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GEOMETRÍA Y

TRIGONOMETRÍA

JUAN BELTRÁN

FECHA DE ELABORACION 2020/A

Introducción

Geometyría y trigonometría

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Propósito

El propósito de la Geometría y Trigonometría es que el alumno desarrolle sus habilidades del pensamiento, a través de una actitud crítica y creativa, en la solución de ejercicios y problemas de su entorno académico y social, referentes a funciones exponenciales y logarítmicas, geometría euclidiana y trigonometría.

Objetivos

Es que el alumno desarrolle el razonamiento, el análisis, la reflexión que le permitan relacionar los conocimientos adquiridos en la solución de problemas y ejercicios con la finalidad de validar resultados mediante demostraciones formales

Justificación

El enfoque metodológico del problemario se fundamenta en el aprendizaje, a través de la planeación y organización de ejercicios y problemas pertinentes que conduzcan al logro de un aprendizaje significativo, para que el alumno desarrolle y aplique los conocimientos adquiridos en la unidad de aprendizaje

Vinculación entre competencias

COMPETENCIA GENERAL

Resuelve funciones de problemas de funciones exponenciales y logarítmicas de la geometría euclidiana y la trigonometría en situaciones teóricas y reales de su entorno personal social y global.

Competencia Particular 1: Emplea las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas en situaciones teóricas y reales, social y/o global de su entorno personal.

Saberes de la competencia:

• Identifica las funciones exponenciales y logarítmicas en sus diferentes expresiones: verbal, simbólica y gráfico

• Aplica los principios de las propiedades fundamentales de las funciones exponenciales y logarítmicas en la solución de ecuaciones

• Utiliza las funciones y ecuaciones, exponenciales y logarítmicas en la solución de problemas en su entorno personal, social y global.


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Competencia Particular 2: Utiliza el método axiomático deductivo-inductivo para establecer un lenguaje formal


• Será capaz de identificar los conceptos básicos de la geometría euclidiana y el método axiomático deductivo para establecer un lenguaje formal.

• Analiza comparativamente las diferentes figuras geométricas y sus propiedades en su entorno académico y social.

• Utiliza el método axiomático-deductivo y las propiedades de las figuras geométricas para solucionar problemas en su entorno académico y social.

Competencia Particular 3: Emplea las funciones trigonométricas en la solución de triángulos y ecuaciones que se presentan en situaciones de su entorno académico, personal y social.


• Identifica las funciones e identidades trigonométricas, así como sus propiedades a partir de triángulos rectángulos y oblicuángulos.

• Aplica las funciones e identidades trigonométricas para solucionar problemas que dan lugar a triángulos en su ámbito académico, personal y social.

• Utiliza las funciones e identidades trigonométricas en la solución de ecuaciones en su ámbito académico

Estructura y contenidos

• UNIDAD I - Funciones Exponenciales y Logarítmicas

• UNIDAD II - Geometría Euclidiana

• UNIDAD III - Trigonometría


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PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACIÓN

UNIDAD I

I) RESUELVE LAS SIGUIENTES ECUACIONES LOGARÍTMICAS

1)𝑙𝑜𝑔!(𝑥 + 2) − 𝑙𝑜𝑔!𝑥 = 1

2) log!"(x + 1) − log!"(x − 1) = 3

3)

4) 𝑙𝑜𝑔"(𝑥 + 2) − 𝑙𝑜𝑔"𝑥 = 2

5)log(𝑥 + 1) + log(𝑥 − 2) = 1 + log(𝑥 − 3)

II) RESUELVE LAS SIGUIENTES ECUACIONES EXPONENCIALES

1)2$%&' = 8 2)2%&$ = 16

3)2%(' = 625 4)5!%($ =8%&!

5)7%&! =2$%&) 6)2$%&!" = 6%($

7)2&% = ''"

8)5–%(" = 625

9)3"#$% = 81 10)"!!∗!#$%!&

#!= 64

III) RESUELVE EL PROBLEMA UTIIZANDO ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

1) Si al inicio hay 1000 bacterias en un cultivo, y el número de ellas se duplica cada hora, el número de bacterias después de “t” horas puede calcularse con la fórmula:

N = 1000(2)t

¿Cuánto tiempo le tomará al cultivo crecer hasta 30000 bacterias?

2log)15log( =++ xx


4

2) Una población bacteriana se duplica cada hora. Cada bacteria crece hasta cierto tamaño y se divide durante un periodo de una hora. Comenzando por una bacteria

¿Cuántas bacterias habrá al final de doce horas.

3) Se invierte un capital de $25,000.00 a una tasa de 1.4% de interés mensual. ¿En cuánto tiempo se duplicará?

4) En una ciudad de 50,000 habitantes una persona inventa un chisme y lo comunica a tres personas en un cuarto de hora cada una de estas hace lo mismo en siguiente cuarto de hora y lo mismo ocurre con cada una de las personas que se van enterando ¿En cuánto tiempo se habrá enterado toda la ciudad?

UNIDAD II

IV) DETERMINA LO QUE SE TE PIDE EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS UTILIZANDO PROPIEDADES DE LOS ANGULOS.

1) En la figura determina el valor del angulo x

2) En la figura // ; m < 6= 3x+1; m<4=5y-13; m<1=15y-7.

Hallar: m<1, m<4 y m<6.

1L 2L

5 6

1 2

4 3

S


5

3) En la figura // ; m < B= 3x-5; m<F=4y-8; m<C=12y-4.

Hallar: m<B, m<C y m<F.

4) De acuerdo al siguiente esquema, cuál es el valor del ángulo x

5) Encuentra el valor del angulo x

1L 2L

A B

C D

F E

S


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V) DETERMINA LO QUE SE TE PIDE EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS APLICANDO LAS PROPIEDADES DE TRIÁNGULOS:

1) Hallar las medidas de los ángulos internos del triángulo y la medida del ángulo si: m<A=7x+y+2; m<B=5x+10; m< =15x+7y-15

2) Hallar las medidas de los ángulos internos del triángulo y la medida del ángulo si: m<A=2x+y+7; m<B=3x-10; m< =8x+4y-7

VI) UTILIZA EL TEOREMA DE PITAGORAS O EL TEOREMA DE TALES PARA DETERMINAR LO QUE SE PIDE EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS

1) Para medir el ancho de un río, localizamos una piedra blanca en la otra orilla (punto “B”) y realizamos las siguientes mediciones:

AB AD, CD DE. ¿Cuál es el ancho del río?

aa

aa

^ ^

A B

C

75 °

A B

C

80 °

B

A

CD

E

8 m

12 m

6


7

2) Un poste que sobresale del suelo 2 metros, proyecta una sombra de 2 metros. En ese mismo instante, una pirámide cercana proyecta una sombra de 15 metros; más tarde, la pirámide proyecta una sombra de 80 metros, mientras que el poste proyecta una sombra de 4 metros. ¿Cuál es la altura de la pirámide?

3) Un poste de 10 metros y otro de 7 metros se encuentran atirantados por cables en sus extremos; calcular la altura del punto de cruce con respecto al suelo.

4) Un clavadista está entrenando en una piscina con una plataforma. Cuando realiza el salto, cae a una distancia de 1 metro de la plataforma sumergiéndose 2.4 metros bajo el agua. Para salir a la superficie, bucea hasta el final de la piscina siguiendo una línea transversal de 8.8 metros de longitud.

Si la longitud desde la parte superior de la plataforma al lugar en donde emerge del agua es de 11.2 metros, ¿cuál es la altura de la plataforma (desde el nivel del agua)?

5) En la siguiente figura, sabiendo que las dimensiones están en metros, calcula x, y, z. Ten en cuenta que el valor de a=1

A

D

C F

X

h

E 7 m

10 m

B


8

6) Se tiene un terreno en forma de triángulo rectángulo. Sus catetos miden 300 m y 80 m. Determinar el perímetro y el área del terreno

7) Calcula x e y (las unidades son centímetros):

8) Determinar el valor de cada uno de los ángulos del siguiente triangulo rectángulo.


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VII) ANGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA: DETERMINA LO QUE SE PIDE

1) Hallar los valores de <x, <y, arco AB y arco AD

2) En la circunferencia, cuanto mide el angulo OPR

3) En la figura y , ¿Cuánto mide el arco AB?

26=a 36=CD

C

63°

B E

47°

131°

A

D

y

x


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4) En la circunferencia de la figura, arco BC=80º, entonces ángulo

VIII) RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE POLÍGONOS:

1) Calcular el número de lados de un polígono que tiene 12 diagonales más que el número de sus lados.

2) La suma de los ángulos interiores de un polígono es 2340°. ¿Cuál es la suma de sus ángulos exteriores y de qué polígono se trata?

3) Un polígono regular inscrito en una circunferencia, intersecta con dos de sus vértices consecutivos en un arco de 60° y su área es de 3√12u2. ¿Cuánto mide cada uno de sus lados?

4) El área de un polígono regular es de 200 (cm)2 e interseca con dos de sus vértices consecutivos un arco de 15° sobre la circunferencia que lo circunscribe ¿Cuánto mide cada uno de sus lados?

UNIDAD III

IX) RESUELVE LOS SIGUIENTES TRIANGULOS UTILIZANDO TRIGONOMETRIA (PROPIEDADES DE TRIANGULOS RECTANGULOS Y OBLICUANGULOS)

1) A partir del valor de la función que se proporciona, calcular el valor de las demás funciones: (a) sen A = 6/10. (b) tan A = 3/4 (c) Cos A = 0.52.

2) Desde una altura de 23,245 (pies), el piloto de un aeroplano observa la luz de un aeropuerto bajo un ángulo de depresión 28° ¿Qué distancia hay entre el aeroplano y la fuente de luz?

?=a


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3) Para medir la altura de un cerro, tomamos dos puntos de referencia sobre un terreno plano ubicado cerca de la base del cerro. La distancia entre ambos puntos es 500 (m). El ángulo de elevación medido desde uno de los puntos de referencia es de 25° y desde el otro 18°50’. Calcular la altura del cerro.

4) La escuela, la iglesia y la casa de Juanito están sobre la misma calle y en ese orden. Una persona que se encuentra en el campanario de la iglesia, observa la escuela con un ángulo de depresión de 27°42’ y la casa de Juanito con ángulo de depresión de 43°. Calcular la distancia que camina Juanito de su casa a la escuela sí:

a) La distancia de la iglesia a la escuela es de 280 (m) b) La distancia de la iglesia a la escuela es de 300 (m)

5) Dos personas se encuentran separadas 1250 (m) en línea recta, ambas observan un avión con ángulo de elevación de 11° y 14°9’, respectivamente, Calcular la altura a que se encuentra el avión.

6) Desde una altura de 23,245 (pies), el piloto de un aeroplano observa la luz de un aeropuerto bajo un ángulo de depresión 28° ¿Qué distancia hay entre el aeroplano y la fuente de luz?

7) Dos lanchas portan simultáneamente del mismo punto, después de cierto tiempo, una de las lanchas ha recorrido 1250 m y la otra 750 m, si el ángulo que forman ambas trayectorias es de 115.5°C. Calcular la distancia entre ambas lanchas.

8) La torre Eiffel en su base cuadrangular mide 50 metros de lado, ¿cuál es su altura si una persona que mide 1.8 m. de estatura, al mirar la punta mide un ángulo de elevación de 85.40?


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X) RESUELVE LAS SIGUIENTES IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

1) csc 2 X (1-COS2 X)=1

2) Tan A sen A + cos A = sec A

3) !

!#$%&'+ !

!($%&'= 2sec)A

4) $%& *(+,$* -.&*+,$ *

= 2 tan x

5)

6)

7) cot A + tan A= csc A sec A

8) cos x (tan x + cot x)= csc x

senAsenAA

=+

-1cos1

2

AAsenA

AA cotseccostan+=

+


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Bibliografía:

Ø Cuellar, J. A. (s.f.). Matemáticas II. McGraw Hill.

Ø Herrera, A. G. (s.f.). Geometría y Trigonometría. Publicaciones Culturales.

Ø Phillips, E. P. (s.f.). Álgebra con aplicaciones. Harla.

Ø Smith, e. a. (s.f.). Álgebra. Prentice Hall.

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