Probabilidad y Estadística I · PROBABILIDAD Y ESTADISTICA I Módulo de Aprendizaje. ......

Probabilidad y Estadstica I

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Esta publicacin se termin de imprimir durante el mes de junio de 2008. Diseada en Direccin Acadmica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustn de Vildsola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, Mxico La edicin consta de 7,037 ejemplares.

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Lic. Bulmaro Pacheco Moreno Director Acadmico Profr. Adrin Esquer Duarte Director Administrativo C.P. Gilberto Contreras Vsquez Director de Planeacin Dr. Jorge ngel Gastlum Islas Director Financiero Lic. Oscar Rascn Acua PROBABILIDAD Y ESTADISTICA I Mdulo de Aprendizaje. Copyright , 2008 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Todos los derechos reservados. Primera edicin 2008. Impreso en Mxico. DIRECCIN ACADMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustn de Vildsola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. Mxico. C.P. 83280 Registro ISBN, en trmite. COMISIN ELABORADORA: Elaboracin: L. M. Vctor Manuel Crdova Navarro Profr. Ariel Ulises Corts Len Supervisin Acadmica: Jess Arely Meza Len Edicin: Jess Arely Meza Len Coordinacin Tcnica: Martha Elizabeth Garca Prez Coordinacin General: Profr. Adrin Esquer Duarte

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COMPONENTE:

FORMACIN PROPEDEUTICA

GRUPO:

FSICO-MATEMATICO HUMANIDADES-CIENCIAS

SOCIALES

Esta asignatura se imparte en el V Semestre; tiene como antecedente

Matemticas IV; la asignatura consecuente es Probabilidad y Estadstica II, y se

relaciona con todas las del grupo Fsico-Matemtico y de Humanidades-

Ciencias Sociales.

HORAS SEMANALES:

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CRDITOS:

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Ubicacin Curricular

DATOS DEL ALUMNO Nombre: ______________________________________________________

Plantel: _________________________________________________________

Grupo: ____________ Turno: _____________ Telfono:_______________

Domicilio: _____________________________________________________

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Mapa Conceptual de la Asignatura

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Recomendaciones para el alumno..............................................................7 Presentacin 8 UNIDAD 1. RECOLECCIN DE DATOS ............................................ 9 1.1. Trminos Bsicos de Estadstica .........................................................10 1.2. Mtodos de Muestreo ...........................................................................14 Seccin de tareas ........................................................................................17 Autoevaluacin 23 UNIDAD 2. REPRESENTACIN TABULAR Y GRFICA ................... 25 2.1. Distribucin de Frecuencias .................................................................26 2.2. Representacin Grfica ........................................................................32 Seccin de tareas ........................................................................................37 Autoevaluacin 43 UNIDAD 3. MEDIDAS DE CENTRALIZACIN Y VARIABILIDAD ..... 45 3.1. Medidas de Centralizacin ...................................................................46 3.2. Medidas de Variabilidad .......................................................................59 UNIDAD 4. PROBABILIDAD............................................................... 63 4.1. Teora de Conjuntos ..............................................................................64 4.2. Conceptos bsicos de Probabilidad ....................................................80 Bibliografa ...........................................................................................111

ndice

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El presente Mdulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti; en l se manejan los contenidos mnimos de la asignatura Probabilidad y Estadstica I. No debes perder de vista que el Modelo Acadmico del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora propone un aprendizaje activo, mediante la investigacin, el anlisis y la discusin, as como el aprovechamiento de materiales de lectura complementarios; de ah la importancia de atender las siguientes recomendaciones: Maneja el Mdulo de Aprendizaje como texto orientador de los contenidos

temticos a revisar en clase. Realiza la evaluacin diagnstica propuesta en el mdulo y entrega los

resultados obtenidos a tu profesor para la retroalimentacin. Refuerza aquellos conocimientos previos propuestos que no recuerdes o

domines. Utiliza el Mdulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesin de clase. Al trmino de cada unidad, resuelve la autoevaluacin, consulta la escala de

medicin del aprendizaje y realiza las actividades que en sta se indican. Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/o

reafirmar los conocimientos sobre los temas ah tratados. Utiliza la bibliografa recomendada para apoyar los temas desarrollados en

cada unidad. Utiliza y visita los sitios de Internet que se te proponen como sitios de consulta

o para ampliar el conocimiento. Para comprender algunos trminos o conceptos nuevos, consulta el glosario

que aparece al final del mdulo y crea el tuyo propio para incrementar tu acervo.

Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinin sobre los mdulos de

aprendizaje. Si quieres hacer llegar tus comentarios, utiliza el portal del Colegio: www.cobachsonora.edu.mx.

Recomendaciones para el alumno

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El Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora considera entre sus propsito el proporcionar a los jvenes sonorenses una formacin bsica que consolide su cultura general que incida en actitudes prcticas, positivas y propositivas en la sociedad, una formacin para el trabajo que los prepare para integrarse, enfrentarse o que lo promueva en el mbito laboral o el autoempleo y una formacin propedutica que fortalezca los conocimientos, habilidades, destrezas y actitudes de todos aquellos con aspiraciones personales o vocacionales, que le faciliten o permitan el acceso a la educacin superior. Con la finalidad de contribuir con la formacin propedutica mencionada es que se presenta la asignatura de Probabilidad y Estadstica I en el campo de Fsico-Matemtico y Econmico-Administrativo, de manera que el alumno vincule el conocimiento adquirido en el bachillerato con la educacin superior logrando una mejor incorporacin al mbito universitario independientemente del rea de conocimiento de su eleccin. La importancia de la Estadstica se puede remontar a pocas ancestrales y considera la necesidad del ser humano de tomar en cuenta datos de diversos hechos que resultan esenciales en su vida, como la necesidad de convivencia y organizacin que consideran la recoleccin y estudio de datos con propsitos estadsticos que le permitan desarrollarse como un ente social, econmico, administrativo, belicoso, agrcola, industrial, comercial.

Presentacin

UUnniiddaadd 11 RReeccoolleecccciinn ddee

DDaattooss..

Objetivos: El alumno: Identificar los mtodos de recoleccin de datos, practicar su obtencin, clasificacin y utilidad, mediante el manejo de conocimientos y habilidades necesarias para recopilar, organizar, presentar, analizar e interpretar los datos estadsticos inherentes a los trminos bsicos de la estadstica y los tipos de muestreo: mostrando objetividad en el anlisis de situaciones de su vida cotidiana y escolar.

Temario: o Trminos Bsicos de Estadstica

Definicin de Estadstica Clasificacin de la Estadstica Definicin de:

o Poblacin o Muestra o Variable o Dato(s) o Experimento o Muestreo o Estadstico o Parmetro o Tipos de variables o Trminos Bsicos de Estadstica

Definicin de muestreo, censo, poblaciones finitas e infinitas Mtodos de muestreo: Aleatorio simple Sistemtico Estratificado

Por conglomerados

Probabilidad y Estadstica 1

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Evaluacin Diagnstica: Ejemplo: Antes de iniciar esta Unidad te recomendamos que revises los temas de la siguiente lista resolviendo algunos ejercicios y los presentes a tu profesor para que los revise y te retroalimentes con las observaciones y sugerencias que te haga del mismo. Leyes de los signos para la suma. Leyes de los signos para el producto. Manejo de tablas. Operaciones entre nmeros reales. Leyes de los exponentes.

TTRRMMIINNOOSS BBSSIICCOOSS DDEE EESSTTAADDSSTTIICCAA

1.1.1. Definicin de estadstica y utilidad. En esta Unidad se pretende que el alumno se forme una idea de los conceptos bsicos de la estadstica, con el fin de que se le facilite la introduccin al curso. En la vida cotidiana se presentan fenmenos que requieren del empleo de una serie de tablas, medidas, grficas, de su anlisis e interpretacin para comprenderlos, lo cual nos lleva a plantearnos una serie de interrogantes donde para poder responderlas la Estadstica da a da va ganando mayores adeptos, convirtindose en un mtodo efectivo para describir con exactitud los valores y datos de situaciones problemticas de las distintas ciencias agrcolas, biolgicas, de salud, econmicas, educativas, fsicas, polticas, psicolgicas, sociales, etctera. Se llama Estadstica a la rama de las matemticas que se sirve de un conjunto de mtodos, normas, reglas y principios para la observacin, toma, organizacin, descripcin, presentacin y anlisis del comportamiento de un grupo de datos para la conclusin sobre un experimento o fenmeno. 1.1.2. Clasificacin de la Estadstica La estadstica tiene bsicamente dos divisiones: La Estadstica Descriptiva: Es la parte de la Estadstica que estudia las tcnicas y mtodos que sirven para la observacin, toma, organizacin, descripcin, presentacin y anlisis de datos. La Estadstica Inferencial: Es la parte de la Estadstica mediante la cual se intenta dar explicacin, concluir o inferenciar sobre los experimentos y fenmenos observados, mediante el auxilio de la probabilidad, estadstica descriptiva y distribucin de probabilidad, por lo que resulta una herramienta de suma utilidad para la toma de decisiones. Ejemplo 1: Como ejemplo podramos citar el caso de un socilogo, quien pudiera estar interesado en averiguar si entre las personas que conducen automviles son ms agresivos los conductores hombres o mujeres.

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La representacin por grficos de los anlisis estadsticos obtenidos es tan diversa que en la actualidad podemos utilizar grficos en tercera dimensin y hasta rotaciones de 360, parte importante en la estadstica que nos permite una panormica generalizada del fenmeno en estudio sin la necesidad de realizar una lectura exhaustiva del documento que lo contenga.

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Recoleccin de datos

Para la realizacin de este experimento, y debido al gran nmero de personas que habra de sondear, queda fuera de consideracin el hecho de observar a todos los conductores de automvil. Por lo que sera necesario estudiar slo un pequeo grupo de ellos (muestra), siendo sta la parte que le corresponde a la estadstica descriptiva: El hecho de observar a los conductores, tomar y anotar los datos de forma organizada, hacer una descripcin del carcter y sexo del individuo observado, hacer una presentacin de los datos obtenidos y, por ltimo, analizar los resultados de la muestra. Sin embargo, al estar en observacin slo un grupo representativo de conductores, cabe la posibilidad de que las conclusiones a las que se pudieran llegar no sean tan precisas y podra no tenerse la certeza de que se ha tomado la inferencia correcta. Es aqu donde entra en juego la estadstica inferencial, al considerarse como una ayuda para la toma de decisiones cuando las condiciones de certidumbre estn en juego. La estadstica inferencial nos proporciona los mtodos que nos permiten estimar el grado de confiabilidad de las conclusiones. Por lo que en cada proposicin estadstica hecha, se debe indicar la probabilidad de ocurrencia de los actos observados o descubrimientos hechos para as tomar decisiones que sean aplicables a todos los conductores de automviles. 1.1.4. Definiciones: Se le llama Poblacin a la cantidad total de cualquier conjunto completo de datos, objetos, individuos o resultados que tengan alguna caracterstica en comn que se va a observar o analizar en un problema o experimento. Denotaremos al tamao de la poblacin por N. En nuestro ejemplo 1 se considera como poblacin a todos los conductores de automviles. As: N = {el conjunto de todos los conductores de autos} El significado estadstico que se le da al trmino poblacin es ms amplio que el usual, ya que puede referirse a actos, reas geogrficas, cosas, datos, objetos, individuos, resultados, e incluso a temperaturas o tiempos. Se le llama Muestra a un conjunto de datos representativos destinado a suministrar informacin a cerca de una poblacin, teniendo como caracterstica fundamental que todos sus elementos deben tener todas las caractersticas de la poblacin. Denotamos al tamao de la muestra por n. En nuestro ejemplo la muestra podra ser: n = {observar a 50 conductores de autos} La muestra y sus caractersticas dependen del criterio del muestreo empleado para su determinacin. Sin embargo, para que una muestra sea representativa de la poblacin, sta deber contener aproximadamente entre el 5 % y el 10 % de los datos de la poblacin cuando sta es finita, adems los elementos de la muestra deben ser escogidos al azar (a la suerte) y se deben observar todas las caractersticas que se observan en la poblacin. Se le llama Variable a la cualidad o cantidad medible de cualquier suceso o accin que presente o experimente un cambio, la podemos representar mediante un smbolo (X, Y, Z, , , , ) y al cual se le puede asignar un valor cualquiera de un conjunto determinado de datos.

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Le llamamos Variable Aleatoria a aquella variable cuyos cambios no pueden ser determinados antes de que estos se presenten; es decir, estn destinados a la suerte. Tambin se le conoce como Variable Probabilista, Cabalstica, de Azar o a la Suerte. Tipos de variables Para su estudio, las variables aleatorias sean han clasificado segn la naturaleza de los valores que toman en: Variables Numricas y Variables Categricas. Variables Numricas o Cuantitativas: Son aquellas que se identifican o se les puede asignar un valor numrico o que corresponden a aspectos que son medibles. Ejemplo: Tiempo de uso, precio, tamao, velocidades, nmero de hijos de una familia, nmero de carros que circulan por determinada calle, alturas, pesos, tallas, temperaturas, tiempo de vida de una persona, cantidad de azcar para endulzar un caf, medida de sombreros, etctera. Las variables numricas se dividen en: Variables Numricas Discretas: Son aquellas que solamente toman valores enteros con rango finito, Ejemplo: Nmero de hijos de una familia, nmero de carros que circulan por determinada calle, alturas, pesos, tallas, temperaturas, etctera. Variable Numrica Continua: Son aquellas que pueden tomar cualquier valor entre dos valores dados. Es decir, el rango contiene no slo valores enteros sino un intervalo (finito o infinito) de valores reales (esto es, que puede ser fraccionario, decimal o irracional). Ejemplo: El tiempo de vida de una persona, la cantidad de azcar para endulzar un caf, el tamao del calzado, la medida de sombreros, etctera Variables Categricas o Cualitativas: Son aquellas a las que no se les puede asignar o identificar con un valor numrico, sino con un aspecto, cualidad o caracterstica que las distinga y que no se pueden medir sino solo observar, a ese aspecto, cualidad o caracterstica se le llama categora, Ejemplos: Marca, tipos, el estado en general de cualquier cosa, idioma, nacionalidad, colores, cabello o piel, himnos nacionales, sexo, estado de animo, clima, etctera. En las variables categricas, un elemento no puede estar en dos o mas categoras a la vez, lo cual las hace excluyentes y adems no puede haber elementos de la poblacin que no pertenezcan a alguna categora, lo cual las hace exhaustivas. Las variables categricas se dividen en: Variables Categricas Nominales: Son aquellas a las que no se les puede asignar un orden, es decir que slo permite clasificacin en categoras por mencin de sta. Ejemplo: La nacionalidad de un apersona, idioma, sexo, himnos nacionales. Variables Categricas Ordinales: Son aquellas que adems de clasificar a los elementos en distintas categoras les podemos asignar un orden o que podemos ordenar de acuerdo a cierta caracterstica. Por ejemplo: El estado de salud de una persona; que podemos ordenarla segn la urgencia del caso, el color de algn objeto; que podemos ordenarlo de acuerdo a la intensidad del color, clima, idioma, etctera. Variables Categricas Intercalares: Son aquellas que adems de poderse clasificar y ordenar en distintas categoras permite medir la distancia entre las diferentes categoras. Por ejemplo: edad.

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Recoleccin de datos

Se le llama Datos a las agrupaciones de cualquier nmero de observaciones relacionadas. Para que se considere un dato estadstico debe tener dos caractersticas: a) Que sean comparables entre s. b) Que tengan alguna relacin. La recoleccin de informacin o recopilacin de datos estadsticos se divide en: Datos Internos: Son aquellos datos que no necesitan de observaciones adicionales al experimento; es decir, no es necesario buscar caractersticas que proporcionen informacin adicional acerca del experimento. Ejemplo: Las calificaciones de un grupo, un experimento qumico, etctera. Datos Externos: Estos datos pueden ser de dos tipos: a) Datos Bibliogrficos son aquellos ya conocidos y que podemos encontrar fcilmente utilizando bibliografa, registros, actas, etctera, como los datos histricos, censos y otros. b) Datos Originales son aquellos que podemos obtener mediante mtodos de recoleccin, como las encuestas, plebiscitos, referndum, y nos proporcionan datos reales y certeros. Para Organizar los datos: Existen muchas formas de clasificarlos, en general pueden ser determinados de acuerdo a cuatro elementos que son: Tiempo, lugar, cantidad y cualidad. Presentacin de Datos: Despus de la organizacin de los datos, la informacin se resume en Tablas Estadsticas con base en arreglos formados de renglones y columnas, adecuados segn cronologa, geografa, anlisis cuantitativo o cualitativo. Los principales elementos de una tabla estadstica son: Ttulo, unidades, encabezado, cuerpo o contenido, nota de pie y referencias; la informacin contenida en una tabla estadstica tambin se puede presentar mediante graficas, siendo las ms comunes las de lneas, barras, pictogrficas, circulares o de pastel, histograma y polgono de frecuencias. Se le llama Experimento a toda accin o prueba que se realiza con el fin de observar su resultado. Existen dos tipos de experimentos, que son: Experimento Determinista: Son aqullos en los que se puede predecir con certeza su resultado antes de que ste se presente. Ejemplo: Al lanzar en un cuarto un libro al aire con el fin de determinar si flota, se queda unido al techo o cae al suelo, sabemos con certeza que el libro caer al suelo, lo cual lo hace un experimento determinista. Experimento Aleatorio, Probabilista, casual o de azar: Hablar de aleatorio, probabilista, casual o azar es hablar de algo que est determinado a la suerte. As, decimos que un Experimento Aleatorio ocurre cuando no es posible asegurar el resultado que se va a presentar. Ejemplo: Al lanzar una moneda al aire no sabemos si el resultado va a ser cara o guila, lanzar un dado, etctera. Se llama Muestreo al estudio que se hace de una poblacin por medio de muestras representativas, debidamente elegidas de manera que posea todas las caractersticas de una poblacin y de tamao determinado segn la precisin que de ella se quiere obtener en las decisiones y conclusiones estadsticas posteriores.


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Se le llama valores estadsticos, estadsticos muestrales o simplemente estadsticos a los valores o cantidades desconocidas que son obtenidas de, o que hacen referencia a las caractersticas de una muestra. Se le llama Parmetro parmetros poblacionales o simplemente parmetros a los valores o cantidades desconocidas que son obtenidas de, o que hacen referencia a las caractersticas de una poblacin.

MMTTOODDOOSS DDEE MMUUEESSTTRREEOO

1.2.1. Definicin de muestreo, censo, poblaciones finitas e infinitas. Llamamos Censo al mtodo de recoleccin de datos mediante el cual la informacin se obtiene del estudio de todos los elementos que componen a la poblacin o universo bajo estudio. Un censo debe cumplir las condiciones de universalidad (censar a todos los elementos de la poblacin) y simultaneidad (realizarse en un momento determinado). El trmino censo no slo se aplica a aquellos estudios que comprenden todas las unidades del pas y que se realizan con frecuencia de recoleccin quinquenal o decenal, como es el caso de los censos de poblacin, econmicos, agropecuarios, etctera, sino tambin a cualquiera independientemente de su cobertura geogrfica, nmero de unidades de informacin, o frecuencia de su recoleccin, siempre que incluya todas las unidades que componen el universo que se investiga. Una Poblacin es Finita: Cuando existe una cantidad determinada de elementos por analizar; esto es, una cantidad de elementos, numerable y que en determinado momento finaliza, Ejemplo: Una Poblacin es Infinita cuando existe una cantidad indeterminada de elementos por analizar; es decir, una cantidad de elementos que aunque los enumerramos nunca terminaramos de hacerlo. Ejemplo: 1.- Estatura entre 5 y 6 pies. 2.- Todos los puntos de una lnea. 3.- Nmero de alumnos del Cobach del presente y en el futuro. 1.2.2. Mtodos de muestreo Fundamentalmente el muestreo es de dos tipos bsicos: Probabilstico o aleatorios: Tipo de muestreo que se obtiene mediante sorteo de los individuos que la tienen que formar teniendo as, cada individuo la misma posibilidad de pertenecer a la muestra, permitiendo calcular el posible error de la muestra. De entre los que destacan el muestreo aleatorio simple, sistemtico, estratificado y por conglomerados. No probabilstica: Tipo de muestreo en el que no es posible estimar la probabilidad de que cada individuo o elemento estar incluido en la muestra, adems no permite el clculo del posible error de la muestra. Pueden ser de tres clases: Accidental o

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Existen diversas formas para la obtencin de muestras representativas de manera que en estas se contemplen las caractersticas de la poblacin como la utilizada que permite obtener muestras para analizar la calidad del suelo agrcola.

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Recoleccin de datos

incidental, por cuotas, intencional por conveniencia o de juicio. Aunque este tipo de muestreo no ser objeto de estudio en este curso. El muestreo Aleatorio simple es el tipo de muestreo en el cual todos y cada uno de los elementos de la poblacin se elige de tal forma que tengan la misma posibilidad de ser seleccionados y pertenecer a la muestra. El muestreo Sistemtico se utiliza cuando el universo es de gran tamao o ha de extenderse en el tiempo y requiere de una seleccin aleatoria inicial de observaciones seguida de otra seleccin de observaciones, obtenida mediante una constante denominada coeficiente de elevacin K= N/n; donde N es el tamao de la poblacin y n el tamao de la muestra. Esta constante nos sirve para determinar cada cuntos elementos o cada cunto tiempo se debe elegir el siguiente; para ello hay que elegir al azar un nmero entre 1 y K; de ah en adelante tomar uno de cada K a intervalos regulares. Ocasionalmente, es conveniente tener en cuenta la periodicidad del fenmeno. EJEMPLO 2: Para obtener una muestra de suscriptores telefnicos en una ciudad grande, puede obtenerse primero una muestra aleatoria de los nmeros de las pginas del directorio telefnico; al elegir el vigsimo nombre de cada pgina obtendramos un muestreo sistemtico, tambin podemos escoger un nombre de la primera pgina del directorio y despus seleccionar cada nombre del lugar nmero cien a partir del ya seleccionado. Por ejemplo, podramos seleccionar un nmero al azar entre los primeros 100; supongamos que el elegido es el 40, entonces seleccionamos los nombres del directorio que corresponden a los nmeros 40, 140, 240, 340 y as sucesivamente. El muestreo sistemtico suele ser ms preciso que el aleatorio simple, ya que recorre la poblacin de un modo ms uniforme. Por otro lado, es a menudo ms fcil no cometer errores En el tipo de muestreo Estratificado se involucra la divisin previa de la poblacin en subgrupos, clases o estratos que se suponen mas homogneos, y a los cuales se le asigna una cuota que determina el nmero de miembros del estrato que compondrn la muestra, estos son escogidos mediante muestreo aleatorio simple. Segn la cantidad de elementos de la muestra que se han de elegir de cada uno de los estratos, existen dos tcnicas de muestreo estratificado: Asignacin proporcional: El tamao de cada estrato en la muestra es proporcional a su tamao en la poblacin. Asignacin ptima: La muestra recoger ms individuos de aquellos estratos que tengan ms variabilidad. Para ello es necesario un conocimiento previo de la poblacin. EJEMPLO 3: Si suponemos un estudio sobre la poblacin de estudiantes de cierto plantel del Cobach, en el que a travs de una muestra de 10 de ellos queremos obtener informacin sobre el uso de labiales. Pero reflexionando sobre que el comportamiento de la poblacin con respecto a esta caracterstica no es homogneo, podemos dividir a la poblacin en dos estratos: Estudiantes masculinos (60% del total); Estudiantes femeninos (40% restante). De modo que la asignacin proporcional a esta muestra es en funcin de sus respectivos tamaos (6 varones y 4 mujeres).


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Ojo! Recuerda que

debes resolver la

autoevaluacin y los

ejercicios de

reforzamiento; esto te

ayudar a enriquecer

los temas vistos en

clase.

Pero tambin podramos observar que el comportamiento de los varones con respecto a la caracterstica en estudio es muy homogneo y diferenciado del grupo de las mujeres que es muy variable. De modo que la asignacin ptima de una muestra de 10 alumnos, nos indica que es ms conveniente elegir ms individuos en los grupos de mayor variabilidad. De la cual obtendramos mejores resultados estudiando una muestra de 1 varn, y 9 hembras. Se le llama muestreo Por conglomerados al dividir primero la poblacin en grupos o conglomerados convenientes para el muestreo, seleccionando de cada uno de ellos una porcin, al azar o por un mtodo sistemtico. Bajo este mtodo, aunque no todos los grupos son muestreados, cada grupo tiene una igual probabilidad de ser seleccionado. Por lo tanto, la muestra es aleatoria. Una muestra por conglomerados, usualmente produce un mayor error muestral que una muestra aleatoria simple del mismo tamao; sin embargo, puede ser obtenida dentro de un corto perodo de tiempo y a bajo costo. Adems una muestra por conglomerados ofrece la misma precisin en la estimacin que una muestra aleatoria simple, si la variacin de los elementos individuales dentro de cada conglomerado es proporcionalmente tan grande como la de la poblacin.

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Recoleccin de datos

INSTRUCCIONES: Investiga y da un ejemplo detallado de al menos cinco de las reas en donde se aplica la Estadstica. ______________________________________________________________________________________________

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INSTRUCCIONES: Investiga tres conceptos diferentes de Estadstica y antalas.

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INSTRUCCIONES: Elabora dos ejemplos en donde se desglose la Estadstica descriptiva y la Estadstica inferencial.

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INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el crculo de la opcin que consideres correcta. 1) Rama de las matemticas en donde a travs de un conjunto de metodologas se pueda observar en

comportamiento da un experimento o fenmeno y da una conclusin acertada. a) Estadstica b) Estadstica diferencial c) Estadstica inferencial d) Estadstica aplicada

2) Cules son las dos clasificaciones de la estadstica? a) Inferencial y aplicada b) Aplicada diferencial c) Descriptiva e inferencial d) Descriptiva y diferencial.

3) Conjunto de datos cuya finalidad es suministrar informacin acerca de una poblacin en donde todos

los elementos deben tener todas las caractersticas de la poblacin. a) Poblacin b) Muestra c) Estadstica d) Datos

4) Tipo de variable al que se le puede asignar un valor numrico: a) Numricas o cuantitativas b) Categricas o cualitativas c) Numrica continua d) Cabalstica

5) As se le llama al estudio que se hace de una poblacin por medios de muestras representativas que

posea todas las caractersticas de una poblacin: a) Muestra b) Muestreo c) Experimento d) Organizar

Nombre _________________________________________________________

Nm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________

Nm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________

AUTOEVALUACIN


24

UUnniiddaadd 22 RReepprreesseennttaacciinn

TTaabbuullaarr yy GGrrffiiccaa

Objetivos: El alumno: Construir representaciones tabulares y grficas, tras decidir el tipo de datos al que pertenecen los obtenidos en algn experimento, dndole el manejo adecuado, mediante los procesos para datos no agrupados y agrupados, destacando de stos los aspectos ms relevantes con el fin de conocer y facilitar la descripcin estadstica del fenmeno, mostrando una actitud crtica, propositiva y de respeto dentro del aula.

Temario: Distribucin de Frecuencias. o Frecuencia absoluta, absoluta

acumulada, relativa y relativa acumulada.

o Construccin de tablas de frecuencias para datos agrupados y sin agrupar.

Representacin Grfica. o Histograma o Polgono de frecuencias o Ojiva o De barras o Circular

Organizador anticipado: Un arreglo ordenado de las observaciones de un fenmeno nos puede proporcionar comprensibilidad y mayor significancia en el manejo y estudio de las mismas, sobre todo puede lograrse una mayor sntesis si las ordenamos conforme a una tabla o distribucin de frecuencias; sin embargo, y aunque la distribucin de frecuencias es quizs el recurso mayormente utilizado al momento de realizar el estudio de algn fenmeno, es tambin deseable que pudiramos utilizar este recurso para observar y describir el fenmeno con valores ms resumidos de la informacin, sobre todo si atendemos a la caracterstica natural de la distribucin de datos a concentrarse hacia el centro, permitindonos tambin estudiar y describir la variabilidad o dispersin de la distribucin de los datos.


26

Evaluacin Diagnstica: Ejemplo: Antes de iniciar esta Unidad te recomendamos que revises los temas de la siguiente lista resolviendo algunos ejercicios y los presentes a tu profesor para que los revise y te retroalimentes con las observaciones y sugerencias que te haga del mismo. Leyes de los signos para la suma Leyes de los signos para el producto Manejo de tablas Operaciones entre nmeros reales Manejo de la calculadora

DDIISSTTRRIIBBUUCCIINN DDEE FFRREECCUUEENNCCIIAASS

Una Distribucin o Tabla de Frecuencias es la representacin conjunta en forma de tabla, de los datos, o subgrupo de datos correspondientes a un fenmeno en estudio, y su ordenamiento en base al nmero de observaciones que corresponden a cada dato o a cada grupo de datos, adecuados segn cronologa, geografa, anlisis cuantitativo o cualitativo. Los principales elementos de una tabla estadstica son: Ttulo, unidades, encabezado, cuerpo o contenido, nota de pie y referencias. Se elabora colocando en la primera columna los datos diferentes o subgrupos de datos (llamados clases o intervalos de clase) y en la columna siguiente el nmero de observaciones que corresponden a cada dato o a cada grupo de datos (llamada frecuencia). Una tabla de este tipo dar, en forma abreviada, una informacin completa acerca de la distribucin de los valores observados. Estas tablas facilitan el uso de los mtodos grficos y aritmticos.

La presentacin de los datos en forma ordenada, por medio de una tabla, depender de los datos de que se trate, y si estos son cualitativos o cuantitativos como se muestra a continuacin:

Datos Ordenamiento

Cualitativos

Alfabtico A Z

Alfabtico Z A

Del ms al menos repetido

Del menos al ms repetido

Cuantitativos Creciente (menor al mayor)

Decreciente (mayor al menor)

Tabla 2.1.1. EJEMPLO 2.1.1. Se pregunt a un grupo de alumnos de primer ao del Cobach

Plantel Huatabampo, por la asignatura de su preferencia, arrojndose los siguientes resultados:

22..11..

En los grficos podemos observar la caracterstica natural de la distribucin de datos a concentrarse

hacia el centro y la variabilidad de los datos

en los extremos.

27

Recoleccin de datos

Asignaturas Asignatura Repeticiones

Mate Social Taller Qum. Infor Mate Ingls tica y valores 5

Mate Qum. Infor Ingls tica Ingls Social Informtica 9

Ingls tica Mate Taller Qum. Mate Taller Ingls 10

Social Mate Ingls Infor Ingls tica Infor Matemticas 9

Mate Ingls Infor tica Qum. Taller Ingls Qumica 6

Social Ingls tica Taller Infor Qum. Taller Sociales 4

Taller Infor Mate Qum. Infor Mate Infor Taller de lectura 7

Ingls Total 50

EJEMPLO 2.1.2: Cierta universidad realiz un experimento sobre el coeficiente intelectual (C.I.) de sus alumnos, para lo cual aplic un examen de C.I. a un grupo de 20 alumnos escogidos al azar, obteniendo los siguientes resultados:

2.1.1. Frecuencia absoluta, absoluta acumulada, relativa y relativa acumulada.

Frecuencia Absoluta de un dato es el nmero de veces que se repite ese dato.

La frecuencia absoluta de un intervalo se calcula como la suma de las veces que se presentan todos los datos que estn en ese intervalo. La denotaremos por

in . Frecuencia Absoluta Acumulada: Hasta un dato especfico, es la suma de las

frecuencias absolutas de todos los datos anteriores, incluyendo tambin la del dato mismo del cual se desea su frecuencia acumulada. De un intervalo es la suma de las frecuencias absolutas de todos los intervalos de clase anteriores, incluyendo la frecuencia del intervalo mismo del cual se desea su frecuencia acumulada. La denotaremos por iN . La ltima frecuencia absoluta acumulada deber ser igual al nmero total de datos.

Frecuencia Relativa: De un dato, se obtiene al dividir la frecuencia absoluta de cada dato entre el numero total de datos. De un intervalo se obtiene al dividir la frecuencia absoluta de cada intervalo entre el numero total de datos. La denotamos por if

Frecuencia Relativa Acumulada: Hasta un dato especfico, es la suma de las frecuencias relativas de todos los datos anteriores, incluyendo tambin la del dato mismo del cual se desea su frecuencia relativa acumulada. De un intervalo es la suma de las frecuencias relativas de todos los intervalos de clase anteriores

Datos Repeticiones

119 109 124 119 Toda vez que

se tienen los

datos, se

ordenan de

menor a mayor

o viceversa.

106 109 112 119 106 3

106 112 112 112 106 109 112 119 109 5

112 109 112 124 106 109 112 124 112 7

109 109 109 106 109 112 112 124 119 2

124 112 112 106 109 112 112 124 124 3


28

incluyendo la frecuencia del intervalo mismo del cual se desea su frecuencia relativa acumulada, La denotaremos por iF . La ltima frecuencia relativa acumulada deber ser igual a la unidad.

2.1.2 Construccin de distribucin o tabla de frecuencias para

datos no agrupados y agrupados. Datos no agrupados

Datos diferentes: Consideraremos como un dato diferente, a cada uno de los

distintos datos que se presentan en la muestra, los denotaremos por ix . Y al nmero total de datos diferentes lo denotaremos por k.

Datos no Agrupados: Cuando el tamao de la muestra (n) es finito y el nmero de datos diferentes es pequeo (consideraremos pequeo k 10), es fcil hacer un anlisis de los datos tomando cada uno de los datos diferentes y ordenndolos tomando en consideracin la tabla 2.1.1. anterior.

EJEMPLO 2.1.3: Utilicemos los datos de los ejemplos 2.1.1. y 2.1.2.

Asignatura de Preferencia

ix in iN if iF

tica y valores 5 5 0.1 0.1

Informtica 9 14 0.18 0.28

Ingls 10 24 0.2 0.48

Matemticas 9 33 0.18 0.66

Qumica 6 39 .12 0.78

Sociales 4 43 0.08 0.86

Taller de lectura 7 50 0.14 1

Total 50 1

Coeficiente Intelectual

ix in iN if iF 106 3 3 0.15 0.15

109 5 8 0.25 0.40

112 7 15 0.35 0.75

119 2 17 0.10 0.85

124 3 20 0.15 1

Total 20 1

Ahora resulta un poco inoperante el realizar clculos repetitivos, sobre todo cuando se trata de una infinidad de datos o cuando el tamao de la muestra es

29

Recoleccin de datos

considerablemente grande, por lo que se utiliza el agrupar los datos en subgrupos llamados intervalos o clases.

Datos agrupados

Datos Agrupados: Cuando el tamao de la muestra es considerable o grande y

los datos diferentes son muy diversos (k>10), conviene agrupar los datos de manera menos confusa y que permita establecer patrones de los valores observados. De esta manera podemos condensar y ordenar los datos tabulando las frecuencias asociadas a ciertos intervalos de los valores observados.

Intervalos de Clase: Son los intervalos en los que se agrupan y ordenan los valores observados en un experimento. Cada uno de estos intervalos est delimitado (acotado) por dos valores extremos que les llamamos lmites.

NOTA: Para dar una presentacin resumida de los datos se deben seguir las siguientes sugerencias:

1) Las clases o intervalos deben ser excluyentes y exhaustivas; esto es, si un dato pertenece a un intervalo, este dato no podr pertenecer a otro intervalo diferente, esta caracterstica los hace excluyentes. Adems todos y cada uno de los datos debern estar contenidos en alguno de los intervalos, lo cual los vuelve exhaustivos. Estas caractersticas se logran tomando los intervalos, ya sea cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha excepto el ltimo que ser cerrado por ambos lados, o abiertos por la izquierda y cerrados por la derecha excepto el primero que ser cerrado por ambos extremos.

2) Todas las clases deben tener la misma amplitud. 3) Ninguna clase deber carecer de elementos.

4) Para determinar el nmero de intervalos, podemos emplear la tabla siguiente segn el nmero de datos o tamao de la muestra:

TAMAO (n) DE LA MUESTRA # DE INTERVALOS 15 A 20 5 21 A 45 6 46 A 90 7 91 A 180 8 181 A 360 9 361 A 720 10

MS DE 720 ENTRE 10 y 20 La seleccin del nmero adecuado de intervalos y los lmites entre ellos

dependen del criterio o experiencia de quien realiza el estudio. Sin embargo, existen reglas empricas para calcular el nmero de intervalos; la ms empleada es la Regla de Sturges:

# de Intervalos = 1 + 3.3Log (n) Donde: n= numero de datos

El nmero de intervalos determinado mediante cualquier regla se aproxima al valor entero ms cercano pero deber ser responsabilidad de quien realiza el estudio, pudiendo utilizar ste en ocasiones uno menor o mayor al obtenido por cualquier regla, si esto le permite tener intervalos con la misma amplitud. Sin embargo, la mayora de las reglas subestiman el nmero de intervalos. Existen tambin otras reglas menos utilizadas, pero no menos funcionales, como las de:


30

Velleman # Intervalos = , recomendable para tamaos de muestra pequeos (n< 50)

Dixon y Kronmal que proponen K = 10 log n, recomendada para tamaos de muestra grande (n > 50).

No es posible establecer la superioridad de alguna de estas reglas y su uso como se mencion antes, queda a criterio y experiencia de quien realice el estudio.

Tamao, Anchura, Longitud o Amplitud de Clase: Es la diferencia entre los lmites de clase. La denotaremos por Ac y la obtenemos mediante:

IntervalosdeRangoAc

#=

EJEMPLO 2.1.4: Se toma una muestra aleatoria de las velocidades registradas por 30 vehculos en una carretera, con el fin de establecer el lmite mximo de velocidad para una carretera urbana, la cual arrojo los datos siguientes:

90 99 104 99 119

Toda vez que se

tienen los datos, se

ordenan de menor a

mayor o viceversa.

90 98 100 108 114

98 95 112 95 120 90 98 100 111 115

100 90 116 96 114 95 99 104 112 116

108 98 118 100 106 95 99 105 112 118

114 100 112 106 100 96 100 106 114 119

115 111 105 114 97 97 100 106 114 120

Primero obtendremos el nmero de intervalos que vamos a utilizar, para lo cual

empleamos la Regla de Sturges: # de Intervalos = 1 + 3.3Log (30) = 1+ 3.3 (1.4771212547) =1+ 4.87

= 5.87 6 Y obtenemos la amplitud de clase como sigue:

5630

690120 ===Ac

Lmites de Clase: Los intervalos de clase deben estar definidos por lmites que permitan identificar plenamente si un dato pertenece a uno u otro intervalo de clase. Estos lmites son los valores extremos de cada intervalo.

Lmite Inferior: Es el extremo menor del intervalo de clase y lo denotaremos por LI. Lmite Superior: Es el extremo mayor del intervalo de clase y lo denotamos por LS. Hasta aqu podemos encontrar los intervalos de clase con los lmites de clase:

31

Recoleccin de datos

Intervalos de Clase

L I - L S

[90 95) [95 100)

[100 105) [105 110) [110 115) [115 120]

Lmite Real Inferior: Lo obtenemos al agregar al lmite inferior una cifra decimal ms

que en los datos originales, esta cifra decimal debe ser punto medio (es decir, 0.5) y adems el lmite real inferior debe ser menor que el lmite inferior. Denotamos al lmite real inferior por LRI.

Lmite Real Superior: Lo obtenemos al agregar al lmite superior una cifra decimal ms que en los datos originales, esta cifra decimal debe ser punto medio (i.e. 0.5) y adems el lmite real superior debe ser menor que el lmite superior, excepto en el ltimo intervalo en que deber ser mayor. Denotamos al lmite real superior por LRS.

Intervalos de Clase

LRI LRS L I L S

89.5 94.5 [90 95) 94.5 99.5 [95 100) 99.5 104.5 [100 105)

104.5 109.5 [105 110) 109.5 114.5 [110 115) 114.5 120.5 [115 120]

Marca de Clase o Punto Medio de Clase: Es el punto medio de cada intervalo de

clase y representa al conjunto de datos que caen en el intervalo de clase correspondiente. La denotaremos por Mc y la obtenemos mediante la frmula:

+=

eriorlmiteelEsLReriorlmiteelEsLI

DondeLSLIMcsupinf

:2

Ahora obtendremos las Marcas de Clase o Intervalos, como nos lo indica la frmula anterior, por ejemplo para el primer intervalo sera:

5.922185

29590 ==+=Mc

Ahora estamos en posicin de obtener las frecuencias absoluta, absoluta acumulada, relativa y relativa acumulada, como se indica en las definiciones 2.1.2. 2.1.5.


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Intervalos de Clase

LRI - LRS L I - L S in iN if iF Mc

89.5 94.5 [90 95) 2 2 0.07 0.07 92.5 94.5 99.5 [95 100) 8 10 0.27 0.34 97.5 99.5 104.5 [100 105) 5 15 0.17 0.51 102.5 104.5 109.5 [105 110) 4 19 0.13 0.64 107.5 109.5 114.5 [110 115) 6 25 0.20 0.84 112.5 114.5 120.5 [115 120] 5 30 0.17 1.01 117.5

Total 30 1.01

RREEPPRREESSEENNTTAACCIINN GGRRFFIICCAA

Toda vez que se ha hecho el anlisis de frecuencias, existe en estadstica, un conjunto de imgenes grficas, las cuales combinando distintos tipos de colores, sombreados, puntos, lneas, smbolos, nmeros o texto, etctera, y un sistema de referencia (coordenadas), nos permite la representacin en forma ms resumida y total del experimento o fenmeno en estudio. Los grficos son muy tiles como apoyos e incluso sustitutos de las tablas o distribuciones y como una herramienta para el anlisis de los datos, lo que los convierte en el medio ms efectivo para la presentacin, descripcin, resumen y anlisis de la informacin

En este curso slo se abordarn los grficos estadsticos como un vehculo de presentacin, dejando para un curso posterior su utilidad como herramienta de anlisis.

Una manera sencilla de diferenciar los segmentos es sombrendolos de claro a oscuro, siendo el de mayor tamao el ms claro y el de menor tamao el ms oscuro.

Presentacin de Datos: Despus de la Organizacin de los datos y su presentacin en Tablas Estadsticas, la informacin contenida en una tabla estadstica tambin se puede presentar mediante graficas, siendo las ms comunes para variables discretas (datos no agrupados) las de: Barras y circulares o de pastel; y para variables continuas (datos agrupados) el histograma, polgono de frecuencias y ojiva. Estos grficos no son los nicos para la presentacin y anlisis de datos estadsticos, pero si los ms comunes y utilizados.

El empleo de sombreado o colores facilita la diferenciacin de las barras. El punto cero se indica en el eje de ordenadas. En la rotulacin de los ejes se utiliza tipografa legible. La leyenda se ubica dentro de los lmites de la grfica. La longitud de los ejes debe ser suficiente para acomodar la extensin de la

barra. El pie de figura explica las bandas de error y los tamaos de las muestras.

22..22..

33

Recoleccin de datos

Grfica de Barras: Es un mtodo grfico que consta de dos ejes: Uno horizontal, en el que se representan los valores (Eje de los datos) utilizando barras verticales en forma rectangular y de la misma amplitud, y un eje vertical, en el cual la frecuencia representa la altitud que tendr la barra rectangular (Eje de las frecuencias), las barras van separadas la misma distancia unas de otras y para distinguirlas puede utilizarse distintos colores o entramados segn se considere.

Ejemplo: Utilizando los datos del ejemplo 2.1.4.

Grfico de Barras:Prueba de Coeficiente Intelectual (C. I.)

0

2

4

6

8

106 109 112 119 124

Coeficiente Intelectual

Frec

uenc

ias

Grfica Circular de Pastel o tambin llamada del 100%: Este grfico se utiliza fundamentalmente, para representar distribuciones de frecuencias relativas (es decir, porcentajes % o proporciones) haciendo corresponder la medida de la frecuencia relativa con la medida del ngulo en grados; es decir, si el 100 % de los datos son 360 de la circunferencia, a cada 1% le correspondern 3.6; as, para obtener la medida del ngulo del sector, multiplicamos la frecuencia correspondiente por 3.6. Al utilizar este grfico se aconseja no sobrepasar los 10 elementos, y ordenar los sectores de acuerdo a una de dos formas, ya sea siguiendo el orden que se les d a los datos o empezando del mayor al menor segmento, iniciando a partir de las 12 horas y en el sentido de las manecillas del reloj. Por ltimo, si el texto que representa cada sector no puede colocarse dentro del mismo, se elabora una leyenda que se coloca fuera del segmento, unidos por una flecha.

Ejemplo: Utilizando los datos del ejemplo 2.1.1.


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Grafica Circular:Prueba de Coeficiente Intelectual

11235%

10925%

12415%

10615%

11910%

Grfica Circular:Prueba de Coeficiente Intelectual

10615%

10925%

11235%

11910%

12415%

Grfico de menor a mayor dato Grfico circular de mayor a menor porcentaje

Histograma: Es una grafica en forma de barras que consta de dos ejes, uno horizontal, llamado eje de la variable en observacin, en donde situamos la base de una serie de rectngulos o barras contiguas; es decir, que no van separadas, y que se rotula con los lmites inferiores de cada clase o intervalo excepto el ltimo que deber llevar tambin el lmite superior, centradas en la marca de clase. Y un eje vertical llamado eje de las frecuencias, en donde se miden las alturas que vienen dadas por la frecuencia del intervalo que representa. Todos los intervalos deben tener la misma longitud. Vemoslo a travs de un ejemplo, cuando las amplitudes de los intervalos son iguales: Ejemplo: Considerando los datos del ejemplo 2.1.4.

Velocidades en una Carretera Urbana

90 95 100

105

110

115

120

Velocidades

0123456789

101112

frecu

enci

a

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Recoleccin de datos

Histograma: Velocidades en una Carretera

92.5

97.5

102.5107.5

112.5117.7

0

2

4

6

8

10

Velocidades

Frec

uenc

ias

En la direccin de pgina sugerida se muestra un applet diseado para ensear cmo las amplitudes de intervalos (o el nmero de intervalos) afectan a un histograma http://www.stat.sc.edu/~west/javahtml/Histogram.html

Polgono de Frecuencias: Es una grfica del tipo de las grficas de lneas trazadas sobre las marcas de clase, (de ah el nombre de polgono), y se traza uniendo con segmentos de recta, de izquierda a derecha, las parejas ordenadas que se forman, al considerar como abscisa la marca de clase (eje horizontal) y como ordenada la frecuencia del intervalo representado (eje vertical); la primera y ltima parejas ordenadas se unen mediante un segmento de recta al eje horizontal, con las que seran la marca de clase anterior y posterior respectivamente si estas existieran. Este tipo de grfico adquiere mayor importancia cuando se quiere mostrar en un mismo grfico ms de una distribucin o una clasificacin cruzada de una variable continua con una discreta, situacin que no se puede observar en uno de los grficos presentados anteriormente por la forma de construccin del mismo grfico. Ejemplo: Considerando los datos del ejemplo 2.1.4.

Velocidades en una Carretera Urbana

90 95 100

105

110

115

120

Velocidades

0123456789

101112

frecu

enci

a


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Polgono de Frecuencias: Velocidades en una Carretera

0

2

4

6

8

10

92.5 97.5 102.5 107.5 112.5 117.5

Marcas de Clase: Velocidades

Frec

uenc

ias

Rel

ativ

as

Grfica de Frecuencias Acumuladas u Ojiva: Es un grfico que igual al histograma y polgono de frecuencias se utiliza para el anlisis y representacin de variables continuas, slo que en vez de utilizar las frecuencias absolutas, por sus caractersticas se construye uniendo con segmentos de recta, de izquierda a derecha, las parejas ordenadas que se forman, al considerar como abscisa los lmites superiores de cada intervalo (eje horizontal) y como ordenada las frecuencias relativas acumuladas hasta cada intervalo representado (eje vertical). Existen dos tipos de ojivas, las llamadas de mayor que, iniciando en la frecuencia ms alta 1 hacia la ms baja 0 y las llamadas de menor que, iniciando en la frecuencia ms baja 0 hacia la ms alta 1.

El grfico ojiva representa mayor importancia cuando se trata de comparar las observaciones de una misma caracterstica en dos experimentos distintos, ya que no se puede ejecutar comparaciones sobre frecuencias absolutas, es necesario una comparacin sobre frecuencias relativa; adems permite ver cuantas observaciones se hallan por arriba o debajo de ciertos valores establecidos.

Ejemplo: Considerando los datos del ejemplo 2.1.4.

Ojiva: Velocidades en una Carretera

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

95 100 105 110 115 120

Limites superiores de clase: Velocidades

Frec

uenc

ias

Rel

ativ

as

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Medidas de Tendencia Central y Variabilidad

INSTRUCCIONES: Pregunta a 15 compaeros tuyos qu carrera piensan estudiar, con los datos obtenidos calcula la:

Frecuencia Absoluta Frecuencia Absoluta Acumulada Frecuencia Relativa Frecuencia Relativa Acumulada

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Nombre ____________________________________________________________



TAREA 1


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INSTRUCCIONES: Realiza con tus calificaciones de primer parcial una grfica de barras.

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TAREA 2


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INSTRUCCIONES: Realiza un ejemplo donde puedas representar una grfica de frecuencia acumulada

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Nombre ____________________________________________________________



TAREA 3


42

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INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el crculo de la opcin que consideres correcta. 1) Son los principales elementos de una tabla estadstica:

a) Ttulo, unidades, encabezados , cuerpo, nota de pie y referencias b) Ttulo, unidades, encabezados, nota de pie y referencias c) Unidades, encabezados , cuerpo, nota de pie y referencias d) Ttulo, unidades, encabezados , cuerpo, nota de pie, valores y referencias

2) De un dato es el nmero de veces que se repite ese dato.

a) Frecuencia b) Frecuencia absoluta c) Frecuencia Relativa d) Frecuencia absoluta acumulada

3) Cuando el tamao de la muestra es finito y el nmero de datos diferentes es

pequeo. a) Datos diferentes b) Datos no agrupados c) Datos agrupados d) intervalos de clase

4) Se utiliza para representar distribuciones de frecuencias relativas: a) Grfica circular b) Grfico de barras c) Grficas de frecuencias acumuladas u ojiva d) Grfica circular

5) Se utiliza para el anlisis y representacin de variables continuas, y se construye uniendo con segmentos de recta, de izquierda a derecha. a) Grfica circular b) Grfico de barras c) Grficas de frecuencias acumuladas u ojiva d) Grfica circular

Nombre _________________________________________________________

Nm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________

Nm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________

AUTOEVALUACIN


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UUnniiddaadd 33 MMeeddiiddaass ddee

CCeennttrraalliizzaacciinn yy VVaarriiaabbiilliiddaadd..

Objetivos: El alumno: Calcular medidas de centralizacin y variabilidad, tras conocer su comportamiento en datos agrupados y no agrupados, aplicando los procedimientos propuestos, mostrando una actitud crtica, propositiva y de respeto dentro del aula.

Temario:

Medidas de tendencia central: Media Mediana Moda

Medidas de Variabilidad Rango Varianza Desviacin estndar


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MMEEDDIIDDAASS DDEE CCEENNTTRRAALLIIZZAACCIINN

Las medidas de tendencia central, de centralizacin o posicin nos facilitan informacin sobre un conjunto o serie de datos que estamos analizando una vez que estos datos fueron recopilados u organizados ya sea en una investigacin documental o en una investigacin de campo. Normalmente, la variable que se intenta medir es conocida en algunas ocasiones de manera insuficiente. Esto no significa que no se tenga algn conocimiento global de valores que pueda asumir, sino que es necesario conocerla mejor para tomar alguna decisin de importancia. Por ejemplo, si se desea comparar las estaturas de alumnos varones de dos planteles del Colegio de B

Probabilidad y Estadística I · PROBABILIDAD Y ESTADISTICA I Módulo de Aprendizaje. ......

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