Problemas resueltos

Capítulos 2, 3, 4, 5.

Texto:ANALISIS VECTORIAL

Autor:MURRAY R. SPIEGEL

Editorial:Mc- Graw Hill

*Antes de iniciar una serie de problemas para resolver, es recomendable dar una breveintroduccion a los mismos.

Señalando el tema y por que de este, o las teorias que se consideran.

(Palabras repetidas hallar demostar).*

Problemas Capitulo 2

Ejercicios:

1.-Demostrar queA ⋅ B = B ⋅ A

Solución:

A ⋅ B = AB cosθ = BA cosθ = B ⋅ A

Por consiguiente, el producto escalar goza de la propiedad conmutativa

2.-Demostrar queA ⋅ Bes igual a la proyección deA sobreB , siendok el valor unitario en la

dirección y sentido deB

(FIGURA)

Como indica la figura de planos perpendicularesA B trazados por el origen y el extremo deAcortan a aquel en los puntos

G y H , respctivamente, por lo tanto.

Por lo tanto , la proyección deA sobreB es igualGH = EF = A cosθ = A ⋅ b

3.-(Lleva figura)

Demostrar queA ⋅ B + C = A ⋅ B + A ⋅ C

Seaa el vector unitario en la dirección y sentido deA + proyección deC sobreAB + C ⋅ a = B ⋅ a + C ⋅ a

Multiplicando porA.B + C ⋅ Aa = B ⋅ Aa+ C ⋅ Aa

y B + C ⋅ A = B ⋅ A + C ⋅ A

Teniendo en cuenta la propiedad del voltaje en magnitud escalar

A ⋅ B + C = A ⋅ B + A ⋅ C

Luego el producto escalar goza de la propiedad distributivarespecto de la suma

4.-Demostrar queA + B ⋅ C + D = A ⋅ C + A ⋅ D + B ⋅ C + B ⋅ D del problema 3,A + B ⋅ C + D =

A ⋅ C + D + B ⋅ C + D = A ⋅ C + A ⋅ D + B ⋅ C + B ⋅ Dluego el producto escalar goza de las propiedades de algebraordinaria.

5.-Hallar los escalares siguientes:

ai ⋅

i =

i

i cos0∘ = 111 = 1

bj ⋅

k =

j

k cos90∘ = 110 = 0

ck ⋅

j =

k

j cos90∘ = 110 = 0

dj ⋅ 2i − 3j + kk = 2j ⋅

i − 3

i ⋅

i +

j ⋅

k = 0 − 3 =

e 2i −

j ⋅ 3

i +

k = 6

i ⋅

i + 2

i ⋅

k − 3

j ⋅

i −

j ⋅

k = 6 + 0 − 0 − 0 = 6

6.-

Si A = A1i + A =

j + AK y B = B ⋅

i + B ⋅

j + B ⋅

k, demostrar que

A ⋅ B = A1B1 + A2B2 + A3B3

A ⋅ B = A1i + A2

j + A3

k ⋅ B1

i B2

j B3

k

= A1i B1

i + A2

j B2

j + A3

kB3

k

=i A1B1 +

j A2B2 +

kA3B3

= A1B1 + A2B2 + A3B3

Ya quei ⋅

i =

j ⋅

j =

k ⋅

k = 1 y todos los demas productos escalares son nulos

7.-SiendoA = Ai + A2

j + A3

k, demostrar queA = A ⋅ A = A2 + A2

2 + A32

A ⋅ A = AAcos0∘ = A2 = luegoA = A ⋅ ATambien,A ⋅ A = A1

i + A2

j + A3

k × A1

i + A2

j + A3

k

= A1A1 + A2A2 + A3A3 = A12 + A2

2 + A32

Del problema 6 tomamosB = APor lo tanto,A = A ⋅ A = A1

2 + A22 + A3

2 es le modelo deA

8.-Hallar el angulo formado por los vectoresA = 2

i + 2

j + 2

k y B = 6

i − 3

j + 2

k

A ⋅ B = ABcosθ, A = 22 + 22 + −12 = 3, B = 62 + −32 + 22 = 7A ⋅ B = 26 + 2−3 + −12 = 12− 6 − 2 = 4Por lo tanto, cosθ A⋅B

AB = 437

= 421 = 0.1905 de dondeθ = 79∘, aproximadamente

9.-Si A ⋅ B = 0, A y B son distintos de 0, demostrar queA es perpendicular aB

Si A ⋅ B = ABcosθ = 0,entonces cosθ = 0, 0 sinθ = 90∘ aproximadamente;θ = 90∘; A ⋅ B = 0

10.-Hallar el valor deade forma queA = 2

i + a

j +

k y B = 4

i − 2

j − 2

k sean perpendiculares.

Del problema 9,A y B son perpendiculares siA ⋅ B = 0Por lo tanto,A ⋅ B = 24 + 0−2 + 1−2 = 8 − 2a − 2 = 0,de donde,a es igual a 3.

−2a = −8 + 2a = −6

−2a = 3

11.-Demostrar que los vectoresA = 3

i − 2

j +

k, B =

i − 3

j + 5

k, C = 2

i +

j − 4

k forman un

triangulo rectángulo

(GRÁFICA)

Primero demostraremos que los vectores forman un triangulo, por lo que deducimos lo siguiented Por ejemplo uno de los vectores3 es la resultante de los otros dos1 y 2

b La resultante de los vectores1 + 2 + 3 es el vector nulo. Como indican las figuras,pueden ocurrir que dos vectores

tengan el extremo común o bien, que ninguno de los dos extremos coincidan, es trivial queA = B + C y, por lo tanto,

los vectores forman un triangulo.

ComoA ⋅ B = 31 + −2−3 + 15 = 14, A ⋅ C = 32 + −2−1 + 1−4 = 0,y B ⋅ C = 12 + −31 + 5−4 = −21,se deduce queA y C son perpendiculares y que

...................................

12.-Hallar los angulos que forma el vectorA = 3

i − 6

j + 2

k con los ejes coordenados

Seanx,β yϰ los angulos que formaA con los semiejes positivosx,y,z respectivamente..................................................................................

13.-Hallar la proyección del vectorA =

i − 2

j +

ksegún la dirección deB = 4i − 4j + 7k

..................................................................................

14.-Demostrar el teorema del coseno de un trinagulo cualquiera ...............................................

15.-Demostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares..........................................

16.-Hallar el vector unitario perpendicular al plano formado por A = 2

i − 6

j − 3

k y

B = 4i + 3

j −

k.

Solución. SeaC = C1i + C2j + C3k un vector perpendicular al plano formado porA y B.El vectorC es perpendicular aA y a B. LuegoC ⋅ A = 2C1 − 6C2 − 3C3 = 0, o sea12C1 − 6C2 = 3C3

C ⋅ B = 4C1 + 3C2 − C3 = 0, o sea24C1 + 3C2 = C3

cC =

C312

i − 1

3

j +k

C32 1

22+ − 1

32+12

= ± 37

i − 2

7

j + 6

7

k

Multiplicar por +2 en2

2C1 − 6C2 = 3C3

8C1 + 6C2 = 2C3

10C1 = 5C3

C1 = 12 C3

C2 = − 13 C3

C = C312

i − 1

3

j +

k

17.-Hallar el trabajo realizado por la fuerza deF = 2

i −

j −

k al desplazar un sólido puntual a lo

largo de un vectorr = 3i + 2

j − 5

k.

Solución:Trabajo realizado:(Módulo de la fuerza en la dirección y sentido del

moviemiento.)*(Desplazamiento)= Fcosθγ = F ⋅ γ

= 25i −

j −

k ⋅ 3

i + 2

j − 5

k = 6 − 2 + 5 = 9

(IMAGEN)

18.-Hallar la ecuación del plano perpendicular al vectorA = 2

i + 3

j + 6

k y que pasa por el extremo

del vectorB =

i + 5

j + 3

k f ⋅ g ⋅ b

z

Seaγel vector de posición del puntoP, y Q el extremo deB comoPQ = B − γ es perpendiculara A, B − γ ⋅ A = 0, o sea,

γ ⋅ A = B ⋅ A es la ecuación vectorial del plano buscado. En coordenadas rectangulares,xi + y

j + z

k ⋅ 2

i + 3

j + 6

k =

i + 5

j + 3

k ⋅ 2

i + 3

j + 6

k

2x + 3y + 6z = 2 + 15+ 18 = 352x + 3y + 6z = 35

19.-Del problema 18 (anterior) hallar la distancia del origen alplano. La distancia del origen al plano

es igual a la proyeción deB sobreA el vector unitario en la dirección y sentido deA es

8 = AA =

2i +3

j +6

k

22+32+62= 2

7

i + 3

7

j + 6

7

k.

Luego la proyección deB sobreA = B ⋅ a =i + 5

j + 3

k ⋅ 2

7

i + 3

7

j + 6

7

k

= 27 + 15

7 + 187 = 35

7 = 5

20.-SiendoA un vector cualquiera, demostrar queA = A ⋅

i

i + A ⋅

j

j + A ⋅

k

k

ComoA = A1i + A2

j + A3

k, A ⋅

i = A1

i ⋅

j + A2

j ⋅

i + A3

k ⋅

i = A1

A ⋅j = A2 ; A ⋅

k = A3

A = A1i + A2

j + A3

k = A ⋅

i

i + A ⋅

j

j + A ⋅

k

k.

21.-Demostrar queA × B = −B × A

(GRAFICA)

El modulo deA × B = C esAbsinθ y su dirección y sentido son tales queA,B y C forman untriedro a derechasA

El modulo deB × A = D esBAsinθ y su direccion y sentido son tales queB,A y D forman untriedor a izquierdasB

Por lo tantoD tiene el mismo sentido contrario, es decirC = −D, o sea ,A × B = −B × A

El producto vectorial no goza de la propiedad conmutativa.

22.-SiendoA × B = 0 y A y B no nulos demostrar queA es paralelo aB.

Solución:

Si A × B = ABsinθ u = 0,se tiene , sinθ = 0 y θ = 0∘ ó 180∘

23.-

Demostrar que|A × B|2 + |A ⋅ B|2 = |A|2|B|2

|A × B|2 + |A ⋅ B|2 = |ABsinθu|2 + |ABcosθ|2 = A2B2 sin2θ + A2B2 cos2θ= A2B2 = |A|2|B|2

24.-Hallar los productos vectoriales siguientes:

(a)i ×

j =

k (f)

j ×

j = 0

(b)j ×

k =

i (g)

i ×

k = −

j

(c)k ×

i =

j (h) 2

j × 3

k = 6

i

(d)k ×

j = −

i (i) 3

i × −2

k = 6

j

(e)i ×

i = 0 (j) 2

j ×

i − 3

k = −5

k

25.-Demostrar queA × B + C = A × B + A × C en el caso en queA es perpendicular aB y tambien

cuando lo sea enC.

(GRAFICA)

ComoA es perpendicular aAB, A × B es un vector perpendicular al plano formado porA y B ycuyo modulo esABsin90∘ = AB,

o sea, el modulo deAB. Esto equivale a multiplicar el vectorB por A y girar el vector resultanteun angulo de 90∘ Hasta la

posicion que se indica en la figura.

A × C es el vector que se obtiene multiplicandoC por A y al girar al vector resultante un angulode 90∘ hasta la posición indicada

en la figura.

De la mismaA × B + C es resuleto el vector que se obtiene.

26.-Demostrar queA × B + C = A ×B + A × C en el caso general en queA,B, y C no sean

coplanares ni paralelos.

DescomponiendoB en sus componentes, peprpendiculares aA,B1, y paralelo aA,B11, se tiene,B = B1 + B11

Llamandoθ al angulo formado porA y B, B1 = Bsinθ, por lo tanto, el modulo deA × B, esABsinθ, es decir, igual que el de

A × B. la direcciónysentido deA × B, son tambien las mismas deA × B.

Por consiguiente,A × B1 = A × B.

Análogamente si se descompone enC en los vectoresC11y C1paralelo y perpendicular,respectivamente aA se obtiene,

A × C1 = A × C.

Tambien, comoB + C = B1 + B11 + C1 + C11 = B1 + C1 + B11 + C11 se deduce,A × B1 + C1 = A × B + C

Ahora tambien,B, y C, son vectores perpendiculares aA y,A × B1 + C1 = A × B1 + A × C1

A × B + C = A × B + A × C

Por lo tanto, que expresa que el producto vectorial goza de lapropiedad distributiva respecto de

la suma. Multiplicando por−1, yteniendo en cuenta ,B + C × A = B × A + C × A

27.-SiendoA = A1i + A2

j + A3

k y B = B1

i + B2

j + B3

k, demostrar que

A × B =

i

j

k

A1 A2 A3

B1 B2 B3

A × B = A1i + A2

j + A3

k × B1

i + B2

j + B3

k

= A1i B1

i + B2

j + B3

k + A2

j × B1

i + B2

j + B3

k + A3

k B1

i + B2

j + B3

k

= A1B1i ×

i + A1B2

i ×

j + A1B3

i ×

k + A2B1

j ×

i + A2B2

j ×

j + A2B3

j ×

k + A3B1

k ×

= A1B2k + A1B3

j − A2B1

k + A2B3

i + A3B1

j − A3B2

i

= A2B3 − A3B2i + A3B1 − A1B3

j + A1B2 − A2B1

k =

i

j

k

A1 A2 A3

B1 B2 B3

28.-DadosA = 2

i − 3

j −

k y B =

i + 4

j − 2

k, hallar

aA × B,bB × A,cA + B × A − B,aA × B =

2i − 3

j −

k ×

i + 4

j − 2

k =

i

j

k

2 −3 −1

1 4 −2

=i 6 + 4 −

j −4 + 1 +

k8 + 3 = 10

i +

bB × A =i + 4

j − 2

k × 2

i − 3

j −

k =

i

j

k

1 4 −2

2 −3 −1

=i −4 − 6 −

j −1 + 4 +

k−3

cA + B × A − BA + B = 3

i +

j − 3

k,A − B =

i − 7

j +

k

A + B × A − B = 3i +

j − 3

k ×

i − 7

j +

k =

i

j

k

3 1 −3

1 −7 1

=i 1 − 21 −

j 3 + 3 +

29.-Si A = 3

i −

j + 2

k, B = 2

i +

j −

k y C =

i − 2

j + 2

k, hallaraA × B × C, bA × B × C

aA × B

A × B = 3i −

j + 2

k × 2

i +

j −

k =

i

j

k

3 −1 2

−2 1 1

=i 1 − 2 −

j −3 − 4 +

k3 + 2 =

A × B × C = −i + 7

j + 5

k ×

i − 2

j + 2

k =

i

j

k

−1 7 5

1 −2 2

=i 14+ 10 −

j −2 − 5 +

k2

bA × B × C

B × C = 2i +

j −

k ×

i − 2

j + 2

k =

i

j

k

2 1 −1

1 −2 2

=i 2 − 2 −

j 4 + 1 +

k−4 − 1 = −5

A × B × C = 3i −

j + 2

k × −5

j − 5

k =

i

j

k

3 −1 2

0 −5 −5

=i 5 + 10 −

j −15 +

k−15

30.-Demostrar que el área de un paralelogramo de ladosA y B es|A × B|.

Area del Paralelogramo= h|B|= |A|sinθ|B| (dibujo de paralelogramo)= |A × B|

El área del triangulo que tiene por ladosA y B es igual a12 |A × B|

31.-Hallar el area del trinagulo cuyos vertices son los puntosP1,3,2, Q2,−1,3, R1,2,3

PQ = 2 − 1i + −1 − 3

j + 1 − 2

k =

i − 4

j −

k

PR = −1 − 1i + 2 − 3

j + 3 − 2

k = −2

i −

j +

k

Area del triangulo= 12 |PQ× PR| = 1

2

i − 4

j −

k × −2

i −

j +

k

= 12

i

j

k

1 −4 −1

−2 −1 1

= 12 −5

i +

j − 9

k = 1

2 −52 + 12 + −92 = 12 107

32.-Determinar el vector unitario perpendicular al plano formado porA = 2

i − 6

j − 3

k y B = 4

i + 3

j −

k

A × B Es un vector perpendicular al plano formado porA y B

A × B =

i

j

k

2 −6 −3

4 3 −1

=i 6 + 9 −

j −2 + 12 +

k6 + 24 = 15

i − 10

j + 30

k

El vector unitario en la dirección y sentido deA × B esA×B|A×B|

=15

i −10

j +30

k

152+−102+302= 15

35

i − 10

35

j + 30

35

k = 2

7

i − 2

7

j + 6

7

k

33.-Deducir el teorema de los senos en un triangulo plano

Seana,b, y c los lados del trianguloABCque se representa en la figura en estas condicionesa + b + c = 0. Multiplicando por

ax,bx,cx, sucesivamente, se obitiene:

a × b = b × c = c × a

es decir,absinC = bcsinA = casinB (Dibujo)

o bien, sinAa = sinB

b= sinC

c

34.-Considerandoun tetraedro de carasF1,F2,F3,F4, y seanV1,V2,V3,V4, los vectores cuyos

modulos son respectivamente, lasáreas deF1,F2,F3,F4, cuyas direcciones son perpendiculares a dichas caras y de sentido hacia el

exterior de tetraedro.Demostrar que:V1 + V2 + V3 + V4 = 0

El area de un triangulo de ladosR y Ses:12 |R× S|

Los vectores asociados con c/u de las caras del tetraedro son:V1 = 1

2 A × B,V2 = 12 B × C,V3 = 1

2 C × A,V4 = 12 C − A × B − A

LuegoV1 + V2 + V3 + V4 = 12 A × B + B × C + C × A + C − A × B − A =

12 A × B + B × C + C × A + C × B − C × A − A × B + A × A =

35.-Hallar el momento de una fuerzaF respecto de un puntoP. El modulo del momentoM de una

fuerzaF respecto de un puntoP esigual al modulo de la fuerzaF, multiplicando por la distancia del puntoP a la directriz deF. Por

lo tanto, llamandor al vector queuneP con el origenQ deF, resulta,

M = Fr sinθ = rF sinθ = |r × F|

El sentido deF corresponde al avance de un sacacorchos enP con el sentido de rotacion tal quelleve a coincidir el primer vector

con el segundo, por el menor de los angulos que lo forman.

(Dibujo)

36.-Un sólido rígido gira alrededor de un eje que pasa porD con una velocidad angularω. Demostrar

que la velocidad linealv de unpuntoP del sólido cuyo vector de posición esr viene dada porv = ω × r, siendoω un vector de

moduloω y cuya dirección ysentido son las del avance de un sacacorchos que gira en el sentido del movimiento.

Como el puntoP describe una circunferencia de radior seaθ, el modulo de la velocidad linealresωr sinθ = |ω × r | por

consiguiente,v es perpendicular aω y a r de forma quer,ω,v, formen un triedro a derechas.Luego viene el mismo modulo,

direccion y sentido queω × r, es decir,v = ω × r. El vectorω se llama velocidad angular

instantanea.

(Dibujo)

37.-Demostrar que el valor absoluto deA ⋅ B × C es igual al volumen de un paralelepípedo de

aristasA,B, y C.

Sean el vector unitario perpendicular al paralelogramoI con la misma direccion y sentido queB × C, y h la distancia del extremo

deA al paralelogramoI

Volumen del paralelepípedo= hareadelparalelegramoI= A − n|B × C|= A ⋅ |B × C|n = A ⋅ B × C

Si A,B y C no forman un triedro a derechas,A ⋅ n < 0 y el volumen= |AB × C|

38.-A = A1

i + A2

j + A3

k, B = B1

i + B2

j + B3

k, C = C1

i + C2

j + C3

k. Demostrar que:

A ⋅ B × C =

A1 A2 A3

B1 B2 B3

C1 C2 C3

B × C =

i

j

k

B1 B2 B3

C1 C2 C3

=i B2C3 − B3C2 −

j B1C3 − B3C1 +

kB1C2 − B2C1

A ⋅ B × C = A1i + A2

j + A3

k ⋅ B2C3 − B3C2

i − B1C3 − B3C1

j + B1C2 − B2C1

k =

A1B2C3 − B3C2 + A2B1C3 − B3C1 + A3B1C2 − B2C1 =

A1 A2 A3

B1 B2 B3

C1 C2 C3

39.-Hallar 2

i − 3

j ⋅

i +

j −

k × 3

i −

k

i

j

k

1 1 −1

3 0 −1

=i −1 −

j −1 + 3 +

k−3 = −

i − 2

j − 3

k

2i − 3

j ⋅ −

i − 2

j − 3

k = −2 + 6 = 4

40.-Demostrar queA ⋅ B × C = C ⋅ A × B = A × B ⋅ CEn el productoA ⋅ B × C se puede suprimir el parentesis y escribirA ⋅ B × C, ya que en este

caso no existe ambigüedad y lasunicas interpretaciones posibles son deA ⋅ B × C y A ⋅ B × C, pero esta ultima carece de

sentido ya que no esta definido elproducto vectorialC.La igualdadA ⋅ B × C = A × B ⋅ C se puede expresar diciendo que los productos escalar y

vectorial son permutables.

41.-

Demostrar queA ⋅ B × C =

A1 A2 A3

B1 B2 B3

C1 C2 C3

Teniendo en cuenta que un determinante si se permuan entre sidos lineas

A1 A2 A3

B1 B2 B3

C1 C2 C3

= −

B1 B2 A3

A1 A2 B3

C1 C2 C3

=

B1 B2 B3

C1 C2 C3

A1 A2 A3

= B ⋅ C × A

A1 A2 A3

B1 B2 B3

C1 C2 C3

= −

C1 C2 C3

B1 B2 B3

A1 A2 A3

=

C1 C2 C3

A1 A2 A3

B1 B2 B3

= C ⋅ A × B

42.-Demostrar queAA × C = A × A ⋅ C = 0

43.-Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que los vectoresA,B, y C sean

coplanarios es queA ⋅ B × C = 0

A ⋅ B × C = A ⋅ B × C

Si A,B, y C son coplanarios, en el volumen del paralelepipedoformado por los vectoresA,B y C,el cero, y por lo tanto los

vectores son coplanarios.

44.-Seanr1 = x1

i + y1

j + z1

k, r2 = x2

i + y2

j + z2

k, r3 = x3

i + y3

j + z3

k, los vectores de

posición de los puntosP1x1,y1,z1,P2x2,y2,z2,P3x3,y3,z3 hallar la ecuación del plano que pasa porP1,P2 y P3.Supongamos queP1,P2 y P3no estan alineados, es decir, que determinaron un plano.

Sear = xi + y

j + z

k el vector de posición de un punto génerico del plano. Considerando los

vectoresP1P2 = r2 − r1,P1P3 = r3 − r1 y P1P = r − r1. que son complementarios.

En coordenadas rectangulares,x − x1

i + y − y1

j + z− z1

k − x2 − x1

i + y2 − y1

j + z2 − z1

k × x3 − x1

i + y

o bien,

x − x1 y − y1 z− z1

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

= 0

45.-Hallar la ecuación del plano formado por los puntosP12,−1,1,P23,2,−1,P3−1,3,2.Los vectores de posición deP1,P2,P3 y de un punto cualquieraPx,y,z son respectivamente.r1 = 2

i −

j +

k, r2 = 3

i + 2

j −

k, r3 = −

i + 3

j + 2

k y r = x

i + y

j + z

k.

Los vectoresPP1 = r − r1,P2P1 = r2 − r1,P3P1 = r3 − r1, están situados en el plano pedido,luego

r − r1 ⋅ r2 − r1 × r3 − r1 = 0

es decir, x − 2i + y + 1

j + z− 1

k ⋅

i + 3

j − 2

k × −3

i + 4

j +

k = 0

x − 2i + y + 1

j + z− 1

k ⋅ 11

i + 3

j + 13

k = 0

11x − 2 + 5y + 1 + 13z− 1 = 0 o bien, 11x + 5y + 13z = 30.

46.-Sean,a,b, y c los vectores de posición de los puntosP,Q y R no alineados. Demostrar que

a × b + b × c + c × a es un vectorperpendicular al plano formado porP,Q y R.

Llamemosr al vector de posición de un punto genérico del plano formado por P,Q y R.Los vectoresr − a,b − a, y c − a son coplanarios.Luegoa × b + b × c + c × a es perpendicular ar − a y también al plano formado porP,Q y R.

47.-Demotrar queaA × B × C = BA ⋅ C − CA ⋅ B.

bA × B × C = BA ⋅ C − AB ⋅ C.

a SeanA = A1i + A2

j + A3

k, B = B1

i + B2

j + B3

k, C = C1

i + C2

j + C3

k

Se tieneA × B × C = A1i + A2

j + A3

k ×

i

j

k

B1 B2 B3

C1 C2 C3

= A1i + A2

j + A3

k × B2C3 − B3C2

i + B3C1 − B1C3

j + B1C2 − B2

=

i

j

k

A1 A2 A3

B2C3 − B3C2 B3C1 − B1C3 B1C2 − B2C1

=i A2B1C2 − A2B2C1 − A3B3C1 + A3B1C3 + A3B2C3 − A3B3C2 − A1B1C2 + A1B2C1

j

+A1B3C1 − A1B1C3 − A2B2C3 + A2B3C2k

Tambien,BA ⋅ C − CA ⋅ B= B1

i + B2

j + B3

k A1C1 + A2C2 + A3C3 − C1

i + C2

j + C3

k A1B1 + A2B2 + A3B3

= A2B1C2 + A3B1C3 − A2C1B2 − A3B1C3i + B2A1C1 + B2A3C3 − C2A1B1 − C2A3B3

j + B3

bA × B × C = −C × A × B = −AC ⋅ B − BC ⋅ A = BA ⋅ C − AB ⋅ C habiendosustituido

A,B y C dea por C,A y B respectivamente.

48.-Demostrar que:A × B ⋅ C × D = A ⋅ CB ⋅ D − A ⋅ DB ⋅ C.X ⋅ C × D = X × C ⋅ D SeaX = A × B luegoA × B ⋅ C × D = A × B × C − D = BA ⋅ C − AB ⋅ C ⋅ D

= A ⋅ CB ⋅ D − A ⋅ DB ⋅ C

49.-Demostrar queA × B × C + B × C × A + C × A × B = 0A × B × C = BA ⋅ C − CA ⋅ BB × C × A = CB ⋅ A − AB ⋅ CC × A × B = AC ⋅ B − BC ⋅ A

50.-Demostrar que:

A × B × C × D = BA ⋅ C × D − AB ⋅ C × D = CA ⋅ B × D − DA ⋅ B × CX × C × D = CX ⋅ D − DX ⋅ C. SeaX = A × B, entonces,A × B × C × D = CA × B ⋅ D − DA × B ⋅ C

= CA × B ⋅ D − DA × B ⋅ C

A × B × Y = BA ⋅ Y − AB ⋅ Y. SeaY = C × D, entonces,A × B × C × D = BA ⋅ C × D − AB ⋅ C × D

51.- El problema no esta en el cuaderno de apuntes original

52.-Demostrar que:A × B ⋅ B × C × C × A = A ⋅ B × C2

X × C × A = CX ⋅ A − AX ⋅ C. SeanX = B × C; entoncesB × C × C × A = CB × C ⋅ A − AB × C ⋅ C

= CA ⋅ B × C − AB × C ⋅ C = CA × B ⋅ C

Por lo tantoA × B ⋅ B × C × C × A = A × B ⋅ CA ⋅ B × C= A × B ⋅ CA ⋅ B × C = A ⋅ B × C2

53.-Dados los vectoresa1 = b×c

a⋅b×c⋅ b1 = c×a

a⋅b×cy c1 = a×b

a⋅b×c, demostrar que sia ⋅ b × c ≠ 0

a a1 ⋅ a = b1 ⋅ b = c1 ⋅ c = 1,b a1 ⋅ b = a1 ⋅ c =, b1 ⋅ a = b1 ⋅ c = 0, c1 ⋅ a = c1 ⋅ b = 0c si a ⋅ b × c = v, entoncesa1 ⋅ b1 × c1 = 1

v .da1,b1 y c1 no son coplanarios sia,b y c no lo son

a a1 ⋅ a = a ⋅ a1 = a ⋅ b×ca⋅b×c

= a⋅b×ca⋅b×c

= 1b1 ⋅ b = b ⋅ b1 = b ⋅ c×a

a⋅b×c= b⋅c×a

a⋅b×c= a⋅b×c

a⋅b×c= 1

c1 ⋅ b = c ⋅ c1 = c ⋅ a×ba⋅b×c

= c⋅a×ba⋅b×c

= a⋅b×ca⋅b×c

= 1

b a1 ⋅ b = b ⋅ a1 = b ⋅ b×ca⋅b×c

= b⋅b×ca⋅b×c

= b⋅b×ca⋅b×c

= 0

c a1 = b×cv , b1 = c×a

v , c1 = a×bv

Luegoa1 ⋅ b1 × c1 =b×c⋅c×a×a×b

v3 =a×b⋅b×c×c×a

v3 =a⋅b×c

v3 = v2

v3 = 1v

Por lo tantoa1 ⋅ b1 × c1 ≠ 0

54.-Demostrar que todo el vectorr se puede expresar en función de los vectoresreciprocos del

problema 53 en la forma:

r = r ⋅ a1a + r ⋅ b1b + r ⋅ c1c

BA ⋅ C × D − AB ⋅ C × D = CA ⋅ B × D − DA ⋅ B × C

entonces,D =

AB⋅C×DA⋅B×C − BA⋅C×D

A⋅B×C +CA⋅B×D

A⋅B×C

SeaA = a,B = b,C = c y D = r, en estas condicionesr = r⋅b×c

a⋅b×ca + r⋅c×a

a⋅b×cb + r⋅a×b

a⋅b×cc = r ⋅ b×c

a⋅b×ca + r ⋅ c×a

a⋅b×cb + r ⋅ a×b

a⋅b×cc = r ⋅ a1a + r ⋅ b1b

55.-

Hallar: a K ⋅i +

j , b

i − 2

k ⋅

j + 3

k , c 2

i −

j + 3

k ⋅ 3

i + 2

j −

k

a)k

i +

j =

ki +

kj prop. dist.

como:i ⋅

j =

j ⋅

k =

k ⋅

i = 0

ki +

kj = 0

b)i − 2

k ⋅

j + 3

k =

ij + 3

ki − 2

kj − 6

k = −6

c) 2i −

j + 3

k ⋅ 3

i + 2

j −

k = 6

i − 2

j + 3

k = 1

56.-Si A =

i + 3

j − 2

k y B = 4

i − 2

j + 4

k, hallar:

aA ⋅ B, b|A|, c|B|, d 3A + 2B , e2A + B ⋅ A − 2B

a)A ⋅ B =i + 3

j − 2

k ⋅ 4

i − 2

j + 4

k = 4 − 6 − 8 = −10

b)|A| = 12 + 32 − 22 = 14

c)|B| = 42 − 22 + 42 = 36 = 6

d)|3A + 2B| = 3i + 3

j − 2

k + 2 4

i − 2

j + 4

k = 3

i + 9

j − 6

k + 8

i − 4

j + 8

k =

sumamos11

i + 5

j + 2

k = 112 + 52 + 22 = 150

e)2A + B ⋅ A − 2B

57.-Hallar el ángulo formado poraA = 3

i + 2

j − 6

k y B = 4

i − 3

j +

k, bC = 4

i − 2

j + 4

k y

D = 3i − 6

j − 2

k.

a) A = 3i + 2

j − 6

k = |A||B|cosθ |A| = 32 + 22 − 62 = 49

B = 4i − 3

j +

k |B| = 42 + 32 − 12 = 26

A ⋅ B = 3i + 2

j − 6

k ⋅ 4

i − 3

j +

k = 12

i − 6

j − 6

k = 0 ∴ cosθ = A⋅B

A B= 0

49 26

*lo que significa que el ángulo formado es de 90∘

b)|C||D|cosθ, C = 42 − 22 + 42 = 36 = 6

|D | = 32 − 62 − 22 = 49 = 7

C ⋅ D = 4i − 2

j + 4

k ⋅ 3

i − 6

j − 2

k = 12

i + 12

j − 8

k = 16

∴ cosθ = C⋅DC D

= 1667

= 1642 = 8

21 = 67∘36′

58.-¿Para que valores sonA = a

i − 2

j +

k y B = 2a

i + a

j − 4

k perpendicular?

59.-Hallar el valor dea de forma queA = 2

i + a

j +

k y B = 4

i − 2

j − 2

k sean perpendiculares

si A ⋅ B = 0 ∴ A ⋅ B = 24 + a−2 + 1−2 = 8 − 2a − 2 = 0 dondea = 3

60.-Hallar los ángulos que forma el vectorA = 3

i − 6

j + 2

k con los ejes coordenados.

Seanα, β, γ los ángulos que formanA con los semiejes positivosx,y,z, respectivamente.A ⋅

i = A1cosα = 32 + −62 + 22 cosα = 7cosα

A ⋅i = 3

i − 6

j + 2

k ⋅

i = 3

i ⋅

i − 6

j ⋅

i + 2

k ⋅

i = 3 ∴ cosα = 3

7 = 0.4286 = 64.6∘

Así mismo cosβ = − 67 ,β = 149∘

cosγ = 27 ,γ = 73.4∘

dondeα, β, γ son cosenos directores

61.-Demostrar el teorema del coseno de un triangulo cualquiera

(Dibujo)

B + C = A, C = A − B

C ⋅ C = A − B ⋅ A ⋅ B = A ⋅ A + B ⋅ B − 2A ⋅ BLey de los cosenosC2 = A2 + B2 − 2ABcosθ

62.-Demostrar que las diaginales de un rombo son perpendiculares

(Dibujo)

OQ = OP + PQ = ABOR + RP = OP, o bien,B + RP = A, donde,RP = A − BluegoOQ ⋅ RP = A + B ⋅ A − B = A2 − B2 = 0,ya queA = B ∴ OQes perpendicular a

RP

63.-Hallar el valor unitario perpendicular al plano formado porA = 2

i − 6

j − 3

k y

B = 4i + 3

j −

k

SeaC = C1i + C2

j + C3

k un vector perpendicular al plano formado porA y B. El vectorC es

perpendicular aA y a B, luego,

C ⋅ A = 2C1 − 6C2 − 3C3 = 0,o sea,1 2C1 − 6C2 = 3C3

C ⋅ B = 4C1 − 3C2 − C3 = 0, o sea,2 4C1 − 3C2 = C3

Si resolvemos el sistema formado por1 y 2; C1 = 12 C3,C2 = − 1

3 C3,C = 1

2

i − 1

3

j +

k ∴ el vector unitario deC es:

C|C|

=C3=

12

i − 1

3

j +k

C32 1

22+ − 1

32+12

= 37

i − 2

7

j + 6

7

k

78.-Efectuar los productos indicados:

a)2j × 3

i − 4

k

Resolviendo:

a =

i

j

k

0 2 0

3 0 −4

=i −8 − 0 −

j 0 +

k−6 = −8

i − 6

k

b)i + 2

j ×

k

Solución:

b =

i

j

k

1 2 0

0 0 1

=i 2 − 0 −

j 4 − 0 +

k0 − 0 = 2

i −

j

c) 2i − 4

k ×

i + 2

j

Resolviendo:

c =

i

j

k

2 0 −4

1 2 0

=i 0 − 8 −

j 0 + 4 +

k4 − 0 = −8

i − 4

j + 4

k

d) 4i +

j − 2

k × 3

i +

k

Solucionando:

d =

i

j

k

4 1 −2

3 0 1

=i 1 −

j 4 + 6 +

k0 − 3 =

i − 10

j − 3

k

e) 2i +

j −

k × 3

i − 2

j + 4

k

Resolviendo:

e =

i

j

k

2 1 −1

3 −2 4

=i 4 − 2 −

j 8 + 3 +

k−4 − 3 = 2

i − 11

j − 7

k

79.-Si A = 3

i −

j − 2

k y B = 2

i + 3

j +

k, hallar:

a)|A × B|Resolviendo:

A × B =

i

j

k

3 −1 −2

2 3 1

=i −1 + 6 −

j 3 + 4 +

k9 + 2 = 5

i − 7

j + 11

k

|A × B| = 52 + 72 + 112 = 195

b)A + 2B × 2A − BSolución:A + 2B = 3

i −

j − 2

k + 4

i + 6

j + 2

k = 7

i + 5

j = C

2A − B = 6i − 2

j − 4

k − 2

i + 3

j +

k = 4

i − 5

j − 5

k = D

C × D =

i

j

k

7 5 0

4 −5 −5

=i 25 −

j −35 +

k−35− 20 = −25

i + 35

j − 55

k

c)|A + B × A − B|Respuesta:A + B = 3

i −

j − 2

k + 2

i + 3

j +

k = 5

i + 2

j − 2

k = C

A − B = 3i −

j − 2

k − 2

i + 3

j +

k =

i − 4

j − 3

k = D

C × D =

i

j

k

5 2 −2

1 −4 −3

=i −6 − 8 −

j −15+ 2 +

k−20− 0 = 14

i + 13

j − 22

k

|C × D| = 142 + 132 + −222 = 849

80.-Si A =

i − 2

j − 3

k, B = 2

i +

j −

k y C =

i + 3

j − 2

k, hallar:

a)|A × B × C|Solución:

A × B =

i

j

k

1 −2 −3

2 1 −1

=i 2 + 3 −

j −1 + 6 +

k1 + 4 = 5

i − 5

j + 5

k

A × B × C =

i

j

k

5 −5 5

1 3 −2

=i +10− 15 −

j −10− 15 −

k15+ 5 = −5

i + 15

j + 20

k

|A × B × C| = 52 + 152 + 202 = 650 = 5 26

b)|A × B × C|Solución:

B × C =

i

j

k

2 1 −1

1 3 −2

=i −2 + 3 −

j −4 + 1 +

k6 − 1 =

i + 3

j + 5

k

A × B × C =

i

j

k

1 −2 −3

1 3 5

=i −10+ 9 −

j 5 + 3 +

k3 + 2 = −

i − 8

j + 5

k

|A × B × C| = −12 + −82 + 52 = 90 = 3 10

c)A ⋅ B × CSolución:considerando el productoB × C del inciso b tenemos;

B × C =i + 3

j + 5

k

EntoncesA ⋅ B × C =

i − 2

j − 3

k ⋅

i + 3

j + 5

k = 1 − 6 − 15 = −20

d)A × B ⋅ CSolución:Tomando el productoA × B del inciso a, tenomos que:A × B = 5

i − 5

j + 5

k

entonces;A × B ⋅ C = 5

i − 5

j + 5

k ⋅

i + 3

j − 2

k = 5 − 15− 10 = −20

e)A × B × B × CResolviendo:Considerando del inciso a y b, entonces:A × B = 5

i − 5

j + 5

k = E

B × C =i + 3

j − 2

k = F

Luego, entonces:

E × F =

i

j

k

5 −5 5

1 3 5

=i −25− 15 −

j 25− 5 +

k15+ 5 = −40

i − 20

j + 20

k

f)A × BB ⋅ CSolución:De acuerdo al inciso a el productoA × B es:A × B = 5

i − 5

j + 5

k = E

B ⋅ C = 2i +

j −

k ⋅

i + 3

j − 2

k = 2 + 3 + 2 = 7 = F

EF = 35i − 35

j + 35

k

82.-Hallar el area del paralelogramo cuyas diagonales sonA = 3

i +

j − 2

k y B = 3

i +

j − 2

k.

Solución:

A × B =

i

j

k

3 1 −2

1 −3 4

=i 4 − 6 −

j 12+ 2 +

k−9 − 1 = −2

i − 14

j − 10

k

|A × B| = 22 + −142 + −102 = 300 = 5 3

83.-Hallar el área del triangulo cuyos vértices son3,−1,21,−1,−3 y 4,−3,−1PQ = 1 − 3

i + −1 + 1

j + −3 − 2

k = −2

i − 6

k

PR = 4 − 3i + −3 − 1

j + 1 − 2

k =

i − 4

j −

k

Area del triangulo= 12 |PQ× PR|

A = 12

i

j

k

−2 0 −6

1 −4 1

= 12

i 0 − 24 −

j 2 − 6 +

k8 − 0 = 1

2 −24i − 8

j + 8

k = 1

2 −242 + 82 + 8

84.-Si A = 2i + j − 3k y B = i − 2j + k, hallar un vector de modulo 5⊥ a los vectoresA y B.

92.-Hallar la constantea de forma que los vectores 2

i −

j +

k,

i + 2

j − 3

k y 3

i + 4

j + 5

k sean

coplanares.

93.-SiendoA = x1a + y1b + z1c, B = x2a + y2b + z2c y C = x3a + y3b + z3C dan que:

A ⋅ B × C =

x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

a ⋅ b × c

94.-Demostrar que laA ⋅ B × C = A × B ⋅ C

95.-Los vectores de posoción, con respecto al origen de los puntosP,Q,R, sonr1 = 3

i − 2

j −

k,

r2 =i + 3

j + 4

k y

r3 = 2i +

j − 2

k, respectivamente, hallar la distancia deP al planoOQR.

96.-Hallar la distancia desde el punto6,−4,9 a la recta que pasa por2,1,2 y 3,−1,9

97.-Dados los puntosP2,1,3, Q1,2,1, R−1,−2,−2 y S1,−9,0. Hallarla mínima distancia

entre las rectasPQy RS.

98.-Demostrar que las alturas de un triangulo se cortan en un punto.

99.-Demostrar que las mediatrices de un triangulo se se cortan enun punto.

100.-Demostrar queA × B ⋅ C × D + B × C ⋅ A × D + C × A ⋅ B × D = 0

101.-SeaPQRun triangulo esférico cuyos ladosp,q,r son arcos de circulo maximo. Deducir el

teoremadel coseno de los triangulos esféricoscosp = cosq cosr − sinqsinr cosp

Ind.- Interpetar los dos miembros de la identidad

A × B ⋅ A × C = B ⋅ CA ⋅ A − A ⋅ CB ⋅ A

102.-Hallar un sistema de vectores reciproca al formado por2i + 3j − k, i − j − 2k,−i + 2j + 2k

103.-Si a = b×c

a⋅b×c, b1 = c×a

a⋅b×c, y c1 a×b

a⋅b×c,denquea = b1×c1

a1⋅b1×c1 , b = c1×a1

a1⋅b1×c1 , c = a1×b1

a1⋅b1×c1

104.-Siendoa,b,c y a1,b1,c1 tales quea1 ⋅ a = b1 ⋅ b = c1 ⋅ c = 1a1 ⋅ b = a1 ⋅ c = b1 ⋅ a = b1 ⋅ c = c1 ⋅ a = c1 ⋅ b = 0

demostrar quea1 = b×ca⋅b×c

105.-Demostrar que que el unico sistema de vector que es reciprocode su

106.-Demostrar que soo existe un sistema de vectores reciprocos de un lado de vectores no

coplanarios ni paralelosa,b,c.

Problemas Capítulo 3

Diferenciacion vectorial Problemas Resueltos

1.-SiendoRu = xu

i + yu

j + zu

k y x,y2 funciones derivables de un escalaru, demostrar

que:

dRdu

= dxdu

i + dv

du

j + dz

du

k

dRdu

= limΔu→0 =

Ru+Δu−RuΔu = lim

Δu→0 =xu+Δu

i +yu+Δu

j +zu+Δuk − xu

i +yu

j +zu

k

Δu =

limΔu→0 =

xu+Δu−xuΔu

i + yu+Δu−yu

Δu

j + zu+Δu−zu

Δu

k = dx

du

i + dy

du

j + dz

du

k

2.-SiendoR = sin t

i + cost

j + t

k hallara dR

dt,b d2R

dt2,c dR

dt,d d2R

dt2,

a dRdt

= ddt sint

i + d

dt costj + d

dt tk = cost i − sin t

j +

k

b d2Rdt2

= ddt

dRdt

= ddt cost

i − d

dt sintj + d

dt 1k = −sint

i − cost

j

c dRdt

= cost2 + 1 − sin + 12 + 12 = 2

d d2Rdt2

= −sint2 + −cost2 = 1

3.-Una particula se mueve a lo largo de una curva cuyas ecuaciones paramétricas son

x = e−t, y = 2cos3t, z = 2sin3tsiendot = el tiempo.

(a)Hallar su velocidad y su aceleracion en función del tiempo (ley de velocidades yaceleraciones)

(b)Hallar el modulo de la velocidad y de la aceleracion en el instatntet = 0.

(a) El vector de posiciónr de la partícula esr = xi − y

j + 2

k = e−t

j − 6sin3+

j + 6cos3+

k

La velocidad esy = drdt

= −e−tj − 6sin3+

j + 6cos3+

k

y la aceleracióna = d2rdt2

= e−ti − 18cos3t

j − 18sin3t

k

(b)En el instanter = 0, drdt

= −i + 6

k y d2r

dt2=i − 18

j . Por lo tanto :

Módulo de la velocidad ent = 0, −12 + 62 = 37

Módulo de la aceleración ent = 0, 12 + −183 = 325

4.-Una Partícula se mueve a lo largo de una curvax = 2t2, y = t2 − 4t, z = 3t − 5 siendo elt el

tiempo. Hallar los componentes de lavelocidad y de la aceleración en el instantet = 1 y en la direccióni − 3j + 2k.

Velocidad= drdt

= d2i 2t2i + t2 − 4f

j + 3t − 5

k = 4t

i + 2t − 4

j + 3

k = 4

i − 2

j + 3

k

at t = 1

El vector unitario en la direccióni − 3

j + 2

k es

i −3

j +2

k

V12+−32+22 =i −3

j +2

k

14

Luego la componente de la velocidad en la dirección dada es

4i −2

j +3

k ⋅

i −3

j +2

k

14=

61+−2−3+32

14= 16

14=

8 147

Aceleración= d2 rdt2

= dat

drat = d

at ati + 2t − 4

j + 3

k = 4

i + 2

j + 0

k

La componente de la aceleración dada es:

4i +2

j +0

k ⋅

i −2

j +2

k

14=

41+2|−3|02

14= −2

14=

− 147

5.-Las ecuaciones paramétricas de una curvaC sonx = xs, y = ys, z = 2ssiendos la logitud

del arcoC medida desde el puntofijo de ella. Llamandor al vector de posisción de un punto genérico deC. Demostrar quedr

dses

un vector unitario tangente aC.

El vector drds

= dds

xi + x

j + 2k dx

ds

i + dy

ds

j + d2

d3k es tangente a la curva

x = x3, y = y5, z = z5.

Para demostrar que su modulo, es la unidad, tenemos:

drds

= dxds

2+

dyds

2+ dz

ds

2=

dx2+dy2+dz2

ds2 = 1

ya queas5 + dx2 + dy2 + dz2 según se estudia

6.-(a) Hallar el vector tangente unitario en un punto cualquiera de la curva

x = r + 1, y = 4f − 3, z = 2f2 − 6t

(b) Hallar el vector tangente en el punto correspondiente alinstantet = 2

(a) El vector tangente a la curva en uno de sus puntos es:

drd2

= dd2 22 + 1

i + 4z− 3

j + 2t2 − 6t

k = 2

i + 4

j + 4f − 6

k

El módulo del vector es drdz

=2+

i +4

j +4t−6

k

2t2+42+4+62= dr

ds

Luego el vector tangente unitario pedido esT =2fi +4

j +4+−6

k

2t2+42+4+−62

Obsérvese que, comodrdz

= dsdt

⋅ T =dr/dtds/dz

= drdz

(b) Enf = 2, el vector tangente unitario esT =4i +2

j +2

k

42+42+22= 2

3

i + 2

3

j + 1

3

k

7.-SiendoA y B funciones derivables de un escalaru demostrar:

(a) ddu A ⋅ B = A ⋅ dB

du+ dA

du⋅ B, (b) d

du A × B = A × dBdu

+ dAdu

× B

(a)ddu A ⋅ B = lim

Δu→0 =A≠ΔA+13+ΔB−A⋅B

Δu = limΔu→0 = A⋅ΔB+ΔA⋅ΔB

Δu = lim A ⋅ ABΔu + ΔA

Δu B + ΔAΔu AB = A dB

du

Otro métododu A ⋅ B = d

du A1B1 − A2B2 − A3B3 = A1dbdu

+ A2dB2

du+ A3

dB3

du+

dA1

duB1 +

dA2

duB2 +

dA3

duB

= A ⋅ dBdu

+ dAdu

⋅ B

(b) ddu A × B = d

du

i

j

k

A1 A2 A3

B1 B2 B3

i

j

k

A1 A2 A3

dB1

dudB2

dudB3

du

i

j

k

dA1

dudA2

dudA3

du

B1 B2 B3

= A × dBdu

+ dAdu

× B

8.-DadoA = 5t2

i + t

j − t3

k y B = sint

i − cost

j .

Hallar: (a) ddt A ⋅ B, (b) d

dt A × B, (c) ddt A ⋅ A

(a) ddt A ⋅ B = A ⋅ dB

dt+ dA

dt⋅ B =

5t2i + tj − t3k ⋅ cost

i + sint

j + 10t

i +

j − 3t

k ⋅ sint

i − cost

j

= 5t2 cost + tsin

i + 10tsint − cost = 5t2 − 1cost + 11tsint

(b) ddt A × B = A × db

dt+ dA

dt× B =

i

j

k

6t2 2 −r3

cost sint 0

+

i

j

k

10t t −3r2

sint cost 0

= t2 sinti − r2 cost

j + 6t2 sint − tcostk + −3r2 cost

i − 3t2 sint

j + 10tcost − sintk =

6tsint − 3t2 costi − t2 cost − 3t2 sint

j + 5t2 sint − sint = 11+ cost

k

(c) ddz A ⋅ A = A ⋅ dA

dt− dA

dt⋅ A = 2A ⋅ dA

dt= 2 5t2

i − t

j − t3

k + 10t

i +

j − 3t2k =

100t3 + 20+ 6t3

9.-SiendoA de módulo conbstante, demostrar queA y da

dtson perpendiculares, siempre que

dAdt

≠ 0ComoA es de módulo constante,A ⋅ A =constante.Luego, d

dt A ⋅ A = A ⋅ dAdt

+ dAdt

⋅ A = 2A ⋅ dAdt

= 0

Así pués,A ⋅ dAdt

= 0 y A es perpendicular adAdt

simpre que dAdt

≠ 0

10.-Demostrar qued

du A ⋅ B × C = A ⋅ B × dcdu

× c + dAdu

⋅ B × C, siendoA,B,C, funcionesderivables

de un escalaraddu

A ⋅ B × C = A ⋅ ddu B × C + dA

du⋅ B × C

= A ⋅ B × dcdu

+ dBdu

× C + dAdu

⋅ B × C= A ⋅ B × dC

du+ A ⋅ dB

du× C + dA

du⋅ B × C

11.-Hallar d

dtV ⋅ dv

du× d2v

dt2

ddt

V − dvdt

× d2vdt2

= v ⋅ dudt

× d3y

dt3+ vd2v

dt2+ dv

dt⋅ dv

dt× d2y

dt2= v ⋅ du

dt× d3v

dt3= 0 + 0 = v dv

dt× d3y

dt3

12.-Una partícula se mueve de forma que su vector de posición viene dado porF = cosωt

i + sinωt

j

siendoωuna constante. Demostrar quea la velocidadv de la paritcula es perpendicular ar, |b|la

aceleraciona esta dirigida hacia el origen y su módulo es proporcional a sudistancia al mismocr × v = vector constante.

av = drdt

= −ωsinωti + ωcosωt

j

Se tiener ⋅ v cosωti + sinωt

j − −ωsinωt

i + ωcost

j

cosωt − ωsinωt + sinωtωcosωt = 0

Luegor y v son perpendiculares.

b d2rdt2

= dvdt

ω2 cosωti − ω2 sinωt

j

ω cosωti + sinωt

j = −ω2r

El módulo es proporcional a|r | que es la distancia al origen

c

r × v = cosωti + sinωt

j × −ωsinωt

i + ωcost

j =

i

j

k

cosωt sinωt 0

−ωsinωt ωcosωt 0

=

ωcos2ωt + sin2ωfk = ωk Vector constante.

13.-Demostrar:A × d2B

dt2− d2A

dt2× B = d

dtA × dB

dt− dA

dt× B

ddt

A × dBdt

− dAdt

× B = ddt

A × dBdt

− ddt

dAdt

× B =

A × d2Bdt2

+ dAdt

× dBdt

− dAdt

× dBdt

− d2Adt2

× B = A = d2Bdt2

− d2Adt

× B

14.-Demostrar queA ⋅ dA

dt= AdA

dt

SeaA = A1i + A2

j + A3

k luegoA = A1

2 + A22 + A3

2

dAdt

= 12 A1

2 + A22 + A3

2−12 2A dA

dr+ 2A2

dA2

dt+ 2A3

dA3

dt=

AdA1dt

+A2dA2dt

+A3dA3dt

A12+A2

2+A32

12

=A⋅ dA

dt

A1es decir,

A dAdt

= A dAdt

Si Aes un vector constanteA ⋅ dAdt

= 0

15.-Si A = 2x2y − x4

i + exy − ysinx

j + x2 cosyk, Hallar:

∂A∂x

⋅ ∂A∂y

⋅ ∂2A∂x2 ⋅ ∂2A

∂y2 ⋅ ∂2A∂x∂y

⋅ ∂2A∂y∂x

∂A∂x

= ∂∂x 2x2y − x4

i + ∂

∂x exy − ysinx

j + ∂

∂x x2 cosy

k =

4xy− 4x3i + yexy− ycosx

j + 2xcosy

k

∂A∂y

= ∂∂y 2x2y − x4

i − ∂

∂y exy − ysinx

j + ∂

∂y x2 cosy

k =

2x2i + xexy − sinx

j − x2 siny

k

∂2A∂x2 = ∂

∂x 4xy− 4x3i + ∂

∂x yexy − ycosxj + ∂

∂x 2xcosyk =

4y − 12x2i + y2exy + ysinx

j − 2cosy

k

∂2A∂y2 = ∂

∂y 2x2i + ∂

∂y xexy − sinxj − ∂

∂y x2 siny

k =

0 + x2exyj − x2 cosy

k = x2exy

j − x2 cosy

k

∂2A∂x∂y

= ∂∂y

∂∂x

= ∂∂y 2x2

i + ∂

∂x xexy − sinxj − ∂

∂x

j + x2 siny

k =

4xi + xyexy − cosx

j − 2xsiny

k

∂2A∂y∂x

= ∂∂y

∂∂x

= ∂∂y 4xy− 4x32

+ ∂∂y yexy − ycosx

j + ∂

∂y 2cosyk =

4xi + xyexy + exy − cosx

j − 2xsiny

k

16.-Si φx,y,z = xy2zy A = xz

i − xy2

j + yz2

k. Hallar ∂3

∂x2∂2 φA en el punto2,−1,1.

φA = xy2z xzi − xy2

j + yz2

k = x2y2z2

k = 2x2y2z

i − x2y4

j + 3xy3z2

k

∂2

∂x∂x φA = ∂∂x

x2y2z2i − x2y4z

j + 3xy3z2

k = 4xy2z

i − 2xy2z

i − 2xy4

j + 3y3z2

k

∂3

∂x2∂zφA = ∂

∂x4xy2z

i − 2xy4

j + 3y3z2

k = 4y2z

i − 2y4

j

Parax = 2,y = −1,z = 1 se obtiene 4−121i − 2−14j = 4

i − 2

j

17.-

Dado el vectorF función de las variables escalaresx,y,z f y x,y y z, a su vez, funciones det ,demostrar quedFdt

= ∂F∂t

+ ∂Fdx∂xdt

+∂Fdy∂ydt

+ ∂Fdz∂zdt

Supongamos queF = F1x,y,z, ti + F2x,y,z, t

j + F3x,y,z, t

k.

Entonces.dF = dF1

i + dF2

j + dF3

k =

∂F1

∂tdt + ∂F1

∂xdx+ ∂F1

∂ydy+ ∂F1

∂z

i +

∂F2

∂tdt + ∂F2

∂xdx+ ∂F2

∂ydy+ ∂F2

∂tdt + ∂F2

∂zdz

j + ∂F3

∂tdt + ∂F3

∂xdx+ ∂F3

∂ydy+ ∂F3

∂tdt + ∂F3

∂zdz

k =

∂F1

∂t

i + ∂F2

∂t

j + ∂F3

∂t

k dt + ∂F1

∂x

i + ∂F2

∂x

j + ∂F3

∂x

k dx+ ∂F1

∂y

i + ∂F2

∂y

j + ∂F3

∂y

k dy+ ∂F1

∂z

i +

Luego, dFdt

= ∂F∂x

+ ∂F∂x

dx∂t

+ dFdy

dy∂t

+ ∂F∂z

dzdt

Geometria diferencial.

18.-Demostrar las fórmulas de Frenet Serreta dF

ds= KN,b dB

ds= −γN ⋅ c dN

ds= TB− KT.

aComoT ⋅ T = 1 se deduce queT ⋅ dFds

= 0 es decirdTds

es perpendicular aT

SeaN el vector unitario en la dirección y sentido dedFds

; entonces,dTds

= KN. El vectorN es lanormal

principal,k es la cobertura ye = 1k

es el radio de la corvatura.

bSeaB = T × N, entoncesdBdS

= T × dNdS

+ dTdS

N = T × dNdS

+ KN × N = T dNdS

Luego T ⋅ dBdS

= T ⋅ T × dNdS

= 0, es decir,T es perpendicular adBdS

De B ⋅ B = 1 se deduce queB dBdS

, es decir,dBdS

es perpendicular aB, y esta situado en el planoformado porT y N.

Como dBdS

pertenece al plano deT y N y es perpendicular aT1 es paralelo aN1 luegodBdS

= −TN

El vectorB es la normalr es la torsión ya = 1r es el radio.

c ComoT N y B forman un triedro a la derecha, tambien lo formanN,By T, es decirN = B × T.

Luego dNdr

= B dTdS

× dBdS

× T = B × RN − rN × T = −RT + rB = rB + RT

19.-Representar la curvax = 3cost, y = 3sint, z = 4t y hallaraelvector tangente unitarioT, b

la normalprincipalN, la curvaturaK y el radio de la curvaturaϱ c la binomialB, la torsiónt y el radio de

torsionσ.

Esta curva se llama hélice circular y se represneta en la figura , comot = z4 , las ecuaciones de la

curva enfunción de este último parametro sonx = 3cos z

4 , y = 3sin z4 perteneciendo a superficie

lateral delcilindro x2 + y2 = 9

a El vector de posición de un punto genérico de la curva es:

r = 3costi + 3sint

j + 4t

k

Luego, drdt

= −3sinti + 3cost

j + 4

k

dsdt

= drds

= dtdt

⋅ drds

= −3sint2 + 3cost2 + 42 = 5

Así pués,f = drds

=dr/dtds/dt

= − 35 sint

i + 3

5 costj + 4

5

k

b dTdt

= ddt

− 35 sint

i + 3

5 costj + 4

5 k = − 35 sint

j

dTds

=dT/dtds/dt

= − 325 cost

i − 3

25 sintj

Como dTds

= kM dTds

= |k||M| =k cosk ≥ 0

Luegok = dTds

= − 325 cost

2+ − 3

25 sint2= 3

25 tP = 1k= 25

3

De dTdS

= KN se obtieneN = 1k⋅ dT

ds= −cost

i − sint

j

cB = T × N =

i

j

k

− 35 sint 3

5 cost 45

−cost −sint 0

= 45 sint

i − 4

5 costj + 3

5

k

dBdt

= 45 cost

i + 4

5 sintj − sintj dB

dS=

dB/dtds/dt

= 425 cost

i + 4

25 sintj − TN = −T −cos

i − sint

j

o

bienT = 425 y σ = 1

r = 254

20.-Demostrar que el radio de la curvatura de la curva cuyas ecuaciones paramétricas sonx = xs,

y = ys,

z = z2 viene dado porp = d2xds2

2+ d2y

ds2

2+ d2z

ds2

2 − 1e

El vector de posición de un punto genérico de la curva esr = xsi + ys

j + zs

k.

Luego T = drds

= dxds

i + dy

ds

j + dz

ds

k y dT

ds= d2x

ds2

i + d2y

ds2

j + d2z

ds2

k

Pero dTds

= KN, con lo queK = dTds

= d2x

ds2

2+

d2y

ds2

2+ d2z

ds2

2quedanod demostrado

ya quep = 1k

21.-Demostrar quedr

ds⋅ d2 r

ds2 × d3 rds3 = T

P2 ⋅ drds

= T ⋅ d2rds2 = dT

ds= KN ⋅ d3r

ds3 = K dNds

+ dKds

N =

KrB − KT + dkds

N × KTR − K2 T + dKds

N

dr = d2rds2 × d3r

ds3 = T ⋅ KN × KTB − K2 T + dKdS

N

= T ⋅ K2TN × B − K3N × T + K dKdS

N × N = TK2rT × K3B = K2T = TP3

22.-Dada la curvax = t, y = t2, z = 2

3 t3, hallarala curvaturaxb la torsiónT

aEl vector de posición esr = ti + t2

j + 2

3 t3k. Por lo tanto,dr

dt=i + 2t

j + 2t2

k

dsdt

= drdt

= drds

⋅ drdt

= 12 + 2t2 + 2t22= 1 + 2t2

T = drds

=dr /drds/dt

=i +2t

j +2t2

k

1+2t2

dtdr

=1+2t2 +4t

k −

i +2t

j +2t2

k

1+2t2 2 =−4t

i + 2−4t2

j +4tk

1+2t2 2

EntoncesdTds

=dT/dtds/dt

=−42+ 2−4t2 2

+4t2

1+2t2 3 = 2

1+2t2 2

b De a. N = 1k

dtds

=−2t

i + −2t2

j +2tk

1+2t2

Por lo tantoB = T × N =

i

j

k

11+2t2

21+2t2

2t2

1+2t2

−2r1+2t2

1−2t2

1+2t22t

1+2t2

=2t2i −2t

j +k

1+2t2

De aquí quedBdt

=4ti +4t−2

j −4rk

1+2t2 2 = 4 dBds

=dB/dtds/dt

=4ti + 4t2−2

j −4tk

1+2t2 2

Tambien−TN = −T−2t

i + 1−2t2

j +2tk

1+2t2 . Como dBds

= −TN se obtiene

T = 2

1+2t2 2 así ∗ K = T

23.-Halla las ecuaciones, vectorial y cartesiana de laa tangenteb normal principal yc

binomial a la curvadel problema 22 en el punto correspondiente at = 1.

SeanT0,N0 y B0 los vectores, tangente, normal principal, y binomial en el punto dado.

T0 =i +2

j +2

k

3 N0 =−2

i −j +2

k

3 B0 =2i −2

j +k

3

Si A es un vector dado yr0 y r son, respectivamente, los vectores de posición del origen yde unpunto

genérico deA, el vectorr − r0 es paralelo aA y la ecuación deA esr − r0 × A = 0

Por lo tanto: La ecuación de la tangente es r − r0 × T0 = 0La ecuación de la normal principal es r − r0 × N0 = 0La ecuación de la normal es r − r0 × B0 = 0

24.-Hallar las ecuaciones, vectorial y cartesiana, del planoa oscualdorb normal yc

rectificante de la curva,de los problemas 22 y 23 en el punto correspondiente at = 1

a El plano osculador es que contienen a la tangente y a la normalprincipal. Sir es el vector deposición de

un punto genérico del plano yr0 el vector de posición del punto corresponidente at = 1,entoncesr − r0 es

perpendicular a la binomialB0 en dicho punto, es decirr − r0 ⋅ B0 = 0

b El plano normal es perpendicular a la binomialB0 en dicho punto. Luego la ecuación pedida

esr − r0 ⋅ T0 = 0

c El plano rectificante es perpendicular a la normal en el punto dado. La ecuación pedida esr − r0 ⋅ N0.

Las ecuaciones dea,b y c en coordenadas rectangulares son, respectivamente.

2x − 1 − 2y − 1 + 1 2 − 23 = 0

1x − 1 − 2y − 1 + 2 2 − 23 = 0

−2x − 1 − 1y − 1 + 2 2 − 23 = 0

25.-a Demostrar que la ecuaciónr = u,v es la correspondiente a una superficie.

b Dmostrar quearau representa un vector normal a la superficie.

c Hallar un vector unitario normal a la siguiente superficie siendoa = 0.

r = acosusinvi + asinusinu

j + acos cosu

k

a Si consideramos queu toma un valor fijou0 entoncesr = ru0,y representa una curva que larepresentamos poru = y0.

Analogamente,u = u1 define otra curvar = ru0 − y Al variar u1r = ru1v representa unacurva que se mueve en el espacio

generando una superficie como se indica en la figura .

Las curvasu = u o u = ui . . . . . . , pertenecen a esta superficie asícomo las curvasu = u0 yv = v0, por ejemplo se cortan en el

puntou0,v0dela superficie. el par de númerosu,v

b Consideremos un puntoP de la superficiescuyas coordenadas sonv0 ⋅ v0 como se indicaen la figura. El vectorar

au en elpuntoP se obtiene derivandor respecto deu manteniendov = constantev0 este vectorar

au en elpuntoP es tangente a la curva

v = v0 en dicho punto.

Analogamente∂r∂v

enP es un vector tangente a la curvau = constante= u0. Como ambosvectores,∂r

∂v, son tangentes en el punto

P a dos curvas de la superficie, se deduce que tambien son tangentes a la superficie en dichopunto.

Luego, ∂r∂u

× ∂r∂v

es un vector normal aSenD

c∂r∂u

= −sinusinvi + acosusinv

j

∂r∂v

= acosucosvi + asinucosu

j − asiny

k

Entonces

∂r∂u

× ∂r∂v

=

i

j

k

−asinusinv acosusinv 0

acosucosv asinucosv −sinv

= a2 cosusin2vj − a3 sinusin2v

j − a2 sinvcosv

k

Representan un vector normal a la superficie en un punto cualquierau,v

El vector unitario se obtiene dividiendoarau × ar

av por su modulo| arau × ar

av | dada por

a4 cos2 sin4v + a4 sin4usin4v + a4 sin2vcos3v = a4cos2u + sin2usin6y + a4 sin2ycos2y =

a4 sin5ysin2y + cos2y = a2 sinv si sinv > 0 y −a2 sinv si sinv < 0

Luego son los vectores normales unitarios, dados por 1cosusinvi + sinusinv

j + cosv

k = ±n

La superficie en cuestión está definida por las ecuacionesx = acosusinv e y = asinusinv,z = acosv, de las cuales se obtienex2 + y2 + z2 = a2 que es la ecuación de una esfera de radioa.Comor = a, se deduce que:

n = cosusinui + sinusinv

j + cosv

k

es el vector unitario, normal exterior a la esfera en el puntou,v

26.-Hallar la ecuación del plano tangente a la superficiez = x2 + y2 en el punto1,−1,2.Seanx = u, y = v, z = u3 + v3 las ecuaciones parametricas de la superficie el vector de posición

de un punto cualquiera de ellaes:

r = ui + v

j + u3 + v3

k

Entonces∂r∂u

=i + 2u

k =

i + 2k, ∂r

∂v=j + 2v

k =

j − 2

k en el punto1,−1,2 siendou = 1 y

v = −1

La normaln a la superficie en este punto esn ∂r

∂u× ∂r

∂v=

i + 2

k ×

j − 2k = −2

j + 2

j +

k

El vector de posición del punto1 − 1,2 esR0 =i +

j + 2

k

El vector de posición de un punto genérico del plano es:

R = xi + x

j + 2

k

Como indica la figura,R− R0 es perpendicular an , luego la ecuación del plano pedido esR− |R0| a = 0 o bien

1 ×i + y

j + 2

k −

i −

j + 2

k ⋅ −2

j + 2

j +

k = 0 es decir,

−2x − 1 + 2y + 1 + z− 2 = 0, o sea, 2x − 2y − z = 2

27.-Demostrar que la aceleración de∂ de una partícula que se mueve a lo largo de una curva en el

espacio, con una velocidadv vienedada por:

∂ = dvdz

T + V2

P N

SiendoT el vector tangente unitario a la curva,N la normal principal ye el radio de curvatura

Velocidadv = módulode v multiplicado por el vector unitario tangenteT o bien v = vTDerivando

a = dvdt

= ddt v r = dv

dzT + v dT

dtasí dr

dsdsdt

= KN dsdz

= K × N vNp

Por lo tanto→ a = dudr

r + v vNp = dv

dtT = v2

p N

28.-Sea r el vector de posición respecto de un punto 0, de una partículade masamy F la fuerza

exterior que actua sobre la misma; el momento deF respecto deOviene dado porM = r × F .Demostar queM = dH

dt,siendoH = r × mvy la velocidad de la partícula.

M = r × F = r × ddt mv

Pero ddt r × mv = r × d

dt mv + drdt

× mv= r × d

dt mv + v × mv = r × ddt mv + 0

M = ddt r × mv = dR

dt

es decir, En el caso general de uns sistema de particulas de marcasm1, m2. . . . . . . . . . ,mn yvectores de posiciónr1,r2. . . . . . ,rn sometido al sistema de fuerzas exterioresF1,F2,,,el momento

cinético resultante esH =∑n

A=1 mk ra × VA.

El par resultante esM ∑An ra × FA y se verifica queN = dH

dt

29.-Consideremos un vectorA = A1

j + A2

j + A3

j referida a un sistema de coordenadasxy2 de

origen 0. Su derivada respecto al segundo que se mantiene fijo en el espacioa S = dA

df fy dA

df m

Son las derivadas deA respecto de los sistemas fijo y movil, espectativamente, demostrar queexiste un vectorω tal que

dAdz f

y dAdt

= +ω × A

b Representando porD i y Dm los operadores derivada en los sistemas fijo y móvil,respectivamente, demostrar la equivalencia

Df = Dn × ωx

a En la operación del primer sistema respecto del segundo, losvectoresi ,j ,k varian con el

tiempo.

Por lo tanto, la derivadaA es:

1 dAdf

= dAdt

i + dA2

dt

j + dA3

dt

k + A1

di

dt+ A2

dj

dt+ A3

dk

dt, es decir,

2 dAdt f

= dAdt

+ A1dit + A2

dj

dt+ A3

dk

dt

Comoi es un vector unitario,d

i

dtes perpendicular a

i y en consecuencia, esta situado en el

plano formado porj ×

k

Luego3 di

dt= a1

j + a3

k

4 dj

dt= a3

k + a4

i

5 dk

dt= a3

i + a4

j

Derivandoi ⋅

j = 0 se obtiene

i ⋅ d

j

dt+ d

i

df⋅j = 0 Pero

i dj

dt= a1 y d

i

a2 ⋅j = a3 luego

a4 = −a1

Analogamente dei ⋅

k = 0.

i ⋅ d

k

df+ d

i

df⋅k = 0 y a3 = −a2; de

ik = 0,

j ⋅ d

k

dt+ d

i

df

k = 0 y a6 = −a3

Por lo tanto: dj

at = a1j + a3

k, d

i

dt= a3

k − a3

i , d

k

dt= −a3

i − a3

j ; A1

di

dt+ A2

dj

dt+ A3

dk

dt=

a1A2 − a2A3i + a1A1 − a3A3

j + a2A1 + a3A2

k

que se puede poner en la forma:

i

j

k

a3 a2 a1

A1 A2 A3

Haciendoa3 = ω1, −a2 = ω2, a1 = ω3 el determinante se reduce a:

i

j

k

ω1 ω2 ω3

A1 A2 A3

= ω × A

Siendoω = ω1i + ω2

j + ω3

k. La magnitudω es el vector velocidad angular del sistema móvil

respecto del fijo

b Por definición

DfA = dAdt

∣ f = derivada en el sistema fijo

Df A = dAdt

∣= derivada en el sistema movil

DπA × ω × A = Dπ × ωxA

Df = Dπ + ωx

30.-En el problema 29. Hallara la velocidad yb la aceleración respecto de 2 sistemas de

referencia.

a SeaA el vector de posiciónr de la partícula. Aplicando la notación operacional se obtiene

1 Dfr = Vj ∣ s = velocidad de la partícula, con respecto del sistema de flujo

Dm = Vp ∣ m = velocidad de la partícula respecto del sistema móvil.ω × r = Vm ∣ f = velocidad del sistema móvil respecto del fijo.

Entoncesr se puede poner en la forma

2 Vp ∣ f = vp ∣ m+ Vm ∣ f

o bien

3 Vp ∣ f = vp ∣ m+ vm ∣ f

Se deduce:

Vp ∣ m = Vp ∣ f − ω × r , o bien,Vp ∣ f + ω × r

b La aceleración de la partícula del sistema fijo esD2f r = DfDfr AplicandoDf = a los dosmiembros de1 y tenenindo en

cuenta la equivalencia demostrada en el problema anterior resulta.

DfDfr = DfDmr + ω × r

= Dm+ ωxDmr + ω × r= DmDmr + ω × r + ωxDmr + ω × r= D3mr + Dmω × r + ωxDmr + ωxω × r

Df2r = D3mr + 2ω × Dmi − Dmωλr + ωω × r

SeanAp ∣ f = D2f r = aceleración de la partícula respecot del sistema fijo∂p ∣ m = D2mr = aceleración de la partícula respecto del sistema móvil

EntóncesAm ∣ f = 2ω × Dm5 − Dmω × r + ω × ω × r = aceleración del sistema móvilrespecto del fijo con lo que

∂p1f = ∂p/m+ ∂m/f.

∂mf = 2ω × Dmi + ω × ω ⋅ r = 2ω × xm+ ω × ω × r

4 MD2mr = F − 2Mω × Dmr − M/ω × ω × r j

PROBLEMAS PROPUESTOS

31.-SiendoR = e−t

ℓ + lnt2 + 1

j − tant

k, Hallar a)dR

dt, b) d2R

dt23 , c) dR

dt, d) d2R

dt2parat = 0

a) Derivando tenemosdRdt

= −e−tℓ + 1

t2+12t

j − sec2t

k

dRdt

= −e−tℓ + 2t

t2+1

j − sec2t

k

Evaluando parat = 0 tenemos.

dRdt

= −e−0ℓ +

20

02+1

j − sec20

k = −

ℓ −

k

32.-b) Del a) sabemos que:dRdt

= −e−tℓ + 2t

t2+1

j − sec2t

k

Derivando nuevamente:

d2Rdt

= − −e−tℓ +

t2+1 2−2t2t

t2+1 2

j − 2sectsect tant

k

d2Rdt

= e−tℓ + 2t2+2−4t2

t2+1 2

j − 2sec2t tant

k

d2Rat = e−t

ℓ +

−2 t2−2

t2+1 2

j − 2sec2t tant

k

Evaluando parat = 0 :

d2Rdt2

=i +

−2 a2−1

a2+1 2

j − 2sec20 tan0

d2Rdt2

=ℓ + 2

i

j

d2Rdt2

=ℓ + 2

j

c) Del a) sabemos que:

dRdt

= −e−tℓ + 2t

t2+1

j − sec2t

k

por lo que

dRdt

= e−ti2 + 2tt2+1

2+ sec4t

dRdt

= e2t + 4t2

t2+1 2 + sec4t

Evaluando parat = 0 :

dRdt

= i + 402

t2+1 2 + sec40

dRdt

= i + 1 − 2

d) Del b) sabemos que:

dRdt2

= e−t2 −

2 t2−1

t2+1 2

j − 2sec2t tant

k

por lo que:

d2Rdt2

= e−t2 +2 t2−1

t2−1 2

2

+ −2sec2t tan2

d2Rdt2

= e−2t +4 t2+1 2

t2+1 2 + 4sec4t tan2t

Evaluando parat = 0

d2Rdt2

= e0 +4 02−1 2

t2+1 4 + 4sec40 tan20

d2Rdt2

= 1 +41

1 + 0d2Rdt2

= 1 + 4 = 5

32.-Hallar la ley de velocidades y de aceleraciones de una partícula que se mueve a lo largo de la

curvax = 2sin3t, y = 2cos3t z = 8t. Idem, de los módulos de la velocidad y aceleración.De los datos proporcionados se puede deducir que el vector deposiciónRt está dado por.

Rt = 2sin3ti + 2cos3t

j + 8t

k

Como sabemos queVt =dRt

dttenemos que derivarRt.

dRtdt

= Vt = 2cos3t3i + 2 − sin3t3

j + 8

k

Vt = 6cos3ii − 6sin3t

j + 8

k

También sabemos que 3t =dvt

dt; por lo que derivamos

Vt =dvt

dt= dt = 6−sin3t3

i − 6cos3t3

j

at = −18sin3ti − 18cos3t

j

De la velocidad:

|Tt| = 6cos3ti − 6sin3t

j + 8

k

|Vt| = 36cos3t + 36sin3t + 64

Evaluando ent = 0

|Tt| = 36cos0 + 36sin0 + 64 = 36+ 64 = 100

|Vt| = 10

De la aceleración sabemos

at = −18sin3ti − 18cos3t

j

por lo que:

|at| = 182 sin23t + 182 cos23t

Evaluación parat = 0

|at| = 182 sin20 + 182 cos20

|at| = 0 + 182 = 182 = 18

33.-Hallar unitario tangente en un punto de la curvax = acosωt, y = asinωt, z = bt siendoa,b,ω

constantes. Deducimos que elvector es:

Rt = acosωti + asinωt

j + bt

k

Para hallar el vector Tangente a este; derivamos.

dRtdt

= a−sinωtωi + acosωtω

j + b

k

dRtdt

= −aωsinωti + aωcosωt

j + b

k

Para hacerlo unitario, tenemos que hallar también su módulo.

dRtdt

= aωsinωt2 + aωcosωt2 + b2 = a2ω2sinωt + cos2ωt + b2 = a2ω2 + b2

Por lo que el vector unitario pedido es:

=aωsinωt

i +aωcosωt

j +bk

a2ω2+b2

34.-SiendoA = t28 − t

j + 2t + 1

k y B = 2t − 3

i +

j + t

k

Hallar:a) d

dt A ⋅ B, b) ddt A × B, c) d

dtA + B , d) d

dtA × dB

dt

parat = 1a)Derivando según la fórmula:

ddt A ⋅ B = A ⋅ dB

dt+ dA

dt⋅ B = t2

i − t

j + 2t + 1

k ⋅ 2

i −

k + 2t − 3

i +

j − t

k ⋅

ddt A ⋅ B = 2t2 − 2t − 1 + 4t2 − 6t − 1 − 2t = 6t2 − 10t − 2

Evaluando ent = 1;

ddt A ⋅ B = 612 − 101 − 2 = −12+ 6 = −6

b)Derivando según la fórmula:

ddt A × B = A × dB

dt+ dA

dt× B = t2

i − t

j t2t + 1

k × 2

i −

k + 2t

i −

j + 2

k × 2t −

t2i − t

j + 2t + 1

k × 2

i −

k =

i

j

k

t2 −t 2t + 1

2 0 1

= t − 0i − −t2 − 4t − 2

j + 0 + 2t

k

2ti − t

j + 2

k × 2t − 3

i +

j − t

k =

i

j

k

2t −1 2

2t − 3 1 −t

= t − 2i − −2t2 + 2t + 6

j + 2t

t − 2i + 2t2 + 4t − 6

j + 4t + −3

k

ddt A × B