Problemas Algebra Posgrado

7/24/2019 Problemas Algebra Posgrado

1/4

Escuela de Matematicas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medelln.

2016.1 3007963 - Algebra

Ejercicios y problemas1.1 Grupos - Conceptos basicos

Consecuencias elementales de los axiomas

1. Es cierto que en todo semigrupo en el que hay un elemento neutro por la izquierda y en el que todoelemento tenga un inverso por la derecha es un grupo? Pruebe o de un contraejemplo.

2. De ejemplos de semigrupos y monoides que no sean grupos.

3. SeaG un semigrupo finito en el que se verifica:

a,b,c G ab= ac b = c, a,b,c G ba= ca b = c.

Muestre queG es un grupo. Y si G no es finito?

4. Sea A un anillo con unidad. Denotamos por A al conjunto de los elementos de A que tienen un inversomultiplicativo. Muestre que A dotado de la operacion multiplicacion es un grupo.

5. Muestre que sia2 =e para todo elemento deG, entonces G es abeliano.

6. Muestre que si|G| es par, entonces hay un elemento en g G diferente de e y tal que g2 =e.

Subgrupos

7. Muestre que todo subgrupo de (Z, +) es de la forma nZpara cierto n Z.

8. Muestre que todo grupo de orden 6 no abeliano tiene algun subgrupo no normal de orden 2. Utilice estehecho para clasificar todos los grupos de orden 6.

9. Describa el reticulo de subgrupos de S3, D4, Z/36Z y Q8.

10. Sea Sun subconjunto cualquiera de G. Definamos la relacion tal que a b si y solo si ab

1 S.Muestre que es una relacion de equivalencia si y solo si Ses un subgrupo de G.

11. SeaSun subconjunto finito de G cerrado por el producto. Muestre que es un subgrupo.

12. Muestre que estas tres condiciones son equivalentes:

(i) |G| es primo.

(ii) Gno tiene ningun subgrupo no trivial (es decir, distinto de {e} Y G).

(iii) G Z/pZpara algun primo p.

13. Muestre que la interseccion arbitraria de grupos normales es normal.

Homomorfismos

14. Muestre queG es abeliano si y solo si la inversi on i : g g1 es un isomorfismo.

15. Encuentre un morfismo de grupos inyectivo de Q8 en GL(2,C).

16. Muestre que Autgr(Z) Z/2Z.

17. Muestre que Homgr(Z, Z) (Z, ) es decir, la composicion de homomorfismos se corresponde con lamultiplicacion.

18. *Calcule Autgr(Z/nZ) para cualquier n Z.


2/4


19. Sea (A, +) un grupo abeliano. Definimos en Homgr(A, A) la operacion suma (+)(a) = (a) + (a).Muestre que (Homgr(A, A), +, ) es un anillo. De algunos ejemplos de anillos que se obtienen de estamanera.

Operaciones

20. De un ejemplo de 4 gruposH1, H2, K1, K2 tales que H1 H2 K1 K2 peroH1 no es isomorfo ni a K1

ni aK2, y tampoco H2.

21. Sean G y Hgrupos cclicos. Muestre que G Hes cclico si y solo si |G| y |H| son coprimos.

22. Sean N Gy H G subgrupos tales que H N=G y H N={e}. Muestre que entonces G HNdonde la accion de H enNes la accion adjunta.

Teoremas de isomorfismo

23. Sean N G y H G subgrupos. Muestre que se verifica:

(a) N H H.

(b) N H= N, H= H N.

24. Sean N G y H G subgrupos normales que se cortan en la identidad NH = {e}. Muestre quenecesariamente conmutan, es decir [H, K] ={e}.

25. SeanNGy HGsubgrupos normales tales queN H= {e}y N, H= G. Muestre queG N H.

26. (Segundo teorema de isomorfismo) Sean N G y H G subgrupos. Muestre que,

H/(N H) (H N)/N, h (N H)hN,

es un isomorfismo.

27. Sea H G un subgrupo normal. Consideremos la aplicacion cociente : G G/H, g gH, y laaplicacion inducida 1P(G/H) P(G) que hace1(S) = {g G : (g) S}.

(a) Muestre que1 establece biyeccion entre la familia de subgrupos de G/Hy la familia de subgruposdeG que contienen a H.

(b) Muestre que dicha biyeccion es un isomorfismo de retculos.

28. (Tercer teorema de isomorfismo) Sean H G y K G subgrupos normales tales que K H. Muestreque se verifica:

(a) H/K G/K.

(b) (G/K)/(H/K) G/H.

Teoremas del ndice

SeaH G un subgrupo. El ndice deH enG es el cardinal |G/H|, y se escribe [G: H].29. SeaHG E, entonces si al menos dos de las cantidades [ G: H], [E: G] y [E: H] son finitas tambien

lo es la tercera y se verifica [G: H][E: G] = [E: H].

Grupos cclicos y abelianos

30. Cual es el orden del grupo (Z/nZ)?

31. * Si p es primo, muestre que (Z/nZ) es un grupo cclico.

32. (Pequeno teorema de Fermat) Sea a un entero y p un primo tal que p no divide a a. Pruebe queap1 1(modp).


3/4


33. (Euler - Fermat) Sea (n) el orden de (Z/nZ). Sean n y a enteros coprimos. Pruebe que a(n) 1(mod n).

34. ** (Teorema de Carmichael) Para que valores de n el grupo (Z/nZ) es cclico?

Acciones, centralizadores y normalizadores

Dado un subgrupoHG su normalizadorNG(H) es el estabilizador deH(como conjunto) por la accion

adjunta, su centralizador CG(H) es el estabilizador de todos los elementos de H(punto a punto) por laaccion adjunta.

NG(H) = {g G : gH g1 =H}, CG(H) = {g G : h H ghg

1 =h}.

35. MuestreHNG(H) y CG(H) NG(H).

36. Muestre queNG(H) es el mayor subgrupo de G tal que H NG(H).

37. (Teorema de Cauchy) SeaG finito, si p es primo y p divide al orden de G entonces hay algun elemento enen G de orden p.

38. Si G es simple, entonces ningun elemento de G tiene exactamente dos conjugados.

39. Si G/C(G) es cclico entonces G es abeliano.

40. Muestre que los automorfismos internos forman un subgrupo normal del grupo de automorfismos.

41. Si |G|= pn con p primo y p > n entonces si Hes de orden p entonces es normal.

42. Muestre que no hay grupos simples de ordenpqdondep y qson primos diferentes.

43. Muestre que todo grupo de orden 15 es cclico.

1.2 Grupo de permutaciones

44. Encuentra cuatro subgrupos de S4 que sean isomorfos a S3 y nueve isomorfos a S2.

45. Muestre queSn esta generado por n 1 transposiciones.

46. Muestre queSn esta generado por dos elementos. Pista: considere una trasposici on y un n-ciclo.

47. Calcule el numero dem ciclos de Sn.

48. Encuentre todos los numerosn tal que S5 tiene algun elemento de orden n.

49. * Encuentre el orden del elemento de orden mas alto en Sn

50. El exponente de un grupo es el mnimo comun multiplo de los ordenes de sus elementos. Calcule elexponente deS5.

51. **Calcule el exponente de Sn.

52. Calcule los 2-subgrupos de Sylow de S4.

53. Muestre queA4 no tiene subgrupos de orden 6.

54. Encuentre una homomorfismo inyectivo del grupo Dn en el grupo de matrices meta-abeliano:

G=

a 00 a1

0 aa1 0

Pista: considereDn como grupo de transformaciones lineales del plano y diagonalize un generador de sugrupo normal maximal.

55. Calcule en centro de Dn en funcion de n.


4/4


1.3 Grupos libres y presentaciones

56. Sea L2 = a, b un grupo libre con dos generadores a, b. Muestre que el subgrupo de L2 generado pora2, b2, abes un grupo libre con tres generadores.

57. Sea G y H dos grupos de tal manera que existen morfismos inyectivos de cada uno de ellos en el otro.SonHy G necesariamente inyectivos?

58. Muestre que todo elemento distinto de la identidad en un grupo libre tiene orden infinito.

59. SeaL un grupo libre y Nel grupo generado por el conjunto {gn,: , g G, n Z}. MuestreN L.

60. SeaL(X) el grupo libre generado porcXy seaY X. SeaNYel menor subgrupo normal que contienea Y. Muestre que L(X)/NlangleYes un grupo libre.

61. Muestre que el grupoa, b| a8 =b2a4 =ab1ab= etiene orden menor o igual que 16.

62. Muestre que el grupoa, b| a2 =b3 =ab1ab= ees un grupo cclico de orden 6.

63. Muestre que el grupo a, b | a2 = b3 = e es infinito y no abeliano. Escribalo como el producto libre degrupos cclicos.

64. Sean G y H con mas de un elemento. Muestre que el centro de G H es {e}. Muestre queG H esinfinito.

65. SeaNA el subgrupo normal generado porA en A B. Muestre (A B)/NA B.

1.4 Grupos Abelianos

66. SeaG un grupo abeliano finito generado sin elementos de torsion. Muestre que es libre.

67. De un ejemplo de un grupo abeliano sin elementos de torsion y que no sea libre.

68. Muestre que (Q, +) no es libre pero (Q, ) s. De una base para este grupo. Construya un isomorfismoentre (Q, ) y Z[x]).

69. Sea G el grupo abeliano dado por la presentacion a,b,c | 6a+ 12b 3c = 12a 9c = 0. Calcule susdivisores elementales y factores invariantes.

70. Muestre que todo p-grupo (es decir, de orden pk) abeliano esta generado por sus elementos de ordenmaximo.

71. Usando el teorema de clasificacion de los grupos abelianos finito generados muestre que todo grupo abelianofinito es el producto directo de sus subgrupos de Sylow.

72. SeaG abeliano de orden 216. Si ademas|6G|= 6, Es posible determinar G?

73. Cuantos subgrupos de orden p2 tiene el grupos Z/p2Z Z/p3Z?

74. Muestre que los factores invariantes deZ/mZZ/nZson el maximo comun divisor y el mnimo comunmultiplo dem y n.

75. Muestre que todo subgrupo finito de Q/Z es cclico.

76. * Sean G y Hgrupos abelianos finitos tales que, para todo m el numero de elementos de G de orden Mcoincide con el numero de elementos deHde orden m. Muestre que G son isomorfos.

77. Encuentre todos los grupos (modulo isomorfismos) abelianos de orden 108.

Problemas Algebra Posgrado

Documents

Transcript of Problemas Algebra Posgrado