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  • PROBLEMAS DE

    TRANSFERENCIA DE CALOR

    Juan Carlos Ramos Gonzlez Doctor Ingeniero Industrial

    Ral Antn Remrez

    Doctor Ingeniero Industrial

    Diciembre de 2009

  • Transferencia de Calor / Curso 2009-10

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    NDICE

    Problemas Tema 1. Introduccin a la transferencia de calor y a la conduccin ............................. 1

    Problemas Tema 2. Conduccin unidimensional en rgimen estacionario..................................... 7

    Problemas Tema 3. Conduccin bidimensional en rgimen estacionario..................................... 15

    Problemas Tema 4. Conduccin en rgimen transitorio ............................................................... 21

    Problemas Tema 5. Introduccin a la conveccin......................................................................... 29

    Problemas Tema 6. Conveccin forzada en flujo externo ............................................................ 33

    Problemas Tema 7. Conveccin forzada en flujo interno ............................................................. 37

    Problemas Tema 8. Conveccin libre o natural ............................................................................ 41

    Problemas Tema 9. Introduccin a la radiacin............................................................................ 45

    Problemas Tema 10. Intercambio radiativo entre superficies ....................................................... 51

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    PROBLEMAS TEMA 1. INTRODUCCIN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR Y A LA CONDUCCIN

    1. (2.7 del Incropera; Ley de Fourier) En el sistema mostrado en la figura se produce una conduccin de rgimen estacionario unidimensional sin generacin de calor. La conductividad trmica es 25 W/mK y el espesor L es 0,5 m.

    Determine las cantidades desconocidas para cada caso de la tabla siguiente y dibuje la distribucin de temperatura indicando la direccin del flujo de calor.

    Caso T1 T2 dT/dx (K/m)

    xq (W/m2)

    1 400 K 300 K 2 100 C -250 3 80 C 200 4 -5 C 4.000 5 30 C -3.000

    Solucin: 1) 200 K/m, -5.000 W/m2; 2) 498 K, 6.250 W/m2; 3) -20 C, -5.000 W/m2; 4) -85 C, -160 K/m; 5) -30 C, 120 K/m.

    2. (1.13 del Incropera; Conveccin) Un chip cuadrado isotrmico de lado 5 mm est montado en un sustrato de manera que sus superficies laterales e inferior estn bien aisladas, mientras que la superficie frontal se expone a la corriente de un fluido refrigerante a 15 C. La temperatura del chip no debe sobrepasar los 85 C. Si el fluido refrigerante es aire (h = 200 W/m2K), cul es la potencia mxima admisible del chip? Si el fluido refrigerante es un lquido dielctrico (h = 3.000 W/m2K), cul es la potencia mxima admisible del chip?

    Solucin: 0,35 W y 5,25 W. 3. (Radiacin y balance de energa) Un antiguo alumno de la Escuela que trabaja en la ESA

    (Agencia Espacial Europea) nos ha transmitido la siguiente cuestin: Una sonda de exploracin espacial cuyas placas de energa fotovoltaica tienen una superficie Ap y una temperatura de fusin Tp = 2.000 K es enviada en direccin al Sol. Calcular el radio de la rbita solar mnima (Ro) a la que se podr acercar la sonda al Sol. Datos: constante de

    x

    T2 T1

    L

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    Stefan-Boltzmann = 5,6710-8 W/m2K4; temperatura de la superficie solar Ts = 6.000 K; radio del Sol Rs = 7108 m; suponer que tanto el Sol como las placas se comportan como cuerpos negros ( = = 1). Solucin: Ro = Rs (Ts/Tp)2.

    4. (Conveccin y radiacin) Una persona desvestida tiene una superficie de 1,5 m2 expuesta a un ambiente y a unos alrededores de 27 C. La temperatura de su piel es de 33 C y se puede considerar un emisor de radiacin perfecto. Si el coeficiente de transferencia de calor por conveccin es de 9 W/m2K, hllese:

    a) Las prdidas de calor por conveccin y por radiacin. b) El gasto energtico en kcal/da.

    Solucin: a) qconv = convQ& = 81 W, qrad = radQ& = 56,8 W; b) 2.846 kcal/da. 5. (2.6 del Incropera; Ley de Fourier) Para determinar el efecto de la dependencia de la

    temperatura de la conductividad trmica sobre la distribucin de temperatura en un slido, considere un material para el que esta dependencia puede representarse como

    k = ko + aT donde ko es una constante positiva y a es un coeficiente que puede ser positivo o negativo. Dibuje la distribucin de temperatura de rgimen estacionario asociada con la transferencia de calor en una pared plana para tres casos que corresponden a a > 0, a = 0 y a < 0.

    6. (2.11 del Incropera; Ley de Fourier) En el cuerpo bidimensional que se muestra en la figura se encuentra que el gradiente en la superficie A es T/y = 30 K/m. Cunto valen T/y y T/x en la superficie B?

    Solucin: T/y = 0; T/x = 60 K/m.

    7. (1.27 del Incropera; Balance de energa) Una placa de aluminio de 4 mm de espesor se monta en posicin horizontal con su superficie inferior bien aislada. Se aplica a su superficie superior un recubrimiento que absorbe el 80% de cualquier radiacin solar incidente y tiene una emisividad de 0,25. La densidad y el calor especfico del aluminio son 2.700 kg/m3 y 900 J/kgK, respectivamente.

    a) Considere las condiciones para las que la placa est a una temperatura de 25 C y la superficie superior se expone sbitamente al aire ambiente a T = 20 C y a radiacin solar que proporciona un flujo incidente de 900 W/m2. El coeficiente de transferencia

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    de calor por conveccin entre la superficie y el aire es h = 20 W/m2K. Cul es la velocidad inicial de cambio de la temperatura de la placa? Suponga que no hay alrededores.

    b) Cul ser la temperatura de equilibrio de la placa cuando se alcancen las condiciones de rgimen estacionario?

    c) Represente mediante Excel una grfica de la temperatura de rgimen estacionario como funcin de la emisividad para 0,05 1, para tres valores de la absortividad de la placa de 0,5, 0,8 y 1 con el resto de condiciones constantes. Si la finalidad es maximizar la temperatura de la placa, cul es la combinacin ms deseable de emisividad y absortividad de la placa?

    Solucin: a) 0,052 K/s; b) Ts = 321 K. 8. (1.31 del Incropera; Balance de energa) En una etapa de un proceso de recocido, 1 hoja de

    acero inoxidable AISI 304 se lleva de 300 K a 1.250 K conforme pasa a travs de un horno calentado elctricamente a una velocidad de vs = 10 mm/s. El espesor y ancho de la hoja son ts = 8 mm y ws = 2 m, respectivamente, mientras que la altura, ancho y largo del horno son Ho = 2 m, Wo = 2,4 m y Lo = 25 m, respectivamente. La parte superior y cuatro lados del horno se exponen al aire ambiental y a alrededores a 300 K, y la temperatura de la superficie del horno, su emisividad y el coeficiente de conveccin respectivos son Ts = 350 K, s = 0,8 y h = 10 W/m2K. La superficie inferior del horno tambin est a 350 K y reposa en una placa de cemento de 0,5 m de espesor cuya base est a 300 K. Estimar la potencia elctrica que se requiere suministrar al horno. Datos: kcemento (a 300 K) = 1,4 W/mK. Propiedades termofsicas del acero inoxidable AISI 304: = 7.900 kg/m3.

    T (K) cp (J/kgK)600 557 800 582

    Solucin: 841 kW.

    9. (2.12 del Incropera; Ley de Fourier) Algunas secciones del oleoducto de Alaska estn tendidas sobre tierra, sostenidas por columnas verticales de acero (k = 25 W/mK) de 1 m de longitud y seccin transversal de 0,005 m2. En condiciones normales de operacin se sabe que la variacin de temperatura de un extremo a otro de la longitud de una columna se rige por una expresin de la forma

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    T = 100 150x + 10x2 donde T y x tienen unidades de C y metros, respectivamente. Las variaciones de temperatura son insignificantes sobre la seccin transversal de la columna. Evale la temperatura y la rapidez de conduccin de calor en la unin columna-ducto (x = 0) y en la interfaz columna-tierra (x = 1). Explique la diferencia en las transferencias de calor. Solucin: 18,75 W y 16,25 W.

    10. (2.17 del Incropera; Ley de Fourier) Un aparato para medir la conductividad trmica emplea un calentador elctrico intercalado entre dos muestras idnticas de 30 mm de dimetro y 60 mm de longitud, prensadas entre placas que se mantienen a una temperatura uniforme To = 77 C mediante la circulacin de un fluido. Se pone grasa conductora entre todas las superficies para asegurar un buen contacto trmico. Se empotran termopares diferenciales en las muestras con un espaciado de 15 mm. Las caras laterales de las muestras se aslan para que la transferencia de calor sea unidimensional.

    a) Con dos muestras de acero inoxidable AISI 316 en el aparato, el calentador toma 0,353

    A a 100 V y los termopares diferenciales indican T1 = T2 = 25,0 C. Cul es la conductividad trmica del material de la muestra de acero inoxidable y cul la temperatura promedio de las muestras? Compare los resultados con los valores de la Tabla A.1 del Incropera.

    b) Calcular la conductividad trmica y la temperatura promedio de una muestra de hierro Armco puesta en lugar de la muestra inferior del acero AISI 316. En este caso el calentador toma 0,601 A a 100 V y los termopares diferenciales indican T1 = T2 = 15,0 C.

    c) Cul es la ventaja de construir el aparato con el calentador intercalado entre dos muestras en lugar de construirlo con una sola combinacin muestra-calentador? Cundo resulta significativo el escape de calor por la superficie lateral de las muestras? Bajo que condiciones esperara que T1 T2?

    Datos: Propiedades termofsicas del acero inoxidable AISI 316:

    T (K) k (W/mK)300 13,4 400 15,2

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    Propiedades termofsicas del Armco:

    T (K) k (W/mK)300 72,7 400 65,7

    Solucin: a) k = 15 W/mK y T = 400 K; b) k = 70 W/mK y T = 380 K. 11. (2.21 del Incropera; Ecuacin de calor) En una varilla cilndrica de 50 mm de dimetro de

    combustible de un reactor nuclear ocurre generacin interna de calor a 71 105=q& W/m3, y en condiciones de rgimen estacionario la distribucin de temperatura es T(r) = a+br2, donde T est en grados Celsius y r en metros, mientras a = 800 C y b = -4,167105 C/m2. Las propiedades de la varilla de combustible son k = 30 W/mK, = 1.100 kg/m3 y cp = 800 J/kgK.

    a) Cul es la velocidad de transferencia de calor por unidad de longitud de la varilla en r = 0 (lnea central) y en r = 25 mm (superficie)?

    b) Si el nivel de potencia del reactor aumenta sbitamente a 82 10=q& W/m3, cul es la velocidad de cambio de temperatura en el tiempo inicial en r = 0 y en r = 25?

    Solucin: a) W/m108,9)25(y 0)0( 4==== rqrq rr ; b) 56,8 K/s. 12. (2.24 del Incropera; Ley de Fourier, ecuacin de calor y balance de energa) Un estanque

    solar poco profundo con gradiente salino consiste en tres capas fluidas distintas y se utiliza para absorber energa solar. Las capas superior e inferior estn bien mezcladas y sirven para mantener las superficies superior e inferior de la capa central a temperaturas uniformes T1 y T2, donde T2 > T1. Considere condiciones para las que la absorcin de la radiacin solar en la capa central proporciona una generacin no uniforme de calor de la forma axAexq =)(& , y la distribucin de temperatura en la capa central es:

    CBxekaAxT ax ++= 2)(

    Las cantidades A (W/m3), a (1/m), B (K/m) y C (K) son constante conocidas, y k es la conductividad trmica que tambin es constante.

    a) Obtenga expresiones para la rapidez a la que se transfiere calor por unidad de rea de la

    capa inferior a la capa central y de sta a la capa superior.

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    b) Determine si las condiciones son estacionarias o transitorias. c) Obtenga una expresin para la rapidez a la que se genera energa trmica en la capa

    central, por unidad de rea superficial.

    Solucin: a) BkaAxqBke

    aALxq x

    aLx ==== )0( ;)( ; b) Rgimen estacionario; c)

    ( )aLgen eaAE = 1& .

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    PROBLEMAS TEMA 2. CONDUCCIN UNIDIMENSIONAL EN RGIMEN ESTACIONARIO

    Pared plana

    1. (3.2 del Incropera) La ventana posterior de un automvil se desempaa mediante el paso de aire caliente sobre su superficie interna.

    a) Calcular las temperaturas de las superficies interna y externa de una ventana de vidrio de 4 mm de espesor, siendo la temperatura del aire caliente T,int = 40 C y su coeficiente de conveccin hint = 30 W/m2K y la temperatura del aire exterior T,ext = -10 C y su coeficiente de conveccin hext = 65 W/m2K.

    b) Evale cualitativamente la influencia de T,ext y hext sobre las temperaturas. Datos: kvidrio (a 300 K) = 1,4 W/mK.

    Solucin: a) Tint = 7,7 C y Text = 4,9 C; b) Ambas disminuyen al aumentar hext y aumentan al aumentar T,ext.

    2. (3.3 del Incropera) En la ventana posterior del automvil del problema anterior se instala como sistema para desempaar su superficie interior un elemento de calentamiento consistente en una pelcula transparente delgada con resistencias elctricas. Al calentarse elctricamente este dispositivo se establece un flujo de calor uniforme en la superficie interna.

    a) Calcular la potencia elctrica por unidad de rea de ventana necesaria para mantener la temperatura de la superficie interna a 15 C cuando la temperatura del aire interior es T,int = 25 C y su coeficiente de conveccin hint = 10 W/m2K. El aire exterior est en las mismas condiciones que en el problema anterior.

    b) Calcular la temperatura de la superficie externa de la ventana.

    c) Evale cualitativamente la influencia de T,ext y hext sobre la potencia elctrica.

    Solucin: a) elecP = 1,27 kW/m2; b) Text = 11,1 C; c) elecP aumenta al aumentar hext y disminuye al aumentar T,ext.

    3. (3.15 del Incropera) Una casa tiene una pared compuesta de madera, aislante de fibra y tablero de yeso, como se indica en el esquema. En un da fro de invierno los coeficientes de transferencia de calor por conveccin son hext = 60 W/m2K y hint = 30 W/m2K. El rea total de la superficie es de 350 m2.

    Datos: Tablero de yeso: k (a 300 K) = 0,17 W/mK.

    Propiedades termofsicas de la fibra de vidrio:

    T (K) (kg/m3) k (W/mK)300 16 0,046 300 28 0,038 300 40 0,035

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    Tablero de madera contraplacada: k (a 300 K) = 0,12 W/mK.

    a) Determine una expresin simblica para la resistencia trmica total de la pared

    incluyendo los efectos de conveccin.

    b) Determine la prdida de calor total de la pared. c) Si el viento soplara de manera violenta elevando hext a 300 W/m2K, cul sera el

    porcentaje de aumento relativo de la prdida de calor?

    d) Qu resistencia trmica influye en mayor medida sobre la prdida de calor a travs de la pared?

    Solucin: b) 4.214 W; c) 0,45 %; d) La de la fibra de vidrio, que es el aislante y tiene la k menor.

    Resistencia de contacto

    4. (3.25 del Incropera) Un circuito integrado (chip) disipa 30.000 W/m2 de calor elctrico. El chip, que es muy delgado, se expone a un lquido dielctrico en su superficie superior con hext = 1.000 W/m2K y T,ext = 20 C. En la superficie inferior se une a una tarjeta de circuitos de espesor Lb = 5 mm y conductividad kb = 1 W/mK. La resistencia trmica de contacto entre el chip y la tarjeta es ctR , = 10-4 m2K/W. La superficie inferior de la tarjeta se expone al aire ambiente para el que hint = 40 W/m2K y T,int = 20 C. a) Dibuje el circuito trmico equivalente sealando las resistencias trmicas, las

    temperaturas y los flujos de calor.

    b) Cul es la temperatura del chip para las condiciones de disipacin de cq = 30.000 W/m2?

    c) Qu influencia tendra en la temperatura del chip el aumentar en un orden de magnitud la conductividad de la tarjeta de circuitos y en disminuir en un orden de magnitud la resistencia trmica de contacto entre el chip y la tarjeta?

    Solucin: b) Tc = 49 C; c) Prcticamente ninguna.

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    Pared cilndrica

    5. (3.37 del Incropera) Un calentador elctrico delgado se inserta entre una varilla circular larga y un tubo concntrico con radios interior y exterior de 20 y 40 mm. La varilla A tiene una conductividad trmica kA = 0,15 W/mK y el tubo B kB = 1,5 W/mK. La superficie externa est en contacto con un fluido a temperatura T = -15 C y un coeficiente de conveccin de 50 W/m2K.

    a) Determine la potencia elctrica por unidad de longitud de los cilindros que se requieren para mantener la superficie externa del tubo B a 5 C.

    b) Cul es la temperatura en el centro de la varilla A? Solucin: a) 251 W/m; b) 23,4 C.

    6. (3.44 del Incropera) Una corriente elctrica de 700 A fluye a travs de un cable de acero inoxidable que tiene un dimetro de 5 mm y una resistencia elctrica de 610-4 /m. El cable est en un medio que tiene una temperatura de 30 C y el coeficiente total asociado con la conveccin y la radiacin entre el cable y el medio es aproximadamente 25 W/m2K.

    a) Si el cable est expuesto, cul es la temperatura de la superficie? b) Si se aplica un recubrimiento muy delgado de aislante elctrico al cable, con una

    resistencia de contacto de 0,02 m2K/W, cules son las temperaturas superficiales del aislante y del cable?

    c) Si se usa un aislante de conductividad trmica 0,5 W/mK, cul ser el espesor de este aislante que dar el valor ms bajo de la temperatura del cable? Cul es el valor de esa temperatura?

    Solucin: a) Ts,cable = 778,7 C; b) Ts,cable = 1.153 C y Ts,aislante = 778,7 C; c) e = 17,5 mm y Ts,cable = 318,2 C.

    7. (3.45 del Incropera) Un tubo de acero de pared delgada de 0,20 m de dimetro y emisividad 0,8 se utiliza para transportar vapor saturado a una presin de 20 bar (Tsat = 485 K) en un cuarto para el que la temperatura del aire y de las paredes es 25 C y el coeficiente de transferencia de calor por conveccin en la superficie externa del tubo es 20 W/m2K.

    a) Cul es la prdida de calor por unidad de longitud del tubo expuesto (sin aislante)? b) Calcule la prdida de calor por unidad de longitud del tubo si se aade una capa

    aislante de 50 mm de xido de magnesio que tambin tiene una emisividad de 0,8. Calcular tambin la temperatura superficial exterior del aislante.

    c) El coste asociado con la generacin del vapor saturado es de 4 /109 J y el del aislante y su instalacin de 100 /m. Si la lnea de vapor opera 7.500 horas al ao, cunto tiempo se necesita para amortizar la instalacin del aislante?

    Datos: Propiedades termofsicas del xido de magnesio:

    T (K) k (W/mK)310 0,051 365 0,055 420 0,061

    Solucin: a) 3.702 W/m; b) q 162 W/m y Ts,ail,ext 30 C; c) 3 meses.

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    Pared esfrica

    8. (3.56 del Incropera) Una sonda esfrica crioquirrgica se incrusta en tejido enfermo con el propsito de congelarlo y destruirlo. La sonda tiene un dimetro de 3 mm y su superficie se mantiene a -30 C cuando se incrusta en tejido que est a 37 C. Se forma una capa esfrica de tejido congelado alrededor de la sonda con una temperatura de 0 C en su superficie de contacto con el tejido normal. Si la conductividad trmica del tejido congelado es 1,5 W/mK y el coeficiente de transferencia de calor por conveccin entre el tejido congelado y el normal es 50 W/m2K, cul es el espesor de la capa del tejido congelado?

    Resolucin: En primer lugar se expone una manera de obtener una expresin de la resistencia trmica para una esfera.

    En un elemento diferencial de esfera la aplicacin de la conservacin de la energa implica que qr = qr+dr, es decir que la transferencia de calor es independiente del radio, para condiciones unidimensionales de rgimen estacionario y sin generacin interna de calor. La ecuacin de Fourier para una esfera hueca cuyas superficies estn en contacto con fluidos a temperaturas distintas y en condiciones de rgimen estacionario sin generacin de calor adopta la forma:

    drdTrk

    drdTkAqr )4(

    2== donde A = 4r2 es el rea normal a la direccin de la transferencia de calor. Al integrar la ecuacin anterior:

    = 21

    2

    1

    )(4 2

    s

    s

    T

    T

    r

    rr dTTk

    rdrq

    Suponiendo k constante y al resolver para las condiciones de contorno de temperaturas conocidas en las superficies se obtiene:

    )/1()/1()(4

    21

    21

    rrTTkq ssr

    =

    La resistencia trmica para conduccin adopta, por la tanto, la forma:

    ==

    21

    21,

    1141)(

    rrkqTTR

    r

    sscondt

    Y la de conveccin: hr

    R convt 2, 41=

    Una vez visto esto se puede representar el circuito trmico equivalente al enunciado del problema:

    + errk11

    41 her 2)(4

    1+

    q qT T s1 Ts2

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    La velocidad de transferencia de calor se puede expresar:

    +

    =+

    =

    errk

    TT

    erh

    TTq sss11

    41

    )(41

    12

    2

    2

    Al resolver se obtiene la siguiente ecuacin en e2: 02

    122 =+

    r

    TTTT

    hkree

    s

    ss

    Al resolver se obtiene: e = 5,34 mm. Generacin interna de calor

    9. (3.73 del Incropera) El aire dentro de una cmara a T,int = 50 C se calienta convectivamente con hint = 20 W/m2K mediante una pared de 200 mm de espesor que tiene una conductividad trmica de 4 W/mK y una generacin de calor uniforme de 1.000 W/m3. Para prevenir que algo del calor generado se pierda hacia el exterior de la cmara, a T,ext = 25 C con hext = 5 W/m2K, se coloca un calentador de listn muy delgado sobre la pared exterior para proporcionar un flujo de calor uniforme, oq .

    a) Dibuje la distribucin de temperaturas en la pared (T-x) para la condicin de que no se

    pierde nada del calor generado dentro de la pared hacia el exterior de la cmara (es decir, quitando el calentador y aislando la superficie externa de la pared).

    b) Cules son las temperaturas en las superficies externa e interna de la pared para esa condicin?

    c) Determine el valor de oq que debe suministrar el calentador de listn de modo que todo el calor generado dentro de la pared se transfiera al interior de la cmara.

    d) Si la generacin de calor en la pared se cortara mientras el flujo de calor del calentador de listn permanece constante, cul sera la temperatura de la pared exterior en rgimen permanente?

    Solucin: b) T(0) = 65 C y T(L) = 60 C; c) 200 W/m2; d) 55 C. 10. (3.83 del Incropera) Un elemento de combustible de reactor nuclear consiste en un ncleo

    cilndrico slido de radio r1 y conductividad trmica kf. El ncleo de combustible est en buen contacto con un material de encamisado de radio externo r2 y conductividad trmica kc. Considere condiciones de rgimen estacionario para las que ocurre una generacin de calor uniforme dentro del combustible a una razn volumtrica q& = gene& y la superficie

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    externa del encamisado se expone a un fluido refrigerante que se caracteriza por una temperatura T y un coeficiente de conveccin h. a) Obtenga expresiones para las distribuciones de temperatura en el combustible y en el

    encamisado, Tf(r) y Tc(r). b) Considere un ncleo de combustible de xido de uranio para el que Kf = 2 W/mK y r1

    = 6 mm y un encamisado para el que Kc = 25 W/mK y r2 = 9 mm. Si q& = gene& = 2108 W/m3, h = 2.000 W/m2K y T = 300 K, cul es la temperatura mxima en el elemento de combustible?

    c) Evale cualitativamente la influencia de h sobre las temperaturas. Es posible mantener la temperatura de la lnea central del combustible por debajo de 1.000 K ajustando el flujo de refrigerante y, por tanto, el valor de h?

    Solucin: b) Tf(r = 0) = 1.458 K; c) Si h aumenta Tf y Tc disminuyen. No es posible. Superficies extendidas y aletas

    11. (3.109 del Incropera) Varillas de cobre circulares de dimetro D = 1 mm y longitud L = 25 mm se usan para reforzar la transferencia de calor de una superficie que se mantiene a Ts1 = 100 C. Un extremo de la varilla se une a esta superficie (en x = 0) y el otro (x = 25) se une a una segunda superficie que se mantiene Ts2 = 0 C. El aire que fluye entre las superficies tambin est a una temperatura T = 0 C y tiene un coeficiente de conveccin h = 100 W/m2K.

    a) Cul es la transferencia de calor de una sola varilla de cobre? b) Cul es la transferencia total de calor de una seccin de 1 m x 1 m de la superficie a

    100 C, si se instala una disposicin de varillas separadas entre centros 4 mm?

    Datos: kcobre (a 300 K) = 401 W/mK.

    Solucin: a) qf = 1,51 W; b) qt = 103,8 kW. 12. (3.114 del Incropera) A menudo se forman pasajes de aletas entre placas paralelas para

    reforzar la transferencia de calor por conveccin en ncleos compactos de intercambiadores de calor. Considere una pila de aletas de 200 mm de ancho y 100 mm de profundidad con 50 aletas de 12 mm de longitud. La pila completa est fabricada de aluminio (k = 240 W/mK) de 1 mm de espesor. Las temperaturas mximas permisibles asociadas a las placas opuestas son To = 400 K y TL = 350 K. El aire que fluye entre las placas tiene una h = 150 W/m2K y una T = 300 K. Cules son las disipaciones de calor de una aleta y del sistema de aletas en cada una de las placas?

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    13

    Solucin: qfo = 114,95 W; qfL = -88,08 W; qto = 5.972,5 W; qtL = -4.291,5 W.

    13. (3.131 del Incropera modificado, examen septiembre 2005) Se quiere disipar el calor generado en el interior de un transformador situando en una de sus paredes un dispositivo de aletas rectas. La pared del transformador tiene una conductividad trmica de 5 W/mK y un espesor de 6 mm. Sobre ella se coloca un dispositivo de aletas de seccin rectangular de aluminio (kal = 240 W/mK). El soporte del dispositivo de aletas tiene un espesor de 4 mm. Entre la pared del transformador y el soporte de las aletas hay una resistencia de contacto de valor K/Wm10 24,

    = ctR . Las aletas tienen una longitud de 25 mm, un espesor de 2 mm y la distancia entre ellas es de 2 mm. El calor generado en el transformador se puede asimilar a un flujo de calor uniforme sobre la pared de valor 25 W/m10=iq . El aire exterior est a 320 K y proporciona un coeficiente de conveccin de 100 W/m2K.

    q"i

    Pared deltransformador Soporte de

    las aletasR"t,c

    t = 2 mm

    = 2 mm

    T = 320 K6 mm 25 mm4 mm

    h = 100 W/m2K

    Tint

    Tal Tb

    ktra = 5 W/mKkal = 240 W/mK

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    14

    a) Dibuje el circuito trmico equivalente entre el interior del transformador y el aire exterior para la parte de pared que le corresponde a una aleta teniendo en cuenta que la dimensin perpendicular al dibujo es muy larga.

    b) Calcule los valores de las resistencias trmicas que aparecen en el circuito trmico anterior.

    c) Calcule la temperatura de la superficie interna del transformador, Tint. d) Calcule la temperatura de la superficie interna del soporte de aluminio (en contacto con

    la resistencia de contacto), Tal. e) Calcule la temperatura de la base de las aletas, Tb. Solucin: c) Tint = 532,3 K; d) Tal = 402,3 K; e) Tb = 400,6 K.

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    15

    PROBLEMAS TEMA 3. CONDUCCIN BIDIMENSIONAL EN RGIMEN ESTACIONARIO

    Factores de forma

    1. (4.16 del Incropera) Con las relaciones de resistencia trmica desarrolladas en el tema 3 determine expresiones del factor de forma para las siguientes geometras:

    a) Pared plana, capa cilndrica y coraza esfrica. b) Esfera hueca de superficie isotrmica de dimetro D en el interior de un medio infinito.

    Solucin: a) A/L, 2L/ln(r2/r1), 4r1r2/(r2-r1); b) 2D. 2. (4.20 del Incropera) Un cable largo de transmisin de energa se entierra a una profundidad

    (distancia de la tierra a la lnea central del cable) de 2 m. El cable est enfundado en un tubo de pared delgada de 0,1 m de dimetro y para hacer al cable superconductor (esencialmente cero disipacin de energa), el espacio entre el cable y el tubo est lleno de nitrgeno lquido a 77 K. Si el tubo se cubre con un superaislante (ki = 0,005 W/mK) de 0,05 m de espesor y la superficie de la tierra (kg = 1,2 W/mK) est a 300 K, cul es la carga de enfriamiento por unidad de longitud de tubo [W/m] que debe suministrar un refrigerador criognico para mantener el nitrgeno a 77 K?

    Solucin: 9,89 W/m. 3. (4.25 del Incropera) Por un tubo de cobre de pared delgada de 30 mm de dimetro fluye

    agua caliente a 85 C. El tubo est forrado de una capa cilndrica excntrica que se mantiene a 35 C y mide 120 mm de dimetro. La excentricidad, definida como la distancia entre los centros del tubo y la capa, es 20 mm. El espacio entre el tubo y la capa est lleno de un material aislante que tiene una conductividad trmica de 0,05 W/mK. Calcule la prdida de calor por unidad de longitud de tubo y compare el resultado con la prdida de calor para una disposicin concntrica.

    Solucin: 12,5 W/m y 11,33 W/m. Factores de forma con circuitos trmicos

    4. (4.28 del Incropera) Un fluido caliente pasa por tubos circulares de una plancha de hierro colado de espesor LA = 60 mm que est en contacto con unas placas de cubierta de espesor LB = 5 mm. Los canales tienen un dimetro D = 15 mm con un espaciado de lnea central de Lo = 60 mm. Las conductividades trmicas de los materiales son kA = 20 W/mK y kB = 75 W/mK, y la resistencia de contacto entre los dos materiales es 4, 102

    = ctR m2K/W. El fluido caliente est a Ti = 150 C y el coeficiente de conveccin es 1.000 W/m2K. Las placas de cubierta se exponen al aire ambiental que est a 25 C y tiene un coeficiente de conveccin de 200 W/m2K.

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    a) Determine la transferencia de calor de un solo tubo por unidad de longitud de la

    plancha en direccin normal a la pgina, iq . b) Determine la temperatura de la superficie externa de la placa de cubierta, Ts.

    c) Comente los efectos sobre iq y Ts de un cambio en el espaciado de los canales. Cmo afectara a iq y Ts aislar la superficie inferior?

    Solucin: a) iq = 1.578,6 W/m; b) Ts = 90,8 C; c) Si Lo aumenta, iq aumenta y Ts disminuye. Si la superficie inferior est aislada, iq disminuye y Ts permanece constante.

    5. (4.31 del Incropera) En el Tema 3 se supuso que cuando se une una aleta a un material base, la temperatura de la base no cambia. Lo que en verdad ocurre es que, si la temperatura del material de la base excede la temperatura del fluido, al colocar una aleta disminuye la temperatura de la unin, Tj, por debajo de la de la base y el flujo de calor del material de la base a la aleta es bidimensional. Considere condiciones en las que una aleta larga circular de aluminio de dimetro D = 5 mm se une al material de la base cuya temperatura lejos de la unin se mantiene a Tb = 100 C. Las condiciones de conveccin en la superficie de la aleta son T = 25 C y h = 50 W/m2K.

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    17

    a) Calcule la temperatura de la unin y la transferencia de calor cuando el material de la base es (i) aluminio (k = 240 W/mK) y (ii) acero inoxidable (k = 15 W/mK).

    b) Repita los clculos anteriores para el caso del aluminio si entre la unin de la aleta y el material de la base hay una resistencia trmica 5" 103 =tcR m2K/W

    c) Cmo influye el coeficiente de conveccin en la transferencia de calor?

    Solucin: a) (i) Tj = 98 C, qf = fQ& = 4,8 W; (ii) Tj = 78,4 C, qf = fQ& = 3,24 W; b) Tj = 92 C, qf = fQ& = 4,08 W; c) Si h aumenta qf aumenta.

    6. (4.32 del Incropera) Se construye un igl en forma de hemisferio con un radio interno de 1,8 m y paredes de nieve compactada de 0,5 m de espesor. En el interior del igl el coeficiente de transferencia de calor por conveccin es 6 W/m2K; en el exterior, en condiciones normales de viento, es 15 W/m2K. La conductividad trmica de la nieve compactada es 0,15 W/mK. La temperatura de la capa de hielo sobre la que se asienta el igl es de -20 C y tiene la misma conductividad trmica que la nieve compactada.

    a) Suponiendo que el calor corporal de los ocupantes proporciona una fuente continua de

    320 W dentro del igl, calcule la temperatura del aire interior cuando la del aire exterior es -40 C. Considere las prdidas de calor a travs del suelo.

    b) Cmo afecta a la temperatura interior el que el coeficiente de conveccin exterior se triplique debido al viento? Y cmo afecta el doblar el espesor de las paredes?

    Solucin: a) Ti = 1,2 C; b) Ti = 0,8 C; Ti = 20,8 C. 7. (4.34 del Incropera) Un dispositivo electrnico en forma de disco de 20 mm de dimetro

    disipa 100 W cuando se monta sobre un bloque grande de aleacin de aluminio (2024-T6) cuya temperatura se mantiene a 27 C. En la interfaz entre el dispositivo y el bloque hay una resistencia de contacto 5" 105 =tcR m2K/W.

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    Problemas

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    a) Calcule la temperatura que alcanzar el dispositivo suponiendo que toda la potencia

    que genera debe transferirse por conduccin al bloque.

    b) Para aumentar la potencia del dispositivo se instala un sistema de aletas en la parte superior del dispositivo. Las aletas rectas de seccin circular (aletas de aguja) estn hechas de cobre (k = 400 W/mK) y estn expuestas a un flujo de aire a 27 C para el que el coeficiente de conveccin es 1.000 W/m2K. Para la temperatura del dispositivo que se calcul en el apartado a), cul es la potencia de operacin permisible?

    Datos: Propiedades termofsicas de la aleacin de aluminio 2024-T6:

    T (K) k (W/mK)200 163 300 177 400 186

    Solucin: a) Td = 57 C; b) Pelct. = 138,65 W. Mtodo de las diferencias finitas

    8. (4.41 del Incropera) Las superficies superior e inferior de una barra de conduccin se enfran convectivamente por accin de aire a T, pero con hsup hinf. Los lados se enfran manteniendo contacto con sumideros de calor a To, a travs de una resistencia trmica de contacto ctR , . La barra tiene conductividad trmica k y el ancho es el doble del espesor L. Considere condiciones de estado estacionario para las que se genera calor de manera uniforme a una tasa volumtrica q& debido al paso de una corriente elctrica. Obtenga las ecuaciones en diferencias finitas para los nodos 1 y 13.

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    19

    9. (4.48 del Incropera) Las temperaturas de estado estacionario (en K) en tres puntos nodales

    de una varilla rectangular son como se muestra en la figura. La varilla experimenta una rapidez de generacin de calor volumtrica uniforme de 5107 W/m3 y tiene una conductividad trmica de 20 W/mK. Dos de sus lados se mantienen a una temperatura constante de 300 K, mientras que los otros dos estn aislados.

    a) Determine las temperaturas en los nodos 1, 2 y 3 resolviendo el sistema de 3 ecuaciones con 3 incgnitas que forman las ecuaciones nodales.

    b) Calcule la transferencia de calor por unidad de longitud de la varilla (W/m) a partir de las temperaturas nodales. Compare este resultado con la transferencia de calor calculada a partir del conocimiento de la generacin volumtrica de calor y las dimensiones de la varilla.

    Solucin: a) T1 = 362,4 K; T2 = 390,2 K; T3 = 369 K; b) q = 7.502,5 W/m; q = 7.500 W/m.

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    20

    10. (4.52 del Incropera) Una barra larga de seccin transversal rectangular tiene 60 mm de ancho, 90 mm de largo, y una conductividad trmica de 1 W/mK. Uno de sus anchos est sometido a un proceso de conveccin con aire a 100 C y un coeficiente de conveccin de 100 W/m2K. El resto de los lados se mantiene a 50 C.

    a) Con un espaciado de malla de 30 mm y mediante el mtodo iterativo de Gauss-Seidel,

    determine las temperaturas nodales y la transferencia de calor (por unidad de longitud normal a la pgina) desde el aire a la barra.

    b) Utilizando Matlab para resolver el sistema de ecuaciones (mtodo de inversin de matrices), repita los clculos con un espaciado de malla de 15 mm.

    Solucin: a) Empezando desde el lado sometido a conveccin las temperaturas nodales son: 81,7 C, 58,5 C y 52,1 C; q = 205 W/m; b) Temperaturas de los nodos a lo largo del ancho sometido a conveccin: 50 C, 80,33 C, 85,16 C, 80,33 C y 50 C; q = 156,27 W/m.

    11. (Basado en Ejemplo 5.1 del Chapman, 5 edicin) Se dispone de una varilla de hierro (k = 50 W/mK) de 1 cm de dimetro y 20 cm de longitud. La varilla se une en un extremo a una superficie calentada a 120 C y en el extremo libre se encuentra aislada. Su superficie lateral est en contacto con un fluido a 20 C para el que el coeficiente de transferencia de calor por conveccin es 10 W/m2K.

    a) Determine la distribucin de temperaturas en la varilla resolviendo las ecuaciones nodales mediante el mtodo iterativo de Gauss-Seidel y con un x = 5 cm. El nmero de iteraciones viene dado por un criterio de convergencia en la temperatura del extremo de un 1 %. Es decir, la diferencia relativa de la temperatura en el extremo en dos iteraciones sucesivas ha de ser inferior al 1 %.

    % 1100(%)1

    =

    iextremo

    iextremo

    iextremo

    r TTTE

    b) Determine una aproximacin a la prdida de calor de la varilla a partir de la distribucin discreta de temperaturas calculada en el apartado anterior.

    c) Compare la solucin anterior con el calor perdido por la aleta calculado de manera exacta.

    Solucin: a) Comenzando desde la base la distribucin de temperaturas es: 120 C, 84,8 C, 63,6 C, 52,8 C, 49,9 C; b) qfaprox. = 3,24 W; c) qf = 3,32 W.

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    21

    PROBLEMAS TEMA 4. CONDUCCIN EN RGIMEN TRANSITORIO

    Mtodo de la resistencia interna despreciable

    1. (5.8 del Incropera) Una bala esfrica de plomo de 6 mm de dimetro se mueve aproximadamente a Mach 3. La onda de choque resultante calienta el aire alrededor de la bala a 700 K, y el coeficiente de conveccin promedio para la transferencia de calor entre el aire y la bala es 500 W/m2K. Si la bala sale de la escopeta a 300 K y el tiempo de vuelo es 0,4 s, cul es la temperatura en la superficie en el momento del impacto?

    Datos: Propiedades termofsicas del plomo a 300 K: k = 35,3 W/mK; = 11.340 kg/m3; cp = 129 J/kgK.

    Solucin: T = 351 K. 2. (5.10 del Incropera) Una unidad de almacenamiento de energa trmica consiste en un

    canal rectangular largo, que est bien aislado en la superficie externa y encierra capas alternadas del material de almacenamiento y rejillas para el flujo.

    Cada capa del material de almacenamiento es una plancha de aluminio de ancho W = 0,05 m que est a una temperatura inicial de 25 C. Considere condiciones en las que la unidad de almacenamiento se carga con el paso de un gas caliente a travs de las rejillas, suponiendo que la temperatura del gas y el coeficiente de conveccin tienen valores constantes de T = 600 C y h = 100 W/m2K a lo largo del canal. Cunto tiempo se tardar en alcanzar el 75 % del almacenamiento mximo posible de energa? Cul es la temperatura del aluminio en ese momento?

    Datos: Propiedades termofsicas del aluminio: = 2.702 kg/m3. T (K) k (W/mK) cp (J/kgK)300 237 903 400 240 949 600 231 1.033

    Solucin: t = 933,5 s 15,55 min y T = 456 C. 3. (5.14 del Incropera) La pared plana de un horno se fabrica de acero al carbono simple (k =

    60 W/mK; = 7.850 kg/m3; cp = 430 J/kgK) y tiene un espesor de L = 10 mm. Para protegerla de los efectos corrosivos de los gases de combustin del horno, una superficie

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    de la pared se cubre con una pelcula delgada de cermica que, para un rea superficial unitaria, tiene una resistencia trmica de tfR = 0,01 m2K/W. La superficie opuesta est bien aislada de los alrededores.

    Al poner en funcionamiento el horno, la pared est a una temperatura inicial de Ti = 300 K y los gases de combustin entran en el horno a T = 1.300 K, con lo que proporcionan un coeficiente de conveccin de 25 W/m2K en la pelcula cermica. Suponiendo que la pelcula tiene una resistencia trmica interna insignificante, cunto tiempo tardar la superficie interior del acero en alcanzar una temperatura de Tsi = 1.200 K? Cul es la temperatura Tso de la superficie expuesta de la pelcula cermica en ese momento? Resolucin: Se dibuja el circuito trmico equivalente del sistema:

    hA1

    ARtf

    Como entre la pared y el fluido existe una pelcula que aporta una resistencia trmica de contacto, para poder calcular el nmero de Biot y estudiar si se puede aplicar el mtodo de la resistencia interna despreciable hay que trabajar con el coeficiente global de transferencia de calor, U:

    K W/m2001,025/1

    11

    11 2=+=+== tft RhURUA El nmero de Biot correspondiente ser:

    0033,060

    01,020 ===k

    ULBi c

    Al ser menor que 0,1 se puede aplicar el mtodo de la resistencia interna despreciable:

    =

    t

    TTTT

    i

    si exp

    q T Tsi Tso

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    23

    s 75,687.120

    43001,0850.7 ====s

    pct UA

    VcCR

    min 65 s 886.3300.1300300.1200.1ln75,687.1ln =

    ==

    TTTT

    ti

    si

    A partir del circuito trmico equivalente, la temperatura de la superficie de la pelcula vendr dada por:

    K 220.1/1

    //)()( =+

    +== tf

    tfsisotfsisoso Rh

    RThTTRTTTTh

    Efectos espaciales: anlisis de semejanza

    4. (5.28 del Incropera) Considere la pared unidimensional que se muestra en el dibujo que inicialmente se encuentra a temperatura uniforme Ti y se somete de pronto a la condicin de frontera de conveccin con un fluido a T.

    Para una pared en particular, caso 1, la temperatura en x = L1 despus de t1 = 100 s es T1(L1,t1) = 315 C. Otra pared, caso 2, tiene diferentes condiciones de espesor y trmicas como se muestra en la siguiente tabla.

    Caso L (m) (m2/s) k (W/mK) Ti (C) T (C) h (W/m2K) 1 0,10 1510-6 50 300 400 200 2 0,40 2510-6 100 30 20 100

    Cunto tiempo tardar la segunda pared en alcanzar 28,5 C en la posicin x = L2? Solucin: t = 960 s = 16 min. Conduccin unidimensional: pared plana

    5. (5.32 del Incropera) Considere la unidad de almacenamiento de energa del problema 2, pero con un material de mampostera de k = 0,70 W/mK; = 1.900 kg/m3; cp = 800 J/kgK empleado en lugar del aluminio. Cunto tiempo se tardar en alcanzar el 75 % del almacenamiento mximo posible de energa? Cules son las temperaturas mxima y mnima de la mampostera en ese momento?

    Solucin: t = 1.174 s 19,6 min; Tmn (x = 0) = 412 C; Tmx (x = W/2) = 538 C.

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    Conduccin unidimensional: cilindro

    6. (5.45 del Incropera) Una varilla larga de 40 mm de dimetro fabricada de zafiro (xido de aluminio) e inicialmente a una temperatura uniforme de 800 K, se enfra de sbito con un fluido a 300 K que tiene un coeficiente de transferencia de calor de 1.600 W/m2K. Despus de 35 segundos la varilla se envuelve en un aislante y no experimenta prdidas de calor. Cul ser la temperatura de la varilla despus de un largo tiempo?

    Datos: Propiedades termofsicas del xido de aluminio (zafiro) a T = 600 K: k = 18,9

    W/mK; = 3.970 kg/m3; cp = 1.110 J/kgK. Solucin: Tinf = 510 K. Conduccin unidimensional: esfera

    7. (5.48 del Incropera) En el tratamiento trmico para endurecer bolas de acero de rodamientos (k = 50 W/mK; = 7.800 kg/m3; cp = 500 J/kgK) se desea aumentar la temperatura de la superficie por un tiempo corto sin calentar de manera significativa el interior de la bola. Este tipo de calentamiento se lleva a cabo mediante la inmersin sbita de la bola en un bao de sal derretida con T = 1.300 K y h = 5.000 W/m2K. Suponga que cualquier posicin dentro de la bola cuya temperatura exceda 1.000 K se endurecer. Estime el tiempo que se necesita para endurecer el milmetro externo de una bola de 20 mm de dimetro si su temperatura inicial es de 300 K.

    Solucin: t = 3,4 s. Slido semiinfinito

    8. (5.61 del Incropera) Una gra para levantar losas adheridas al suelo emplea un bloque de hierro que se mantiene a temperatura constante de 150 C mediante un calentador elctrico empotrado. El bloque de hierro se pone en contacto con la losa para suavizar el adhesivo, lo que permite levantarla posteriormente. El adhesivo entre la losa y el suelo se suavizar lo suficiente si se calienta por encima de 50 C durante al menos 2 minutos, pero su temperatura no debe superar 120 C para evitar su deterioro. Suponga que la losa y el suelo tienen una temperatura inicial de 25 C y propiedades termofsicas equivalentes de k = 0,15 W/mK; cp = 1,5106 J/m3K. a) Cunto tiempo se tardar en despegar una losa de espesor 4 mm empleando el bloque

    de hierro? La temperatura del adhesivo exceder 120 C?

    b) Si el bloque de hierro tiene un rea superficial cuadrada de 254 mm de lado, cunta energa se eliminar de l durante el tiempo que se tarda en despegar la losa?

    Solucin: a) t = 168,7 s; la temperatura es menor que 120 C; b) Q = 56.063,6 J. Conduccin multidimensional

    9. (5.75 del Incropera) Una punta cilndrica de cobre de 100 mm de longitud y 50 mm de dimetro est inicialmente a una temperatura uniforme de 20 C. Las caras de los extremos se someten de pronto a una intensa rapidez de calentamiento que las eleva a una temperatura de 500 C. Al mismo tiempo, la superficie cilndrica se somete a calentamiento por un flujo de gas con una temperatura de 500 C y un coeficiente de transferencia de calor de 100 W/m2K. Determine la temperatura en el punto central del cilindro 8 segundos despus de la aplicacin sbita del calor.

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    25

    Resolucin: En el problema en cuestin la longitud y el dimetro del cilindro son comparables por lo que se tiene una transmisin de calor bidimensional. La expresin de la ecuacin de calor para este caso ser:

    tT

    xT

    rTr

    rr =

    +

    11

    2

    2

    Se puede demostrar que la solucin ha esta ecuacin se puede obtener por el mtodo de separacin de variables, llegando a la siguiente expresin:

    infinitoCilindro

    planaPared

    ),(),(),,(

    =

    TT

    TtrTTT

    TtxTTT

    TtrxT

    iii

    Es decir, la solucin bidimensional se expresa como producto de las soluciones unidimensionales correspondientes a una pared plana y a un cilindro infinito. Para las soluciones unidimensionales se emplearn el mtodo de la resistencia interna despreciable (si Bi < 0,1), la solucin exacta o la aproximada con el primer trmino (si Fo > 0,2) segn corresponda.

    En la Tabla 4.2 del Cuaderno de Frmulas, Tablas y Figuras se presenta un resumen de soluciones para distintos sistemas multidimensionales como productos de las soluciones unidimensionales.

    Visto esto se resuelve este problema en concreto. Como se pide la temperatura central en t = 8 s, a partir de la ecuacin vista antes se tiene que:

    infinitoCilindro

    planaPared

    )8,0()8,0()8,0,0(

    =

    TT

    TTTT

    TTTT

    TT

    iii

    A continuacin se resuelve cada sistema unidimensional por separado.

    Se calcula el nmero de Biot para la conduccin a travs de una pared plana:

    ==k

    hLBi cpp

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    Problemas

    26

    Como para este caso la temperatura superficial est fijada esto es equivalente a tener una h infinita. Como el nmero de Biot es mayor que 0,1 no se puede emplear el mtodo de la resistencia interna despreciable. Empleamos la solucin aproximada con el primer trmino. A partir de la Tabla 4.1 del Cuaderno de Frmulas, Tablas y Figuras se obtienen los coeficientes de la aproximacin de un trmino: 1 = 1,5707 y C1 = 1,2733. Se buscan las propiedades del cobre para una temperatura media de:

    K 533C 260250020 ==+=T = 8.933 kg/m3; k = 384 W/mK; cp = 410 J/kgK.

    Se calcula el nmero de Fourier: 304,005,0410933.8

    8384222 ====

    cpc Lckt

    LtFo

    . Como Fo > 0,2 la aproximacin con el primer trmino es correcta.

    601,0)304,05707,1exp(2733,1)exp()8,0( 2211planaPared

    ===

    FoCTT

    TT

    i

    A continuacin se resuelve la conduccin a travs de un cilindro infinito. Se calcula el nmero de Biot:

    3. 1051,6384

    025,0100 ===k

    hrBi ocil

    Por ser menor que 0,1 se puede aplicar el mtodo de la resistencia interna despreciable:

    =

    t

    TTTT

    i

    exp)8,0(

    infinitoCilindro

    s 8,4572100

    410025,0933.8 ====s

    pct hA

    VcCR

    9827,08,457

    8exp)8,0(

    infinitoCilindro

    =

    =

    TT

    TT

    i

    5906,09827,0601,0)8,0()8,0(50020

    500)8,0,0()8,0,0(

    infinitoCilindro

    planaPared

    ==

    =

    =

    TTTT

    TTTTT

    TTTT

    iii

    T (0,0,8) = 216,5 C Lo correcto sera volver a calcular las propiedades del cobre para esta temperatura y repetir el problema.

    Mtodo de las diferencias finitas

    10. (5.82 del Incropera) Un cilindro de material plstico ( = 610-7 m2/s) est inicialmente a una temperatura uniforme de 20 C y est bien aislado a lo largo de su superficie lateral y en un extremo. En el tiempo t = 0 se le aplica calor en el extremo izquierdo de manera que T0 aumenta linealmente con el tiempo a una razn de 1 C/s.

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    Problemas

    27

    a) Con el mtodo explcito obtenga las ecuaciones en diferencias finitas para los nodos 1,

    2, 3 y 4.

    b) Con Fo = construya una tabla que tenga como encabezados p, t y las temperaturas nodales de T0 a T4. Determine la temperatura de la superficie, T0, cuando T4 = 35 C.

    c) Resuelva el problema mediante el mtodo implcito y el mtodo de la inversin de matrices

    Solucin: b) t = 30 s; T0 (t = 210 s) = 230 C. Resolucin del apartado c): De las ecuaciones nodales explcitas se pueden deducir las ecuaciones nodales implcitas fcilmente:

    Nodo 1:

    ( ) ppppppppp TFoTFoTTFoTTFo

    TTT 11

    01

    21

    111

    11

    11

    21

    0 )21(12 =++=+ +++++++

    Nodo 2: pppp TFoTTFoFoT 21

    31

    21

    1 )21( =++ +++ Nodo 3: pppp TFoTTFoFoT 3

    14

    13

    12 )21( =++ +++

    Nodo 4: ppp TTFoFoT 41

    41

    3 )21(2 =+ ++ Expresadas en forma matricial:

    =

    ++

    ++ +

    +

    +

    +

    +

    p

    p

    p

    pp

    p

    p

    p

    p

    TTT

    TFoT

    TTTT

    FoFoFoFoFo

    FoFoFoFoFo

    4

    3

    2

    11

    0

    14

    13

    12

    11

    )21(200)21(0

    0)21(00)21(

    [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]CATCTA 1== Se inicia un proceso iterativo en que para cada tiempo p hay que evaluar el vector [C] antes de resolver las temperaturas en el tiempo siguiente p+1.

    Los resultados se pueden expresar en forma de tabla. Con Fo = 0,5 t = 30 s.

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    Problemas

    28

    p t T0 T1 T2 T3 T4

    0 0 20 20 20 20 20

    1 30 50

    2 60 80

    3 90 110

    11. (5.100 del Incropera) Se sueldan dos barras muy largas en la direccin normal a la pgina, las cuales tienen las distribuciones de temperaturas iniciales que se muestran en la tabla inferior. En el tiempo t = 0, la cara m = 3 de la barra de cobre hace contacto con la cara m = 4 de la barra de acero AISI 1010. La soldadura acta como una capa interfacial de espesor insignificante y resistencia efectiva de contacto ctR , = 210-5 m2K/W.

    a) Obtenga la ecuacin en diferencias finitas explcita en trminos de Fo y ct

    c RkxBi

    , = ,

    para T4,2 y determine el criterio de estabilidad correspondiente. b) Si Fo = 0,01, determine T4,2 un intervalo de tiempo despus de que se hace contacto.

    Cul es el t? Se satisface el criterio de estabilidad? Datos: Propiedades termofsicas del acero AISI 1010 a 1.000 K: k = 31,3 W/mK; = 7.832 kg/m3; cp = 1.168 J/kgK.

    Solucin: a) Criterio de estabilidad: Fo 1/(4 + 2Bic); b) t = 1,17 s; T4,2 (t = 1,17 s) = 806,3 K; s se satisface el criterio de estabilidad.

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    29

    PROBLEMAS TEMA 5. INTRODUCCIN A LA CONVECCIN

    Coeficientes de transferencia de calor

    1. (6.2 del Incropera) Para la conveccin laminar libre de una superficie vertical caliente, el coeficiente de conveccin local se expresa como hx = Cx-1/4, donde hx es el coeficiente a la distancia x desde el inicio de la superficie y la cantidad C, que depende de las propiedades del fluido, es independiente de x. Obtenga una expresin para la razn xh / hx, donde xh es el coeficiente promedio entre el inicio (x = 0) y la posicin x. Dibuje la variacin de hx y

    xh con x.

    Solucin: xh / hx = 4/3.

    2. (6.5 del Incropera) Aire a una temperatura de flujo libre T = 20 C est en un flujo paralelo sobre una placa plana de longitud L = 5 m y temperatura Ts = 90 C. Sin embargo, los obstculos colocados en el flujo intensifican la mezcla al aumentar la distancia x desde el inicio, y la variacin espacial de las temperaturas medidas en la capa lmite estn correlacionadas por una expresin de la forma T (x, y) [C] = 20 + 70 exp(-600xy), donde x e y estn en metros. Determine y elabore una grfica de la forma en que vara el coeficiente de conveccin local h con x. Evale el coeficiente de conveccin promedio h para la placa.

    Solucin: hx = 600kx [W/m2K] = 15,44x[W/m2K]; h = 38,6 W/m2K.

    Perfiles de la capa lmite

    3. (6.10 del Incropera) Agua a una temperatura T = 25 C fluye sobre una de las superficies de una pared de acero (AISI 1010) cuya temperatura es Ts1 = 40 C. La pared es de 0,35 m de espesor y la temperatura de la otra superficie es Ts2 = 100 C. Para condiciones de estado estacionario, cul es el coeficiente de conveccin asociado con el flujo de agua? Cul es el gradiente de temperatura en la pared y en el agua que est en contacto con la pared? Dibuje la distribucin de temperaturas en la pared y en el agua contigua.

    Datos: Propiedades termofsicas del acero AISI 1010: = 7.832 kg/m3. T

    (K)cp

    (J/kgK)k

    (W/mK)300 434 63,9 400 487 58,7

    Solucin: h = 700 W/m2K; y

    Tpared

    = -171,4 K/m;

    0=

    y

    agua

    yT

    = -17.222,22 K/m.

    Transicin de la capa lmite

    4. (6.12 del Incropera) Considere un flujo de aire sobre una placa plana de longitud L = 1 m en condiciones para las que ocurre la transicin en xc = 0,5 m con base en el nmero de

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    Problemas

    30

    Reynolds crtico Rex,c = 5105. En las regiones laminar y turbulenta los coeficientes de conveccin local son, respectivamente:

    5,0)( = xCxh lamlam y 2,0)( = xCxh turbturb donde Clam = 8,845 W/m3/2K, Cturb = 49,75 W/m1,8K y x tiene unidades de m. a) Mediante la evaluacin de las propiedades termofsicas del aire a 350 K determine la

    velocidad del flujo de aire.

    b) Desarrolle una expresin para el coeficiente de conveccin promedio )(xhlam , como funcin de la distancia desde el inicio de la placa, x, para la regin laminar, 0 x xc.

    c) Desarrolle una expresin para el coeficiente de conveccin promedio de toda la placa )(xh , como funcin de la distancia desde el inicio de la placa, x, para la regin

    turbulenta, xc x L. d) Dibuje una grfica de )(xhlam , )(xhlam , )(xhturb y )(xh para 0 x L. Solucin: a) V = u = 20,92 m/s; b) 5,02)( = xCxh lamlam ; c)

    [ ]8,08,05,0 25,125,121)( cturbturbclam xCxCxCxxh += . Ecuaciones de conservacin y soluciones: flujo de Couette

    5. (6.18 del Incropera 5 edicin en ingls) Considere un cojinete hidrulico ligeramente cargado que usa aceite con propiedades constantes = 800 kg/m3, = 10-5 m2/s y k = 0,13 W/mK. El dimetro del eje es de 75 mm, el espacio hasta su apoyo es de 0,25 mm y trabaja a 3.600 rpm.

    a) Determine la distribucin de temperaturas en la pelcula de aceite suponiendo que no hay transferencia de calor hacia el interior del eje y que la superficie del apoyo del cojinete se mantiene a 75 C.

    b) Cul es la transferencia de calor del cojinete?

    Solucin: a)

    = Lyy

    yu

    KTyT

    2)(

    22

    0 ; b) q(y = 0) = -1.508 W/m.

    6. (6.21 del Incropera) Considere el flujo de Couette con transferencia de calor para el cual la placa inferior (placa mvil) se mueve con una velocidad de U = 5 m/s y est perfectamente aislada. La placa superior (placa estacionaria) est construida con un material de conductividad trmica kpe = 1,5 W/mK y espesor Lpe = 3 mm. La superficie externa se mantiene a Tpe = 40 C. Las placas estn separadas por una distancia Lo = 5 mm, que se llena con un aceite de motor de viscosidad o = 0,799 Ns/m2 y conductividad trmica ko = 0,145 W/mK.

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    Problemas

    31

    a) Determine la distribucin de temperaturas en la pelcula de aceite, To(y). b) Determine la temperaturas en los extremos de la pelcula de aceite en contacto con las

    dos placas, To(y = 0) y To(y = Lo). c) Dibuje la distribucin de temperaturas en la pelcula de aceite y en la placa

    estacionaria.

    Solucin: a) T(y) = -2,755106y2 + 390 [K]; b) To(y = 0) = 390 K y To(y = Lo) = 321 K. 7. (6.22 del Incropera) Un eje con un dimetro de 100 mm gira a 9.000 rpm en un cojinete

    hidrulico de 700 mm de longitud. Las propiedades del aceite lubricante son = 0,03 Ns/m2 y k = 0,15 W/mK, mientras que el material del cojinete tiene una conductividad trmica de kc = 45 W/mK.

    a) Determine la disipacin viscosa [W/m3] en el lubricante. b) Determine la transferencia de calor [W] del lubricante suponiendo que no se pierde

    calor a travs del eje.

    c) Si la cubierta del cojinete se enfra con agua, de modo que la superficie externa del cojinete se mantiene a 30 C, determine las temperaturas del cojinete y del eje, Tc y Te.

    Solucin: a) = 6,66107W/m3; b) q = 14.646 W; c) Tc = 81,3 C y Te = 303,3 C. Similitud y parmetros adimensionales

    8. (6.27 del Incropera, examen septiembre 2002) Un objeto de forma irregular tiene una longitud caracterstica L1 = 1 m y se mantiene a una temperatura superficial uniforme Ts,1 = 400 K. Cuando se coloca en aire atmosfrico a una temperatura T = 300 K y se mueve con una velocidad V1 = 100 m/s, el flujo promedio de calor desde la superficie al aire es 20.000 W/m2. Si un segundo objeto de la misma forma, pero con una longitud caracterstica, L2 = 5 m, se mantiene a la misma temperatura superficial y se coloca en aire atmosfrico a T =

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    32

    300 K, cul ser el valor del coeficiente promedio de conveccin si la velocidad del aire es V2 = 20 m/s?

    9. (6.31 y 6.34 del Incropera) Considere las condiciones para las que un fluido con una velocidad de flujo libre V = 1 m/s fluye sobre una superficie con una longitud caracterstica L = 1 m, lo que proporciona un coeficiente promedio de transferencia de calor por conveccin h = 100 W/m2K.

    a) Calcule los parmetros adimensionales LNu , ReL y Pr para los siguientes fluidos: aire, aceite de motor, mercurio y agua. Suponga que los fluidos estn a una temperatura de 300 K.

    b) Dibuje la variacin relativa entre el espesor de la capa lmite hidrodinmica y la capa lmite trmica para el flujo laminar sobre una placa plana para los cuatro fluidos anteriores. Suponga un coeficiente del nmero de Prandtl n = 0,35.

    Datos: Propiedades termofsicas del mercurio:

    T (K)

    (kg/m3)

    cp (kJ/kgK)

    102 (Ns/m2)

    106 (m2/s)

    k103 (W/mK)

    107 (m2/s)

    Pr

    300 13.529 0,1393 0,1523 0,1125 8.540 45,30 0,0248 Solucin: a) aire: NuL = 3.802; ReL = 62.932; Pr = 0,706; aceite de motor: NuL = 690; ReL = 1.818; Pr = 6.403; mercurio: NuL = 11,7; ReL = 8.888.889; Pr = 0,0248; agua: NuL = 163;

    ReL = 1.166.092; Pr = 5,83; b) 885,0=airet

    ; 5,21=

    aceitet ; 27,0=

    mercuriot ;

    85,1=aguat

    .

    10. (6.35 del Incropera) Se utiliza aire forzado a T = 27 C y V = 10 m/s para enfriar elementos electrnicos sobre una tarjeta de circuitos. Uno de tales elementos es un chip, de 4 mm por 4 mm, que se localiza a 120 mm desde el inicio de la tarjeta. Los experimentos revelan que el flujo sobre sta es perturbado por los elementos y que la transferencia de calor por conveccin est correlacionada mediante una expresin de la forma:

    3/185,004,0 PrReNu xx = Estime la temperatura superficial del chip si ste disipa 30 mW.

    Nota: Las propiedades del fluido se deben calcular a la temperatura media entre el fluido y la superficie.

    Solucin: T = 317 K = 44 C.

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    33

    PROBLEMAS TEMA 6. CONVECCIN FORZADA EN FLUJO EXTERNO

    Placa plana en flujo paralelo

    1. (7.3 del Incropera) Sobre ambas superficies de una placa plana de 1 m de longitud que se mantiene a 20 C fluye aceite de motor a 100 C y a una velocidad de 0,1 m/s. Determine:

    a) Los espesores de las capas lmite de velocidad y trmica al final de la placa. b) El flujo local de calor al final de la placa. c) La transferencia de calor por unidad de ancho de la placa.

    Solucin: a) L = 146,7 mm; t,L = 14,3 mm; b) Lq = 1.304 W/m2; c) totalq = 5.216 W/m. 2. (7.11 del Incropera) Una placa plana de 1 m de ancho se mantiene a una temperatura

    superficial uniforme Ts = 150 C mediante el uso de mdulos rectangulares generadores de calor, controlados de manera independiente, de espesor a = 10 mm y longitud b = 50 mm. Cada mdulo est aislado de sus alrededores, as como de su parte posterior. Aire atmosfrico a 25 C fluye sobre la placa a una velocidad de 30 m/s. Las propiedades termofsicas del mdulo son k = 5,2 W/mK, cp = 320 J/kgK y = 2.300 kg/m3.

    a) Encuentre la generacin de potencia que se requiere, q& [W/m3], en el mdulo situado a

    700 mm del inicio.

    b) Encuentre la temperatura mxima en ese mdulo generador de calor.

    Solucin: a) q& = 873.448 W/m3; b) Tmx = 158,4 C. 3. (7.32 del Incropera) Un conjunto de componentes electrnicos disipadores de calor se

    monta sobre el lado inferior de una placa horizontal de aluminio de 1,2 x 1,2 m, mientras que el lado superior se enfra con un flujo de aire para el que u = 15 m/s y T = 300 K. La placa se une a un recinto bien aislado de manera que todo el calor se debe transferir al aire. Adems la placa de aluminio es lo suficientemente delgada para asegurar una temperatura casi uniforme en ella.

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    Problemas

    34

    a) Si la temperatura del aluminio no debe exceder de 350 K, cul es la disipacin de

    calor mxima permisible?

    b) Determine la disipacin de calor mxima permisible si sobre la placa de aluminio se coloca un sistema de aletas longitudinales cuya longitud, espesor y espaciado (entre planos centrales de las aletas) son 25 mm, 5 mm y 10 mm, respectivamente.

    Datos: Propiedades termofsicas del aluminio:

    T (K)

    (kg/m3)

    cp (J/kgK)

    k (W/mK)

    300 2.702 903 237 Solucin: a) q = 2,14 kW; b) q = 12,71 kW. Flujo alrededor de un cilindro

    4. (7.42 del Incropera) Un tubo circular de 25 mm de dimetro exterior se coloca en un flujo de aire a 25 C y presin de 1 atm. El aire se mueve en flujo cruzado sobre el tubo a 15 m/s, mientras que la superficie externa del tubo se mantiene a 100 C. Cul es la transferencia de calor del tubo por unidad de longitud?

    Solucin: q = 527 W/m. 5. (7.49 del Incropera) Aire a 27 C y a velocidad de 5 m/s pasa sobre la pequea regin As

    (20 x 20 mm) en una superficie grande que se mantiene a Ts = 127 C. Para estas condiciones se eliminan 0,5 W de la superficie As. Con el fin de aumentar la velocidad de eliminacin de calor, se sujeta una aleta de alfiler de acero inoxidable AISI 304 de dimetro 5 mm a As, que se supone permanece a Ts = 127C. Datos: Propiedades termofsicas del acero inoxidable AISI 304:

    T (K)

    (kg/m3)

    cp (J/kgK)

    k (W/mK)

    300 7.900 477 14,9 400 7.900 515 16,6

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    Problemas

    35

    a) Determine la velocidad mxima posible de eliminacin de calor a travs de la aleta. b) Qu longitud de aleta proporciona esa velocidad mxima de eliminacin de calor?

    c) Determine la efectividad de la aleta, f. d) Cul es el porcentaje de aumento en la transferencia de calor de As debido a la

    instalacin de la aleta?

    Solucin: a) qfmx = 2,3 W; b) L = 37,4 mm; c) f = 93,7; d) 455 %. 6. (7.62 del Incropera) En un proceso de fabricacin, una varilla larga recubierta de plstico

    ( = 2.200 kg/m3, cp = 800 J/kgK, k = 1 W/mK) de dimetro D = 10 mm est inicialmente a una temperatura uniforme de 25 C y sbitamente se expone a un flujo cruzado de aire a u = 50 m/s y T = 350 C. Cunto tiempo le costar a la superficie de la varilla alcanzar 175 C, temperatura por arriba de la cual se curar el recubrimiento especial?

    Solucin: t = 8,27 s (Calculado con Tf = ((25+175)/2 +350) /2 y correlacin de Hilpert 240=h W/m2K); Fo = 0,1879.

    Flujo a travs de bancos de tubos

    7. (7.76 del Incropera) Considere un banco de tubos escalonado para el que el dimetro exterior del tubo es 16,4 mm y los espaciados longitudinal y transversal son SL = ST = 20,5 mm. Hay siete lneas de tubos en la direccin del flujo de aire y ocho tubos por lnea (NL = 7 y NT = 8). La temperatura superficial de los tubos es de 70 C y la temperatura y velocidad del flujo de aire son 15 C y 6 m/s, respectivamente. Determine el coeficiente de conveccin y la transferencia de calor para el banco de tubos. Comience evaluando las propiedades del aire a T = 15 C.

    Solucin: h = 235 W/m2K; q = 28,5 kW/m.

    8. (7.80 del Incropera) Los componentes elctricos montados en cada una de dos placas isotrmicas se enfran al hacer pasar aire atmosfrico entre ellas, y se usa un dispositivo en lnea de aletas de alfiler de aluminio para aumentar la transferencia de calor al aire. Las aletas son de dimetro D = 2 mm, longitud L = 100 mm y conductividad trmica k = 240 W/mK. Los espaciados longitudinales y transversales son SL = ST = 4 mm con un dispositivo cuadrado de 625 aletas (NL = NT = 25) montadas en placas cuadradas de ancho W = 100 mm. El aire entra a una velocidad de 10 m/s y a una temperatura de 300 K.

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    Problemas

    36

    a) Evaluando las propiedades del aire a 300 K, estime el coeficiente promedio de

    conveccin para el dispositivo de aletas.

    b) Suponiendo el coeficiente de conveccin anterior uniforme sobre las aletas y las placas determine la temperatura de salida del aire y la transferencia total de calor cuando las placas se mantienen a 350 K. Sugerencia: La temperatura de salida del aire est gobernada por una relacin exponencial de la forma [(Tplaca Tsal) / (Tplaca Tent)] = exp[-( h Ato) / ( m& cp)], donde m& = VLNTST es el flujo de masa del aire que pasa a travs de las aletas, At es el rea superficial total de transferencia de calor (placas ms aletas) y o es la eficiencia superficial global del conjunto placas ms aletas.

    Solucin: a) h = 435 W/m2K; b) Tsal = 321 K; qtotal = 2.467,3 W.

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    Problemas

    37

    PROBLEMAS TEMA 7. CONVECCIN FORZADA EN FLUJO INTERNO

    Consideraciones trmicas y balance de energa

    1. (8.12 del Incropera) Considere una varilla cilndrica de combustible nuclear de longitud L y dimetro D que est encerrada en un tubo concntrico. Por la regin anular entre la varilla y el tubo fluye agua presurizada a un flujo msico m& y la superficie exterior del tubo est bien aislada. Hay generacin de calor dentro de la varilla de combustible y se sabe que la rapidez de generacin volumtrica vara senoidalmente con la distancia a lo largo de la varilla: )/()( Lxsenqxq o && = , siendo oq& [W/m3] una constante. Se puede suponer que existe un coeficiente de conveccin uniforme entre la superficie de la varilla y el agua.

    a) Obtenga expresiones para el flujo de calor local )(xq y para la transferencia total de

    calor q de la varilla de combustible al agua. b) Obtenga una expresin para la variacin de la temperatura media del agua a lo largo

    del tubo, Tm(x). c) Obtenga una expresin para la variacin de la temperatura superficial de la varilla a lo

    largo del tubo, Ts(x). Desarrolle una expresin para la posicin x para la que se maximiza.

    Solucin: a) 2

    ;4

    )(2

    oo qLDqLxsen

    qDxq

    && =

    = ; b)

    +=Lx

    cmqLDTxTp

    oentmm

    cos14

    )(2

    , &&

    ;

    c)

    =+=

    DLhcmLx

    hxqxTxT pmxms

    &arctan ;)()()( .

    2. (8.15 del Incropera) Aire atmosfrico entra en la seccin caliente de un tubo circular con un flujo de 0,005 kg/s y una temperatura de 20 C. El tubo es de dimetro D = 50 mm y existen condiciones completamente desarrolladas con h = 25 W/m2K sobre toda la longitud L = 3 m.

    a) Para el caso de un flujo de calor superficial uniforme, sq = 1.000 W/m2, determine la transferencia total de calor, q, y la temperatura media del aire que sale del tubo, Tm,sal.

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    Problemas

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    Cul son los valores de las temperaturas superficiales del tubo en la entrada y en la salida, Ts,ent y Ts,sal? Dibuje la variacin con x de Tm y Ts.

    b) Si el flujo de calor superficial vara linealmente con x, )(xqs = 500x [W/m2], cules son los valores de q, Tm,sal, Ts,ent y Ts,sal? Dibuje la variacin con x de Tm y Ts.

    c) Para cada tipo de proceso de calentamiento anterior, qu flujos de calor se requieren para alcanzar en la salida una temperatura del aire de Tm,sal = 125 C?

    Solucin: a) q = 471,24 W; Tm,sal = 113,6 C; Ts,sal = 153,6 C; Ts,ent = 60 C; b) q = 353,4 W; Tm,sal = 90,2 C; Ts,sal = 150,2 C; Ts,ent = 20 C; c) sq = 1.122 W/m2; )(xqs = 748x [W/m2].

    Correlaciones de transferencia en tubos circulares

    3. (8.19 del Incropera) Aceite de motor a razn de 0,02 kg/s fluye por un tubo de 3 mm de dimetro y de 30 m de longitud. El aceite tiene una temperatura de entrada de 60 C, mientras que la temperatura de la pared del tubo se mantiene a 100 C por condensacin de vapor sobre su superficie externa.

    a) Estime el coeficiente promedio de transferencia de calor para el flujo interno del aceite. b) Determine la temperatura de salida del aceite. c) Calcule la transferencia total de calor al aceite.

    Solucin: a) h = 201 W/m2K; b) Tm,sal = 89,6 C; c) q = 1.249 W.

    4. (8.24 del Incropera) En las etapas finales de produccin se esteriliza un frmaco calentndolo de 25 a 75 C a medida que se mueve a 0,2 m/s por un tubo recto de acero inoxidable de pared delgada de 12,7 mm de dimetro. Un flujo de calor uniforme se mantiene mediante un calentador de resistencia elctrica enrollado alrededor de la superficie externa del tubo. Si el tubo es de 10 m de longitud, cul es el flujo de calor que se requiere? Si entra fluido al tubo con un perfil de velocidad completamente desarrollado y un perfil uniforme de temperatura, cul es la temperatura superficial en la salida del tubo y a una distancia de 0,5 m desde la entrada? Las propiedades del fluido se pueden aproximar a: = 1.000 kg/m3; cp = 4.000 J/kgK; = 210-3 kg/sm; k = 0,48 W/mK; Pr = 10.

    Solucin: sq =12.700 W/m2; Ts,sal = 152 C; Ts (x = 0,5) = 65,7 C. 5. (8.39 del Incropera) El ncleo de un reactor nuclear de alta temperatura enfriado por gas

    tiene tubos de fluido refrigerante de 20 mm de dimetro y 1.500 mm de longitud. Entra helio a 600 K y sale a 1.000 K cuando el flujo es de 810-3 kg/s por tubo.

    a) Determine la temperatura superficial uniforme de la pared del tubo para estas condiciones.

    b) Si el gas refrigerante es aire en vez de helio, determine el flujo msico y la temperatura de salida del aire si la rapidez de eliminacin de calor y la temperatura superficial del tubo permanecen iguales.

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    Datos: Propiedades termofsicas del helio:

    T (K)

    (kg/m3)

    cp (J/kgK)

    107 (Ns/m2)

    106 (m2/s)

    k103 (W/mK)

    106 (m2/s)

    Pr

    800 0,05924 5193 382 - 304 - 0,654 Solucin: a) Ts = 1.142,8 K; b) Tm,sal 919 K; airem& 0,0474 kg/s.

    6. (8.50 del Incropera) Considere un tubo de pared delgada de 10 mm de dimetro y 2 m de longitud. Entra agua al tubo desde un recipiente grande a m& = 0,2 kg/s y Tm,ent = 47 C. a) Si la superficie del tubo se mantiene a una temperatura uniforme de 27 C, cul es la

    temperatura de salida del agua, Tm,sal?

    b) Cul es la temperatura de salida del agua si se calienta mediante el paso de aire a T = 100 C y V = 10 m/s en flujo cruzado sobre el tubo? Las propiedades del aire se pueden evaluar a una temperatura de pelcula supuesta de 350 K.

    Solucin: a) Tm,sal 35-36 C; b) Tm,sal 47 C. 7. (8.53 del Incropera) Una tubera de acero (k = 60 W/mK) que conduce agua caliente se

    enfra externamente mediante aire en flujo cruzado a una velocidad de 20 m/s y una temperatura de 25 C. Los dimetros interno y externo de la tubera son Dint = 20 mm y Dext = 25 mm, respectivamente. En cierta posicin a lo largo de la tubera, la temperatura media del agua es 80 C. Suponga que el flujo dentro del tubo est completamente desarrollado con un nmero de Reynolds de 20.000. Encuentre la transferencia de calor al flujo de aire por unidad de longitud de tubera.

    Solucin: q = 490 W/m. Correlaciones en conductos no circulares

    8. (8.72 del Incropera) Aire a 310-4 kg/s y 27 C entra en un conducto de seccin rectangular de 1 m de longitud y con una seccin de 4 por 16 mm. Se impone un flujo de calor uniforme de 600 W/m2 sobre la superficie del conducto. Cules son las temperaturas del aire y la de la superficie del conducto en la salida?

    Solucin: Tm,sal = 106,2 C; Ts,sal 128,5 C. 9. (8.80 del Incropera) Una placa fra es un dispositivo de enfriamiento activo que se une a un

    sistema generador de calor con el fin de disipar el calor mientras se mantiene el sistema a una temperatura aceptable. Normalmente se fabrica de un material de alta conductividad trmica, kpf, dentro del que se hacen canales por los que pasa el fluido refrigerante. Considere la placa fra de las dimensiones de la figura en la que las paredes laterales se pueden suponer aisladas y las paredes superior e inferior se mantienen en contacto con el dispositivo generador de calor a una temperatura constante Ts. La velocidad y la temperatura media del refrigerante son um y Tm,ent, respectivamente.

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    a) Suponiendo flujo turbulento completamente desarrollado a travs de cada canal plantee

    todas las ecuaciones necesarias para calcular la temperatura de salida del refrigerante, Tm,sal, y la transferencia total de calor a la placa fra, q.

    b) Resuelva el sistema con los siguientes datos: W = 100 mm, H = 10 mm, 10 canales cuadrados de w = h = 6 mm, = 4 mm. Ts = 360 K y kpf = 400 W/mK. El refrigerante es agua a um = 2 m/s y Tm,ent = 300 K. Propiedades promedio del agua: = 984 kg/m3, cp = 4.184 J/kgK, = 48910-6 Ns/m2, k = 0,65 W/mK, Pr = 3,15.

    Solucin: Tm,sal = 305,3 K; q = 15.818 W.

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    PROBLEMAS TEMA 8. CONVECCIN LIBRE

    Placas verticales

    1. (9.12 del Incropera) La puerta de un horno de 0,5 m de altura y 0,7 m de ancho alcanza una temperatura superficial promedio de 32 C durante el funcionamiento del horno. Estime la prdida de calor al cuarto con aire ambiente a 22 C. Si la puerta tiene una emisividad de = 1 y los alrededores tambin estn a 22 C, comente la prdida de calor por conveccin libre con relacin a la de radiacin.

    Solucin: qconv = 9,9 W; qrad = 21,4 W; qconv / qrad = 46 %. 2. (9.17 del Incropera) El vidrio delgado de una ventana cuadrada de 1 m de lado separa aire

    quieto de una habitacin a Tint = 20 C del aire ambiental exterior a Text = -20 C. Las paredes de la habitacin y el medio externo estn a la misma temperatura (Talr, int = 20 C, T alr, ext = -20 C). Si el vidrio tiene una emisividad de = 1, cul es su temperatura T? Cul es la prdida de calor a travs del vidrio?

    Solucin: T 1 C; q = 174 W.

    3. (9.20 del Incropera) Un contenedor de paredes delgadas con agua caliente a 50 C se coloca en un bao de agua fra en reposo a 10 C. La transferencia de calor en las superficies interna y externa del contenedor se pueden aproximar por la conveccin libre en una placa vertical.

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    Determine el coeficiente global promedio de transferencia de calor, U , entre el agua caliente del contenedor y el agua fra del bao.

    Solucin: U 350 W/m2K. Placas inclinadas

    4. (9.42 del Incropera) Una placa cuadrada de 1 m de lado inclinada un ngulo de 45 se expone a un flujo neto de calor por radiacin de 300 W/m2 en su superficie inferior. Si la superficie superior de la placa est bien aislada, estime la temperatura que alcanza la placa cuando el aire ambiente est en reposo y a 0 C.

    Solucin: T = 61 C. Placas horizontales

    5. (9.34 del Incropera) Una parrilla circular de 0,25 m de dimetro y emisividad de 0,9 se mantiene a una temperatura superficial constante de 130 C. Qu potencia elctrica se requiere cuando el aire ambiente y los alrededores estn a 24 C? Suponga que la parte inferior de la parrilla est aislada.

    Solucin: q = 91 W. 6. (9.29 del Incropera) Se tiene un transformador de potencia elctrica de forma cilndrica de

    dimetro 300 mm y altura 500 mm. Se desea mantener su temperatura superficial a 47 C mediante refrigeracin por conveccin libre y radiacin. La superficie tiene una emisividad de = 0,80. a) Determine cuanta potencia se puede eliminar de sus superficies lateral y horizontal

    superior (la inferior se supone aislada) cuando la temperatura ambiente y los alrededores estn a 27 C.

    b) Se aaden 30 aletas verticales de 5 mm de espesor y 75 mm de longitud a lo largo de toda la superficie lateral. Cul es ahora la rapidez de eliminacin de calor si las aletas tienen la misma emisividad de 0,80 y una conductividad trmica de 240 W/mK?

    Solucin: a) q = 104,5 W; b) q = 531 W. Cilindros horizontales

    7. (9.60 del Incropera) En un tubo de pared delgada de 20 mm de dimetro circula un fluido caliente a una temperatura media de 45 C. El tubo se monta horizontalmente en aire en reposo a 15 C. Se enrolla una cinta delgada de calentamiento elctrico sobre la superficie externa del tubo para evitar prdidas de calor del fluido caliente al aire ambiente y mantener su temperatura constante.

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    a) Ignorando las prdidas de calor por radiacin, calcule el flujo de calor eq que se debe

    suministrar mediante la cinta elctrica.

    b) Calcule el flujo de calor teniendo en cuenta la radiacin. La emisividad de la cinta es 0,95 y los alrededores tambin estn a 15 C.

    c) Calcule el flujo de calor si se aade una capa de aislante (k = 0,050 W/mK) de espesor 20 mm y emisividad 0,60. Cul ser la temperatura superficial del aislante?

    Solucin: a) eq = 208 W/m2; b) eq = 388 W/m2; c) eq = 113,65 W/m2; Taisl = 20 C. 8. (9.51 del Incropera) Vapor saturado a 4 bar de presin con una velocidad media de 3 m/s

    fluye a travs de una tubera horizontal de acero inoxidable AISI 302 cuyos dimetros interior y exterior son 55 y 65 mm, respectivamente. Se sabe que el coeficiente de transferencia de calor por conveccin para el flujo de vapor es 11.000 W/m2K.

    a) Si la tubera se cubre con una capa de 25 mm de espesor de aislante (k = 0,051 W/mK) y se expone a aire atmosfrico a 25 C, determine la transferencia de calor por conveccin libre al cuarto por unidad de longitud de tubera. Cul es la temperatura de la superficie exterior del aislante?

    b) La radiacin neta a los alrededores tambin contribuye a la prdida de calor de la tubera. Si el aislante tiene una emisividad = 0,80 y los alrededores estn a 25 C, cul ser ahora la prdida de calor de la tubera por unidad de longitud? Calcule la temperatura de la superficie exterior del aislante en estas condiciones.

    Datos: Acero inoxidable AISI 302: k (a 300 K) = 15,1 W/mK.

    Solucin: a) q 50 W/m; Taisl 52 C.

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    PROBLEMAS TEMA 9. INTRODUCCIN A LA RADIACIN

    Intensidad, potencia emisiva e irradiacin

    1. (12.11 del Incropera) Con el fin de iniciar la operacin de un proceso se emplea un sensor de movimiento infrarrojo (detector de radiacin) para determinar la aproximacin de una pieza caliente sobre un sistema transportador. La seal de salida del sensor es proporcional a la rapidez a la que la radiacin incide sobre el sensor.

    Para Ld = 1 m, en qu posicin x1 la seal S1 del sensor es el 75 % de la seal correspondiente a la posicin directamente debajo del sensor, So (x = 0)? Solucin: x1 = 0,39 m. Radiacin de cuerpo negro

    2. (12.17 del Incropera) Suponiendo que la superficie de la Tierra es negra, estime su temperatura si el Sol tiene una temperatura equivalente de cuerpo negro de 5.800 K. Los dimetros del Sol y de la Tierra son 1,39109 y 1,29107 m, respectivamente, y la distancia entre ellos es 1,51011 m.

    Solucin: TT = 279 K = 6 C. 3. (12.24 del Incropera) Un elemento de calentamiento radiante elctrico en forma de anillo

    se comporta como un cuerpo negro y se mantiene a una temperatura de Th = 3.000 K y se usa en un proceso de produccin para calentar una pequea pieza que tiene un rea superficial Ap = 0,007 m2. La superficie del elemento de calentamiento se puede suponer negra. Para 1 = 30, 2 = 60, L = 3 m y W = 30 mm, cul es la rapidez a la que la energa radiante emitida por el calentador incide sobre la pieza?

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    Solucin: q = 278,4 W. Emisividad, absortividad, reflectividad y transmisividad

    4. (12.25 del Incropera) La emisividad hemisfrica espectral del tungsteno se puede aproximar mediante la distribucin que se describe ms adelante. Considere un filamento cilndrico de tungsteno de dimetro D = 0,8 mm y longitud L = 20 mm. El filamento se encierra en un bulbo al vaco y se calienta mediante una corriente elctrica a una temperatura de estado estable de 2.900 K.

    a) Cul es la emisividad hemisfrica total cuando la temperatura del filamento es 2.900

    K?

    b) Suponga que los alrededores estn a 300 K. Cul es la rapidez inicial de enfriamiento del filamento cuando se desconecta la corriente? Suponga que el tungsteno se comporta como una superficie difusa.

    Propiedades termofsicas del tungsteno: = 19.300 kg/m3; cp (T = 2.000 K) = 167 J/kgK; cp (T = 2.500 K) = 176 J/kgK.

    Solucin: a) = 0,352; b) dT / dt = -1.996 K/s.

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    5. (12.39 del Incropera) Un pequeo objeto difuso y opaco a Ts = 400 K se suspende en un horno grande cuyas paredes interiores estn a Tf = 2.000 K. Las paredes son difusas y grises y tienen una emisividad de 0,20. La emisividad hemisfrica espectral para la superficie del objeto se da a continuacin.

    a) Determine la emisividad y la absortividad total de la superficie del objeto. b) Evale el flujo radiante reflejado y el flujo neto radiativo hacia la superficie.

    c) Cul es la potencia emisiva espectral a = 2 m? d) Cul es la longitud de onda 1/2 para la que la mitad de la radiacin total emitida por la

    superficie est en la regin espectral > 1/2? Solucin: a) s = 0,5; s = 0,6; b) refq = 362.880 W/m2; netoradq , = 543.594 W/m2; c) E ( = 2 m) = 0,1265 W/m2m; d) 1/2 = 10,26 m.

    6. (12.55 del Incropera) Considere una superficie difusa opaca cuya reflectividad espectral vara con la longitud de onda como se muestra. La superficie est a 750 K, y la irradiacin sobre un lado vara con la longitud de onda como se muestra. El otro lado de la superficie est aislado. Cules son la absortividad total y la emisividad de la superficie? Cul es el flujo neto de calor radiativo hacia la superficie?

    Solucin: = 0,72; = 0,756; netoradq , = -11.757 W/m2. Aplicaciones

    7. (12.74 del Incropera) Un procedimiento para medir la conductividad trmica de slidos a temperaturas elevadas implica la colocacin de una muestra en la parte inferior de un horno. La muestra tiene espesor L y se coloca en un contenedor cuadrado de lado W cuyos lados estn bien aislados. Las paredes de la cavidad se mantienen a Tw, mientras que la superficie inferior de la muestra se mantiene a una temperatura mucho ms baja Tc al hacer circular un refrigerante a travs del contenedor de la muestra. La superficie superior de la

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    muestra es difusa y gris con una emisividad s. Su temperatura Ts se mide de manera ptica.

    a) Ignorando los efectos de la conveccin, obtenga una expresin de la cual se pueda

    evaluar la conductividad trmica de la muestra en trminos de las cantidades medidas y conocidas (Tw, Ts, Tc, s y L). Las mediciones se realizan bajo condiciones de estado estacionario. Si Tw = 1.400 K, Ts = 1.000 K, Tc = 300 K, s = 0,85 y L = 0,015 m, cul es la conductividad trmica de la muestra?

    b) Si W = 0,1 m y el refrigerante es agua con un flujo msico de cm& = 0,1 kg/s, es razonable suponer una temperatura uniforme Tc de la superficie inferior?

    Solucin: a) k = 2,93 W/mK; b) Tagua = 3,3 K S es razonable suponer Tc uniforme. 8. (12.78 del Incropera) Un termgrafo es un dispositivo que responde a la potencia radiativa

    que incide sobre su detector en la regin espectral 9-12 m. El termgrafo proporciona una imagen, por ejemplo del lado de un horno, de la que se puede determinar la temperatura superficial.

    a) Para una superficie negra a 60 C determine la potencia emisiva para la regin espectral

    9-12 m. b) Calcule la potencia radiante (en W) recibida por el termgrafo en el mismo rango (9-12

    m) cuando ve, en una direccin normal, una pequea rea de una pared negra, 200

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    mm2, a Ts = 60 C. El ngulo slido subtendido por la abertura del termgrafo cuando se ve desde el rea objetivo es 0,001 sr.

    c) Determine la potencia radiante (en W) que recibe el termgrafo para la misma rea de pared y ngulo slido anterior cuando la pared es un material gris, opaco y difuso a Ts = 60 C, con emisividad 0,70 y los alrededores son negros a Talr = 23 C.

    Solucin: a) Eb (9-12) = 144,77 W/m2; b) qrad = 9,21610-6 W; c) qrad = 8,0810-6 W.

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    PROBLEMAS TEMA 10. INTERCAMBIO DE RADIACIN ENTRE SUPERFICIES

    Factores de forma

    1. (13.1 del Incropera) Determine F12 y F21 para las siguientes configuraciones con el uso de las relaciones bsicas de los factores de forma. No use tablas ni grficas.

    Solucin: a) F12 = 1 y F21 = 4/3; b) F12 = 0,5 y F21 = 0,25; c) F12 = 1 y F21 = 2/; d) F12 = 0,5 y F21 = 1/ 2 ; e) F12 = 0,5 y F21 = 0; f) F12 = 1 y F21 = 1/8; g) F12 = 0,5 y F21 = 2/.

    2. (13.4 del Incropera) Una capa metlica hemisfrica delgada de dimetro D = 0,8 m se suspende dentro de un recinto cbico de 1,5 metros de lado. Determine los factores de forma F11, F22 y F33.

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    Solucin: F11 =