PROBLEMAS CAP 2

Problema 1

Una bobina compuesta de N espiras apretadas del mismo radio r, está apoyada en un plano que hace 30º con la horizontal. Se establece un campo magnético B en la dirección vertical. Suponiendo que el radio de las espiras decrece con el tiempo de la forma r=r0-vt Calcular la fem y dibujar el sentido de la corriente inducida, razonando la respuesta.

Solución

Flujo y fem

Φ=B⋅S=BNπr2cos30=BNπ(r0−vt)23√/2Vε=−dΦdt=3√πBN(r0−vt)v

El radio de las espiras disminuye, su área disminuye, el flujo disminuye. La corriente inducida se opone a la disminución del flujo, tiene el sentido indicado en la figura

Problema 2

Se coloca un circuito de N vueltas, cada una de área S, en un campo magnético uniforme, paralelo al eje Z, que varía con eltiempo de la forma Bz=B0 cos(ωt).

Cacular la f.e.m. inducida.

Representar el campo magnético y la fem en función del tiempo.

Representar en el circuito el sentido del campo y de la corriente inducida en cada cuarto de periodo, explicando el resultado

Solución

Flujo y fem

Φ=B·S=B0cos(ωt)(NS)cos30

Vε=−dΦdt=3√2NSB0ωsin(ωt)

Sentido de la corriente inducida

Problema 3

Una bobina formada por 120 espiras rectangulares apretadas, de dimensiones 4 cm y 12 cm, está situada en un plano que forma 30º con el plano XY. La bobina está en una región en la que existe un campo magnético paralelo al eje Z que varía entre -0.003 y 0.003 T de la forma indicada en la parte derecha de la figura.

Para cada uno de los intervalos de tiempo: 0-1, 1-2, 2-4, 4-5 ms (milisegundos). Dibujar en la bobina el sentido de la corriente inducida (razonando la respuesta)

Calcular la fem.

Hacer un gráfico de la intensidad en función del tiempo, sabiendo que la resistencia de la bobina es 50 Ω.

Solución

Flujo y fem

Φ=B·S=B(NS)cos30=B·0.04·0.12·120·cos30

Vε=−dΦdt=−3√⋅0.288⋅dBdti=VεR=−0.005763√dBdt

Intensidad de la corriente inducida

0-1 ms, B=cte, Vε=0, i=0

1-2 ms

dBdt=−3⋅10−3−3⋅10−32⋅10−3−10−3=−6i=0.06 A 

2-4ms, B=cte, Vε=0, i=0

4-5 ms

dBdt=3⋅10−3−(−3⋅10−3)5⋅10−3−4⋅10−3=6i=−0.06 A 

Sentido de la corriente inducida

Problema 4

Una varilla conductora de masa 10 g desliza sobre carriles paralelos verticales distantes 20 cm. Los carriles muy largos se cierran por la parte inferior, tal como se indica en la figura. En la región existe un campo magnético uniforme y perpendicular al plano del papel de intensidad 1.5 T.

Determinar el sentido de la corriente inducida aplicando la ley de Lenz.

Dibuja las fuerzas sobre la varilla AB. La varilla parte del reposo, su velocidad se incrementa indefinidamente o alcanza un valor límite constante. Razona la respuesta

En el segundo caso, ¿cuánto vale esta velocidad?. La resistencia de la varilla es de 10 Ω (los carriles se suponen superconductores).

Solución

Flujo, Φ=B·S=B(Lx)cos0=BLx

Vε=−dΦdt=−B⋅Ldxdt=BLvi=VεR=BLvR

Como x disminuye dx/dt<0

Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea

Fm=i(uˆt×B)LFm=i(1⋅B⋅sin90)⋅L=B2L2Rv

Sobre la varilla actúan dos fuerzas, el peso mg y la fuerza magnética Fm.

Al principio, cuando la varilla parte del reposo, v=0, y Fm=0. Al caer la varilla incrementa su velocidad y también, se incrementa la fuerza magnética. La fuerza magnética se va tomando un valor cada vez más próximo, pero siempre inferior al peso. Cuando t→∞, se alcanza el equilibrio.

B2L2Rv=mg  v=mgRB2L2  v=0.01⋅9.8⋅101.520.22=10.89m/s 

es la velocidad límite constante.

Problema 5

Una varilla conductora de masa 10 g desliza sobre carriles paralelos distantes 20 cm y que forman un ángulo de 30º con el plano horizontal. Loscarriles se cierran por la parte inferior, tal como se indica en la figura. En laregión existe un campo magnético uniforme y perpendicular al plano horizontal de intensidad 1 T.

Calcular la fem en función de la velocidad constante de la varilla. La intensidad de la corriente inducida si la resistencia del circuito es de 10 ω.

La(s) fuerza(s) sobre la varilla.

¿Cuánto valdrá la velocidad de la varilla cuando desliza con movimiento uniforme? (se desprecia el rozamiento).

Solución

Flujo, fem e intensidad de la corriente inducida

Φ=B⋅S=B(Lx)cos30=3√2BLx=0.13√xVε=−dΦdt=−0.13√dxdt=0.13√vi=VεR=0.013√v

Como x disminuye dx/dt<0

Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea

Fm=i(uˆt×B)LFm=i(1⋅B⋅sin90)⋅L=0.013√v⋅1⋅0.2=0.0023√v

Sobre la varilla actúan tres fuerzas, el peso mg y la fuerza magnética Fm y la reacción N del plano inclinado.

Al principio, cuando la varilla parte del reposo, v=0, y Fm=0. Al caer la varilla incrementa su velocidad y también, se incrementa la fuerza magnética. La componente a lo largo del plano de fuerza magnética va tomando un valor cada vez más próximo, pero siempre inferior a la componente del peso a lo largo del plano inclinado. Cuando t→∞, se alcanza el equilibrio.

Fmcos30=mgsin30  v=503m/s 

es la velocidad límite constante.

Problema 6

Obtener el coeficiente de inducción mutua de dos solenoides rectos largos y concéntricos de N1 y N2 espiras, longitud L1 y L2, y secciones S1 y S2 respectivamente.

Datos: n1= 100 espiras por cm, n2=150 espiras por cm. S1= 9/π cm2, S2=3/π cm2. L1= 20 cm, L2=30 cm.

Si por el primario, solenoide exterior, circula una corriente, como indica la figura, obtener y hacer un gráfico de la corriente del secundario, sabiendo que su resistencia es de 50 ω. Razónese la respuesta a partir de esquemas en los que se especifique el sentido de la corriente en el primario y en el secundario

Solución

Tomamos como primario el solenoide interior

El campo magnético producido por el primario es

B2=μ0i2N2L2

El flujo de dicho campo magnético a través de las N1 espiras del secundario (solenoide exterior) y el coeficiente de inducción mutua M son:

Φ1=B2⋅S1=B2(N1S2)cos0=μ0i2N1N2L2S2M=Φ1i2=μ0N1N2L2S2

Tomamos como primario el solenoide exterior

El campo magnético producido por el primario es

B1=μ0i1N1L1

Dicho campo magnético no atraviesa todas las espiras del secundario (solenoide interior) sino N2·L1/L2espiras. El flujo de dicho campo magnético y el coeficiente de inducción mutua M son:

Φ2=B1⋅S2=B1(N2L2L1)S2cos0=μ0i1N1N2L2S2M=Φ2i1=μ0N1N2L2S2M=4π⋅10−7(100⋅20)(150⋅30)0.33π10−4=3.6⋅10−3H 

f.em en el secundario (solenoide interior) cuando varía la corriente en el primario (solenoide exterior)

V2=−dΦ2dt=−d(Mi1)dt=−Mdi1dti2=V2R=−MRdi1dt 0-1 ms,

i1=cte, i2=0

1-2 ms

i2=−3.6⋅10−350(−3−3)0.001=0.432 A 

2-4 ms

i1=cte, i2=0

4-5 ms

i2=−3.6⋅10−350(3−(−3))0.001=−0.432 A 

5-7 ms

i1=cte, i2=0

Gráfica

Problema 7

Una corriente rectilínea y una espira rectangular.

Calcular el coeficiente de inducción mutua.

Supongamos ahora, que la corriente rectilínea tiene una amplitud de 10 A y una frecuencia de 60 Hz, determinar laintensidad de la corriente inducida en la espira, si su resistencia es de 40 Ω. Dibújese sobre la espira el sentido de dicha corriente cada cuarto de periodo. Dibujar en un mismo gráfico, intensidad - tiempo, la intensidad en la corriente rectilínea y la intensidad en la espira. Razónese las respuestas.

Solución

Tomamos como primario el conductor rectilíneo

El campo magnético producido por una corriente rectilínea en un punto situado a una distancia x

B1=μ0i12πx

El flujo de dicho campo magnético a través de la espira y el coeficiente de inducción mutua M son:

Φ2=∫B1⋅dS=∫0.10.18μ0i12πx(0.04⋅dx)⋅cos180=−μ0i12π0.04⋅ln0.180.1M=Φ2i1=4.7⋅10−9H 

Si la corriente i1 en el primario varía con el tiempo se produce una corriente inducida i2 en el secundario.

V2=−dΦ2dt=μ02π0.04⋅ln0.180.1di1dt=μ02π0.04⋅ln0.180.1⋅120π⋅10⋅cos(120πt)i2=V2

R=4.43⋅10−7cos(120πt) A 

Sentido de la corriente inducida cada cuarto de periodo P=1/60 s

Gráfica

Problema 8

Calcular el coeficiente de autoinducción del toroide de la figura.

Solución

Campo magnético producido por un toroide de N espiras por el que circula una corriente de intensidad i, a una distancia a<r<b de su eje.

B=μ0Ni2πr

Flujo de dicho campo a través de una espira del toroide

∫B⋅dS=∫abμ0Ni2πr(h⋅dr)cos0=μ0Ni2πhln(ba)

Flujo a través de las N espiras del toroide y coeficiente de inducción mutua

Φ=μ0N2i2πhln(ba)L=Φi=μ0N22πhln(ba)