PROBABILIDAD Unidad I Ordenamiento de la Información 1.
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PROBABILIDADUnidad I Ordenamiento de la Información
2Captura de datos muestrales
3
Conceptos básicos de la estadística
Población (o universo): Totalidad de elementos o cosas bajo consideración
Muestra: Es una parte de la población seleccionada para el análisis.
Parámetro: Es una medida numérica que describe una característica de la población
Estadístico: Es la medida numérica que describe alguna característica de la muestra
4
Tipos de Muestras
Tipos de muestras usadas
Muestras no probabilísticas
Muestra de juicio
Muestra de cuota
De parte
Grande
Muestras de probabilidad
Muestra
Aleatoria
simple
Muestra
sistemátic
a
Muestra
estratificada
Muestra de agrupación
5
Recolección de Datos
Proporcionados por una organización o un individuo.
El diseño de un Experimento Una encuesta Un estudio observacional
6
Tipos de Datos
Tipo de Dato Tipo de Preguntas Respuestas
Categórico
Numérico
¿Posee actualmente algunas acciones o bonos? Si | No
Discreto
Continuo
¿A cuántas revistas estáSuscrito actualmente?
¿Cuánto mide?
______ Número
______ Metros
7
Diseño del cuestionario
Propósito: Recabar información significativa que nos ayude en el proceso de toma de decisiones.
Formular preguntas cortas, libres de ambiguedades. ¿Fuma Usted? ____ Si ____No ¿Cuántos Años tiene? ____ (en años)
Pruebas piloto
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Elección de la muestra
Para seleccionar la muestra pueden usarse 2 métodos básicos: Con remplazo Sin remplazo
Uso de tabla de números aleatorios
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Organización de los datos numéricos
Arreglo Ordenado
Diagrama de tallo y hojas
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Distribución de frecuencias
Es una tabla de resumen en la que los datos se disponen en agrupamientos o categorías convenientemente establecidas de clases ordenadas numéricamente.
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Tipos de frecuencias
Frecuencia absoluta La frecuencia absoluta es el número de
veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico.
Se representa por fi
La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N.
Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria.
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Tipos de frecuencias
Frecuencia relativa La frecuencia relativa es
el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos.
Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni.
La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.
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Tipos de frecuencias
Frecuencia acumulada La frecuencia acumulada es la suma de las
frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado.
Se representa por Fi.
Frecuencia relativa acumulada La frecuencia relativa acumulada es
el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.
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Ejemplo
Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:
32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.
xiRecuento
fi Fi ni Ni
15
32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29
xiRecuento
fi Fi ni Ni
27 I 1 1 0.032 0.032
28 II 2 3 0.065 0.097
29 IIIII I 6 9 0.194 0.290
30 IIIII II 7 16 0.2260.0516
31 IIIII III 8 24 0.258 0.774
32 III 3 27 0.097 0.871
33 III 3 30 0.097 0.968
34 I 1 31 0.032 1 31 1
Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas.
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Distribución de frecuencias agrupadas
La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua.
Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.
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Límites de la clase Cada clase está delimitada por el límite inferior de
la clase y el límite superior de la clase.
Amplitud de la clase La amplitud de la clase es la diferencia entre
el límite superior e inferior de la clase.
Marca de clase La marca de clase es el punto medio de
cada intervalo y es el valor que representa a todo elintervalo para el cálculo de algunos parámetros.
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Construcción de una tabla de frecuencias agrupadas
3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.
1º Se localizan los valores menor y mayor de la distribución. En este caso son 3 y 48.2º Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la diferencia y que sea divisible por el número de intervalos queramos establecer.Es conveniente que el número de intervalos oscile entre 5 y 15.En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos el número hasta 50 / 5 = 10 intervalos.Se forman los intervalos teniendo presente que el límite inferior de una clase pertenece al intervalo, pero el límite superior no pertenece intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo.
19
3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.
ci fi Fi ni Ni
[0, 5) 2.5 1 1 0.025 0.025
[5, 10) 7.5 1 2 0.025 0.050
[10, 15) 12.5 3 5 0.075 0.125
[15, 20) 17.5 3 8 0.075 0.200
[20, 25) 22.5 3 11 0.075 0.2775
[25, 30) 27.5 6 17 0.150 0.425
[30, 35) 32.5 7 24 0.175 0.600
[35, 40) 37.5 10 34 0.250 0.850
[40, 45) 42.5 4 38 0.100 0.950
[45, 50) 47.5 2 40 0.050 1
40 1
20
Ejercicios
Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido:
15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13.
Construir la tabla de distribución de frecuencias
21
El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie:
3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1.
Construir la tabla de distribución de frecuencia
22
Los pesos de 65 Empleados de una fabrica
Peso [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80,90) [90, 100)
[100, 110)
[110, 120)
fi 8 10 16 14 10 5 2
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Definición de parámetro estadístico Un parámetro estadístico es
un número que se obtiene a partir de los datos de una distribución estadística.
Los parámetros estadísticos sirven para sintetizar la información dada por una tabla o por una gráfica.
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Tipos de parámetros estadísticos Hay tres tipos parámetros
estadísticos: De centralización. De posición De dispersión.
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Medidas de Centralización
Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.
Media aritmética La media es el valor promedio de la distribución.
Mediana La mediana es la puntación de la escala
que separa la mitad superior de la distribución y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales.
Moda La moda es el valor que más se repite en una
distribución.
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Medidas de posición
Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.
Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.
La medidas de posición son: Cuartiles
Los cuartiles dividen la serie de datos en cuatro partes iguales.
Deciles Los deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales.
Percentiles Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes
iguales.
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Medidas de dispersión
Rango o recorrido El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de
los datos de una distribución estadística. Desviación media
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.
Varianza La varianza es la media aritmética del cuadrado de
las desviaciones respecto a la media. Desviación típica
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
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Trabajo Parcial 1
Fecha de entrega: 10 Septiembre de 2010 Encuestar a 50 estudiantes de la escuela de
sistemas sobre Cultura y Deporte Elaborar la Distribución de frecuencias para
cada una de las preguntas Para Cada distribución calcular los parámetros
estadísticos de centralización y de dispersión Graficar los resultados de las distribuciones. Minimo de preguntas para la encuesta: 7 Incluir evidencias de encuesta!!!!!
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Moda
La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.
Se representa por Mo.
Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas. Hallar la moda de la distribución: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4
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Moda
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución esbimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas. 1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9
Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda. 2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9
Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes. 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4
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Moda (datos agrupados)
Li es el límite inferior de la clase modal. fi es la frecuencia absoluta de la clase
modal. fi-1 es la frecuencia absoluta
inmediatamente inferior a la clase modal. fi+1 es la frecuencia absoluta
inmediatamente posterior a la clase modal.
ai es la amplitud de la clase.
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Moda
También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:
33
Ejemplo (Moda)
Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
34
Ejemplo (Moda)
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Mediana
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.
La mediana se representa por Me.
La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
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Calculo de la Mediana
1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5 3 Si la serie tiene un número par de
puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5
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Calculo para datos agrupados
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre .
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
fi es la frecuencia absoluta. Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana. ai es la amplitud de la clase.
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Ejemplo (Mediana)
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Media aritmética
La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.
es el símbolo de la media aritmética.
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Media aritmética para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:
41
Ejercicio (Media Aritmética)
En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.
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Los pesos de 65 Empleados de una fabrica
Peso [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80,90) [90, 100)
[100, 110)
[110, 120)
fi 8 10 16 14 10 5 2
Encontrar para datos agrupados Me, Mo ,x
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Cuartiles
Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.
Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.
Q2 coincide con la mediana.
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Cálculo de los cuartiles
1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión .
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Cálculo de Cuartiles
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Cuartiles para datos agrupados En primer lugar buscamos la clase donde se
encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil.
N es la suma de las frecuencias absolutas. Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la
clase del cuartil. ai es la amplitud de la clase
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Ejercicio
49
50