Problema Prototipo Autorreflexión de La Unidad 1

8/10/2019 Problema Prototipo Autorreflexin de La Unidad 1

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U1EL MOVIMIENTO COMO RAZN DE CAMBIO Y LA DERIVADA

1

Este mdulo, denominado Clculo en fenmenos naturales y procesos sociales, se

basa en el aprendizaje que hace nfasis en el desarrollo de competencias matem-ticas, por consiguiente es muy importante que participes activa y concientementeen las actividades propuestas y descritas en cada una de las secciones.

PRIMERAPARTE

El libro de la naturaleza, quiero decir el universo, est siempre abiertoante nuestros ojos, pero no lo descifrar nadie que no aprenda

y entienda antes el idioma y las letras con que est escrito.El idioma es matemtico y las letras son figuras geomtricas.

Galileo Galilei (1564-1642)

Movimiento, cambio y lmiteEl movimiento es una caracterstica de las cosas que existen en la naturaleza, desdepartculas muy pequeas como los tomos y los electrones, hasta los cuerpos de

grandes dimensiones como los planetas y las galaxias que experimentan cambioscon respecto a su posicin; dicho de otra forma, nada permanece eternamente enestado de reposo.

1 En este primer apartado es muy importante que a partir de una reflexin res-pondas la siguiente pregunta considerando tus conocimientos previos: qu

Derivada de una funcin:

representa la pendiente de

la recta tangente a la gr-

fica de la funcin en un

punto.

Clculo diferencial:es el

estudio del cambio de las

variables dependientescuando se modifican las va-

riables independientes de

las funciones.

glosario

INICIO

Ests trabajandopara valorar

la importancia delclculo en el estudio

del comportamiento de losfenmenos naturales y/oprocesos sociales, como

concepto para simplificarel anlisis de modelos

matemticos que losrepresenten.


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La dependencia del movimiento en los fenmenos

naturales y los procesos sociales

La vida es como andar en bicicleta, para mantener el equilibriose debe permanecer en constante movimiento.

Albert Einstein (1879-1955)

A travs de la historia los cambios incesantes de la naturaleza han detonado proce-sos permanentes de movimientos y de transformaciones que influyen en la vidahumana y su existencia misma.

a) El clima, motor de movimiento social

Sin duda el clima en la Tierra es un factor crucial para la vida y subsistencia de to-dos los seres humanos. En todas las pocas la sociedad ha tenido que afrontar la

variabilidad del clima, en particular los fenmenos extremos. Hablar del clima deun lugar implica hablar de continuo movimiento, ya que con su constante varia-cin afecta la vida cotidiana, las actividades econmicas y las condiciones sociales

y culturales de ese lugar. La lluvia hace posible la agricultura y la industria; el calorpuede acelerar el crecimiento de las plantas y la formacin de los frutos; el viento,la lluvia y la temperatura determinan el diseo de las casas, y las pautas continua-das del viento en la atmsfera superior determinan las trayectorias de vuelo pre-ferente de las aeronaves. Las sequas prolongadas, las lluvias torrenciales o losinviernos inclementes afectan a los medios de subsistencia, causando inseguridad

y, en ocasiones, muerte y destruccin. Por consiguiente, el clima como factor decambio y movimiento de cada lugar reviste un inters considerable para la mayorade las personas.

Los conocimientos y datos climticos, obtenidos tanto de fuentes cientficas ytradicionales como empricas, encuentran aplicaciones diversas para muy distintosfines, como la organizacin de las actividades agrcolas, la prevencin de brotes deenfermedades infecciosas, el diseo de sistemas de suministro hidrulico y de des-age o la seleccin de destinos tursticos.

Para entender los mecanismos propios del clima, es necesario comprender que

todos ellos estn vinculados al denominado sistema climtico(vase el grfico 1).Ciertos gases atmosfricos, como el dixido de carbono, contrarrestan la pr-dida de calor hacia el espacio, dando lugar al conocido efecto invernadero, quemantiene la Tierra a mayor temperatura de lo que cabra esperar. Esos elementosactan y reaccionan entre s en un flujo constante, creando pautas continuamentecambiantes de temperatura, nubes, lluvia y viento, entre otros y determinando re-gmenes climticos caractersticos, como los de desiertos, trpicos clidos y hme-dos, bosques montaosos fros, y dems.


la importancia del

clculo en el estudiodel comportamiento de los

fenmenos naturales y/oprocesos sociales, como

concepto para simplificar elanlisis de modelos


Sistema climtico: con-

junto de condiciones del

clima y la interaccin en-

tre ellas.

glosario


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Clculo en fenmenos naturales y procesos sociales

3

2 Con base en la informacin obtenida en los prrafos anteriores, responde lassiguientes preguntas:

1. Cmo ayudan las matemticas en el estudio del cambio climtico?

2. De qu forma impacta el clima o los sismos en nuestra vida diaria?

3. Analiza los cambios en la temperatura ambiental que contribuyen a la prediccin del cli-

ma en determinado perodo. Justifica tu respuesta.

Recuerda verificar tus respuestas en el Apndice 1

Uno de los requisitos importantes de la informacin climtica est relacionado conel futuro, es decir, con la toma de decisiones sobre lo que suceder o podra suceder

Grfico 1 Sistema climtico mundial.


la importancia delclculo en el estudio

del comportamiento de losfenmenos naturales y/oprocesos sociales, como

concepto para simplificar elanlisis de modelos


Puedes apoyarte en lossiguientes enlaceselectrnicos: Portal de la

Organizacin Meteorolgi-ca Mundial: http://www.wmo.int/pages/index_es.html; Portal del Servicio

Meteorlgico Nacionalhttp://smn.cna.gob.mx/.

Ms informacin en...


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en un periodo inmediato, mediato o de largo plazo. La manera ms sencilla de es-timar las condiciones climticas por adelantado consiste en presuponer que las pau-tas futuras sern muy similares a las del pasado, tal como lo hacen suponer lasestadsticas climatolgicas, ya que el sistema climtico est configurado por los mis-mos procesos ao tras ao. As, esperamos que se mantengan los ciclos diarios yanuales de temperatura y que los meses de invierno sigan siendo ms fros que losde verano.

Hay otras maneras de estimar lo que suceder en el futuro, por ejemplo consi-derar otras caractersticas del sistema climtico, como las fluctuaciones de tempe-ratura del ocano o las variaciones de los niveles de gases de efecto invernadero(dicha situacin se trata y estudia ms adelante). En las siguientes grficas se repre-sentan dos caractersticas del clima de Reynosa, Tamaulipas, de las cuales podemosobtener informacin y tomar decisiones.

3 De acuerdo con la informacin presentada en los grficos 2a y 2b contesta las

siguientes preguntas:

Grfico 2a y 2b. (a) Promedio mensual de precipitacin

pluvial en Reynosa, Tamaulipas. (b) Variacin de temperatura

por mes en Reynosa, Tamaulipas.


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1. Considerando la lluvia y la temperatura, cul es el mes ms benigno para visitar Reyno-

sa? Justifica tu respuesta.

2. Es cierto que cuando en Reynosa hace ms fro, llueve menos? Justifica tu respuesta.


Como se puede observar el concepto de cambio es sinnimo de variacin; en elejemplo anterior se hace presente que la temperatura y la precipitacin pluvial sondos caractersticas del clima que impactan en la organizacin de diversas activida-des humanas.

b) Los sismos

Tambin un sismo implica movimiento, siendo otro ejemplo de fenmeno naturalque implica movimiento y tiene repercusiones en los procesos sociales. Los sismosson resultado de movimientos de las capas geolgicas en el interior de la Tierraque liberan de forma repentina enormes cantidadesde energa, a pesar de estar siempre en movimiento.Dicha energa se propaga en forma de ondas que pro-

vocan movimientos de la superficie terrestre, mismosque conocemos como sismos o terremotos. Las conse-cuencias de un sismo pueden ser muy negativas noslo por sus aspectos de destruccin y muerte, sinopor el desastre que significan para las economas delos pases que padecen estos fenmenos.

Para entender el origen de un sismo se debe con-siderar que la capa ms superficial de la Tierra, deno-minada litosfera, es una capa rgida compuesta por

material que puede fracturarse al ejercer una fuerzasobre l y forma un rompecabezas llamado placastectnicas.

El 19 de enero de 1995 ocurri un sismo en Kobe,Japn, que provoc 6,000 muertos y 30,000 heridos

y gener graves consecuencias de carcter econmi-co: 300,000 personas sin hogar, destruy o da seve-ramente 100,000 edificios, se produjeron 148 incendios

Ests trabajandopara utilizar de

manera sistemtica elconcepto de razn de cambio

como medio de anlisisdel comportamiento de

fenmenos naturales y/oprocesos sociales presentes

en el entorno.

Las placas tectnicas viajan como bloques de corchoen aguasobre la astenosfera, la cual es una capa visco-els-tica donde el material fluye al ejercer una fuerza sobrel. Estos desplazamientos aleatorios de las placas se de-ben a movimientos convectivos en la capa intermedia de laTierra o manto, formado por material caliente del interiorde la Tierra que sube a la superficie liberando calor interno,mientras que el material fro baja al interior. Este fenmenoprovoca el movimiento de las placas y es justo en los lmitesentre placas donde hacen contacto unas con otras quese generan fuerzas de friccin manteniendo atoradas dosplacas adyacentes y produciendo grandes esfuerzos enlos materiales. Cuando dichos esfuerzos sobrepasan la re-sistencia de la roca, o cuando se vence la fuerza de friccin,se produce la ruptura violenta y la liberacin repentina dela energa acumulada generndose as un temblor que irra-dia dicha energa en forma de ondas que se propagan entodas direcciones a travs del medio slido de la Tierra.


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que destruyeron un rea de 65 hectreas y los daos se estimaron inicialmente en200,000 millones de dlares. El caso de Kobe resulta interesante porque en Japnse consideraba que era una zona de riesgo ssmicomoderado. Los hechos demos-traron lo contrario: Kobe se encuentra en la zona de encuentro de cuatro placastectnicas.

Como se puede observar las consecuencias de los desastres naturales puedenser muy significativas y destruir en pocos segundos miles de vidas e inmensos ysostenidos esfuerzos econmicos de los pases.

Para que se produzca un desastre, adems de la accin de la naturaleza debeestar asociada la vulnerabilidad generada por el hombre. Se entiende por vulnera-bilidad el aumento en la ocupacin irracional del territorio, el crecimiento de lapoblacin, viviendas e infraestructura inadecuadas, los procesos de degradacinambiental, entre otros factores.

4 A partir de la siguiente tabla, donde se especifi-

ca el nmero de sismos en Mxico entre losaos 1990 al 2008, clasificados por su magnitud, elabora

las siguientes grficas, en la computadora o en tu cuader-

no, y responde las preguntas.

Tabla 1 Nmero de sismos en Mxico de 1990 al ao 2008 (vase: http://www.ssn.unam.mx/).

Estadsticas de los sismos reportados por el SSN

AOTOTAL DE SISMO DE MAGNITUD

SISMOS 0 - 2.9 3 - 3.9 4 - 4.9 5 - 5.9 6 - 6.9 7 - 7.9 8 - 8.91990 792 13 246 509 23 1 0 0

1991 732 6 184 510 30 2 0 0

1992 613 5 183 398 27 0 0 0

1993 917 48 275 548 40 5 1 0

1994 622 20 192 383 24 3 0 0

1995 676 16 188 438 26 6 2 0

1996 790 9 203 543 32 3 0 0

1997 1019 57 388 533 34 5 2 0

1998 1023 13 453 531 21 5 0 0

1999 1097 13 540 527 11 4 2 0

2000 1052 37 463 531 18 2 1 0

2001 1344 17 704 585 32 6 0 0

Ests trabajando para elaborare interpretar grficas o tablas de funciones (lineales,

cuadrticas, polinomiales, exponenciales y logartmicas) querepresenten cuantitativamente fenmenos naturales y procesos sociales

para analizar y describir objetivamente su comportamiento e impactoen tu regin, pas o mundo.


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1. Realiza la grfica del nmero de sismos de 3 a 5 grados de magnitud (de leves a mode-

rados) ocurridos cada uno de los aos de ese periodo en Mxico. Est aumentando el

nmero de sismos?

2. Realiza la grfica del nmero de sismos de 5 a 7 grados de magnitud (de moderados a

fuertes) ocurridos cada ao desde 1990 a 2008 en Mxico. Est aumentando el nme-

ro de sismos?

3. Realiza la grfica del nmero de sismos mayores de 7 grados de magnitud (muy fuertes)

ocurridos cada ao desde 1990 a 2008 en Mxico. Est aumentando el nmero de

sismos?


A partir de lo anterior se debe enfatizar que el estudio de diversos fenmenosnaturales que provocan efectos importantes en la sociedad, como el clima o lossismos, tienen sustento al tratar conceptos como el movimiento, el cambioy ellmite. Analizar la informacin sobre la variacin de la temperatura, la precipita-

cin pluvial o los movimientos telricos con respecto al tiempo y en diferentes re-giones, permite no slo identificar escenarios que se gestan en diferentes perodos,sino que cobra relevancia al predecir factores de riesgo y la viabilidad de la toma dedecisiones para la prevencin de desastres.

Ahora bien, independientemente del fenmeno natural o proceso social enestudio, las matemticas representan una herramienta poderosa para modelar si-tuaciones o problemas reales a partir del concepto funcin, y una de las ms im-portantes para el planteamiento y resolucin de diversos problemas relacionados

Estadsticas de los sismos reportados por el SSN

AOTOTAL DE SISMO DE MAGNITUD

SISMOS 0 - 2.9 3 - 3.9 4 - 4.9 5 - 5.9 6 - 6.9 7 - 7.9 8 - 8.9

2002 1688 4 879 761 40 4 0 0

2003 1324 5 729 568 18 3 1 0

2004 * 945 1 429 491 24 0 0 0

2005 * 847 1 459 373 12 2 0 0

2006 * 1077 0 589 464 23 1 0 0

2007 * 1234 0 533 670 27 4 0 0

2008 * 1772 4 1037 709 18 4 0 0

2009 * 2184 4 1552 594 31 3 0 0

2010 * 3425 12 2386 995 28 3 1 0

2011 * 4168 25 3321 788 30 4 0 0

* resultados preliminares

Ests trabajandopara valorar la

importancia delclculo en el estudio delcomportamiento de losfenmenos naturales y

procesos sociales, comoconcepto para simplificar el

anlisis de modelosmatemticos que los

representen.

Funcin:es una regla que

asigna a cada elemento

de un primer conjunto un

nico elemento de un se-

gundo conjunto.

glosario


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A continuacin se describe un ejemplo concreto donde la cada libre de un cuerpopermite determinar una razn instantnea de cambio, en este caso la velocidad.Analicemos un problema particular del movimiento de un proyectil en cada libre,donde el objetivo ser el determinar la velocidad justo en el primer segundo trans-

currido. Para ello consideremos que dicho mvil se deja caer (velocidad inicialcero) desde la azotea de un edificio cuya altura es de 78.4 metros.Entonces, qu ecuacin se obtiene al sustituir los datos en la ecuacin (1)?

Escrbela aqu, a continuacin:

Observa que la funcin distancia depende del tiempo y describe el movimientodel objeto.

Si tu respuesta coincide con la ecuacin siguiente, lo has hecho bien, si no, re-visa tu razonamiento previo.

d t t( ) = +4 9 78 42. . ... (2)

sta es una funcin cuadrtica que puede ser representada grficamente en elplano cartesiano.

Qu te indica el signo negativo del coeficiente del trmino t 2?

Si has respondido que se trata de una parbola cncava hacia abajo, vas bien;en caso contrario reflexiona sobre tu razonamiento,

Cul es el eje de simetra?Seguramente contestate que es el eje vertical d(t), y ello es correcto; si no, ya lo

sabes, revisa tus procesos de reflexin.Los cortes en los ejes de coordenadas del plano cartesiano (tiempo vs distan-

cia) se determinan a continuacin.Si hacemos t= 0 en la funcin distancia d(t), entonces, cmo queda la ecua-

cin que tuviste anteriormente?

Figura1 Movimiento de un proyectil que cae libremente, despreciando la resistencia al aire, con velocidad

inicial v0, desde una distancia inicial d0y bajo la influencia de la fuerza de atraccin terrestre (gravedad).


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Si tu respuesta es igual a esta d 0 4 9 0 78 4 78 4( ) = ( ) + =. . . , vas bien.El valor 78.4 determina el punto (0, 78.4), qu representa dicho valor?

Representa el corte en el eje vertical, de hecho es el punto de partida del fen-meno observado.

Ahora bien, si hacemos d(t) = 0, cmo queda la ecuacin que encontraste?

Pues s, si hacemos la sustitucin queda 0 4 9 78 42= +. .t ; al despejar la varia-

ble independiente se obtiene: = = = t 78.44.9

16 4 s.

Dado este resultado, cules son los puntos donde corta la parbola al eje hori-zontal?

Cierto, los puntos son t1= (4.0) y t

2= (4.0). De hecho el tiempo establecido

por t2es el momento de impacto del proyectil con el piso, mientras que el tiempot1carece de sentido en el fenmeno estudiado. Una pregunta interesante sera elresponder por qu carece de sentido el preguntarnos sobre la posicin o distanciadel proyectil en el tiempo t 1= (4.0).

Las figuras 2a y 2b describen el fenmeno anterior desde la perspectiva de lafsica y la matemtica respectivamente.

De acuerdo con el problema planteado la grfica de la funcin distancia slotiene sentido para cualquier t 0, as que para poder determinar la distancia del

proyectil respecto al piso basta con evaluar la funcin en cualquier tiempo [ ]

t 0, 4 ,es decir, dentro de dicho intervalo, lo que nos indica por qu no tiene significado eltiempo t1= (4.0).

Ahora bien, para determinar la velocidad del proyectil en cualquier instanteconviene recordar algunos principios de la f sica. Si un cuerpo en movimiento tie-ne unavelocidad constante, entonces sta queda expresada como el cociente de ladistancia entre el tiempo de la siguiente forma:

v d

t=

Pero si la velocidad del cuerpo o proyectil en movimiento no es constante,como sucede en el problema que estamos analizando, entonces se define la veloci-dad mediaopromedioa travs del cociente entre las diferencia de las distancias ylas del tiempo, como lo representa la siguiente expresin matemtica:

)( )(=

vd t d t

t t

f i

f i

promedio

Velocidad constante: es

un movimiento en donde

la rapidez y la direccin

no varan.

glosario


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La velocidad promedio es la distancia final menos la distancia inicial entre el tiem-po final menos el tiempo inicial, es decir, representa la razn del incremento de ladistancia respecto al incremento en el tiempo. Debe quedar claro que la definicinanterior est basada en la idea de aproximar la velocidad del proyectil en un inter-

valo de tiempo a partir de una velocidad constante conocida como velocidad pro-

medio ovelocidad media.De esta forma la velocidad promedio permite realizar aproximaciones paradeterminar la velocidad del proyectil en un determinado instante. Es importanteresaltar que las aproximaciones ofrecen resultados ms precisos conforme el inter-

valo en el tiempo se reduce. A continuacin se realiza un anlisis del cambio en lasvelocidades promedio para poder calcular el valor exacto de la velocidad del pro-yectil justo en el primer segundo transcurrido de tiempo, es decir, la velocidadinstantneaen t= 1. En la siguiente tabla se toma como ancla o distancia final el

Figura 2a y 2b. (a) Representacin fsica de la distancia recorrida por un proyectil que cae libremente desde

una altura de 78.4m y con velocidad inicial cero. (b) Grfica de la funcin cuadrtica (ecuacin 2) que

representa el movimiento del proyectil, una parbola con vrtice en el punto (0, 78.4), cncava hacia abajo ycon cortes en el eje horizontal en t1y t2 respectivamente.


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tiempo final t= 1, y se asignan valores al tiempo (inicial) cada vez ms cercanostanto mayores como menores que 1.

Tabla 2 Velocidad promedio de un proyectil en cada libre

Tiempo incial (ti) Distancia inicial,d(ti)=4.9(ti)+78.4

Incremento enla distancia,

d(t) = d(tf) d(ti)

Incremento enel tiempo,t= tf ti

Velocidad promedio, d(t) / t

0.5 77.1750 -3.6750 0.50 -7.350

0.6 76.6360 -3.1360 0.40 -7.840

0.7 75.9990 -2.4990 0.30 -8.330

0.8 75.2640 -1.7640 0.20 -8.820

0.9 74.4310 -0.9310 0.10 -9.310

0.99 73.5975 -0.0975 0.010 -9.7510

0.999 73.50980 -0.00980 0.0010 -9.79510

0.9999 73.500980 -0.000980 0.00010 -9.799510

0.99999 73.5000980 -0.0000980 0.000010 -9.7999510

0.999999 73.50000980 -0.00000980 0.0000010 -9.799995112

0.9999999 73.500000980 -0.000000980 0.00000010 -9.799999526

tf 1 73.5000000000

1.0000001 73.499999020 0.000000980 -0.00000010 -9.8000003788

1.000001 73.49999020 0.00000980 -0.0000010 -9.800004890

1.00001 73.4999020 0.0000980 -0.000010 -9.8000490

1.0001 73.499020 0.000980 -0.00010 -9.800490

1.001 73.49020 0.00980 -0.0010 -9.80490

1.01 73.4015 0.0985 -0.010 -9.8490

1.1 72.4710 1.0290 -0.10 -10.290

1.2 71.3440 2.1560 -0.20 -10.780

1.3 70.1190 3.3810 -0.30 -11.270

1.4 68.7960 4.7040 -0.40 -11.760

1.5 67.3750 6.1250 -0.50 -12.250

Del anlisis de los datos en la ltima columna, velocidad promedio, se obtiene unvalor constante que determina la velocidad instantnea del proyectil para t= 1.Una pregunta importante para ti es: podras identificar dicho valor constante alque tienden las diferentes aproximaciones infinitas (velocidades promedio)?

De la tabla anterior se observa que para intervalos tanto por arriba como pordebajo del ancla t= 1, las velocidades promedio tienden (se acercan) entre s a un

valor constante. En esta parte se ha utilizado un paso de acercamiento muy fino, esdecir, se obtienen mejores aproximaciones al reducir gradualmente el incremento


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en el tiempo, por ejemplo, al definir =t 1f y el tiempo inicial =t 1.00011 , entoncesel incremento en el tiempo es = t t 0.0001f i ; de tal forma que la velocidad pro-medio resultante es:

( ) ( ) ( ) ( )=

=

=vd t d t

t t

d d1 1.0001

0.00019.800490m s

f i

f i

promedio

Al utilizar un paso de acercamiento cada vez ms fino, o dicho de otra forma, ha-ciendo que el incremento en el tiempo sea cada vez ms pequeo, se obtiene unproceso infinito de mejores aproximaciones que tienden a un valor constante de la

velocidad del proyectil en el tiempo t= 1, a saber = 9.8 m/s, valor que coincide con

la aceleracin debida a la gravedad. En el lenguaje de las matemticas el conceptollamado lmite, representa el valor constante al que tienden las aproximacionesinfinitas de las velocidades promedio conforme el incremento en el tiempo tiendea cero.

5 Si alguien te preguntara qu caer ms rpido al soltarlo desde una terraza, unpiano o un trozo de papel, qu responderas? Justifica tu respuesta y comp-

rala con el siguiente experimento; si es distinta tu respuesta a la conclusin del experi-

mento, analiza por qu sucedi as.Materiales:

Trozo de papel Moneda

Procedimiento:Primera parteToma el trozo de papel sin doblarlo, no importa si es de peridico o de mayor calidad, y

tampoco importa su tamao, aunque el experimento funciona mejor con un trozo no

Grfico 3 Conforme el incremento

en el tiempo tiende a cero, la

velocidad promedio tiende a lavelocidad instantnea del proyectil.

Ests trabajandopara valorar la

importancia delclculo en el estudio delcomportamiento de losfenmenos naturales y

procesos sociales, comoconcepto para simplificar el

anlisis de modelosmatemticos que los

representen.


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mayor a 20 cm por lado aproximadamente. Tambin toma una moneda; tampoco im-

porta el material ni el tamao

Debes tomar uno con cada mano y dejarlos caer al mismo tiempo al suelo desde la

misma altura. Como vers, la moneda llega primero al piso que el trozo de papel.

1. Por qu?

Segunda parteAhora toma de nuevo el trozo de papel y con fuerza transfrmalo en una pelota muy

pequea y compacta. Nuevamente deja caer al mismo tiempo ambos, observa y res-

ponde qu sucede,

2. Cmo funciona?

Seguramente y a primera impresin parece que la pelota de papel es ms pesada al

compactarla, pero si piensas un poco esto no es as, ya que la cantidad de papel que hay

antes y despus de compactarlo es la misma.3. Cmo explicas lo que realmente sucedi en estas dos partes del experimento casero?

Escribe tus conclusiones con base en los resultados que acabas de obtener y explica lo

que est pasando.


Con estas ideas como base vamos a describir el mtodo de anlisis que permiteresolver el problema de encontrar la velocidad de un proyectil en cada libre paracualquier tiempo t. Esta herramienta matemtica, tan importante en el estudio ytratado de fenmenos naturales y procesos sociales, se conoce como mtodo deincrementosy contribuye en la determinacin de la razn instantnea de cambio.Este tipo de anlisis se puede aplicar al estudio de fenmenos sociales, como se

ver ms adelante.

Mtodo de los incrementos

Este mtodo consiste en aumentar una determinadacantidad arbitraria a una de las variables y proceder aanalizar el comportamiento de la funcin incrementada.

Consideremos un intervalo de tiempo, expresadoen trminos generales a partir de [ ]+ t t t, , en donde

Entra a la pgina de laNASA: http://www.jsc.nasa.gov/Bios/htmlbios/scott-dr.html, para conocer algunos

experimentos que se hanrealizado en la Luna.

Ms informacin en...

Ests trabajando para utilizar la obtencin de la derivadapara formar una idea aproximada de la variacin de la

funcin de los fenmenos naturales y procesos sociales a fin deexplicar y predecir situaciones o hechos de manera objetiva,

propositiva, crtica y analtica.


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se ha introducido la notacin t(delta t) que significa incremento del tiempo. Aho-ra calculemos la velocidad promedio entre el tiempo t y t + t, para la funcindistancia descrita anteriormente:

( ) ( ) ( ) ( )( )

=

=

=

+

+ V

d t d t

t t

d

t

d t t d t

t t t

f i

f i

promedio ,

sustituyendo valores se tiene:

( )( )

=

=

+ + +

V

d

t

t t t

t

4.9 78.4 4.9 78.4promedio

2 2

,

desarrollando:

( ) ( )( ) ( )=

=

+ + + +

V

d

t

t t t t t

t

4.9 2 78.4 4.9 78.4promedio

2 2 2

( ) ( )=

=

+ +

V

d

t

t t t t t

t

4.9 9.8 4.9 78.4 4.9 78.4promedio

2 2 2

,

=

= V

d

t t t9.8 4.9promedio

Del anlisis de esta ltima ecuacin, qu pasa si el incremento en el tiempodisminuye cada vez ms? Qu significado tiene esta disminucin?

De hecho, si el incremento del tiempo tiende a cero (es cada vez ms pequeo),qu pasa con la velocidad promedio?

Seguro ya lo respondiste correctamente, se aproxima al valor de la velocidad

instantnea en el tiempo t, esto implica que el segundo sumando tienda a cero tam-bin (se hace arbitrariamente pequeo), en otras palabras, qu pasa si ttiende acero?

As es, la velocidad promedio tiende a 9.8t. En lenguaje matemtico, lo ante-rior se expresa de la siguiente forma:

{ }{ }= =

v v d

t

lm lmt t

instantnea

0

promedio

0

donde { } lm t o , representa la notacin matemtica del concepto denominado l-mite, el que al final de la presente seccin se describe en palabras de Isaac Newton

y se presenta una definicin.Es decir, en trminos del problema planteado se tiene que:

{ }= =

v t t t lm 9.8 4.9 9.8t

instantnea0


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por lo que la velocidad del proyectil en el instante t= 1 es:

( )= = v 9.8 1 9.8 msinstantnea

A partir del mtodo de incrementos y con el simple hecho de sustituir valores,podemos responder fcilmente la siguiente pregunta: cul es la velocidad de im-pacto con el piso del proyectil?, o dicho de otra forma, cul es la velocidad instan-tnea del proyectil en t= 4?

El tiempo de choque con el piso ya se haba calculado anteriormente al realizar

la grfica de la funcin distancia, de hecho representa uno de los cortes con el eje t.Por lo tanto, la velocidad del proyectil al momento del choque con el piso es:

( )= = v 9.8 4 39.2 msinstantnea

La idea y desarrollo del concepto del lmite como mtodo de anlisis matem-tico fue producto del trabajo de muchas generaciones que comenzaron con Arqu-medes, uno de los grandes exponentes de las matemticas de la antigua Grecia,hasta culminar con los trabajos de Issac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz(1646-1716) en el siglo , quienes desarrollaron el clculo matemtico que hoyen da se utiliza para estudiar y tratar fenmenos naturales y procesos sociales. Estetrabajo matemtico tiene sustento en la bsqueda de solucin de problemas que nose haban podido resolver mediante los mtodos de la aritmtica, el lgebra y lageometra elemental. De la misma forma, en la construccin de los conocimientosanteriores pusiste en prctica competencias que te servirn a lo largo de la vida,incluso en contextos que rebasan con mucho los saberes propios de las matemti-cas, ya que te han ayudado a formar una concepcin sistemtica, objetiva y cient-fica que pondrs en prctica al afrontar cualquier problema de tu contexto.

Gottfried Leibniz.

Busca en alguna bi-blioteca cercana librossobre Isaac Newton yGottfried Leibniz. En-

contrars que sus vidasy aportes estn ntima-mente relacionados y hansido muy importantespara cimentar los avan-ces cientficos que lahumanidad ha tenidodesde entonces.

Como ya se dijo al principio, el clculo se desarroll gracias a cuatro importan-tes problemas en los que los matemticos europeos trabajaban durante el siglo:

El problema de la velocidad y la aceleracin. El problema de la recta tangente. El problema de mximos y mnimos. El problema del rea en figuras cuya frontera es curva.

Cada uno de estos problemas comprende la nocin del lmite y es posibletratar el clculo matemtico con cualquiera de ellos. El primero de los proble-mas mencionados es precisamente el que se ha estudiado en esta seccin comoejemplo y cuya solucin contribuy al origen del concepto de derivada deuna funciny al denominado Clculo diferencial. El segundo y el tercer pro-blema mencionados tienen relacin con la derivaday el Clculo diferencial,


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Este nuevo mtodo de anlisis, el lmitey en general el Clculo diferencialeinte-

graltuvo enormes repercusiones en la ciencia y la tecnologa, en especial en lamecnica y en la solucin de problemas de geometra. La rpida extensin de lasaplicaciones del clculo motivaron el desarrollo de otras ramas de la matemticacomo la teora de series y las ecuaciones diferenciales. En un principio, en la pocade Newton, el clculo no era muy conocido; la notacin definitiva y el formalismoque actualmente se utiliza se asent hasta la mitad del siglo con el trabajo delmatemtico francs Augusto Cauchy (1789-1857).

La presente seccin termina citando el lema que Isaac Newton ofrece sobre elconcepto de lmite en su obra maestra:

Las cantidades, y las razones de cantidades, que en cualquier tiempo finito tien-den continuamente a la igualdad, y antes de terminar ese tiempo se aproximan unaa otra ms que por ninguna diferencia dada, acaban hacindose en ltima instan-cia iguales.

Ahora bien, debe quedar claro que el enfoque del presente libro no trata alClculo desde el punto de vista de los infinitesimales, pero dada su importanciahistrica para las matemticas, a continuacin se ofrece al lector una definicinque resulta til para la determinacin del valor lmite de una funcin.

por lo que sern estudiados durante esta unidad. El ltimo problema nos per-mite, entre otras cosas, calcular reas de figuras con frontera curva, o la dis-tancia recorrida por un mvil, y esto representa el origen del Clculo integralque estudiaremos en la segunda unidad de este libro.

Augusto Cauchy.

Busca la biografade Augusto Cauchy parapoder conocer otras apor-taciones de este brillan-te matemtico francs aldesarrollo de la ciencia.

Definicin de lmite de una funcin

El lmite de una funcinfen aesL, si para infinitesimal se tiene que:

F q L F a L +( ) = + +( ) = + , con infinitesimal.

Es importante sealar que la definicin anterior tiene sentido aplicarlacuando se presenta la forma indeterminada 0/0.

Por ejemplo, sifes la funcin definida porf

x

xx( ) =

1

1

3

4

se debe observar que parax= 1 el denominador y numerador anterior se anu-lan, por lo que se tiene la forma indeterminada. Conviene entonces preguntar-se por el lmite de la funcin cuandoxtiende a 1 (x1).

Problema Prototipo Autorreflexión de La Unidad 1

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