Probl. Fisica Mov. Aplic.

PROBLEMARIO DE FISICA DEL MOVIMIENTO APLICADA

ELABORO: IF. RAMON FLORES RODRIGUEZ DICIEMBRE DE 2007

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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIA

PROBLEMARIO DE FISICA DEL

MOVIMIENTO APLICADA ELABORO: I.F. RAMON FLORES RODRIGUEZ DICIEMBRE DE 2007



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Introducción El presente problemario tiene como fin ayudar a los estudiantes de física a aplicar los conceptos físicos y facilitar la resolución lógica de problemas del curso de Física del Movimiento aplicada llevada en el primer semestre de Licenciatura en la UPIBI - IPN. Se pretende que el contenido abarque todo el programa de estudio. La solución de cada problema es a detalle y se indica cada paso de resolución del mismo. El número de problemas incluido se considera el adecuado para cada tema y subtema, la mayoría de estos han sido resueltos previamente en clase, por lo que estos forman parte de los apuntes de la materia. La bibliografía recomendada se menciona al final del problemario La solución final pedida para cada problema aparece subrayada, para más pronta localización.



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INDICE UNIDAD I Física, magnitudes físicas y mediciones 1.1 Presentación del curso 1.1.1 Concepto de Física y sus dominios de aplicación. 1.2 Unidades fundamentales de medición. 1.2.1 Sistemas de unidades 1.3 Unidades derivadas. 1.3.1 Conversión de unidades físicas 1.4 Notación científica. 1.4.1 Operaciones con notación científica (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación). 1.5 Propagación de errores UNIDAD II Magnitudes escalares y vectoriales 2.1 Definición de cantidades escalares y vectoriales. 2.1.1 Representación geométrica y analítica de un vector. 2.1.2 Magnitudes físicas escalares y vectoriales. 2.2 Algebra de vectores. 2.2.1 Multiplicación por un escalar 2.2.2 Suma y resta. 2.2.3 Producto punto. 2.2.4 Producto cruz. 2.3 Aplicaciones UNIDAD III Cinemática 3.1 Cinemática en una dimensión 3.1.1 Movimiento rectilíneo uniforme 3.1.2 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado 3.2 Cinemática en dos dimensiones 3.2.1 Tiro parabólico UNIDAD IV Dinámica 4.1 Conceptos básicos: masa, peso y fuerza 4.1.1 Sistemas de referencia: inerciales y no inerciales 4.2 Leyes de Newton 4.2.1 Diagrama del cuerpo libre. 4.3 Fuerzas de la naturaleza 4.3.1 Fuerza de rozamiento. 4.3.2 Coeficiente de fricción estática y coeficiente de fricción cinética 4.4 Aplicaciones. 4.4.1 Plano inclinado sin fricción y plano inclinado con fricción 4.4.2 Poleas 4.4.3 Movimiento circular y fuerza centrípeta



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UNIDAD V Trabajo y energía 5.1 Concepto de trabajo. 5.1.1 Trabajo realizado por una fuerza constante. 5.1.2 Trabajo realizado por una fuerza variable. 5.2 Concepto de Energía 5.2.1 Definición de la energía cinética. 5.2.2 Teorema del trabajo energía cinética, aplicaciones. 5.3 Definición de potencia y aplicaciones UNIDAD VI Momento e Impulso 6.1 Concepto de momento lineal e impulso 6.1.1 Centro de masa. 6.2 Leyes de conservación del momento y energía. 6.3 Colisiones 6.3.1 Colisiones elásticas e inelásticas 6.4 Aplicaciones de la conservación del momento. UNIDAD VII mecánica de fluidos 7.1 Concepto de fluido. 7.1.1 Presión y densidad. 7.2 Principio de Pascal y principio de Arquímedes. 7.2.1 Medición de presión para un fluido estático. 7.2.2 Variación de la presión atmosférica con la altura. 7.3 Flujo de fluidos. 7.3.1 Ecuación de continuidad. 7.3.2 Ecuación de Bernoulli. 7.4 Aplicaciones de la mecánica de fluidos.



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Unidad I FISICA, MAGNITUDES FISICAS Y MEDICIONES 1.1 Presentación del curso 1.1.1 Concepto de física y sus dominios de aplicación La física es el estudio del universo material, es decir es el estudio de la materia, sus interacciones y sus cambios. 1.2 Unidades fundamentales de medición Debido a que existen muchas cantidades físicas, resulta un problema internacional organizarlas adecuadamente, para esto se debe seleccionar el menor número posible de cantidades físicas que conduzcan a una descripción completa de la física en los términos más simples. 1.2.1 Sistemas de unidades La XIV Conferencia General de Pesos y medidas (1971), seleccionó como unidades básicas las siete cantidades siguientes. Unidades básicas del Sistema Internacional de Unidades SI Cantidad Nombre Símbolo Longitud metro m Masa kilogramo kg Tiempo segundo s Corriente eléctrica ampere A Temperatura termodinámica kelvin K Cantidad de sustancia mol mol Intensidad luminosa candela cd 1.3 Unidades derivadas Las unidades derivadas se expresan a partir de las unidades básicas, y entre otras podemos mencionar a la velocidad, fuerza, aceleración, resistencia eléctrica, densidad, etc. El organismo encargado de seleccionar las cantidades básicas es la Oficina Internacional de Pesos y Medidas establecida en 1875 en París Francia quién seleccionó las Unidades básicas del Sistema Internacional de Unidades (SI). Con frecuencia resulta que si se expresan ciertas cantidades físicas, resultan ser números muy grandes o muy pequeños, la XIV Conferencia General de Pesos y Medidas recomendó los siguientes prefijos.



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1. [2a, 1-1] Calcule la densidad de un cubo sólido que mide 5 cm de cada lado y tiene una masa de 350 g.

Dividiendo la masa entre el volumen para obtener la densidad

ρ = m = 350 g = 2.8 g/cm3 V (5 cm)3 2. [2a, 1-5] Calcule la masa de un átomo de: a) helio, b) hierro, y c) plomo. Dé las

respuestas en unidades de masa atómica y en gramos. Los pesos atómicos de los átomos dados, son 4, 56 y 207, respectivamente.

a) mHe = peso atómico He = 4 g/mol = 6.6x10-24 g/átomo

NA 6.02x1023 átomos/mol Como 1 uma = 1.6605402x10-27 kg, convirtiendo la masa a uma: mHe = 6.6x10-24 g (1 kg) (1 uma) = 4 uma 1000 g 1.6605402x10-27 kg b) mFe = peso atómico Fe = 56 g/mol = 9.3x10-23 g/átomo NA 6.02x1023 átomos/mol Haciendo la conversión a unidades de masa atómica: mFe = 9.3x10-23 g (1 kg) (1 uma) = 56 uma 1000 g 1.6605402x10-27 kg c) mPb = peso atómico Pb = 207 g/mol = 3.4x10-22 g/átomo NA 6.02x1023 átomos/mol Haciendo la conversión a unidades de masa atómica: mPb = 9.3x10-23 g (1 kg) (1 uma) = 207 uma 1000 g 1.6605402x10-27 kg



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3. [2a, 1-6] Mediante un microscopio se observa una pequeña partícula de hierro en forma de cubo. La arista del cubo es de 5x10-6 cm. Encuentre a) la masa del cubo y b) el número de átomos de hierro en la partícula. El peso atómico del hierro es de 56 y su densidad es de 7.86 g/cm3.

a) Como ρ = (m/V), despejando la masa y convirtiendo el volumen de la partícula a m3

m = ρV =(7.86x106 g/m3) 5x10-6 cm 1 m 3 = 9.83x10-16 g 100 cm b) Se hace una proporción, ya que un mol de Fe (56 g) contiene 6.02x1023 átomos 56 g = 6.02x1023 átomos 9.83x10-16 g N N = (6.02x1023 átomos)(9.83x10-16 g) = 10.56x106 átomos 56 g 4. [2a, 1-7] Calcule la razón entre las masas atómicas del plomo y del mercurio y compare

con la razón entre sus densidades.

Calculando las masas del Pb y del Hg mPb = peso atómico Pb = 207 g/mol = 3.4x10-22 g/átomo NA 6.02x1023 átomos/mol mHg = peso atómico Hg = 200.59 g/mol = 3.3x10-22 g/átomo NA 6.02x1023 átomos/mol Con lo obtenido se calcula la razón entre las masas del Pb y del Hg mPb = 3.4x10-22 g/átomo = 1.03 mHg 3.3x10-22 g/átomo Calculando la razón entre las densidades del Pb y del Hg ρPb = 11.4 g/ml = .084 ρHg 13.6 g/ml

Esta discrepancia se debe a la diferencia en los espaciamientos atómicos y en los arreglos atómicos de sus estructuras cristalinas.

5. [2a, 1-8] Una placa circular plana de cobre tiene un radio de 0.243 m y una masa de 62

kg. ¿Cuál es el espesor de la placa? Como ρ = (m/V), despejando V e igualando con el volumen de una placa circular m/ρ = (πr2)(Espesor) Despejando el Espesor E = m = 62 kg = 3.7x10-2 m πr2ρ π(0.243 m)2(8.93x103 kg/m3)



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1.3.1 Conversión de unidades físicas 1.4 Notación física 1.4.1 Operaciones con notación científica (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación). 6. [2a, 1-9] Muestre que la expresión x = vt + (1/2)at2 es dimensionalmente correcta,

donde x es una coordenada y tiene unidades de longitud, v es velocidad, a es aceleración y t es tiempo.

Las dimensiones de los tres miembros de la igualdad son: [x] = L [vt] = (L/T)T = L [(1/2)at2vt] = (L/T2)T2 = L Por lo tanto la expresión es dimensionalmente correcta 7. [2a, 1-12] Demuestre que la ecuación v2 = vo

2 + 2ax es correcta dimensionalmente, donde v y vo representan velocidades, a es aceleración y x es una distancia.

Las dimensiones de los tres miembros de la igualdad son: [v2] = [vo

2] = L2/T2 [2ax] = (L/T2)L = L2/T2

Por lo tanto la expresión es dimensionalmente correcta 8. [2a, 1-13] ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es correcta dimensionalmente? a) v = vo +ax b) y = (2 m)cos(kx), donde k = 2 m-1. a) Las dimensiones de los tres miembros de la igualdad son: [v] = [vo] = L/T [ax] = (L/T2)L = L2/T2

Por lo tanto la expresión es dimensionalmente incorrecta b) Las dimensiones de los dos miembros de la igualdad son: [y] = L [(2 m)cos(kx)] = (L)(1/L)(L) = L Por lo tanto la expresión es dimensionalmente correcta



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9. [2a, 1-18] Convierta el volumen 8.50 in3 a m3, recordando que 1 in = 2.54 cm y 1 cm = 10-2 m.

Como 1 in3 = (0.0254)3m3, 8.5 in³(0.0254)³m³ = 139x10-6 m³ 1 in³ 10. [2a, 1-19] Un terreno rectangular tiene 100.0 ft por 150.0 ft. Determine el área del

terreno en m2. Como 1 ft² = (0.3048)² m² (100 ft)(150 ft)=15000 ft²(0.3048)² m² = 1.393x103 m² 1 ft² 11. [2a, 1-22] Una sección de Tierra tiene un área de una milla cuadrada y contiene 640

acres. Determine el número de metros cuadrados que hay en 1 acre. Como 1 milla² = (1609.344)² m² = 640 acres por lo tanto 1 acre = (1609.344)² m² = 40.5x102 m² 640 12. [2a, 1-23] Una pieza sólida de plomo tiene una masa de 23.94 g y un volumen de 2.10

cm3. De estos datos, calcule la densidad del plomo en unidades SI (kg/m3). Como ρ = m = 23.94 g (1 kg) (100)³cm³ =11.4x103 kg/m³ V 2.10 cm³ (1000 g)(1 m³) 13. [2a, 1-24] Un contenedor de helado, de un cuarto de galón, está hecho en forma de

cubo. ¿Cuál será la longitud de un lado en cm? (Use la conversión 1 galón = 3.786 litros).

Como V = (1/4)(3.786 litros) = (1/4)(3.786 dm³) _______________ Por lo tanto: 1 lado = ³√(1/4)(3.786 dm³) = 0.98 dm = 9.8 cm



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14. La masa del Sol es aproximadamente 1.99x1030 kg, y la masa de un átomo de hidrógeno, del cual esta compuesto principalmente el sol, es 1.67x10-27 kg. ¿Cuántos átomos hay en el sol?

Número de átomos de H = masa del Sol = 1.99x1030 kg = 1.19x1057 átomos masa del H 1.67x10-27 kg 15. [2a, 1-29] a) Encuentre un factor de conversión para convertir de mi/h a km/h. b) Hasta

hace poco, la ley federal asignó por mandato que la rapidez en las carreteras debería ser de 55 mi/h. Utilice el factor de conversión de la parte a) para encontrar la rapidez en km/h. c) La máxima rapidez en las carreteras ha sido elevada a 65 mi/h en algunos lugares. ¿Cuánto aumentó, en km/h, respecto al límite de 55 mi/h?

a) 1 mi = 1.609 km h h b) 55mi (1.609 km) = 88.5 km/h h 1 mi c) 65mi (1.609 km) = 104.6 km/h h 1 mi Aumentó en: (104.6 km/h) – (88.5 km/h) = 16.1 km/h 16. Un galón de pintura (volumen = 3.78x10-3 m3) cubre un área de 25.0 m2. ¿Cuál es el

espesor de la pintura en la pared? Espesor = Volumen = 3.78x10-3 m3 = 15.1x10-5 m Area 25.0 m2

17. [2a, 1-32] La base de una pirámide cubre un área de 13 acres (1 acre = 43 560 ft2), y

tiene una altura de 481 ft. Si el volumen de una pirámide esta dado por la expresión V=(1/3)Bh, donde B es el área de la base y h es la altura, encuentre el volumen de esta pirámide en metros cúbicos.

Como 1ft3 = (0.3048)3 m3

V= (1/3)Bh = (1/3)(13)(43 560 ft2)( 481 ft) = 90793560 ft3 (0.3048)3 m3= 2.6x106 m3

1 ft3



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18. Suponiendo que 70% de la superficie de la Tierra esta cubierta con agua a una profundidad promedio de 1 milla, calcule la masa del agua sobre la Tierra en kilogramos.

El radio promedio de la Tierra es 6.37x106 m, y el área superficial de una esfera es 4πr2

Por lo tanto: Volumen H2O = (70% sup. de la Tierra)(profundidad) = (0.7)(4π)(6.37x106 m)²(1609.344 m) = 5.74x1017 m3 = 5.74x1017 m3

= 5.74x1020 l Como 1 litro de agua tiene una masa aproximada de 1 kg m = 5.74x1020 kg 19. [2a, 1-36] El radio promedio de la Tierra es 6.37x106 m, y el de la Luna es de 1.74x108

cm. Con estos datos calcule: a) la razón entre el área superficial de la Tierra y la de la Luna, b) la razón entre el volumen de la Tierra y la de la Luna. Recuerde que el área superficial de una esfera es 4πr2 y el volumen de una esfera es (4/3)πr3.

a) Area de la Tierra = 4πrT² = rT² = (6.37x106 m)2 = 13.4 Area de la Luna 4πrL² rL² (1.74x106 m)2

b) Volumen de la Tierra = (4/3)πrT3 = rT

3 = (6.37x106 m)3 = 49.06 Volumen de la Luna (4/3)πrL

3 rL3 (1.74x106 m)3

20. [2a, 1-37] Del hecho de que la densidad de la Tierra es 5.5 g/cm3 y su radio promedio es

6.37x106 m, calcule la masa de la Tierra. Convirtiendo la densidad de la Tierra a kg/m3

ρ = 5.5 g (1 kg) (100)3 cm3 = 5500 kg/m3

cm3 1000g 1 m3

Como ρ = m V Despejando la masa y considerando a la Tierra como una esfera m = ρV = ρ(4/3)πr3 = (5500 kg/m3)(4/3)π(6.37x106 m)3 = 5.95x1024 kg 21. Un metro cúbico (1.00 m3) de aluminio tiene una masa de 2.70x103 kg, y 1.00 m3 de

hierro tiene una masa de 7.86x103 kg. Encuentre el radio de una esfera sólida de aluminio que se equilibre con una esfera sólida de hierro de 2.00 cm de radio en una balanza de brazos iguales.

ρAl = mAl/VAl (1) ρFe = mFe/VFe (2) Despejando las masas de (1) y (2) e igualándolas para que la balanza se equilibre: ρAlVAl = ρFeVFe

Como el volumen de una esfera es (4/3)πr3

(2.70x103 kg)(4/3)πrAl3 = (7.86x103 kg)(4/3)πrFe

3

_______________ __________________ rAl = ³√(7.86)( rFe

3)/(2.7) = ³√(7.86)( 0.02)3/(2.7) = 0.0286 m



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22. La velocidad de la luz en el vacío es de 186 000 millas/s, a) cuántos cm recorrerá en 3

nanosegundos, b) cuántos fermis recorrerá en el mismo lapso de tiempo. Recuerde que 1 fm = 1x10-15 m, 1 ns = 1x10-9 s.

a) 186000 mi (1x10-9s) (160934.4 cm) = 29.934 cm/ns s 1 ns 1 mi Distancia recorrida en 3 nanosegundos = 3(29.934 cm/ns) = 89.8 cm b) 186000 mi (1x10-9s) (1609.344 m) (1 fm) = 2.993x1014 fm s 1 ns 1 mi 1x10-15 m Distancia recorrida en 3 nanosegundos = 3(2.993x1014 fm) = 8.98x1014 fm 1.5 Propagación de errores Cálculos de orden de magnitud 23. [2a, 1-40] Estime el número de veces que el corazón de un humano late en una vida

promedio de 70 años. En un minuto late aproximadamente 75 veces En una hora late aproximadamente (75)(60) = 4 500 veces En un día late aproximadamente (4500)(24) = 108 000 veces En un año late aproximadamente (108000)(365.25) = 3.9x107 veces En 70 años late aproximadamente (3.9x107 veces)(70) = 2.7x109 veces 24. Estime el número de familias que tienen piano en la ciudad de México. 14 millones de habitantes 14x106 = número de familias 5 5% nivel alto = 140000 5% con piano = 7000 familias Cifras significativas 25. [2a, 1-50] Determine el número de cifras significativas en los siguientes números: a) 23

cm, b) 3.589 s, c) 4.67x103 m/s, d) 0.0032 m. a) 2 b) 4 c) 3 d) 2



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26. [2a, 1-51] Calcule: a) la circunferencia de un círculo de radio 3.5 cm y b) el área de un

círculo de radio 4.65 cm. a) P = 2πr = (2)(3.14159265…)(3.5 cm) = 22 cm debido a que el radio tiene dos cifras significativas b) A = πr2 = (3.14159265…)(4.65 cm)2 = 67.9 cm2

ya que el radio tiene tres cifras significativas 27. [2a, 1-52] Efectúe las siguientes operaciones aritméticas: a) la suma de los números

756, 37.2, 0.83 y 2.5; b) el producto 3.2 x 3.563; c) el producto 5.6 x π.

a) Cuando se suman o se restan varios números, el número de decimales en el resultado deberá ser igual al número menor de lugares decimales de cualquiera de los términos de la suma o resta.

756+37.2+0.83+2.5 = 797 ya que el primer término tiene 0 decimales

b) Cuando se multiplican o dividen varias cantidades, el número de cifras significativas en la respuesta final es el mismo número de cifras significativas de la que tiene menos cifras significativas.

(3.2)(3.563) = 11 ya que el primer término tiene 2 cifras significativas c) (5.6)(3.14159265…) = 18 ya que el primer término tiene 2 cifras significativas 28. [2a, 1-55] ¿Cuántas cifras significativas habrá en: a) 78.9±0.2, b) 3.788x109, c) 2.46x10-

6 y d) 0.0053? a) 3 b) 4 c) 3 d) 2



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Unidad II MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES 2.1 Definición de cantidades escalares y vectoriales 2.1.1 Representación geométrica y analítica de un vector Escalares: Son las cantidades que se pueden representar por medio de un número, un signo y una unidad. Ejemplos: peso, trabajo, masa, volumen, densidad, etc., los escalares se suman por los métodos ordinarios. Vectores: Las cantidades que exigen la especificación de una magnitud y una dirección y un sentido. Ejemplo: fuerza, velocidad, aceleración, desplazamiento Gráficamente un vector se representa por una flecha, cuya dirección es la del vector que representa y cuya longitud corresponde a la magnitud, el sentido lo indica la punta de la flecha. 1. [1a, 2-10] Un peatón se mueve 6 km hacia el este y 13 km hacia el norte. Determine la

magnitud y dirección del vector desplazamiento resultante usando el método gráfico

Se trazan a escala los vectores, y utilizando el método del paralelogramo se trazan paralelas a los vectores, la resultante se obtiene al unir el punto de inicio con el punto de intersección de las paralelas.

Así el vector resultante es: R = 14.3 u

N

S

E w 6 km

13 km R



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2. [2a, 2-12] El vector A mide 6 unidades de longitud y forma un ángulo de 45° respecto al

eje x, El vector B mide 3 unidades de longitud y está dirigido a lo largo del eje x positivo (θ = 0). Halle el vector resultante A + B utilizando a) el método gráfico y b) la ley de los cosenos.

a) Se trazan a escala los vectores, y utilizando el método del paralelogramo se trazan paralelas a los vectores, la resultante se obtiene al unir el punto de inicio con el punto de intersección de las paralelas.

Así el vector resultante es: R = 8.4 u b) Utilizando la ley de los cosenos c2 = a2+b2 – 2abcosθ _____________________ R = √32+62 – 2(3)(6)cos135° = 8.4 u

y

x 45°

3 u

6 u R

135°



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3. [2a, 2-16] Un perro que anda en busca de un hueso camina 3.5 m hacia el sur, después

8.2 m a un ángulo de 30° al noreste, y finalmente 15 m al oeste. Encuentre el vector desplazamiento resultante del perro utilizando la técnica gráfica

Se trazan a escala los vectores, y utilizando el método del polígono se unen los desplazamientos, la resultante se obtiene al unir el punto inicial del primer vector con el punto final del último vector.

Así el vector resultante es: R = 7.9 km

N

S

E w 3.5 km

15 km

R

8.2 km



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Método analítico Por componentes de un vector En general se descomponen los vectores en sus proyecciones en el plano horizontal (x) y vertical (y), y se efectúa la suma algebraica por separado 4. [2a, 2-23] Un vector tiene una componente x de –25 unidades, y una componente y de

40 unidades. Encuentre la magnitud y dirección de este vector. La magnitud del vector es: ___________ R = √(-25)2+(40)2 = 47.2 u La dirección del vector es: θ1 = arctan[40/(-25)] = 57.9° Como se encuentra en el segundo cuadrante Por lo tanto: θ2 = 180°-57.9°90° =122° 5. [2a, 2-26] Un vector desplazamiento que se encuentra en el plano xy tiene una magnitud

de 50 m y está dirigido formando un ángulo de 120° con el eje x positivo. ¿Cuáles son las componentes rectangulares de este vector?

Datos: magnitud 50 m; θ = 120° Componente en x: 50cos120° = -25 m Componente en y: 50sen120° = 43.3 m 6. [2a, 2-27] Encuentre la magnitud y dirección de la resultante de tres desplazamientos

cuyas componentes respectivas son: (3,2) m, (-5,3) m y (6,1) m. Datos: desplazamientos: (3,2) m, (-5,3) m y (6,1) m. Obteniendo la sumatoria de desplazamientos en x, y ΣDx: 3-5+6 = 4 m ΣDy: 2+3+1 = 6 m Por lo tanto la resultante es: ________ _____ R =√Σx2+Σy2 = √42+62 = 7.21 m El ángulo es: θ = arctan[Σy/Σx] = arctan[6/4] = 56.3°



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7. [2a, 2-35] Un aeroplano vuela de la ciudad A a la ciudad B 800 millas en una dirección

hacia el este. En la siguiente parte del viaje, el aeroplano vuela 600 millas de la ciudad B a la ciudad C en una dirección de 40° al noreste. ¿Cuál es el desplazamiento resultante del aeroplano entre la ciudad A y la ciudad C?

ΣDx = 800+600(cos40°) = 1259.627 mi ΣDy = 600(sen40°) = 385.673 mi ____________ ______________________ AC = √ (Σx)2 + (Σy)2 = √(1259.627)2 + (385.673)2 = 1317 mi θ = arctan(Σy/Σx) = arctan(385.673/1259.627) = 17°

40°

C

S

A O B E

N



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2.2 Algebra de vectores 2.2.1 Multiplicación por un escalar Multiplicación de un vector por un escalar Un vector se puede multiplicar por un escalar, al multiplicar por –k se obtiene un vector k veces más grande y opuesto al primero. 2.2.2 Suma y resta Suma y resta de vectores Los vectores se pueden sumar por métodos geométricos. Método del paralelogramo Se trazan paralelas a ambos vectores, el vector resultante será aquel una el punto de inicio de ambos con el punto donde se cruzan las dos paralelas. Método del polígono Consiste en dibujar a escala y a partir de un punto cualquiera cada uno de los vectores dados, de forma que el origen de uno de ellos coincida con el extremo del anterior y así sucesivamente, el orden en que se toman los vectores es arbitrario. La longitud del segmento que une el punto de partida del primero con el extremo del último es el vector resultante. Sustracción de vectores Para restar el vector B del vector A, basta con sumar el opuesto de B, es decir A-B = A+(-B). 8. [2a, 2-28] Un vector A tiene componentes x,y de –8.7 cm y 15 cm, respectivamente, el

vector B tiene componentes x,y de 13.2 cm y –6.6 cm, respectivamente. Si A-B+3C=0, ¿cuáles son las componentes de C?

Para que A-B+3C=0, se debe cumplir que Σx=0 y Σy=0 Por lo tanto: Σx= -8.7 – 13.2 + 3Cx = 0 Despejando a Cx Cx = 8.7+13.2 = 7.3 cm 3 Σy= 15 -(-6.6) + 3Cy = 0 Despejando a Cy Cy = -15-6.6 = -7.2 cm



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3 9. [2a, 2-29] Dos vectores están dados por A=3i-2j y B=-i-4j. Calcule: a) A+B, b) A-B, c)

⎜A+B⎪, d) ⎜A-B⎪, e) la dirección de A+B y A-B.

a) A+B = (3i-2j)+(-i-4j) = (3i-i)+(-2j-4j) = 2i-6j b) A-B = (3i-2j)-(-i-4j) = (3i+i)+(-2j+4j) = 4i+2j _________ c) ⎜A+B⎪ = ⎜(3i-2j)+(-i-4j)⎜ = ⎜(3i-i)+(-2j-4j)⎜ = √(2)2+(-6)2 = 6.32 ________ d) ⎜A-B⎪ = ⎜(3i-2j)-(-i-4j)⎜ = ⎜(3i+i)+(-2j+4j)⎜ = √(4)2+(2)2 = 4.47 e) la dirección de A+B se encuentra en el cuarto cuadrante: θ1 = 360°- arctan(6/2) = 288.4° la dirección de A-B se encuentra en el primer cuadrante: θ2 = arctan(2/4) = 26.6° 2.2.3 Producto punto 2.2.4 Producto cruz 10. [2a, 7-20] Halle el ángulo entre los vectores A = -5i-3j+2k y B= -2j-2k. Efectuando el producto punto mediante componentes A•B = (-5)(0)+(-3)(-2)+(2)(-2) = 0+6-4 = 2 Además se sabe que A•B = ⎜A⎪⎜B⎪cosθ (1) Obteniendo ⎜A⎪ ______________ ⎜A⎪= √(-5)2+(-3)2+(2)2 = 6.164 Obteniendo ⎜B⎪ __________ ⎜B⎪= √(-2)2+(-2)2 = 2.828 Despejando a θ de la ec. (1) y substituyendo ⎜A⎪ y ⎜B⎪ θ = arccos A•B = arccos 2 = 83.4° ⎜A⎪⎜B⎪ (6.164)(2.828)



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11. [1a, 2-26] Un vector A con una magnitud de 10 unidades y otro vector B de 6 unidades de magnitud, apuntan en direcciones que difieren en 60°. Encontrar a) el producto escalar de ambos vectores y b) el producto vectorial de dichos dos vectores.

a) Se sabe que

A•B = ⎜A⎪⎜B⎪cosθ = (10)(6)cos60° = 30.0 b) Se sabe que ⎜AxB⎪ = ⎜A⎪⎜B⎪senθ = (10)(6)sen60° = 52.0 12. [1a, 2-34] Tres vectores están dados por a = 3i+3j-2k, b = -i-4j+2k, c = 2i+2j+k.

Encontrar a) a•(bxc), b) a•(b+c) y c) ax(b+c) a) Se obtiene primero lo que está entre paréntesis, es decir el vector bxc i j k bxc = -1 -4 2 = i -4 2 + j 2 -1 + k -1 -4

2 2 1 2 1 1 2 2 2 = (-4-4)i +(4+1)j + (-2+8)k = -8i+5j+6k Finalmente se obtiene el escalar a•(bxc) a•(bxc) = (3i+3j-2k)•(-8i+5j+6k) = (3)(-8) + (3)(5) + (-2)(6) = -24 +15 –12 = -21 b) Se obtiene primero lo que está entre paréntesis, es decir el vector b+c b+c = (-i-4j+2k) + (2i+2j+k) = i-2j+3k Finalmente se obtiene el escalar a•(bxc) a•(bxc) = (3i+3j-2k)•(i-2j+3k) = (3)(1) + (3)(-2) + (-2)(3) = 3-6-6 = -9 c) Como el vector b+c se obtuvo en el inciso b) i j k ax(b+c) = 3 3 -2 = i 3 -2 + j -2 3 + k 3 3

1 -2 3 -2 3 3 1 1 -2 = (9-4)i +(-2-9)j + (-6-3)k = 5i-11j-9k



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13. [1a, 2-37] Dos vectores a y b tienen componentes que en unidades arbitrarias son ax = 3.2, ay = 1.6; bx = 0.5, by = 4.5. a) Encontrar el ángulo entre a y b. b) Encontrar las componentes x,y de un vector c que sea perpendicular a a y que tenga 5.0 unidades de magnitud.

a) Efectuando el producto punto mediante componentes a•b = (3.2)(0.5)+(1.6)(4.5) = 1.6+7.2 = 8.8 Además se sabe que a•b= ⎜a⎪⎜b⎪cosθ (1) Obteniendo ⎜a⎪ ___________ ⎜a⎪= √(3.2)2+(1.6)2 = 3.578 Obteniendo ⎜b⎪ ___________ ⎜b⎪= √(0.5)2+(4.5)2 = 4.528 Despejando a θ de la ec. (1) y substituyendo ⎜a⎪ y ⎜b⎪ θ = arccos a•b = arccos 8.8 = 57.1° ⎜a⎪⎜b⎪ (3.578)(4.528) b) Como el ángulo entre el vector a y el vector c es 90° a•c = ⎜a⎪⎜c⎪cos90° = 0 Efectuando el producto punto mediante componentes a•c = axcx+aycy = 0 (1) De la definición de magnitud de un vector cx

2+cy2 = (5.0)2 (2)

Por lo que tenemos un sistema de ecuaciones 2x2 el cual puede ser resuelto por sustitución Despejando cy de 1 cy = -axcx = 2cx (3) ay Sustituyendo cy en 2 se forma la siguiente ecuación cuadrática: 5cx

2-25 = 0 Resolviendo la ecuación cuadrática cx = ± 2.2 u Sustituyendo el valor de cx en 3 para encontrar cy

cy = ± 4.5 u



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2.3 Aplicaciones 14. [2b, 7-19] Se tiene el vector a = (3.00i+4.00j) N, y se sabe que a•b=100.0 J, el ángulo

entre a y b es de 32° determine el vector b. Obteniendo ⎜a⎪ ________ ⎜a⎪= √(3)2+(4)2 = 5.0 Como el ángulo entre el vector a y el vector b es 32° a•b = ⎜a⎪⎜b⎪cos32° = 100 Despejando ⎜b⎪ ⎜b⎪= 100 = 100 = 23.58 ⎜a⎪cos32° 5cos32° Efectuando el producto punto mediante componentes a•b = axbx+ayby = 100 (1) De la definición de magnitud de un vector bx

2+by2 = (23.58)2 (2)

Por lo que tenemos un sistema de ecuaciones 2x2 el cual puede ser resuelto por sustitución Despejando bx de 1 bx = 100-ayby =100-4by (3) ax 3 Sustituyendo bx en 2 se forma la siguiente ecuación cuadrática: 2.78by

2-88.89by +554.93 = 0 Resolviendo la ecuación cuadrática y sustituyendo el valor de by en 3 para encontrar bx, por lo que se encuentran dos vectores que satisfacen las condiciones b1 = 2i +23.5j b2 = 22i+8.5j



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Unidad III CINEMATICA 3.1 Cinemática en una dimensión 3.1.1 Movimiento rectilíneo uniforme 3.1.2 Movimiento uniformemente acelerado 1. [2a, 3-6] La posición de una partícula a lo largo del eje x está dada por x=3t3-7t, donde

x está en metros y t en segundos. ¿Cuál es la velocidad media de la partícula durante el intervalo desde t=2.0 s a t=5.0 s?

Evaluando la posición en t=3, t=5, y sustituyendo los valores en la fórmula se obtiene la velocidad media x(2)=3(2)³-7(2)=10 m x(5)=3(5)³-7(5)=340 m vm = Δx = xf-xi = (340 m)-(10 m) = 110 m/s Δt tf-ti (5 s)-(2 s) 2. [2a, 3-8] Con base en la figura, determine: a) la velocidad media entre t = 2.0 s y t = 5.0

s y b) la velocidad instantánea en t = 3.0 s

a) De la figura vmed = xf-xi = 1.1-3 = -0.6 m/s tf-ti 5-2 b) Como v = dx/dt. En la figura se traza una recta aproximadamente tangente a la curva en el punto (3,1.5) y se obtiene su pendiente. v = 0.5-1.5 = -0.7 m/s 4.5-3

00.5

11.5

22.5

33.5

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

t(s)

x(m

)

Figura 1



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3. [2a, 3-17] Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación x=2t+3t², donde x está en m y t en s. calcule la velocidad y la aceleración instantáneas en t=3 s.

La posición de la partícula esta dada por x=2t+3t² Derivando la posición con respecto al tiempo, y evaluando en t=3 s v = dx = (2+6t) m/s dt v(3)=2+6(3)=20 m/s Como la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo a = dv = 6 m/s² dt Por lo que la aceleración es la misma para todo tiempo 4. [2a, 3-21] Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación

x=2+3t-t², donde x está en m y t en s. En t=3 s, halle: a) la posición de la partícula, b) su velocidad y c) su aceleración.

a) Evaluando la posición en t=3 s x(3)=2+3(3)-(3)²=2 m b) Derivando la posición con respecto al tiempo, y evaluando en t=3 s v = dx = (3-2t) m/s dt v(3)=3-2(3)= -3 m/s c) Como la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo a = dv = -2 m/s² dt Por lo que la aceleración es la misma para todo tiempo 5. [2a, 3-25] Un cuerpo que se mueve con aceleración uniforme tiene una velocidad de 12

cm/s cuando su coordenada x es de 3 cm. Si su coordenada x dos segundos más tarde es –5 cm, ¿cuál es la magnitud de su aceleración?

Datos: vo=12 cm/s; xi=3 cm; xf= -5 cm De la ecuación y=vot+(1/2)at², la distancia recorrida es –8 m, sustituyendo valores -8=(12cm/s)(2s)+(1/2)a(2s)² Despejando la aceleración a=(-8m-24m)2= -16 cm/s² 4 La magnitud de la aceleración es |a|=16 cm/s²



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6. [2a, 3-45] Se dio la noticia de que una mujer había caído 144 ft desde el decimoséptimo piso de un edificio, golpeándose finalmente contra la caja metálica de un ventilador que se aplastó 18 in. La mujer sólo sufrió pequeñas lesiones. Despreciando la resistencia del aire calcule: a) la rapidez de la caída de la mujer precisamente antes de chocar contra el ventilador, b) su desaceleración al estar en contacto con la caja y c) el tiempo que tardó en aplastar la caja.

Datos: y1=144 ft; y2=18 in=1.5 ft; vo=0 a) La velocidad final de la mujer antes de chocar contra el ventilador se obtiene de la ecuación v²=vo²+2ay _______ _____________________ v=√vo²+2ay1 = √0²+2(-32.185 ft/s²)(-144 ft) = -96.277 ft/s b) Despejando la aceleración de v²=vo²+2ay, ahora la velocidad final es cero, y la distancia recorrida es 1.5 ft. a = v2-vo² = 0²-(-96.277)² = 3089.754 ft/s² 2y2 2(-1.5) c) De la ecuación y=vot+(1/2)at², la distancia recorrida es 1.5 ft, sustituyendo valores -1.5=(-96.277 ft/s)t+(1/2)(3089.754 ft/s²)t² Resolviendo la ecuación cuadrática t=0.031 s 7. [2a, 3-47] Un estudiante lanza un juego de llaves verticalmente hacia arriba a su

compañera que se encuentra en una ventana 4 m arriba. Las llaves son atrapadas 1.5 s más tarde por la mano extendida de la compañera. a) ¿A qué velocidad fueron lanzadas las llaves? b) ¿Cuál era la velocidad de las llaves justo antes de ser atrapadas?

Datos: y=4 m; t=1.5 s a) Despejando la velocidad inicial de la ecuación y=vot+(1/2)at² vo = y-(1/2)at² = (4 m)-(1/2)(-9.81 m/s²)(1.5)² = 10.024 m/s t 1.5 s b) Utilizando la ecuación v=vo+at v=vo+at = (10.024 m/s)+(-9.81 m/s²)(1.5 s) = -4.69 m/s vienen bajando



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8. [2a, 3-49] Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el piso con una rapidez inicial de 15 m/s. a) Cuánto tarda la pelota en alcanzar su altura máxima? b) ¿Cuál es su altura máxima? c) Determine la velocidad y aceleración de la pelota en t=2 s.

Datos: vo=15 m/s; a) Despejando el tiempo de la ecuación v=vo+at, la velocidad final es igual a cero t = v-vo = 0-15 m/s = 1.529 s a -9.81 m/s² b) Despejando la altura de la ecuación v²=vo²+2ay, la velocidad final es igual a cero y = v²-vo² = 0-(15 m/s)² = 11.468 m 2a 2(-9.81 m/s²) c) Empleando la ecuación v=vo+at, y sustituyendo para t=2 s v=(15 m/s)+(-9.81 m/s²)(2 s)= -4.62 m/s Derivando la ecuación v=vo+at con respecto al tiempo a=d(vo+at)/dt=a= -9.81 m/s² 9. [2a, 3-51] Se lanza una pelota hacia arriba en línea recta, desde el piso con una rapidez

de 4.0 m/s. a) ¿Cuánto tiempo transcurre entre los dos momentos en que su velocidad tiene una magnitud de 2.5 m/s? b) ¿A qué distancia del piso se encuentra la pelota en esos instantes?

Datos: vo=4 m/s; v=2.5 m/s a) Despejando el tiempo de la ecuación v=vo+at, tomando 2.5 m/s para la velocidad de subida t1 = v-vo = (2.5 m/s)-(4 m/s) = 0.153 s a -9.81 m/s² Despejando el tiempo de la ecuación v=vo+at, tomando -2.5 m/s para la velocidad de bajada t2 = v-vo = (-2.5 m/s)-(4 m/s) = 0.663 s a -9.81 m/s² Para encontrar el tiempo transcurrido se resta el tiempo de subida al tiempo de bajada t2-t1=(0.663 s)-(0.153 s)=0.51 s b) Despejando la altura de la ecuación v²=vo²+2ay y = v²-v²o = (2.5 m/s)²-(4 m/s)² = 0.497 m 2a 2(-9.81 m/s²)



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10. [2a, 3-58] Una partícula se mueve a lo largo del eje x con una aceleración que es proporcional al tiempo de acuerdo con la expresión a=30t, donde a está en m/s². Inicialmente la partícula está en reposo en el origen. Encuentre: a) la velocidad instantánea y b) la posición instantánea en función del tiempo.

Datos: a=(30t) m/s² a) Como la aceleración es a = dv/dt, para obtener la velocidad se plantea la integral y se resuelve v=∫a dt=∫30t dt v=15t²+c1 Para encontrar c1 se utilizan las condiciones iniciales para t=0; v=0 v(0)= 15(0)²+c1=0 de la anterior c1=0, por lo que la velocidad instantánea es v=15t² b) Como la velocidad es v = dx/dt, para obtener la posición se plantea la integral y se resuelve x=∫v dt=∫15t² dt x=5t³+c2 Para encontrar c2 se utilizan las condiciones iniciales para t=0; x=0 x(0) =5(0)³+c2=0 de la anterior c2=0, por lo que la posición instantánea es x=5t³ 11. [2a, 3-60] La aceleración de una canica en un cierto fluido es proporcional al cuadrado

de su velocidad, y está dada (en m/s²) por a= -3v² para v>0. Si la canica entra al fluido con una rapidez de 1.50 m/s, ¿cuánto tiempo pasará antes de que la rapidez de la canica se reduzca a la mitad de su valor inicial?

Datos: a=(-3v²) m/s²; vo=1.50 m/s; v=0.75 m/s Como la aceleración es a=dv/dt -3v² = dv dt 0.75 -3∫dt=∫ dv 1.5 v² Resolviendo la integral -3t = -2 3 Por lo que el tiempo transcurrido es t = 2 = 0.222 s 9



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3.2 Cinemática en dos dimensiones 12. [2a, 4-3] Encuentre la magnitud y dirección del vector velocidad media de un minutero

que tiene 5 cm de longitud cuando el tiempo cambia de 4:15 a 4:30 El desplazamiento de la punta del minutero desde las 4:15 hasta las 4:30 es. _________ Δr = ⎜rf - ri⎪= √(-5)2+(-5)2 = 7.071 cm Por lo tanto la magnitud del vector velocidad es vm = Δr = 7.071 cm = 7.86x10-3 cm/s Δt 900 s Si trasladamos este vector al origen, el ángulo que forma con el eje x positivo es θ =180°+arctan[(-5)/(-5)]° = 225° 13. [2a, 4-9] Una partícula localizada inicialmente en el origen tiene una aceleración de

a=3j m/s2 y una velocidad inicial de vo=5i m/s. Halle a) el vector de posición y de la velocidad en cualquier tiempo t y b) las coordenadas y la rapidez de la partícula en t=2 s.

Datos: a=3j m/s2; vo=5i m/s a) Calculando la velocidad final de la partícula v = vo+at = (5i+3tj)m/s Obteniendo el vector de posición Como v = dr/dt r = ∫vdt = ∫(5i+3tj)dt = (5ti+1.5t2j)m b) Calculando las coordenadas de la posición para t =2 s r(2) = (5)(2 )i+(1.5)(2)2j = (10 m, 6 m) Obteniendo las coordenadas de la rapidez para t =2 s v(2) = (5)i+(3)(2)j = (5 m, 6 m) Ahora obteniendo su magnitud ________ ⎜v⎪ = √(5)2+(6)2 = 7.81 m/s



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3.2.1 Tiro parabólico 14. [2a, 4-10] Se coloca un estudiante en el borde de un acantilado y lanza una piedra

horizontalmente sobre el borde con una rapidez de 18 m/s. El acantilado está a 50 m de altura respecto a una playa plana horizontal, como se muestra en la figura. ¿En cuánto tiempo, después de ser lanzada la piedra, golpeará la playa bajo el acantilado? ¿Con qué rapidez y ángulo golpeará la playa?

Datos: vox=18 m/s; voy=0; y=50 m Para el eje vertical se utiliza y=voyt+(1/2)at², la velocidad inicial en y es cero

15. [2a, 4-12] Un estudiante decide medir la velocidad de salida de las pelotillas de su

escopeta BB; apunta su escopeta horizontalmente. El blanco está localizado sobre una pared vertical, a una distancia x de la escopeta. El disparo golpea el blanco a una distancia vertical y abajo del cañón. a) Muestre que la posición de la pelotilla cuando viaja por el aire está dada por y= Ax², en donde A es una constante. b) Exprese la constante A en términos de la velocidad inicial y la aceleración debida a la gravedad. c) Si x=3.0 m; y=0.21 m, ¿Cuál es la rapidez de la BB?

a) Como la velocidad en x es vx=x/t (1) La posición en y esta dada por y=voyt+(1/2)at² (2) Despejando el tiempo de (1) y sustituyendo en (2), se obtiene y=[a/(2 vx²)]x² (3) b) por lo que A= g/(2 vx²) c) Datos: x=3.0 m; y=0.21 m Despejando vx de (3) ________ ______________________ vx=√(x²a)/(2y) =√3² (-9.81 m/s²)/[(2)(-0.21)] =14.5 m/s

-50=(0)t+(1/2)(-9.81)t² Despejando el tiempo ____________________________

t=√(-50 m)(2)/(-9.81 m/s²) =3.19 s Despejando la velocidad final en y de vy²=vo²+2ay _______________________________

vy=√02+(2)(-9.81 m/s²)(-50 m) = -31.32 m/s Como la velocidad en x es vx=x/t Despejando x se tiene x= vxt=(18 m/s)((3.193 s)=57.474 m La magnitud de la velocidad final es _________ ____________________________

vf=√vx²+vy² =√(18 m/s)²+(-31.32 m/s)² = 36.13 m/s El ángulo es θ=arc tan(vy/vx)= arc tan[(-31.32 m/s)/(18 m/s)]= -60.11°

h= 50 m

g

V o = 18 m /s

x

y

Figura 2



31

16. [2a, 4-14] Un balón de futbol que se patea a un ángulo de 50° con la horizontal, recorre una distancia horizontal de 20 m antes de chocar contra el suelo. Encuentre: a) la rapidez inicial del balón, b) el tiempo que permanece en el aire y c) la altura máxima que alcanza.

a) Las velocidades iniciales vx, vy son: vx = vcosθ =x/t (1) voy = vsenθ (2) La altura final al recorrer los 20 m será cero, por lo tanto: 0 = voyt + (1/2)at2 (3) Despejando t, voy de 1 y 2 y sustituyendo en 3 0 = vsenθx + (1/2)ax2 vcosθ v2cos2θ Despejando la velocidad inicial v ___________________ _________________________________ v = √[(a)(x)]/[(2cosθ)(senθ)] =√[(-9.81 m/s2)(-20 m)/[(2cos50°)(sen50°)] = 14.11 m/s b) el tiempo que permanece en el aire se obtiene haciendo y = 0 0 = voyt + (1/2)at2 Sustituyendo valores y formando la ecuación cuadrática -4.905t2+10.81t = 0 Resolviendo la ecuación cuadrática t = 2.2 s c) La altura máxima se obtiene haciendo la velocidad vfy igual a cero vfy

2 = voy2+2ay

0 = (vsenθ)2+2ay Despejando y y = -(vsenθ)2 = -[(14.11 m/s)(sen50°)]2 = 5.95 m 2a (2)(-9.81 m/s2) 17. [2a, 4-16] Un lanzador de bala lanza ésta desde 2.3 m arriba del suelo y con un ángulo

de 60° con la horizontal. La bala choca con la Tierra a una distancia de 20.5 m, a 0.60 m menos del récord estatal. a) ¿Cuáles son las componentes de la velocidad cuando choca con el suelo? b) ¿Cuál sería el alcance si la lanza a 45° desde una altura de 2.2 m? (Suponga que la rapidez inicial no cambia).

a) Las velocidades iniciales vx, vy son: vx = vcosθ =x/t (1) voy = vsenθ (2) La altura final al recorrer los 20.5 m es –2.3 m, es decir por abajo del punto de lanzamiento: y = voyt + (1/2)at2 (3) Despejando t, voy de 1 y 2 y sustituyendo en 3 y = vsenθx + (1/2)ax2 vcosθ v2cos2θ



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Despejando la velocidad inicial v _______________________ v = √[(a)(x2)]/[(2cos2θ)(y-xtanθ)] _____________________________________ = √[(-9.81)(20.5)2]/[(2cos260°)(-2.3-20.5tan60°)] = 14.77 m/s Por lo tanto las componentes se obtienen sustituyendo el valor de v en 1 y 2 vx = vcosθ = (14.77 m/s)cos60° = 7.38 m/s voy = vsenθ = (14.77 m/s)sen60° = 12.79 m/s Utilizando la ecuación vfy

2 = voy2+2ay para despejar la velocidad final en y

________ ___________________________ vfy = √voy

2+2ay = √(12.79 m/s)2+2(-9.81 m/s2)(-2.3 m) = 14.45 m/s b) La velocidad es la misma que la obtenida en a) pero cambia θ y la altura Despejando t, voy de 1 y 2 y sustituyendo en 3 y = vsenθx + (1/2)ax2 vcosθ v2cos2θ Simplificando -2.2 =xtanθ + (a/(2v2cos2)x2

Resolviendo la ecuación cuadrática x = 24.25 m 18. [2a, 4-18] Muestre que el alcance horizontal de un proyectil con una rapidez inicial fija

será el mismo para cualesquiera dos ángulos complementarios, tales como 30° y 60°. Las velocidades iniciales vx, vy son: vx = vcosθ =x/t (1) voy = vsenθ (2) La altura final al recorrer x m será cero 0 = voyt + (1/2)at2 (3) Despejando el tiempo de 1 t = x 0 vx Despejando el tiempo de la ecuación cuadrática 3 t = -2voy

a Igualando los dos despejes del tiempo x = -2voy

vx a Despejando el alcance máximo x x = -2vxv0y = -2v2cosθsenθ a a Como cos30°sen30° = cos60°sen60° Por lo tanto el alcance es el mismo



33

19. [2a, 4-20] Se apunta un rifle horizontalmente a través de su mira hacia el centro de un blanco grande que está a 200 m. La velocidad inicial de la bala es de 500 m/s. a) ¿En dónde golpea la bala en el blanco? b) Para dar en el centro del blanco, el cañón debe estar a un ángulo arriba de la línea de puntería. Halle el ángulo de elevación del cañón.

Datos: x = 200 m; vx = 500 m/s a) La velocidad vx, es: vx = x/t (1) Como la velocidad voy = 0 y = 0 – (1/2)gt2 (2) Despejando el tiempo de 1 y sustituyendo en 2 y = (1/2)(9.81 m/s2)[(200 m)/(500 m/s)]2 = 0.785 m b) Empleando 2cosθsenθ = sen2θ en el alcance máximo x = 2v2cosθsenθ = v2sen2θ g g Despejando a θ θ = arcsen(xg/vo

2) = arcsen[(200 m)(9.81 m/s2)/(500 m/s)2 = 0.22° 2 2



34

Unidad IV DINAMICA 4.1 Conceptos básicos: masa, peso y fuerza Masa inercial y masa gravitacional Masa es una cantidad escalar definida por la relación m = F/a, donde F es la magnitud de la fuerza que actúa en el cuerpo y a es el valor de la aceleración que f produce en el. La masa puede ser considerada como una medida del concepto de inercia, de manera que si la masa de un objeto es pequeña, tendrá poca inercia. La masa de un cuerpo no cambia al ser trasladado de un lugar a otro. En cambio su peso si varia, ya que g varia con la altitud y con la latitud. Hay dos formas de medir la masa de un cuerpo: 1. Proporcionándole al cuerpo un fuerza conocida F, se mide su aceleración y se

determina m=F/a 2. Con una balanza de brazos iguales equilibrada, este proceso de medición funciona

únicamente en lugares donde los cuerpos tienen peso. La masa que se presenta en la ecuación F=ma, de los experimentos de dinámica se le conoce como masa inercial. Hay otra situación diferente en la que aparece la masa del cuerpo, aquí la inercia no juega ningún papel, lo que interviene es la propiedad de los cuerpo materiales de ser atraídos por otros objetos como la Tierra. F = G m’Mt Rt2

Donde m’ se le conoce como masa gravitacional Newton llegó a la conclusión que la masa inercial de un cuerpo es equivalente a su masa gravitacional, es decir. m = m’ 4.1.1 Sistemas de referencia: inerciales y no inerciales 1. [2a, 2-1] Las coordenadas cartesianas de dos puntos en el plano xy son: (2.0,-4.0) y (-

3.0,3.0), donde las unidades son m. Determine: a) La distancia entre estos dos puntos y b) sus coordenadas polares.

a) Obteniendo la distancia entre los dos puntos ________________ ________________________ d = √(x2-x1)2 + (y2-y1)2 = √(-3.0 – 2.0)2 + (3.0 + 4.0)2 = 8.6 m b) Obteniendo las coordenadas polares (r, θ) para el primer punto



35

_______ ________ r = √x2 + y2 = √22 + (-4)2 = 4.47 m θ = 360° - arctan(y/x) = 360° - arctan(-4/2) = 297° Obteniendo las coordenadas polares (r, θ) para el segundo punto _______ ________ r = √x2 + y2 = √(-3)2 + 32 = 4.24 m θ = 180° + arctan(y/x) = 180° - arctan[3/(-3)] = 135° 2. [2a, 2-5] Una esquina de un cuarto se elige como el origen de un sistema de

coordenadas rectangular. Si una mosca está parada sobre una pared adyacente a un punto que tiene coordenadas (2.0,1.0), donde las unidades están en metros, ¿cuál es la distancia de la mosca desde la esquina del cuarto?

Obteniendo la distancia entre los puntos (0,0) y (2.0,1.0) ________________ ___________________ d = √(x2-x1)2 + (y2-y1)2 = √(2.0 - 0)2 + (1.0 - 0)2 = 2.24 m 3. [2a, 2-7] Un punto está localizado en un sistema de coordenadas polares mediante las

coordenadas r = 2.5 m y θ = 35°. Determine las coordenadas xy de este punto, suponiendo que los dos sistemas de coordenadas tienen el mismo origen.

Obteniendo las coordenadas (x,y) x = r(cosθ) = 2.5(cos35°) = 2.05 m y = r(senθ) = 2.5(sen35°) = 1.43 m 4.2 Leyes de Newton Primera ley de Newton Ley de la inercia. Todo cuerpo conserva su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme mientras no lo afecte una fuerza externa Segunda ley de Newton 2a. Ley de Newton , también llamada Ley de la proporcionalidad entre fuerzas y aceleraciones. Cuando se aplica una fuerza constante a un cuerpo, la aceleración producida es directamente proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa, es decir. Fx=max, Fy=may, Fz=maz. Dicho en otras palabras, la fuerza aplicada a un cuerpo es igual al producto de la masa, por la aceleración producida. Tercera ley de Newton



36

3a. Ley de Newton, también llamada Ley de la acción y de la reacción. “A toda acción corresponde una reacción igual y de sentido contrario”. 4.2.1 Diagrama de cuerpo libre 4. [2a, 5-26] Determine la tensión en cada una de las cuerdas para los sistemas que se describen en la figura siguiente. (Desprecie la masa de las cuerdas.) a) Diagrama de cuerpo libre

Haciendo la sumatoria de fuerzas ΣFx = -T1cos40°+T2cos50° = 0 (1) ΣFy = T1sen40°+T2sen50°-mg = 0 (2) Despejando T2 de 1 T2 = T1cos40° (3)

cos50° Sustituyendo T2 en 2 y despejando a T1

(5)(9.81 m/s2) a T1 = sen 40°+ cos40°sen50° = 31.53 N

cos50°

Sustituyendo el valor de T1 en 3 para encontrar el valor de T2

T2 = (31.53 N)cos40° = 37.57 N

40° 50°

T1 T2

T3

T1 T2

T3

60°

5 kg 10 kg

a) b)

40° 50°

T1 T2

x

y

T3

Figura 3



37

cos50° T3 = mg = (5 kg)(9.81 m/s2) = 49.05 N

b) Diagrama de cuerpo libre

Haciendo la sumatoria de fuerzas ΣFx = -T1cos60°+T2 = 0 (1) ΣFy = T1sen60°-mg = 0 (2) Despejando T1 de 2 T1 = mg = (10 kg)(9,81 m/s2 = 113.28 N

sen60° sen60° Sustituyendo el valor de T1 en 2 para encontrar T2

T2 = T1cos60° = (113.28 N)cos60° = 56.64 N T3 = mg = (10 kg)(9.81 m/s2) = 98.1 N

60°

T1

T2

x

y

T3



38

5. [2a, 5-31] Una bolsa de cemento cuelga de tres alambres como se muestra en la figura.

Dos de los alambres forman los ángulos θ1 y θ2 con la horizontal. Si el sistema está en equilibrio, a) muestre que T1 = Wcos(θ2) 4

sen(θ1+θ2) b) Dados W = 200 N, θ1 = 10° y θ2 = 25°, encuentre las tensiones T1, T2 y T3 de los alambres.

Diagrama de cuerpo libre

a) Sumatoria de fuerzas ΣFx = -T1cosθ1+T2cosθ2 = 0 (1) ΣFy = T1senθ1+T2senθ2-W = 0 (2)

Despejando T2 de 1 T2 = T1cosθ1 (3)

cosθ2 Sustituyendo T2 en 2 y despejando T1

Wcosθ2 1 Wcosθ2 1 T1 = senθ1cosθ2+cosθ1senθ2 = sen(θ1+θ2)

b) Sustituyendo valores en la ecuación anterior para encontrar T1

T1 = Wcosθ2 = 200cos25° = 316 N sen(θ1+θ2) sen(10°+25°)

Sustituyendo en 3 para encontrar T2

T2 = T1cosθ1 = (316 N)cos10° = 343 N

θ1 θ2

W CCEMENTO

θ1 θ2

T1 T2

x

y

W

Figura 4



39

cosθ2 cos25° T3 = W = 200 N

6. [2a, 5-39] Se conectan dos masas de 3 kg y 5 kg por medio de una cuerda que pasa sobre una polea lisa, como se indica en la figura. Determine a) la tensión en la cuerda, b) la aceleración de cada masa y c) la distancia que recorre cada masa en el primer segundo de movimiento si parten del reposo.

Máquina de Atwood Diagrama de cuerpo libre a) Haciendo la sumatoria de fuerzas que actúan en cada masa T-m1g = m1a (1) T-m2g = -m2a (2) Despejando la aceleración de 1 a = T-m1g (3) m1 Sustituyendo en 2 y despejando T T = 2m1m2g = 2(3 kg)(5 kg)(9.81 m/s2) = 36.8 N m1+m2 3 kg+5 kg b) Sustituyendo el valor de T en 3 para encontrar la aceleración a = (36.8 N)-(3 kg)(9.81 m/s2) = 2.45 m/s2

3 kg c) Como la velocidad inicial es cero y = vot + (1/2)at2 = (1/2)(2.45 m/s2)(1 s)2 = 1.22 m 7. [2a, 5-1] Una fuerza, F, aplicada a un objeto de masa m1 produce una aceleración de 3 m/s2. La misma fuerza aplicada a un segundo objeto de masa m2 produce una aceleración de 1 m/s2. a) ¿Cuál es el valor de la razón m1/m2? b) Si se sujetan m1 y m2, calcule su aceleración con la acción de la fuerza F. Datos: a1 = 3 m/s2; a2 = 1 m/s2

m1

m2

T

m1

m2

a

m1g m2g

a

T

Figura 5



40

a) Se tiene una fuerza F aplicada a dos masas m1 y m2, por lo que: F = m1a1 (1) F = m2a2 (2) Igualando la ecuación (1) con (2) m1a1 = m2a2 m1 = a2 = 1 m/s2 = 1/3 m2 a1 3 m/s2 b) si se sujetan m1 y m2 F = (m1+m2)a3 (3) Del resultado del inciso a), se pone m1 en función de m2, y sustituyendo en (3) F = [(1/3)m2+m2]a3 = (4/3)m2a3 Igualando esta última ecuación con (2) (4/3)m2a3 = m2a2 Cancelando la masa m2 y despejando a3 a3 = (3/4)a2 = (3/4)(1 m/s2) = 0.75 m/s2 8. [2a, 5-2] Un objeto de 6 kg experimenta una aceleración de 2 m/s2. a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre él? b) Si se aplica esta misma fuerza a un objeto de 4 kg, ¿qué aceleración le producirá?

Datos: m1 = 6 kg; a1 = 2 m/s2 a) De la segunda Ley de Newton

F = m1a1 = (6 kg)( 2 m/s2) = 12 N b) F = m2a2

Despejando la aceleración a2 a2 = F/m2 = (12 N)/(4 kg) = 3 m/s2

9. [2a, 5-3] Una fuerza de 10 N actúa sobre un cuerpo de masa 2 kg. ¿Cuál es a) la aceleración del cuerpo, b) su peso en N y c) su aceleración si se duplica la fuerza?

Datos: F1 = 10 N; m = 2 kg a) De la segunda Ley de Newton F1 = ma1

Despejando la aceleración a1 a1 = F1/m = (10 N)/(2 kg) = 5 m/s2

b) P = mg = (2 kg)( 9.81 m/s2) = 19.6 N c) F2 = ma2

Despejando la aceleración a2 a2 = F2/m = (20 N)/(2 kg) = 10 m/s2

10. [2a, 5-7] Una masa de 3 kg adquiere una aceleración de a = (2i +5j) m/s2. Calcule la

fuerza resultante, F, y su magnitud.

Como F = ma = (3 kg)[(2i +5j) m/s2] = (6i +15j) N



41

________ ⎜F⎪ = √62+(15)2 = 16.2 N

11. [2a, 5-9] Una persona pesa 120 lb. Determine a) su peso en N y b) su masa en kg.

Como 1 libra = 4.448 N Por lo tanto 120 lb = 533.8 N Despejando la masa de la segunda Ley de Newton m = P/g = (534 N)/(9.81 m/s2) = 54.4 kg

12. [2a, 5-11] ¿Cuál es la masa de un astronauta cuyo peso sobre la Luna es de 115 N? La

aceleración debida a la gravedad sobre la Luna es de 1.63 m/s2. Como F = ma Despejando la masa m = F/a = (115 N)/(1.63 m/s2) = 70.6 kg

13. [2a, 5-12] Si un hombre pesa 900 N sobre la Tierra, ¿cuál sería su peso en Júpiter, en

donde la aceleración debida a la gravedad es de 25.9 m/s2. Como P1 = mg Despejando la masa m = P1/g = (900 N)/(9.81 m/s2) = 91.74 kg Utilizando la masa obtenida y la aceleración de la gravedad en Júpiter P2 = ma = (91.74 kg)(25.9 m/s2) = 2376.15 N

14. [1a, 5-4] Un viajero espacial cuya masa es de 75 kg abandona la Tierra. Calcular su

peso a) en la Tierra, b) en Marte, en donde g = 3.8 m/s2 y c) en el espacio interplanetario d) ¿Cuál es su masa en cada uno de estos sitios?

a) P1 = mg = (75 kg)(9.81 m/s2) = 735.8 N b) P2 = mgm = (75 kg)(3.8 m/s2) = 285 N c) P3= m(0) = (75 kg)(0) = 0 N d) La masa es la misma para todos los sitios

15. [2a, 5-20] Un objeto de 9 kg experimenta una aceleración de 2 m/s2 hacia la derecha con

la acción de dos fuerzas, F1 y F2. F1 actúa hacia la derecha y tiene una magnitud de 25 N. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de F2?

La fuerza neta resultante que actúa sobre el objeto es



42

FR = ma = (9 kg)(2 m/s2) = 18 N Haciendo la sumatoria de fuerzas en x e igualándola con F para encontrar F2

ΣFx = 25 N+F2 = 18 N Despejando F2 F2 = 18 N –25 N = -7 N

16. [2b, 5-16] De manera simultánea se aplican fuerzas de 10.0 N al norte, 20.0 N al este y

15.0 N al sur sobre una masa de 4.00 kg. Obtenga su aceleración. Haciendo la sumatoria de fuerzas ΣFx = 20 N ΣFy = 10 N-15N = -5 N Obteniendo la resultante ____________ __________ FR = √(ΣFx)2+(ΣFy)2 = √(20)2+(-5)2 = 20.6 N Por lo que la aceleración es: a = FR/m = (20.6 N)/(4 kg) = 5.15 m/s2

4.3 Fuerzas de la Naturaleza Todas las fuerzas en la naturaleza pueden clasificarse en cuatro tipos 1. Fuerzas gravitacionales, que relativamente son muy débiles. 2. Fuerzas electromagnéticas, que tienen una intensidad intermedia. 3. Fuerzas nucleares que mantienen unidos a los neutrones y a los protones en el núcleo y

son las más intensas de todas. 4. Fuerzas de interacción débil , que intervienen en el decaimiento β de los núcleos y en

las interacciones de muchas partículas elementales.



43

4.3.1 Fuerza de rozamiento 4.3.2 Coeficiente de fricción estática, y coeficiente de fricción cinética 4.4 Aplicaciones 17. [2a, 5-48] Un bloque de 25 kg está inicialmente en reposo sobre una superficie

horizontal áspera. Se requiere una fuerza horizontal de 75 N para hacer que el bloque se ponga en movimiento. Una vez que se encuentra en movimiento, se requiere una fuerza horizontal de 60 N para mantenerlo en movimiento con rapidez constante. Calcule los coeficientes de rozamiento estático y cinético a partir de esta información.

Datos: m = 25 kg; vo = 0; F1 = 75 N; F2 = 60 N; Diagrama de cuerpo libre Sumatoria de fuerzas en x ΣFx: -f+F1 = 0 (1) ΣFy: -mg+N = 0 (2) Como f ≤ μsN, la igualdad se establece cuando el bloque está a punto de deslizarse Despejando N de 2 y sustituyendo en 1 -μsmg+F1 =0 Despejando el coeficiente de fricción estático μs = F1 = 75 N = 0.31 mg (25 kg)(9.81 m/s2) Cuando ya se ha iniciado el movimiento la rapidez es constante por lo que a=0, las ecuaciones 1 y 2 siguen siendo válidas, pero con F2 y μk, por lo tanto -μkmg+F2 =0 μk = F2 = 60 N = 0.24 mg (25 kg)(9.81 m/s2)

N

mg

f F



44

18. [2a, 5-50] Un automóvil de carreras se acelera uniformemente desde 0 hasta 80 mi/h en

8 s. La fuerza externa que acelera el automóvil es la fuerza de rozamiento entre los neumáticos y el piso. Si los neumáticos no giran, determine el coeficiente mínimo de rozamiento entre los neumáticos y el piso.

Convirtiendo mi/h a m/s 80mi (1609.344 m) (1 h) = 35.76 m/s h 1 mi 3600 s Obteniendo la aceleración a = Δv = 35.76 m/s - 0 = 4.47 m/s2

Δt 8 s Sumatoria de fuerzas f = ma (1) Como f = μN = μmg, sustituyendo en 1 μmg = ma Cancelando la masa y despejando μ μ = a = 4.47 m/s2 = 0.46 g 9.81 m/s2

19. [2a, 5-52] Un automóvil se está moviendo a 50 mi/h sobre una carretera horizontal. a) Si

el coeficiente de rozamiento entre el piso y los neumáticos en un día lluvioso es de 0.1, ¿cuál es la distancia mínima en la que el automóvil se detendrá? b) ¿Cuál es la distancia para detenerse cuando la superficie está seca y μ=0.6? c) ¿Por qué debe evitarse oprimir de golpe los frenos sí se desea detenerlo en la distancia más corta? a) Convirtiendo mi/h a m/s

50 mi (1609.344 m) (1 h) = 22.35 m/s h 1 mi 3600 s Haciendo la sumatoria de fuerzas f = ma (1) Como f = μN = μmg, sustituyendo en 1 μmg = -ma Cancelando la masa y obteniendo la aceleración a = -μg = -(0.1)(9.81 m/s2) = -0.981 m/s2

Despejando la distancia de la ecuación v2 = vo2+2ax

x = v2-vo2 = 02-(22.35 m/s)2 = 254.6 m

2a 2(-0.981 m/s2) b) Ahora μ=0.6, obteniendo la aceleración a = -μg = -(0.6)(9.81 m/s2) = -5.886 m/s2


x = v2-vo2 = 02-(22.35 m/s)2 = 42.4 m

2a 2(-5.886 m/s2) c) Al oprimirse de golpe los frenos, las llantas patinan y el dibujo de las llantas se hace más liso, por lo que el coeficiente de fricción disminuye.



45

20. [2a, 5-56] Un “puck” de hockey que está sobre un lago congelado se golpea e inicia su movimiento con una velocidad de 12.0 m/s. En t=5.0 s, su velocidad es de 6.0 m/s. a) ¿Cuál es la aceleración media del “puck”? b) ¿Cuál es el valor medio del coeficiente de rozamiento entre el “puck” y el hielo? c) ¿Qué distancia recorre el “puck” durante el primer intervalo de 5 s? a) Obteniendo la aceleración media

am = vf-vi = (6 m/s)-(12 m/s) = -1.2 m/s2

Δt 5 s Haciendo la sumatoria de fuerzas f = ma (1) Como f = μN = μmg, sustituyendo en 1 μmg = ma b) Cancelando la masa y obteniendo el coeficiente de fricción μ = a = -1.2 m/s2 = 0.122 g -9.81 m/s2

c) Obteniendo la distancia recorrida x = vot+(1/2)at2 = (12 m/s)(5 s)+(1/2)(-1.2 m/s2)(5 s)2 = 45 m 21. Un niño tira de una caja utilizando una cuerda que hace un ángulo de 30° con la

horizontal, con una fuerza de 9 N, con una velocidad constante, el peso de la caja es de 15 N. a) Encuentre la fuerza normal y la de rozamiento. b) Halle el coeficiente de rozamiento cinético.

Datos: θ=30°; F=9 newtons; w=15 newtons a) Σfx: -f+9cos30°=0 (1) Σfy: N-15+9sen30°=0 (2) Despejando la fuerza de rozamiento de la ecuación (1) f=9cos30°=7.79 newtons Despejando la fuerza Normal de la ecuación (2) N=15-9sen30°=10.5 newtons b) Como fk=Nμk Despejando el coeficiente de rozamiento cinético μk=(fk)/N=(7.794 N)/(10.5 N)=0.74

9 newtons

w

f

N

30° w

9 newtons N

f 30°



46

22. Un hombre arrastra una canasta de 160 N que se desliza sobre el piso con velocidad constante por medio de una cuerda que hace 38° con la horizontal y aplicando una fuerza de 77 N. a) ¿Cuál debe ser el valor de la fuerza de rozamiento para que la canasta permanezca en reposo? b) ¿Cuál es el valor de la fuerza normal?

a) Σfx: -f+77cos38°=0 (1) Σfy: N-160+77sen38°=0 (2) Despejando la fuerza de rozamiento de la ecuación 1 f=77cos38°=60.68 newtons b) Despejando la fuerza Normal de la ecuación 2 N=160-77sen38°=112.59 newtons 23. [4, 6-3] Una caja de madera de 40 kg se empuja a lo largo del piso con una fuerza de

198 N. Si μ=0.25, calcular la aceleración de la caja. Datos: w=40 kg; F=198 newtons; μ=0.25 El peso de la caja es: w=mg=(40 Kg)(9.81 m/s²)=392.4 newtons La fuerza de rozamiento es igual al coef. de fricción por la fuerza normal f=μN=μw=(0.25)(392.4 N)=98.1 newtons La fuerza neta aplicada a la caja es Ft=198 newtons-98.1newtons=99.9 newtons De la segunda Ley de Newton F=ma Despejando la aceleración a=F/m=(99.9 N)/(40 kg)=2.5 m/s²

77 newtons

w

f

N

38° w

N

f 38°

77 newtons

f F



47

24. [4, 6-5] El coeficiente de rozamiento cinético entre las llantas de un automóvil y la carretera es de 0.6. a) Encontrar el mínimo tiempo que emplea en detenerse un auto que viaja a 48 km/h. b) ¿Qué distancia recorre el auto antes de detenerse?

Datos: μ=0.25; vo=48 km/h=13.333 m/s a) Igualando la fuerza de rozamiento con la masa por la aceleración f=μmg=ma Como la masa se cancela a=μg=(0.6) (9.81 m/s²)=5.886 m/s² Despejando t de la ecuación v=vo-at, y como la velocidad final es cero t= vo/a=(13.333 m/s)/(5.886 m/s²)=2.27 s b) Obteniendo la distancia recorrida x=voxt-(1/2)at²=(13.333 m/s)(2.265 s)-(1/2)(5.886 m/s²)(2.265 s)²=15.10 m



48

4.4.1 Plano inclinado sin fricción y plano inclinado con fricción 4.4.2 Poleas 25. [2a, 5-40] Un bloque resbala hacia abajo de un plano liso que tiene una inclinación de θ

= 15° ver figura. Si el bloque parte del reposo desde la parte superior del plano y la longitud del mismo es de 2 m, calcule a) la aceleración del bloque y b) su rapidez cuando llega a la parte inferior.

a) Obteniendo la sumatoria de fuerzas paralela al plano mgsenθ = ma cancelando la masa y despejando la aceleración a = gsenθ = (9.81 m/s2)(sen15°) = 2.54 m/s2

b) Obteniendo la velocidad final de la ecuación v2 =vo

2+2ax ______ _________________ v =√vo

2+2ax = √02+2(2.54 m/s2)(2 m) = 3.19 m/s 26. [2a, 5-41] A un bloque se le imprime una velocidad inicial de 5 m/s hacia arriba de un

plano inclinado que forma un ángulo de 20° con la horizontal. ¿Hasta qué punto del plano inclinado llega el bloque antes de detenerse?

Obteniendo la sumatoria de fuerzas paralela al plano -mgsenθ = ma cancelando la masa y despejando la aceleración a = -gsenθ = -(9.81 m/s2)(sen20°) = -3.36 m/s2


x = v2-vo2 = 02-(5 m/s)2 = 3.73 m

2a 2(-3.36 m/s2)

θ

Figura 6



49

27. [2a, 5-42] Se conectan dos masas por medio de una cuerda ligera que pasa sobre una

polea lisa, como se ve en la figura. Si el plano inclinado no tiene fricción y si m1=2 kg, m2=6 kg y θ=55°, calcule a) la aceleración de las masas, b) la tensión en la cuerda y c) la rapidez de cada masa 2s después de que se sueltan a partir del reposo.

a) Haciendo la sumatoria de fuerzas Sumatoria de fuerzas en y para m1

Σfy: -m1g+T = m1a (1) Sumatoria de fuerzas paralela al plano para m2

-T+m2gsenθ = m2a (2) Despejando T de 1 T = m1(a+g) (3) Sustituyendo T en 2 y despejando la aceleración a = g(m2senθ-m1) = (9.81 m/s2)[(6 kg)(sen55°)-2kg] = 3.57 m/s2

m1+m2 6 kg+2 kg b) Sustituyendo la aceleración encontrada en la ecuación 3 para encontrar T T = m1(a+g) = (2 kg)(3.57 m/s2 + 9.81 m/s2) = 26.76 N c) Para encontrar la rapidez se utiliza la ecuación: vf =vo+at = 0+(3.57 m/s2)(2 s) = 7.14 m/s

m2

m1

θ

Figura 7



50

28. Un objeto de 20 kg se desliza sobre un plano inclinado que hace 32° con la horizontal, encuentre el coeficiente de rozamiento cinético si se considera que la velocidad del objeto es constante.

Sumatoria de fuerzas perpendicular al plano N-mgcosθ=0 Despejando la fuerza normal N= mgcosθ=(20 kg) (9.81 m/s²)cos32°=166.387 newtons Sumatoria de fuerzas paralela al plano mgsenθ-f=0 Despejando la fuerza de rozamiento f= mgsenθ=(20 kg) (9.81 m/s²)sen32°=103.97 newtons Como f=μN, se despeja el coeficiente de fricción μ=f/N=(103.97 N)/(166.387)=0.625 29. [3, 2-9] Suponga que el bloque que se muestra en la figura se encuentra en reposo. El

ángulo del plano se aumenta lentamente, el bloque comienza a deslizarse. ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y el plano inclinado?

Sumatoria de fuerzas perpendicular al plano N-mgcosθ=0 Despejando la fuerza normal N= mgcosθ Sumatoria de fuerzas paralela al plano mgsenθ-f=0 Despejando la fuerza de rozamiento f= mgsenθ Como f s≤μN, se despeja el coeficiente de fricción μ s≤f/N≤ (mgsenθ)/(mgcosθ) μs ≤ (senθ/cosθ) ≤ tanθ

F

θ

f

F

θ

f



51

30. [3, 2-19] El bloque de la figura inicia su movimiento hacia arriba del plano inclinado cuando la fuerza que lo empuja, como se muestra se incrementa a 70 N. a) ¿Cuál es la fuerza crítica de rozamiento estático sobre el bloque? b) ¿cuál es el valor del coeficiente de rozamiento estático?

a) Sumatoria de fuerzas peralela al plano -70cos 40°+f+60sen40°=0 Despejando la fuerza de rozamiento f = 70cos 40° - 60sen40°= 15.06 newtons b) Sumatoria de fuerzas perpendicular al plano -70sen40° - 60cos40° + N = 0 Despejando la fuerza normal N = 70sen40° + 60cos40° = 90.96 newtons Como f= μN, se despeja μ μ = (f/N) = (15.06 N)/(90.96 N) = 0.166 31. [4, 6-16] Un carro frenado permanece en reposo sobre un plano inclinado de concreto

seco, cuando el ángulo entre el plano y la horizontal es inferior a 45°. Determinar el coeficiente de rozamiento estático para llantas de caucho sobre concreto seco.

Sumatoria de fuerzas perpendicular al plano N-mgcosθ=0 Despejando la fuerza normal N= mgcosθ Sumatoria de fuerzas paralela al plano mgsenθ-f=0 Despejando la fuerza de rozamiento f= mgsenθ Como f s≤μN, se despeja el coeficiente de fricción μs≤f/N≤(mgsenθ)/(mgcosθ) μs≤senθ/cosθ ≤tanθ μs≤tan(45°)≤1

F

45°

f

F

40°

f

60 N

40°



52

32. [4, 6-17] Se va a construir una rampa de acero para deslizar bloques de hielo desde una planta de refrigeración hasta un piso inferior, si μ= 0.05, encontrar el ángulo de inclinación para el cual el hielo se deslizara a velocidad constante.

Sumatoria de fuerzas perpendicular al plano N-mgcosθ=0 Despejando la fuerza normal N= mgcosθ Sumatoria de fuerzas paralela al plano mgsenθ-f=0 Despejando la fuerza de rozamiento f= mgsenθ Como f=μN Despejando el coeficiente de fricción μ=f/N= (mgsenθ)/(mgcosθ) Cancelando mg y sustituyendo μ 0.05=senθ/cosθ=tanθ θ=arctan(0.05)=2°51’44”.65 33. [4, 6-18] Un bloque baja por un plano inclinado de 8 m de longitud que forma un

ángulo de 30° con la horizontal. Si el bloque parte del reposo y μ=0.25, encontrar. a) La aceleración del bloque. b) Su velocidad al final del plano. c) El tiempo que tarda en llegar al final del plano.

Datos: x=8 m; θ=30°; vo=0; μ=0.25 a) Sumatoria de fuerzas perpendicular al plano N-mgcosθ (1) Sumatoria de fuerzas paralela al plano mgsenθ-f (2)

F

θ

f

F

30°

f



53

Despejando N de (1) y como f=μN Sustituyendo f en (2) e igualando a la masa por la aceleración mgsenθ-μmgcosθ=ma Cancelando las masas y despejando la aceleración, se obtiene a= g(senθ-μcosθ )=(9.81 m/s²)[sen30°-0.25(cos30°)]= 2.78 m/s² b) Utilizando la ecuación v²=vo² +2ax, y como la velocidad inicial es cero _______ _______________ v=√o² +2ax =√2(2.781 m/s²)(8 m) = 6.67 m/s c) Utilizando la ecuación x=vot+(1/2)at² Despejando el tiempo ____ ________________ t=√2x/a =√2(8 m)/(2.781 m/s²) = 2.399 s 34. [2a, 5-54] Un bloque se mueve hacia arriba de un plano inclinado a 45° con rapidez

constante con la acción de una fuerza de 15 N aplicada en forma paralela al plano. Si el coeficiente de rozamiento cinético es de 0.3, determine a) el peso del bloque y b) la fuerza mínima requerida para hacer que el bloque se mueva hacia abajo del plano con rapidez constante.

a) Sumatoria de fuerzas paralela al plano -15+f+mgsen45°=0 (1) Sumatoria de fuerzas perpendicular al plano -mgcos45° + N = 0 (2) Se despeja N de (2), para obtener f=μN, y esto se sustituye en (1) -15+μmgcos45°+mgsen45°=0 Despejando mg mg = 15 = 16.32 newtons μcos45°+sen45° b) Sumatoria de fuerzas paralela al plano -F-f+mgsen45°=0 Como f=μN=μmgcos45° -F-μmgcos45°+mgsen45°=0 Despejando F F = mgcos45°(1-μ) = (16.32 newtons)(cos45°)(1-0.3) = 8.08 newtons

F

45°

f



54

35. [2a, 5-57] Un bloque de 3 kg parte del reposo desde la parte superior de un plano inclinado a 30° y resbala una distancia de 2 m hacia abajo del plano en 1.5 s. Calcule a) la aceleración del bloque, b) el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el plano, c) la fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque y d) la rapidez del bloque después que ha resbalado 2 m.

Datos: m = 3 kg; θ = 30°; d = 2 m; t = 1.5 s; a) Como la velocidad media se define como: vm = Δx (1) Δt vm = v+vo (2) 2 Igualando estas dos ecuaciones Δx = v+vo

Δt 2 Despejando la velocidad instantánea final v v = 2Δx – vo = (2)(2-0) – 0 = 2.667 m/s Δt 1.5-0 Ahora de la ecuación v = vo+at, se despeja la aceleración a = v-vo = (2.667 m/s)-0 = 1.78 m/s2

t 1.5 s b) Obteniendo la sumatoria de fuerzas paralela al plano -mgsenθ+μN = -ma (3) Obteniendo la sumatoria de fuerzas perpendicular al plano -mgcosθ+N = 0 (4) Despejando la Normal de 4 y sustituyendo en 3 -mgsenθ+μmgcosθ = -ma (5) Cancelando la masa y despejando el coeficiente de rozamiento cinético μ μ = -a+gsenθ = -1.78 m/s2+(9.81 m/s2)(sen30°) = 0.368 gcosθ (9.81 m/s2)(cos30°) c) Obteniendo la fuerza de rozamiento f = μN = μ(mgcosθ) = (0.368)(3 kg)(9.81 m/s2)(cos30°) = 9.38 N d) Obteniendo la rapidez de la ecuación v2 = vo

2+2ax _______ _________________ v = √vo

2+2ax = √02+2(1.78 m/s2)(2 m) = 2.67 m/s



55

4.4.3 Movimiento circular y fuerza centrípeta Sea una partícula que gira alrededor de un centro fijo, describiendo una circunferencia. s=rθ longitud de arco o desplazamiento de la partícula alrededor de la circunferencia ϖ=θ/t velocidad angular promedio vt=ωr velocidad tangencial at=αr aceleración angular ac=ω²r=vt²/r aceleración centrípeta Fc=mac=mvt²/r Fuerza centrípeta Las ecuaciones para el movimiento circular uniformemente acelerado son análogas para el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: Lineal Angular v=(vo+v)/2 ϖ=(ωo+ω)/2 v=vo+at ω=ωo+αt x=(vo+v)t/2 ω=(ωo+ω)t/2 x=vot+(1/2)at² θ=ωot+(1/2) αt² v2=vo

2 +2ax ω2=ωo2 +2αθ

También se tiene para el movimiento circular que: 1 rev=2πrad=360° 36. [2a, 4-27] Halle la aceleración de una partícula que se mueve con una rapidez constante

de 8 m/s en una circunferencia de 2 m de radio. Datos: vt=8 m/s; r= 2 m La aceleración centrípeta es: ac= vt²/r=(8 m/s) ²/(2 m)=32 m/s² 37. [2a, 4-28] El joven David quien derribó a Goliath experimentó con su honda antes de

embestir al gigante. Descubrió que con una honda de 0.6 m de longitud, él podría hacerla girar a la razón de 8 rev/s. Si él aumenta la longitud a 0.9 m, entonces la podría hacer girar únicamente 6 veces por segundo. a) ¿Qué razón de rotación da una rapidez lineal más grande? b) ¿Cuál es la aceleración centrípeta en 8 rev/s? c) ¿Cuál es la aceleración centrípeta en 6 rev/s?

a) Convirtiendo la velocidad angular a radianes sobre segundo (8 rev/s)(2π rad/1 rev) = 16π rad/s (6 rev/s)(2π rad/1 rev) = 12π rad/s Ahora obteniendo las velocidades tangenciales para ambos casos vt1 = r1ω = (0.6 m)(16π rad/s) = 30.16 m/s vt2 = r2ω = (0.9 m)(12π rad/s) = 33.93 m/s De lo anterior se ve que para la segunda opción da una rapidez lineal más grande



56

b) Tomando los datos de r= 0.6 m y vt=30.16 m/s, se tiene ac1 = (vt1)2 = (30.16 m/s)2 = 1515.94 m/s2

r1 0.6 m c) Tomando los datos de r= 0.9 m y vt=33.93 m/s, se tiene ac2 = (vt2)2 = (33.93 m/s)2 = 1279.16 m/s2

r2 0.9 m De lo anterior se ve que para la segunda opción da una aceleración centrípeta menor 38. [2a, 4-30] De la información que se encuentra en la cubierta delantera de este libro,

calcule la aceleración radial de un punto del Ecuador sobre la superficie de la Tierra. Como la Tierra realiza una revolución en 24 h, convirtiendo esto a rad/s ω = 1 rev 1 h 2πrad = 7.27x10-5 rad/s 24 h 3600 s 1 rev De la portada del libro se obtiene el radio promedio de la Tierra, por lo tanto ac = (rω)2 = rω2 = (6.37x106 m)(7.27x10-5 rad/s)2 = 3.37x10-2 m/s2

r 39. [2a, 4-31] La órbita de la Luna respecto a la Tierra es aproximadamente circular, con un

radio promedio de 3.84x108 m. A la luna le toma 27.3 días para completar una revolución alrededor de la Tierra. Encuentre: a) La rapidez orbital media de la luna y b) Su aceleración centrípeta.

Datos: r=3.84x108 m; t=27.3 días a) Como la Luna realiza una revolución en 27.3 días, convirtiendo esto a rad/s ω = 1 rev 1 d 2πrad = 2.66x10-6 rad/s 27.3 d 86400 s 1 rev vt = rω = (3.84x108 m)(2.66x10-6 rad/s) = 1021.44 m/s b) ac = (rω)2 = rω2 = (3.84x108 m)(2.66x10-6 rad/s)2 = 2.72x10-3 m/s2

r 40. [2a, 4-33] Una partícula se mueve en una trayectoria circular de 0.4 m de radio con

rapidez constante. Si la partícula hace cinco revoluciones en cada segundo de su movimiento, halle: a) La rapidez de la partícula y b) Su aceleración.

Datos: r=0.4 m; ω=5 rps a) Convirtiendo los rpm a rad/s ω = 5 rev 2πrad = 31.42 rad/s s 1 rev Obteniendo la velocidad tangencial vt = rω = (0.4 m)(31.42 rad/s) = 12.6 m/s b) Obteniendo la aceleración centrípeta at = rω2 = (0.4 m)( 31.42 rad/s)2 = 395 m/s2



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41. [2a, 4-32] En el ciclo de secado de una lavadora, el tubo de radio 0.30 m desarrolla una rapidez de 630 rpm. ¿Cuál es la rapidez lineal máxima con la cual el agua sale de la máquina?

Convirtiendo los rpm a rad/s ω = 630 rev 2πrad = 65.97 rad/s 60 s 1 rev Obteniendo la velocidad tangencial vt = rω = (0.30 m)(65.97 rad/s) = 19.79 m/s 42. [2a, 4-34] Un neumático que tiene 0.5 m de radio gira con una rapidez constante de 200

revoluciones por minuto. Determine la rapidez y la aceleración de una pequeña piedra incrustada en el dibujo de la llanta (en su corte exterior).

Convirtiendo los rpm a rad/s ω = 200 rev 2πrad = 20.94 rad/s 60 s 1 rev Obteniendo la velocidad tangencial y la aceleración centrípeta vt = rω = (0.5 m)(20.94 rad/s) = 10.47 m/s at = rω2 = (0.5 m)(20.94 rad/s)2 = 219.24 m/s2

43. [3, 9-2] El péndulo de un reloj de 0.35 m oscila describiendo un arco de 0.20 m. Encuentre el ángulo en grados y radianes que forma al oscilar.

Datos: r=0.35 m; s=0.20 m; Como s=rθ Despejando θ θ=s/r=(0.20m)/(0.35m)=0.571 rad(360°/2πrad)=32°44’25’’ 44. [3, 9-3] La polea de un motor gira a 840 rpm. a) Encuentre la rapidez de un punto

situado en la polea b) Encuentre la rapidez tangencial de la polea si la distancia desde el centro de la polea a uno de sus extremos es de 15 cm.

Datos: ω=840 rpm; r=15 cm; a) Convirtiendo la velocidad angular a radianes sobre segundo ω=840 rpm=840 rpm/60 s=14 rps(2π rad/1 rev)=87.965 rad/s b) Como vt=ωr=(87.964 rad/s)(0.15 m)=13.195 m/s



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45. [3, 9-5] Una rueda de 0.40 m de radio gira sobre un eje estacionario. Su rapidez aumenta uniformemente desde el reposo hasta 900 rpm en un tiempo de 20 s. a) Encuentre la aceleración angular de la rueda y b) La aceleración tangencial de un punto sobre su borde.

Datos: r=0.4 m; ωo=0 rpm; ωf=900 rpm; t=20 s a) Obteniendo la aceleración angular: α=(ωf-ωo)/2=[(900 rpm/60s)-0 rpm]/20s=0.75 rev/s² (2π rad/1 rev)=4.71 rad/s² b) Obteniendo la aceleración tangencial: at=rα=(0.4 m)(4.712 rad/s²)=1.89 m/s² 46. [3, 9-7] Un vehículo tiene ruedas de 0.29 m de radio, parte del reposo y se acelera

uniformemente hasta una rapidez de 18 m/s, en un tiempo de 12 s. Encuentre la aceleración angular de sus ruedas y el número de vueltas que realizan en ese tiempo.

Datos: r=0.29 m; vo=0; v=18 m/s; t=12 s Como la aceleración tangencial del vehículo es: v=vo+at Despejando la aceleración a=(v-vo)/t=(18 m/s-0)/12 s=1.5 m/s Como la aceleración tangencial es: at=rα Despejando la aceleración angular α=at/r=(1.5 m/s)/0.29 m=5.172 rad/s² De la ecuación: θ=vot+(1/2) αt² Despejando el ángulo θ; y como ωo=0 θ=0+(1/2) αt²=(1/2)(5.172 rad/s²)(12 s) ²=372.384 rad (1 rev/2π rad)=59.267 rev 47. [3, 9-8] La centrifugadora de una lavadora da vueltas a razón de 960 rpm y disminuye

uniformemente a 360 rpm mientras efectúa 75 revoluciones. Encuentre a) La aceleración angular. b) El tiempo requerido para efectuar estas 75 revoluciones.

Datos: ωo=960 rpm; ω=360 rpm; θ=75 rev a) ωo=[(960 rpm)/60 s](2π rad/1 rev)=100.531 rad/s ω=[(360 rpm)/60 s](2π rad/1 rev)=37.699 rad/s θ=75 rev(2π rad/1rev)=471.239 rad Como ω²=ωo² +2αθ Despejando α α=(ω²-ωo²)/2θ=[(37.699 rad/s) ² -(100.531 rad/s) ²]/2(471.239 rad/s)=-9.22 rad/s² b) Como ϖ=(ωo+ω)/2=( 100.531 rad/s+37.699 rad/s)/2=69.115 rad/s y ϖ=θ/t Despejando el tiempo t t=θ/ϖ=471.239 rad/69.115 rad/s=6.82 s



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48. Un niño hace girar una piedra en un circulo horizontal a 6.0 pies (1.8 m) por encima del suelo, valiéndose de una cuerda de 4.0 pies (1.2 m) de largo. La cuerda se rompe y la piedra sale disparada en forma horizontal llegando a una distancia de 30 pies (9.1 m). ¿Cuánto valía la aceleración centrípeta durante su movimiento circular?

Datos: y=6.0 pies (1.8 m); voy=0; r=4.0 pies (1.2 m); x=30 pies (9.1 m) Como y=voyt+(1/2)gt² y voy=0 1.8=(1/2)(9.81 m/s2)t² Despejando el tiempo _________________ t=√2(1.8 m)/(9.81 m/s²) =0.606 s Como la velocidad en x es vx=x/t Sustituyendo x y t en la ecuación anterior vx=(9.1 m)/(0.606 s)=15.017 m/s Como en este caso vx= vt ; y la aceleración centrípeta es ac=vt²/r ac=(15.017m/s)²/(1.2 m)=187.93 m/s² 49. [Bueche,179,3] Una rueda de ruleta que inicialmente giraba a razón de 0.80 rev/s llega

al reposo en 20 s. ¿Cuál es la desaceleración de la rueda? ¿Cuántas revoluciones dio en el proceso? (suponga una desaceleración uniforme).

Datos: ωo=0.80 rps; ω=0; t=20 s De la ecuación ω=ωo+αt Despejando la aceleración angular α=(ω-ωo)/t= (0-0.80 rps)/20 s=-0.04 rev/s² (2π rad/1 rev)=-0.251 rad/s² Como θ=ωot+(1/2) αt²=(0.80 rps)(20 s)+(1/2)(-0.04 rev/s²)(20 s) ²=8 rev 50. [2a, 6-1] Un carro de juguete completa una vuelta alrededor de una pista circular (una

distancia de 200 m) en 25 s. a) ¿Cuál es la rapidez media? b) Si la masa del carro es de 1.5 kg, ¿cuál es la magnitud de la fuerza centrípeta que lo mantiene en el círculo?

a) La velocidad media es: vm = Δx = 200 m = 8 m/s Δt 25 s b) El perímetro de la circunferencia es 200 m, por lo tanto: 200 = 2πr Despejando el radio r = (200)/(2π) = 31.83 m Por lo tanto la fuerza centrípeta es: F = mvm

2 = (1.5 kg)(8 m/s)2 = 3.02 N r 31.83 m



60

51. [2a, 6-3] ¿Qué fuerza centrípeta se requiere para mantener a una masa de 1.5 kg que se mueve en un círculo de radio 0.4 m a una rapidez de 4 m/s?

La fuerza centrípeta es: F = mv2 = (1.5 kg)(4 m/s)2 = 60 N r 0.4 m 52. [2a, 6-5] Una masa de 3 kg atada a una cuerda ligera gira en un movimiento circular

sobre una mesa horizontal sin fricción. El radio del círculo es de 0.8 m y la cuerda puede soportar una masa de 25 kg antes de romperse. ¿Que rango de velocidades puede tener la masa antes de que se rompa la cuerda?

Obteniendo la Fuerza máxima que puede soportar la cuerda Fmax = mg = (25 kg)(9.81 m/s2) = 245.25 N Igualando con la fuerza centrípeta Fmax = mv2 r Despejando la velocidad tangencial ___________ _____________________ v = √(Fmax)(r)/m = √(245.25 N)(0.8 m)/(3 kg) = 8.09 m/s Por la tanto el rango de velocidades es mayor que cero y menor que 8.09 m/s, es decir 0 < v < 8.09 m/s



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62

Unidad V TRABAJO Y ENERGIA 5.1 Concepto de trabajo El trabajo es una magnitud escalar, que se define como el producto de la fuerza que actúa sobre el cuerpo por su desplazamiento. La unidad SI del trabajo es el joule (J), que se define por la relación Joule = (newton)(metro). 5.1.1 Trabajo realizado por una fuerza constante El trabajo realizado por una fuerza constante se define como el producto de la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento y la magnitud del desplazamiento, es decir: W = F•s = Fcosθs 1. [2a, 7-1] Si un hombre levanta un cubo de agua de 20 kg de un pozo y hace un trabajo

de 6 kJ, ¿cuán tan profundo está el pozo? Suponga que a medida que el cubo se levanta su rapidez permanece constante

Como W = Fd= mgh Despejando la profundidad h h = W/mg = (6x103 J)/[(20 kg)(9.81 m/s2)] = 30.6 m 2. [2a, 7-3] Un remolcador ejerce una fuerza constante de 5000 N sobre un barco que se

mueve con rapidez constante en un puerto. ¿Cuánto trabajo realiza el remolcador al recorrer el barco una distancia de 3 km?

Como W = Fd = (5000 N)(3000 m) = 15x106 J = 15 MJ 3. [2a, 7-5] Un porrista levanta a su compañera de 50 kg en línea recta hacia arriba desde

el piso a una altura de 0.6 m antes de soltarla. Si él hace esto 20 veces, ¿cuánto trabajo ha realizado sobre ella?

El trabajo realizado en las 20 veces será W = 20Fd = 20mgh = (20)(50 kg)(9.81 m/s2)(0.6) = 5886 J 4. [2a, 7-8] Un bloque de 15 kg es arrastrado sobre una superficie horizontal y áspera por

una fuerza constante de 70 N que actúa formando un ángulo de 25° con la horizontal. El bloque se desplaza 5 m y el coeficiente de rozamiento cinético es de 0.3. Calcule el trabajo realizado por a) la fuerza de 70 N, b) la fuerza de rozamiento, c) la fuerza normal y d) la fuerza de gravedad. e) ¿Cuál es el trabajo neto realizado sobre el bloque?

15 kg 25°

70 newtons f

N

mg



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a) WF = F•s = (70cos25°)(5 m) = 317.21 J b) Wf =-f•s=-μ(mg-70sen25°)(5m)=-0.3[(15kg)(9.81m/s2)-70sen25°](5m) = -176.35 J c) WN = 0 J d) Wg = 0 J e) Wneto= WF + Wf = 317.21 newtons – 176.35 newtons = 140.86 J 5.1.2 Trabajo realizado por una fuerza variable El trabajo hecho por una fuerza Fx variable se define como el área bajo la curva al desplazar un cuerpo de xi hasta xf, es decir: W =⌠xf Fx dx ⌡xi Si actúa más de una fuerza sobre el objeto el trabajo total es igual al trabajo hecho por la fuerza resultante, cuando el objeto se mueve de xi hasta xf. W =⌠xf (∑Fx)dx ⌡xi 5. [2a, 7-24] La fuerza que actúa sobre una partícula varía como en la figura. Encuentre

el trabajo efectuado por la fuerza cuando la partícula se mueve: a) desde x=0 hasta x=8 m, b) desde x=8 m hasta x=10 m, y c) desde x=0 hasta x=10 m.

Como W =⌠xf Fx dx ⌡xi

a) El trabajo que realiza la fuerza es igual al área bajo la curva desde x=0 a x=8 m

W1 = (8)(6)/2 = 24 J b) El trabajo que realiza la fuerza es igual al área bajo la curva desde x=8 a x=10 m W2 = (2)(-3)/2 = -3 J c) El trabajo que realiza la fuerza es igual al área bajo la curva desde x=0 a x=10 m W3 = 24 J+(-3 J) = 21 J

-4

-2

0

2

4

6

8

-2 0 2 4 6 8 10 12 14

x(m)

Fx(N

)



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5.2 Concepto de energía La energía potencial de un cuerpo es una magnitud cuya variación, al pasar el cuerpo de un estado inicial a otro final, es igual al trabajo realizado por la fuerza que actúa sobre el cuerpo. En este sentido se puede hablar de energía potencial gravitacional, energía potencial eléctrica, energía potencial elástica, etc. 5.2.1 Definición de la energía cinética La energía cinética es un escalar y tiene las mismas unidades que el trabajo. La energía cinética de un cuerpo de masa m moviéndose con velocidad v, se define como: K = (1/2)mv1

2

5.2.2 Teorema del trabajo de la energía cinética, aplicaciones Este teorema se estableció para el caso en que la fuerza es constante, pero también es válido cuando la fuerza es variable. Este teorema establece que el trabajo realizado por la fuerza constante F al desplazar una partícula es igual al cambio en la energía cinética de la partícula, es decir: W = Kf – Ki = ΔK 6. [2a, 7-33] Una pelota de 0.3 kg tiene una rapidez de 15 m/s. a) ¿Cuál es su energía

cinética? b) Si su rapidez se duplica, ¿cuál es su energía cinética? a) K1 = (1/2)mv1

2 = (1/2)(0.3 kg)(15 m/s)2 = 33.8 J b) K2= (1/2)mv2

2 = (1/2)(0.3 kg)(30 m/s)2 = 135 J 7. [2a, 7-34] Calcule la energía cinética de un satélite de 1000 kg que está orbitando

alrededor de la Tierra a una rapidez de 7x10³ m/s. Datos: m=1000 kg; v=7x10³ m/s La energía cinética es K=(1/2)mv2=(1/2)(1000 kg)(7x10³ m/s)2=2.45 x1010 J 8. [2a, 7-35] Un mecánico empuja un automóvil de 2500 kg a partir del reposo hasta

alcanzar una rapidez v haciendo un trabajo de 5000 J en el proceso. Durante este tiempo, el auto se desplaza 25 m. Despreciando la fricción entre el auto y el piso, a) ¿cuál es la rapidez final, v, del automóvil? b) ¿Cuál es la fuerza horizontal ejercida sobre el automóvil?

a) W = ΔK = (1/2)mvf

2-(1/2)mvi2 = (1/2)(2500 kg)vf

2-0 Despejando la velocidad final del automóvil ______ _________________ vf

= √(2W)/m = √(2)(5000 J)/(2500 kg) = 2 m/s b) Como W = Fd, despejando la fuerza horizontal F = W/d = (5000 J)/(25 m) = 200 N



65

9. [2a, 7-37] Una caja de 40 kg que se encuentra inicialmente en reposo se empuja una distancia de 5 m a lo largo de un piso horizontal y áspero con una fuerza constante aplicada de 130 N. Si el coeficiente de rozamiento entre la caja y el piso es de 0.3, encuentre: a) el trabajo efectuado por la fuerza aplicada, b) el trabajo efectuado por la fricción, c) el cambio en la energía cinética de la caja y d) la rapidez final de la caja.

a) WF = Fd = (130 N)(5 m) = 650 J b) Wf = fd = -μmgd = -(0.3)(40 kg)(9.81 m/s2)(5 m) = -588.6 J c) Wneto = WF +Wf = ΔK = 650 N+(-588.6 N) = 61.4 J d) Como (1/2)mvf

2-(1/2)mvi2 = 61.4 J, y la velocidad inicial es cero

Despejando la velocidad final de la caja _________ ________________ vf

= √(2Wneto)/m = √(2)(61.4 J)/(40 kg) = 1.75 m/s 10. [2a, 7-41] Se levanta una masa de 6 kg verticalmente una distancia de 5 m por una

cuerda ligera con una tensión de 80 N. Encuentre: a) el trabajo efectuado por la fuerza de tensión, b) el trabajo efectuado por la gravedad y c) la rapidez final de la masa, si ésta parte del reposo.

a) WT = Td = (80 N)(5 m) = 400 J b) Wg = -mgd = -(6 kg)(9.81 m/s2)(5 m) = -294.3 J c) Como Wneto = WT +Wg = ΔK = 400 J+(-294.3 J) = 105.7 J Como (1/2)mvf

2-(1/2)mvi2 = 105.7 J, y la velocidad inicial es cero

Despejando la velocidad final _________ _______________ vf

= √(2Wneto)/m = √(2)(105.7 J)/(6 kg) = 5.94 m/s 11. [2a, 7-43] Una máquina de Atwood consta de una polea ligera fija con una cuerda

ligera inextensible sobre ella ver figura. Los extremos de la cuerda sostienen masas de 0.2 kg y 0.3 kg. Las masas se mantienen en reposo, una al lado de la otra, y entonces se liberan. Despreciando cualquier fricción, ¿cuál es la rapidez de cada masa en el instante en el que ambas se han desplazado 0.4 m? La fuerza neta del sistema es: Fneta=(m2-m1)g El trabajo desarrollado por la fuerza neta se iguala al cambio en energía cinética (m2-m1)gh=ΔK= (K1f+K2f)-(K1i+K2i) Desarrollando (m2-m1)gh=(1/2)m1vf

2+(1/2)m2vf2

Despejando la velocidad __________ ____________________________

vf = / 2(m2-m1)gh = / 2(0.3 kg-0.2 kg)(9.81 m/s2)(0.4 m) = 1.25 m/s √ m1+m2 √ 0.2 kg+0.3 kg



66

12. [2a, 8-7] Una sola fuerza conservativa Fx=(2x+4) N actúa sobre una partícula de 5 kg, en donde x está en m. A medida que una partícula se mueve a lo largo del eje x, desde x=1 m hasta x=5 m, calcule: el trabajo efectuado por esta fuerza; b) el cambio en la energía potencial de la partícula y c) su energía cinética en x=5 m si su rapidez en x=1 m es 3 m/s. 13. [2a, 8-9] Una sola fuerza constante F=(3i+5j) N actúa sobre una partícula de 4 kg. a)

Calcule el trabajo efectuado por esta fuerza si la partícula se mueve desde el origen hasta un punto cuyo vector de posición es r=(2i-3j) m. ¿Este resultado depende de la trayectoria? Explique. b) ¿Cuál es la rapidez de la partícula en r si su rapidez en el origen es 4 m/s. c) ¿Cuál es el cambio en la energía potencial de la partícula?

14. [2a, 8-11] Una cuenta se desliza sin fricción sobre un rizo ver fig. Si se libera la cuenta

desde una altura h=3.5R, ¿cuál es la rapidez en el punto A? ¿Cuán grande es la fuerza normal sobre ella si su masa es de 5.0 g?

Por la Ley de la Conservación de la Energía (1/2)mvo

2+mg(3.5R) = (1/2)mvA2+mg(2R)

Cancelando la masa, y como (1/2)mvo

2=0 3.5gR = (1/2)vA

2+2gR Despejando vA en función de g y R ___ vA = √3gR Las únicas fuerzas que actúan sobre la cuenta son la fuerza centrípeta, mg y la fuerza normal, por lo que: -mg – N = -Fc Despejando la fuerza Normal N = Fc-mg Como en el punto A la fuerza centrípeta es Fc = (mvA

2)/R, y sustituyendo vA N = (mvA

2) -mg = 3mgR – mg = 2mg = (2)(5x10-3 kg)(9.81 m/s2) = 0.098 N hacia abajo R R

rx

A

B C

R

h



67

15. [2a, 8-41] Un cono circular recto se puede equilibrar sobre una superficie horizontal de tres maneras distintas. Trace un esquema de estas tres configuraciones de equilibrio e identifique las posiciones de equilibrio estable, inestable o neutro. 16. [2a, 8-43] Una partícula de masa m = 5 kg se libera desde el punto A sobre un carril

sin fricción que se ve en la figura. Determine: a) la rapidez de la masa m en los puntos B y C, y b) el trabajo neto realizado por la fuerza de gravedad al moverse la partícula desde A a C.

Fuerzas conservativas y no conservativas Fuerza conservativa: si el trabajo efectuado por esta fuerza sobre una partícula que se mueve entre dos puntos es independiente de la trayectoria que toma la partícula. El trabajo total efectuado por una fuerza conservativa sobre una partícula es cero cuando la partícula se mueve alrededor de cualquier trayectoria cerrada y regresa a su posición original. Ejemplos de fuerzas conservativas: la fuerza de la gravedad, fuerza de restitución de un resorte. Fuerza no conservativa: si el trabajo efectuado por dicha fuerza aplicada sobre una partícula que se mueve entre dos puntos depende de la trayectoria seguida. A este tipo de fuerzas se les llama comúnmente fuerzas disipativas. Ejemplo de fuerza no conservativa: la fuerza de rozamiento. El trabajo efectuado por todas las fuerzas no conservativas es igual al cambio en la energía cinética más el cambio en la energía potencial. Wnc = ΔK + ΔU El teorema del trabajo y la energía también es válido cuando la fuerza varía en dirección y magnitud durante el movimiento de la partícula a lo largo de una trayectoria curva arbitraria en tres dimensiones. En este caso el trabajo se expresa como: W= ⌠F•ds ⌡c 17. [2a, 8-1] Una partícula de 4 kg se mueve desde el origen hasta la posición que tiene coordenadas x=5 m, y=5 m con la influencia de la gravedad, la cual actúa en la dirección y negativa (ver figura). Utilizando la ecuación 7.21, calcule el trabajo realizado por la gravedad al ir de O a C a lo largo de las siguientes trayectorias: a) OAC, b) OBC, c) OC. Los resultados deben ser idénticos, ¿Por qué?

y

x

(5, 5)

A

B C

O



68

a) La trayectoria es OAC, es decir a lo largo de x = 5; y = 0 ⌠F•ds = ⌠-mgj•(dxi+dyj+dzk) = -⌠5 mgdy = -mgy 5 -(4)(9.81)(5) = -196.2 J ⌡c ⌡c ⌡0

0

b) La trayectoria es OBC, es decir a lo largo de x = 0; y = 5 ⌠F•ds = ⌠-mgj•(dxi+dyj+dzk) = -⌠5 mgdy = -mgy 5 -(4)(9.81)(5) = -196.2 J ⌡c ⌡c ⌡0

0

c) La trayectoria es OC, es decir a lo largo de y = x ⌠F•ds = ⌠-mgj•(dxi+dyj+dzk) = -⌠5 mgdy = -mgy 5 -(4)(9.81)(5) = -196.2 J ⌡c ⌡c ⌡0

0

La fuerza es conservativa 18. [2a, 8-3] Una partícula se mueve en el plano xy de la fig. anterior. Con la influencia

de una fuerza de rozamiento que se opone a su desplazamiento. Si la fuerza de rozamiento tiene una magnitud de 3 N, calcule el trabajo total realizado por la fricción a lo largo de las siguientes trayectorias cerradas: a) la trayectoria OA, seguida por la trayectoria de regreso AO, b) la trayectoria OA, seguida por AC y la trayectoria de regreso CO, y c) la trayectoria OC, seguida por la trayectoria de regreso CO. d) Sus resultados para las tres trayectorias cerradas deben ser todos diferentes entre sí y diferentes de cero. ¿Cuál es el significado de esto?

a) La trayectoria es OA seguida de AO W = ⎜F⎢•⎜s⎢cosθ; θ = 0 = -(3 N)(5 m) – (5 m)(3 N) = -30.0 J b) La trayectoria es OA seguida por AC y la trayectoria de regreso CO W = ⎜F⎢•⎜s⎢cosθ; θ = 0 = -(3 N)(5 m) – (3 N)(5 m) – (3 N)(7.07 m) = -51.2 J c) La trayectoria es OC seguida por la trayectoria de regreso CO W = ⎜F⎢•⎜s⎢cosθ; θ = 0 = -(3 N)(7.07 m) – (3 N)(7.07 m) = -42.4 J d) La fricción es una fuerza no conservativa. 19. [2a, 8-5] Una fuerza que actúa sobre una partícula que se mueve sobre el plano xy está dada por F=(2yi+x²j) N en donde x,y están en m. La partícula se mueve desde el origen hasta una posición final de coordenadas x=5 m, y=5 m, como en la anterior figura. Calcule



69

el trabajo efectuado por F a lo largo de a) OAC, b) OBC, c) OC, d) ¿F es conservativa o no conservativa? Explique. a) La trayectoria es OAC, es decir a lo largo de x = 5; y = 0 5

⌠F•ds = ⌠(2yi+x2j)•(dxi+dyj+dzk) =⌠2(0)dx+(5)2dy = ⌠5 25dy = 25y 0 = 125.0 J ⌡c ⌡c ⌡c ⌡0 b) La trayectoria es OBC, es decir a lo largo de x = 0; y = 5 5

⌠F•ds = ⌠(2yi+x2j)•(dxi+dyj+dzk) =⌠2(5)dx+(0)2dy = ⌠5 10dy = 10y 0 = 50.0 J ⌡c ⌡c ⌡c ⌡0 c) La trayectoria es OC, es decir a lo largo de y = x ⌠F•ds = ⌠(2yi+x2j)•(dxi+dyj+dzk) =⌠2ydx+x2dy ⌡c ⌡c ⌡c Haciendo la parametrización x = t, dx = dt; y = t, dy =dt ⌠(2t + t2)dt = t2 + t3 5 = 52+(125/3) = 66.7 J ⌡c

3

0

d) La fuerza es no conservativa, ya que el trabajo depende de la trayectoria

Energía potencial gravitacional El término energía potencial gravitacional implica que un objeto tiene el potencial o la capacidad de ganar energía cinética cuando se libera de algún punto con la influencia de la gravedad, la energía potencial gravitacional de un objeto es: Ug = mgh 20. [2a, 8-13] Se lanza un cohete a un ángulo de 53° respecto de la horizontal desde una altitud h con una rapidez vo. a) Utilice los métodos de la energía para hallar la rapidez del cohete cuando su altitud es de h/2. b) Encuentre las componentes x,y de la velocidad cuando la altitud del cohete es h/2, usando el hecho de que vx = vxo=constante (dado que ax=0) y los resultados obtenidos en el inciso a.

a) Por la Ley de Conservación de la Energía (1/2)mvo

2+mgh = (1/2)mvf2+mg(h/2) =

Cancelando la masa, y despejando a vf en función de g, h, y vo

______ vf = √gh+vo

2

b) Como vox=vfx, por lo que puede ser obtenida a partir de la velocidad inicial vo



70

vx = vocos53° = 0.6 vo

Como voy≠vfy, por lo que debe ser obtenida a partir de vf vf

2 = vx2+vfy2

Despejando vfy

_________ vfy = -√0.64vo

2+gh 21. [2a, 8-15] Se lanza una pelota de 0.5 kg hacia arriba con una rapidez inicial de 16 m/s.

Suponiendo que su energía potencial inicial es cero, determine su energía cinética, su energía potencial y la energía mecánica total a) en su posición inicial, b) cuando su altura es 5 m y c) cuando alcanza la posición más alta de su vuelo. d) Determine su altura máxima utilizando la ley de la conservación de la energía.

a) Ki = (1/2)mvi2 = (1/2)(0.5 kg)(16 m/s)2 = 64 J

Ui = 0 J E = Ki + Ui = 64 J+0 J= 64 J b) Como Ki + Ui = Kf + Uf Despejando Kf Kf = Ki+Ui-mgh = 64 J + 0 J-(0.5 kg)(9,81 m/s2)(5m) = 39.5 J Uf = mgh = (0.5 kg)(9,81 m/s2)(5m) = 24.5 J E = Kf + Uf = 39.48 J+24.53 J = 64 J c) Kf = 0 J Como Ki + Ui = Kf + Uf Despejando Uf Uf = Ki+Ui- Kf = 64 J + 0 J – 0 J = 64 J E = Kf + Uf = 0 J+64 J = 64 J d) Como Uf = Ki+Ui-Kf = mghmax = 64 J Despejando hmax hmax = (64 J)/(mg) = (64 J)/[(0.5 kg)(9,81 m/s2)] = 13.05 m 22. [2a, 8-17] Se conectan dos masas por una cuerda ligera que pasa sobre una polea

ligera, sin fricción, como se muestra en la figura. La masa de 5 kg se libera desde el reposo. Utilizando la ley de la conservación de la energía, a) determine la velocidad de la masa de 3 kg justo cuando la masa de 5 kg choca con el piso. b) Encuentre la altura máxima a la cual se elevará la masa de 3 kg.

4 m

5 kg



71

a) La fuerza neta del sistema es: Fneta=(m2-m1)g El trabajo desarrollado por la fuerza neta se iguala al cambio en energía cinética (m2-m1)gh=ΔK= (K1f+K2f)-(K1i+K2i) Desarrollando (m2-m1)gh=(1/2)m1vf

2+(1/2)m2vf2

Despejando la velocidad __________ ________________________

vf = / 2(m2-m1)gh = / 2(5 kg-3 kg)(9.81 m/s2)(4 m) = 4.43 m/s √ m1+m2 √ 5 kg+3 kg

b) Al chocar la masa de 5 kg, la masa de 3 kg ha recorrido 4 m, y continua moviéndose hacia arriba hasta que la velocidad final sea cero, por lo que: Ki + Ui = Kf + Uf Despejando Uf Uf = Ki+Ui-Kf = (1/2)(3 kg)(4.43m/s)2+(3 kg)(9,81 m/s2)(4 m) – 0 J = 147.16 J Como Uf = mghmax, despejando hmax hmax = (147.16 J)/(mg) = (147.16 J)/[(3 kg)(9,81 m/s2)] = 5 m Energía potencial de un resorte La energía potencial elástica almacenada en un resorte es: Us = (1/2)kx2

Donde: k = constante del resorte sus unidades son N/m x = distancia que se comprime o se estira el resorte El teorema del trabajo y la energía aplicado para un resorte es: Ws = Uf – Ui = ΔU 23. [2a, 8-28] Un resorte tiene una constante de fuerza de 500 N/m. ¿Cuál es la energía potencial elástica almacenada en el resorte cuando: a) está estirado 4 cm a partir de su posición de equilibrio, b) está comprimido 3 cm a partir de esa posición de equilibrio y c) no está deformado? Datos: k = 500 N/m Como la energía potencial elástica almacenada en un resorte es Us = (1/2)kx2

a) Us = (1/2)kx2 = (1/2)(500 N/m)(0.04 m)2 = 0.400 J b) Us = (1/2)kx2 = (1/2)(500 N/m)(0.03 m)2 = 0.225 J

c) Us = (1/2)kx2 = (1/2)(500 N/m)(0 m)2 = 0 J

3 kg



72

24. [2a, 8-31] Un bloque de 8 kg se mueve sobre una superficie horizontal y áspera y choca contra un resorte como se indica en la fig. La rapidez del bloque justo antes de la colisión es de 4 m/s. Cuando el bloque rebota hacia la izquierda con el resorte no comprimido, su rapidez al liberarlo es de 3 m/s. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie es de 0.4, determine: a) el trabajo realizado por la fricción mientras el bloque se encuentra en contacto con el resorte y b) la distancia máxima que se comprime éste. a) W = (1/2)mvf

2 - (1/2)mvi2 = (1/2)(8 kg)[(3 m/s)2 - (4 m/s)2] = -28 J

b) Como el trabajo realizado por la fuerza de fricción de ida y vuelta es: -28 J = -μmg(2x) Despejando x x = 28 J = 28 J = 0.446 m 2μmg (2)(0.4)(8 kg)(9,81 m/s2) 25. [2a, 8-33] Se coloca un bloque de masa 0.25 kg sobre un resorte vertical de constante

k=500 N/m y se empuja hacia abajo, comprimiendo el resorte una distancia de 0.1 m. Cuando el bloque se suelta deja el resorte y continúa su camino hacia arriba. ¿A que altura máxima por encima del punto de liberación llega el bloque?

Igualando la energía potencial del resorte con la energía potencial gravitacional. Us– Ug = (1/2)kx2 – mgh Despejando h h = (1/2)kx2 = (1/2)(500 N/m)(0.1 m)2 = 1.02 m mg (0.25 kg)(9.81 m/s2) 26. [2a, 8-35] Un bloque de 10 kg se suelta desde el punto A sobre un carril ABCD como

se ve en la fig. El carril no presenta fricción en ninguna parte excepto en la parte BC, de longitud 6 m. El bloque viaja hacia abajo del carril hasta chocar con un resorte cuya constante de fuerza es k=2250 N/m y lo comprime una distancia de 0.3 m desde su

E = (1 /2 )m v 2

x = 0v i



73

posición de equilibrio antes de llegar al reposo momentáneamente. Determine el coeficiente de fricción cinético entre la parte del carril BC y el bloque.

Haciendo un balance de energía Energía potencial en A – Perdida de energía en BC = Energía pot. almacenada en el resorte mgh – μmgd = (1/2)kx2

Despejando el coeficiente de fricción μ μ = mgh – (1/2)kx2 = (10 kg)(9.81 m/s2)(3 m) – (1/2)(2250 N/m)(0.3 m)2 = 0.328 mgd (10 kg)(9.81 m/s2)(6 m) 27. [2a, 8-19] Un bloque de 5 kg se pone en movimiento sobre un plano inclinado como en la fig. Con una rapidez inicial de 8 m/s. El bloque alcanza el reposo después de recorrer 3 m a lo largo del plano como se muestra en el diagrama. El plano está inclinado a un ángulo de 30° respecto a la horizontal. a) Determine el cambio en la energía cinética. b) Determine el cambio en la energía potencial. c) Determine la fuerza de rozamiento sobre el bloque (suponiendo que es constante). d) ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento cinético?

3 m

30°

vo = 8 m/s



74

a) Como al final del plano no tiene energía cinética, la perdida de energía cinética es: ΔK = Kf – Ki = (1/2)mvf

2 – (1/2)mvi2 = 0 – (1 /2)(5 kg)(8 m/s)2 = -160 J

b) Como al inicio del plano no tiene energía potencial gravitacional, el cambio en la energía potencial gravitacional es: ΔU = Uf – Ui = mghf – mghi = (5 kg)(9.81 m/s2)(3sen30°) – 0 = 73.575 J c) Haciendo un balance de energía Energía cinética inicial = Energía pot. gravitacional final + Perdida energía por fricción (1/2)mv2 = mgh + fd Despejando la fuerza de fricción f f = (1/2)mv2 – mgh = (1/2)(5 kg)(8 m/s)2 – (5 kg)(9.81 m/s2)(3sen30°) = 28.81 N d 3 m d) Como f = μN = μmgcosθ despejando el coeficiente de fricción μ μ = f = 28.81 newtons = 0.678 N (5 kg)(9.81 m/s2)cos30° 28. [2a, 8-21] Un niño parte del reposo desde arriba de una resbaladilla cuya altura es h=4

m ver fig. a) ¿Cuál es su rapidez al llegar abajo del plano si éste no tiene fricción? b) Si llega hasta abajo con una rapidez de 6 m/s, ¿qué porcentaje de su energía total se pierde como resultado de la fricción?

a) Si la resbaladilla no presenta fricción, la rapidez del niño en la parte inferior depende únicamente de la altura de la resbaladilla, independientemente de la forma de ésta. Por la Ley de Conservación de la Energía Mecánica Ki+Ui = Kf+Uf Como la energía cinética inicial y la energía potencia final son cero Ui = Kf Es decir: mghi = (1/2)mvf

2

Cancelando la masa y despejando la velocidad al llegar al final de la resbaladilla ___ _________________ vf = √2ghi = √ (2)(9.81 m/s2)(4 m) = 8.86 m/s b) Como el cálculo es independiente de la masa, se puede hacer m=1 kg

4 m



75

mghi = (1 kg)(9.81)(4 m) = 39.24 J (1/2)mvf

2 = (1/2)(1 kg)(6 m/s)2 = 18 J La diferencia es la perdida en Energía debido a la fricción Us = 39.24 J–18 J = 21.24 J Obteniendo el porcentaje debido a la perdida (21.24 J)(100) = 54.1 % de pérdida 39.24 J 29. [2a, 8-23] Un niño de 25 kg sentado en un columpio de 2 m de longitud se libera a partir del reposo cuando los cables del columpio forman un ángulo de 30° con la vertical. a) Despreciando la fricción. Obtenga la velocidad del niño en la posición más baja. b) Si la rapidez del niño en la posición más baja es de 2 m/s, ¿cuál es la pérdida de energía debida a la fricción?

a) Por la Ley de Conservación de la Energía Mecánica Ki+Ui = Kf+Uf Como la energía cinética inicial y la energía potencia final son cero Ui = Kf Es decir: mghi = (1/2)mvf

2

Cancelando la masa y despejando la velocidad al llegar al final de la resbaladilla ___ _____________________ vf = √2ghi = √ (2)(9.81 m/s2)(2 – 2cos30) = 2.29 m/s b) Haciendo un balance de energía Energía potencial inicial = Energía cinética Final + Perdida energía por fricción mgh = (1/2)mvf

2 + Perdida de energía Es decir: Perdida de energía = mgh – (1/2)mvf

2

= (25 kg)[(9.81 m/s2)(2 – 2cos30) – (1/2)22] = 15.7 J 30. [2a, 8-24] En la fig. Se muestra a una fuerza Fx como función de la distancia que actúa

sobre una masa de 5 kg. Si la partícula parte del reposo en x=0 m, determine la rapidez de la partícula en x=2, 4 y 6 m.

31. [2a, 8-25] El coeficiente de fricción entre el objeto de 3.0 kg y la superficie que se ven

en la fig. es 0.40. Las masas originalmente están en reposo. ¿Cuál es la rapidez de la masa de 5.0 kg cuando ha caído una distancia vertical de 1.5 m?

5 kg

3 kg



76

Haciendo un balance de energía para las masas m1 y m2 K1i + K2i + U1i + U2i = K1f + K2f + U1f + U2f Energía al inicio = tomando como punto de referencia el iniciopunto más bajo: m2gd = μm1gd +(1/2)m2vf

2 +(1/2)m1vf2

Energia pot. grav. de m2 = 32. [2a, 8-27] Se sujeta una masa de 2.5 kg a un resorte ligero con k=65 N/m. Se estira el

resorte y se deja oscilando libremente sobre una superficie horizontal sin fricción. Cuando el resorte se estira 10 cm, la energía cinética de la masa atada y la energía potencial elástica son iguales. ¿Cuál es la rapidez máxima de la masa?

Como en x = 0.1 m la energía cinética de la masa y la energía potencial son iguales (1/2)kx2 = (1/2)mvf1

2

Despejando la velocidad ______________ ______________________________________________________

vf12 = √(kx2)/m = √[(65 N/m)(0.1 m)2]/(2.5 kg) = 0.51 m/s

Como vf12 = vo

2 + 2ax, despejando la aceleración a = vf1

2 = (0.51 m/s)2 = 1.3 m/s2 2x 2(0.1 m) En x = 0 la masa alcanza su velocidad máxima y recorre una distancia x = 2(0.1 m) De la ecuación vf2

2 = vo2 + 2ax

Por lo tanto: ________ _________________________________________

vf2 = √2ax = √2(1.3 m/s2)(2)(0.1 m) = 0.721 m/s 33. [2a, 8-37] La energía potencial de un sistema constituido por dos partículas que se encuentran separadas una distancia r es U(r) = A/r, en donde A es una constante, Determine la fuerza radial Fr. 34. [2a, 8-39] Una función de energía potencial para una fuerza bidimensional es de la

forma U=3x³y-7x. Encuentre La fuerza que actúa en el punto (x,y). 5.3 Definición de potencia y aplicaciones 35. [2a, 7-53] Un marino de 700 N en entrenamiento básico trepa 10 m por una cuerda vertical a una rapidez uniforme en 8 s. ¿Cuál es su potencia útil? P = (W/t) = (700 N)(10 m)/(8s) = 875 W



77

36. [2a, 7-54] El agua fluye sobre una sección de las Cataratas del Niágara a una razón de 1.2x106 kg/s y cae 50 m . ¿Cuántas bombillas de 60 W se pueden encender con esta potencia? Datos: cantidad de agua por segundo=1.2x106 kg/s; h=50 m; Como la potencia=W/t P = mgh = (1.2x106 kg)(9.81 m/s²)(50 m) = 5886x105 W t 1 s Dividiendo la potencia entre 60 W para encontrar el número de bombillas 588600000 W = 981 x104 bombillas 60 W 37. [2a, 7-55] Un levantador de pesas levanta 250 kg a una altura de 2 m en 1.5 s ¿Cuál es su potencia útil? Datos: m = 250 kg; h = 2 m; t = 1.5 s P = W = mgh = (250 kg)(9.81 m/s2)(2 m) = 3.27 kW t t 1.5 s 38. [2a, 7-57] Un automóvil de 1500 kg se acelera uniformemente desde el reposo hasta

una rapidez de 10 m/s en 3 s. Calcule a) el trabajo realizado sobre el automóvil en este tiempo, b) la potencia promedio entregada por el motor en los primeros 3 s y c) la potencia instantánea entregada por el motor en t=2 s.

a) El trabajo realizado se calcula por la diferencia en energías cinéticas W=Kf – Ki = (1/2)mvf

2 -(1/2)mvi2 = (1/2)(1500 kg)(10 m/s)2 = 7.5x104 J

b) La potencia promedio es el trabajo entre el tiempo transcurrido. P = W = 7.5x104 J = 2.5x104 W t 3 s c) La potencia instantánea se define como la razón temporal del trabajo efectuado P = dW = F•v dt De la ecuación vf = vo + at, se despeja la aceleración a = vf - vo = (10 m/s) – (0 m/s) = 3.333 m/s2

t 3 s Por lo que F = ma = (1500 kg)(3.333 m/s2) = 4999.5 N Ahora calculando la velocidad en t = 2 s, de la ecuación v = vo + at v = vo + at = (0 m/s) + (3.333 m/s2)(2 s) = 6.666 m/s Calculando la potencia instantánea P = dW = F•v = (4999.5 N)(6.666 m/s) = 3.33x104 W dt



78

39. [2a, 7-59] Un bote de carreras requiere 130 hp para moverse con una rapidez constante de 15 m/s (33 mi/h). Calcule la fuerza resistiva debida al agua a esa rapidez.

Convirtiendo hp a W 130 hp 7.458x102 W = 9.694x104 W 1 hp Como P = F•v, despejando la fuerza F = (P/v) = (9.694x104 W)/(15 m/s) = 6.47x103 N 40. [2a, 7-61] Un atleta de 65 kg recorre una distancia de 600 m hacia arriba de una

montaña cuya inclinación es de 20° con la horizontal. El atleta realiza esta hazaña en 80 s. Suponiendo que la resistencia del aire es despreciable, a) ¿cuánto trabajo realiza? y b) ¿cuál es su salida de potencia durante la carrera?

W = mgdsenθ = (65 kg)(9.81 m/s2)(600 m)(sen20°) = 1.31x105 J P = (W/t) = (1.31 x105 J)/(80 s) = 1.63 kW

Unidad VI Momentum 6.1 Concepto de momento lineal e impulso 1. [2a, 9-1] Una partícula de 3 kg tiene una velocidad de (3i-4j) m/s. Encuentre sus

componentes x,y del momento y la magnitud del momento total.



79

Datos: m = 3 kg; v = (3i-4j) m/s Obteniendo el momento lineal P = mv = (3 kg)(3i-4j)m/s = (9i-12j) kg m/s

Obteniendo la magnitud del momento lineal _________ ⎢P⎪ = √92 + (-12)2 = 15 kg m/s 2. [2a, 9-2] El momento de un coche de 1200 kg es igual al momento de un camión de

5000 kg que viaja con una velocidad de 10 m/s. ¿Cuál es la velocidad del coche? Datos: m1 = 1200 kg; m2 = 5000 kg; v2 = 10 m/s; Como el momento lineal del coche es igual momento lineal del camión m1v1 = m2v2 Despejando v1 v1 = m2v2 = (5000 kg)(10 m/s) = 41.7 m/s m1 1200 kg 3. [2a, 9-3] Un automóvil de 1500 kg viaja hacia el este con una rapidez de 8 m/s. Hace

una vuelta de 90° hacia el norte en un tiempo de 3 s y continúa con la misma rapidez. Encuentre: a) el impulso aplicado al auto como resultado de la vuelta y b) la fuerza promedio ejercida sobre el auto durante la vuelta.

Datos: m1 = 1500 kg; v1 = 8 m/s; v2 = 10 m/s; a) Obteniendo el impulso _______________ ____________________________________ I = ⎢P2-P1⎪= ΔP = √(m2v2)2+(-m1v1)2 = √[(1500 kg)(8 m/s)]2+[(1500 kg)(-8 m/s)]2 = 1.7x104 kg m/s al noroeste b) Obteniendo la fuerza promedio Fp = ΔP = 1.7x104 kg m/s = 5.66x103 N Δt 3 s Obteniendo el ángulo θ = 90°+arctan m2v2 = 90°+arctan (1500)(8) = 135° m1v1 (1500)(8) 4. [2a, 9-5] La fuerza Fx que actúa sobre una partícula de 2 kg varía con el tiempo como

se muestra en la figura 9.27. Encuentre: a) el impulso de la fuerza, b) la velocidad final de la partícula si originalmente se encontraba en reposo, y c) la velocidad final de la partícula si inicialmente se movía a lo largo de eje x con una velocidad de –2 m/s.



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5. [2a, 9-7] En la fig. 9.28 se muestra la curva estimada de fuerza contra tiempo para el

golpe de un bate sobre una pelota de béisbol. A partir de esta curva, determine: a) el impulso dado a la pelota, b) la fuerza promedio ejercida sobre la pelota y c) la fuerza máxima ejercida sobre la pelota.

6. [2a, 9-15] Una bola de acero de 3 kg golpea una pared muy masiva con una rapidez de

10 m/s a un ángulo de 60° respecto de la superficie. Rebota con la misma rapidez y ángulo (véase fig.). Si la bola está en contacto con la pared durante 0.20 s, ¿cuál es la fuerza promedio ejercida por la pared sobre la bola?

Datos: m1 = 3 kg; v1 = 10 m/s; θ = 60° Obteniendo el impulso _____________________________________________ ΔP = Pf – Pi = √(-mvsen60°- mvsen60°)2 + (mvcos60°- mvcos60°)2 = -2mvsen60° Como I = ΔP = FpΔt, despejando la fuerza promedio Fp = ΔP = 2mvsen60° = -2(3 kg)(10sen60° m/s) = -51.962 m/s = -260 N Δt 0.20 s 0.20 s 0.20 s 6.1.1 Centro de masa 7. [2a, 9-51] Una partícula de 3 kg se localiza en el eje x a x = -5 m, y una partícula de 4

kg está en el eje x a x = 3 m. Encuentre el centro de masa. 8. [2a, 9-53] La masa del Sol es 329 390 veces la de la Tierra y la distancia media del

centro del Sol al centro de la Tierra es de 1.496x108 km. Tratando al Sol y a la Tierra como partículas, con cada masa concentrada en su respectivo centro geométrico, ¿cuán tan lejos se encuentra el Sol del C.M. del sistema Tierra-Sol? Compare esta distancia con el radio medio del sol (6.960x105 km).

6.2 Ley de la conservación del momento y energía

60°

60°

y

x



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9. [2a, 9-17] Un niño de 40 kg sentado sobre un estanque congelado avienta una piedra de 2 kg hacia el este con una rapidez de 8 m/s. Despreciando la fricción entre el niño y el hielo, encuentre la velocidad de retroceso del niño.

Datos: m1 = 40 kg; m2 = 2 kg; v2 = 8 m/s Por conservación del momento lineal m1v1 = m2v2 Despejando la velocidad de retroceso del niño v1 = m2v2 = (2 kg)(8 m/s) = 0.4 m/s hacia el oeste m1 40 kg 10. [2a, 9-19] Un muchacho de 60 kg y una muchacha de 40 kg, ambos con patines, se

encuentran en reposo uno enfrente del otro. El muchacho empuja a la muchacha, mandándola hacia el este con una velocidad de 4 m/s. Describa el movimiento subsecuente del muchacho. (Desprecie la fricción.)

Datos: m1 = 60 kg; m2 = 40 kg; v2 = 4 m/s Por conservación del momento lineal m1v1 = m2v2 Despejando la velocidad de retroceso del muchacho v1 = m2v2 = (40 kg)(4 m/s) = 2.67 m/s hacia el oeste m1 60 kg 6.3 Colisiones 6.3.1 Colisiones elásticas e inelásticas 6. 4 Aplicaciones de la conservación del momento 11. [2a, 9-23] Un meteorito de 2000 kg tiene una rapidez de 120 m/s justo antes de tener

una colisión frontal con la Tierra. Determine la velocidad de retroceso de la Tierra (masa 5x1024 kg).

Datos: m1 = 2000 kg; v1= 120 m/s; m2 = 5x1024 kg; v2 = 0 m/s Se trata de un choque inelástico, no hay conservación de la energía cinética, pero hay conservación del momento lineal, y suponiendo a la Tierra inmóvil antes del choque.

m1v1 + m2v2 = (m1+m2)v Despejando la velocidad de retroceso de la Tierra v = m1v1 = (2000 kg)(120 m/s) = 4.8x10-20 m/s m1+m2 2000 kg+5x1024 kg 12. [2a, 9-25] Se dispara una bala de 10 g sobre un péndulo balístico de 2.5 kg y queda

dentro de éste. Si el péndulo sube una distancia vertical de 8 cm, calcule la rapidez inicial de la bala.

13. [2a, 9-27] Un coche de 1200 kg que viaja inicialmente con una rapidez de 25 m/s en la

dirección este choca contra la parte posterior de un camión que se mueve en la misma



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dirección a 20 m/s (ver fig.). La velocidad del coche justo después de la colisión es de 18 m/s hacia el este. a) Cuál es la velocidad del camión justo después de la colisión? b) ¿Cuánta energía mecánica se pierde en la colisión? ¿Cómo puede explicar la perdida de energía?

14. [2a, 9-29] Un neutrón en un reactor atómico realiza una colisión frontal elástica contra

el núcleo de un átomo de carbón inicialmente en reposo. a) ¿Qué fracción de la energía cinética del neutrón se transfiere al núcleo del carbón? b) Si la energía cinética inicial del neutrón es de 1 MeV=1.6x10-13 J, encuentre su energía cinética y la energía cinética del núcleo del carbón después de la colisión (la masa del núcleo del carbón es unas 12 veces la masa del neutrón).

15. [2a, 9-41] Una masa de 3 kg con una velocidad inicial de 5i m/s choca y se queda

unida a una masa de 2 kg con una velocidad inicial de –3j m/s. Encuentre la velocidad final de la masa compuesta.

Datos: m1 = 3 kg; v1= 5i m/s; m2 = 2 kg; v2 = -3j m/s Se trata de un choque inelástico, no hay conservación de la energía cinética, pero hay conservación del momento lineal.

m1v1+m2v2 = (m1+m2)v Despejando la velocidad final de la masa compuesta v = m1v1+m2v2 = (3 kg)(5i m/s)+(2 kg)(-3j m/s) = (3i - 1.2j) m/s m1+m2 3 kg+2 kg 16. [2a, 9-43] Un núcleo inestable de masa 17x10-27 kg inicialmente en reposo se

desintegra en tres partículas. Una de las partículas, de masa 5x10-27 kg, se mueve a lo largo del eje y con una velocidad de 6x106 m/s. Otra de las partículas, de masa 8.4x10-

27 kg, se mueve a lo largo del eje x con una velocidad de 4x106 m/s. Encuentre: a) la velocidad de la tercera partícula y b) la energía total liberada en el proceso.

Datos: m1 = 17x10-27 kg; v1= 0 m/s; m2 = 5x10-27 kg; v2 = 6x106 j m/s m3= 8.4x10-27 kg; v3= 4x106 i m/s; m4= 3.6x10-27 kg a) Se trata de un choque inelástico no hay conservación de la energía cinética, pero

hay conservación del momento lineal. m1v1 = m2v2+m3v3+m4v4

Despejando a v4 v4 = -m2v2-m3V3 = -(5x10-27 kg)(6x106 j m/s)-(8.4x10-27 kg)(4x106 i m/s) m4 3.6x10-27 kg = (-9.33x106 i – 8.33x106 j) m/s b) Obteniendo la magnitud de v4 y utilizándola para obtener ΔK ______________________ ⎢v4⎪ = √(-9.33x106)2+(8.33x106)2 = 1.25x107 m/s



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ΔK = Kf – Ki = [(1/2)m2v2

2+(1/2)m3v32+(1/2)m4v4

2] - 0 = (1/2) [(5x10-27)(6x106)2+(8.4x10-27)(4x106)2+(3.6x10-27)(1.25x107)2] = (1/2)(1.8x10-13+1.3x10-13+5.6x10-13) = 4.39x10-13 J UNIDAD VII MECANICA DE FLUIDOS 7.1 Concepto de fluido 7.1.1 Presión y densidad 7.2 Principio de Pascal y principio de Arquimedes 7.2.1 Medición de la presión para un fluido estático 7.2.1 Variación de la presión atmosférica con la altura 7.3 Flujo de fluidos Flujo o gasto volumétrico Si un fluido llena un tubo y fluye a través de el, entonces el flujo volumétrico estará dado por: Q = Av 1. [Tipler,395,16] Plasma sanguíneo fluye desde una bolsa a través de un tubo hasta la vena de un paciente, en un punto en que la presión de la sangre es de 12 mmHg. La densidad específica del plasma a 37°C es 1,03. ¿Cuál es la altura mínima a la que deberá estar la bolsa para que la presión del plasma cuando se introduce en la vena sea al menos de 12 mmHg? Datos P = 12 mmHg = 1599.868421Pa ρ = 1.03 = 1030 kg/m3 altura mínima h = P/(ρg) = 0.158335404 m = 15.83354038 cm 2. [Tipler,396,33] Un objeto flota en el agua con 80% de su volumen por debajo de la superficie. El mismo objeto situado en otro líquido flota con el 72% de su volumen por debajo de la superficie. Determinar la densidad del objeto y la densidad específica del líquido. Datos V1 = 80% V2 = 72% a) Densidad del objeto ρ = ρH2O%V1 = 800 kg/m3 b) Densidad especifica del líquido ρξ = %V1/%V2 = 1.11



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Flujo de fluidos 7.3.1 Ecuación de continuidad Ecuación de continuidad Si un fluido incompresible llena un tubo y fluye a través de él y si se comparan dos puntos del tubo, entonces el flujo debe ser igual, es decir: Q = A1v1 = A2v2 = cte 3. [Tipler,397,49] Por una aorta de 9 mm de radio fluye sangre a 30 cm/s. a) Calcular el flujo volumétrico en litros por minuto. b) Aunque el área de la sección recta de un capilar es mucho menor que la de la aorta, existen muchos capilares, de forma que el área total de sus secciones rectas es mucho mayor. Si toda la sangre procedente de la aorta pasa a los capilares en donde la velocidad de flujo es de 1.0 mm/s, calcular dicha área total. Datos r = 9 mm = 0.009 m v1 = 30 cm/s = 0.3 m/s v2 = 1 mm/s = 0.001m/s a) Flujo volumétrico Q1 = A1v1 = 7.63407x10-05 m3/s = 4.58044209 L/min b) Area Total A2 = Q1/v2 = 0.076340701m2 = 763.407015 cm2 4. [Tipler,397,50] Una muchacha se encuentra en el tejado de su casa de dimensiones 15 m x 15 m. Súbitamente, un fuerte viento derriba la escalera por la que ha subido al tejado y la muchacha no tiene otro medio para descender. Ella sabe que un fuerte viento reduce la presión del aire sobre el tejado y que existe el peligro de que la presión atmosférica dentro de la casa vuele el tejado. Calcular la fuerza que actúa sobre el tejado cuando el viento sopla a la velocidad de 30 m/s. Datos L1 = 15 m L2 = 15 m v = 30 m/s densidad del aire ρaire = 1.293 kg/m3 Fuerza sobre el tejado F = (1/2)ρv2A = 130916.25 N = 130.916 kN 7.3.2 Ecuación de Bernoulli 7.4 Aplicaciones de la mecánica de fluidos Ecuación de Bernouilli Para un flujo estacionario (régimen estable) considérese dos puntos distintos, entonces p1 + (1/2)ρv1

2 + h1ρg = p2 + (1/2)ρv22 + h2ρg



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5. [Tipler,398,55] Una fuente diseñada para lanzar una columna de agua de 12 m de altura al aire, tiene una boquilla de 1 cm de diámetro al nivel del suelo. La bomba de agua está a 3 m por debajo del suelo. La tubería que la conecta a la boquilla tiene un diámetro de 2 cm. Hallar la presión que debe suministrar la bomba.Datos h = 12 m d1 = 1 cm = 0.01 m h1 = 3 m d2 = 2 cm = 0.02 m Velocidad del H2O al final (nivel del suelo) v1 = (-2gh)1/2 = 15.344 m/s Flujo volumétrico Q = A1v1 = 0.0012 m3/s Velocidad del H2O al inicio (abajo del suelo) v2 = Q/A2 = 3.836 m/s Presión que suministra la bomba P2 = P1 + (1/2)ρ(v1

2 - v22) + ρgh1 = 241117.5

Pa 6. [Sears,541,14,41] Un sistema de riego de un campo de golf descarga agua de un tubo horizontal a razón de 7200 cm3/s. En un punto del tubo, donde el radio es de 4.00 cm, la presión absoluta del agua es de 2.40x105 Pa. En un segundo punto del tubo, el agua pasa por una constricción cuyo radio es de 2.00 cm. ¿Qué presión absoluta tiene el agua al fluir por esa constricción? Datos Q = 7200 cm3/s = 0.0072 m3/s r1 = 4 cm = 0.04 m P1 = 240000 Pa r2 = 2 cm = 0.02 m Velocidad del H2O en 1 v1 = Q/A1 = 1.432 m/s Velocidad del H2O en 2 v2 = Q/A2 = 5.7295 m/s Presión absoluta en 2 P2 = P1 + (1/2)ρv2

2 - (1/2)ρv12 = 224611.845 Pa

7. [Bueche,Schaum,137,14,23] Calcúlese la velocidad teórica del derrame de agua desde una abertura que está a 8 m por debajo de la superficie del agua en un gran tanque, si se le adiciona una presión de 140 kPa, aplicada a la superficie del agua.Datos h1 = 8 m P1 = 140 kpa



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velocidad de salida del H2O v2 = {[(P1 + ρgh1)2]/ρ}1/2 = 20.904 m/s BIBLIOGRAFIA Baird, D. C. Experimentación Una Introducción a la Teoría de Mediciones y al Diseño de Experimentos; Editorial Prentice; México 1991; págs. 1-205 Resnick Robert; Hallidey David; Krane Kenneth S. Física Vol. I; Editorial CECSA, México, 2002 págs. 1-137, 230-295 y 331-367 Serway Raymond A.; Física Tomo I; Editorial McGraw-Hill, México, (1993); págns. 1- 214, 334 -403 Tipler Paul A.; (Física Vol. I; Editorial McGraw-Hill, México, 2001); págs.1-220, 331-360 y 441-486 Tippens Paul E.; (2001); Física Conceptos y Aplicaciones; Editorial McGraw-Hill, México, (2001); págs. 1-150, 175-248, 309 -332



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