Probabilidades Ejercicios Resueltos

Contigo es posible

La Universidad un espacio de desarrollo integral

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PROGRAMA DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL Y SISTRAMS

ESTADISTICA Y PROBABILIDAD

PROBABILIDADES

LINK: EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE PROBABILIDADES

CONTENIDO:

GENERALIDADES DEFINICIONES Y CONCEPTOS CLASES DE PROBABILIDADES ESPACIO MUESTRAL. DIAGRAMA DEL RBOL. ASIGNACIONES ALGUNAS TECNICAS DE CONTEO: PERMUTACIONES Y COMBINACIONES. REGLAS DE LAS PROBABILIDADES: CLASES DE SUCESOS PROBABILIDAD CONDICIONAL TEOREMA DE BAYES MISCELANEA DE EJERCICIOS.

COMPETENCIAS:

EL ESTUDIANTE AL FINALIZAR ESTA UNIDAD ESTAR EN CAPACIDAD DE:

COMPRENDER Y MANEJAR LOS CONCEPTOS BSICOS DE PROBABILIDAD. CALCULAR PROBABILIDADES APLICANDO LAS REGLAS DE ADICIN Y

MULTIPLICACIN. DETERMINAR EL NMERO POSIBLES DE PERMUTACIONES Y COMBINACIONES UTILIZAR EL TEOREMA DE BAYES PARA CALCULAR PROBABILIDADES QUE

INCLUYA PROBABILIDADES A PRIORI Y A POSTERIORI. ENTERNDER LA IMPORTANCIA QUE TIENE EN LA INFERENCIA, PARA REALIZAR

ASEVERACIONES SOBRE UN ENTORNO INCIERTO O DE INCERTIDUMBRE.

CONCEPTO: EL CONCEPTO DE PROBABILIDADES PUEDE SER INTERPRETADO COMO

ALGO INDEFINIBLE, PERO UTILIZADO PARA EXPRESAR, DE ALGN MODO, UN GRADO DE

CREENCIA QUE UNO TIENE DE LA OCURRENCIA DE UN HECHO, SUCESO O FENMENO;

NOS REFERIMOS A ALGO QUE PUEDE SUCEDER CON BASE EN LA EXPERIENCIA QUE SE

TENGA.

EJEMPLOS: PRONOSTICOS O ESTADO DEL TIEMPO, LA POSIBILIDAD DE GANAR EL

CAMPEONATO POR PARTE DE UN EQUIPO, GANARSE UN QUINTO O EL CHANCE DE LA

LOTERIA, LAS APUESTAS EN LAS CARRERAS EN CABALLOS, ETC.

HISTORIA: EL ORIGEN DE LAS PROBABILIDADES SE REMONTA AL SIGLO XVII, CUANDO

ANTOINE GOMBAULD MS CONOCIDO COMO EL CABALLERO DE MER, JUGADOR

PROFESIONAL EN LOS JUEGOS DE AZAR (DADOS). AL DISMINUIR SUS GANANCIA

BUSCO AYUDA DE BLAS PASCAL Y A PIERRE DE FERMAT, INICIANDOSE LA

Contigo es posible


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PROBABILIDAD, POCO A POCO UNA CIENCIA BIEN FUNDAMENTADAS. TAMBIEN

CARDANO FUE UN JUGADOR EMPEDERNIDO LAS LOTERIAS.

FORMULAS DE PROBABILIDADES

EN LA ACTUALIDAD LAS PROBABILIDADES GUARDAN UNA ESTRECHA RELACIN CON

LA TEORIA DE CONJUNTO, DE GRAN IMPORTANCIA EN EL CAMPO DE LA INFERENCIA

ESTADISTICA DEBIDO A LA INCERTIDUMBRE QUE SIEMPRE SE TIENE EN LA TOMA DE

DECISIONES.

POSIBILIDAD: COMPARA EL NMERO DE RESULTADOS FAVORABLES CON LOS

DESFAVORABLES = ( )

.

PROBABILIDAD: RELACION ENTRE LO FAVORABLE Y EL TOTAL DE CASOS POSIBLE

( )

.

FRMULA

TODOS EN ESENCIA SOMOS JUGADORES. EN LOS NEGOCIOS, EN NUESTRA VIDA Y

SIEMPRE QUE TOMAMOS UNA DECISIN, SIEMPRE VA A SER INCERTIDUMBRE POR LA

DIFICULTAD DE PREDECIR CON EXACTITUD. GANARE EL PARCIAL? EL SEMESTRE? ME

GANARE EL BALOTO, SI LO COMPRO? SI LE HABLO A ESA PERSONA ME RESPONDERA?

TODAS ESAS PREGUNTAS Y MUCHAS MS, TENDRAN EN NUESTRA MENTE UNA

POSIBLE RESPUESTA YA QUE NOS DEJAMOS DE GUIR POR LA EXPERIENCIA Y LA

INTUICIN.

POSIBLES DEFINICIONES

METODO AXIOMTICO: EL CUAL CONCIBE LA PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE

UN SUCESO, COMO UN NMERO COMPRENDIDO ENTRE 0 Y 1. ESTE CONCEPTO TIENE

QUE VER DIRECTAMENTE CON LA NOCIN DE FRECUENCIA RELATIVA, DONDE 0 < hi < 1.

EJEMPLO:

FRECUENCIA ABSOLUTA: CARA 56 VECES SELLO 44 VECES

FRECUENCIA RELATIVA : 56/100 44/100

PROBABILDAD P= 56% (XITO) q = 44%(FRACASO).

EXPERIMENTO: CONJUNTO DE PRUEBAS REALIZADAS EN LAS MISMAS CONDICIONES.

LA RESPUESTA DE UNA PRUEBA SE LLAMA RESULTADO, PUNTO MUESTRAL O SUCESO.

EL CONJUNTO DE TODOS LOS RESULTADOS POSIBLES CONSTITUYE UN ESPACIO

MUESTRAL. UN EVENTO ES EL CONJUNTO DE UNO O MS PUNTOS MUESTRALES

Contigo es posible


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CLASES DE HECHOS:

CIERTO: CUANDO SON FAVORABLES TODOS LOS CASO POSIBLES, COMO POR

EJEMPLO: COMPRAR TODOS LOS BILLETES DE LOTERIA Y GANARSELA.

VEROSIMIL: CUANDO LA PROBABILIDAD ES MENOR QUE LA UNIDAD Y MAYOR QUE O,5.

INVEROSIMIL: CUANDO LA PROBABILIDAD ES MAYOR QUE CERO Y MENOR QUE O,5.

DUDOSO: PROBABILIDAD IGUAL A 0,5, YA QUE HAY VENTAJAS Y DESVENTAJAS EN LAS

MISMAS PROPORCIONES.

IMPOSIBLE: ES CUANDO NO EXISTE POSIBILIDAD ALGUNA DE SALIR CON XITO, LA

PROBABILIDAD ES CERO.

MTODO EMPRICO: CONSIDERA LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO, COMO AQUEL

NMERO AL CUAL APRXIMA CADA VEZ MS A LA FRECUENCIA RELATIVA DE LA

OCURRENCIA DE UN SUCESO, CUANDO LAS VECES QUE SE REPITE EL EXPERIMENTO

QUE ORIGINA ESE SUCESO ES LO BASTANTE GRANDE. ESTE CONCEPTO TIENE ALGO

QUE VER CON EL EXPERIMENTO DE QUETELET, EN DONDE LA PROBABILIDAD DE UN

SUCESO TIENDE A ESTABILIZARSE EN UN PUNTO, CUANDO EL NMERO DE

EXPERIMENTOS SE VA HACIENDO CADA VEZ MS GRANDE (BUSCAR BIOGRAFA).

PROBABILIDAD EMPERCA:

, SE DETERMINA MEDIANTE UNA

SERIE DE EXPERIMENTOS, ES EL CASO, DE DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE XITO

DE UNA OPERACIN PRACTICADA POR UN DETERMINADO MDICO.

SI LANZAMOS 10 VECES UNA MONEDA, ES POSIBLE QUE 8 SEAN CARAS Y 2 SEAN

SELLOS, PERO AQU HABLAMOS DE UNA MONEDA TERICA, PERFECTAMENTE

EQUILIBRADA CARA EL MISMO NMERO DE CARAS Y SELLOS, EN NUESTRO CASO 5

SON CARAS Y 5 SON SELLOS. EN UN DADO TERICO, SE TENDR QUE LA

PROBABILIDAD DE APARICIN DE CADA CARA SER 1/6. LA PROBABILIDAD TERICA SE

APLICA A ALGO QUE NO EXISTE EN LA PRACTICA, PUES EN LA VIDA DIARIA VEREMOS

QUE CUANTO MAYOR SEA EL NMERO DE LANZAMIENTO DE LA MONEDA MS NOS

ACERCAREMOS AL IDEAL. EL NMERO DE OBSERVACIONES DEBE SER LO

SUFICIENTEMENTE GRANDE, SI SE QUIERE UNA INFERENCIA VLIDA PARA ELLA.

MTODO CLASICO:

CLASES DE PROBABILIDADES:

A PRIORI: ES AQUELLA QUE SE PUEDE DETERMINAR DE ANTEMANO, SIN NECESIDAD

DE REALIZAR EL EXPERIMENTO. EJEMPLO: LANZAMIENTO DE UNA MONEDA.

A POSTERIORI: ES AQUELLA QUE SE PUEDE DETERMINAR DESPUES DEL EXPERIMENTO.

SUBJETIVA: CORRESPONDE A UNA EVALUACIN MUY PERSONAL DE LA OCURRENCIA

DEL SUCESO. EJEMPLO: PERDERA LA SELECCIN DE FUTBOL DE LA UNIVERSIDAD EN

Contigo es posible


4

EL PRXIMO PARTIDO?, SARAR MS DE 4.0 EN EL PROXIMO PARCIAL DE

ESTADISTICA?

OBJETIVA: SON LAS OBTENIDAS A TRAVS DEM MTODO EMPRICO Y EL CLSICO, SE

TOMA DE LA EXPERIENCIA, ES DECIR, DE LAS REPETICIONES DEL HECHO.

EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD CON BASE EN LAS FRECUENCIAS RELATIVAS, ES DE

CARCTER PROBABIISTICO, QUE CONSISTE EN UNA OBSERVACIN QUE NOS

DETERMINA EN QUE MOMENTO OCURRIERON EVENTOS SEMEJANTES EN EL PASADO,

QUE PERMITAN ESTABLECER LA PROBABILIDAD DE QUE VUELVA A OCURRIR EN EL

FUTURO.

EJEMPLOS DE PROBABILIDADES:

ELABORCIN DEL ESPACIO MUESTRAL:

EXPERIMENTO 1: ELEGIR UN ALUMNO DEL CURSO DE ESTADISTICA EN LA FACULTAD

DE INGENIERAS:

SOLUCIN: CONJUNTO S = U = {ALCINA, ALMENDRALES, BALLESTEROS, BETANCOUR

VILLEGAS}

SUCESO O PUNTO MUESTRAL: ALCINA, ALMENDRALES, BALLESTEROS,..ENTRE OTROS.

EVENTO: SEAN LOS ESTUDIANTES CUYOS APELLIDOS EMPIEZAN CON A: A = {ALCINA,

ALMENDRALES}

LANZAMIENTO DE MONEDAS:

FORMULA 2^n, DONDE 2 ES EL NMERO DE SUCESOS Y n ES EL TOTAL DE LOS CASOS

POSIBLES:

EXPERIMENTO UNO: LANZAMIENTO DE UNA MONEDA TERICA.

FRMULA: 2^1 =2 SUCESOS.

SOLUCIN U = {C,S). LA PROBABILIDAD ES DE A CADA UNO.

EXPERIMENTO DOS: LANZAMIENTO DE DOS MONEDAS O LANZAMIENTO DE UNA

MONEDA DOS VECES, ASIGNAR LA PROBABILIDAD DE CADA SUCESO. FORMULA: 2^2 = 4

SOLUCIN : U = { (CC, CS, SC, SS}. CADA PROBABILIDAD ES DE 1/4

EXPERIMENTO TRES: LANZAMIENTO DE TRES MONEDAS. CADA PROBABILIDAD ES DE

1/8 = 0,125. FRMULA: 2^3 =8

SOLUCIN: U = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}.

EXPERIMENTO CUATRO. - LANZAMIENTO DE 4 MONEDAS:

Contigo es posible


5

2^4 = 16

SOLUCIN = {CCCC, CCCS, CCSS, CSSS, CCSC, CSCS, SCSS,

CSCC, CSSC, SSCS, SCCC, SCSC, SSSC, SSCC,

SCCS}.

CADA SUCESO TIENE UNA PROBABILIDAD DE 1/16.

EJEMPLO: LA PROBABILIDAD DE OBTENER EXACTAMENTE TRES CARAS ES DEL 4/16.

LA AUSENCIA DE CARAS EN EL JUEGO ES DE 1/16 Y EL XITO DE DTENER TODAS

CARAS ES DEL 1/16.

LANZAMIENTO DE DADOS: 6^n, DONDE n ES EL NMERO DE SUCESO Y n ES EL TOTAL

DE CASOS POSIBLES.

EXPERIMENTO UNO: LANZAMIENTO DE UN DADO: 6^1 = 6.

SOLUCIN: S = {1,2,3,4,5,6}

EXPERIMENTO DOS: LANZAMIENTO DE UN DADO DOS VECES O LANZAMIENTO DE DOS

DADOS:

6^2 = 36.

S= {1 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6 CADA SUCESO TIENE P(A) = 1/36.

2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, 2 6

3 1, 3 2, 3 3, 3 4, 3 5, 3 6

4 1, 4 2, 4 3, 4 4, 4 5, 4,6

5 1, 5 2, 5 3, 5 4, 5 6, 5 6}

EXPERIMENTO TRES: LANZAMIENTO DE TRES DADOS: 6^3 = 216, CADA SUCESO

TENDRA P(A) =1/216.

JUEGO DE BARAJAS CON N CARTAS:

EXPERIMENTO UNO: EXTRAER UNA CARTA DE UNA BARAJA DE 40 CARTAS:

SOLUCIN:

COPAS AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY

OROS AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY

ESPADAS AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY

BASTOS AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY

Contigo es posible


6

CADA SUCESO TIEUNA PROBABILIDAD DE 1/40, EN CADA PINTA ES DE 1/10, Y CADA

UNO DE LOS ELEMENTOS EN CADA PINTAS ES DE .

EXPERIMENTO DOS: EXTRAER UNA CARTA DE UNA BARAJA DE 52 CARTAS:

SOLUCIN:

DIAMANTES AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K

CORAZN AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K

TRBOL AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K

PICAS AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K

CADA SUCESO TIENE UNA PROBABILIDAD DE 1/52, EN CADA PINTA ES DE 1/13, Y DE

CADA UNO DE LOS ELEMENTOS EN CADA PINTAS ES DE .

DIAGRAMA DEL RBOL:

UNA DE LAS MANERAS QUE PERMITE DETERMINAR DIVERSOS EVENTOS POSIBLES, AL

CONTAR LOS PUNTOS O SUCESO MUESTRALES.

EJEMPLO 1 : LANZAMIENTO DE TRES MONEDAS:A,B Y C

SOLUCIN:

C)

1/2 c

B) s

1/2 c

A) 1/2 c

s s

c 1/2 c

c

1/2 s 1/2 1/2 s

c

c s

Contigo es posible


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CCC: x x = 1/8 SCC: x x = 1/8

CCS: x x = 1/8 SCS: x x = 1/8

CSC: x x = 1/8 SSC: x x = 1/8

CSS: x x = 1/8 SSS: x x = 1/8.

EJERCICIO PROPUESTO: HALLE EL DIAGRAMA DEL RBOL PARA 4 MONEDAS.

EJEMPLO 2 : LANZAMIENTO DE TRES DADOS: A,B Y C.

SOLUCIN:

B) C)

A) 1/6

1/6 1/6 1/6

1/6 1/6 1/6

1/6 1/6 1/6

1/6 1/6

1/6 1/6 1/6

1/6 1/6 1/6

CADA PUNTO MUESTRAL TIENE UNA PROBABILIDAD DE 1/216,

Contigo es posible


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EJEMPLOS:

1.- DE UNA URNA QUE CONTIENE 3 BOLAS ROJAS Y 5 AZULES SE EXTRAEN

SIMULTANEAMENTE DOS BOLAS, HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE LAS DOS SEAN

ROJAS.

2.- EN CIERTO GRUPO DE 400 EMPLEADOS SE REALIZ UNA ENCUESTA ACERCA DE LA

SATISFACIN EN EL TRABAJO Y EL PROGRESO EN SU ORGANIZACIN FAMILIAR.

Progreso familiar Sin progreso familiar total

Satisfecho en el trabajo

194 162 356

No satisfecho en el trabajo

14 30 44

Total 208 192 400

HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE:

A) UN EMPLEADO ESTE SATISFECHO EN EL TRABAJO O NO HAYA PROGRESADO EN

SU VIDA FAMILIAR.

B) UN EMPLEADO NO ESTE SATISFECHO Y NO HAYA PROGRESADO EN SU VIDA

FAMILIAR.

C) UN EMPLEADO ESTE SATISFECHO EN EL TRABAJO DADO QUE HA PROGRESADO

EN LA FAMILIA

D) UN EMPLEADO NO SATISFECHO EN EL TRABAJO DADO QUE HA PROGRESADO

EN LA FAMILIA.

3.- EN UN RECUENTO DE 500 ESTUDIANTES QUE CURSAN ALGEBRA, FISICA Y

ESTADISTICA REVEL LOS SIGUIENTES NMEROS DE ESTUDIANTES MATRICULADOS.

ALGEBRA 320, FISICA 180, ESTADISTICA 290, ALGEBRA Y FISICA 93, ALGEBRA Y

ESTADISTICA 217, FSICA Y ESTADISTICA 63, LAS TRES ASIGNATURAS 53. SE PIDE

ENTONCES DETERMINAR QUE UN ESTUDIANTE SELECCIONADO AL AZAR ESTE

MATRICULADO EN:

A) ESTADISTICA, PERO NO EN FSICA.

B) MATEMATICA, PERO NO ESTADISTICA NI FISICA.

C) EXCLUSIVAMENTE EN UNA ASIGNATURA.

D) NI EN ESTADISTICA, NI EN MATEMATICA, NI FISICA.

4.- AL LANZAR UN PAR DE DADOS CORRECTOS. CAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE:

A) AMBOS DADOS CAIGAN EN EL MISMO NMERO?

B) AMBOS CAIGAN EN NMERO IMPARES?

Contigo es posible


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C) LA SUMA DE SUS CARAS SEAN UN # IMPAR?

D) EN UNO DE ELLOS APAREZCA EL 3 Y EN EL OTRO 6?

E) EN EL PRIMERO APAREZCA EL 3 Y EN EL SEGUNDO EL 6.

5.- CAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE SEAN VARONES, LOS TRES HIJOS DE UNA

FAMILIA?

ESPERANZA MATEMTICA

CONSISTE EN EL NMERO DE SUCESOS EN N ENSAYOS QUE PREPRESENTA LA

PROBABILIDAD DE XITO DE UN SUCESO EN UN ENSAYO.

FRMULA : E = N x p

EJEMPLO: EN EL LANZAMIENTO DE 900 VECES DE DOS DADOS. CAL ES LA ESPERANZA

DE QUE LA SUMA DE SUS CARAS SEA UN VALOR MENOR A 6?

SOLUCIN: EN UN SOLO ENSAYO SE TIENE p = m/n, m = 10 Y n = 36., N = 900.

(1,1) (1,2) (2,1) N (2,2) (2,3) (3,2) (1,3) (3,1), (4,1) (1,4). E =900X 10/36 = 250

COMO SE LANZA 900 VECES ESOS DOS DADOS, SE OBTIENE QUE:

E = N x p = 900x(10/36) = 250.

250 ES LA ESPERANZA DE QUE EN 250 DE LOS 900 LANZAMIENTOS, LA SUMA DE SUS

CARAS SEA MENOR A 6.

EJEMPLOS:

1.- EN UNA URNA HAY 50 SOBRE, DE LOS CUALES, 10 CONTIENE $5000, 10 CONTIENE

$1000 CADA UNO Y EL RESTO ESTA VACO. CAL ES LA ESPERANZA AL SACAR UN

SOLO SOBRE?

2.- ASEGURO MI AUTOMVIL CONTRA EL RIESGO DE ROBO EN LA SUMA DE $850000. SI

LA PROBABILIDAD DE QUE SEA ROBADO EN EL CURSO DE UN AO ES DE 0,04. CAL

ES EL PRECIO JUSTO DE LA PRIMA AUAL QUE DEBO PAGAR.

REGLA DE LA MULTIPLICACIN: EL DIAGRAMA DEL RBOL AYUDA A ESTABLECER LOS PUNTOS MUESTRALES, QUE

TAMBIEN PUEDEN SE UTILIZADAS EN LOS EXPERIMENTOS COMPUESTOS, EL CUAL

PUEDE RESULTAR TEDIOSO, SOBRETODO AQUELLOS CUANDO EL NMERO DE

RESULTADOS POSIBLES O EL NMERO DE ETAPAS ES GRANDE. LA REGLA DE LA

MULTIPLICACIN, LA APLICACIN DE LAS PERMUTACIONES Y COMBINACONES EVITAN

EN MUCHO CASOS TRAZAR UN DIAGRAMA DEL RBOL

Contigo es posible


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REGLA DE LA MULTIPLICACIN: ALGUNOS DE LOS PROBLEMAS DE PROBABILIDADES

TIENEN SOLUCIN A TRAVS DE LA APLICACIN DE LA REGLA DE LA MULTIPLICACIN:

EJEMPLO 1: EN EL EXPERIMENTO DE LANZAR UNA MONEDA Y A LA VEZ UN DADO.

CAL ES EL NMRO DE PUNTOS MUESTRALES?

SOLUCIN: LA MONEDA TIEN 2 Y EL DADO 6 POSIBILIDADES, POR LO TANTO LOSEL #

DE PUNTOS MUESTRALES ES : 2 x 6 = 12

EJEMPLO 2.- EN UNA BARAJA DE 52 CARTAS . CUANTOS PUNTOS MUESTRALES TENDR

EL EXPERIMENTO COMPUESTO: A) SI DESPUES DE EXTRAER UNA CARTA, SE VUELVE

AL MAZO Y LUEGO SE EXTRAE OTRA CARTA?.

B) SI LUEGO DE EXTRAER UNA CARTA STA SE DEJA POR FUERA Y LUEGO SE EXTRAE

OTRA SEGUNDA CARTA?

SOLUCIN: A) EN LA PRIMERA SE TIENE 52 CARTAS Y COMO SE DEVOLVI EN LA

SEGUNDA TENDRA OTRA VEZ LAS 52 CARTAS, POR LO TANTO EL ESPACIO MUESTRAL

ES 52 x 52 = 2704.

B) EN LA PRIMERA EXTRACCIN SE TENDR 52 PUNTOS, PERO EN LA SEGUNDA NO SE

DEVOLVI LA CARTA, SOLO HAY 51 PUNTOS, EN ESTE CASO 52 x 51 =2652 PUNTOS

MUESTRALES.

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

LA REGLA DE LA MULTIPLICACIN ES LA BASE DE DOS FRMULAS, QUE NOS

PERMITEN SIMPLIFICAR EN FORMA CONSIDERABLE EL CONTEO DE PUNTOS

MUESTRALES, SIENDO ELLAS LAS PERMUTACIONES Y LAS COMBINACIONES.

PERMUTACIONES

ES UNA FORMA DE ORDENAR O ARREGLAR LA TOTALIDAD DE LOS ELEMENTOS DE UN

CONJUNTO. TAMBIN SE PUEDE CONSIDERAR COMO UN CONJUNTO DE COSAS

EXTRADAS EN UN ORDEN ESPECFICO Y SIN REEMPLAZO DE UN CONJUNTO IGUAL O

MAYOR.

FRMULAS O SIMBOLO: Pn = n! nPn = n!, SE LEE PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS

DE n EN n.

EJEMPLO 1.- SE TIENEN LOS NMEROS 1,2,3,4 Y SE QUIERE FORMAR CIFRAS DE 4

DIGITOS.

SOLUCIN: 4P4 = 4! = 4 x 3 x2 X1 = 24, P4 = 4! = 24

ESPACIO MUESTRAL: 1234 2134 3142 4132

1243 2143 3124 4123

1324 2314 3214 4213

Contigo es posible


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1342 2341 3241 4231

1432 2413 3412 4312

1423 2431 3421 4321.

EN ESTE CASO NO IMPORTA EL ORDEN DE LOS ELEMENTOS.

EJEMPLO 2.- EN LA PRIMERA LINEA DEL SALON DE CLASE SE TIENE COLOCADOS 10

PUPITRES Y SE QUIERE SENTAR A 10 ALUMNOS . D CUNTAS MANERAS SE PODRN

COLOCAR?

SOLUCIN:

10P10 = P10 = 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800 .

EJEMPLO 3.- CON LAS LETRAS DE LA PALABA PALO. CUNTAS PALABRAS PUDEN

FORMAR?

SOLUCIN:

PALO APLO LPAO OPAL

PAOL APOL LPOA OPLA

PLAO AOPL LOPA OLAP

PLOA AOLP LOAP OLPA

POLA ALOP LAPO OALP

POAL ALPO LAOP OAPL

P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

EJEMPLO 4.- PERMUTACIONES CON REPETICIONES Pn(r )=n!/r!: LA PALABRA CASA

TIENE LAS PERMUTACIONES :

CASA ACSA SCAA CSAA AACS SAAC

CAAS ACAS SACA ASAC AASC ASCA

FRMULA Pn(r=2) = n!/r! = 4!/2! = 12, r ES EL NMERO DE

REPETICIONES DE LA LETRA A, r = 2.

LAS PERMUTACIONES CON REPETICIONES, r SON UN CASO DE VARIACIONES.

EJEMPLO 5.-SEA LAS LETRAS AABBBCCD: n = 8, r1 = 2, r2 = 3, r3 = 2

FRMULA: Pn(r1,r2,r3) = n!/ r1!r2! :

Contigo es posible


12

Pn(r:2,3,2,) = 8!/2!3!2! = 1680.

FRMULA GENERAL:

( ) .

EJEMPLO 6.- FORMAR CIFRAS DE TRES DIGITOS CON 1,2,3,4:

SOLUCIN:

( ) .

EJEMPLO: SI CON LOS 8 ESTUDIANTES SE QUIEREN FORMAR GRUPOS DE 5 . CUANTOS

SE FORMARAN:

( )

COMBINACIONES:

SON ARREGLOS DE LOS ELEMNTOS SIN IMPORTAR EL ORDEN EN QUE SE DISPONGAN.

FRMULA:

( )

EJEMPLO 1: CON LAS LETRAS ABCD, SE DESEA COMBINARLAS, CUANTAS MANERAS SE

DISPONDRAN.

SOLUCIN: ABCD = ADBC = ACBD = CBAD = DACB.

( )

EJEMPLO 2: SI SE COMBINARAN ESAS CUATRO LETRAS DE DOS EN DOS, SE TENDRA:

AB = BA, AC = CA, BC = CB, BD = DB, CD = DC, AD = DA, LUEGO : 4C2

V= 6.

PARA UN GRUPO DE TRES EN TRES SE TENDRA : 4C3 = 4.

EJERCICIOS (PGINA 251):

55.- CUNTOS NMEROS DE 4 DGITOS PUDEN FORMARSE CON LOS DIGITOS 1, 3, 5, 7,

8,9 SI NINGUNO PUEDE APARECE MS DE UNA VEZ?

59.- DE CUNTAS MANERAS DIFERENTES SE PUEDE CONTESTAR UN EXAMEN DE 5

PREGUNTAS, SI SOLO HAY QUE DAR RESPUESTA A 3 DE ELLAS?

63.- CUNTAS PERMUTACIONES SE PUEDEN FORMAR CON LAS LETRAS DE LA PALABRA

BARRANQUILLA?

68.- UN JOVEN HA INVITADO A 6 AMIGOS A COMER. DESPUS DE SENTARSE L. DE

CUNTAS MANERAS DIFERENTES PUEDEN SENTARSE LOS AMIGOS?

Contigo es posible


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72.- D CUNTAS MANERAS PUEDE FORMAR UNA FAMILIA DE 5 HIJOS, SI DESEA QUE

DOS SEAN NIAS Y TRES NIOS?

76.- CUNTOS COMIT DIFERENTES DE 4 PERSONAS SE PUEDEN FORMAR A PARTIR DE

UN GRUPO DE 12 PERSONAS?

78.- CUNTOS GRUPOS DE 7 CARTAS, PUEDEN SACARSE DE UNA BARAJA DE 40

CARTAS?

79.- CUNTOS COMIT DIFERENTES PUEDEN SELECCIONARSE ENTRE 7 HOMBRES Y 4

MUJERES SI DEBEN CONSTITUIRSE DE : A) 3 HOMBRES Y 2 MUJERES

B) 5 PERSONAS DE LAS CUALES POR LO MENOS TRES DEBEN SER HOMBRES.

ASIGNACIN DE EJERCICIOS COMO TRABAJO.

ALGUNAS REGLAS BSICAS DE PROBABILIDADES.

CLASES DE SUCESOS:

SUCESOS IGUALMENTE PROBABLE: LANZAR UNA MONEDA, APARICIN DE CARA

O SELLO.

SUCESOS OPUESTOS O CONTRARIO: SIENDO AQUELLOS QUE SE

COMPLEMENTAN BASICAMENTE.

SUCESOS CIERTOS: UNA MONEDA CON DOS CARAS.

SUCESOS IMPOSIBLES: LANZAR UN DADO Y QUE APAREZCA EN LA CARA

SUPERIOR 8.

SUCESOS COMPATIBLES: QUE PUEDE SUCEDER EN UNA BARAJA, APAREZCA

SIMULTAMENTAMENTE UN SEIS Y QUE SEA OROS.

SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: AL LANZAR APARECE UN DOS O UN

SEIS.

SUCESOS INDEPENDIENTES: AL LANZAR DOS DADOS, OBTENER EN EL PRIMERO

UN DOS Y EN EL SEGUNDO UN, SEIS.

SUCESOS DEPENDIENTES: LA OCURRENCIA DE UNO AFECTA LA OCURRENCIA

DEL OTRO.

REGLA DE LA ADICIN:

A) SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES:

SI DOS O SUCESOS SON TALES, QUE SOLAMENTE UNO DE ELLOS PUEDE OCURRIR EN

UN SOLO ENSAYO, SE DICE QUE SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES. SE DENOMINA

PROBABILIDAD ADITIVA Y SER IGUAL A LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES DE CADA

SUCESO.

FRMULA: P = p1 + p2 + P3 + . . . + pn

Contigo es posible


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MUTUAMENTE EXCLUYENTE SIGNIFICA QUE SOLAMENTE UN SOLO SUCESO O EVENTO

PUEDE OCURRIR, O SEA QUE LOS DEMS NO SE PUEDEN PRESENTAR AL MISMO

TIEMPO, LA FRMULA ANTERIOR SE PUEDE EXPRESAR, AS:

P(A o B) = P(A) + P(B),

P(A o B O C) = P(A) + P(B) + P(C),

P(A U B) = P(A) + P(B),

EJEMPLO 1.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN As O UN Rey, SACANDO UNA SOLA

CARTA EN UNA BARAJA DE 40 CARTAS. SI UNO DE LOS CASOS APARECE, QUEDA

EXCLUIDO EL OTRO.

SOLUCIN:

( )

( )

.

P(A o B) = P(A) + P (B) =

+

EJEMPLO 2.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN 2 O UN 5, EN EL LANZAMIENTO DE

UN DADO.

SOLUCIN: ( )

( ) ( )

( )

P(A o B) = P(A) + P (B) =

+

EN ESTE SUCESO SE DEBE UTILIZAR UN SOLO SISTEMA.

B) SUCESOS COMPATIBLES:

DOS SUCESOS SON COMPATIBLES, O QUE NO SEAN MUTUAMENTE

EXCLUYENTES, CUANDO LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA UN SUCESO NO

IMPIDE LA OCURRENCIA DEL OTRO.

FRMULA: P(A o B) = P(A) + P (B) P(A y B).

EJEMPLO 1.- HALLE LA PROBABILIDAD AL EXTRAE UNA CARTA DE UNA BARAJA

DE 40 CARTAS Y QUE ESTA SEA As O COPAS.

LA PROBABILIDAD DE QUE APAREZCA UN As ES P(A) = 4/40; LA PROBABILIDAD

QUE APAREZCA COPAS ES P(B) = 10/40;

LA PROBABILIDAD DE QUE SEA EL As O COPAS P(AyB) = 1/40.

P(A o B) =

Contigo es posible


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EJEMPLO 2.- AL LANZAR UN DADO . USTED APUESTA $5000, A QUE EL NMRO

OBTENIDO DEBE SER PAR O DIVISIBLE POR 3. CUL ES LA PROBABILIDAD QUE

UD.GANE EN ESTE LANZAMIENTO.

SOLUCIN: QUE APAREZCA UN NMERO PAR : A = {2,4,6},

P(A) = 3/6.

QUE SEA DIVISIBLE POR 3 B = { 3,6}, P(B) = 2/6,

AnB = {6} , P(AnB) = 1/6, LUEGO:

P(AUB) = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 2/3 = 0,667 = 66,67%.

NOTA: PARA ALGUNOS EJERCICIOS SE DEBE RECORDAR QUE LA PROBABILIDAD

REPRESENTADA POR EL ESPACIO MUESTRAL ES DE 100% Y LA PROBABILIDAD DE

CUALQUIER EVENTO A, CORRESPONDER A UN VALOR QUE PUEDE VARIAR DE O A

1: 0 P(A) Y P(Ac) = 1 P(A).

NOTA: CUANDO SE AGOTAN TODAS LAS POSIBILIDADES, YA QUE SE CONSIDERA LA

TOTALIDAD DE LOS ELEMENTOS, A ESTOS SUCESOS SE LES DENOMINA

COLECTIVOS EXHAUSTIVOS,

POR EJEMPLO: LA PROBABILIDAD DE QUE SEA UN TREBOL O DIAMANTE O

CORAZONES O ESPADAS EN UN JUEGO DE BARAJAS DE 52 CARTAS: 52/52 = 1.

REGLA DE LA MULTIPLICACIN

C) SUCESOS INDEPENDIENTES:

ESTOS SUCESO SON CUANDO LA PROBABILIDAD DE PRESENTACIN DE NINGUNO

DE ELLOS QUEDA INFLUENCIADA POR LA PRESENTACIN DEL OTRO. EN CASO

CONTRARIO SON SUCESO DEPENDIENTES.

EN OTRAS INTERPRETACIONES SI EL RESULTADO DE UN SUCESO NO AFECTA AL

OTRO, SE DICE QUE SON INDEPENDIENTE.

FRMULA: P = p1 x p2 x p3 x . . . x pn,

P(A y B y C) = p(a) x p(b)xp(c)x . . . x p(n)

EJEMPLO 1.- QU PROBABILIDAD SE TIENE DE OBTENER DOS Reyes SACANDO UNA

CARTA DE UNA BARAJA Y LA OTRA DE UNA SEGUNDA BARAJA?

SOLUCIN: P(A y B) = P(A) x P(B)

P =

Contigo es posible


16

EJEMPLO 2.- AL LANZAR DOS DADOS. CAL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR DOS

CINCO?

p1 = 1/6 ( 5 en el primer dado), p2 = 1/6 ( 5 en segundo dado)

P = 1/6 X 1/6 = 1/ 36.

EJEMPLO 3.- SE DISPONEN DE TRES BARAJAS DE 40 CARTAS CADA UNA. SE DESEA

EXTRAER TRES CARTAS UNA DE CADA BARAJA. CAL ES LA PROBABILIDAD DE

OBTENER UN As Y UN Rey DE OROS Y UN SEIS DE COPAS?

SOLUCIN:

EN LA PRIMERA BARAJA SE TIENEN 4 ASES, SIENDO P(A) = 4/40

EN LA SEGUNDA BARAJA SE TIENE UN REY DE OROS P(B) = 1/40

Y EN LA TERCERA BARAJA HAY UN SEIS DE COPAS P = 1/40

SE OBSERAV QUE LOS RESULTADOS SON INDEPENDIENTES, PUES NINGUNO DE ELLOS

SE VE AFECTADO POR LA APARICIN DEL OTRO, EN ESTOS CASOS APLICAMOS LA

REGLA ESPECIAL DE MULTIPLICACIN:

P(A y B y C) = 4/40 x 1/40 x 1/40 = 1/16000 = 0,0000625= 0,00625.

DIFERENCIAS ENTRE LOS SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTE Y LOS

INDEPENDIENTES:

A) EN EL PRIMERO SE TIENE UN SOLO SISTEMA (DADO, MOENA O CARTA) Y EL

SEGUNDO SE TIENE DOS O MS SISTEMAS.

B) EN EL PRIMERO SE EXTRAE UN SOLO ELEMENTO, SE ESPERA LA

PRESENTACIN DE UN SUCESO, EN EL SEGUNDO SE ESPERA LA PRESENTACIN

DE DOS O MAS SUCESOS.

C) EN EL PRIMERO SE UTILIZA LA CONJUCION O (UNIN) Y EL SEGUNDO SE

EMPLEA LA CONJUCIN Y.

D) SUCESOS DEPENDIENTES:

SUCESOS DEPENDIENTES O EVENTOS COMPUESTOS, ES CUANDO LA OCURRENCIA O

NO OCURRENCIA DE UN EVENTO EN CUALQUIER PRUEBA AFECTA LA PROBABILIDAD

DE OTROS EVENTOS EN OTRAS PRUEBAS, ES DECIR QUE LA PROBABILIDAD DE

SEGUNDO DEPENDE DEL PRIMER SUCSO, EL DEL TERCERO DE LO QUE HAYA SUCEDIDO

EN EL PRIMERO Y SEGUNDO Y AS SUCESIVAMENTE.

FRMULA: P = p1 x p2 x p3 x . . . x pn

Contigo es posible


17

EJEMPLO 1.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER TRES ASES, SACANDO SUCESIVAMENTE

TRES CARTAS DE UNA BARAJA ESPAOLA (40 cartas), SIN VOLVERLAS A INCLUIR ( SIN

REPETICIN), EN EL MONTN O MAZO.

SOLUCIN: p1 = 4/40, p2 = 3/39, p3 = 2/38

P = 4/40 x 3/39 x 2/38 = 1/2740

INTERPRETACIN: EL JUEGO DE BARAJAS TIENE 4 ASES, EN EL PRIMER EXPERIMENTO

EL JUEGO ESTA COMPLETO CON 40 CARTAS, EN EL SEGUNDO EXPERIMENTO SE

TIENEN 3 ASES Y 39 CARTAS Y EN EL TERCER EXPERIMENTO SE PRESENTAN 2 ASES Y

38 CARTAS DEL JUEGO.

EJEMPLO 2.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN As, UN REY Y UNA ZOTA(ALFIL),

SACANDO SUCESIVAMENTE TRES CARTAS SIN REPOSICIN, DE UNA BARAJA DE 40

CARTAS.

SOLUCIN: EN EL JUEGO EXITEN 4 ASES Y 40 CARTAS, ENTONCES: P1 = 4/40,

EXISTEN 4 REYES Y 39 CARTAS POR LO TANTO: P2 = 4/39,

TAMBIEN SE TIENE 4 ZOTAS Y QUEDAN 38 CARTAS, P3 = 4/38,

DE DONDE. P =4/40 x 4/39 X 4/38 = 64/59280.

SI EXISTIERA REPOSICIN EN LOS EJEMPLOS ANTERIORES EL NMERO DE CARTAS

DEL JUEGO ES CONSTANTE.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

LA PROBABILIDAD CONDICIONAL ES AQUELLA QUE SE PRESENTA EN UN EVENTO O

SUCESO, DADO QUE OTRO EVENTO HAYA OCURRIDO.

LA PROBABILIDAD CONJUNTA: ES CUANDO SE PRESENTAN 2 MAS EVENTOS EN

FORMA SIMULTANEA.

TODOS SE PRESENTAN BAJO CONDICIONES DE DEPENDENCIA ESTADISTICA. NO HAY

QUE OLVIDAR QUE EXISTEN LAS PROBABILIDADES MARGINALES, CORRESPONDIENTE A

UNA PROBABILIDAD INCONDICIONAL DE QUE SE PRESENTE UN EVENTO, SE REFIERE A

LA PROBABILIDAD DE UN SOLO EVENTO

EN LA REGLA DE LA MULTIPLICACIN, LA PROBABILIDAD CONJUNTA A y B SE CALCULA

MEDIANTE LA FRMULA:

P(A y B)= P(A)*P(B/A) = P(AnB),

DE DONDE PODEMOS DESPEJAR LA FRMULA PARA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL

DE UN EVENTO:

Contigo es posible


18

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

SIMBOLOGA MS USADA:

P(A) : PROBABILIDAD DE QUE OCURRA EL SUCESO A.(PROB. MARGINAL)

P(A) = P(Ac) : PROBABILIDAD DE QUE NO OCURRA A.(C0MPLEMENTO)

P(A/B). PROBABILIADD DE QUE OCURRA A DADO B PROBABILIDAD CONDICIONAL DE

A DADO B.

P(B/A): PROBABILIADD DE QUE OCURRA B DADO A PROBABILIDAD CONDICIONAL DE

B DADO A.

P(AnB): PROBABILIDAD DE QUE OCURRA TANTO A COMO B PROBABILIDAD DE LA

INTERSECCIN DE A Y B PROBABILIDAD CONJUNTA DE A Y B.

P(AUB): ES LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA A, O BIEN B, O AMBOS PROBABILIDAD

DE LA UNIN A Y B.

NOTA: EN ESTA CLASE DE PROBABILIDAD RECORDAR LAS FRMULAS DE LOS

SUCESOS ANTES VISTOS.

EJEMPLO 1.- EL 18% DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO TIENEN VEHCULO PROPIO, EL

20% TIENE VIVIENDA DE SU PROPIEDAD Y EL 12%, VIVIENDA Y VEHICULO. CAL ES LA

PROBABILIDAD DE TENER VIVIENDA SI SE TIENE VEHICULO?

SOLUCIN:

A: PROPIETARIO DE VEHCULO

A : NO PROPIETARIO DE VEHCULO

B : PROPIETARIO DE VIVIENDA

B: NO PROPIETARIO DE VIVIENDA.

B B TOTAL

A 0,12p(AyB) 0,06 0,18 p(A)

A 0,08 0,74 0,82

TOTAL 0,20 0,80 1,00

Contigo es posible


19

P(B/A) = 0,12/0,18 = 0,66 = 66%.

LAS FAMILIAS QUE TIENEN VIVIENDA, SI TIENE VEHCULOS PRESENTAN UNA

PROBABILIDAD DE 66%.

AL INTERPRETAR MS EL EJERCICIO, SE TIENE: HAGA EL CLCULO Y COMPRUEBELO

(aplique la frmula):

2) NO TIENEN VEHICULO, SI NO TIENE VIVIENDA PROPIA: 93%

3 TIENEN VEHCULO,SI NO TIENEN VIVIENDA: 8%

4) NO TIENEN VIVIENDA, SI NO TIENEN VEHICULO: 90%

5) CALCULAR OTRAS.

EJEMPLO 2.- SE ENCUENTRA EN UNA FACULTAD QUE EL 70% DE LOS ALUMNOS. EL 70%

SON MUJERES Y EL 18% SON ESTUDIANTES DE ECONOMA. SI ELEGIMOS UN

ESTUDIANTE AL AZAR Y RESULTA SE MUJER, CAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE EST

ESTUDIANDO ECONOMA? (Hacer la tabla)

SOLUCIN

( )) ( )

( )

HALLE OTRAS PROBALIDADES Y SI ES POSIBLE TABULELOS DATOS

EJEMPLO 3.- POR UNA INVESTIGACIN SE ENCONTR QIE EL 10% DE LOS

CONDUCTORES DE TAXI EN LA CIUDAD SON HOMBRES CON ESTUDIOS

UNIVERSITARIOS. TAMBIEN SE SABE QUE EL 80% DE LOS CONDUCTORES DE TAXI SON

HOMBRES. CAL ES LA PROBABILIDAD, AL TOMAR UN CONDUCTOR DE TAXI AL AZAR,

QUE RESULTE SER HOMBRE, Y QUE TENGA ADEMS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS?

(Hacer la tabla)

SOLUCIN:

( ) ( )

( )

TAREA CONSULTE (MEJORE LA NOTA EL TRABAJO, CONDICIONES ACORDADS CON EL

DOCENTE ):

A) DIAGRAMA DEL ARBOL

B) FUNCIN DE PROBABILIDAD Y EJEMPLOS.

C) TEOREMA DE BAYES Y EJEMPLOS.

Contigo es posible


20

EJERCICIO

Contigo es posible


21

TEOREMA DE BAYES

EL MATEMTICO Y REVERENDO THOMAS BAYES, (1763) EN EL SIGLO XVVIII INTENT

DESARROLLAR UNA FRMULA PARA EVALUAR LA PROBABILIDAD DE LA EXISTENCIA

DE DIOS CON BASE EN EVIDENCIAS ERRENALES. MS TARDE FUE LAPLACE QUIEN

TERMIN SE DESARROLLO DENOMINANDOLO TEOREMA DE BAYES

ESTE TEOREMA SE APLICA CUANDO SE FORMULA HIPOTESIS A POSTERIORI SOBRE LA

PROBABILIDAD A PRIORI DE EVENTOS OCURRIDOS. ES DE APLICACIN EN ANLISIS

RELACIONADOS CON LA PRODUCCIN DE UNA EMPRESA.

FRMULA GENERAL:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ESTE TEOREMA ESTABLECE, QUE SI SUCEDE CIERTO EVENTO, QUE DEPENDE DE LA

OCURRENCIA DE LOS EVENTOS A o B o C CORRESPONDIENTES A UN CONJUNTO DE

SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES, LA PROBABILIDAD DE QUE B HAYA OCURRIDO

A CONSECUENCIA DE A, LO CUAL LO EXPRESAMOS: P(A/B) CORRESPONDA AL

PRODUCTO DE LAS PROBABILIDADES INDIVIDUALES DEL EVENTO A Y DEL EVENTO B,

DIVIDIDO POR LA PROBABILIDAD ALTERNATIVA DEL EVENTO B CON RESPECTO A CADA

UNO DE LOS EVENTOS INDEPENDIENTES DE A,B Y C, LA F+ORMULA GENERAL

QUEDARA, AS:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

EJEMPLO1.- 4 MQUINAS A, B, C, Y D, POR ESPECIFICACIONES Y CONTROL SE CONOCE

LA CAPACIDAD DE PRODUCCIN DE CADA MAQUINA, DURANTE UN DETERMINADO

PERODO ( 1 HORA) AS: A, UNA PRODUCCIN DE 600; B DE 400; C, DE 300 Y D, DE 700

UNIDADES, ES DECIR, EN TERMINOS PORCENTUALES A PRODUCE EL 30%, B EL 20%, C

EL 15%, Y D EL 35%.

Contigo es posible


22

MEDIANTE UN PROCESO DE OBSERVACIONES SE HA DETECTADO QUE EL PORCENTAJE

DE UNIDADES DEFECTUOSAS PRODUCIDAD POR CADA UNA DE LAS MQUINAS ES DE

4%, 3%, 6% Y 5%, RESPECTIVAMNETE.

SI SE PROCEDE A EXTRAE UN ELEMENTO DEL TOTAL DEL LOTE DETERMINADO.

A) SELECCIONANDO UNA PIEZA AL AZAR. CAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE

SALGA DEFECTUOSA.

SOLUCIN: ELA PEIEZA DEFECTUOSA Y N LA PIEZA NO DEFECTUOSA: PARA

CALCULARLA PROBABILIDAD DE QUE LA PIEZA ELEGIDA SEA DEFECTUOSA P(E), POR

LA PROPIEDAD DE LA PROBABILIDAD TOTAL, SE TIENE LA FRMULA:

P(E)= P(A)*P(E/A)+ P(B)*P(E/B)+ P(C)*P(E/C+ P(D)*P(E/D)

PARA APLICAR LA FRMULA SE TIENE:

P(A) = 0,30, P(B) = 0,20, P(C) = 015 , P(D) = 0,35

P(E/A) = 0,04, P(E/B) = 0,03, P(E/C) = 0,06, P(E/D) = 0,05,

DE DONDE:

P(A)*P (E/A) = 0.30*0,04 = 0,012, P(B)*P(E/B) = 0,20*0,03 = 0,006

P(C)*P(E/C) = 0,15*0,06 = 0,009, P(D)*P(E/D) = 0,35*0,05 = O,O175

LA SUMA DE LAS POSIBILIDADES SER:

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=0,012 + 0,006 + 0,009 + 0,0175 = 0,0445

LA PROBABILIDAD DE QUE LA PIEZA ELEGIDA SEA DEFECTUOSA ES DE 4,45%

B) CAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDA POR LA MAQUINA

A, O POR LA MQUINA B, O POR LA MQUINA C O POR LA MQUINA D.

SOLUCIN:

LA FRMULA SE PARA LA MQUINA ES:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )

Contigo es posible


23

LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDO POR LA MQUINA A ES DE 29,67%.

P(B/E)

.

LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDO POR LA MQUINA B, ES DE 13,48%.

P(C/E)

.

LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDO POR LA MQUINA C, ES DE 20,22%.

P(D/E)

.

LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDO POR LA MQUINA D, ES DE 39,33%.

UTILIZANDO EL DIAGRAMA DEL RBOL EN DOS ETAPAS:

0.04 P= 0,30 *0,04 = 0,012

0,96

0,30 0,03

P=0,20 * 0,03 = 0,06

P(A) 0,20 0,20 0,97

P(B) 0,15 0,06

P(C) 0,94 P= 0,15 * 0,06 = 0,09

P(D) 0,35 0,05

0,95

P=0,35*0,05 =0,0175

EJEMPLO 2.- SE TIENEN TRES RECIPIENTES; LA PRIMERA CONTIENE 6 BOLAS AZULES Y

2 ROJAS; LA SEGUNDA 4 AZULES Y 4 ROJAS Y LA TERCERA 6 AZULES. SE SELECCIONA

UNA DE LAS TRES URNAS AL AZAR Y DEELLAS UNA BOLA QUE RESULTA SER AZUL.

Contigo es posible


24

CON LO ANTERIOR INFORMACIN. CAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE EL RECIPIENTE

ESCOGIDO SEA EL PRIMERO? SEA EL TERCERO.

SOLUCIN:

P(A) = 1/3, P(B) = 1/3, P(C) = 1/3

P(E/A) = 6/8 = 3/4 P(E/B) = 4/8 = P(E/C) = 6/6 = 1.

LA PROBABILIDAD DE QUE LA BOLA AZUL PROVENGA DEL PRIMER RECIPIENTE ES:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

( ) (

)

( ) (

) (

) (

) (

)( )

LA PROBABILIDAD DE QUE LA BOLA AZUL PROVENGA DEL PRIMER RECIPIENTE ES :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )(( )

( ) (

) (

) (

) (

)( )

EJEMPLO 3.- UN AUTOR DE LA EDITORIAL ENVIA FOLLETOS PROMOCIONANDO SU

LIBRO DE ESTADISTICA AL 72% DE LOS PROFESORES QUE ENSEAN LA ASIGNATURA

EN LAS UNIVERSIDADES QUE FUERON SELECCIONADAS PARA LA PROMOCIN. UN MES

DESPUS SE CONSTAT QUE EL 46% QUE RECIBIERON EL FOLLETO ADOPTARON EL

LIBRO Y UN 16% QUE NO LO RECIBIERON, TAMBIEN LO ADOPTARON. CAL ES LA

PROBABILIDAD DE QUE UN PROFESOR QUE ADOPTA EL LIBRO, FUE EL RESULTADO DEL

FOLLETO DE PROMOCIN.

0,46

P(A) = 0,72

0,54 ( )

Contigo es posible


25

0,16 =0,8809 = 88,09%

P(B) 0 0,28

0,84

LA PROBABILIDAD DE QUE UN PROFESOR ADOPTE UN LIBRO ES DE 88,09%.

BIBLIOGRAFIA:MARTINEZ B. Ciro. Estadstica y muestreo paginas 231-280.

Probabilidades Ejercicios Resueltos

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