PROBLEMA 1.- Se tiene una losa rectangular, maciza, simplemente apoyada en sus cuatro bordes de concreto armado (E=230,000 kg/cm2, γconcreto = 2400kg/m3) de 20cm de espesor y de 6m de luz y 4 de ancho. Se desea calcular el periodo de vibración de la losa ante una fuerza vertical de personas saltando sobre la misma. Para representar la losa se puede suponer que está constituida por dos “vigas” de 1m de ancho. También se puede suponer que la masa asociada con la vibración es la dada por la zona central de la viga (un área rectangular de 2m x 3m de lado centrada con la losa). a) Calcular el periodo y frecuencia natural. (4 puntos) SOLUCIÓN 1 : a) Nuestro modelo será: Calculando las Rigideces de las vigas que poseen longitudes distintas:

6m

1m

1m 4m 1m 0.2m

fig. a fig. b fig. d

fig. c

HzfT

f

sTT

srad

mK

cmskgmxxx

gPm

cmkgKxxxxK

KKKRigidezL

EIK

T

TT

VVT

VV

34.11088.011

088.0256.71

22

256.71936.2

5.14907

936.2981

)2400)2.032((

5.149071150042.3407400

6666725000048600

6666725000048

48

2

33

21

3

=→==

=→==

=→==

−=→==

=→+=+=

+==

=

πωπ

ωω

Calculando lo solicitado, tenemos que:

De la figura b:

43

V cm6666712

20x100I ==; De la figura c:

PROBLEMA 2.- La viga doblemente empotrada de la figura es de acero, E=2 100 000 kg/cm2, I=4000 cm4. La viga sola es muy flexible y para comodidad de los que transitan sobre ella se desea que tenga una frecuencia natural mayor o igual a 20 Hertz. Para reducir la vibración se puede colocar una varilla de acero al centro de la luz. Determine el diámetro de la varilla (en los valores comerciales usados en nuestro medio) necesario para cumplir con esta condición. El peso colocado al centro es de 2t. (5 puntos) SOLUCIÓN 2: Debido a que se debe usar un diámetro comercial y ϕ 1”=2.54cm > 2.36 Entonces: ϕ 1”=2.54cm [Es el diámetro a usar]

3 m

10 m

P Hz20fkg2000t2P

cm40000Icmkg250000E

TOTAL

4V

2

≥==

=

=

(Condición)

( ) ( ) [ ]

cmDxADDDespejando

DAcircularesbarralaComo

cmALK

AAdespejandoL

EAKqueYa

cmkgKK

emplazandocmkgKx

LEIK

ComoKKKdespejandoKKKqueSabemos

cmkgK

cmkgKxxmxK

tieneseKDespejando

HzmK

HzfcondiciónlaDecm

skggPm

VarillaVarilla

VarillaVarilla

VigaSolaVigaSola

VigaSolaTVarillaVarillaVigaSolaT

mínTTT

T

T

TOTAL

36.237.444:""

4:

37.42100000

:"":

6.305818.16124.32194

:Re

8.16121000

40002100000192192

::

4.321944.32194039.2220220

:

2021

2

20:

039.2981

2000

2

2

33

22

2

=→==

=

=→==

=→−=

=→==

−=+=

=→≥→=≥

≥=

≥

−===

ππ

π

ππ

ππω

X

Y

2m

2m

Columna Viga

PROBLEMA 3.- Se tiene un edificio de un piso que en la dirección Y está conformado por dos pórticos a los extremos y otros dos que están conformados por una columna y un muro de albañilería Los muros tienen 25cm de espesor y un módulo de elasticidad de 25 000 kg/cm2. Las columnas son de concreto armado y tienen 25cm x 40cm (E=250 000 kg/cm2). Para facilitar los cálculos se puede suponer que las vigas son de rigidez infinita y las columnas están empotradas en ambos extremos. El peso total a la altura del techo se puede considerar 96 toneladas. La altura total es de 2.4m y la losa del techo tiene 20cm de espesor.

Se desea determinar el periodo de vibración en la dirección Y. (4 puntos) SOLUCIÓN 3: * Calculando la Rigidez Total ( KT ) : KT = 8xKColumna + 2xKmuro - Cálculo de KColumna = KC : - Cálculo de KMuro = KM :

PLANTA

X

4m

8m

4m 4mY

2m

2m

m42m200

kg0

cmkg0

m250cmkg

2

2

..

.

=

=

cmkg6537565K

20240133333x250000x12K

4cm13333312

40x25IcomohEI12

K

C3C

3

C3C

C

.)(

=→−

=⇒

===

cmkg1772472K

22042x3

22042x4

25x2500

Lhx3

Lhx4

EK muro33

tMuro .

....=→

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

s0930T5445469

859972T

cmskg85997

98196000

gPmcon

Km2T

cmkg5445469K1772472x26537565x8K

2

T

TT

..

.

..

...

=→=⇒

====

=→+=∴

π

π

PROBLEMA 4.- Se desea investigar la vibración de una porción de la losa de un edificio para un local comercial. Se considera que extrayendo un paño típico formado por una parrilla de sólo dos vigas cruzadas se puede representar adecuadamente, por lo menos para un análisis preliminar. Sobre esta parrilla se considera un peso trasmitido por la losa de 48t y que se puede concentrar en el cruce de las vigas. Las vigas son todas de 25 x 40 cm de sección, 6m de longitud. y E= 250,000 kg/cm². Considere que este sistema puede representarse por un sólo grado de libertad que es la deformación vertical al centro del cruce. Considere 5% de amortiguamiento. Determine:

a) La frecuencia circular, la frecuencia natural y el período de este sistema. (3 puntos). b) Sobre este piso el propietario va a realizar sesiones de aeróbicos lo que incluye muchos saltos

conjuntos. Supóngase que las personas que realizan estos ejercicios lo hacen con una frecuencia natural de 2 saltos por segundo. ¿Cuál será la máxima amplificación dinámica que se produce y cuál el máximo desplazamiento al centro si se consideran 10 personas de 70 kg de peso saltando con esa frecuencia alrededor de este punto?. (2 puntos)

c) ¿Cuál tendría que ser la frecuencia natural de los saltos que el entrenador debe evitar llegar para evitar la resonancia? (1 punto).

d) ¿Cuál sería el máximo desplazamiento que se produciría en ese caso,.(2 puntos). SOLUCIÓN 4: a) Calculando las frecuencias y periodos

F(t)

L

M

F(t)

M

(25x40)

4V

2

cm133333I5

cmkg250000E

m6Lt48P

=

=

=

==

%β

Hz7692f36101

T1f

s3610T4017

22T

srad4017

934814815

mK

cmskg9348

98148000

gPm

cmkg14815K

600133333x250000x482

LEI482K2KRigidez

2

33V

..

..

..

.

=→==

=→==

=→==

−===

=→====

πωπ

ωω

Procediendo al calculo de lo solicitado, tenemos que:

b) Calculando la Máxima Amplificación Dinámica Para ello haremos uso de: c) Recordando que la Resonancia se da cuando: c) Calculo del máximo desplazamiento bajo las condiciones anteriores : Sabemos que el Máximo en Resonancia: PROBLEMA 5.- Se tienen un sistema de un grado de libertad con 5% de amortiguamiento. Si se aplica un desplazamiento inicial a la masa y se la deja vibrar libremente en que porcentaje desciende la máxima amplitud en cada ciclo. (3 puntos) Cuantos ciclos se necesitan para que la amplitud esté por debajo de 10% de la inicial. (2 puntos) Depende este número del período del sistema (1 punto). Un sistema rígido tardaría mas o menos tiempo en alcanzar este nivel de desplazamiento. (1 punto). SOLUCIÓN 5: a) Calculando cuanto desciende en cada ciclo:

( )[ ] ( ) [ ]

mmUcmxxFADUU

cmUKFU

LuegokgxF

FADxxx

FAD

fHzf

FAD

máxmáxEstáticomáx

EstáticoEstático

máxmáx

Saltos

máx

110.0098.0067.2047.0

047.014815

700:

7007010

067.2229.005.04229.01

1

722.005.04722.01

1

722.040.17

442

2

41

1

1

1

222222

22

22

=→≈===

=→==

==

=→+−

=+−

=

=Ω

→=Ω

⇒

=Ω→=Ω=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−

=

ωπ

ω

ππ

ωβ

ω

Identificando los términos:

Con la fuerza exitadora:

Hz772f2

40172

fs

rad40171 Saltossonacia

Saltossonacia ... ReRe =→=

Ω=∴==Ω⇒=

Ωππ

ωω

mm74Ucm47010x0470xFADUU

10FAD050x2

121FAD

máximosonacia

máximosonaciaEstático

máximosonacia

máximosonacia

máximosonacia

....

ReReRe

ReRe

=→===

=→==β

%5=β

b) ¿Cuántos ciclos se necesitan para que baje al 10% ? c) ¿Depende este número del periodo ? Como se puede apreciar no. Depende mas bien del amortiguamiento d) ¿Un sistema tardaría más o menos tiempo ? Un Sistema Rígido tiene periodo más corto. Por lo tanto tardaría menos tiempo. PROBLEMA 6.- El pórtico de la figura soporta una máquina vibratoria que ejerce una fuerza horizontal al nivel de la viga de F(t) = 500 sen 11t kilos. Suponiendo 4 % del amortiguamiento crítico, cuál es la amplitud de la vibración permanente. Las columnas laterales y la viga tienen una sección transversal de 25 x 40 cm. y a nivel de la viga hay una peso total de 30t. El módulo de elasticidad del material es 250,000 kg/cm². L=8m, h=4m. (5 puntos) SOLUCIÓN 6: :

%..

.

.Re

.:

...

.

.

27Desciende2707301Desciende

730U

UoInvirtiend

UU3691

UUeemplazando

UUedespejando

UULnLDTambien

3140DL050x22LD

CadaCiclo

CadaCiclo

n

1n

1n

n

1n

n3140

1n

nLD

1n

n

=→=−=

=

=→=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=→==

+

++

++

ππβ

Luego lo que desciende cada ciclo:

Al desarrollar la expresión de la parte a) en “n” términos obtenemos:

( )

( ) ciclos337n730100n100730n100730

100U

UcondiciónlaCon

730U

U

730UU730

UU730

UU730

UU

n

1

1n

n

1

1n

1

2

2n

1n

1n

n

n

1n

..log.log.log.log..

.:

.

.........

=→=→=→=

=

=

====

+

+

−

−

−

+

Multiplicando los “n” términos:

Reemplazando la condición en la expresión anterior se tiene ahora:

"."β

w

L

h

F(t)

8m

4m

F(t) Nuestro modelo es el que se muestra

[ ]

2

t

cmkg250000E

t30P4

kgFt11Sen500F

=

==

=

%

;)(.)(

β

Con “P” calculamos “m”: Calculando la “K”:

43

VC cm13333312

40x25II ===γγ

6461

hEI24

K 3C

Pórtico ++

=

cmkgK

xxxxKK

EntoncesLh

hILI

KK

PPPórtico

c

v

C

V

71435.0645.061

40013333325000024

:

5.05.084

)/()/(

3 =→++

==

=→===== γγ

cmskg5830

98130000

gPm

2−=== .

srad28315

58307143

mK P .

.=→== ωω

( )[ ] ( )

mmUcmxxFADUUFinalmente

cmUKFU

Luego

FADx

FAD

ykgFtsenFtsentF

FAD

máxmáxEstáticomáx

EstáticoP

Estático

máxmáx

máx

44.1144.006.207.0:

07.071435001

:

06.272.004.0472.01

1

72.0283.15

1111500

)()11(.500)(

41

1

2222

.1

.1

22

22

=→===

=→==

=→+−

=

=Ω

→=Ω

⇒

=Ω=Ω==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−

=

ωω

ωβ

ω

Identificando los términos de: