Probabilidad Conjuntos

5/9/2018 Probabilidad Conjuntos - slidepdf.com

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Estadística InferencialEstadística Inferencial Tema 1: ProbabilidadesTema 1: Probabilidades 11

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Tema 1: Probabilidades 2Estadística Inferencial

¿Cuál es la probabilidad de aprobar la asignatura?

¿Cuál es la probabilidad de no sufrir un accidente cuando voy aclases?

Todos los días nos hacemos preguntas sobre probabilidad eincluso los que hayan visto de esta materia en cursos anteriores,tendr án una idea intuitiva lo suficientemente correcta para lo quenecesitamos de ella en este curso.

En este tema vamos a: Estudiar qué entendemos por probabilidad. Ver algunas reglas de cálculo de probabilidades. Ver cómo se aplican las probabilidades en Ciencias de la Salud. Aplicarlas a algunos conceptos nuevos de inter és en Ciencias de la

Salud. Test diagnósticos.




Nociones de probabilidad

Hay dos maneras principales de entender la probabilidad:

Frecuentista (objetiva): Probabilidad de un suceso es la frecuenciarelativa (%) de veces que ocurriría el suceso al realizar un experimentorepetidas veces.

Subjetiva (bayesiana): Grado de certeza que se posee sobre unsuceso. Es personal.

En ambos tipos de definiciones aparece el concepto de

suceso. Vamos a recordar qué son y algunas operacionesque se pueden realizar con sucesos.




SucesosCuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados sonposibles.El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral yse denota por E.

E espacio muestral

Se llama suceso a un subconjunto de dichos resultados. E espacio muestral

A

Se llama suceso contrario (complementario) de un suceso A,

al formado por los elementos que no están en A, se anota A¶

E espacio muestral

A A¶

Se llama suceso unión de A y B, AUB, al formado por los resultadosexperimentales que están en A o en B (incluyendo los que estánen ambos

E espacio muestral

A

B

Se llama suceso intersección de A y B, AB o simplemente AB, al formadopor los resultados experimentales que están simultáneamente en A y B

E espacio muestral

A

B

UNIÓN

E espacio muestral

A

B

INTERSEC.




Definición de probabilidad y prob. condicional

Se llama probabilidad a cualquier f unción, P, que asigna a cadasuceso A un número real P(A), verificando las siguientes reglas(axiomas)

0�P(A) �1

P(E)=1

P(AUB)=P(A)+P(B) si A � B=Ø Ø es el conjunto vacío.

Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de Asabiendo que ocurrió B:

( )( ) ( / )

( ) B

P A B P A P A B

P B

�

! !

E espacio muestral

100%

E espacio muestral

B

A

E espacio muestral

A

B




Intuir la probabilidad condicionada

B

A

P(A) = 0,25

P(B) = 0,10P(A� B) = 0,10

B

A

¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B)=1 P(A|B)=0,8

P(A) = 0,25

P(B) = 0,10P(A� B) = 0,08




Intuir la probabilidad condicionada

A

B

A

B

¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B)=0,05 P(A|B)=0

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A� B) = 0,005

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A� B) = 0




Cualquier problema de probabilidad puede resolverse en teoría medianteaplicación de los axiomas. Sin embargo, es más cómodo conocer algunas

reglas de cálculo:

P(A¶) = 1 - P(A)

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A�B)

P(A�B) = P(A) P(B|A)=P(B) P(B|A)

Prob. de que ocurra A y B es la prob. de que ocurra A por la probabilidad de que ocurra Bsabiendo que ocurrió A.

Dos sucesos son independientes si el hecho de que ocurra uno no afectala ocurrencia del otro. En lenguaje probabilístico:

A y B independientes P(A|B) = P(A)

Dicho de otra forma: A y B independientes P(A � B) = P(A) P(B)




EJEMPLO: En una muestra de 1000 individuos elegidos al azar, entreuna población de enfermos de osteoporosis 760 eran mu jeres.

¿Qué porcentaje de mu jeres hay en la muestra? (760/1000)*100=0,76*100=76%

Si elegimos a un individuo de la población, qué probabilidad hay de quesea mu jer: La noc. frec. de prob. nos permite aproximarlo a P(Mu jer)=0¶76

¿Cuál es la probabilidad de que elegido un individuo de la población seahombre: P(Hombre)=P(Mu jer ¶)=1-0,76=0,24

Se sabe de otros estudios que entre los individuos con osteoporosis, aprox.la cuarta parte de las mu jeres y la tercera parte de los hombres f uman.

Elegimos a un individuo al azar de la población de enfermos. ¿Qué probabilidad hay de que sea mu jer f umadora? P(Mu jer Fumar) = P(Mu jer) P(Fumar|Mu jer) = 0,76 x 0.25 = 0,19

¿Qué probabilidad hay de que sea un hombre f umador? P(Hombre Fumar) = P(Hombre) P(Fumar|Hombre) = 0,24 x 1/3 = 0,08




Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos

Partición medible de un espacio muestral A1 A2

A3 A4

Son una colección de sucesos

A1, A2, A3, A4«

Tales que la unión de todos ellos formanel espacio muestral, y sus interseccionesson disjuntas.




Divide y vencer ás

A1 A2

A3 A4

B

Todo suceso B, puede ser descompuestoen componentes de dicho sistema.

B = (B A1) U (B A2 ) U ( B A3 ) U ( B A4 )

Nos permite descomponer el problema B ensubproblemas más simples. Creanlo . Funciona.




Probabilidad total

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cadauno de los componentes de un sistemaexhaustivo y excluyente de sucesos,entonces«

« podemos calcular la probabilidad de B.

P(B) = P(B A1) + P(B A2 ) + P( B A3 ) + ( B A4 )

=P(B| A1) P( A1) + P(B| A2) P( A2) + «




Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son mu jeres. Deellas el 10% son f umadoras. De los varones, son f umadores el

20%. ¿Qué porcentaje de f umadores hay en total?

P(F) = P(FH) + P(FM)

= P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)

=0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7

= 0,13 =13%

¿Se elije a un individuo al azar y resultaf umador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre? P(H|F) = P(F H)/P(F)

= P(F|H) P(H) / P(F)

= 0x2 x 0,3 / 0,13

= 0,46 = 46%

Mu jeres

Varones

f umadores

Pr obabilidad Total.

Hombres y mu jeresforman

una partición del espaciomuestral

R. Bayes




Expresión del problema en forma de arbol

Estudiante

Mu jer

No f uma

Hombre

Fuma

No f uma

Fuma

0,7

0,1

0,20,3

0,8

0,9

P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3x0,2

P(H

| F) = 0,3x0,2/P(F)

�Los caminos a través de nodosrepresentan intersecciones.

�Las bif urcaciones representan

uniones disjuntas.

�Puedes resolver los problemasusando la técnica de tupreferencia.




Regla de Bayes

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B encada uno de los componentes de unsistema exhaustivo y excluyente desucesos, entonces«

«si ocurre B, podemos calcular laprobabilidad (a posteriori ) de ocurrencia

de cada Ai.

donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:

P(B)=P(B A1) + P(B A2 ) + P( B A3 ) + ( B A4 )

=P(B| A1) P( A1) + P(B| A2) P( A2) + «

( )( ) ( / )

( )

i B i i

P A B P A P A B

P B

�

! !




Test diagnósticosUn test diagnóstico sirve para ayudar a mejorar una estimación de la

probabilidad de que un individuo presente una enfermedad.

En pricipio tenemos una idea subjetiva de P(Enfermo). Nos ayudamos de« Incidencia,

Porcentaje de nuevos casos de la enfermedad en la población. Prevalencia,«

Porcentaje de la población que presenta una enfermedad.

Por otra parte, para confirmar, usamos una pr ueba diagnóstica. La mismaha sido evaluada con anterioridad sobre dos gr upos de individuos: sanos yenfermos. Así de modo frecuentista se ha estimado: Sensibilidad (verdaderos +)= Tasa de acierto sobre enfermos. Especificidad (verdaderos -)= Tasa de acierto sobre sanos.

A partir de lo anterior y usando la Regla de Bayes, podemos calcular lasprobabilidades a posteriori (en f unción de los resultados del test): Índicespredictivos P(Enfermo | Test +) = Índice predictivo de verdaderos positivo P(Sano | Test -) = Índice predictivo de verdaderos negativo




Test diagnósticos: aplicación Regla de Bayes.

Individuo

Enfermo

T-

Sano

T+

T-

T+

P. a priori de enfermedad:incid., preval., intuición,«

Sensibilidad,verdaderos +

Falsos +

Especificidad,Verdaderos -

Falsos -




Ejemplo: Test diagnóstico y Regla de Bayes

La diabetes afecta al 20% de los individuos que acudena una consulta. La presencia de glucosuria se usa comoindicador de diabetes. Su sensibilidad es de 0,3 y laespecificidad de 0,99. Calcular los índices predictivos.

88,001,08,03,02,0

3,02,0

)()(

)()|(

!

��

�!

!

+ +

+

T Sano P T Enf P

T Enf P T Enf P

Individuo

EnfermoT-

Sano

T+

T-

T+

0,3

0,01

0,99

0,7

0,2

0,8

85,07,02,099,08,0

99,08,0

)()(

)()|(

!

��

�!

!

+ +

+

T Enf P T Sano P

T Sano P T Sano P




Observaciones En el ejemplo anterior, al llegar un

individuo a la consulta tenemos una ideaa priori sobre la probabilidad de quetenga una enfermedad.

A continuación se le pasa un testdiagnóstico que nos aportar á nuevainformación: Presenta glucosuria o no.

En f unción del resultado tenemos unanueva idea (a posteriori ) sobre la

probabilidad de que esté enfermo. Nuestra opinión a priori ha sido

modificada por el resultado de unexperimento.

Relaciónalo con el método científico.

-¿Qué probabilidad tengode estar enfermo?

- En principio 0.2. Leharemos unas pr uebas.

- Presenta glucosuria. La

probabilidad ahora es de0.88




¿Qué hemos visto hasta el momento?

Álgebra de sucesos Unión, intersección, complemento

Probabilidad Nociones

Frecuentista Subjetiva o Bayesiana

Axiomas Probabilidad condicional Reglas del cálculo de probabilidades

Complementario, Unión, Intersección

Independencia de sucesos Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos

Probabilidad total. Regla de Bayes

Test diagnósticos A priori : Incidencia, prevalencia. Eficacia de la pr ueba: Sensibilidad, especificidad. A posteriori : Índices predictivos.

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