NOCIONES BASICAS DE PROBABILIDAD

Prof. Leopoldo Bejarano Benites

1. Aplicar los conceptos de los términos: Experimento, espacio muestral y evento.

2. Conocer y aplicar la definición y propiedades de la probabilidad de ocurrencia de un evento.

3. Aplicaciones del cálculo de probabilidades en la ocurrencia de eventos biomédicos.

OBJETIVOSOBJETIVOS

ExperimentoExperimentoEs la observación de un fenómeno. Ejemplo:

a. Lanzamiento de un dado correcto sobre una superficie plana.

b. Evaluación del estado de salud de una persona.

c. Calentar el agua a 100 º C.

d. Soltar un objeto.

Tipos de experimento:Tipos de experimento:

Experimento determinístico: En este caso la observación del fenómeno nos conduce a un solo resultado. Ejemplos:

En el experimento © el único resultado es el vapor.

En el experimento (d) el único resultado que se obtiene es que el objeto se cae.

Tipos de experimentos:Tipos de experimentos:

EXPERIMENTO ALEATORIO: Es aquel fenómeno que bajo las mismas condiciones

experimentales se obtienen dos o más posibles resultados diferentes

Ejemplos:1: Evaluar el estado de salud de una persona elegida al

azar de una población: s (sano) ó e (enfermo)2: Evaluar el estado de salud de tres personas elegidas

al azar de una población:(sss) ó (sse) ó (ses) ó (ess) ó (see) ó (ese) ó (ees) ó (eee)

ESPACIO MUESTRAL ASOCIADO A UN EXP. ESPACIO MUESTRAL ASOCIADO A UN EXP. ALEATORIOALEATORIO: :

ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS POSIBLES RESULTADOS DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO

Ejemplos:

1= {s , e}

2= {(sss), (sse), (ses), (ess), (see), (ese), (ees), (eee)}

EVENTO ó SUCESO :EVENTO ó SUCESO : denotado por: denotado por: A, B,..A, B,..

ES UN SUBCONJUNTO DEL ESPACIO MUESTRAL

Ejemplo.- : Evaluar el estado de salud de tres personas elegidas al azar de una población. Un espacio muestral asociado a este experimento es:

: {(sss), (sse), (ses), (ess), (see), (ese), (ees), (eee)}Definamos los siguientes eventos: A: Que una persona resulte enferma A={(sse),(ses),(ess)}; n(A)= 3 B: Que al menos dos personas resulten enfermas B={(see),(ese),(ees),(eee); n(B)= 4 C: Que la segunda persona resulte enferma C={ (ses); (see); (ees); (eee)}; n(C)= 4

… … … … …… … … … ….. D: Que al menos 4 personas resulten enfermas D={ } = ; n(D) = 0 (EVENTO IMPOSIBLE)

B: Ocurra a lo más un enfermo (COMPLEMENTO DEL

_ EVENTO B) _ B={(e,s,s),(s,e,s),(s,s,e),(s,s,s); n(B) = 4 E: A lo más 3 personas resulten enfermas E={(sss);(sse);(ses);(ess);(see);(ese);ees);eee)}= n(E) = n( ) = 8 (EVENTO SEGURO) F: Que las 3 personas resulten sanas F={(s,s,s)}; n(F)=1 (EVENTO ELEMENTAL)

En base a los eventos ya definidos, podemos En base a los eventos ya definidos, podemos construir otros eventos, por ejemplo:construir otros eventos, por ejemplo:

AUC={(s,s,e);(s,e,s,);(e,s,s);(s,e,e);(e,e,s);(e,e,e)} Ocurre el evento AUB si ocurre A ó B ó ambos.AC={(s,e,s)}Ocurre el evento AC si ocurre A y COcurre el complemento del evento B (B) si no ocurre B. Los eventos B y B son COMPLEMENTARIOS si: BUB = y BB = { } = También se podrían generar los siguientes eventos:A-B: Que ocurra solamente el evento AB-A: Que ocurra solamente el evento BA B: Que ocurra solamente uno de los dos evento.

PROBABILIDAD DE LA OCURRENCIA DE UN EVENTOPROBABILIDAD DE LA OCURRENCIA DE UN EVENTO: :

P(A) = n(A) / n(P(A) = n(A) / n())A: Que ocurra exactamente una persona enferma. A={(sse),(ses),(ess)}; n(A) = 3B: Que ocurra al menos dos personas enfermas. B={(see),(ese),(ees), (eee)}; n(B) = 4C: Ocurra al menos 4 personas enfermas._ C={ } = ; n(C) = 0 (IMPOSIBLE)B:_ Ocurra a lo más un enfermo _ B={(sse),(ses),(ess),(sss)} , n(B) = 4 E: Ocurra a lo más 3 personas enfermas E={(sss),(sse),(ses),(ess), (see), (ese),(ees),(eee)} = n(E) = n( ) = 8 (SEGURO)F: Ocurra exactamente 3 personas sanas F={(sss)} ; n(F) = 1 (ELEMENTAL)

EJEMPLOS:

P(A) = n(A)/n() = 3/8 = 0.375

P(B) = n(B)/ n() = 4/8 = 0.5

P(C) = n(C)/n() = 0/8 = 0 _ _ P(B) = n(B)/n() = 4/8 = 0.5

P(E) = n(E)/n() = 8/8 = 1

P(F) = n(F)/n() = 1/8 = 0.125

P R O P I E D A D E SP R O P I E D A D E S

1.- 0 P(A) 1

P(A) = n(A)/n() = 3/8 = 0.375

P(B) = n(B)/ n() = 4/8 = 0.5

P(D) = n(D)/n() = 4/8 = 0.5

P(F) = n(F)/n() = 1/8 = 0.125

P(C) = n(C)/n() = 0/8 = 0 (Probabilidad de Evento Imposible)

P(E) = n(E)/n() = 8/8 = 1 (Prob. Evento Seguro)

A

2.- Si A,B eventos cualesquiera, entonces,

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)

(A B)

BA

Figura: Convergencia a 1/2 de la frecuencia relativa del número de caras obtenido en lanzamientos

sucesivos de una moneda (simulación en ordenador).

Esta es la noción frecuentista de probabilidad

EJEMPLO .-

En una comunidad, se evaluó el estado de nutrición de 100 niños menores de 5 años de edad, obteniéndose los siguientes resultados: ********************************************************* SEXO ESTADO de NUTRICION Normal Malnutrido TOTAL ********************************************************* Hombres 40 15 55 Mujeres 20 25 45 ******************************************************** TOTAL 60 40 100 ********************************************************Se elige un niño al azar, cuál es la probabilidad de que: a. Sea mujer y este malnutrido? b. sea hombre o su estado de nutrición sea normal ?

SOLUCION

3. Si A,B eventos excluyentes (AB=), entonces,

P(AUB) = P(A) + P(B)

A B

EJEMPLO.-

Se recolectó información sobre el peso del recién nacido y si la madre fumó o no durante el embarazo. Los datos se presentan a continuación:

FUMA CIGARRILLOS PESO R N. TOTAL

BAJO NORMAL

SI 30 10 40

NO 20 140 160

TOTAL 50 150 200¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido tenga bajo peso o sea normal?SOLUCION

B : Tenga bajo peso al nacerN : Tenga peso normal

P( B N ) = P( B ) + P( N )P( B N ) = 50 / 200 + 150 / 200 = 1

_

4.- Si A y A son complementarios, entonces, _ _

P( A) = 1 - P(A) ó P(A) = 1 - P( A)

_A

A

EJEMPLO.-

En una determinada comunidad, se evaluó el estado nutricional de 100 niños menores de 5 años de edad, obteniéndose los siguientes resultados: ************************************ Estado Nutricional nº ************************************ Normal 60 Malnutrido 40 ************************************ TOTAL 100 ************************************Se elige un niño al azar de esta población, cuál es la probabilidad de que sea malnutrido?SOLUCIONN : Estado nutricional sea normal_N : Estado nutricional sea malnutrido _luego, P( N) = 1 - P( N) _ P( N) = 1 - 60/100 = 0.4Interpretación :Por tanto, la probabilidad de que el niño elegido al azar de dicha comunidad este malnutrido es de 0.4.

5.- Si A,B eventos cualesquiera, entonces, _

P( A B) = P( A-B) = P(A) - P(AB)

NOTA:

Las probabilidades son expresadas en tanto por uno.

(A B)

BA __(A B)

EJEMPLO.-

Retomando el ejemplo sobre el peso del recién nacido y si la madre fumó o no durante el embarazo, Cuál es la probabilidad de que el RN tenga bajo peso pero la madre no fuma?

SOLUCIONB : Tenga bajo peso al nacer_F : La madre no fuma _

P( B F) = P( B ) - P( B F ) _P( B F ) = 50 / 200 - 20 / 200 = 30/200 _P( B F ) = 0.15

EJEMPLO EJEMPLO .- .-

Se clasifica a 900 adultos que han culminado sus estudios superiores según sexo Se clasifica a 900 adultos que han culminado sus estudios superiores según sexo y ocupación, y se obtienen los siguientes resultados:y ocupación, y se obtienen los siguientes resultados: *************************************************************** *************************************************************** SEXO OCUPACION SEXO OCUPACION __ Desempleados Desempleados (D)(D) Empleados ( Empleados (D)D) TOTAL TOTAL *************************************************************** *************************************************************** Hombres Hombres ((HH) ) 40 460 500 40 460 500 Mujeres Mujeres (H)(H) 260 140 400 260 140 400 **************************************************************** **************************************************************** TOTAL 300 600 900 TOTAL 300 600 900 ***************************************************************** *****************************************************************Se elige un adulto al azar, cuál es la probabilidad de que:Se elige un adulto al azar, cuál es la probabilidad de que: a. esté desempleado a. esté desempleado b. Esté desempleado y es hombre b. Esté desempleado y es hombre c. Esté empleado o mujer c. Esté empleado o mujer

SSOLUCIONOLUCION

Ejemplo 1Ejemplo 1

El experimento consiste en lanzar un dado y una moneda correcta sobre una superficie plana.

Se pide:a. Elaborar un espacio muestral asociado al

experimento ya ejecutado.b. Determinar los elementos del evento que está

definido como: Que ocurra sello y número par.c. Calcular la probabilidad del evento definido en (b) d. Determinar la probabilidad de que resulte sello o

un número mayor de 4

Resolver ejercicio 1Resolver ejercicio 1 En la población de niños menores de 5 años de la

comunidad Bella, un médico está interesado en estudiar como se comporta la desnutrición y la anemia.

Se tiene conocimiento de que la probabilidad de que un niño tenga al menos una de las dos enfermedades es de 0.55. La probabilidad de que solamente esté desnutrido es de 0.25. La probabilidad de que un niño menor de 5 años esté desnutrido es de 0.4.

Si de esta población seleccionamos un niño al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que:

a. El niño este desnutrido y tenga anemia.b. Solamente tenga anemia.c. Solamente tenga anemia o solamente tenga

desnutrición?

Ejercicio 2

Se eligen al azar 3 deportistas de un equipo de 10 integrantes para realizar un control antidopaje; Se sabe que 2 de los jugadores del equipo han tomado sustancias prohibidas. Se pide:

a. ¿Cuál es la probabilidad de elegir para el análisis a uno de los infractores?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno resulte infractor? c. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno resulte infractor?

3. De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40 inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano, 13 inglés y castellano, y 5 los tres idiomas. Se eligen al azar un asistente y se desea saber:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés? b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable castellano? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no hable francés? d) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo hable un idioma? e) ¿Cuál es la probabilidad de que hable los tres idiomas?

PROBABILIDAD CONDICIONALPROBABILIDAD CONDICIONAL

: Lanzamiento de un dado correcto sobre una superficie plana y se observa la parte superior.

= 1, 2, 3, 4, 5, 6A: Que ocurra un nº mayor de 4A=5, 6 P (A) = 2/6B: Que ocurra un número parB= 2, 4, 6 P (B) = 3/6Dado que el nº observado resultó par ¿Cuál es la

probabilidad de que ocurra un nº mayor de 4?

PROBABILIDAD CONDICIONALPROBABILIDAD CONDICIONAL

Simbólicamente podemos expresarlo como:

P (A/B): Probabilidad de A dado B.

(Probabilidad de que ocurra nº mayor de

4 , dado, nº resultó par)

P (A/B)= 1/3 =n( A B)/n( B) =P( A B)/ P( B)

Por tanto: P (A/B) = P( A B)/ P( B), P( B)>0

Ejemplo:Ejemplo: ****************************************************************************************************************************** SEXO OCUPACION SEXO OCUPACION Desempleados Empleados TOTAL Desempleados Empleados TOTAL D D’ D D’ *************************************************************** *************************************************************** Hombres H 40 460 500 Hombres H 40 460 500 Mujeres H’ 260 140 400 Mujeres H’ 260 140 400 **************************************************************** **************************************************************** TOTAL 300 600 900 TOTAL 300 600 900 ***************************************************************** ***************************************************************** Se elige un adulto al azar, cuál es la probabilidad de que:Se elige un adulto al azar, cuál es la probabilidad de que:a. Esté desempleadoa. Esté desempleadob. Esté desempleado dado que es mujerb. Esté desempleado dado que es mujerc. Esté desempleado dado que es varónc. Esté desempleado dado que es varón SOLUCION:SOLUCION: n n(D(DH’) 260 H’) 260 a. a. P (D/M) = ---------------- = ------------ = 0.65 P (D/M) = ---------------- = ------------ = 0.65 n(H’) 400 n(H’) 400 Interpretación:Interpretación: Al elegir un adulto al azar, la probabilidad de que este desempleado dado que es Al elegir un adulto al azar, la probabilidad de que este desempleado dado que es mujer es de 0.65.mujer es de 0.65.

PROPIEDADES PROPIEDADES (Probabilidad condicional)(Probabilidad condicional)

Si P(H) Si P(H) 0, entonces : 0, entonces : _ _

1.- P (D/H) = 1 - P( D/H)1.- P (D/H) = 1 - P( D/H)

2.- P(2.- P(/H) = 1/H) = 1

3.- Si A, B son disjuntos en H, tenemos que:3.- Si A, B son disjuntos en H, tenemos que:

P[(AUC)/H] = P(A/H) + P(C/H) P[(AUC)/H] = P(A/H) + P(C/H)

EJEMPLO EJEMPLO El 50% de la población aproximadamente son El 50% de la población aproximadamente son varones, el 68% bebe con cierto exceso, y el varones, el 68% bebe con cierto exceso, y el 38.5% bebe y es varón. Dado que una 38.5% bebe y es varón. Dado que una determinada persona aleatoriamente determinada persona aleatoriamente seleccionada es varón, hallar la probabilidad seleccionada es varón, hallar la probabilidad de que beba. Es el estatus de bebedor de que beba. Es el estatus de bebedor independiente del sexo?independiente del sexo?

SOLUCIONSOLUCION

REGLA DE LA MULTIPLICACIONREGLA DE LA MULTIPLICACION

PP(A(AB)B) A partir de : A partir de : P(B/A) = -------------- , despejando, tenemos: P(B/A) = -------------- , despejando, tenemos: P(A) P(A)

P(A P(AB) = P(A)* P(B/A) B) = P(A)* P(B/A)

En general :En general :

Dados los eventos ADados los eventos A11,A,A22,...,A,...,AN-1N-1,A,ANN, se tiene que:, se tiene que:

P(AP(A11AA22 ......AAN-1N-1 AANN)=P(A)=P(A11)*P(A)*P(A22/A/A11)*...*P(A)*...*P(ANN/A/A11 ......AAN-1N-1) )

EJEMPLO EJEMPLO

El resultado de la evaluación nutricional de 100 niños, son 60 normales y 40 El resultado de la evaluación nutricional de 100 niños, son 60 normales y 40 malnutridos. Si de este grupo seleccionamos dos niños al azar sin reposición, Cuál malnutridos. Si de este grupo seleccionamos dos niños al azar sin reposición, Cuál es la probabilidad de que el primer niño sea normal y el segundo sea mal nutrido?es la probabilidad de que el primer niño sea normal y el segundo sea mal nutrido?

SOLUCIONSOLUCIONP(AP(AB) = P(A)*P(B/A)B) = P(A)*P(B/A)

A: El primer niño sea normalA: El primer niño sea normal

B: El segundo niño sea malnutridoB: El segundo niño sea malnutrido

AAB: El primer niño sea normal y el segundo niño sea malnutridoB: El primer niño sea normal y el segundo niño sea malnutrido

B/A: El segundo sea malnutrido dado que el primer niño fue normalB/A: El segundo sea malnutrido dado que el primer niño fue normal

Según la regla de multiplicación, tenemos:Según la regla de multiplicación, tenemos:

P(AP(AB) = P(A)*P(B/A)= (60/100)*(40/99) = 0.24B) = P(A)*P(B/A)= (60/100)*(40/99) = 0.24

Interpretación:Interpretación:Nos indica que la probabilidad de que el primer niño sea normal y el segundo sea Nos indica que la probabilidad de que el primer niño sea normal y el segundo sea malnutrido es de 0.24.malnutrido es de 0.24.

EJEMPLO.-Se sabe que en un lote de medicamentos de 50 frascos, hay 4 que están defectuosos. Se extraen al azar 2 frascos, uno a continuación del otro, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean defectuosos?.

SOLUCIOND1 : El primer medicamento es defectuosoD2 : El segundo medicamento es defectuosoD2/D1: El segundo medicamento es defectuoso dado que el primer medicamento también lo es

49

3D

DP

50

4)D(P

)(1

2

1

245012

493

504

=

DDP)D(P)DD(P )(

1

2121

Independencia de eventosIndependencia de eventos

Sean los eventos A y B definidos en .

Si P(A/B)=P(A) , entonces A es independiente de B

Si P(B/A)=P(B), entonces B es independiente de A.

Los eventos A y B son independientes si y solo

P( A ∩ B) = P (A) * P (B)

Ejercicio 1Ejercicio 1

En relación a los profesores de la facultad de medicina, se tiene conocimiento de que uno de ellos tenga solamente hipertensión o solamente diabetes es de 0.14. Además se sabe de que un profesor sea diabético dado que es hipertenso es de 0.25; y la probabilidad de que un profesor sea hipertenso es de 0.12. Se pide:

a. Si de los profesores de la facultad, seleccionamos uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el profesor sea hipertenso si es diabético?

b. En los profesores, la diabetes es independiente de la hipertensión arterial

Ejercicio 2Ejercicio 2

La probabilidad de que un adulto sea hipertenso es de 0.08.

Si de dicha población seleccionamos dos adultos al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que:

A. Al menos uno de ellos sea hipertenso?B. Que el segundo resulte hipertenso?