PROBABILIDAD Profesor: Victor Hugo Gil Avendaño … · PROBABILIDAD Y ESTADISTICA PROBABILIDAD...

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  • PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

    PROBABILIDAD

    Profesor: Victor Hugo Gil Avendao

    UNICATOLICA 24/08/2017

  • PROBABILIDAD

    El concepto de probabilidad es manejado pormucha gente. Frecuentemente se escuchanpreguntas como las que se mencionan acontinuacin:

    Cul es la probabilidad de que me saque la lotera o el chance ?

    Qu posibilidad hay de que me pase un accidente automovilstico ?

    Qu posibilidad hay de que hoy llueva ? para llevar mi paraguas o no.

    Existe alguna probabilidad de que repruebe el primer parcial ?,

  • PROBABILIDAD

    Estas preguntas en el lenguaje coloquial esperan comorespuesta una medida de confianza representativa oprctica de que ocurra un evento futuro, o bien de unaforma sencilla interpretar la probabilidad.

    En este curso lo que se quiere es entender con claridadsu contexto, como se mide y como se utiliza al hacerinferencias.

  • PROBABILIDAD

    El conocimiento de la probabilidad es de suma importancia en todo estudio estadstico.

    El clculo de probabilidades proporciona las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, que constituyen la base para la estadstica inferencial.

  • PROBABILIDAD

    Fenmenos Aleatorios y

    Fenmenos Determinsticos.

    Fenmeno Aleatorio.-

    Es un fenmeno del que no se sabe que es lo que va a ocurrir, estn relacionados con el azar o probabilidad.

    Fenmeno Determinista.-

    Es el fenmeno en el cual de antemano se sabe cual ser el resultado.

  • PROBABILIDAD

    La probabilidad estudia el tipo de fenmenos aleatorios.

    Experimento aleatorio.-

    Una accin que se realiza con el propsito deanalizarla. Tiene como fin ltimo determinarla probabilidad de uno o de variosresultados.

    Se considera como aleatorio y estocstico, sisus resultados no son constantes.

    Puede ser efectuado cualquier nmero de vecesesencialmente en las mismas condiciones.

  • PROBABILIDAD

    Un experimento es aleatorio si se verifican lassiguientes condiciones:

    1. Se puede repetir indefinidamente, siempreen las mismas condiciones;

    2. Antes de realizarlo, no se puede predecir elresultado que se va a obtener;

    3. El resultado que se obtenga, s, pertenece aun conjunto conocido previamente deresultados posibles.

  • PROBABILIDAD

    Ejemplos:

    Tirar dardos en un blanco determinado

    Lanzar un par de dados

    Obtener una carta de una baraja

    Lanzar una moneda

  • PROBABILIDAD

    Otros ejemplos de eventos:A: que al nacer un bebe, ste sea nia

    B: que una persona de 20 aos, sobreviva 15 aos ms

    C: que la presin arterial de un adulto se incremente ante un disgusto

  • PROBABILIDAD

    Probabilidad e Inferencia.

    Se presentan dos candidatos al cargo derepresentante del consejo de estudiantes, yse desea determinar si el candidato X puedeganar.

    Poblacin de inters: Conjunto de respuestasde los estudiantes que votarn el da de laselecciones.

    Criterio de gane: Si obtiene el ms del 50% de los votos.

  • PROBABILIDAD

    Supngase que todos los estudiantes de laUNICATOLICA van a las urnas y se elige demanera aleatoria, una muestra de 20estudiantes.

    Si los 20 estudiantes apoyan al candidato

    Qu concluye respecto a la posibilidad quetiene el candidato X de ganar las elecciones?

  • PROBABILIDAD

    1.- EL CANDIDATO X GANARA

    2.- EL CANDIDATO Y GANARA

    3.- NO SE PUEDE CONCLUIR NADA

  • PROBABILIDAD

    1.- EL CANDIDATO X GANARA

    GANAR IMPLICA OBTENER MAS DEL 50%

    Y COMO LA FRACCION QUE LO FAVORECEEN LA MUESTRA ES 100%, ENTONCES LAFRACCION QUE LO FAVORECERA EN LAPOBLACION SERA IGUAL.

    ES CORRECTA ESTA INFERENCIA ?.

  • PROBABILIDAD

    1.- EL CANDIDATO X GANARA

    SERIA IMPOSIBLE QUE 20 DE LOS 20VOTANTES DE LA MUESTRA LOAPOYARAN, SI EN REALIDAD, MENOSDEL 50% DE LOS VOTANTES PENSARIAVOTAR POR EL.

    ES CORRECTA ESTA INFERENCIA ?.

  • PROBABILIDAD

    NO.

    SI BIEN NO ES IMPOSIBLE OBTENER 20 VOTANTES A FAVOR DE X EN UNA MUESTRA DE 20, SI ES PROBABLE QUE MENOS DEL 50% DE LOS VOTANTES ESTE A FAVOR DE EL, AUN CUANDO SEA MUY POCO PROBABLE.

  • PROBABILIDAD

    TOME UNA MONEDA JUSTA Y LANCELA 20VECES ANOTANDO LOS RESULTADOS.

    LLAME X = CAE CARA

    Y = CAE SELLO.

    CUAL ES LA FRACCION DE CARAS Y CUAL ES LA FRACCION DE SELLOS ?.

  • PROBABILIDAD

    Espacio Muestral

    Es el conjunto de todos los posibles resultados de inters de un experimento dado, y se le denota normalmente mediante la letra S.

    Ejemplos:

    1.- Experimento: Se lanza una moneda.

    Espacio muestral = total de formas en como puede caer la moneda, o sea dos formas de inters, que caiga sello o que caiga cara. (Si cae de canto no es de inters y se repite el lanzamiento).

    S = { s, a }

  • PROBABILIDAD

    2.- Experimento: Se lanza un dado.

    Espacio muestral = total de caras en que puede caer el dado, o sea seis formas de inters:

    S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

  • PROBABILIDAD

    Los eventos aleatorios se denotan normalmentecon las letras maysculas A, B, C, ...

    Son subconjuntos de S, esto es, A, B, C, S

    Los eventos aleatorios son conjuntos que puedencontener un solo elemento, una infinidad deelementos, y tambin no contener ningnelemento.

    Al nmero de puntos muestrales de S se le representa por N(S)

  • PROBABILIDAD

    Eventos aleatorios que aparecen con gran frecuencia en el clculo de probabilidades:

    Evento seguro.- Siempre se verifica despus del experimento aleatorio, son los mismos del espacio muestral.

    E = S y N(E) = N(S)

    Evento Imposible.- Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento aleatorio. No tiene elementos de inters para su fenmeno. Es un subconjunto de S, y la nica posibilidad es que el evento imposible sea el conjunto vaco.

    S, y N() = 0

  • PROBABILIDAD

    Evento Elemental.- Es el evento E quecontiene exactamente un punto muestral deS, esto es, N(E) = 1.

    Cada elemento del espacio muestral, es unevento elemental. Tambin se ledenomina como punto muestral.

    Si s1, s2 S entonces s1, s2 son eventos elementales.

  • PROBABILIDAD

    Ejemplos (1) y (2):

    En el experimento 1,

    S = { s, c}, s y c son sucesos elementales

    N(S) = 2

    A = Que caiga sello = { s }, N(A) = 1

    B = Que caiga cara = { c }, N(B) = 1

  • PROBABILIDAD

    En el experimento 2,

    S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son sucesos elementales, y

    N(S) =6A = Que caiga un uno = { 1 }

    B = Que caiga un dos = { 2 }

    : : :

    F = Que caiga un seis = { 6 }

  • PROBABILIDAD

    Evento Compuesto.- Es el evento E que contiene ms de un punto muestral de S, por tanto

    N(E) > 1

    Evento contrario a un evento A: Tambin se denomina evento complemento de A y es el evento que se verifica si, como resultado del experimento aleatorio, no se verifica A.

    Ya que los eventos son conjuntos, este evento se denota con el smbolo Ac o bien , y se define como:

    s tal que cA s A

  • PROBABILIDAD

    Ejemplo:Experimento: Se lanza una moneda tres veces.Espacio Muestral: = { (S,S,S), (S,S,C), (S,C,S), (C,S,S), (C,C,S), (C,S,C),(S,C,C), (C,C,C) },

    N() = 8, S es el evento seguro.

    Evento simple:B:Que salgan tres sellos; B ={ (S,S,S) } , N(B) = 1

    Evento compuesto:E: Que salgan al menos dos sellos;E = { (S,S,S), (S,S,C), (S,C,S), (C,S,S) }, N(E) = 4

    Evento imposible: (conjunto vacio). N() = 0

  • PROBABILIDAD

    Si un espacio muestral contiene n puntosmuestrales, hay un total de 2n subconjuntos oeventos ( se le conoce como conjunto potencia ).

    Para el caso del experimento: se tira unamoneda,

    el espacio muestral es de 2 puntos muestrales

    S = {C, S}, por lo que se tienen 22 = 4subconjuntos y el conjunto potencia es: (A,S),(C), (S), (conjunto vacio).

  • PROBABILIDAD

    Operaciones Bsicas con Eventos Aleatorios

    Ya que los eventos aleatorios son subconjuntos delconjunto , espacio muestral, se puedenaplicar las conocidas operaciones conconjuntos, a los eventos, como son la unin, lainterseccin y la diferencia de eventos.

  • PROBABILIDAD

    OPERACIN EXPRESION DESCRIPCION

    UNION A B Unin de eventos originales: es el evento que sucede si y solo si A sucede o B sucede o ambos

    suceden

    INTERSECCION A B Interseccin de los eventos originales, es el evento que sucede si y slo si A y B suceden simultneamente.

    DIFERENCIA A - B La diferencia de los eventos originales A y B, es el evento que sucede solo en A pero no en B.

  • PROBABILIDAD

    Grficamente estas operaciones se puedenrepresentar a travs de los diagramas de Venn.

    Sea el espacio muestral y A y B eventos tal queA, B grficamente se puede expresar como:

    S

    A B

    Fig. 1 Los eventos A y B no tienen elementos del espacio muestral en comn.

  • PROBABILIDAD

    S

    A B

    Fig 2. Los eventos A y B tienen elementos del espacio muestral en comn.

  • PROBABILIDAD

    De acuerdo a lo indicado en las figuras 1 y 2, launin de dos eventos se presenta de dos formasdiferentes: cuando los eventos son mutuamenteexclusivos (que no tienen elementos en comn) ycuando entre los eventos hay elementoscomunes.

    Definicin.- Se dice que dos eventos A y B sonmutuamente exclusivos, cuando no puedenocurrir simultneamente, es decir, A B = , loque ocurre en la fig. 1.

  • PROBABILIDAD

    Ejemplo:

    Experimento: Se lanza un dado.

    Espacio muestral = total de caras en que puede caer el dado, o sea seis formas de inters:

    S = { 1,2,3,4,5,6 }, N(S) = 6

    Sean A, B, C los eventos:

    A: Que caiga un nmero impar = { 1, 3, 5 } ,

    N(A) = 3

    B: Que caiga un nmero mayor de 2 y menor que 5 = { 3, 4 }, N(B) = 2

    C: Que caiga un nmero par = { 2, 4, 6 } ,

    N(C) = 3

  • PROBABILIDAD

    A B = { 1, 3, 5 } { 3, 4 } = {1,3,4,5}, N(A B) = 4 A C = { 1, 3, 5 } { 2,4,6 } = {1,2,3,4,5,6}=S, N(A C) = N(S) = 6B C = { 3, 4 } { 2, 4, 6 } = {2,3,4,6}, N(B C) = 4 A B C = { 1, 3, 5 } { 3, 4 } { 2,4,6 }= {1,2,3,4,5,6}=S, N(A B C) = 6

    S

    A

    B

    C

    1

    5

    34

    26

  • PROBABILIDAD

    A B={ 1, 3, 5 } { 3, 4 } = {3}, N(AB) = 1

    A C={ 1, 3, 5 } { 2,4,6 } = {}, N(A C) = N{) = 0

    B C={ 3, 4 } { 2, 4, 6 } = {4}, N(B C) = 1

    (A B) C = ({ 1, 3, 5 } { 3, 4 }) { 2,4,6 }= {3} { 2,4,6 }={},

    N((A B) C) = N{) = 0

    A (B C) = { 1, 3, 5 } ({ 3, 4 } { 2,4,6 })= { 1, 3, 5 } { 4 }={},

    N(A (B C)) = N{) = 0

    S

    A

    B

    C

    3

    4

  • PROBABILIDAD

    A B = ={ 1, 3, 5 } - { 3, 4 } = { 1, 5 }, N(A B) = 2

    A C = { 1, 3, 5 } - { 2,4,6 } = { 1,3,5 } = A, N( A C) = N(A) = 3

    B C = { 3, 4 } - { 2,4,6 } = { 3 }, N(B-C) = 1

    S

    A

    B

    C

    1

    5

    3

  • PROBABILIDAD

    Ac = { 2, 4, 6} = C N(Ac ) = N( C )= 3Bc = {1, 2, 5, 6 } N(Bc ) = 4Cc = {1, 3, 5 } = A N(Cc ) = N(A) = 3

    S

    A

    B

    C

    1

    5

    3

    4

    26

  • PROBABILIDAD

    Probabilidad Clsica y Frecuencial.

    Probabilidad frecuencial y regularidad estadstica

    Las frecuencias relativas de un evento tiendena estabilizarse cuando el nmero deobservaciones se hace cada vez mayor.

    Ejemplo: La regularidad estadstica en elexperimento del lanzamiento de monedas,indica que las frecuencias relativas delevento: que salga Sello {s }, se tiende aestabilizar aproximadamente en 0.5= 1/2.

  • PROBABILIDAD

    Probabilidad frecuencial y regularidad estadstica

    La probabilidad de un evento A, denotada porP(A), es el valor en el que se estabilizan lasfrecuencias relativas del evento A, cuandoel nmero de observaciones del experimentose hace cada vez mayor.

  • PROBABILIDAD

    Esto es:

    Donde

    N(A) = nmero de elementos del evento A

    N() = nmero de elementos del espacio muestral .

    ( )( ) (2)

    ( )

    N AP A

    N

  • PROBABILIDAD

    Probabilidad clsica.-

    Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento deese espacio. Se define la probabilidad P del eventoA, como:

    donde

    NCF - nmero de casos favorables

    NCT - nmero de casos totales

    (1) )(NCT

    NCFAP

  • PROBABILIDAD

    Ejemplo:

    Experimento.- Se lanza una moneda

    Evento A.- que al lanzar una moneda caiga cara.

    Calcular la probabilidad de A:

    S = { C, S}, N() = 2

    A = { C }, N(A) = 1

    ( ) 1( ) .5

    ( ) 2

    N AP A

    N

  • PROBABILIDAD

    Leyes De La Probabilidad

    Las relaciones que se dan entre los eventos alser aplicadas las operaciones que sepresentaron, se facilitan y comprendenmejor haciendo uso de los axiomas yteoremas de probabilidad (Leyes deProbabilidad).

    Axioma.- es una verdad evidente que norequiere demostracin.

    Teorema.- Es una verdad que requiere serdemostrada.

  • PROBABILIDAD

    Axioma 1.- Sea S un espacio muestral cualquieray A un evento, tal que A S, entonces secumple que

    0 P(A) 1 (3)

    esto significa que la probabilidad de cualquierevento no puede ser ms grande que uno, ni sermenor que cero. Si es igual a 1 se llama eventoseguro, y cuando es cero se llama eventoimposible.

    P(A)___________________________________ -2 -1 0 1 2

  • PROBABILIDAD

    Axioma 2.- La probabilidad del espacio muestral esun evento seguro, es uno

    P() = 1

    Ejemplo.-

    Experimento.- Se lanza un dado

    Si A =, es decir si el evento A coincide o es igual al espacio muestral, entonces.

    ( ) ( )( ) 1

    ( ) ( )

    N A N SP A

    N N

  • PROBABILIDAD

    Teorema 1.- Si es el conjunto vaco, entonces la probabilidad de es igual a 0

    Ejemplos:

    Una persona que quiere ganar la lotera nacional, pero no compra boleto.

    Que aparezca un siete al lanzar un dado

    Que una persona viva 250 aos

    En estos casos los eventos son vacos

    ( )( ) 0

    ( )

    NP

    N

  • PROBABILIDAD

    Axioma 3.- Sea un espacio muestralcualquiera y sean A y B dos eventos tales que

    A , B y A B = , es decir, doseventos mutuamente exclusivos, entonces

    P(A B) = P(A) + P(B).

    A B

    A B

  • PROBABILIDAD

    Ejemplo:Experimento: Se lanzan dos monedas = { ss, cc, sc, cs}N() = 4Sean:A: el evento de que al lanzar un par de monedas caigan dos sellos exactamente

    B: el evento de que al lanzar un par de monedas caiga un sello exactamente.

    Los elementos de A y B sonA = { ss }B = {sc, cs}Se puede ver que A B = , no hay elementos en comn, por lo que los eventos son mutuamente exclusivos o disjuntos, por tanto

    P(A B) = P(A) + P(B)

  • PROBABILIDAD

    ( ) 1( )

    ( ) 4

    ( ) 2( )

    ( ) 4

    1 2 3( ) ( ) ( )

    4 4 4

    N AP A

    N

    N BP B

    N

    P A B P A P B

  • PROBABILIDAD

    Axioma 4.-

    Sean A1, A2, A3, A4, ..., An eventos mutuamente exclusivos:

    P(A1 A2 A3 A4, ... An) =

    P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + ...+ P(An)

    Este axioma dice que la probabilidad de varios eventos mutuamente exclusivos (que no tienen elementos en comn), es igual a la suma de sus probabilidades.

  • Si los eventos no son mutuamente excluyentes entonces para n eventos seria:

    1 2 1 2

    1 2

    ( ... ) ( ) ( ) ... ( )

    ( ) ( ) ... ( ... )

    n n

    n n

    i j i j k k

    i j i j k

    P A A A P A P A P A

    P A A P A A A P A A A

  • PROBABILIDAD

    Ejemplo:

    Experimento: Se lanza un dado

    Sean

    Evento A: que al lanzar un dado salga el 2 o el 4

    Evento B: que al lanzar un dado salga un nmero mayor a 4

    Evento C: que salga el 1 o 3

    Los elementos de A, B y C sonA = {2, 4}, N(A) = 2B = {5, 6}, N(B) = 2C = {1, 3} , N(C) = 2

  • PROBABILIDAD

    Como A, B y C son mutuamente excluyentes, ya que A B = {}, A C = {},

    B C = {},

    Por axioma 4P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C)

    ( ) 2( )

    ( ) 6

    ( ) 2( )

    ( ) 6

    ( ) 2( )

    ( ) 6

    2 2 2 6( ) ( ) ( ) ( ) 1

    6 6 6 6

    N AP A

    N

    N BP B

    N

    N CP C

    N

    P A B C P A P B P C

  • PROBABILIDAD

    Teorema 2.-(Ley Aditiva de la Probabilildad).Sean A y B dos eventos no excluyentes, A B , entonces

    P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

    A B

  • PROBABILIDAD

    Diferencia

    Sean A y B dos eventos:

    A-B = { x | x A y x B }

    A

    B

    A - B

  • PROBABILIDAD

    Ejemplo.-Experimento.- Se lanza un dado y una moneda = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c }N() = 12A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el

    nmero 2 o 3 con sello.B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan

    nmeros pares con sello.A = { 2s, 3s }, N(A) = 2B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3

    A B = { 2s } N(A B ) = 1P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

    = 2/12 + 3/12 1/12 = 4/12 = 1/3

  • PROBABILIDAD

    Teorema 3.- Sea A un evento cualquiera y un

    espacio muestral, tal que AS, si Ac es el

    complemento del evento A, entonces la

    probabilidad de Ac es igual a 1 menos la

    probabilidad de A, es decir

    P(Ac) = 1 P(A)

  • PROBABILIDAD

    Experimento.- Se lanza un dado y una moneda = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c }N() = 12A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el

    nmero 2 o 3 con sello.B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan

    nmeros pares con sello.A = { 2s, 3s }, N(A) = 2B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3

    Ac = { 1s, 4s, 5s, 6s, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c } P(Ac) = 1 P(A) = 1 2/12 = 10/12

    Bc = { 1s, 3s, 5s, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c }P(Bc) = 1 P(B) = 1 3/12 = 9/12

  • PROBABILIDAD

    Probabilidad Condicional.

    Sea A un evento arbitrario de un espaciomuestral , con P(E) > 0. La probabilidadde que un evento A suceda una vez que Eha sucedido o en otras palabras, laprobabilidad condicional de A dado E, sedefine como:

    )(

    )()/(

    EP

    EAPEAP

  • PROBABILIDAD

    Eventos Independientes:

    Se dice que los eventos A y E son independientes si se cumplen:

    Si no se cumplen, se dice que los eventos son dependientes.

    )()()(

    )()/(

    )()/(

    BPAPBAP

    EPAEP

    APEAP

  • PROBABILIDAD

    Probabilidad Condicional.

    Ley Multiplicativa de la Probabilidad.

    Ya que (AE) = (EA) y despejamos a P(AE), se tiene que la probabilidad de la interseccin es:

    )A P( )E/A P(

    )()/()(

    )(

    )()/(

    )(

    )()/(

    EPEAPEAP

    AP

    AEPAEP

    EP

    EAPEAP

  • PROBABILIDAD

    Probabilidad Condicional.

    Si A y B son independientes:

    P(E)P(A))A P( )E/A P(

    )()()()/()(

    EPAPEPEAPEAP

    )()(

    )()(

    )(

    )()/(

    )()(

    )()(

    )(

    )()/(

    EPAP

    APEP

    AP

    AEPAEP

    APEP

    EPAP

    EP

    EAPEAP

  • PROBABILIDAD

    Ejemplo:Experimento: Lanzar un dado. A: que al lanzar el dado caiga 3E: que al lanzar un dado salga un impar

    Encontrar la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un 3 dado que se obtuvo un impar.

    = {1,2,3,4,5,6}A = {3}, E = { 1,3,5}, (AE) = {3},P(A) = 1/6

    P(A/E) = P(AE)/ P(E) = 1/6 / 3/6 = (1)(6)/(6)(3)= 6/18 = 1/3

  • PROBABILIDAD

    Otra forma de calcular las probabilidades de lainterseccin y las probabilidades condicionales,de dos eventos A y B, tal que

    A AC =

    B BC =

    es elaborando primero la tabla de nmero deelementos de los eventos y despus la tabla desus probabilidades.

  • B Bc Total

    A AB ABc A

    Ac AcB AcBc Ac

    Total B Bc

    Se tienen los eventos A y B y sus complementos Ac, Bc

  • B Bc Total

    A N(AB) N(ABc) N(A)

    Ac N(AcB) N(AcBc) N(Ac)

    Total N(B) N(Bc) N()

    Tabla de nmero de elementos de A, B y sus complementos Ac, Bc

  • B Bc Total

    A P(AB) P(ABc) P(A)

    Ac P(AcB) P(AcBc) P(Ac)

    Total P(B) P(Bc) P( )

    Tabla de probabilidades de A, B, Ac, Bc y sus intersecciones

  • PROBABILIDAD

    Probabilidades condicionales:

    P(A/B) = P(A B)/P(B)

    P(B/A) = P(A B)/P(A)

    P(A/Bc) = P(A Bc)/P(Bc)

    P(B/Ac) = P(Ac B)/P(Ac)

    P(Ac/B) = P(Ac B)/P(B)

    P(Bc/A) = P(A Bc)/P(A)

  • PROBABILIDAD

    Ejemplo.-

    En cierta ciudad, las mujeres representan el 50%de la poblacin y los hombres el otro 50%. Sesabe que el 20% de las mujeres y el 5% dehombres estn sin trabajo. Un economistaestudia la situacin de empleo, elige al azar unapersona desempleada. Si la poblacin total es de8000 personas,

    Cul es la probabilidad de que la personaescogida sea ?:

  • PROBABILIDAD

    a).- Mujerb).- Hombrec).- Mujer dado que est empleadod).- Desempleado dado que es hombree).- Empleado dado que es mujer

    Sean los eventos:M: Que sea MujerH: Que sea HombreD: Que sea DesempleadoE: Que sea Empleado

  • DesempleadosD

    EmpleadosE

    Total

    MujeresM

    800 3200 4000

    HombresH

    200 3800 4000

    Total 1000 7000 8000

    Tabla Nmero de elementos de los Eventos M, H, D, E y S

  • D E Total

    M 800/8000 = .1 3200/8000= .4 4000/8000= .5

    H 200/8000= .025 3800/8000= .475 4000/8000= .5

    Total 1000/8000= .125 7000/8000= .875 8000/8000= 1

    Tabla de Probabilidades

  • PROBABILIDAD

    P(M) = .50

    P(H) = .50

    P(E) = .875

    P(D) = .125

    P(M/E) = P(ME)/P(E) = .40/.875 = .4571

    P(D/H) = P(DH)/P(H) = .025/.5 = .05

    P(E/M) = P(ME)/P(M) = .40/.5 = .8

    P(M/D) = P(MD)/P(D) = .10/.125 = .8

    P(H/D) = P(HD)/P(D) = .025/.125 = .2

  • PROBABILIDAD

    Eventos dependientes e independientes

    En el ejemplo anterior se tiene que

    P(M) = .50

    P(H) = .50

    P(E) = .875

    P(D) = .125

    P(ME) = .40 P(M) P(E) = .4375

    P(DH) = .025 P(D) P(H) = .0625

    P(MD) = .10 P(M) P(D) = .0625

    P(EH) = .475 P(E) P(H) = .4375

  • PROBABILIDAD

    Por tanto los eventos M y E ,

    D y H,

    M y D,

    E y H

    son dependientes.

  • Ley general Multiplicativa para n eventos

    1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1( ... ) ( ) ( \ ) ( \ )... ( \ ... )k k kP A A A A P A P A A P A A A P A A A A

    1 2 3 1 2 3( ... ) ( ) ( ) ( )... ( )k kP A A A A P A P A P A P A

    INDEPENDENCIA DE n EVENTOS

  • PROBABILIDAD

    Probabilidad total.-

    Sean A1, A2, A3..., An eventos disjuntos(mutuamente excluyentes), que forman unaparticin de . Esto es Ai Aj = paratoda i y toda j, y adems

    = A1 A2 A3 An

    A1

    A2

    A3A4

    A5

    A6

    An

  • PROBABILIDAD

    Y sea E otro evento tal que E y E Ai

    A1

    A2

    A3

    A4

    A5

    A6

    An

    E

    E

  • PROBABILIDAD

    Entonces

    E = E = (A1 A2 A3 An) E

    = (A1 E) (A2 E) (A3 E)

    (An E)

    Al aplicar la funcin de probabilidad a ambos eventos,se tiene que:

    P(E) = P(A1E) + P(A2E) +P(A3E) ++P(An E)

    Ya que (Ai E) es ajeno a (Aj E) para i j

  • PROBABILIDAD

    Como (Ai E) = (E Ai) entonces

    P(Ai E) = P(E Ai) = P(E/Ai) P(Ai)

    Entonces la probabilidad completa de E es:

    P(E) = P(E/A1) P(A1) + P(E/A2) P(A2) +

    P(E/A3)P(A3)+...+ P(E/An) P(An)

  • PROBABILIDAD

    Ejemplo.-

    En una pequea empresa de tejidos se obtienesu produccin con tres mquinas hiladoras M1,M2 y M3 que producen respectivamente 50%,30% y el 20% del nmero total de artculosproducidos.

    Los porcentajes de productos defectuososproducidos por estas mquinas son 3%, 4% y5%. Si se selecciona un artculo al azar,

    Cul es la probabilidad de que el artculo seadefectuoso ?

  • PROBABILIDAD

    Sea

    D el evento: Que sea un artculo defectuoso.

    P(M1) = .50 P(D/M1) = .03

    P(M2) = .30 P(D/M2) = .04

    P(M3) = .20 P(D/M3) = .05

    P(D) = P(D/M1) P(M1) + P(D/M2) P(M2) +

    P(D/M3) P(M3)

    = .03(.50) + .04(.30) + .05(.20) = 0.037

  • M1

    M2

    M3D

    ND

    D

    ND

    D

    ND

    P(M1)=.50

    P(M2)=.30

    P(M3)=.20

    P(D/M1)=.03

    P(ND/M1)=.97

    P(D/M2)=.04

    P(D/M3)=.05

    P(ND/M2)=.96

    P(ND/M3)=.95

    P(M1)*P(D/M1)=.5*.03=.015

    P(M2)*P(D/M2)=.3*.04=.012

    P(M1)*P(D/M1)=.2*.05=.01

    P(D) = .015+.012+.01=.037

  • PROBABILIDAD

    Teorema de Bayes.- Supngase que A1, A2, A3,...,Anes una particin de un espacio muestral . En cadacaso P(Ai) 0. La particin es tal que A1, A2,A3,...,An, son eventos mutuamente exclusivos. Sea Ecualquier evento, entonces para cualquier Ai,

    )/()()/()()/()(

    )/()()/(

    2211 nn

    Iii

    AEPAPAEPAPAEPAP

    AEPAPEAP

  • PROBABILIDAD

    P(E)

    )/()()/(

    entonces

    :es E de completa adprobabilid la Como

    2211

    Ii

    i

    nn

    AEPAPEAP

    ))P(E/AP(A))P(E/AP(A))P(E/AP(AP(E)

  • PROBABILIDAD

    Ejemplo.-

    En una pequea empresa de tejidos se obtienesu produccin con tres mquinas hiladoras M1,M2 y M3 que producen respectivamente 50%,30% y el 20% del nmero total de artculosproducidos.

    Los porcentajes de productos defectuososproducidos por estas mquinas son 3%, 4% y5%. Supngase que se selecciona un artculo alazar y resulta ser defectuoso. Cul sera laprobabilidad de que el artculo haya sidoproducido por la mquina M1?

  • PROBABILIDAD

    Ejemplo.-

    En una pequea empresa de tejidos se obtienesu produccin con tres mquinas hiladoras M1,M2 y M3 que producen respectivamente 50%,30% y el 20% del nmero total de artculosproducidos.

    Los porcentajes de productos defectuososproducidos por estas mquinas son 3%, 4% y5%. Supngase que se selecciona un artculo alazar y resulta ser defectuoso. Cul sera laprobabilidad de que el artculo haya sidoproducido por la mquina M1?

  • PROBABILIDAD

    Sea

    D: Que el artculo sea defectuoso

    ND: Que el artculo no sea defectuoso

    M1: Que haya sido producido por la mquina 1

    M2: Que haya sido producido por la mquina 2

    M3: Que haya sido producido por la mquina 3

    P(M1) = .50 P(D/M1) = .03

    P(M2) = .30 P(D/M2) = .04

    P(M3) = .20 P(D/M3) = .05

  • M1

    M2

    M3D

    ND

    D

    ND

    D

    ND

    P(M1)=.50

    P(M2)=.30

    P(M3)=.20

    P(D/M1)=.03

    P(ND/M1)=.97

    P(D/M2)=.04

    P(D/M3)=.05

    P(ND/M2)=.96

    P(ND/M3)=.95

    P(M1)*P(D/M1)=.5*.03=.015

    P(M2)*P(D/M2)=.3*.04=.012

    P(M1)*P(D/M1)=.2*.05=.01

    P(D) = .015+.012+.01=.037

  • PROBABILIDAD

    Por teorema de Bayes se tiene:

    La probabilidad de que el artculo defectuoso se haya producido en la M1 es del 40.54%

    4054.037.

    )03)(.50(.

    )(

    )/()(

    )/()()/()()/()(

    )/()()/(

    11

    332211

    111

    DP

    MDPMP

    MDPMPMDPMPMDPMP

    MDPMPDMP