a que disminuye su radio cuando el diametro mide 26 cm.b) La razon a que disminuye su area superficial cuando el diametro mide 26 cm.ii) A las 12:00 Hrs. un velero A esta 100 km al oeste del velero B. El velero A navega hacia el estea 25 km/hr y el velero B hacia el norte a una velocidad de 35 km/hr. Determine con que rapidezcambia la distancia entre las embarcaciones a las 15:00 Hrs.iii) Se descarga arena desde un transportador de banda, a razon de 35 ft3/min y su grosura es talque se forma un cono con base igual a una vez y media la altura. Determine la rapidez con la queaumenta la altura cuando tiene 12 ft de alto.iv) Una farola de la calle esta suspendida de un poste de 7 m de alto. Un hombre cuya altura es de1. 70 m se aleja del poste a 2 m/seg a lo largo de una trayectoria recta.a) Determine la rapidez con la que se mueve su sombra cuando el hombre esta a 30 m del poste.b) Determine la rapidez con la que varia el angulo de elevacion del extremo mas alejado de la sobraal farol cuando el hombre esta a 30 m del poste.v) Una escalera telescopica de 20 m de longitud se apoya contra una barda vertical. La base resbalaa . 3 m/seg.a) Determinar la rapidez con que la escalera resbala por la pared, cuando la distancia a la pared esde 7 m.b) Determine la variacion del angulo que hace la escalera con el suelo, cuando la distancia a la paredes de 7 m.c) Determine la variacion del area del triangulo formado por la escalera, la pared y el piso, cuandola distancia a la pared es de 7 m.vi) Un avion vuela a 8 km de altitud y a una velocidad de 350 km/hr hacia un punto situadoexactamente arriba de un observador. Determinar la razon de cambio del angulo de elevacion delobservador cuando el angulo es de π

4.


Ejercicio 4.6.6 i) Un globo aerostatico esferico pierde aire a razon de . 3 m3/min. Determine:a) La razon a que disminuye el radio cuando el diametro mide 9 m.b) La razon a que disminuye el area superficial cuando el diametro mide 9 m.ii) A las 12:00 Hrs. un velero A esta 150 km al oeste del velero B. El velero A navega hacia el estea 35 km/hr y el velero B hacia el norte a una velocidad de 20 km/hr. Determine con que rapidezcambia la distancia entre las embarcaciones a las 14:00 Hrs.iii) Se descarga grano desde un transportador de banda, a razon de 25 ft3/min y su grosura es talque se forma un cono con base igual cinco terceras partes de la altura. Determine la rapidez con laque aumenta la altura cuando tiene 12 ft de alto.iv) Una farola de la calle esta suspendida de un poste de 5 m de alto. Una nina cuya altura es de1. 40 m se aleja del poste a 1 m/seg a lo largo de una trayectoria recta.a) Determine la rapidez con la que se mueve su sombra cuando la nina esta a 15 m del poste.b) Determine la rapidez con la que varia el angulo de elevacion del extremo mas alejado de la sobraal farol cuando la nina esta a 15 m del poste.v) Una escalera de 20 m de longitud se apoya contra una barda vertical. La base de la escalera resbalaa . 3 m/seg.a) Determinar la rapidez con que la escalera resbala por la pared, cuando la distancia a la pared esde 12 m.b) Determine la variacion del angulo que hace la escalera con el suelo, cuando la distancia a la paredes de 12 m.c) Determine la variacion del area del triangulo formado por la escalera, la pared y el piso, cuandola distancia a la pared es de 7 m.vi) Un avion vuela a 7 km de altitud y a una velocidad de 350 km/hr hacia un punto situadoexactamente arriba de un observador. Determinar la razon de cambio del angulo de elevacion delobservador cuando el angulo es de π

3.


Ejercicio 4.6.7 i) Si una bola de nieve se funde de manera que su radio disminuye a razon de2 cm/min. Determine:a) La razon a que disminuye su volumen cuando el diametro mide 28 cm.b) La razon a que disminuye su area superficial cuando el diametro mide 28 cm.ii) A las 12:00 Hrs. un velero A esta 200 km al oeste del velero B. El velero A navega hacia el estea 35 km/hr y el velero B hacia el norte a una velocidad de 30 km/hr. Determine con que rapidezcambia la distancia entre las embarcaciones a las 15:00 Hrs.iii) Se descarga arena desde un transportador de banda, a razon de 30 ft3/min y su grosura es talque se forma un cono con base igual a dos veces y media la altura. Determine la rapidez con la queaumenta la altura cuando tiene 10 ft de alto.iv) Una farola de la calle esta suspendida de un poste de 4 m de alto. Un hombre cuya altura es de1. 70 m se aleja del poste a 2 m/seg a lo largo de una trayectoria recta. a) Determine la rapidez conla que se mueve su sombra cuando el hombre esta a 8 m del poste.b) Determine la rapidez con la que varia el angulo de elevacion del extremo mas alejado de la sobraal farol cuando el hombre esta a 8 m del poste.v) Una escalera telescopica de 25 m de longitud se apoya contra una barda vertical. La base resbalaa . 4 m/seg.a) Determinar la rapidez con que la escalera resbala por la pared, cuando la distancia a la pared esde 10 m.b) Determine la variacion del angulo interior que hace la escalera con la pared, cuando la distanciaa la pared es de 10 m.c) Determine la variacion del area del triangulo formado por la escalera, la pared y el piso, cuandola distancia a la pared es de 10 m.vi) Una camara de filmacion esta situada a 1000 m de la base de despegue de un cohete. Calcular larazon de cambio del angulo de elevacion de la camara, 10 s despues del despegue del cohete, si esteparte con una velocidad de 18 m/s,


Ejercicio 4.6.8 i) Un globo aerostatico esferico pierde aire a razon de . 7 m3/min. Determine:a) La razon a que disminuye el radio cuando el diametro mide 7 m.b) La razon a que disminuye el area superficial cuando el diametro mide 7 m.ii) A las 11:00 Hrs. un velero A esta 200 km al oeste del velero B. El velero A navega hacia el estea 25 km/hr y el velero B hacia el norte a una velocidad de 35 km/hr. Determine con que rapidezcambia la distancia entre las embarcaciones a las 13:00 Hrs.iii) Se descarga grano desde un transportador de banda, a razon de 20 ft3/min y su grosura es talque se forma un cono con base igual cuatro terceras partes de la altura. Determine la rapidez con laque aumenta la altura cuando tiene 12 ft de alto.iv) Una farola de la calle esta suspendida de un poste de 7 m de alto. Una nina cuya altura es de1. 40 m se aleja del poste a 1. 5m/seg a lo largo de una trayectoria recta.a) Determine la rapidez con la que se mueve su sombra cuando la nina esta a 10 m del poste.b) Determine la rapidez con la que varia el angulo de elevacion del extremo mas alejado de la sobraal farol cuando la nina esta a 10 m del poste.v) Una escalera de 23 m de longitud se apoya contra una barda vertical. La base de la escalera resbalaa . 4 m/seg.a) Determinar la rapidez con que la escalera resbala por la pared, cuando la distancia a la pared esde 8 m.b) Determine la variacion del angulo interior que hace la escalera con la pared, cuando la distanciaa la pared es de 8 m.c) Determine la variacion del area del triangulo formado por la escalera, la pared y el piso, cuandola distancia a la pared es de 8 m.vi) Una camara de filmacion esta situada a 1000 m de la base de despegue de un cohete. Calcular larazon de cambio del angulo de elevacion de la camara, 12 s despues del despegue del cohete, si esteparte con una velocidad de 18 m/s


Ejercicio 4.6.9 i) Si una bola de nieve se funde de manera que su radio disminuye a razon de. 5 cm/min. Determine:a) La razon a que disminuye su volumen cuando el diametro mide 28 cm.b) La razon a que disminuye su area superficial cuando el diametro mide 28 cm.ii) A las 12:00 Hrs. un velero A esta 200 km al este del velero B. El velero A navega hacia el oeste a35 km/hr y el velero B hacia el sur a una velocidad de 32 km/hr. Determine con que rapidez cambiala distancia entre las embarcaciones a las 14:00 Hrs.iii) Se descarga arena desde un transportador de banda, a razon de 30 ft3/min y su grosura es talque se forma un cono con base igual al doble de la altura. Determine la rapidez con la que aumentala altura cuando tiene 13 ft de alto.iv) Una torre de iluminacion esta suspendida de un poste de 20 m de alto. Un corredor cuya alturaes de 1. 65 m se aleja del poste a 8 m/seg a lo largo de una trayectoria recta.a) Determine la rapidez con la que se mueve su sombra cuando el hombre esta a 100 m del poste.b) Determine la rapidez con la que varia el angulo de elevacion del extremo mas alejado de la sobraal farol cuando el corredor esta a 100 m del poste.v) Una escalera telescopica de 25 m de longitud se apoya contra una barda vertical. La base resbalaa . 6 m/seg.a) Determinar la rapidez con que la escalera resbala por la pared, cuando la distancia a la pared esde 9 m.b) Determine la variacion del angulo interior que hace la escalera con el piso, cuando la distancia ala pared es de 9 m.c) Determine la variacion del area del triangulo formado por la escalera, la pared y el piso, cuandola distancia a la pared es de 9 m.vi) Una camara de filmacion esta situada a 1100 m de la base de despegue de un cohete. Calcular larazon de cambio del angulo de elevacion de la camara, 13 s despues del despegue del cohete, si esteparte con una velocidad de 19 m/s


Ejercicio 4.6.10 i) Si una bola de nieve se funde de manera que su radio disminuye a razon de. 3 cm/min. Determine:a) La razon a que disminuye su volumen cuando el diametro mide 28 cm.b) La razon a que disminuye su area superficial cuando el diametro mide 28 cm.ii) A las 12:00 Hrs. un velero A esta 150 km al este del velero B. El velero A navega hacia el oeste a25 km/hr y el velero B hacia el sur a una velocidad de 35 km/hr. Determine con que rapidez cambiala distancia entre las embarcaciones a las 14:00 Hrs.iii) Se descarga arena desde un transportador de banda, a razon de 15 ft3/min y su grosura es talque se forma un cono con base igual al triple de la altura. Determine la rapidez con la que aumentala altura cuando tiene 10 ft de alto.iv) Una torre de iluminacion esta suspendida de un poste de 22 m de alto. Un corredor cuya alturaes de 1. 70 m se aleja del poste a 7 m/seg a lo largo de una trayectoria recta.a) Determine la rapidez con la que se mueve su sombra cuando el hombre esta a 90 m del poste.b) Determine la rapidez con la que varia el angulo de elevacion del extremo mas alejado de la sobraal farol cuando el corredor esta a 90 m del poste.v) Una escalera telescopica de 35 m de longitud se apoya contra una barda vertical. La base resbalaa . 4 m/seg.a) Determinar la rapidez con que la escalera resbala por la pared, cuando la distancia a la pared esde 12 m.b) Determine la variacion del angulo interior que hace la escalera con el piso, cuando la distancia ala pared es de 12 m.c) Determine la variacion del area del triangulo formado por la escalera, la pared y el piso, cuandola distancia a la pared es de 12 m.vi) Una camara de filmacion esta situada a 1100 m de la base de despegue de un cohete. Calcular larazon de cambio del angulo de elevacion de la camara, 7 s despues del despegue del cohete, si esteparte con una velocidad de 17 m/s


Ejercicio 4.6.11 i) A las 12:00 Hrs. un velero A esta 100 km al oeste del velero B. El velero Anavega hacia el este a 25 km/hr y el velero B hacia el norte a una velocidad de 35 km/hr. Determinecon que rapidez cambia la distancia entre las embarcaciones a las 15:00 Hrs.ii) Se descarga grava desde un transportador de banda, a razon de 35 ft3/min y su grosura es talque se forma un cono con base igual al doble de la altura. Determine la rapidez con la que aumentala altura cuando tiene 10 ft de alto.iii) Un cubo de hielo se funde a razon de . 5 cm3/seg. Determine:a) La razon a que disminuye la arista a del cubo cuando el volumen es de 8 cm3.b) La razon a que disminuye el area superficial cuando la arista mide a = . 7 cm.iv) Un diamante de beisbol es un cuadrado de 90 ft por lado. Un bateador golpea la pelota y correhacia primera base a una velocidad de 24 ft/seg.a) ¿ Con que razon disminuye su distancia a la segunda base cuando esta a mitad de la distancia dela primera?a) ¿ Con que razon aumenta su distancia a la tercera base en el mismo momento?v) Un tanque para almacenar agua tiene forma de cono invertido y se esta vaciando a una tasa de4 m3/min. La altura del cono es de 25 m y su radio es de 9 m. Determinar que tan rapido disminuyeel nivel del agua cuando tiene una profundidad de 12 m.vi) Una escalera de 20 m de longitud se apoya contra una barda vertical. La base de la escalera resbalaa . 4 m/seg.a) Determinar la rapidez con que la escalera resbala por la pared, cuando la distancia a la pared esde 7 m.b) Determine la variacion del angulo interior que hace la escalera con el piso, cuando la distancia ala pared es de 7 m.c) Determine la variacion del area del triangulo formado por la escalera, la pared y el piso, cuandola distancia a la pared es de 7 m.vii) Una camara de filmacion esta situada a 1100 m de la base de despegue de un cohete. Calcular larazon de cambio del angulo de elevacion de la camara, 11 s despues del despegue del cohete, si esteparte con una velocidad de 18 m/s


4.7. Optimizacion L.F. Resendis O.

Ejercicio 4.7.1 a) Un granjero cuenta con 2000 m de cerca y debe encerrar una area rectangulardividida en cuatro corrales, colocando cercas paralelas a alguno de los lados. Determinar las dimen-siones del corral que encierre el area total maxima.b) Hallar las dimensiones del rectangulo de area maxima que pueda inscribirse dentro del cırculox2 + y2 = 25.c) Un bote sale de un muelle a las 14:00 Hrs. y viaja hacia el sur a una velocidad de 20 km/hr.Otro bote ha venido avanzando en direccion este, con velocidad de 25 km/hr y arriba al muelle a las15:00 Hrs. Determine el momento y las posiciones que que los botes estuvieron lo mas cercanos.d) Se va a fabricar un deposito cilındrico de gas. Determinar las dimensiones que minimizan lacantidad de material empleado si debe contener un volumen de 8 m3.e) Un hombre esta en la orilla de un rıo, que se supone recto. El punto mas cercano en la orillaopuesta es el punto A y se encuentra a 2 km. Su casa esta situda en la costa opuesta a 6 km delpunto A. El hombre puede remar a 3 km/hr y caminar a 5 km/hr. Determine el trayecto que lepermite llegar en el mınimo tiempo posible a casa.f) Se va a construir una caja sin tapa a partir con un trozo rectangular de carton de 2 m por 3 m,al recortar un cuadrado igual en cada esquina y doblar los lados hacia arriba. Determine el volumenmas grande que pueda contener una caja hecha de este tipo.

Ejercicio 4.7.2 a) Un granjero cuenta con 1500 m de cerca y debe encerrar una area rectangulardividida en tres corrales, colocando cercas paralelas a alguno de los lados. Determinar las dimensionesdel corral que encierre el area total maxima.b) Hallar las dimensiones del rectangulo de area maxima que pueda inscribirse dentro del cırculox2 + y2 = 36.c) Un bote sale de un muelle a las 13:00 Hrs. y viaja hacia el sur a una velocidad de 30 km/hr. Otrobote ha venido avanzando en direccion este, con velocidad de 15 km/Hr, arriba al muelle a las 15:00Hrs. Determine el momento y las posiciones que que los botes estuvieron lo mas cercanos.d) Se va a fabricar un deposito cilındrico de gas. Determinar las dimensiones que minimizan lacantidad de material empleado si debe contener un volumen de 10 m3.e) Un hombre esta en la orilla de un rıo, que se supone recto. El punto mas cercano en la orillaopuesta es el punto A y se encuentra a 3 km. Su casa esta situda en la costa opuesta a 7 km delpunto A. El hombre puede remar a 4 km/hr y caminar a 6 km/hr. Determine el trayecto que lepermite llegar en el mınimo tiempo posible a casa.f) Se va a construir una caja sin tapa a partir con un trozo rectangular de carton de 4 m por 3 m,al recortar un cuadrado igual en cada esquina y doblar los lados hacia arriba. Determine el volumenmas grande que pueda contener una caja hecha de este tipo.

4.7. OPTIMIZACION L.F. RESENDIS O. 101

Ejercicio 4.7.3 a) Un granjero cuenta con 3000 m de cerca y debe encerrar una area rectangular di-vidida en cinco corrales, colocando cercas paralelas a alguno de los lados. Determinar las dimensionesdel corral que encierre el area total maxima.b) Hallar las dimensiones del rectangulo de area maxima, con lados paralelos a los ejes coordenados,que pueda inscribirse dentro de las parabolas y = x− x2, y = 2x2 − 2x.c) Un bote sale de un muelle a las 13:00 Hrs. y viaja hacia el norte a una velocidad de 20 km/hr.Otro bote ha venido avanzando en direccion este, con velocidad de 15 km/Hr, arriba al muelle a las15:00 Hrs. Determine el momento y las posiciones que que los botes estuvieron lo mas cercanos.d) Se va a fabricar un deposito cilındrico de gas. Determinar las dimensiones que minimizan lacantidad de material empleado si debe contener un volumen de 18 m3.e) Un hombre esta en la orilla de un rıo, que se supone recto. El punto mas cercano en la orillaopuesta es el punto A y se encuentra a 200 m. Su casa esta situda en la costa opuesta a 2000 mdel punto A. El hombre puede remar a 5 km/hr y caminar a 7 km/hr. Determine el trayecto que lepermite llegar en el mınimo tiempo posible a casa.f) Se va a construir una caja sin tapa a partir con un trozo rectangular de carton de 1 m por 2 m,al recortar un cuadrado igual en cada esquina y doblar los lados hacia arriba. Determine el volumenmas grande que pueda contener una caja hecha de este tipo.

Ejercicio 4.7.4 a) Un granjero cuenta con 2000 m de cerca y debe encerrar una area rectangulardividida en tres corrales, colocando cercas paralelas a alguno de los lados. Determinar las dimensionesdel corral que encierre el area total maxima.b) Un alambre de 1m de largo se corta en dos trozos de manera que al doblarse se formara untriangulo equilatero y un cuadrado. Determinar las dimensiones que dan la mayor y menor area totalposible.c) Un bote sale de un muelle a las 13:00 Hrs. y viaja hacia el norte a una velocidad de 20 km/hr.Otro bote ha venido avanzando en direccion oeste, con velocidad de 15 km/Hr, arriba al muelle alas 15:00 Hrs. Determine el momento y las posiciones que que los botes estuvieron lo mas cercanos.d) Se va a fabricar un deposito cilındrico de gas. Determinar las dimensiones que minimizan lacantidad de material empleado si debe contener un volumen de 8 m3.e) Un hombre esta en la orilla de un rıo, que se supone recto. El punto mas cercano en la orillaopuesta es el punto A y se encuentra a 1,5 km. Su casa esta situda en la costa opuesta a 7 km delpunto A. El hombre puede remar a 3 km/hr y caminar a 6 km/hr. Determine el trayecto que lepermite llegar en el mınimo tiempo posible a casa.f) Se va a construir una caja sin tapa a partir con un trozo rectangular de carton de 2. 5 m por 1 m,al recortar un cuadrado igual en cada esquina y doblar los lados hacia arriba. Determine el volumenmas grande que pueda contener una caja hecha de este tipo.


Ejercicio 4.7.5 a) Un granjero cuenta con 2000 m de cerca y debe encerrar una area rectangulardividida en tres corrales, colocando cercas paralelas a alguno de los lados. Determinar las dimensionesdel corral que encierre el area total maxima.b) Un alambre de 1m de largo se corta en dos trozos de manera que al doblarse se formara untriangulo equilatero y un cırculo. Determinar las dimensiones que dan la mayor y menor area totalposible.c) Un bote sale de un muelle a las 11:00 Hrs. y viaja hacia el este a una velocidad de 25 km/hr.Otro bote ha venido avanzando en direccion norte, con velocidad de 15 km/Hr, arriba al muelle alas 13:00 Hrs. Determine el momento y las posiciones que que los botes estuvieron lo mas cercanos.d) Se va a fabricar un deposito cilındrico de gas. Determinar las dimensiones que minimizan lacantidad de material empleado si debe contener un volumen de 20 m3.e)Un hombre esta en la orilla de un rıo, que se supone recto. El punto mas cercano en la orillaopuesta es el punto A y se encuentra a 200 m. Su casa esta situda en la costa opuesta a 1200 kmdel punto A. El hombre puede remar a 4 km/hr y caminar a 7 km/hr. Determine el trayecto que lepermite llegar en el mınimo tiempo posible a casa.f) Se va a construir una caja sin tapa a partir con un trozo rectangular de carton de 2 m por 3 m,

al recortar un cuadrado igual en cada esquina y doblar los lados hacia arriba. Determine el volumenmas grande que pueda contener una caja hecha de este tipo.

Ejercicio 4.7.6 a) Un granjero cuenta con 4000 m de cerca y debe encerrar una area rectangulardividida en seis corrales, colocando cercas paralelas a alguno de los lados. Determinar las dimensionesdel corral que encierre el area total maxima.b) Determine la ecuacion de una recta tangente a la curva y = x3 − 3x2 + 5x que tenga la pendientemınima.c) Un bote sale de un muelle a las 12:00 Hrs. y viaja hacia el oeste a una velocidad de 15 km/hr.Otro bote ha venido avanzando en direccion norte, con velocidad de 25 km/Hr, arriba al muelle a las14:00 Hrs. Determine el momento y las posiciones que que los botes estuvieron lo mas cercanos. d)Se va a fabricar un deposito esferico de gas. Determinar las dimensiones que minimizan la cantidadde material empleado si debe contener un volumen de 18 m3.e) Sea A un punto en una mina. Se desea ir a un punto B que esta 200 m a la derecha de A y50 m por debajo del nivel de A. Si el excavado horizontal cuesta $2000. 00 por metro y el excavadotransversal $4000. 00 por metro determine la trayectoria mas economica de A a B.f ) Se va a construir una caja sin tapa a partir con un trozo rectangular de carton de . 7 m por 1 m,al recortar un cuadrado igual en cada esquina y doblar los lados hacia arriba. Determine el volumenmas grande que pueda contener una caja hecha de este tipo.


Ejercicio 4.7.7 a) Un granjero cuenta con 3500 m de cerca y debe encerrar una area rectangular di-vidida en cinco corrales, colocando cercas paralelas a alguno de los lados. Determinar las dimensionesdel corral que encierre el area total maxima.b) Determine la ecuacion de una recta tangente a la curva y = −x3 − 2x2 + 5x − 3 que tenga lapendiente maxima.c) Un bote sale de un muelle a las 12:00 Hrs. y viaja hacia el oeste a una velocidad de 15 km/hr.Otro bote ha venido avanzando en direccion norte, con velocidad de 25 km/Hr, arriba al muelle alas 14:00 Hrs. Determine el momento y las posiciones que que los botes estuvieron lo mas cercanos.d) Se va a fabricar un deposito conico de granos. Determinar las dimensiones que minimizan lacantidad de material empleado si debe contener un volumen de 10 m3.e) Sea A un punto en una mina. Se desea ir a un punto B que esta 250 m a la derecha de A y40 m por debajo del nivel de A. Si el excavado horizontal cuesta $2500. 00 por metro y el excavadotransversal $3500. 00 por metro determine la trayectoria mas economica de A a B.f) Se va a construir una caja sin tapa a partir con un trozo rectangular de carton de 2 m por 3 m,al recortar un cuadrado igual en cada esquina y doblar los lados hacia arriba. Determine el volumenmas grande que pueda contener una caja hecha de este tipo.

Ejercicio 4.7.8 a) Un granjero cuenta con 2400 m de cerca y debe encerrar una area rectangulardividida en seis corrales, colocando cercas paralelas a alguno de los lados. Determinar las dimensionesdel corral que encierre el area total maxima.b) Determine el rectangulo de area maxima, con lados paralelos a los ejes coordenados y que puedeinscribirse en la region limitada por y = x2 − 16, y = −2x2 − 32.c) Un bote sale de un muelle a las 11:00 Hrs. y viaja hacia el oeste a una velocidad de 25 km/hr.Otro bote ha venido avanzando en direccion sur, con velocidad de 30 km/Hr, arriba al muelle a las14:00 Hrs. Determine el momento y las posiciones que que los botes estuvieron lo mas cercanos.d) Se va a fabricar un deposito conico de granos. Determinar las dimensiones que minimizan lacantidad de material empleado si debe contener un volumen de 18 m3.e) Sea A un punto en una mina. Se desea ir a un punto B que esta 350 m a la izquierda de A y60 m por debajo del nivel de A. Si el excavado horizontal cuesta $1500. 00 por metro y el excavadotransversal $4000. 00 por metro determine la trayectoria mas economica de A a B.f) Se va a construir una caja sin tapa a partir con un trozo rectangular de carton de 8 dm por 4 dm,al recortar un cuadrado igual en cada esquina y doblar los lados hacia arriba. Determine el volumenmas grande que pueda contener una caja hecha de este tipo.


Ejercicio 4.7.9 a) Un granjero cuenta con 4500 m de cerca y debe encerrar una area rectangular di-vidida en siete corrales, colocando cercas paralelas a alguno de los lados. Determinar las dimensionesdel corral que encierre el area total maxima.b) Hallar el valor maximo del producto la potencia sexta y cubica de dos numeros positivos si su sumaes 22.c) Un bote sale de un muelle a las 12:00 Hrs. y viaja hacia el este a una velocidad de 15 km/hr.Otro bote ha venido avanzando en direccion sur, con velocidad de 25 km/Hr, arriba al muelle a las15:00 Hrs. Determine el momento y las posiciones que que los botes estuvieron lo mas cercanos.d) Se va a fabricar un deposito conico de granos. Determinar las dimensiones que minimizan lacantidad de material empleado si debe contener un volumen de 20 m3.e) Se va a construir un oleducto que una los puntos A y B que se encuentran en orillas opuestas deun rıo, de 2 km de ancho, y que distan entre si 10 km. Si el costo por kilometro de tuberıa bajo elagua es el triple que en la superficie. Determine el trazo de la tuberıa que es mas economico.f) Se va a construir una caja sin tapa a partir con un trozo rectangular de carton de 4 m por 3 m,al recortar un cuadrado igual en cada esquina y doblar los lados hacia arriba. Determine el volumenmas grande que pueda contener una caja hecha de este tipo.

Ejercicio 4.7.10 a) Un granjero cuenta con 5000 m de cerca y debe encerrar una area rectangulardividida en 8 corrales, colocando cercas paralelas a alguno de los lados. Determinar las dimensionesdel corral que encierre el area total maxima.b) Hallar el triangulo rectangulo de area maxima si la suma de un cateto y la hipotenusa es 30.c) Un bote sale de un muelle a las 12:00 Hrs. y viaja hacia el oeste a una velocidad de 30 km/hr.Otro bote ha venido avanzando en direccion norte, con velocidad de 25 km/Hr, arriba al muelle alas 14:00 Hrs. Determine el momento y las posiciones que que los botes estuvieron lo mas cercanos.d) Se va a fabricar un deposito conico de granos. Determinar las dimensiones que minimizan lacantidad de material empleado si debe contener un volumen de 30 m3.e) Se va a construir un oleducto que una los puntos A y B que se encuentran en orillas opuestas deun rıo, de 1. 5 km de ancho, y que distan entre si 8 km. Si el costo por kilometro de tuberıa bajo elagua es el doble que en la superficie. Determine el trazo de la tuberıa que es mas economico.f) Se va a construir una caja sin tapa a partir con un trozo rectangular de carton de 2 m por 3 m,al recortar un cuadrado igual en cada esquina y doblar los lados hacia arriba. Determine el volumenmas grande que pueda contener una caja hecha de este tipo.


Ejercicio 4.7.11 a) Un granjero cuenta con 3000 m de cerca y debe encerrar una area rectangulardividida en siete corrales, colocando cercas paralelas a alguno de los lados. Determinar las dimen-siones del corral que encierre el area total maxima.b) Hallar el triangulo rectangulo de area maxima si la suma de un cateto y la hipotenusa es 15.c) Un bote sale de un muelle a las 12:00 Hrs. y viaja hacia el este a una velocidad de 35 km/hr.Otro bote ha venido avanzando en direccion sur, con velocidad de 15 km/Hr, arriba al muelle a las14:00 Hrs. Determine el momento y las posiciones que que los botes estuvieron lo mas cercanos.d) Se va a fabricar un deposito conico de granos. Determinar las dimensiones que minimizan lacantidad de material empleado si debe contener un volumen de 20 m3.e) Se va a construir un oleducto que una los puntos A y B que se encuentran en orillas opuestas deun rıo, de 2. 5 km de ancho, y que distan entre si 12 km. Si el costo por kilometro de tuberıa bajoel agua es el cuadruple que en la superficie. Determine el trazo de la tuberıa que es mas economico.f) Se va a construir una caja sin tapa a partir con un trozo rectangular de carton de 2. 5 m por 4 m,al recortar un cuadrado igual en cada esquina y doblar los lados hacia arriba. Determine el volumenmas grande que pueda contener una caja hecha de este tipo.

Problemas de C´alculo Diferencial e Integral I Versi´on...

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