Problema 1: Trobar la recta que passa pel punts A(2, -3) i B(-1, 3)

Gràficament, es tractaria de situar els punts en uns eixos de coordenades…

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

… i de dibuixar la recta que passa pels dos punts…

Problema 1: Trobar la recta que passa pel punts A(2, -3) i B(-1, 3)

Vejam com es feria analíticament…a la vegada que representam gràficament tot el que anam trobant…

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Començam per trobar un vector que tengui la mateixa direcció que la recta…

A

B

Aquest pot ser el vector AB=(-1, 3) - (2, -3) = (-3, 6)

Agafant com a vector director AB=(-3, 6) i un dels punt de la recta, per exemple A(2, -3), podem escriure cadascuna de les equacions de la recta:

L’equació vectorial: (x, y) = + t·

l’equació paramètrica:

(2, -3)(-3, 6)

x = 2 - 3t

y = -3 + 6t

l’equació contínua: 6

3

3

2

yx

6x – 12 = – 3y – 9

l’equació explícita:3

36

xy Que simplificant queda… 12 xy

…agafant coordenada a coordenada, obtenim…

…aïllant el paràmetre en cada equació i igualant, obtenim…

…multiplicant en creu, obtenim…

…aïllant la “y”, obtenim…

Problema 1: Trobar la recta que passa pel punts A(2, -3) i B(-1, 3)

Problema 1: Trobar la recta que passa pel punts A(2, -3) i B(-1, 3)

Equacions paramètriques: x = 2 - 3t

y = -3 + 6t

Afegirem una pregunta a l’enunciat:

Troba 2 punts de la recta diferents als punts A i B.

El més còmode és partir de les equacions paramètriques donant valors al paràmetre t

Per exemple, per t = 1:

3631·63

1321·32

y

xEns dona el punt ( -1, 3)

Podem seguir trobant punts igualment donant valors diferents al paràmetre, però provarem de fer-ho també utilitzant una altre equació que no sigui la paramètrica.

Per exemple, teníem l’equació explícita que ens havia donat: 12 xy

Trobar punts a partir d’aquesta també és molt fàcil, simplement hem de donar un valor a “x” i trobar el valor corresponent a la “y”:

Per exemple, si prenem x = 4, 71814·2 yI obtenim el punt (4, - 7)

Problema 1: Trobar la recta que passa pel punts A(2, -3) i B(-1, 3)

Afegirem una altra pregunta a l’enunciat:

Troba 2 punts de la recta diferents als punts A i B.

Comprovar si els punts C(-2, 4), D( - 3, 7) i E(4, -7) i F(5, 6) són de la recta.

Comprovarem si C i D són de la recta utilitzant les equacions paramètriques i després comprovarem si E i F són de la recta utilitzant l’equació explícita, així veurem com es fa utilitzant dos mètodes diferents.

Equacions paramètriques: x = 2 - 3t

y = -3 + 6t

Per comprovar si C és de la recta, col·locam les seves coordenades a les equacionsi observem si es compleixen per algun valor del paràmentre “t”. Aquest valor ha de ser única ambdues equacions.

6

7436634

3

4223322

ttt

ttt Observam que cada equació ens dona un valor diferent pel paràmetre, això vol dir que el punt C no és de la recta.

Problema 1: Trobar la recta que passa pel punts A(2, -3) i B(-1, 3)

Troba 2 punts de la recta diferents als punts A i B.

Comprovar si els punts C(-2, 4), D( - 3, 7) i E(4, -7) i F(5, 6) són de la recta.

Repetim el mateix procediment per comprovar si D és de la recta:

3

5

6

10736637

3

5323323

ttt

ttt Observam que cada equació ens dona el mateix valor pel paràmetre, això vol dir que el punt D sí és de la recta.

Utilitzarem ara l’equació explícita per comprovar si E és de la recta:

12 xyEquació explícita:

Simplement hem de substituir els valors a l’equació i veure si aquesta es compleix:

7718714·27 Si que es compleix, això vol dir que el punt E sí és de la recta.

Comprovem ara el punt F:

96110615·26 Però això no és cert!no es compleix l’equació, això vol dir que el punt F no és de la recta.

Problema 1: Trobar la recta que passa pel punts A(2, -3) i B(-1, 3)

Troba 2 punts de la recta diferents als punts A i B.

Comprovar si els punts C(-2, 4), D( - 3, 7) i E(4, -7) i F(5, 6) són de la recta.

Afegirem una altra pregunta a l’enunciat:

Trobar l’angle que forma la recta amb l’horitzontal.

L’angle demanat és el que es representa a la gràfica:

Per trobar aquest angle, si tenim l’equació explícita, que

sempre és de la forma y = mx + n, és molt fàcil, ja quela tangent d’aquest angle és sempre el valor m (pendent dela recta).

La nostra equació explícita era: 12 xy

que té -2 com a pendent, llavors la tangent de l’angle que cercam (que li direm serà -2.

º6.1162arctan2tan

Observació: recorda que sempre hi ha dos angles que tenen la mateixa tangent: i +180, d’aquests dos angles, sempre s’agafa el que està entre 0º i 180º.

Trobam l’angle que ens demanen:

Problema 2. Troba l’equació del punt-pendent de la recta que passa per A(-4, 1) i que forma un angle de 30º amb l’horitzontal.

Primer hem de trobar la pendent (m) d’aquesta recta calculant la tangent de l’angle:

3

330tan m

Ara podem escriure l’equació:

43

31 xy

Surten de les coordenadesdel punt A(-4, 1)

43

31 xy

Problema 2. Troba l’equació del punt-pendent de la recta que passa per A(-4, 1) i que forma un angle de 30º amb l’horitzontal.

Afegirem una altra pregunta a l’enunciat:

Troba l’equació explícita i les equacions paramètriques:

Per trobar l’equació explícita només cal que aïllem la y de l’equació del punt-pendent:

43

31 xy 1

3

34

3

3

3

34

3

31 xyxy

3

334

3

3 xy

Equació explícita

Per escriure les equacions paramètriques, necessitamun punt i un vector director. El que farem és extreure dosPunts de l’equació explícita:

Si donam el valor x = 0, llavors obtenim 3

334

3

3340·

3

3

y

I si donam el valor x = - 4, llavors obtenim

13

3

3

334

3

34

3

3344·

3

3

y

Problema 2. Troba l’equació del punt-pendent de la recta que passa per A(-4, 1) i que forma un angle de 30º amb l’horitzontal.

Troba l’equació explícita i les equacions paramètriques:

Ara ja tenim dos punts de la recta A

3

334,0 i B(-4, 1)

Podem trobar un vector director:

3

34,4

3

3343,4

3

3341,4

3

334,01,4AB

(Per escriure les equacions paramètriques, triam el punt B perquè té les coordenades més senzilles):

ty

tx

3

341

44

FíEsper que els radicals del darrer exercici no us hagin espantat!!!!