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PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

PROBABILIDAD

Profesor: Victor Hugo Gil Avendaño

UNICATOLICA 24/08/2017

PROBABILIDAD

El concepto de probabilidad es manejado pormucha gente. Frecuentemente se escuchanpreguntas como las que se mencionan acontinuación:

¿ Cuál es la probabilidad de que me saque la lotería o el chance ?

¿ Qué posibilidad hay de que me pase un accidente automovilístico ?

¿ Qué posibilidad hay de que hoy llueva ? para llevar mi paraguas o no.

¿ Existe alguna probabilidad de que repruebe el primer parcial ?,

PROBABILIDAD

Estas preguntas en el lenguaje coloquial esperan comorespuesta una medida de confianza representativa opráctica de que ocurra un evento futuro, o bien de unaforma sencilla interpretar la probabilidad.

En este curso lo que se quiere es entender con claridadsu contexto, como se mide y como se utiliza al hacerinferencias.

PROBABILIDAD

El conocimiento de la probabilidad es de suma importancia en todo estudio estadístico.

El cálculo de probabilidades proporciona las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, que constituyen la base para la estadística inferencial.

PROBABILIDAD

Fenómenos Aleatorios y

Fenómenos Determinísticos.

Fenómeno Aleatorio.-

Es un fenómeno del que no se sabe que es lo que va a ocurrir, están relacionados con el azar o probabilidad.

Fenómeno Determinista.-

Es el fenómeno en el cual de antemano se sabe cual será el resultado.

PROBABILIDAD

La probabilidad estudia el tipo de fenómenos aleatorios.

Experimento aleatorio.-

Una acción que se realiza con el propósito deanalizarla. Tiene como fin último determinarla probabilidad de uno o de variosresultados.

Se considera como aleatorio y estocástico, sisus resultados no son constantes.

Puede ser efectuado cualquier número de vecesesencialmente en las mismas condiciones.

PROBABILIDAD

Un experimento es aleatorio si se verifican lassiguientes condiciones:

1. Se puede repetir indefinidamente, siempreen las mismas condiciones;

2. Antes de realizarlo, no se puede predecir elresultado que se va a obtener;

3. El resultado que se obtenga, s, pertenece aun conjunto conocido previamente deresultados posibles.

PROBABILIDAD

Ejemplos:

Tirar dardos en un blanco determinado

Lanzar un par de dados

Obtener una carta de una baraja

Lanzar una moneda

PROBABILIDAD

Otros ejemplos de eventos:A: que al nacer un bebe, éste sea niña

B: que una persona de 20 años, sobreviva 15 años más

C: que la presión arterial de un adulto se incremente ante un disgusto

PROBABILIDAD

Probabilidad e Inferencia.

Se presentan dos candidatos al cargo derepresentante del consejo de estudiantes, yse desea determinar si el candidato X puedeganar.

Población de interés: Conjunto de respuestasde los estudiantes que votarán el día de laselecciones.

Criterio de gane: Si obtiene el más del 50% de los votos.

PROBABILIDAD

Supóngase que todos los estudiantes de laUNICATOLICA van a las urnas y se elige demanera aleatoria, una muestra de 20estudiantes.

Si los 20 estudiantes apoyan al candidato

¿ Qué concluye respecto a la posibilidad quetiene el candidato X de ganar las elecciones?

PROBABILIDAD

1.- EL CANDIDATO X GANARA

2.- EL CANDIDATO Y GANARA

3.- NO SE PUEDE CONCLUIR NADA

PROBABILIDAD


GANAR IMPLICA OBTENER MAS DEL 50%

Y COMO LA FRACCION QUE LO FAVORECEEN LA MUESTRA ES 100%, ENTONCES LAFRACCION QUE LO FAVORECERA EN LAPOBLACION SERA IGUAL.

¿ ES CORRECTA ESTA INFERENCIA ?.

PROBABILIDAD


SERIA IMPOSIBLE QUE 20 DE LOS 20VOTANTES DE LA MUESTRA LOAPOYARAN, SI EN REALIDAD, MENOSDEL 50% DE LOS VOTANTES PENSARIAVOTAR POR EL.

¿ ES CORRECTA ESTA INFERENCIA ?.

PROBABILIDAD

NO.

SI BIEN NO ES IMPOSIBLE OBTENER 20 VOTANTES A FAVOR DE X EN UNA MUESTRA DE 20, SI ES PROBABLE QUE MENOS DEL 50% DE LOS VOTANTES ESTE A FAVOR DE EL, AUN CUANDO SEA MUY POCO PROBABLE.

PROBABILIDAD

TOME UNA MONEDA JUSTA Y LANCELA 20VECES ANOTANDO LOS RESULTADOS.

LLAME X = CAE CARA

Y = CAE SELLO.

¿ CUAL ES LA FRACCION DE CARAS Y CUAL ES LA FRACCION DE SELLOS ?.

PROBABILIDAD

Espacio Muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de interés de un experimento dado, y se le denota normalmente mediante la letra S.

Ejemplos:

1.- Experimento: Se lanza una moneda.

Espacio muestral = total de formas en como puede caer la moneda, o sea dos formas de interés, que caiga sello o que caiga cara. (Si cae de canto no es de interés y se repite el lanzamiento).

S = s, a

PROBABILIDAD

2.- Experimento: Se lanza un dado.

Espacio muestral = total de caras en que puede caer el dado, o sea seis formas de interés:

S = 1, 2, 3, 4, 5, 6

PROBABILIDAD

Los eventos aleatorios se denotan normalmentecon las letras mayúsculas A, B, C, ...

Son subconjuntos de S, esto es, A, B, C,… S

Los eventos aleatorios son conjuntos que puedencontener un solo elemento, una infinidad deelementos, y también no contener ningúnelemento.

Al número de puntos muestrales de S se le representa por N(S)

PROBABILIDAD

Eventos aleatorios que aparecen con gran frecuencia en el cálculo de probabilidades:

Evento seguro.- Siempre se verifica después del experimento aleatorio, son los mismos del espacio muestral.

E = S y N(E) = N(S)

Evento Imposible.- Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento aleatorio. No tiene elementos de interés para su fenómeno. Es un subconjunto de S, y la única posibilidad es que el evento imposible sea el conjunto vacío.

S, y N() = 0

PROBABILIDAD

Evento Elemental.- Es el evento E quecontiene exactamente un punto muestral deS, esto es, N(E) = 1.

Cada elemento del espacio muestral, es unevento elemental. También se ledenomina como punto muestral.

Si s1, s2 S entonces s1, s2 son eventos elementales.

PROBABILIDAD

Ejemplos (1) y (2):

En el experimento 1,

S = s, c, s y c son sucesos elementales

N(S) = 2

A = Que caiga sello = s , N(A) = 1

B = Que caiga cara = c , N(B) = 1

PROBABILIDAD

En el experimento 2,

S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son sucesos elementales, y

N(S) =6

A = Que caiga un uno = 1

B = Que caiga un dos = 2

: : :

F = Que caiga un seis = 6

PROBABILIDAD

Evento Compuesto.- Es el evento E que contiene más de un punto muestral de S, por tanto

N(E) > 1

Evento contrario a un evento A: También se denomina evento complemento de A y es el evento que se verifica si, como resultado del experimento aleatorio, no se verifica A.

Ya que los eventos son conjuntos, este evento se denota con el símbolo Ac o bien Ā, y se define como:

s tal que cA s A

PROBABILIDAD

Ejemplo:Experimento: Se lanza una moneda tres veces.Espacio Muestral:Ω = (S,S,S), (S,S,C), (S,C,S), (C,S,S), (C,C,S), (C,S,C),(S,C,C), (C,C,C) ,

N(Ω) = 8, S es el evento seguro.

Evento simple:B:Que salgan tres sellos; B = (S,S,S) , N(B) = 1

Evento compuesto:E: Que salgan al menos dos sellos;E = (S,S,S), (S,S,C), (S,C,S), (C,S,S) , N(E) = 4

Evento imposible: (conjunto vacio). N() = 0

PROBABILIDAD

Si un espacio muestral contiene n puntosmuestrales, hay un total de 2n subconjuntos oeventos ( se le conoce como conjunto potencia ).

Para el caso del experimento: se tira unamoneda,

el espacio muestral es de 2 puntos muestrales

S = C, S, por lo que se tienen 22 = 4subconjuntos y el conjunto potencia es: (A,S),(C), (S), (conjunto vacio).

PROBABILIDAD

Operaciones Básicas con Eventos Aleatorios

Ya que los eventos aleatorios son subconjuntos delconjunto Ω, espacio muestral, se puedenaplicar las conocidas operaciones conconjuntos, a los eventos, como son la unión, laintersección y la diferencia de eventos.

PROBABILIDAD

OPERACIÓN EXPRESION DESCRIPCION

UNION A B Unión de eventos originales: es el evento que sucede si y solo si A sucede o B sucede o ambos

suceden

INTERSECCION A B Intersección de los eventos originales, es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden simultáneamente.

DIFERENCIA A - B La diferencia de los eventos originales A y B, es el evento que sucede solo en A pero no en B.

PROBABILIDAD

Gráficamente estas operaciones se puedenrepresentar a través de los diagramas de Venn.

Sea Ω el espacio muestral y A y B eventos tal queA, B Ω gráficamente se puede expresar como:

S

A B

Fig. 1 Los eventos A y B no tienen elementos del espacio muestral en común.

PROBABILIDAD

S

A B

Fig 2. Los eventos A y B tienen elementos del espacio muestral en común.

PROBABILIDAD

De acuerdo a lo indicado en las figuras 1 y 2, launión de dos eventos se presenta de dos formasdiferentes: cuando los eventos son mutuamenteexclusivos (que no tienen elementos en común) ycuando entre los eventos hay elementoscomunes.

Definición.- Se dice que dos eventos A y B sonmutuamente exclusivos, cuando no puedenocurrir simultáneamente, es decir, A B = , loque ocurre en la fig. 1.

PROBABILIDAD

Ejemplo:

Experimento: Se lanza un dado.

Espacio muestral = total de caras en que puede caer el dado, o sea seis formas de interés:

S = 1,2,3,4,5,6 , N(S) = 6

Sean A, B, C los eventos:

A: Que caiga un número impar = 1, 3, 5 ,

N(A) = 3

B: Que caiga un número mayor de 2 y menor que 5 = 3, 4 , N(B) = 2

C: Que caiga un número par = 2, 4, 6 ,

N(C) = 3

PROBABILIDAD

A B = 1, 3, 5 3, 4 = 1,3,4,5, N(A B) = 4 A C = 1, 3, 5 2,4,6 = 1,2,3,4,5,6=S, N(A C) = N(S) = 6B C = 3, 4 2, 4, 6 = 2,3,4,6, N(B C) = 4 A B C = 1, 3, 5 3, 4 2,4,6 = 1,2,3,4,5,6=S, N(A B C) = 6

S

A

B

C

1

5

34

26

PROBABILIDAD

A B= 1, 3, 5 3, 4 = 3, N(AB) = 1

A C= 1, 3, 5 2,4,6 = , N(A C) = N) = 0

B C= 3, 4 2, 4, 6 = 4, N(B C) = 1

(A B) C = ( 1, 3, 5 3, 4 ) 2,4,6 = 3 2,4,6 =,

N((A B) C) = N) = 0

A (B C) = 1, 3, 5 ( 3, 4 2,4,6 )= 1, 3, 5 4 =,

N(A (B C)) = N) = 0

S

A

B

C

3

4

PROBABILIDAD

A – B = = 1, 3, 5 - 3, 4 = 1, 5 , N(A – B) = 2

A – C = 1, 3, 5 - 2,4,6 = 1,3,5 = A, N( A – C) = N(A) = 3

B – C = 3, 4 - 2,4,6 = 3 , N(B-C) = 1

S

A

B

C

1

5

3

PROBABILIDAD

Ac = 2, 4, 6 = C N(Ac ) = N( C )= 3Bc = 1, 2, 5, 6 N(Bc ) = 4Cc = 1, 3, 5 = A N(Cc ) = N(A) = 3

S

A

B

C

1

5

3

4

26

PROBABILIDAD

Probabilidad Clásica y Frecuencial.

Probabilidad frecuencial y regularidad estadística

Las frecuencias relativas de un evento tiendena estabilizarse cuando el número deobservaciones se hace cada vez mayor.

Ejemplo: La regularidad estadística en elexperimento del lanzamiento de monedas,indica que las frecuencias relativas delevento: que salga Sello s , se tiende aestabilizar aproximadamente en 0.5= 1/2.

PROBABILIDAD

Probabilidad frecuencial y regularidad estadística

La probabilidad de un evento A, denotada porP(A), es el valor en el que se estabilizan lasfrecuencias relativas del evento A, cuandoel número de observaciones del experimentose hace cada vez mayor.

PROBABILIDAD

Esto es:

Donde

N(A) = número de elementos del evento A

N(Ω) = número de elementos del espacio muestral Ω.

( )( ) (2)

( )

N AP A

N

PROBABILIDAD

Probabilidad clásica.-

Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento deese espacio. Se define la probabilidad P del eventoA, como:

donde

NCF - número de casos favorables

NCT - número de casos totales

(1) )(NCT

NCFAP

PROBABILIDAD

Ejemplo:

Experimento.- Se lanza una moneda

Evento A.- que al lanzar una moneda caiga cara.

Calcular la probabilidad de A:

S = C, S, N(Ω) = 2

A = C , N(A) = 1

( ) 1( ) .5

( ) 2

N AP A

N

PROBABILIDAD

Leyes De La Probabilidad

Las relaciones que se dan entre los eventos alser aplicadas las operaciones que sepresentaron, se facilitan y comprendenmejor haciendo uso de los axiomas yteoremas de probabilidad (Leyes deProbabilidad).

Axioma.- es una verdad evidente que norequiere demostración.

Teorema.- Es una verdad que requiere serdemostrada.

PROBABILIDAD

Axioma 1.- Sea S un espacio muestral cualquieray A un evento, tal que A S, entonces secumple que

0 P(A) 1 (3)

esto significa que la probabilidad de cualquierevento no puede ser más grande que uno, ni sermenor que cero. Si es igual a 1 se llama eventoseguro, y cuando es cero se llama eventoimposible.

P(A)___________________________________• -2 -1 0 1 2

PROBABILIDAD

Axioma 2.- La probabilidad del espacio muestral Ω esun evento seguro, es uno

P(Ω) = 1

Ejemplo.-

Experimento.- Se lanza un dado

Si A =Ω, es decir si el evento A coincide o es igual al espacio muestral, entonces.

( ) ( )( ) 1

( ) ( )

N A N SP A

N N

PROBABILIDAD

Teorema 1.- Si es el conjunto vacío, entonces la probabilidad de es igual a 0

Ejemplos:

Una persona que quiere ganar la lotería nacional, pero no compra boleto.

Que aparezca un siete al lanzar un dado

Que una persona viva 250 años

En estos casos los eventos son vacíos

( )( ) 0

( )

NP

N

PROBABILIDAD

Axioma 3.- Sea Ω un espacio muestralcualquiera y sean A y B dos eventos tales que

A Ω, B Ω y A B = , es decir, doseventos mutuamente exclusivos, entonces

P(A B) = P(A) + P(B).

A B

A B

PROBABILIDAD

Ejemplo:Experimento: Se lanzan dos monedasΩ = ss, cc, sc, csN(Ω) = 4Sean:A: el evento de que al lanzar un par de monedas caigan dos sellos exactamente

B: el evento de que al lanzar un par de monedas caiga un sello exactamente.

Los elementos de A y B sonA = ss B = sc, csSe puede ver que A B = , no hay elementos en común, por lo que los eventos son mutuamente exclusivos o disjuntos, por tanto

P(A B) = P(A) + P(B)

PROBABILIDAD

( ) 1( )

( ) 4

( ) 2( )

( ) 4

1 2 3( ) ( ) ( )

4 4 4

N AP A

N

N BP B

N

P A B P A P B

PROBABILIDAD

Axioma 4.-

Sean A1, A2, A3, A4, ..., An eventos mutuamente exclusivos:

P(A1 A2 A3 A4, ... An) =

P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + ...+ P(An)

Este axioma dice que la probabilidad de varios eventos mutuamente exclusivos (que no tienen elementos en común), es igual a la suma de sus probabilidades.

Si los eventos no son mutuamente excluyentes entonces para n eventos seria:

1 2 1 2

1 2

( ... ) ( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ... ( ... )

n n

n n

i j i j k k

i j i j k

P A A A P A P A P A

P A A P A A A P A A A

PROBABILIDAD

Ejemplo:

Experimento: Se lanza un dado

Sean

Evento A: que al lanzar un dado salga el 2 o el 4

Evento B: que al lanzar un dado salga un número mayor a 4

Evento C: que salga el 1 o 3

Los elementos de A, B y C sonA = 2, 4, N(A) = 2B = 5, 6, N(B) = 2C = 1, 3 , N(C) = 2

PROBABILIDAD

Como A, B y C son mutuamente excluyentes, ya que A B = , A C = ,

B C = ,

Por axioma 4P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C)

( ) 2( )

( ) 6

( ) 2( )

( ) 6

( ) 2( )

( ) 6

2 2 2 6( ) ( ) ( ) ( ) 1

6 6 6 6

N AP A

N

N BP B

N

N CP C

N

P A B C P A P B P C

PROBABILIDAD

Teorema 2.-(Ley Aditiva de la Probabilildad).Sean A y B dos eventos no excluyentes, A B , entonces

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

A B

PROBABILIDAD

Diferencia

Sean A y B dos eventos:

A-B = x | x A y x B

A

B

A - B

PROBABILIDAD

Ejemplo.-Experimento.- Se lanza un dado y una moneda Ω = 1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c N(Ω) = 12A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el

número 2 o 3 con sello.B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan

números pares con sello.A = 2s, 3s , N(A) = 2B = 2s, 4s, 6s N(B) = 3

A B = 2s N(A B ) = 1P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

= 2/12 + 3/12 – 1/12 = 4/12 = 1/3

PROBABILIDAD

Teorema 3.- Sea A un evento cualquiera y Ω un

espacio muestral, tal que AS, si Ac es el

complemento del evento A, entonces la

probabilidad de Ac es igual a 1 menos la

probabilidad de A, es decir

P(Ac) = 1 – P(A)

PROBABILIDAD

Experimento.- Se lanza un dado y una moneda Ω = 1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c N(Ω) = 12A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el

número 2 o 3 con sello.B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan

números pares con sello.A = 2s, 3s , N(A) = 2B = 2s, 4s, 6s N(B) = 3

Ac = 1s, 4s, 5s, 6s, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 2/12 = 10/12

Bc = 1s, 3s, 5s, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 3/12 = 9/12

PROBABILIDAD

Probabilidad Condicional.

Sea A un evento arbitrario de un espaciomuestral Ω, con P(E) > 0. La probabilidadde que un evento A suceda una vez que Eha sucedido o en otras palabras, laprobabilidad condicional de A dado E, sedefine como:

)(

)()/(

EP

EAPEAP

PROBABILIDAD

Eventos Independientes:

Se dice que los eventos A y E son independientes si se cumplen:

Si no se cumplen, se dice que los eventos son dependientes.

)()()(

)()/(

)()/(

BPAPBAP

EPAEP

APEAP

PROBABILIDAD


Ley Multiplicativa de la Probabilidad.

Ya que (AE) = (EA) y despejamos a P(AE), se tiene que la probabilidad de la intersección es:

)A P( )E/A P(

)()/()(

)(

)()/(

)(

)()/(

EPEAPEAP

AP

AEPAEP

EP

EAPEAP

PROBABILIDAD


Si A y B son independientes:

P(E)P(A))A P( )E/A P(

)()()()/()(

EPAPEPEAPEAP

)()(

)()(

)(

)()/(

)()(

)()(

)(

)()/(

EPAP

APEP

AP

AEPAEP

APEP

EPAP

EP

EAPEAP

PROBABILIDAD

Ejemplo:Experimento: Lanzar un dado. A: que al lanzar el dado caiga 3E: que al lanzar un dado salga un impar

Encontrar la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un 3 dado que se obtuvo un impar.

Ω = 1,2,3,4,5,6A = 3, E = 1,3,5, (AE) = 3,P(A) = 1/6

P(A/E) = P(AE)/ P(E) = 1/6 / 3/6 = (1)(6)/(6)(3)= 6/18 = 1/3

PROBABILIDAD

Otra forma de calcular las probabilidades de laintersección y las probabilidades condicionales,de dos eventos A y B, tal que

A AC = Ω

B BC = Ω

es elaborando primero la tabla de número deelementos de los eventos y después la tabla desus probabilidades.

B Bc Total

A AB ABc A

Ac AcB AcBc Ac

Total B Bc Ω

Se tienen los eventos A y B y sus complementos Ac, Bc

B Bc Total

A N(AB) N(ABc) N(A)

Ac N(AcB) N(AcBc) N(Ac)

Total N(B) N(Bc) N(Ω)

Tabla de número de elementos de A, B y sus complementos Ac, Bc

B Bc Total

A P(AB) P(ABc) P(A)

Ac P(AcB) P(AcBc) P(Ac)

Total P(B) P(Bc) P( Ω)

Tabla de probabilidades de A, B, Ac, Bc y sus intersecciones

PROBABILIDAD

Probabilidades condicionales:

P(A/B) = P(A B)/P(B)

P(B/A) = P(A B)/P(A)

P(A/Bc) = P(A Bc)/P(Bc)

P(B/Ac) = P(Ac B)/P(Ac)

P(Ac/B) = P(Ac B)/P(B)

P(Bc/A) = P(A Bc)/P(A)

PROBABILIDAD

Ejemplo.-

En cierta ciudad, las mujeres representan el 50%de la población y los hombres el otro 50%. Sesabe que el 20% de las mujeres y el 5% dehombres están sin trabajo. Un economistaestudia la situación de empleo, elige al azar unapersona desempleada. Si la población total es de8000 personas,

¿ Cuál es la probabilidad de que la personaescogida sea ?:

PROBABILIDAD

a).- Mujerb).- Hombrec).- Mujer dado que está empleadod).- Desempleado dado que es hombree).- Empleado dado que es mujer

Sean los eventos:M: Que sea MujerH: Que sea HombreD: Que sea DesempleadoE: Que sea Empleado

DesempleadosD

EmpleadosE

Total

MujeresM

800 3200 4000

HombresH

200 3800 4000

Total 1000 7000 8000

Tabla Número de elementos de los Eventos M, H, D, E y S

D E Total

M 800/8000 = .1 3200/8000= .4 4000/8000= .5

H 200/8000= .025 3800/8000= .475 4000/8000= .5

Total 1000/8000= .125 7000/8000= .875 8000/8000= 1

Tabla de Probabilidades

PROBABILIDAD

P(M) = .50

P(H) = .50

P(E) = .875

P(D) = .125

P(M/E) = P(ME)/P(E) = .40/.875 = .4571

P(D/H) = P(DH)/P(H) = .025/.5 = .05

P(E/M) = P(ME)/P(M) = .40/.5 = .8

P(M/D) = P(MD)/P(D) = .10/.125 = .8

P(H/D) = P(HD)/P(D) = .025/.125 = .2

PROBABILIDAD

Eventos dependientes e independientes

En el ejemplo anterior se tiene que

P(M) = .50

P(H) = .50

P(E) = .875

P(D) = .125

P(ME) = .40 P(M) P(E) = .4375

P(DH) = .025 P(D) P(H) = .0625

P(MD) = .10 P(M) P(D) = .0625

P(EH) = .475 P(E) P(H) = .4375

PROBABILIDAD

Por tanto los eventos M y E ,

D y H,

M y D,

E y H

son dependientes.

Ley general Multiplicativa para n eventos

1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1( ... ) ( ) ( \ ) ( \ )... ( \ ... )k k kP A A A A P A P A A P A A A P A A A A

1 2 3 1 2 3( ... ) ( ) ( ) ( )... ( )k kP A A A A P A P A P A P A

INDEPENDENCIA DE n EVENTOS

PROBABILIDAD

Probabilidad total.-

Sean A1, A2, A3..., An eventos disjuntos(mutuamente excluyentes), que forman unapartición de Ω. Esto es Ai Aj = paratoda i y toda j, y además

Ω = A1 A2 A3 An

A1

A2

A3A4

A5

A6

An

PROBABILIDAD

Y sea E otro evento tal que E Ω y E Ai

A1

A2

A3

A4

A5

A6

An

E

E

PROBABILIDAD

Entonces

E = Ω E = (A1 A2 A3 An) E

= (A1 E) (A2 E) (A3 E)

(An E)

Al aplicar la función de probabilidad a ambos eventos,se tiene que:

P(E) = P(A1E) + P(A2E) +P(A3E) ++P(An E)

Ya que (Ai E) es ajeno a (Aj E) para i ≠ j

PROBABILIDAD

Como (Ai E) = (E Ai) entonces

P(Ai E) = P(E Ai) = P(E/Ai) P(Ai)

Entonces la probabilidad completa de E es:

P(E) = P(E/A1) P(A1) + P(E/A2) P(A2) +

P(E/A3)P(A3)+...+ P(E/An) P(An)

PROBABILIDAD

Ejemplo.-

En una pequeña empresa de tejidos se obtienesu producción con tres máquinas hiladoras M1,M2 y M3 que producen respectivamente 50%,30% y el 20% del número total de artículosproducidos.

Los porcentajes de productos defectuososproducidos por estas máquinas son 3%, 4% y5%. Si se selecciona un artículo al azar,

¿ Cuál es la probabilidad de que el artículo seadefectuoso ?

PROBABILIDAD

Sea

D el evento: Que sea un artículo defectuoso.

P(M1) = .50 P(D/M1) = .03

P(M2) = .30 P(D/M2) = .04

P(M3) = .20 P(D/M3) = .05

P(D) = P(D/M1) P(M1) + P(D/M2) P(M2) +

P(D/M3) P(M3)

= .03(.50) + .04(.30) + .05(.20) = 0.037

M1

M2

M3

D

ND

D

ND

D

ND

P(M1)=.50

P(M2)=.30

P(M3)=.20

P(D/M1)=.03

P(ND/M1)=.97

P(D/M2)=.04

P(D/M3)=.05

P(ND/M2)=.96

P(ND/M3)=.95

P(M1)*P(D/M1)=.5*.03=.015

P(M2)*P(D/M2)=.3*.04=.012

P(M1)*P(D/M1)=.2*.05=.01

P(D) = .015+.012+.01=.037

PROBABILIDAD

Teorema de Bayes.- Supóngase que A1, A2, A3,...,Anes una partición de un espacio muestral Ω. En cadacaso P(Ai) ≠ 0. La partición es tal que A1, A2,A3,...,An, son eventos mutuamente exclusivos. Sea Ecualquier evento, entonces para cualquier Ai,

)/()()/()()/()(

)/()()/(

2211 nn

Iii

AEPAPAEPAPAEPAP

AEPAPEAP

PROBABILIDAD

P(E)

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entonces

:es E de completa adprobabilid la Como

2211

Ii

i

nn

AEPAPEAP

))P(E/AP(A))P(E/AP(A))P(E/AP(AP(E)

PROBABILIDAD

Ejemplo.-

En una pequeña empresa de tejidos se obtienesu producción con tres máquinas hiladoras M1,M2 y M3 que producen respectivamente 50%,30% y el 20% del número total de artículosproducidos.

Los porcentajes de productos defectuososproducidos por estas máquinas son 3%, 4% y5%. Supóngase que se selecciona un artículo alazar y resulta ser defectuoso. ¿Cuál sería laprobabilidad de que el artículo haya sidoproducido por la máquina M1?

PROBABILIDAD

Sea

D: Que el artículo sea defectuoso

ND: Que el artículo no sea defectuoso

M1: Que haya sido producido por la máquina 1



P(M1) = .50 P(D/M1) = .03

P(M2) = .30 P(D/M2) = .04

P(M3) = .20 P(D/M3) = .05

M1

M2

M3

D

ND

D

ND

D

ND

P(M1)=.50

P(M2)=.30

P(M3)=.20

P(D/M1)=.03

P(ND/M1)=.97

P(D/M2)=.04

P(D/M3)=.05

P(ND/M2)=.96

P(ND/M3)=.95

P(M1)*P(D/M1)=.5*.03=.015

P(M2)*P(D/M2)=.3*.04=.012

P(M1)*P(D/M1)=.2*.05=.01

P(D) = .015+.012+.01=.037

PROBABILIDAD

Por teorema de Bayes se tiene:

La probabilidad de que el artículo defectuoso se haya producido en la M1 es del 40.54%

4054.037.

)03)(.50(.

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11

332211

111

DP

MDPMP

MDPMPMDPMPMDPMP

MDPMPDMP

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