PROBLEMA QUE SE MODELIZA

LA AUSENCIA DE LA NOCIÓN DE VARIABLE

La concepción de ecuación como igualdad se opone a la ecuación como restricción sobre un dominio, lo cual necesita de la noción de variable. Nos lleva las siguientes preguntas:

¿la conceptualización de las letras como incógnitas provoca obstáculos para la concepción de variable?

¿la conceptualización de las letras como variables, favorece el proceso de ruptura entre la aritmética y el álgebra, ruptura que aparece indispensable para que el álgebra cobre sentido?

¿ es posible apuntar a la conceptualización de las letras como variables, antes de que los alumnos elaboren la noción de incógnita? ¿ A través de que situaciones?

Enunciado de la situación para los alumnos:

“Para separar un patio de un lavadero se colocan en línea canteros cuadrados de baldosas de la misma forma como indica el dibujo”

Luego se les dictará las siguientes consignas en formas fragmentas:¿Cuál es la cantidad de baldosas necesaria

para colocar alrededor de dos canteros según el dibujo dado en la parte superior?Calcular la cantidad de baldosas si tenemos

31 canteros conservando la misma disposición del esquema anterior. Buscar un procedimiento que permita contar la

cantidad de baldosas que se colocarán alrededor de los canteros, cualquiera sea la cantidad del mismo.(los canteros se encuentran en línea)

ORGANIZACÍÓN DE LA CLASE

Momento 1:

•Acción: Una vez que los alumnos se han dispuesto en grupo, la docente propone pensar en las consignas a) y b). Los alumnos comenzará a explorar para dar respuesta al problema.

•Formulación-validación: Se propondrá: justificar la respuesta de cada una de las consignas.

•Puesta en común: se analizan, se comparan y se validan las producciones de cada grupo ante la clase; una vez que los alumnos hayan pensado la cuestión en dicho grupo.

Momento 2:Exploración: la docente propone pensar la

consigna c)donde el alumno manipulará los datos adquiridos para producir una estrategia.Formulación-validación: una vez que los alumnos

hayan explorado, se les pedirá que escriban el procedimiento que permita contar la cantidad de baldosa, que se colocan alrededor de los canteros cuadrados, cualquiera sea la cantidad del mismo(los canteros se encuentran en línea)Puesta en común: se analizan, se comparan y se

validan las producciones de cada grupo ante la clase; una vez que los alumnos hayan pensado la cuestión en dicho grupo.

Momento 3:

Formulación-validación: La docente propone buscar una fórmula que represente el procedimiento escrito en la consigna c). Es decir, una vez que los alumnos hayan explorado, se les pedirá que escriban la fórmula que permita contar la cantidad de baldosa, que se colocan alrededor de los canteros cuadrados, cualquiera sea la cantidad del mismo(los canteros se encuentran en línea)

Puesta en común: se analizan, se comparan y se validan las producciones de cada grupo ante la clase; una vez que los alumnos hayan pensado la cuestión en dicho grupo.

Los conocimientos previos que deben manejar los alumnos al comenzar la secuencia

En la EGB2, los alumnos han resuelto numerosos problemas que involucran una o más de las cuatro operaciones fundamentales con sus diferentes sentidos. En consecuencia, la práctica aritmética es un punto de apoyo para la actividad algebraica.

Antes de construir un pensamiento algebraico, los alumnos deberían saber ¿qué es una fórmula?. Sabemos que en el diseño curricular de la EGB2 aparecen los primeros contactos con fórmulas de área y perímetro de figuras planas. En la EGB2 resuelven aquellos problemas,

cuyas las herramientas matemáticas son fórmulas, que consisten en reemplazar las letras por sus valores para luego resolver. Es decir, los alumnos están manejando formulas, pero no hay lugar a la lectura de fórmulas en términos de relaciones entre variables, según Papini.

En este trabajo se buscará una fórmula que modeliza la situación. Esto permitirá poner en juego las propiedades de un conjunto numérico infinito; y en el alumno un cambio de pensamiento cognitivo. Es decir, lo llevará de lo particular a lo general produciendo un camino deductivo, que es propio del pensamiento matemático, según Mason.

Momento 1:

El objetivo del docente en este momento es que los alumnos tomen contacto con la situación problemática y asuma la responsabilidad del mismo, produciendo así relaciones que le servirán de marco para los momentos sucesivos.

Para responder la consigna a) se espera que el alumno aplique un método de conteo, por ejemplo:

Contar de a uno, oUtilizar procedimientos aritméticos: sumar y/o multiplicar, a modo de

ejemplo: Contar la cantidad de baldosas que tiene la fila superior, siendo igual

en la fila inferior. Luego sumarles las que están en el medio. Las cuentas que se esperan para poder validar lo anterior son las siguientes: 5+5+3, 10+3, 2.5 +3

Contar la cantidad de baldosas que bordea a un cantero y luego sumarle las que bordea al otro quedando la siguiente cuenta: 8 + 5.

Contar la cantidad de baldosas de la primera columna y vemos que quedan 5 de ellas bordeando a cada cantero. Las cuentas que se esperan para poder validar lo anterior son las siguientes: 5+5+3, 10+3, 2.5 +3

En la puesta en común, la docente puede aprovechar esas cuentas para recordar las propiedades de las operaciones en los números naturales. Por ejemplo:

•¿ qué propiedades puedo aplicar para pasar de?5 + 5 + 3 a 10 + 35 + 5 + 3 a 3 + 108 + 5 a 8 + 5x(2 – 1)Para responder la consigna b) se espera que el

alumno aplique una estrategia de conteo, por ejemplo: Contar a partir del dibujo, o Utilizar procedimientos aritméticos: sumar y/o

multiplicar, a modo de ejemplo:30x5 + 3 o 8 + 5x29

En la consigna b) implícitamente apunta a que los alumnos recurran a la imaginación y así las siguientes posibles conclusiones. Por ejemplo: Alrededor del primer cantero tiene 8 baldosas y

los 29 siguientes 5. En las columnas impares hay 3 baldosas y en

las pares 2. Si fijamos la primera columna, tenemos 3; luego, le sumamos las baldosas de las dos columnas siguientes, que son 5 las que bordean al primer cantero. Los siguientes

canteros están bordeados también por 5 baldosas.En cada dos canteros hay 13 baldosas, entonces

multiplico 15 canteros por 13 baldosas

En la puesta en común, las posibles conclusiones anteriores serían las justificaciones de las siguientes cuentas realizado por los grupos respectivamente: 30x5 + 3 8 + 5x29 13x15La docente podría proponer a la clase que justifique

cual/es de las cuentas son correctas. Como hay dos cuentas que dan la misma cantidad de baldosas podemos suponer que los alumnos digan que la última no es la correcta. Entonces, aquellos alumnos que sostienen que las dos primeras son correctas deberán convencer a sus pares para que exista una retracción entre medio-alumno. En caso de no haber una clara justificación, el profesor podría pedirle la cuenta para 5 canteros, luego que verifiquen con el dibujo.

Momento 2:Los alumnos se enfrentan a su primer obstáculo

porque no sabe la cantidad de canteros. Entonces, las herramientas aritméticas son insuficientes; por lo tanto no podrán hacer “la cuenta”.

Encontramos aquí una primera ruptura con respecto a las prácticas aritméticas que consiste en pensar en un número desconocido y manipularlo como si lo fuera.

El hecho de no conocer la cantidad de cantero, podría funcionar como un motor de generalización. De acuerdo a Manson (1996), la generalización es un instrumento de pensamiento esencial para la matemática.

La docente deberá instalar en el seno de cada grupo un dato desconocido y los alumnos no lo aceptan porque quiere darle un valor determinado para luego operar

Por lo tanto, los alumnos tendrían que analizar las producciones anteriores y puedan llegar a las siguientes conclusiones, por ejemplo: Las operaciones que se utilizan son: la suma y el producto. Los números que siempre aparecen son: por un lado 5 y 3; y por el otro 8 y 5. Lo que varía es la cantidad de canteros. En una cuenta, a la cantidad de canteros le multiplicamos por 5; luego le sumamos 3. En la otra cuenta, al resultado del producto entre 5 y la cantidad de canteros menos uno, le sumamos 8.

Puesta en común:

Cada grupo escribirá en el pizarrón su producción y un integrante del mismo lo explicará a sus pares. Luego la docente le pedirá a la clase que diga: ¿cuáles son parecidas? ¿cuáles creen que son correctas y porqué?. Esto permite que exista una retracción entre medio-alumno para que puedan: Comprender aquellos alumnos que todavía no

entendían la situación Modificar aquellas producciones que son

necesarias. Afirmar aquellas producciones que son correctas. Exigir justificaciones de las preposiciones que

utilicen.

Momento 3:

En el momento anterior, la docente debía propiciar confrontaciones entre alumnos para decidir cuales de las producciones eran correctas. Una vez realizada, en el pizarrón quedarían escrito dichos procedimientos. Luego, el profesor le pedirá la fórmula que responda dicho procedimiento. En consecuencia, encontramos otras rupturas con relación a las prácticas aritméticas: La introducción de un objeto matemático nuevo (la

noción de variable y dependencia)

Expresar formalmente el procedimiento implica utilizar nuevas herramientas semióticas, lo cual implica asumir la convencionalidad de usar letras para asignar la variable cantidad de canteros y baldosas.

Podríamos encontrar las siguientes expresiones realizadas por los distintos grupos:

Cant.de canteros x 5 + 3 = cant.de baldosas Cx5 + 3 = b 8 + 5x (cant.de cant. – 1) = cant.de

baldosas Cant.de canteros x 5= cant.de bal.+ 3 =

total de baldosas 8 + 5x (c – 1) = b

Puesta en común:

Cada grupo escribirá en el pizarrón su producción y un integrante del mismo lo explicará a sus pares. Luego la docente le pedirá a la clase que diga: ¿cuáles son parecidas? ¿cuáles creen que son correctas y porqué?. Esto permite que exista una retracción entre medio-alumno para que puedan: Modificar aquellas producciones que son

necesarias. Afirmar aquellas producciones que son

correctas. Exigir justificaciones de las preposiciones que

utilicen.

Una vez que los alumnos clasificaron las fórmulas como correctas, cada grupo deberá discutir sobre las siguientes preguntas:

¿están contando correctamente?

¿el procedimiento es correcto?

La docente dejará escrita en el pizarrón las expresiones que los alumnos eligieron como correcta y se esperan que sean las siguientes:

ax5 + 3 = b

8 + 5x (a – 1) = b

La actividad de discusión sobre las distintas formulas pretende propiciar la explicación de la siguiente cuestión:

¿puede ser que fórmulas diferentes cuenten lo mismo para cada valor de la variable?.

La discusión en torno a esta cuestión se realizará en dos niveles diferentes de trabajo:

en la primera instancia la validación de las distintas fórmulas se podrá hacer tomando valores particulares de la variable cantidad de canteros y constatar que dan iguales. Se pone en juego aquí el concepto de que “dos expresiones son equivalentes se conservan la igualdad para un mismo valor de la variable.”

En una instancia intermedia, a través de la pregunta presentada se obliga al alumno a evaluar las distintas fórmulas en términos de procedimientos, lo cual implica un mayor grado de generalización. Se pone en juego aquí el concepto de que “dos expresiones son equivalentes si expresan un mismo procedimiento (cuentan lo mismo)”

En esta última instancia se propone el estudio sobre la equivalencia de fórmulas poniendo en juego las propiedades de los números y de las operaciones. También, se pone en juego el concepto de que “dos expresiones son equivalentes si a lo largo de distintas transformaciones válidas conserva su denotación”

Se pretende que la equivalencia de las distintas escrituras pueda ser validada en un juego entre el contexto y las propiedades de las operaciones.