PROBABILIDADES ICAPITULO II

MATEMATICA APLICADA

1

EXPERIMENTO ALEATORIO : Un experimento aleatorio o estadístico es cualquier

experimento u operación cuyo resultado no puede predecirse con exactitud antes de realizarse el experimento.

Ejemplos:

o Lanzar una moneda y observar si sale cara.o Lanzar un dado y observar el numero que aparece

en la cara superior.o De un lote de bombillas de luz, extraer uno que

sea defectuoso.

PROBABILIDADES

ESPACIO MUESTRAL :

Es el conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento aleatorio. Denotaremos por la notación Ω (omega) o con la letra SEjemplos:

1. Para el lanzamiento de un dado, el espacio muestral es:

Ω=

Porque un dado tiene 6 caras y de lanzarlo.,

cualquiera de ellas puede quedar arriba.

2. En el lanzamiento de una moneda, el espacio muestral es:

Ω =

Espacio Muestral

PROBABILIDADES

.1 .2 .3 .4 .5 .6

C; S

ESPACIO MUESTRAL :Ejemplos:3. En el lanzamiento de una moneda dos veces, su

espacio muestral es:

Ω =

Este espacio muestral se puede obtener con el diagrama del árbol

C CCC

S CS

C SCS

S SS

PROBABILIDADES

ESPACIO MUESTRAL.CC .CS .SC .SS

SUCESO O EVENTOSSe llama suceso o evento a cualquier subconjunto del espacio muestral Ω. A los sucesos generalmente se le denota por letras mayúsculas, tales como A, B, C, etc.

Entonces: A es un suceso A Ω Relacionando con la teoría conjuntista al espacio muestral Ω se le llama el universo y el Ω; luego:Ω (universo) se llama suceso seguro. (nulo) se llama suceso imposible.

PROBABILIDADES

E espacio muestral

AA’

E espacio muestral

A B

E espacio muestral

AB

E espacio muestral

A B

SUCESO O EVENTOSEjemplo:En el lanzamiento de una moneda, tres veces podemos enunciar los siguientes sucesos:A = Se obtiene exactamente una caraB = Se obtiene por lo menos dos caras.Ω =

C CCCC

S CCSC CSC

S S CSS C SCC

CS SCSC SSC

S S SSS

PROBABILIDADES

C

S

SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTESabemos que si A y B son conjuntos disjuntos, entonces A B = Por lo tanto:A y B son dos sucesos que no pueden ocurrir a la vez, entonces, se dice que son mutuamente excluyentes.Ejemplo:Sea el experimento aleatorio: El lanzamiento de los dados. El espacio muestral es:Ω =

PROBABILIDADES

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTEEjemplo:

Sea el experimento aleatorio: El lanzamiento de dos dados. El espacio muestral es:Ω =

Sean los sucesos:Suceso A: Obtener una suma igual a 6. Entonces:A = Suceso B: Obtener una suma igual a 5.B =

PROBABILIDADES

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

A B = Ø Luego A y B son mutuamente excluyentes.

ALGUNAS PROPIEDADES CONJUNTISTAS1. Ley de la idempotencia

2. Ley conmutativa

3. Ley asociativa

4. Ley distributiva

5. Ley D’ Morgan

PROBABILIDADES

ALGUNAS PROPIEDADES CONJUNTISTAS6. Ley del complemento

7. Ley de identidad

PROBABILIDADES

PROBABILIDAD DE UN SUCESOSea el suceso o evento A del espacio muestral Ω; la probabilidad de A denotada por P(A) es la razón entre el numero de resultados favorables al suceso A y el numero total de resultados del espacio muestral. También se define como la frecuencia relativa con la que puede esperarse que el evento ocurra.

Ejemplo 1:¿ Cual es la probabilidad de obtener un numero par, cuando se tira un dado?Solución:Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado.Ω = ; n(Ω ) = 6Suceso A: Obtener un numero par: A = n(A) = 3Luego

PROBABILIDADES

PROBABILIDIDAD DE UN SUCESOEjemplo 2:Si se lanza una moneda tres veces, ¿ cuál es la probabilidad dea) Obtener exactamente dos caras ?b) Al menos dos caras ?c) Ninguna cara ?Solución Ω = CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS ; n(Ω) = 8 A : Exactamente dos caras A = CSC, CCS, SCC

B : Al menos dos caras. B = CCC, CCS, CSC, SCC C : Ninguna cara C = SSS

PROBABILIDADES

CC CCCCCC

C S CC

SCC C CS

C S S CS

S C SC

C C S SC

SSS C SS

C S S SS

S

AXIOMAS DE PROBABILIDAD1. La probabilidad de un suceso A, toma valores entre 0

y 1; es decir 0 ≤ P(A) ≤ 1

2. La probabilidad de un suceso seguro Ω es 1; P(Ω) = 1

3. Si un suceso A = Ø, A es un suceso imposible: P(A) = 0

4. Si A y B son sucesos de Ω; donde A ∩ B = Ø; entonces, la probabilidad de ocurrencia del suceso A ∪ B, es:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

PROBABILIDADES

Ejemplo 1Una caja contiene 4 bolas blancas y 6 negras. Si se extrae al azar una bola. ¿ Cuál es la probabilidad que la bola extraíble sea blanca ?.

Solución:

Experimento aleatorio : Extraer una bola de una caja que contiene 4 bolas blancas y 6 negras.

Ω = n(Ω) = 10

Suceso A: Extraer una bola blanca.

A = n(A) = 4

La probabilidad de extraer una bola blanca es:

PROBABILIDADES

BLANCAS NEGRAS

4 6

Ejemplo 2La probabilidad de que no asistan a clase no menos de 8 estudiantes es 0.2 y la probabilidad de que no asistan a clase no mas de 5 estudiantes es 0.3. Hallar la probabilidad de que no asistan 6 ó 7 estudiantes.

Solución :Sean los sucesos :A : No asistan a clase no menos de 8 estudiantesA = 8 , 9 , 10 ,…………. B : No asistan a clase no más de 5 estudiantes AB = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 C : No asistan a clase a 6 ó 7 estudiantesC = ……Como A, B y C son mutuamente excluyentes donde CA ∪ B ∪ C = Ω (Universo); entonces:P(A ∪ B ∪ C) = P(Ω) = P(A) + P(B) + P(C) = 1 = 0.2 + 0.3 + P(C) = 1 B = P(C) = 1 – 0.5 P(C) = 0.5

PROBABILIDADES

.6

.7

.8

.9

.1...5

TEOREMAS SOBRE PROBABILIDADES1. Si Ø (Suceso imposible); entonces P(Ø) = 0 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado el

punto a salir sea 7? Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n = 0 P (7) = 0 /7 =

0

2. Si A’ es un suceso complementario de A; entonces: P(A’) = 1 – P(A)Esto se deduce de la siguiente relación:Como A ∪ A’ = Ω A y A’ son sucesos excluyentes, por lo tanto:

P(A) + P(A’) = P(Ω)P(A) + P(A’) = 1

PROBABILIDADES

P(A’) = 1 – P(A)

TEOREMAS SOBRE PROBABILIDADES3. Si A y B son sucesos no excluyentes (conjuntos no

comparables); se tiene que:n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) ……… (1)

A B

Si la relación (1) dividimos por n(Ω); se tiene

Por definición de probabilidades se tiene:

PROBABILIDADES

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

TEOREMAS SOBRE PROBABILIDADESExtendiendo para tres conjuntos no comparables. Se tiene que: A B

C

PROBABILIDADES

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C)+ P(A ∩ B ∩ C)

Ejemplo 1:De un total de 200 estudiantes, 120 están matriculados en anatomía y 80 en biología, 50 en ambos cursos. Si se elije al azar uno de los 200 estudiantes, ¿ cual es la probabilidad de que un estudiante elegido este matriculado en una de las asignaturas ?.

Solución:Espacio muestral: n(Ω) = 200Suceso A: Seleccionar un alumno matriculado en anatomía. n(A) = 120 P(B) =

Suceso B: Seleccionar un alumno matriculado en biología. n(B) = 80 P(B) =Suceso (A ∩ B): Seleccionar un alumno matriculado en biología y anatomía. n(A ∩ B) = 50 P(A ∩ B) = Como se sabe que: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = P(A ∪ B) =

PROBABILIDADES

Ejemplo 2:Hallar la probabilidad de que en el lanzamiento de dos dados se obtenga suma par, suma menor que 5 o ambos.

Solución:Espacio muestral n(Ω) = 36Suceso A: Se obtenga suma parA = (1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5),(6,2), (6,4), (6,6)

n(A) = 18 P(A) = Suceso B: Se obtenga suma menor que 5B = (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1)

n(B) = 6 P(B) = Suceso ambos: A ∩ B n(A ∩ B) = 4 P(A ∩ B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P(A ∪ B) =

PROBABILIDADES

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

PROBABILIDADES

x

Ejemplo 3:En un salón de clase de 40 alumnos, 30 de ellos postulan a la universidad de San Marcos y 26 a la universidad de San Martin. Se elije al azar un alumno de este salón. ¿ Cual es la probabilidad de que sea un estudiante que postula a ambas universidades ?.

Solución:Suceso A: Alumnos que postulan a San Marcos; n(A) = 30Suceso B: Alumnos que postulan a San Martin: n(B) = 26Suceso (A ∩ B): Alumnos que postulan a ambas universidades.

Sabemos que: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 40 n(A ∪ B) = 30 + 26 – n(A ∩ B) = 40 SM=30 SP=26 n(A ∩ B) = 16 30 - x 26 - x

P(A ∩ B) =

Ejemplo 4:Con 7 ingenieros y 4 médicos se van a formar comités de 6 miembros. ¿ Cual es la probabilidad que el comité incluya.a. Exactamente dos médicosb. A los sumo tres ingenieros

Solución:

Espacio muestral:

a) Evento : Exactamente dos médicos: n(A) = C(4, 2) x C(7, 4) = = 210

P(A) = = 0,4545

Grupos a formar: (1I,5M) (2I,4M)(3I,3M)

b) Evento B: A lo sumo tres ingenieros:

n(B) = C(7, 2) x C(4, 4) + C(7, 3) x C(4,3) = =

n(B) = 21 + 140 = 161

P(B) = = 0,348

PROBABILIDADES

Ejemplo 5:De un grupo de personas, el 30% practica fútbol y el 40% juega ajedrez. De los futbolistas, el 50% juega ajedrez. Si se elije aleatoriamente una persona. ¿ Cuál es la probabilidad que:a. Juega fútbol o ajedrez.b. Practica solo uno de estos deportes. c. No practica ni fútbol ni ajedrez,

Solución:Suceso A : Persona elegida es futbolista, P(A) = 0.30Suceso B : Persona elegida juega ajedrez, P(B) = 0.40Suceso A ∩ B : Practican ambos deportes; P(A ∩ B) = 0.15Suceso A ∪ B : Persona elegida juega fútbol o ajedrez.

a) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0.30 + 0.40 -0.15 = 0.55

PROBABILIDADES

Ejemplo 5: A B

Suceso C: Practica un solo deporte; C = (A ∩ B’) ∪ (B ∩ A’)

P(C) = P(A ∩ B’) + P(B ∩ A’)P(C) = 0.15 + 0.25 = 0.40

Suceso D: No practica ni fútbol ni ajedrez: D = A’ ∩ B’ = (A ∪ B)’

P(D) = 1 – P(A ∪ B)P(D) = 1 – 0.55 = 0.45

PROBABILIDADES

0.15

0.25

0.15

Ejemplo 6:En cierta ciudad el porcentaje de personas que leen los periódicos A, B, C y sus combinaciones son como sigue:A: 9.8% A y B: 5.1% A, B y C: 2.4%B: 22.5% A y C: 3.7%C: 12.1% B y C: 6%(a)¿ Qué porcentaje de la población leen al menos uno de los periódicos

?.(b)¿Cuál es la probabilidad que una persona seleccionada

aleatoriamente de esta población sea lector del periódico A y no lo sea de los periódicos B y C ?.

Solución:Suceso A ∪ B ∪ C: Leen al menos uno de los periódicos

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(A ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

P(A ∪ B ∪ C) = 0.098 + 0.229 + 0.121 – 0.051 – 0.037 – 0.06 + 0.024

P(A ∪ B ∪ C) = 0.320

PROBABILIDADES

Ejemplo 6:En cierta ciudad el porcentaje de personas que leen los periódicos A, B, C y sus combinaciones como sigue:A: 9.8% A y B: 5.1% A, B y C: 2.4%B: 22.5% A y C: 3.7%C: 12.1% B y C: 6%

A B

C

Suceso A ∩ B’ ∩ C’: Leen el periódico A y no leen el periódico B y C.

P(A ∩ B’ ∩ C’) = 0.034

PROBABILIDADES

3.42.7 14.

21.3

2.43.6

4.8

Probabilidad Condicional:Sean los sucesos A y B en el espacio muestral Ω con P(A) 0

La probabilidad condicional de B, habiendo ocurrido A, denotado por P(B / A), se define así:

PROBABILIDADES

P(B / A) =

Probabilidad Condicional:Ejemplo 1:Se lanza un dado. Si se obtiene un número par, ¿ cuál es la probabilidad que sea menor o igual a 4 ?.

Solución:Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dadoΩ = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ; n(Ω) = 6Suceso A: Obtener un número de un par:A = 2 , 4 , 6 n(A) = 3 P(A) = Suceso B: Obtener un número menor o igual a 4.B = 1 , 2 , 3 , 4 n(B) = 4Como A ∩ B = 2 , 4 n(A ∩ B) = 2 P(A ∩ B) =

Luego: P(B / A) = = -- P(B / A) =

PROBABILIDADES

Probabilidad Condicional:Ejemplo 2:

Una caja contiene 6 bolas azules, 10 blancas y 4 negras. Si se extrae al azar una por una y sin repetición. ¿ Cuál es la probabilidad que de 3 bolas que se extraen sucesivamente, la primera sea azul, la segunda sea blanca y la tercera sea negra ?.

SOLUCION

6 10 4

20

PROBABILIDADES

Probabilidad Condicional:Ejemplo 2:Solución:De un total de 20 bolas, el espacio muestral es n(Ω) = 20Si el suceso A: seleccionar una bola azul ; n(A) = 6 P(A) =

La probabilidad de seleccionar una bola blanca después de haber seleccionado una azul es: P(B / A) =

La probabilidad de seleccionar una bola negra después de haber seleccionado una azul y una blanca: P(N / AB) =

Luego: La probabilidad de seleccionar 3 bolas, de modo que la primera sea azul, la segunda sea blanca y la tercera negra es:

P(ABN) = ( )( )( ) =

PROBABILIDADES

PROBABILIDAD CONJUNTA:

La probabilidad conjunta es aquella donde los sucesos ocurren simultáneamente.

Ejemplo:

* La probabilidad de que un número sea par y menor que 5

* La probabilidad de que sea médico y egresado de la Universidad San Martín.

PROBABILIDADES

PROBABILIDAD CONJUNTA:Con los datos que se indican en el cuadro:

Hallar: P(H ∩ Q) ; P(M ∩ I) ; P(M ∩ Q) ; P(I) ; P(Q) P(Q/H) Solución: Según el cuadro, el número de elementos del espacio muestral es: n(Ω) = 72 Luego: n(H ∩ Q) = 20 P(H ∩ Q) =

n(M ∩ I) = 12 P(M ∩ I) =

PROBABILIDADES

SexoProf.

Hombre (H)

Mujer (M) Totales

Médico (Q)

20 25 45

Ingeniero (I)

15 12 27

Totales 35 37 72

PROBABILIDAD CONJUNTA:

n(M ∩ Q) = 25 P(M ∩ Q) = n(I) = 27 P(I) = n(H) = 35 P(H) = n(Q / H) = = P(Q/H) = =

PROBABILIDADES

SexoProf.

Hombre (H)

Mujer (M) Totales

Médico (Q)

20 25 45

Ingeniero (I)

15 12 27

Totales 35 37 72

SUCESOS INDEPENDIENTES: Se dice que el suceso A es independiente del suceso B ( A y B en Ω) ; si : P(B / A) = P(B) Es decir la probabilidad de ocurrencia de A no afecta la ocurrencia de B

PROBABILIDAD CONJUNTA DE SUCESOS INDEPENDIENTES: Si A y B son sucesos independientes, la probabilidad conjunta de que los Sucesos de A y B ocurran es igual al producto de la probabilidad de ocurrencia de A y B. O sea:

P(A ∩ B) = P(A).P(B)

En general:P(A1 ∩ A2 ∩ A3…. …….. ∩ An) = P(A1).P(A2).P(A3)……….P(An)

PROBABILIDADES

Ejemplo: Un dado tiene una cara pintada de rojo, dos de verde y el resto de negro. Se lanza el dado 4 veces ¿ Cuál es la probabilidad de que las primeras veces se obtenga rojo y la última verde?

Solución: Sucesos Ai : La cara obtenida es roja n(Ai) = 1 P(Ai) =

Bi : La cara obtenida es verde n(Bi) = 2 P(Bi) =

Ci : La cara obtenida es negra n(Ci) = 3 P(Ci) =

Como Ai, Bi, Ci, son sucesos independientes se tiene que:

P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ B4) = P(A1).P(A2).P(A3).P(B4)

PROBABILIDADES

PROBABILIDAD TOTAL:TEOREMASi los sucesos , , ……….. , forman una participación del espacio muestral Ω tal que P(A) ≠ 0; para cada i = 1, 2 ,……, n, entonces para cualquier suceso B en Ω se tiene que:P(B) = P( ) x P(B/ ) + P( ) x P(B/ ) + ……… + P( ) x P(B/ )

. .

Ω

B ∩ B ∩ B ∩ . . B ∩

PROBABILIDADES

PROBABILIDAD TOTAL:DEMOSTRACION . .Ω

B ∩ B ∩ B ∩ . . B ∩

Si Ω es el espacio muestral (Universo), donde:Ω = .. . (partición de Ω) y = ø; Según el diagrama se tiene:B ∩ Ω = B o seaB = (B ∩ ) ∪ (B ∩ ) ∪ …………… ∪ (B ∩ )

PROBABILIDADES

PROBABILIDAD TOTAL:DEMOSTRACION . . Ω B ∩A1 B ∩A2 B ∩A3 ……… …….. B ∩ An

B = (B ∩ ) ∪ (B ∩ ) ∪ …………… ∪ (B ∩ )

P(B) = P(B ∩ ) + P(B ∩ ) + ………………. + P(B ∩ )

Como se sabe que: P(B ∩ ) = P(B/ ) x P( )

P(B) = P(B/ ) x P( ) + P(B/ ) x P( ) + ……. + P(B/ ) x P( )

P(B) = P(B/ ) x P( )

PROBABILIDADES

Bioestadística. U. Málaga.Tema 4: Probabilidad 39

Teorema de la probabilidad total

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces…… podemos calcular la probabilidad de B.

P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + P( B∩A4 )

=P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2)+ …

Sucesoseguro

A1

A2

A3

A4

B

B

B

B

P(A1)

P(A2)

P(A3)

P(A4)

P(B|A1)

P(B|A2)

P(B|A3)

P(B|A4)

Ejemplo (I): En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los hombres, son fumadores el 20%.

¿Qué porcentaje de fumadores hay? P(F) = P(M∩F) + P(H∩F)

= P(M)P(F|M) + P(H)P(F|H)

=0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2

= 0,13 =13%

Bioestadística. U. Málaga.Tema 4: Probabilidad 40

Probabilidad Total

T. Prob. Total.Hombres y mujeres forman un sist. Exh. Excl. de sucesos

Estudiante

Mujer

No fuma

Hombre

Fuma

No fuma

Fuma

0,7

0,1

0,20,3

0,8

0,9

•Los caminos a través de nodos representan intersecciones.

•Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.

Ejemplo:En un salón de clase el 32% de los alumnos son hombres. Asimismo se sabe que el 10% de los hombres son de provincias, mientras que el 60%. De las mujeres son de Lima. Si de la lista de los alumnos del salón se seleccionan al azar uno de ellos; ¿ cuál es la probabilidad que sea de Lima ?.

Solución:Suceso H: Seleccionar estudiante hombre.Suceso M: Seleccionar estudiante mujer.P(H) = 0.32 ; P(M) = 0.68P(L/H) : Probabilidad que un estudiante hombre sea de Lima. P(L/H) = 0.90P(L/M) : Probabilidad que un estudiante hombre sea de Lima. P(L/H) = 0.60Luego aplicando la formula:

PROBABILIDADES

P(L) = P(H) x P(L/H) + P(M) x P(L/M) P(L) = (0.32)(0.90) + (0.68)(0.60) = 0.696

Ejemplo: (Construyendo el diagrama del árbol)En un salón de clase, el 32% de los alumnos son hombres. Asimismo se sabe que el 10% de los hombres son de provincias, mientras que el 60%. De las mujeres son de Lima. Si de la lista de los alumnos del salón se seleccionan al azar uno de ellos; ¿ cuál es la probabilidad que sea de Lima ?.

Solución: L (0.32) (0.90)

L’

L (0.68) (0.60)

L’

P(L) = (0.32) (0.90) + (0.68) (0.60) = 0.696

PROBABILIDADES

H

M

P(H

) =

0,

32

P(L/H) =

0.90

P(L/M) =

0.60

P(M) = 0.68

P(L’/ H ) = 0.10

P(L’/M) = 0.40

TEOREMA DE BAYESSi son n eventos mutuamente excluyentes, cuya reunión es el conjunto Universal, donde B es un evento

arbitrario, tal como: P(B) > 0; P(B/ ) y P( ) son conocidos.Entonces:

PROBABILIDADES

Ejemplo :En un salón de clase, el 32% de los alumnos son hombres. Asimismo se sabe que el 10% de los hombres son de provincias, mientras que el 60% de las mujeres son de Lima. Si de la lista de los alumnos del salón se seleccionan al azar uno de ellos; ¿ cuál es la probabilidad que sea hombre ?.

Solución:Se pide determinar la probabilidad que sea hombre dado que es de Lima. P(H/L) ; de la fórmula

P(H/L) = Como P(H) = 0.32; P(L/H) = 0.90 y P(L) = 0.696Por lo tanto: P(H/L) = P(H/L) = 0.4138

PROBABILIDADES

A

H

M

P

L

P

L

PROBLEMAS :

1.Se disponen de 5 cajas que contienen 100 focos flash de fotografía c / u. Dos de las cajas contienen 10 focos c / u; otras dos, 5 focos defectuosos cada uno, la ultima restante tiene dos focos defectuosos, si se selecciona al azar una de estas cajas y de ellas se toma un foco.a. Describa el espacio muestral b. ¿ Cuál es la probabilidad que resulte defectuoso ?c. Si resulta defectuoso ¿ Cuál es la probabilidad de

que se provenga de la caja que contiene el 2% de defectuoso ?.

PROBABILIDADES

Solución:

10 10 5 5 2

a. Ω

b. P(D) =

PROBABILIDADES

D

c.P( /D) =

PROBABILIDADES

D

D

D

D

D

10/10

0

10/100

5/10

0

5/10

0

2/10

0

1/5

1/5

1/5

1/5

1/5

2. Tres personas A, B y C trabajan independientemente en descifrar un mensaje, con probabilidades de descifrarlo iguales a 1/5, 1/4, 1/3, respectivamente. ¿ Cual es la probabilidad que,a) Exactamente uno de ellos descifre el mensaje.b) Al menos uno de ellos descifre el mensaje.

Solución:a. Exactamente uno de ellos describe el mensaje : M

PROBABILIDADES

2. Tres personas A, B y C trabajan independientemente en descifrar un mensaje, con probabilidades de descifrarlo iguales a 1/5, 1/4, 1/3, respectivamente. ¿ Cuál es la probabilidad que,a) Exactamente uno de ellos descifre el mensaje.b) Al menos uno de ellos descifre el mensaje.

Solución:b. Al menos uno de ellos descifre el mensaje : D

D = A ∪ B ∪ C

P(D) = P(A ∪ B ∪ C) = 1 – P( )

P(D) = 1 –

P(D) = 1 -

PROBABILIDADES

3. En el hospital Dos de Mayo, el 10% de los hombres y el 20% de las mujeres están aptos para jubilarse. El 70% de los empleados son hombres, si se presenta dos solicitudes de jubilación, ¿ cuál es la probabilidad que,a) Ambas solicitudes presentadas cumplen con los

requisitos de jubilación.b) Ambas solicitudes presentadas sean de hombres si

ambas cumplen con los requisitos de jubilación.

Solución:

PROBABILIDADES

: Solicitud que cumple con los requisitos de jubilación, i = 1, 2

H : Solicitud presentada por un hombre.M : Solicitud presentada por una mujer

Solución:

PROBABILIDADES

1. 1.Al concluir el primer ciclo, en la facultad de medicina se obtuvo los siguientes resultados:

20% de los alumnos desaprobaron Química. 12% de los alumnos desaprobaron

Matemática. 8% de los alumnos desaprobaron Matemática

y Química. Se elige al azar un alumno: a) Si desaprobó matemática ¿ Cual es la

probabilidad de que desaprobara química? b) Si desaprobó Química ¿Cual es la

probabilidad de que desaprobara matemática?

EJERCICIOS

2. Se lanzan a rodar dos dados normales. Cuando se detienen se observan sus caras superiores. Si la suma de sus puntos son 8.

¿Cuál es la probabilidad de que una de las caras muestre 3 ?

3. De una baraja de 52 cartas se extraen dos de ellas, una tras otra. Calcular la probabilidad de obtener:

a) Dos ases. b) As en la primera y cualquier carta en la

segunda.

EJERCICIOS

4. Una caja contiene 8 bisturís rojos, 3 bisturís blancos y 9 bisturís azules. Si se extraen 3 bolas al azar , determinar la probabilidad de que:

a) Los 3 bisturís sean rojas. b) Dos bisturís sean rojas y 1 bisturí sea blanco. c) Ningún bisturí sea blanco.

5. Tres cirujanos A, B y C están en posibilidades de operar; la posibilidad de que opere A es dos veces que la de B y la posibilidad de que opere B, es dos veces que la que tiene C. ¿Cuál es la probabilidad de que opere A ? ¿Cuál es la probabilidad de que opere B o C ?

EJERCICIOS

1. Se lanzan un dado y una moneda, se pide: a) Hallar la probabilidad de obtener un numero par y cara. b) Hallar la probabilidad de obtener un numero primo y sello

2. De un total de 100 enfermos, 30 sufren del corazón, 20 sufren de diabetes, 10 sufren del corazón y de diabetes . Si se escogen al azar un enfermo, encontrar la probabilidad que esté enfermo del corazón o de la diabetes.

3. Se lanzan dos dados simultáneamente, hallar: a) La probabilidad de que la suma de los dados sea menor que 6. b) La probabilidad de que la suma de los dados sea mayor o

igual a 10.

EJERCICIOS