PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE … · de Probabilidad) publicada en 1713, ocho años...

PROBABILIDAD, COMBINATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

DANIEL HERRERA ARÁUZ

200 PROBLEMAS RESUELTOS. 200 PROBLEMAS PROPUESTOS.

“Es en verdad tan notable que una ciencia que se inició con las consideraciones del juego, se hubiese elevado

a los objetos más importantes de la sabiduría humana”. Pierre Simon Laplace

PREFACIO La presente publicación es el resultado de varios años en que el autor ha desarrollado la cátedra de Estadística en las carreras de Administración y Contabilidad y Auditoría en la Facultad de Ciencias Administrativas de la Universidad Central del Ecuador, como también a nivel de estudios de posgrado en diversas universidades e instituciones de estudios superiores del país. La probabilidad es la cuantificación de la ocurrencia de un evento de carácter aleatorio; la mayoría de eventos que se presentan en el desarrollo de las actividades del ser humano son aleatorios, es decir, no existe la certeza de lo que va a ocurrir, sin embargo se conocen todos los resultados posibles que podrían ocurrir. La teoría del cálculo de probabilidades nació como una estrategia para ganar los juegos de azar, en el siglo XVI, dos matemáticos de renombre: Laplace y Pascal desarrollaron una serie de estrategias para ganar los juegos de azar, a pesar de que no obtuvieron el resultado esperado, sin embargo, se estableció un marco teórico muy importante para el análisis y la estimación de la ocurrencia de eventos de carácter aleatorio. Este trabajo académico está dividido en tres secciones: en la primera sección, en 10 capítulos, se presenta el marco teórico de la definición clásica de probabilidad y la expresión de la probabilidad en una distribución de frecuencias, la probabilidad de eventos combinados y de eventos condicionales, junto con tablas y árboles de probabilidad; dispone además de un capítulo sobre combinatoria, el marco teórico de las distribuciones de probabilidad junto con la distribución binomial y la distribución normal; cada uno de estos temas viene conjuntamente con una diversa variedad de ejercicios y problemas de aplicación resueltos, junto con una cantidad similar de ejercicios y problemas propuestos a ser resueltos por el estudiante. La segunda parte del texto contiene una descripción detallada de los diferentes elementos informáticos que han sido utilizados para el cálculo numérico en la resolución de los problemas presentados en este libro, particularmente se mencionan las funciones electrónicas y herramientas de la hoja de cálculo Excel, el programa SPSS, como también el uso de graficadores para el trazado de la curva normal. La tercera parte del libro (publicación por separado), el solucionario, tiene en su contenido la resolución detallada e íntegra de los problemas propuestos en la primera parte; el estudio y revisión de estos ejercicios permitirá al docente y al estudiante disponer de un modelo y de una metodología didáctica para la preparación académica de estos temas. Tanto los problemas resueltos como los problemas propuestos, han sido tomados de diversos textos impresos de Estadística y de Probabilidad, como también de infinidad de artículos sobre el tema que se encuentran en la red de internet; los cuales han sido incluidos en la bibliografía correspondiente. Algunos problemas han sido adaptados a nuestra realidad, sobre todo lo relacionado con la moneda, las unidades de medida, los lugares geográficos, etc.; manteniendo la parte fundamental del problema, para su posterior aplicación del marco teórico en su resolución. El autor anticipa su agradecimiento a docentes y estudiantes que hagan uso de este material, solicitando además remitir sus comentarios y sugerencias para futuras ediciones a [email protected]

Daniel Herrera Aráuz

mailto:[email protected]

BREVE HISTORIA DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES1

Los orígenes de las matemáticas de la probabilidad se remontan al siglo XVI. Las primeras aplicaciones se relacionaban básicamente con los juegos de azar. Los jugadores gananciosos utilizaron el conocimiento de la teoría de la probabilidad para desarrollar estrategias de apuesta, incluso actualmente son muchas las aplicaciones que comprenden juegos de azar, como en diversas loterías, casinos, en las carreras de caballos y en los deportes organizados.

PIERRE DE FERMAT Y BLAISE PASCAL

El cálculo de probabilidades inicia con los planteamientos realizados por Pierre de Fermat, ilustre abogado francés que nace en Beaumount de Lamagne en el sur de Francia en el año de 1601, no fue un profesional de la matemática, más bien fue un aficionado a las mismas. Se lo considera como Príncipe de los Aficionados de la matemática. En el estudio de la probabilidad, Fermat deja su huella a raíz de un problema de juegos de azar presentado por su colega Blaise Pascal, Matemático y científico francés que nace en 1623, fue un joven estudioso además de ser algo así como un prodigio en matemáticas. A los doce años había demostrado las 32 proposiciones de Euclides. Al sostener correspondencia epistolar con Fermat, en lo referente al problema planteado por el Caballero de Meré, Pascal fundamenta las bases de la teoría de las probabilidades.

Los problemas planteados por el caballero de Meré son los siguientes:

El Problema de los dados

El caballero de Meré plantea que es paradójico que en el juego de lanzar un dado cuatro veces consecutivas, la probabilidad de que aparezca un 6 sea mayor que la del caso contrario, mientras que; la probabilidad de que aparezca un doble seis cuando dos dados sean lanzados 24 veces era menor que la del caso contrario.

El problema de las partidas

De Meré plantea acerca de cómo repartir una apuesta entre dos jugadores de igual habilidad, si se suspende la partida antes de finalizar y conociendo el número de puntos que cada jugador ha conquistado hasta el momento de suspenderse el juego.

Pascal le plantea a Fermat estos problemas en una carta donde le comenta: “El Caballero de Meré es muy inteligente, pero desgraciadamente no es matemático y esto, como usted sabe; es un defecto muy grave”.

Para solucionar este problema Pascal hizo uso del triángulo aritmético el cual desde entonces ha llevado su nombre. Aunque él no lo descubrió, si descubrió algunas propiedades importantes de dicho triángulo, como consecuencia de este trabajo de Coeficientes binomiales, el cálculo combinatorio tiene su carta de presentación en el mundo matemático. Además con la aparición del cálculo combinatorio se hizo necesario replantear las doctrinas filosóficas, en especial las del método cartesiano, ahora estas deberían explorar y figurar todos los caminos posibles a partir de los datos iniciales.

1 Con la colaboración académica de Nelson Herrera Aráuz

No existen datos históricos de la solución al segundo problema planteado por el caballero De Meré, sin embargo: “Para ver con qué facilidad pueden surgir los malos entendidos vamos a estudiar el segundo problema planteado: Supongamos que dos jugadores A y B participen en una apuesta de $ 60 convienen en que el primero haga tres puntos ganará toda la apuesta, pero cuando A ha ganado 2 puntos y B ha ganado 1, de mutuo acuerdo deciden dejar el juego. ¿Cómo tendrían que repartirse las apuestas de $ 60?

A primera vista este problema parece muy sencillo. Se puede decir que puesto que A tiene el doble de puntos de B, a A le debe corresponder doble número de dólares que a B, es decir que A debería llevarse $40 y B $ 20. Pero supongamos que se jugaran el otro punto el que de mutuo acuerdo no se ha jugado. Si lo ganara A todos los $60 le pertenecerían; si perdiera quedarían empatados a 2, y habrían de repartirse los $ 60 por igual. Es decir que A está segura de ganar, en cualquier caso $ 30, y suponiendo que tenga iguales oportunidades de ganar el punto siguiente, de los otros $30 se le debía dar la mitad. Dicho de otro modo que a A le deberían corresponder $45 y a B $ 15.

No es difícil ver que la segunda solución es la correcta si A y B se han de atener a su convenio original, pero si al principio del juego se hubieran puesto de acuerdo para dividir la apuesta proporcionalmente a los puntos que tuvieran al dejar el juego, la solución correcta sería desde luego la primera".

Al parecer Pascal no pudo reprimirse ante un leve reproche de De Meré, no porque este fuese un jugador, sino por una razón más seria: De meré no era matemático y así escribió a Fermat:

“Car, il a trés bon esprit, mais il n´est pas geométre; c´est comme vous savez un grand défault¨. En realidad el caballero merecía algo peor puesto que la respuesta a su pregunta, que evidentemente estorbó a sus negocios; le impulsó a escribir una diatriba sobre la inutilidad de todas las ciencias, en particular la aritmética. Y esa fue la suerte de la primera asociación de cerebros.

JACOBO BERNOULLI

Jacobo Bernoulli nació en Basilea en el año de 1654; miembro de una brillante familia originaria de Amberes, ocupa un importante puesto protagónico en el desarrollo de la matemática y la ciencia, fue uno de los primeros en comprender la importancia del cálculo diferencial, publicado por Leibniz, murió en 1705.

En el campo de las probabilidades Jacobo Bernoulli escribió su mejor obra “Ars Conjectandi” (Cálculo de Probabilidad) publicada en 1713, ocho años después de su muerte.

En esta obra el cálculo de probabilidades adquiere autonomía científica. La obra consta de cuatro volúmenes: en el primero reproduce con valiosos comentarios la obra de Huygens sobre probabilidad. El segundo incluye una teoría general de permutaciones y combinaciones, junto con la demostración de los teoremas binomial y multinomial. En este trabajo aparecen los números de Bernoulli (ejemplo: 1/6, -1/30, 1/42.......................) el tercer volumen comprende muchos problemas de probabilidad especialmente los de juegos de azar y en el cuarto volumen prueba con todo rigor el “teorema de Bernoulli” o “Ley de los grandes números”, el cual establece que en el infinito, la probabilidad y la frecuencia relativos a un suceso asociado en un experimento, se unen o sea son iguales.

PIERRE SIMÓN LAPLACE

El cálculo de probabilidades tuvo en Pierre Simón Laplace (1749-1817) a uno de sus principales propulsores con su obra: Theorie Analytic des probabilities, publicada en 1812. En esta obra, Laplace hace uso del análisis infinitesimal, introduce el método de los mínimos cuadrados, y se estudian todas las contribuciones probabilísticas de matemáticos anteriores. Además entre 1812 y 1820 escribe algunos Ensayos Filosóficos sobre probabilidades en las que expone la teoría sin fórmulas matemáticas escritas.

Pierre Simón Laplace fue profesor de Napoleón Bonaparte, y acompañó al emperador en la expedición a Egipto, cuando el Genial Corso prácticamente llevó una Universidad, mezclándose con los oficiales de marina, astrónomos botánicos, químicos, y por cierto matemáticos, entre ellos Monge y Laplace.

Fue tan importante el aporte de Laplace en el desarrollo del cálculo de probabilidades que su obra hizo época, pues en su teoría analítica de la probabilidad llevó al cálculo a un punto tal que Clerk Maxwell pudo decir que es “matemática para hombres prácticos” , mientras que Jevons anunciaba en forma completamente lírica que las matemáticas de la probabilidad son “la verdadera guía de la vida y difícilmente puede dar un paso o adoptar una decisión sin hacer correcta o incorrectamente, un cálculo de probabilidad”.

Las dos opiniones anteriormente citadas fueron emitidas aún antes de que el cálculo de probabilidades hubiese alcanzado sus más brillantes éxitos en física y en genética o en esferas más prácticas.

CARLEE FRIEDRICH GAUSS (1777-1855)

El llamado Príncipe de las Matemáticas, Carlee Friedrich Gauss nació en la ciudad de Brunswick (Alemania) en donde realizó sus primeros estudios, desde muy niño dio muestras de grandes dotes para las matemáticas y se destacaron sus estudios sobre geometría diferencial, álgebra, la teoría de los números y la probabilidad, como también en trabajos sobre el magnetismo, construyo junto con Weber un telégrafo, no muy práctico, pero que se anticipó al del norteamericano Henry. En la astronomía es célebre su trabajo sobre los "Mínimos Cuadrados", que lo aplicó a las investigaciones sobre la famosa ecuación Bode-Titius; más tarde esta teoría de "Mínimos Cuadrados" será la base teórica fundamental en la elaboración de modelos de regresión.

Las contribuciones de Gauss a la teoría de probabilidades se centran en los siguientes aspectos:

La distribución Normal. El método de los mínimos cuadrados. La ley de distribución de los errores de observación.

COROLARIO Los juegos de azar, generaron grandes fortunas en la industria del entretenimiento, el ocio y el turismo, Las Vegas en Estados Unidos y Montecarlo en Mónaco son en la actualidad los templos mundiales del juego.

La literatura, y sobre todo el cine, es rico en anécdotas, dramas, etc. cuyos argumentos giran alrededor de fabulosas apuestas, Julio Verne, escritor francés nos relata en la mejor novela de la geografía universal la gran apuesta entre Phileas Fogg y el club "Reform" de Londres en la fantástica aventura de la Vuelta al mundo en 80 días.

RESUMEN: Contiene la teoría de Probabilidad, la teoría de Combinatoria y de las Distribuciones de Probabilidad para variable discreta y variable continua, además 200 problemas resueltos y 200 problemas propuestos con su respectiva respuesta.


PRIMERA SECCION


pág. 1


1. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD Y PROBABILIDAD COMO FRECUENCIA RELATIVA ........ 3

1.1. EXPERIMENTO ALEATORIO ...................................................................................................... 3

1.2. EVENTO ALEATORIO ................................................................................................................ 3

1.3. ESPACIO MUESTRAL ................................................................................................................ 3

1.4. PROBABILIDAD DE UN EVENTO ............................................................................................... 3

1.5. MANERAS DE EXPRESAR LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO .................................................. 4

1.6. PROBABILIDAD EN DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA ............................................................ 4

1.7. PROBLEMAS RESUELTOS ......................................................................................................... 6

1.8. PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................... 14

2. EVENTOS COMBINADOS ............................................................................................................... 18

2.1. RELACIÓN ENTRE EVENTOS ................................................................................................... 18

2.2. COMBINACIÓN DE EVENTOS ................................................................................................. 18

2.3. PROBABILIDAD DE EVENTOS COMBINADOS ......................................................................... 18

2.4. RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS ............................................................................... 18

2.5. PROBLEMAS RESUELTOS ....................................................................................................... 19

3. PROBABILIDAD CONDICIONAL ..................................................................................................... 37

3.1. DEFINICIÓN ............................................................................................................................ 37

3.2. ALGEBRA DE EVENTOS CONDICIONALES ............................................................................... 37




4. TABLAS DE CONTINGENCIA Y TABLAS DE PROBABILIDAD .......................................................... 52

4.1. TABLAS DE CONTINGENCIA ................................................................................................... 52

4.2. TABLA DE PROBABILIDAD ...................................................................................................... 52



5. ÁRBOL DE PROBABILIDAD Y FÓRMULA DE BAYES....................................................................... 69

5.1. ÁRBOL DE PROBABILIDAD ..................................................................................................... 69

5.2. FÓRMULA DE BAYES .............................................................................................................. 69




6. ANÁLISIS COMBINATORIO Y APLICACIONES EN EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES .................. 92

6.1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 92

6.2. LA NOTACIÓN FACTORIAL ..................................................................................................... 92

6.3. PROPIEDADES DEL FACTORIAL .............................................................................................. 92


pág. 2

6.4. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL ANÁLISIS COMBINATORIO .................................................. 92

6.5. VARIACIONES ......................................................................................................................... 92

6.6. PERMUTACIONES .................................................................................................................. 93

6.7. PERMUTACIONES REPETIDAS ................................................................................................ 93

6.8. PERMUTACIONES CIRCULARES .............................................................................................. 93

6.9. COMBINACIONES................................................................................................................... 93

6.10. PROBLEMAS RESUELTOS ................................................................................................... 95

6.11. PROBLEMAS PROPUESTOS .............................................................................................. 112

7. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ............................................................................................. 118

7.1. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA ...................................................................... 119

7.2. PROBLEMAS RESUELTOS ..................................................................................................... 120

7.3. PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................. 136

8. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL O DE BERNOUILLI ............................................................................. 141

8.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 141

8.2. PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL .................................................................. 141



9. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES PARA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA ....................... 158

9.1. DISTRIBUCIÓN NORMAL ...................................................................................................... 158

9.2. PROPIEDADES DE LA CURVA NORMAL ................................................................................ 158

9.3. PROBABILIDAD CON LA CURVA NORMAL ........................................................................... 159

9.4. PROCESO DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ................... 159



10. APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ................... 190

10.1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 190

10.2. PROBLEMAS RESUELTOS ................................................................................................. 191

10.3. PROBLEMAS PROPUESTOS .............................................................................................. 200


pág. 3

1. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD Y PROBABILIDAD COMO FRECUENCIA RELATIVA

1.1. EXPERIMENTO ALEATORIO Se dice que un experimento es aleatorio, cuando no se conoce con certeza el resultado de dicho experimento; sin embargo se conocen todos los resultados posibles de dicho experimento. Como ejemplos de experimentos aleatorios podemos citar los siguientes: 1. Lanzar al aire una moneda. 2. Extraer una carta de un mazo de naipes. 3. Lanzar un dado. A pesar que estos ejemplos giran en torno a los juegos de azar, esto sirvió como material de trabajo para la elaboración de un marco teórico matemático muy importante como es el cálculo de probabilidades; dentro de la administración podemos citar los siguientes ejemplos como experimentos aleatorios: 1. El volumen de ventas de un almacén para el año próximo. 2. La aceptación del consumidor de un nuevo producto. 3. La tasa de interés para el siguiente semestre.

1.2. EVENTO ALEATORIO Se denomina Evento al resultado de un experimento aleatorio. Obtener cara al lanzar la moneda, obtener un número par al lanzar un dado, obtener un seis de diamantes el momento de extraer una carta del mazo de naipes, son algunos eventos de los ejemplos que ilustran la definición anterior. 1.3. ESPACIO MUESTRAL Se denomina Espacio Muestral al conjunto formado por todos los eventos de un experimento aleatorio; como ejemplos de Espacio Muestral se pueden indicar los siguientes:

Si el Experimento aleatorio es lanzar una moneda al aire, el Espacio Muestral sería:

{ }

Si el Experimento Aleatorio es lanzar un dado, el Espacio Muestral sería:

{ }

Si el Experimento Aleatorio es calificar la calidad de un artículo fabricado, el Espacio Muestral es:

{ }

1.4. PROBABILIDAD DE UN EVENTO La probabilidad de un evento aleatorio es la cuantificación de la ocurrencia de dicho evento, es decir, si podemos expresar mediante un número la ocurrencia de un suceso de carácter aleatorio, entonces hemos encontrado la probabilidad de ocurrencia de dicho evento.


pág. 4

Sea un evento aleatorio, entonces: Representa la probabilidad de ocurrencia del evento , este valor se puede encontrar mediante la expresión:

Ahora, la probabilidad de no-ocurrencia del suceso aleatorio será:

La probabilidad de un evento A es un número positivo entre cero y uno, es decir:

Ahora, la probabilidad de ocurrencia de un evento junto con la probabilidad de no ocurrencia del mismo reúne todo el todo el espacio Muestral, por lo que:

Con lo que se puede expresar que:

1.5. MANERAS DE EXPRESAR LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO

La probabilidad de un evento puede expresarse de tres maneras:

a. Como fracción, b. Como número decimal, c. Como porcentaje.

Se tiene el siguiente ejemplo:

Los registros diarios de lluvia indican que en los últimos 10 días, 7 de ellos han soportado fuertes aguaceros; Si el evento A es hoy llueve, la probabilidad de ocurrencia de a está dado por:

1.6. PROBABILIDAD EN DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA

Una distribución de frecuencias es una asociación de los casos que se presentan en los diferentes valores que toma una variable, sea esta cualitativa o cuantitativa; se acostumbra a presentar una distribución de frecuencias en una tabla de simple entrada, tal como se indica a continuación:


pág. 5

VARIABLE FRECUENCIA ( ) FRECUENCIA RELATIVA

… … …

∑

∑= ∑ 1.00

La frecuencia relativa de cada una de los valores que toma la variable en estudio está dado por:

Observe que al determinar la frecuencia relativa para cada una de las clases o intervalos que conforman la distribución de frecuencias se utiliza la definición clásica de probabilidad es decir: la división de la frecuencia absoluta de cada uno de los intervalos (número de casos) para la suma de la frecuencia absoluta (el total de casos). Entonces: Se puede asociar la frecuencia relativa de cada una de las clases o intervalos de la distribución de frecuencias, con la probabilidad de ocurrencia, considerando como eventos del experimento aleatorio a cada una de las clases. Por otro lado, la suma de la frecuencia relativa, ahora probabilidad de ocurrencia de cada uno de los eventos es igual a 1. Entonces: La suma de la probabilidad de ocurrencia de todos los eventos, resultados del experimento aleatorio es igual a 1, es decir: Sean eventos de un experimento aleatorio, entonces:

∑


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1.7. PROBLEMAS RESUELTOS

1.1. Construya el Espacio Muestral para cada uno de los siguientes experimentos: a. Se pregunta a una persona la primera letra de su apellido.

{ } { } b. Se pregunta a cuatro personas el mes que nacieron.

{ } { } c. Se examinan ocho plantas y se registra el número de ellas atacadas por cierta enfermedad.

{ } { } d. Se escucha una estación de radio y se cuenta el número de segundos transcurridos hasta que

escucha la palabra: sincatexpmatic

{ }

e. Se determina el porcentaje de humedad relativa de un invernadero

{ }

1.2. Con el objeto de probar la afirmación de un adivino que asegura que posee una varilla capaz de detectar la presencia de agua y minerales en el subsuelo, se entierran cuatro recipientes, dos vacíos y dos llenos de agua. El adivino usará su varilla para examinar cada uno de los cuatro recipientes y decidir cuáles son los dos que contienen agua.

a. Defina el experimento:

Experimento aleatorio: seleccionar dos recipientes

b. Cuál es el espacio muestral del experimento:

Sean los eventos

: Recipientes con agua. Recipientes sin agua.

{ }

c. Si la varilla es completamente inservible para localizar agua, ¿cuál es la probabilidad de que el

adivino identifique correctamente (al azar) los dos recipientes que contienen agua?

Sea el evento C: seleccionar los dos recipientes con agua, entonces la probabilidad de ocurrencia de C está dado por:


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1.3. Se le pide a un catador de té que pruebe y clasifique tres variedades de té A, B y C de acuerdo con su preferencia.

a. Defina el experimento

Experimento aleatorio: ordenar por preferencia las tres variedades de té

b. Describa el espacio muestral { }

c. Si el catador no tuviera habilidad para distinguir la diferencia entre los tres tipos de té ¿cuál es la probabilidad de que concluya que el tipo A es el mejor?, ¿de que concluya que es el peor?

Sea el evento D: el té A es el mejor (ocupa el primer lugar), entonces la probabilidad de ocurrencia de D está dado por:

Sea el evento E: el té A es el peor (ocupa el tercer lugar), entonces la probabilidad de ocurrencia de E está dado por:

1.4. Una encuesta a 50 estudiantes de una escuela de Ciencias Administrativas, reveló la siguiente

información acerca de la selección de carreras: 12 de Contabilidad, 3 de Finanzas, 13 de Sistemas de Información, 12 de Empresas y 10 de Mercadotecnia; suponga que selecciona a un (o una) estudiante y observa su opción profesional.

a. ¿Cuál es el experimento?

El experimento es observar la opción profesional del estudiante de la escuela de Ciencias Administrativas que ha sido seleccionado al azar.

b. ¿Cuáles son los posibles resultados del experimento aleatorio? Evento A: Estudiante seleccionado de la carrera de Contabilidad. Evento B: Estudiante seleccionado de la carrera de Finanzas. Evento C: Estudiante seleccionado de la carrera de Sistemas de Información. Evento D: Estudiante seleccionado de la carrera de Empresas. Evento E: Estudiante seleccionado de la carrera de Mercadotecnia.

c. ¿Son mutuamente excluyentes e igualmente probables los eventos?

i. Todos los eventos indicados en el literal anterior son mutuamente excluyentes, la ocurrencia de cualquiera de ellos elimina la ocurrencia de todos los demás; ya que cada uno de los estudiantes pertenece a una sola carrera.


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ii. Los eventos A y D son equiprobables (igual probabilidad) dado que las carreras de Contabilidad y Empresas tienen el mismo número de estudiantes (12 estudiantes).

d. ¿Cuál es la Probabilidad de que él o ella estudie la carrera de Sistemas de Información?

1.5. De una baraja de 20 cartas numeradas del 1 al 20, se extrae una carta al azar. ¿Cuál es la

probabilidad de seleccionar una carta con un número divisible por 3? Sea el evento A: Extraer una carta con número divisible por 3; entonces los casos favorables al evento podrían ser: 3, 6, 9,12, 15, 18; es decir 6 cartas. La probabilidad de ocurrencia de A está dada por:

1.6. Los registros del servicio de salas de emergencia de un hospital indican lo siguiente en lo

referente a un período de dos años:

Ataque al corazón 12%

Enfermedades respiratorias 20%

Víctimas de accidentes 32%

Envenenamiento 16%

Otros 20%

Suponiendo razonable el hecho de utilizar estos datos como constantes, como también que son eventos mutuamente excluyentes determinar: a. La probabilidad de atender a un paciente que ha sufrido un accidente o un ataque al

corazón.

b. La probabilidad de que los pacientes no sufran una enfermedad respiratoria.

1.7. Según una encuesta del semanario económico “El economista”, el 14% de los adultos creía muy

posible un nuevo colapso bancario como el que hubo en 1999; el 43% de los adultos encuestados lo creía poco probable. Si se preguntara a un adulto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que responda que no es probable un nuevo colapso bancario como el ocurrido en 1999?

EVENTO DESCRIPCIÓN PROBABILIDAD DE OCURRENCIA

A Colapso bancario muy posible 0.14

B Colapso bancario poco probable 0.43

C Colapso bancario no probable 0.43


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1.8. Se numeran diez fichas del 0 al 9, y se colocan en una urna. Si mezcladas una vez se saca una ficha, determine la probabilidad de que sea:

a. El número 3.

Sea el evento A: “ficha con el número 3”

b. Un número menor que 4

Sea B el evento “ficha menor que 4”, es decir: la ficha que contiene el 0, el 1, el 2 o el 3; es decir cuatro fichas; entonces la probabilidad de ocurrencia de B está dado por:

c. Un número impar.

Sea C el evento “ficha con número impar”, es decir: la ficha que contiene el 1, el 3, el 5, el 7 o el 9; es decir cinco fichas; entonces la probabilidad de ocurrencia de C está dado por:

d. El número 10

Sea D el evento “Ficha con el número 10”, la probabilidad de ocurrencia de D está dado por:

Recuerde que las fichas están marcadas con los números 0 a 9. Entonces la ficha 10 no existe.

1.9. Un pronóstico deportivo establece que las posibilidades de que el equipo local llegue a la final

del campeonato nacional son 38/52 (casos a favor/casos en contra). a. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo local llegue a la final del campeonato nacional?

Sea el evento A: equipo local llegue a la final del campeonato nacional, entonces, la probabilidad de que A ocurra está dado por:

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo local no llegue a la final del campeonato nacional?

Sea el evento A: equipo local llegue a la final del campeonato nacional, entonces,


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Alternativa: Si A es el evento: “equipo local llegue a la final del campeonato nacional”, entonces, la probabilidad de que A no ocurra está dado por:

1.10. Hay 50 canicas en una urna: 20 azules, 15 rojas, 10 naranjas y 5 verdes; las canicas se mezclan

y se selecciona una. Obtenga la probabilidad de que la que se saque sea: a) verde, b) azul, c) roja o verde, d) diferente a roja, e) azul o verde, f) amarilla, g) diferente de amarilla, h) naranja o azul.

Sea el Evento:

a. A: obtener una canica de color verde.

b. B: obtener una canica de color azul.

c. C: Obtener una canica de color rojo o de color verde.

d. D: Obtener una canica de color diferente de rojo,

e. E: Obtener una canica de color azul o de color verde,

f. F: Obtener una canica de color amarillo,

El evento F es un fracaso debido a que no existe en la urna ninguna canica de color amarillo

g. G: obtener una canica de color diferente del amarillo,

El evento G es un éxito debido a que todas las canicas de la urna son de color diferente del amarillo

h. H: Extraer una canica de color naranja o de color azul,

1.11. Se lanzan dos dados, determinar la probabilidad en cada uno de los siguientes sucesos:

a. La aparición en una sola tirada de dos dados 2 caras iguales. b. La aparición en una sola tirada de dos dados de una suma de 8 puntos. c. La aparición en una sola tirada de dos dados de la suma de 4 o 7 puntos. d. La aparición en una sola tirada de dos dado de la suma 3, 6 o 9 puntos.

El Espacio muestral del experimento: “lanzar dos dados” se lo desarrolla en la siguiente tabla:

1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1

1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2

1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3

1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4

1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5

1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6


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Se puede observar que al lanzar dos dados ocurre un total de 36 eventos. a. Sea el evento A: “Aparición en una sola tirada de dos dados 2 caras iguales”; entonces, los

casos favorables al evento A son: 1,1; 2,2; 3,3; 4,4; 5,5; 6,6; es decir: 6 eventos.

b. Sea el evento B: “Aparición en una sola tirada de dos dados de una suma de 8 puntos”;

entonces, los casos favorables al evento B son: 2,6; 3,5; 4,4; 5,3; 6,2; es decir: 5 eventos.

c. Sea C el evento “Aparición en una sola tirada de dos dados de la suma de 4 o 7”; entonces,

los casos favorables al evento C son: 1,3; 2,2; 3,1; 1,6; 2,5; 3,4; 4,3; 5,2; 6,1; es decir: 9 eventos.

d. Sea D el evento “Aparición en una sola tirada de dos dados de la suma de 3, 6 o 9 puntos”;

entonces, los casos favorables al evento C son: 1,2; 2,1; 1,5; 2,4; 3,3; 4,2; 5,1; 3,6; 4,5; 5,4; 6,3. Es decir: 11 casos.

1.12. El gerente de un almacén vende de 0 a 4 cofres de porcelana cada semana. Con base en la

experiencia, se asignan las siguientes probabilidades de vender 0, 1, 2, 3 o 4 cofres:

, , , ,

Cofres vendidos Probabilidad

0 0.08

1 0.08

2 0.32

3 0.30

4 0.12

Más de 4 0.10

1.00

a. Sea A el evento en el cual se venden 2 o menos en una semana, Determine

b. Sea B el evento se venden algún cofre en una semana, determine

Si B es el evento: se vende algún cofre en una semana, entonces B’ es el evento: no se vende ningún cofre en una semana.


pág. 12

c. Sea C el evento se en cual se venden 4 o más en una semana, Determine

1.13. Encuentre la probabilidad de la aparición de al menos una cara en tres lanzamientos de una moneda.

Solución.- El espacio muestral del experimento lanzar tres veces al aire una moneda está dado por:

{ }

Sea el evento A: obtener al menos una cara en tres lanzamientos al aire de una moneda.

1.14. El secretario de un sindicato redactó una lista con un conjunto de demandas salariales y

prestaciones que se presentará al gerente de la empresa. Para darse una idea del grado de apoyo que existe entre los trabajadores con respecto al paquete de demandas, hizo un sondeo aleatorio entre los dos grupos principales de trabajadores, los maquinistas (M) y los inspectores (I). Tomó 30 trabajadores de cada grupo con los resultados siguientes:

Opinión sobre el paquete Maquinistas Inspectores

Apoyo fuerte 9 10

Apoyo leve 11 3

Indecisos 2 2

Levemente opuestos 4 8

Fuertemente opuestos 4 7

Total 30 30

a. Construya la tabla de frecuencias relativas para Maquinistas, inspectores y Maquinistas e

Inspectores.

Opinión sobre el paquete Maquinistas Inspectores M-I

F. absoluta F. relativa F. absoluta F. relativa F. absoluta F. relativa

Apoyo fuerte (A) 9 0.30 10 0.33 19 0.32

Apoyo leve (B) 11 0.37 3 0.10 14 0.23

Indecisos (C) 2 0.07 2 0.07 4 0.07

Levemente opuestos (E) 4 0.13 8 0.27 12 0.20

Fuertemente opuestos (F) 4 0.13 7 0.23 11 0.18

Total 30 1.00 30 1.00 60 1.00

b. Cuál es la probabilidad de que un maquinista, seleccionado al azar del grupo sondeado,

apoye levemente el paquete;


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c. Cuál es la probabilidad de que un inspector, seleccionado al azar del grupo sondeado, esté indeciso con respecto al paquete;

d. Cuál es la probabilidad de que un trabajador (maquinista o inspector), seleccionado al azar

del grupo sondeado, apoye el paquete ya sea fuerte o levemente;

1.15. El estudio de suscriptores de un semanario económico reveló los siguientes datos que muestran el valor total de las acciones poseídas por 2536 personas que respondieron a una encuesta de negocios:

Cantidad (USD$) Suscriptores

< que $ 15000 347

$ 15000 - $ 49999 411

$ 50000- 99999 335

$ 100000- 299999 619

$300000 o más 824

a. Determine la frecuencia relativa y asóciela con la probabilidad de ocurrencia:

Cantidad (USD) Suscriptores Frecuencia relativa

< que $ 15,000 (A) 347 0.14

$ 15,000 - $ 49,999 (B) 411 0.16

$ 50,000 - $ 99,999 (C) 335 0.13

$ 100,000 - $ 299,999 (D) 619 0.24

$300, 000 o más (F) 824 0.32

2536 1.00

Suponga que se selecciona un suscriptor al azar,

b. Determine la probabilidad de que el suscriptor seleccionado posea acciones de al menos $

50,000 pero menor a $ 100,000;

c. Encuentre la probabilidad de que el suscriptor seleccionado posea un valor total de las acciones menor de $ 50,000;

d. Cuál es la probabilidad de que el suscriptor seleccionado tenga un valor total de las acciones de $ 100,000 dólares a más;


pág. 14

1.8. PROBLEMAS PROPUESTOS 1.16. Un experimento aleatorio consiste en lanzar al aire dos monedas,

a. Construya el espacio muestral para el experimento descrito: b. Describa los casos que podrían ocurrir en el evento obtener solamente cara al lanzar al aire

dos monedas. R: { };

1.17. Con el objeto de probar la afirmación de un adivino que asegura que posee una varilla capaz

de detectar la presencia de agua y minerales en el subsuelo, se entierran cinco recipientes, tres vacíos y dos llenos de agua. El adivino usará su varilla para examinar cada uno de los cinco recipientes y decidir cuáles son los dos que contienen agua. a. Defina el experimento b. Cuál es el espacio muestral del experimento: c. Si la varilla es completamente inservible para localizar agua, ¿cuál es la probabilidad de

que el adivino identifique correctamente (al azar) los dos recipientes que contienen agua?

R: 1/10

1.18. Los datos reunidos por el administrador de una tienda indican que 915 de 1500 compras dominicales exceden de $ 10,00 (diez dólares). ¿Cuál es la probabilidad de que cualquier cliente dominical gastara más de $ 10,00?

R: 0.61

1.19. En una encuesta acerca del tránsito existente en la autopista del valle de los Chillos, entre las 7:00 y las 8:00 se observó que de 200 automóviles sometidos a una revisión de seguridad al azar, 25 tenían neumáticos en mal estado. Estime la probabilidad de que un auto que se detienen en ese lapso en la misma sección de la autopista no tenga los neumáticos defectuosos.

R: 7/8

1.20. Un camión cargado con 10000 cajas de pañuelos desechables llegan al almacén. En las cajas hay un letrero que dice “400 pañuelos”, pero en una revisión de 300 cajas revela que 45 de ellas contienen menos de 400 pañuelos.

a. Calcule la probabilidad de que cualquier otra caja contenga menos de 400 pañuelos. b. Utilizando el resultado obtenido, estime la cantidad de cajas del lote de 10000 que podría

tener menos de 400 pañuelos. R: 0.15; 1500

1.21. Se lanzan dos dados, determinar la probabilidad en cada uno de los siguientes sucesos:

a. La aparición en una sola tirada de dos dados de una suma de 6 puntos. b. La aparición en una sola tirada de dos dados de la suma de 3 o 8 puntos. c. La aparición en una sola tirada de dos dados de la suma un número par de puntos.

R: 5/36; 7/36; 1/2


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1.22. Se lanzan tres monedas juntas, ¿cuál es la probabilidad de obtener por lo menos dos caras?

R: 1/2

1.23. Durante el año anterior las ventas semanales en un almacén de artículos de turismo han sido “bajas” durante 16 semanas, “considerables” durante 27 semanas y “altas” el resto de semanas. ¿cuál es la probabilidad de que las ventas de esta semana sean?

a. Considerables. b. Bajas. c. Altas. d. Por los menos considerables.

Ventas Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia acumulada

Bajas 16 0,31 0,31

Considerables 27 0,52 0,83

Altas 9 0,17 1,00

52 1,00

R: 0.31; 0.52; 0.17; 0.69

1.24. La siguiente tabla muestra el número de computadores vendidos diariamente por una tienda

minorista.

Número de computadores vendidos Número de días

0 12

1 43

2 18

3 20

4 25

Determine la probabilidad de que el número de computadores que se vendan hoy sea: a. Dos computadores. b. Menos de tres computadores.

R: 0.15; 0.62

1.25. Una empresa tiene 100 empleados. 57 de ellos son trabajadores de la producción, 40 son supervisores, 2 son secretarias y el empleado que queda es el presidente; suponga que se selecciona un empleado:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado seleccionado sea un trabajador de

producción? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado seleccionado sea un trabajador de producción

o un supervisor? c. Cuál es la probabilidad de que el empleado seleccionado no sea secretaria. d. ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado seleccionado no sea trabajador de la

producción ni supervisor?

R: 0.57; 0.61; 0.02; 0.98; 0.39


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1.26. En una caja hay 24 bolas del mismo tamaño pero de 3 colores diferentes. Si al sacar una bola cualquiera las probabilidades de que salgan: una bola roja es 0.5, una verde 0.375 y una azul es 0.125, ¿en cuánto excede el número de bolas rojas al de azules?

R: 9 bolas

1.27. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas blancas, 5 rojas y 3 negras, calcule la

probabilidad de que:

a. No sea negra b. Sea negra o sea roja c. Sea blanca o sea negra.

R: 3/4; 2/3; 1/3

1.28. Suponga que un gerente de un gran complejo de apartamentos elabore los estimados de probabilidad que se indica sobre la cantidad de apartamentos que estarán vacíos el próximo mes; encuentre además las siguientes probabilidades:

Vacantes Probabilidad

0 0.05

1 0.15

2 0.35

3 0.25

4 0.10

5 0.10

a. No hay apartamentos vacíos. b. Sea el evento B: “Cuando menos hay cuatro apartamentos vacíos”. c. Sea el evento C: “Hay dos o menos apartamentos vacíos”.

R: 0.05; 0.20; 0.55

1.29. Una encuesta de 50 alumnos de una preparatoria, sobre la cantidad de actividades extracurriculares, dio como resultado los datos de la siguiente tabla:

Cantidad de actividades Frecuencia

0 8

1 20

2 12

3 6

4 3

5 1

a. Sea el evento en que un alumno participe al menos en 1 actividad, determine b. Sea el evento en que un alumno participa en 3 o más actividades. determine c. Cuál es la probabilidad de que un alumno participe exactamente en 2 actividades.

R: 0.84; 0.20; 0.24


pág. 17

1.30. Se tiene una distribución de frecuencias de las comisiones anuales por ventas tomada de un estudio de 300 vendedores promedio; Determine la probabilidad de que un vendedor promedio obtenga una comisión de:

Comisión anual ($) Frecuencia

0 – 4,999 15

5,000 – 9,999 25

10,000 – 14,999 35

15,000 – 19,999 125

20,000 – 24,999 70

25,000 – más 30

a. Entre $ 5,000 y $ 10,000 b. Menor de $ 15,000

c. Más de $ 20,000 d. Entre $ 15,000 y $ 20,000

R: 0.08; 0.25; 0.33; 0.42


pág. 18

2. EVENTOS COMBINADOS 2.1. RELACIÓN ENTRE EVENTOS Se dice que A y B son eventos mutuamente excluyentes, si la ocurrencia de uno de ellos elimina automáticamente la ocurrencia del otro, y viceversa. Se dice que A y B son eventos independientes si la ocurrencia de uno de ellos no influye en la ocurrencia del otro. Se dice que dos o más eventos son equiprobables si tienen la misma probabilidad de ocurrencia. 2.2. COMBINACIÓN DE EVENTOS Sean y dos eventos, entonces se presentan las siguientes combinaciones: A o B: Representa la ocurrencia de alguno de ellos A o B; pero no los dos simultáneamente. A y B: Representa la ocurrencia simultánea de los dos eventos. 2.3. PROBABILIDAD DE EVENTOS COMBINADOS Probabilidad de ocurrencia de uno de los eventos:

Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces:

Probabilidad de eventos independientes:

2.4. RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS Para la resolución de problemas que involucren la probabilidad de eventos combinados es conveniente tomar en cuenta las siguientes recomendaciones metodológicas: Organice la información disponible en una tabla en la cual se registre la identificación y

descripción de los eventos, el número de casos, la probabilidad de ocurrencia y – de ser requerida – a probabilidad de no ocurrencia de los eventos.

Establezca la relación existente entre los eventos, es decir si: son mutuamente excluyentes, eventos independientes, eventos equiprobables o eventos colectivamente exhaustivos.

Desarrolle las expresiones de cálculo a manera de ecuaciones, utilice fracciones mientras sea

posible.


pág. 19

2.5. PROBLEMAS RESUELTOS 2.1. Suponga que: , y

a. ¿Son mutuamente excluyentes y ? justifique la respuesta.

No; Dos eventos, y B, son mutuamente excluyente si se cumple con:

Dado que , entonces y no son mutuamente excluyentes.

b. Encuentre

c. Obtenga

2.2. Se consideran dos sucesos A y B asociados a un experimento aleatorio con ,

y . ¿Son independientes A y B? Razone su respuesta. Sean A y B dos eventos independientes. Entonces: Como , A y B no son independientes.

2.3. Suponga (aunque no es cierto) que un individuo paranoico no puede ser esquizofrénico. Si la probabilidad de que alguien sea paranoico es 0.01 y la probabilidad de que sea esquizofrénico es 0.02 ¿Cuál es la probabilidad de que sea esquizofrénico o paranoico?

Evento Probabilidad de Ocurrencia

A: Paranoico 0.01

B: Esquizofrénico 0.02


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2.4. En la universidad local el 30% de los estudiantes son costeños, el 10% estudia medicina, el 1% son costeños y estudian medicina. Si selecciona un estudiante al azar de la universidad ¿cuál es la probabilidad de que sea costeño o estudie medicina?

Evento Descripción Probabilidad ocurrencia

Probabilidad no ocurrencia

A Estudiante costeño 0.30 0.70

B Estudiante de medicina 0.10 0.90

A y B Estudiante costeño y de medicina 0.01 0.99

La probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea costeño o estudie medicina está dado por:

2.5. Un almacén de implementos deportivos vende dos tipos de zapatos para correr: Avion’s y Speedy. Las probabilidades de que un cliente compre los Avion´s es 0.40 y de que compre los Speedy es de 0.30; la probabilidad de que compre ambos es 0.10. ¿cuál es la probabilidad de que un cliente compre zapatos Avion´s o Speedy?


A Cliente compre zapatos Avion’s 0.40

B Cliente compre zapatos Speedy 0.30

A y B Cliente compra ambas marcas 0.10

2.6. Sean A y B sucesos asociados a un experimento aleatorio. Sabiendo que ,

Si A y B son independientes, determinar: a. La probabilidad de que se verifique A y B. b. La probabilidad de que se verifique A y no B. c. La probabilidad de que no se verifiquen ni A ni B.

Evento Probabilidad Ocurrencia Probabilidad no ocurrencia

A 0.14 0.86

B 0.15 0.85

A y B son eventos independientes.

a. La probabilidad de que se verifique A y B.

b. La probabilidad de que se verifique A y no B.


pág. 21

c. La probabilidad de que no se verifiquen A ni B.

2.7. Sean los eventos

A: Una persona corre 5 Km o más por semana. B: Una persona muere por enfermedad del corazón. C: Una persona muere de cáncer; Además, suponga que , y . a. Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, se puede determinar

Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces:

b. Si los eventos B y C son mutuamente excluyentes, calcule la probabilidad de que una persona muera del corazón o de cáncer. Al ser los eventos B y C mutuamente excluyentes se tiene que , entonces:

c. Si los eventos B y C son independientes, calcule la probabilidad de que una persona muera del corazón y de cáncer. Al ser B y C eventos independientes se tiene que:


pág. 22

2.8. Sean A y B dos eventos independientes, sabiendo que y que se pide calcular la probabilidad de A y la probabilidad de B.

Si A y B son eventos independientes se tiene:

Sabiendo que:

y que: [ ]

Ecuación (1) en ecuación (2)

2.9. Armco, un fabricante de sistemas de semáforos, descubrió que, en las pruebas de vida

acelerada, 95% de los sistemas recién desarrollados duraban 3 años antes de descomponerse al cambiar de señal; si una ciudad compra cuatro de estos sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que los cuatro sistemas funcionen adecuadamente durante 3 años por lo menos?



A Sistema A funciona adecuadamente 0.95 0.05

B Sistema B funciona adecuadamente 0.95 0.05

C Sistema C funciona adecuadamente 0.95 0.05

D Sistema D funciona adecuadamente 0.95 0.05

A, B, C y D son eventos independientes.

Sea el evento E: Los cuatro sistemas funcionan adecuadamente, entonces, la probabilidad de que los 4 sistemas funcionen adecuadamente, tomando en cuenta que son eventos independientes, está dada por:

2.10. En la compra de una pizza grande en Tony’s Pizza, el cliente recibe un cupón, que puede raspar para ver si tiene premio. Las posibilidades de ganar un refresco son de 1 en 10, y las posibilidades de ganar una pizza grande son de 1 en 50. Usted tiene planes de almorzar mañana en Tony’s Pizza. Encuentre la probabilidad de que usted:


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a. Gane una pizza grande o un refresco. b. No gane nada. c. No gane nada en tres visitas consecutivas a Tony’s. d. Gane por lo menos algo en sus siguientes tres visitas a Tony’s.

Evento Descripción Probabilidad de ocurrencia


A Cliente gana un refresco 1/10 9/10

B Cliente gana una pizza grande 1/50 49/50

A, B son eventos independientes. A, B son mutuamente excluyentes.

a. La probabilidad de que gane una pizza grande o un refresco está dado por:

Al ser A y B eventos mutuamente excluyentes, se tiene:

b. La probabilidad de que no gane nada está dado por:

c. No gane nada en tres visitas consecutivas a Tony’s


C Cliente no gana nada en la primera visita 441/500

D Cliente no gana nada en la segunda visita 441/500

E Cliente no gana nada en la tercera visita 441/500

C, D y E son eventos independientes.

d. Sea el evento F: Gane por lo menos algo en sus siguientes tres visitas a Tony’s.

El evento “Gane por lo menos algo en sus siguientes tres visitas a Tony’s” es la negación del evento “No gane nada en tres visitas consecutivas a Tony’s” entonces, la probabilidad de ocurrencia de F está dado por:


pág. 24

2.11. Suponga que la probabilidad de que cualquier vuelo de Northwest Airlines llegue más tarde de la hora programada es de 0.90. Seleccione cuatro vuelos de ayer para estudiarlos.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro vuelos seleccionados lleguen más tarde de la

hora programada? b. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los vuelos seleccionados lleguen más tarde de

la hora programada? c. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los vuelos seleccionados no llegue

más tarde de la hora programada?



A Vuelo A llegue más tarde después de la hora programada 0.90 0.10

B Vuelo B llegue más tarde después de la hora programada 0.90 0.10

C Vuelo C llegue más tarde después de la hora programada 0.90 0.10

D Vuelo D llegue más tarde después de la hora programada 0.90 0.10

A, B, C y D son eventos independientes

a. La probabilidad de que los cuatro vuelos seleccionados lleguen más tarde de la hora programada está dado por:

b. La probabilidad de que ninguno de los cuatro vuelos seleccionados lleguen más tarde de la

hora programada está dado por:

c. Sea F el evento: “Al menos uno de los cuatro vuelos seleccionados no llega más tarde de la hora programada”; la negación del evento F es: “ninguno de los cuatro vuelos seleccionados no llegan más tarde de la hora programada”(ninguno llega a tiempo; todos llegan tarde); entonces la probabilidad de ocurrencia de F está dado por:

2.12. Quedan cuatro equipos deportivos en una competencia de eliminatorias. Si un equipo resulta

favorecido en el marcador de la semifinal con probabilidades de 2 a 1, y otro resulta favorecido en su partido con probabilidades de 3 a 1. Determine la probabilidad de que:

a. Ambos equipos ganen sus juegos b. Ninguno de los equipos gane su juego. c. Cuando menos uno de los equipos gane su juego.


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Evento Identificación Probabilidad ocurrencia


Un equipo gane semifinal A 2/3 1/3

Otro equipo gane semifinal B 3/4 1/4

A y B son independientes

a. La probabilidad que ambos equipos ganen sus juegos está dada por:

b. La probabilidad que ninguno de los dos equipos gane su juego está dada por:

c. Sea C el evento cuando menos uno de los equipos gane su juego, entonces la

probabilidad que C ocurra está dado por:

2.13. Un inversionista compró 100 acciones de Fifth Third Bank y 100 de Santee Electric Cooperative.

La probabilidad de que las acciones del banco incrementen su valor en un año es de 0.70. La probabilidad de que las utilidades de la compañía eléctrica se incrementen en el mismo periodo es de 0.60.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que alguna de las dos acciones aumenten de precio durante el

periodo? b. ¿Cuál es la probabilidad de que las acciones del banco incrementen su precio, aunque las

utilidades no lo hagan? c. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una de las acciones aumente de precio?



A Acciones de Fifth Third Bank suben de precio 0.70 0.30

B Utilidades de Santee Electric incrementan 0.60 0.40

A, B eventos independientes.

a. La probabilidad de que alguna de las dos acciones aumente de precio durante el período está dado por:


pág. 26

b. La probabilidad de que las acciones del banco incrementen su precio, aunque las utilidades no lo hagan está dado por:

c. La probabilidad de que por lo menos una de las acciones aumente de precio está dado por:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

2.14. La probabilidad de A y B (tomates) de estar sanos dentro de 10 días es 0.5 y 0.6 respectivamente.

a. ¿cuál es la probabilidad de que ambos lo estén? b. ¿cuál es la probabilidad que algún tomate esté sano? c. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún tomate esté sano?

Evento Descripción Probabilidad ocurrencia Probabilidad no ocurrencia

A Tomate A sano 0.50 0.50

B Tomate B sano 0.60 0.40

A y B son eventos independientes. a. La probabilidad de que ambos tomates estén sanos está dada por:

b. La probabilidad de que algún tomate esté sanos está dada por:

c. La probabilidad de que ningún tomate esté sano está dada por:

2.15. Se escuchan 3 discos y se vuelven a guardar al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos

uno de los discos haya sido guardado en el envoltorio que le correspondería?



A Disco A se guarda correctamente 0.50 0.50

B Disco B se guarda correctamente 0.50 0.50

C Disco C se guarda correctamente 0.50 0.50


pág. 27

D: Alguno de los tres discos se guarda en su envoltorio correspondiente. D’: ninguno de los tres discos se guarda en su envoltorio correspondiente.

2.16. Una compañía que fabrica cristalería cuenta con proceso de inspección que consta de cuatro pasos. Los directivos de la compañía afirman que la probabilidad que un artículo defectuoso que no sea detectado es de casi el 20%. Con esta cifra:

a. Encuentre la probabilidad de que un artículo defectuoso pase las cuatro etapas sin ser

detectado.

b. ¿Cuál sería su respuesta se agrega una quinta etapa, con un 50% de probabilidad de detectar los artículos defectuosos?



A Artículo defectuoso no detectado en el paso 1 0.20 0.80

B Articulo defectuoso no detectado en el paso 2 0.20 0.80

C Artículo defectuoso no detectado en el paso 3 0.20 080

D Artículo defectuoso no detectado en el paso 4 0.20 0.80

E Artículo defectuoso no detectado en el paso 5 0.50 0.50

a. La probabilidad de que un artículo defectuoso pase las cuatro etapas sin ser detectado está

dado por:

b. Al agregar una quinta etapa, con un 50% de probabilidad de detectar los artículos

defectuosos, la probabilidad de que un artículo defectuoso pase las cinco etapas sin ser detectado está dado por:

2.17. Tres cazadores A, B y C pueden dar en el blanco con probabilidades de 1/3, 1/4 y 1/5,

respectivamente. Cuando los tres cazadores encuentran un oso y disparan simultáneamente, determine:

a. La probabilidad de que los tres fallen. b. La probabilidad de que al menos uno de ellos acierte.


pág. 28



A Cazador A da en el blanco 1/3 2/3

B Cazador B da en el blanco 1/4 3/4

C Cazador C da en el blanco 1/5 4/5

A, B, C son eventos independientes a. La probabilidad de que los tres cazadores fallen está dado por:

b. Sea el evento D el evento al menos uno de los tres cazadores acierte, entonces la probabilidad de ocurrencia de D está dado por:

2.18. Dos componentes, A y B, operan en serie. (Dos componentes A y B están en serie si ambos

deben trabajar para que el sistema funcione). Suponga que los dos componentes son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione en estas condiciones? La probabilidad de que A funcione es de 0.90, igual que la de B.



A Componente A funciona 0.90 0.10

B Componente B funciona 0.90 0.10

2.19. Usted hace un viaje aéreo que involucra tomar tres vuelos independientes. Si existe 80% de

probabilidades de que cada etapa específica del viaje se realice a tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que los tres vuelos lleguen a tiempo?



A Vuelo A llega a tiempo 0.80 0.20

B Vuelo B llega a tiempo 0.80 0.20

C Vuelo C llega a tiempo 0.80 0.20

A, B y C son eventos independientes.

Dado que los vuelos son independientes, la probabilidad que los tres vuelos lleguen a tiempo está dado por:


pág. 29

2.20. Una compañía de exploración petrolera perfora un pozo si considera que existe por lo menos un 25% de posibilidad de encontrar petróleo. Si perfora cuatro pozos, a los que asigna las probabilidades: 0.30, 0.40, 0.70 y 0.80.

a. Encontrar la probabilidad de que ninguno de los pozos se obtenga petróleo, utilizando las

cifras de la compañía. b. Calcular la probabilidad de que los cuatro pozos produzcan petróleo. c. ¿Cuál es la probabilidad de que los pozos con una probabilidad de 0.30 y 0.70 produzcan

petróleo y los otros no?



Obtener petróleo pozo A A 0.30 0.70

Obtener petróleo pozo B B 0.40 0.60

Obtener petróleo pozo C C 0.70 0.30

Obtener petróleo pozo D D 0.80 0.20

a. La probabilidad de que ninguno de los pozos se obtenga petróleo, utilizando las cifras de la

compañía está dado por:

b. La probabilidad de que en los cuatro pozos se obtenga petróleo, utilizando las cifras de la

compañía está dado por:

c. La probabilidad de que los pozos con una probabilidad de 0.30 y 0.70 produzcan petróleo y

los otros no, está dado por:

2.21. La probabilidad de que una mujer viva dentro de 30 años es 0.25 y la probabilidad de que su

hijo viva dentro de 30 años es 0.9. Cuál es la probabilidad de que:

a. Vivan los dos dentro de 30 años. b. Únicamente viva la madre. c. Únicamente viva el hijo. d. Al menos viva uno de los dos.



A Madre viva dentro de 30 años 0.25 0.75

B Hijo viva dentro de 30 años 0.90 0.10

A, B son eventos independientes.


pág. 30

a. La probabilidad de que los dos (madre e hijo) vivan dentro de 30 años está dado por:

b. La probabilidad de que únicamente viva la madre está dado por:

c. La probabilidad de que únicamente viva el hijo está dado por:

d. La probabilidad de que viva al menos uno de los dos está dado por:

[ ] [ ] [ ] [ ]

2.22. El departamento administrativo de la Universidad tiene acceso a tres impresoras. La

probabilidad de que cada una esté fuera de servicio es 0.20, 0.25 y 0.30 respectivamente tal como se resume:



A Primera impresora funciona 0.80 0.20

B Segunda impresora funciona 0.75 0.25

C Tercera impresora funciona 0.70 0.30

A, B y C son eventos independientes

Asumiendo independencia entre ellas encuentre la probabilidad de que: a. La primera y la segunda estén fuera de servicio b. La primera y la tercera estén fuera de servicio c. Todas estén fuera de servicio d. Ninguna esté fuera de servicio e. Una esté fuera de servicio f. Dos estén fuera de servicio g. Dos o más este fuera de servicio.

a. La probabilidad de que la primera y la segunda impresoras estén fuera de servicio es:

b. La probabilidad de que la primera y la tercera impresoras estén fuera de servicio es:


pág. 31

c. La probabilidad de que las tres impresoras estén fuera de servicio está dado por:

d. La probabilidad de que ninguna de las tres impresoras estén fuera de servicio está dado por:

e. Sea D el evento “una de las tres impresoras está fuera de servicio”, entonces:

[ ]

f. Sea F el evento “dos impresoras está fuera de servicio”, entonces, la probabilidad de

ocurrencia de F está dado por:

[ ]

g. Sea G el evento “dos o más impresoras están fuera de servicio”, entonces, la

probabilidad de ocurrencia de G está dado por:

[ ]

2.23. Obtenga la probabilidad de que Rumiñahui y Eugenio Espejo hayan nacido el mismo día de la

semana.

La probabilidad que Rumiñahui Y Eugenio Espejo hayan nacido un día cualquiera es ; y la probabilidad que hayan nacido ese mismo día es 1/49; tal como se indica en el cuadro siguiente:

Día R: Rumiñahui E: Espejo

L:Lunes M: Martes M: Miércoles

J: Jueves V: Viernes S:Sábado

D:Domingo Entonces la probabilidad de que Espejo y Rumiñahui hayan nacido el mismo día, es:


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2.24. Un estudio realizado por una empresa que renta vehículos reveló que en los últimos 12 meses

el 45% de los clientes habían rentado un automóvil por asuntos de negocios, 54% por motivos personales y 30% por motivos personales y negocios a la vez.

a. ¿Cuál es la probabilidad que el próximo cliente rente un automóvil por motivos de

negocios o personales? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo cliente no rente un automóvil por negocios o

asuntos personales?

Evento Representación Probabilidad P

Renta por negocio A 0.45

Renta por motivos personales B 0.54

Renta por negocios y motivos personales A y B 0.30

a. Probabilidad de que se rente un automóvil durante los últimos doce meses por motivos

de negocios o personales.

b. Probabilidad de que no se alquile un automóvil durante los últimos doce meses por

motivos de negocios o personales.

2.25. Muchos fanáticos de los deportes conocen la habilidad de Jaime para pronosticar quienes

serán los equipos ganadores en fútbol. Observaron que sucede a razón de 0.80. Jaime elige los ganadores de los cuatro partidos próximos. Encuentre probabilidades de que:

a. Ninguno sea correcto. b. No todos los pronósticos de juego sean correctos. c. Uno sea incorrecto d. Tres sean incorrectos.



Acertar resultado partido A A 0.80 0.20

Acertar resultado partido B B 0.80 0.20

Acertar resultado partido C C 0.80 0.20

Acertar resultado partido D D 0.80 0.20


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PROBLEMAS PROPUESTOS

2.26. Si la probabilidad de ocurrencia de dos sucesos independientes es 0,2 y la de ocurrencia de uno de ellos es 0,7, ¿cuál es la probabilidad de ocurrencia del otro suceso?

R: 0.28

2.27. Dos sucesos tienen probabilidades 0.40 y 0.50; sabiendo que son independientes, calcule la probabilidad de que no suceda ninguno de los dos.

R: 0.30

2.28. La Distribuidora vinícola La rioja preguntó a sus clientes si consumían vino entre semana. Los resultados fueron que el 57% consumen vinos del país, el 33% vinos de importación, y el 63% consumen vinos del país y vinos importados. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente de la vinícola consuma vino importado o del país en una semana cualquiera?

R: 0.27

2.29. En una clase hay 16 niños y 24 niñas. La mitad de los niños y la mitad de las niñas tienen pelo negro. Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar sea niño o tenga el pelo negro.

R: 7/10

2.30. La probabilidad de cara de dos monedas “arregladas” son 0,4 y 0,7 respectivamente. Calcular

la probabilidad de que al lanzar las dos monedas salga sólo una cara. R: 0.54

2.31. Repetir el ejercicio anterior considerando que las monedas están bien construidas.

R: 0.50

2.32. Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de aprobar el examen de Estadística. La probabilidad de que aprueben el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes apruebe el examen.

R: 3/5

2.33. Se descubrió que 60% de los turistas que fue a China visitaron la Ciudad Prohibida, el Templo del Cielo, la Gran Muralla y otros sitios históricos dentro o cerca de Beijing. 40% de ellos visitó Xi’an, con sus magníficos soldados, caballos y carrozas de terracota, que yacen enterrados desde hace 2 000 años. 30% de los turistas fueron tanto a Beijing como a Xi’an. ¿Cuál es la probabilidad de que un turista haya visitado uno de estos dos lugares?

R: 0.70

2.34. Luis compra tres acciones diferentes. La probabilidad de que la primera aumente de valor es 1/3, la probabilidad de que la segunda aumente es de 3/4 y la probabilidad de que la tercera aumente su valor es 1/10. Determine la probabilidad de que:

a. Todas aumenten de valor b. Ninguna aumente de valor c. Una aumente de valor d. Dos aumenten de valor e. Por lo menos una aumente de valor

R: 1/40; 3/20; 13/24; 17/60; 17/20


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2.35. Una encuesta realizada a 867 televidentes sobre si la programación de la televisión nacional en términos de la cantidad de violencia y la calidad general de la programación arrojó los siguientes resultados:

624 televidentes opinaron que se había incrementado la cantidad de violencia en los

programas de TV en los últimos 10 años. 390 opinaron que la calidad de la programación había disminuido durante los mismos diez

años. 234 televidentes respondieron que había aumentado la cantidad de violencia en los

programas y también que la calidad había disminuido.

a. Si es el evento en que la cantidad de violencia ha aumentado y el evento en que la calidad de la programación ha disminuido, calcule las probabilidades , y .

b. Use los resultados del inciso anterior para determinar la probabilidad que un televidente haya hecho al menos uno de los comentarios siguientes: La cantidad de programas violentos ha aumentado o la calidad de la programación ha disminuido.

c. Cuál es la probabilidad de que un televidente no esté de acuerdo con cualquiera de los dos comentarios.

R: 0.72; 0.45; 0.27; 0.90; 0.10

2.36. Un ordenador personal tiene cargados dos programas antivirus A y B que actúan simultánea e independientemente. Ante la presencia de un virus, el programa A lo detecta con una probabilidad de 0,9 y el programa B lo detecta con una probabilidad de 0,8.

a. La probabilidad de que un virus cualquiera sea detectado. b. La probabilidad de que un virus sea detectado por el programa A1 y no por A2.

R: 0.98; 0.18

2.37. Dos niños escriben en un papel una vocal cada uno, ¿cuál es la probabilidad de que sea la misma?

R: 1/5

2.38. Una encuesta sobre las prestaciones a 254 ejecutivos de corporaciones indicó que a 155 se les

daba teléfonos celulares, a 52 se le pagaba membrecías a un club y a 10 se le daba teléfonos celulares y membrecías a un club, al mismo tiempo, como una prestación asociada con supuesto.

Sea M el evento tener un teléfono celular y C el evento contar con membrecía de un club.

a. Determine , y . b. Calcule, tomando los resultados del ítem anterior, la probabilidad de que un ejecutivo

corporativo tenga al menos una de las dos concesiones c. Cuál es la probabilidad de que un ejecutivo no tenga alguna de estas concesiones.

R: 0.85; 0.15


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2.39. Suponga que se sabe que en una compañía particular, la probabilidad de permanecer en la compañía 10 años o más es 1/6. Un hombre y una mujer empiezan a trabajar en esta compañía el mismo día.

a. Cuál es la probabilidad de que el hombre trabaje menos de 10 años en la compañía. b. Cuál es la probabilidad de que ambos, el hombre y la mujer, trabajen en la compañía menos

de 10 años. Se supone que ellos no están relacionados y que, por lo tanto, sus años de servicio en la compañía son independientes entre sí.

c. Cuál es la probabilidad de que uno, el otro, o ambos trabajen más de 10 años.

R: 5/6; 25/36; 13/36

2.40. José espera ansiosamente las calificaciones de dos cursos que recientemente terminó. Considera que hay 0.80 de probabilidad de obtener A en literatura y un 0.40 de probabilidad de obtener un A en filosofía. Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos:

a. Ambas calificaciones sean A. b. Ninguna sea A. c. En literatura obtenga A, pero no en filosofía. d. Ninguna de las anteriores.

R: 0.32; 0.12; 0.48; 008

2.41. El gerente de unos grandes almacenes ha comprobado que un 38% de las familias que residen en determinada ciudad no son clientes habituales y que un 85% de sus clientes pagan de contado el importe de las compras. Seleccione una familia al azar y determine la probabilidad:

a. Sea cliente y pague de contado. b. Sea cliente o pague de contado. c. No sea cliente y pague de contado. d. Sea cliente y pague con tarjeta de crédito. e. Sea cliente o pague con tarjeta de crédito. f. No sea cliente y pague con tarjeta de crédito.

R: 0.53; 0.94; 0.32; 0.09; 0.68; 0.06

2.42. La probabilidad de que una máquina produzca una tuerca hexagonal aceptable es del 90%. Si las piezas sucesivas son independientes entre sí (un supuesto razonable si el proceso está bajo control) encuentre la probabilidad de obtener lo siguiente:

a. Dos piezas seguidas no sean aceptables. b. Una pieza aceptable y una pieza defectuosa, en ese orden. c. Una pieza aceptable y una pieza defectuosa, en cualquier orden. d. Tres piezas defectuosas seguidas.

R: 0.01; 0.09; 0.18; 0.73

2.43. Miguel tiene dos autos viejos. En las mañanas frías hay un 20 % de probabilidad de que uno no funcione y un 30% de que el otro tampoco:

a. Encuentre la probabilidad de que ninguno funcione. b. Halle la probabilidad de que solamente uno funcione.

R: 0.06; 0.38


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2.44. En un programa de empleados que realizan prácticas de gerencia en Claremont Enterprises,

80% de ellos son mujeres y 20% hombres. Noventa por ciento de las mujeres fue a la universidad, así como 78% de los hombres.

R: 0.08

2.45. En un grupo de estudiantes de la universidad, el 15% estudia Matemáticas, el 30% estudia Economía y el 10% ambas materias. Se pide:

a. ¿Son independientes los sucesos Estudiar Matemáticas y Estudiar Economía? b. Si se escoge un estudiante del grupo al azar, calcular la probabilidad de que no estudie ni

Matemáticas ni Economía. R: 0.045; 0.45

2.46. Si en cada uno de los tres lotes de marcos para cuadros, un 10% presenta defectos de

fabricación, ¿Qué probabilidad existe que el inspector no encuentre alguno de estos defectos si inspecciona cada uno de los tres lotes?

R: 0.729

2.47. Al tirar tres veces una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en cruz las tres veces?

¿Qué probabilidad hay de que esto no suceda? R: 1/8; 7/8

2.48. Las descomposturas de máquinas son independientes entre sí. Se tienen cuatro máquinas,

cuyas respectivas probabilidades de avería son: 1%, 2%, 5% y 10% en un día particular. Calcule las siguientes probabilidades:

a. Todas se descompongan el mismo día. b. Ninguna se descompone.

R: 1 E-6; 0.83

2.49. El periódico informa que hay el 40% de probabilidades de que hoy llueva. Luis considera que la probabilidad de que apruebe el examen de estadística es 0.38. Suponiendo que estos eventos son independientes determine lo siguiente:

a. Probabilidad de que llueva y apruebe. b. Probabilidad de que no llueva y no apruebe.

R: 0.15; 0.37

2.50. A un nuevo modelo de automóvil deportivo le fallan los frenos 15% del tiempo y 5% un mecanismo de dirección defectuoso. Suponga —y espere— que estos problemas se presenten de manera independiente. Si ocurre uno u otro problema, el automóvil recibe el nombre de limón. Si ambos problemas se presentan, el automóvil se denomina riesgo. Su profesor compró uno de estos automóviles el día de ayer. ¿Cuál es la probabilidad de que sea:

a. un riesgo. b. un limón.

R: 0.0075; 0.1925


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3. PROBABILIDAD CONDICIONAL 3.1. DEFINICIÓN Sean A, B dos eventos, se dice que A y B son eventos condicionales si la ocurrencia de uno de ellos está supeditada a la ocurrencia del otro. Los eventos A y B están perfectamente definidos: el evento dado es el evento condicionante; el otro evento es el evento condicional. 3.2. ALGEBRA DE EVENTOS CONDICIONALES Sean A, B dos eventos, La probabilidad de ocurrencia del evento A, dado que B ha ocurrido se representa como observe que el evento dado, es decir el evento condicionante, se ubica en la parte derecha. La probabilidad de ocurrencia del evento A, dado que B ha ocurrido, está dado por:

De la expresión anterior se puede obtener la probabilidad de ocurrencia de los eventos condicionales (condicionante y condicional propiamente dicho) en forma simultánea:

Es decir: la probabilidad de ocurrencia simultánea de dos eventos condicionales (condicionante y condicional propiamente dicho), es igual al producto de la probabilidad de ocurrencia del evento condicionante por la probabilidad del evento condicional, dado que el condicionante ha ocurrido. 3.3. RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS A más de las recomendaciones expresadas en la unidad anterior, para resolver problemas que involucran el cálculo de probabilidades de eventos condicionales es conveniente tomar en cuenta: Identificar plenamente al evento condicionante y su probabilidad de ocurrencia. Identificar al evento condicional. Cuando se trata de experimentos aleatorios en los cuales se realiza más de una acción, por

ejemplo: extraer dos bolas de una urna, es necesario definir si estas acciones se realizan en forma simultánea (extraer las dos bolas en una sola acción) o en forma secuencial (primero una bola y luego otra).

Cuando las acciones aleatorias son secuenciales, tome en cuenta si el elemento seleccionado regresa al lugar de origen (la bola regresa a la urna) o si el elemento seleccionado no regresa al lugar de origen (la bola no regresa a la urna).

En el caso de que el elemento seleccionado no regrese al lugar de origen, verifique la variación del espacio muestral; tanto para los casos favorables como para el total de casos.


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3.4. PROBLEMAS RESUELTOS 3.1. En una clase el 45% de los estudiantes reprueba Matemáticas, el 60% reprueba Contabilidad y el

30% reprueba ambas. Se selecciona al azar un alumno:

a. Si reprobó Contabilidad, ¿cuál es la probabilidad que reprobara Matemática? b. Si reprobó Matemática, ¿cuál es la probabilidad que reprobara Contabilidad?


A Estudiante reprueba Matemática 0.45

B Estudiante reprueba Contabilidad 0.60

A y B Estudiante reprueba ambas materias

0.30

a. La probabilidad de que reprobara Matemática dado que reprobó Contabilidad está dada por:

b. La probabilidad de que reprobara Contabilidad dado que reprobó Matemática está dada por:

3.2. En una ciudad el 55% de los habitantes consume pan integral, el 30% consume pan multicereal y

el 20% consume ambos.

a. Sabiendo que un habitante consume pan integral, ¿cuál es la probabilidad de que coma pan multicereal?

b. Sabiendo que un habitante consume pan multicereal ¿cuál es la probabilidad de que no

consuma pan integral?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esta ciudad no consuma ninguno de los dos tipos de pan?


A Habitante consume pan integral 0.55

B Habitante consume pan multicereal 0.30

A y B Habitante consume ambos tipos de pan 0.20

a. La probabilidad de que un habitante coma pan multicereal sabiendo que consume pan

integral está dado por:


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b. La probabilidad de que un habitante coma pan integral sabiendo que consume pan multicereal está dado por:

Entonces, la probabilidad de que un habitante seleccionado al azar, que consume pan multicereal no consuma pan integral está dado por:

c. La probabilidad de que una persona seleccionada al azar consuma algún tipo de pan, integral

o multicereal, está dado por: Entonces, la probabilidad de que un habitante seleccionado al azar, que no consuma ningún tipo de pan está dado por:

3.3. Un libro tiene tres capítulos. El 85% de las páginas del primer capítulo no tiene ningún error, el 90% del segundo y el 95% del tercero tampoco tienen ningún error. El primer capítulo tiene 125 páginas, el segundo 150 y el tercero 175.

a. Cuál es la probabilidad de que al elegir una página al azar no tenga ningún error. b. Supongamos que elegimos una página al azar y observamos que no tiene ningún error, cuál

es la probabilidad de que sea del segundo capítulo.

EVENTO Descripción Proporción

A Página del capítulo 1 seleccionada 125/450 = 5/18

B Página del capítulo 2 seleccionada 150/450 = 1/3

C Página del capítulo 3 seleccionada 175/450 = 7/18

D|A Capítulo 1 sin errores 0.85

F|B Capítulo 2 sin errores 0.90

G|C Capítulo 3 sin errores 0.95

a. Sea el evento H: página seleccionada sin error; la probabilidad de ocurrencia de H está dado

por: [ ]


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b. La probabilidad de que la página seleccionada al azar sea del segundo capítulo, dado que no tiene error está dado por:

3.4. A&R, una empresa de inversiones, se anuncia ampliamente en el periódico que ofrece sus

servicios en la región. El personal de A&R calcula que 60% del mercado potencial de la empresa de inversiones leyó el periódico; calcula, además, que 85% de quienes lo leyeron recuerdan la publicidad de A&R.

a. ¿Qué porcentaje del mercado potencial de la compañía inversionista ve y recuerda el

anuncio? b. ¿Qué porcentaje del mercado potencial de la compañía inversionista que lee el periódico

pero no recuerda el anuncio?


Probabilidad de no ocurrencia

A Mercado potencial del A&R que lee el periódico. 0.60 0.40

B|A Lectores que recuerdan la publicidad de A&R dado que leen el periódico

0.85 0.15

a. El porcentaje del mercado potencial de la compañía inversionista que ve y recuerde el

anuncio está dado por la probabilidad de que un potencial cliente de la compañía de inversiones lea el periódico y recuerde el anuncio de publicidad, es decir:

b. El porcentaje del mercado potencial de la compañía inversionista que lee el periódico y no

recuerda el anuncio, está dado por la probabilidad de que un potencial cliente de la compañía de inversiones lea el periódico y no recuerde el anuncio de publicidad, es decir:

3.5. Una planta recibe reguladores de voltaje de dos diferentes proveedores P1 y P2; el 75% de los

reguladores se compran a P1 y el resto a P2. El porcentaje de reguladores defectuosos que reciben de P1 es el 8% y de P2 el 10%. Determine la probabilidad de que funcione un regulador de voltaje de acuerdo con las especificaciones.


A Regulador de voltaje del proveedor P1 0.75

B Regulador de voltaje del proveedor P2 0.25


Probabilidad de no ocurrencia

C Regulador defectuoso del proveedor P1 0.08 0.92

D Regulador defectuoso del proveedor P2 0.10 0.90


pág. 41

Sea el evento F: regulador de voltaje que funcione de acuerdo con las especificaciones; la probabilidad de ocurrencia del evento está dado por: [ ]

3.6. En una urna hay 3 bolas blancas, 5 rojas y 4 negras. Se extraen tres bolas consecutivamente, sin reemplazamiento, calcule la probabilidad de que las tres sean rojas.


A Bola roja 5/12

B|A Bola roja dado que la anterior fue roja 4/11

C|B Bola roja dado que la anterior fue roja 3/10

Sea el evento D: Extraer, sucesivamente y sin reemplazo, tres bolas rojas, entonces la probabilidad de ocurrencia del evento D está dado por: [ ]

3.7. Una urna contiene 8 bolas blancas, 5 negras y 2 rojas. Se extraen sucesivamente y sin

reemplazamiento tres bolas al azar y se desea saber:

a. La probabilidad de que las tres bolas sean blancas. b. La probabilidad de que dos sean blancas y una negra.


A Bola blanca 8/15

B|A Bola blanca dado que la anterior fue blanca 7/14

C|B Bola blanca dado que la anterior fue blanca 6/13

Sea el evento D: Extraer, sucesivamente y sin reemplazo, tres bolas blancas, entonces la probabilidad de ocurrencia del evento D está dado por: [ ]

Sean los eventos: D: extraer una bola blanca, blanca, negra: BBN E: extraer una bola blanca, negra, blanca: BNB F: extraer una bola negra, blanca, blanca: NBB


pág. 42

Entonces:

3.8. Sean 2 sucesos A y B de los que se sabe que la probabilidad de B es el doble que la de A; que la

probabilidad de su unión es doble que la de su intersección ; y que la probabilidad de su intersección es de 0,1. Se pide:

(1) (2) (3) Reemplazado (3) en (2) se tiene: (4)

Desarrollando (4) (5)

a. Calcular la probabilidad de A y la probabilidad de B

Reemplazando (1) en (5) se tiene: Reemplazando en (1) se tiene:

b. ¿Qué suceso es más probable que ocurra sabiendo que ya ha ocurrido el otro? Probabilidad de A sabiendo que B ha ocurrido:

Probabilidad de B sabiendo que A ha ocurrido:

Es más probable que suceda B, dado que A ha ocurrido, a que ocurra B dado que A ha ocurrido.


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3.9. Una urna contiene dos monedas de oro y tres de cobre. Otra urna contiene cuatro monedas de oro y tres de cobre; si se elige una urna al azar y se extrae una moneda al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda extraída sea de oro?


A Urna A 1/2

B Urna B 1/2

C Moneda de oro de la urna A 2/5

D Moneda de oro de la urna B 4/7

F: Urna A y moneda de oro de dicha urna, entonces la probabilidad de ocurrencia de F es:

G: Urna B y moneda de oro de dicha urna, entonces la probabilidad de ocurrencia de G es:

H: Moneda de oro, entonces la probabilidad de ocurrencia de H está dado por:

3.10. Un paquete que contiene una mezcla de 10 semillas de flores de distintos colores: cuatro

semillas para flores rojas, tres para amarillas, dos para moradas y una de color naranja.

a. Si se selecciona una semilla de la mezcla, ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja o anaranjada?

b. si se sacan dos semillas del paquete ¿Cuál es la probabilidad de que sean amarillas? c. Si se sacan tres semillas ¿Cuál es la probabilidad de que una sea de color naranja y dos

sean amarillas? d. Si se escogen tres semillas ¿Cuál es la posibilidad de que una sea de color naranja?

Evento Descripción Número de elementos

A Semillas de flores de color roja 4

B Semillas de flores de color amarilla 3

C Semillas de flores de color morada 2

D Semillas de flores color naranja 1

a. La probabilidad de seleccionar una semilla de flor de color roja o naranja está dado por:

b. Sean los eventos F: Seleccionar una semilla de flor de color amarillo, G: Seleccionar otra

semilla de flor de color amarillo, dado que la anterior fue de ese color; La probabilidad de obtener dos semillas de color amarillo está dado por:


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c. Sea el evento J: extraer tres semillas: dos amarillas y una de color naranja, entonces este

evento se presenta de tres maneras:

F: Extraer tres semillas: amarilla, amarilla, naranja G: Extraer tres semillas: amarilla, naranja, amarilla. H: Extraer tres semillas: naranja, amarilla, amarilla. La probabilidad de ocurrencia del evento J está dado por:

d. Sea el evento J: extraer tres semillas: una de color naranja, entonces este evento se

presenta de tres maneras:

F: Extraer tres semillas: amarilla, roja, naranja G: Extraer tres semillas: amarilla, morada, naranja. H: Extraer tres semillas: roja, morada, naranja.

La probabilidad de ocurrencia del evento J está dado por:

3.11. Una urna contiene tres bolas rojas y dos bolas verdes y otra contiene dos bolas rojas y tres

bolas verdes. Se toma, al azar, una bola de cada urna.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean del mismo color? b. ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto color?


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A Seleccionar la primera urna 1/2

B Seleccionar la segunda urna 1/2

R|A Bola roja urna A 3/5

R|B Bola roja urna B 2/5

V|A Bola verde urna A 2/5

V|B Bola verde urna B 3/5

a. Sea el evento compuesto D: “dos bolas del mismo color”, es decir: una bola roja de la urna A

y una bola roja de la urna B, o una bola verde la urna A y una bola verde de la urna B y viceversa; entonces, la probabilidad de ocurrencia de D está dado por:

[ ]

b. Sea el evento compuesto F: “dos bolas de distinto color”, es decir: una bola roja de la urna A

y una bola verde de la urna B, o una bola verde la urna A y una bola roja de la urna B y viceversa; entonces, la probabilidad de ocurrencia de D está dado por:

[ ]

3.12. Al sacar dos cartas de un mazo de 52 naipes, una a una, sin regresar a la primera carta a su

lugar antes de sacar la segunda ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran los siguientes eventos:

a. Ambas rojas. b. Ambas tréboles. c. Ambas con figura (J, Q, K de cualquier tipo).

a. Sean los eventos: A: Extraer la primer carta de color rojo; B: extraer la segunda carta de

color rojo, sin que la primera haya regresado al mazo; la probabilidad de obtener ambas cartas de color rojo está dado por:

b. Sean los eventos A: Extraer la primera carta con figura de trébol; B: extraer la segunda

carta con figura de trébol, sin que la primera haya regresado al mazo; la probabilidad de obtener ambas cartas de color rojo está dado por:


pág. 46

c. Sean los eventos:

A: Extraer la primera carta con figura J, Q, K de cualquier color, B: extraer la segunda carta con figura J, Q, K de cualquier color, sin que la primera haya regresado al mazo; la probabilidad de obtener ambas cartas de color rojo está dado por:

3.13. Una caja contiene dos bolas blancas y una negra. Tres jugadores sacan sucesivamente una bola

de la caja sin devolverla a la misma. Gana el primero que obtenga la bola negra. Determine quién tiene la mayor probabilidad de ganar.

Sea el evento A “Sacar una bola de color negro”, entonces la probabilidad de ocurrencia de este evento para cada uno de los jugadores está dado por:

Primer jugador:

El segundo jugador podrá participar en el juego siempre y cuando el primer jugador no haya ganado el mismo, es decir no haya sacado una bola negra, en este caso, una bola blanca; además la bola extraída por el primer jugador no regresa a la urna, entonces, la probabilidad de que el segundo jugador gane el juego está dado por:

El tercer jugador podrá participar en el juego siempre y cuando los dos jugadores anteriores no hayan acertado el juego, es decir no hayan extraído una bola negra, en este caso, una bola blanca; además las bola extraídas por los dos primeros jugadores no regresan a la urna. En estas condiciones la probabilidad de que el tercer jugador gane el juego está dado por:

Por lo anterior, el jugador que presenta la mayor probabilidad de ganar el juego es el tercero.

3.14. Un juego consiste en lanzar un dado. Si sale un número primo, lanzamos una moneda, y si sale

un número no primo, lanzamos dos monedas. Cuál es la probabilidad de ganar si se gana el juego cuando no aparecen sellos al lanzar las monedas.

Sean los eventos:

A: obtener un número primo al lanzar un dado (obtener: 1, 2, 3, 5);

B: obtener un número compuesto (no primo) al lanzar un dado (obtener: 4, 6);

C: obtener sello al lanzar una moneda:

D: obtener sello al lanzar dos monedas:


pág. 47

Se gana el juego cuando se presentan los eventos: E: Obtener sello en el lanzamiento de una moneda dado que se ha obtenido un número primo al lanzar el dado.

F: Obtener sello en el lanzamiento de dos monedas dado que se ha obtenido un número compuesto (no primo) lanzar el dado

La probabilidad de ganar el juego está dada por:

3.15. Un dado ha sido trucado de manera que la probabilidad de sacar un número par es el doble de

la de sacar un número impar. Se lanza el dado y se pide:

a. La probabilidad de obtener un número par.

A: sacar un número impar al lazar un dado trucado; B: sacar un número par al lanzar un dado trucado; A y B son eventos colectivamente exhaustivos, entonces ; Es decir:

(

)

Si a la vez se lanza un dado no trucado, la probabilidad de obtener un número par y un número impar.

b. Si a la vez se lanza un dado no trucado en dos ocasiones, ¿cuál es la probabilidad de

obtener al menos un número impar? E: obtener número impar en el primer lanzamiento y número par en el segundo lanzamiento. F: obtener número par en el primer lanzamiento y número impar en el segundo lanzamiento. G: obtener número impar en los dos lanzamientos. H obtener número par en los dos lanzamientos.

Los mismos que conforman el Espacio muestral, entonces:


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La probabilidad de obtener al menos un número impar está dado por:

Alternativa: Considerando el espacio muestra se tiene: Es decir: Entonces:


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3.5. PROBLEMAS PROPUESTOS 3.16. Un banco local informa que 80% de sus clientes tiene cuenta corriente; 60% tiene cuenta de

ahorros y 50% cuenta con ambas. Si se elige un cliente al azar,

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente tenga una cuenta corriente dado que posee una cuenta de ahorros?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente tenga una cuenta de ahorros dado que posee una cuenta corriente?

R: 5/6; 5/8

3.17. Entre los estudiantes de un colegio se observa que el 5% de los hombres y el 3% de las mujeres

tienen el pelo rubio. Además, el 30% de los estudiantes son mujeres. Si se elige un estudiante al azar y se observa que tiene el pelo rubio, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

R: 0.1125

3.18. Se extrae una carta de una baraja de 52 cartas y se obtiene un rey.

a. Si lo regresa a la baraja, ¿cuál es la probabilidad de sacar un rey en la segunda selección? b. Si no lo regresa a la baraja, ¿cuál es la probabilidad de sacar un rey en la segunda selección? c. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un rey en la primera carta que se toma de la baraja y

otro rey en la segunda (suponiendo que el primer rey no fue reemplazado?)

R: 1/13; 1/17; 1/221

3.19. Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de tubería del estado vecino. Si se seleccionan, una a una, cuatro piezas al azar y sin remplazo,

a. ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local? b. ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor del estado vecino? c. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local?

R: 1.19%; 0.20; 0.80

3.20. Un proveedor minorista de computadoras compró un lote de 1000 discos CD-R e intentó

formatearlos para una aplicación particular. Había 857 discos compactos en perfectas condiciones, 112 se podían utilizar, aunque tenían sectores en malas condiciones y el resto no se podía emplear para nada.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que un CD seleccionado no se encuentre en perfecto estado? b. Si el disco no se encuentra en perfectas condiciones, ¿cuál es la probabilidad de que no se

le pueda utilizar?

R: 143/1000; 0.44%

3.21. En una urna hay 3 bolas blancas, 5 rojas y 4 negras. Se extraen tres bolas consecutivamente, sin reemplazo. Calcule la probabilidad de que las tres sean rojas.

R: 1/22


pág. 50

3.22. Una urna contiene 6 bolas rojas y cinco bolas negras. Se extrae una bola y se la esconde sin observar su color. A continuación se extrae una segunda bola. Cuál es la probabilidad de que esta bola sea roja.

R: 6/11

3.23. En una bolsa de caramelos surtidos hay 10 caramelos con sabor a naranja, 5 con sabor a limón y 3 con sabor a fresa. Todos tienen el mismo tamaño y hasta extraerlos de la bolsa no se sabe de qué sabor son. Se extraen sucesivamente tres caramelos al azar.

a. Calcular la probabilidad de extraer primero uno con sabor a naranja, luego uno con sabor a

limón y, por último, uno con sabor a fresa. b. Calcular la probabilidad de que sean de tres sabores diferentes.

R: 25/816; 25/136

3.24. Una caja contiene 9 papeletas numeradas del 1 al 9 inclusive, si se extraen sucesivamente tres

papeletas, sin regresar a la caja. Hallar la probabilidad de que sean alternativamente:

a. Impar, par, impar. b. Par, impar, par.

R: 10/63; 2/21

3.25. Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas. Si la carta extraída es un rey nos dirigimos a la urna I, y en caso contrario, nos dirigimos a la urna II. A continuación, extraemos una bola. El contenido de la urna I es de 7 bolas blancas y 5 negras, y el de la urna II es de 6 bolas blancas y 4 negras. Hallar:

a. La probabilidad de que la bola extraída sea blanca y de la urna II. b. La probabilidad de que la bola extraída de la urna sea negra.

R: 27/50; 241/600

3.26. Tres operadores (A, B y C) se turnan en el manejo de cierta máquina. El número de partes producidas por A, B, y C están en relación 3:4:3 y el 5% de A, el 2% de B y el 5% de C es defectuoso. Si una parte es tomada al azar de la salida de la máquina, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?

R: 0.0380

3.27. Un estudiante se presenta a un examen tipo test compuesto por cien preguntas, cada una de las cuales va acompañada de cuatro respuestas y sólo una es correcta. Sesenta de las preguntas corresponden a la parte del programa que el alumno ha preparado y en las que tiene una probabilidad del 80 % de contestar adecuadamente. En las restantes, señalará al azar una de las cuatro respuestas. Si se elige al azar una de las respuestas, ¿cuál es la probabilidad de que sea correcta?

R: 0.58 3.28. El 35% de los créditos de un banco son para vivienda, el 50% para industria y el 15% para

consumo diverso. Resultan fallidos el 20% de los créditos para vivienda, el 15% de los créditos para industrias y el 70% de los créditos para consumo. Calcula la probabilidad de que se pague un crédito elegido al azar.

R: 0.250


pág. 51

3.29. El 60% de las personas que visitaron un museo durante el mes de mayo eran extranjeros. De estos, el 40% eran menores de 20 años. En cambio, de los que no eran extranjeros, tenían menos de 20 años el 30 %. Calcular la probabilidad de que un visitante elegido al azar tenga menos de 20 años.

R: 0.36

3.30. Se tienen dos urnas: A: 4 bolas rojas y 6 blancas. B: 7 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona una

urna al azar, se extrae una bola y se coloca en la otra urna. A continuación, se extrae una bola de la segunda urna. Calcular la probabilidad de que las 2 bolas extraídas sean del mismo color.

R: 117/220


pág. 52

4. TABLAS DE CONTINGENCIA Y TABLAS DE PROBABILIDAD 4.1. TABLAS DE CONTINGENCIA Una tabla de contingencia, tabla bivariable o tabla de doble entrada, es una estructura tabular que registra el número de casos que se presentan en forma simultánea en la ocurrencia de dos eventos aleatorios, tal como se indica a continuación:

Evento D Evento F Evento G Total

Evento A

Evento B

Evento C

Total

Donde: Cada uno de los valores registrados en las celdas representa el número de casos favorables de

ocurrencia simultánea de los eventos . Los valores registrados en la última fila y columna representa la suma de los valores de cada fila y

columna respectivamente. La última celda registra el valor correspondiente a la suma de todos los valores registrados en la

tabla. 4.2. TABLA DE PROBABILIDAD Esta tabla se obtiene aplicando la definición de probabilidad, considerando como casos favorables los valores registrados en las celdas y el total de casos la sumatoria total de la tabla entonces:

Evento D Evento F Evento G Total

Evento A

Evento B

Evento C

Total

De la tabla de probabilidades obtenida se desprende lo siguiente: Los valores ubicados en la última fila y en la última columna representan la probabilidad de los eventos en forma individual, a estos valores se los conoce como probabilidad marginal. Los valores ubicados en la intersección de fila – columna representan la probabilidad de ocurrencia en forma simultánea de los eventos y respectivamente. Con los valores registrados en la tabla de probabilidades se podrá determinar la probabilidad de eventos individuales (marginales), de eventos combinados y de eventos condicionales; en los eventos condicionales, el evento condicionante puede ser cualquiera de ellos (evento fila o evento columna), y el evento condicional podrá ser el correspondiente a la columna o fila respectivamente.


pág. 53

4.3. PROBLEMAS RESUELTOS 4.1. Una encuesta reciente publicada en Business Week aborda el tema de los salarios de los

directores ejecutivos de grandes compañías y si los accionistas de las mismas ganan o pierden dinero.

Salario/Rendimiento Salario director

>10,000 Salario director

<10,000 Total

Los accionistas ganan dinero 2 11 13

Los accionistas pierden dinero 4 3 7

Total 6 14 20

a. Con los datos de la tabla de contingencia elabore la tabla de probabilidades.

Salario/Rendimiento Salario director >

10,000 (A) Salario director <

10,000 (B) Total

Los accionistas ganan dinero (C) 0.10 0.55 0.65

Los accionistas pierden dinero (D) 0.20 0.15 0.35

Total 0.30 0.70 1.00

Seleccione al azar una compañía de la lista de 20 estudiadas, y determine la probabilidad:

b. El director ejecutivo gane más de $10,000;

c. El director ejecutivo gane más de $10,000 o los accionistas pierdan dinero.

d. El director ejecutivo gane más de $10,000 dado que los accionistas pierden dinero.

e. Se seleccionen 2 directores ejecutivos y se descubra que ambos ganan más de $10,000


pág. 54

4.2. A un investigador le entró un virus computacional que borró la base de datos de su investigación la que medía la postura de rechazo o aceptación frente a la ley de divorcio. Estos datos estaban divididos en hombres y mujeres. Nos pide ayuda para que le devolvamos los datos perdidos.

Mujeres Hombres Total

Acepta 17 33

Rechaza

total 30 20 50

a. Tabla de datos completos

Variables Mujeres Hombres Total

Acepta 17 16 33

Rechaza 13 4 17

total 30 20 50

b. Tabla de probabilidad:

Variables Mujeres (M) Hombres (H) Total

Acepta (A) 0.34 0.32 0.66

Rechaza (R) 0.26 0.08 0.34

total 0.60 0.40 1.00

Se escoge al azar a una persona encuestada, determine:

c. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada sea hombre?,

d. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada rechace el divorcio?,

e. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada acepte el divorcio dado que es

mujer?

f. Si la persona seleccionada rechaza el divorcio, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?


pág. 55

4.3. Se recolectaron datos sobre 500 economistas en la cátedra académica (universidad), la industria privada y el gobierno respecto a sus opiniones sobre si la economía podría ser estable, podría expandirse o podría entrar en un período de contracción en el siguiente quinquenio.

Economistas ECONOMÍA

Total Estable (S) Expansión (E) Contracción (C)

Universidad (U) 125 100

Industria Privada (P) 35 110

Gobierno (G) 25 40 65

Total 200

a. Complete el cuadro



Universidad (U) 125 100 100 325

Industria Privada (P) 50 35 25 110

Gobierno (G) 25 40 0 65

Total 200 175 125 500

b. Elabore la tabla de probabilidades



Universidad (U) 0,25 0,20 0,20 0,65

Industria Privada (P) 0,10 0,07 0,05 0,22

Gobierno (G) 0,05 0,08 0,00 0,13

Total 0,40 0,35 0,25 1,00

c. Si usted es un economista académico, ¿es más probable que usted pronostique una

economía estable que si trabaja con el gobierno?

Probabilidad de que se pronostique una economía estable dado que es economista de la academia:

Probabilidad de que se pronostique una economía estable dado que es economista del

gobierno:

La probabilidad de que se pronostique una economía estable, dado que es economista académico, es la misma que si fuera economista de gobierno.


pág. 56

d. Dado que usted trabaja en la industria privada, ¿es más probable que pronostique una contracción en la economía que un académico?

Probabilidad de que se pronostique una contracción en la economía dado que es

economista de la industria privada:

Probabilidad de que se pronostique una contracción en la economía dado que es

economista académico:

Es más probable que usted pronostique una contracción en la economía desde la academia a que pronostique una contracción de la economía desde el sector privado, es decir:

e. Si usted trabaja para el gobierno, ¿cuál de los tres pronósticos es más probable que usted

haga?

Probabilidad de que se pronostique una economía estable dado que es economista que trabaja para el gobierno:

Probabilidad de que se pronostique una economía en expansión dado que es economista

que trabaja para el gobierno:

Probabilidad de que se pronostique una contracción de la economía dado que es

economista que trabaja para el gobierno:

Dado que usted es un economista que trabaja para el gobierno, es más probable que pronostique una economía en expansión, a que pronostique una economía estable o una contracción de la economía, es decir:


pág. 57

4.4. Una tienda de venta de libros dispone 75 títulos distintos de libros, clasificados por tipo y costo de la siguiente manera:

Tipo Costo

US$ 10 US$ 15 US$ 20

Ficción 10 8 3

Biografías 12 10 9

Histórico 4 17 2

a. Construya la tabla de probabilidades

Tipo Costo

Total US$ 10 (D) US$ 15 (E) US$ 20 (F)

Ficción (A) 0,133 0,107 0,040 0,280

Biografías (B) 0,160 0,133 0,120 0,413

Histórico (C) 0,053 0,227 0,027 0,307

Total 0,347 0,467 0,187 1,000

b. Halle la probabilidad de que un libro seleccionado aleatoriamente sea de ficción o cueste $

10.

c. Halle la probabilidad de que un libro seleccionado sea histórico y cueste $ 20,

d. Histórico y cueste o $ 10 o $ 15

[ ] [ ] [ ]

e. Ficción y cueste menos de $ 20

[ ] [ ] [ ]

f. Biográfico y cueste más de $ 10

[ ] [ ] [ ]


pág. 58

4.5. Una serie de investigaciones sobre la percepción que tiene la gente acerca de la velocidad de los automóviles que conduce han mostrado que una de las variables más importantes en el autocontrol de la velocidad al manejar es el nivel de angustia percibido. De esta manera, las personas deciden disminuir su velocidad sólo en el momento en que tienen la sensación de pérdida de control (y se angustian). En un estudio realizado con hombres y mujeres adultos, con edades que fluctúan entre 50 y 60 años, se registró, en un simulador de automóviles, la velocidad a la cual ellos comenzaban a sentir angustia, y dejaban de acelerar. Los resultados se muestran a continuación:

Nivel de velocidad Hombre Mujeres Total

bajo 20 25 38

medio 40 56 96

alto 52 26 78

muy alto 13 18 31

Total 118 115 250

a. Construya la tabla de porcentajes o probabilidades.

Nivel de velocidad Hombre (E) Mujeres (F) Total

Bajo (A) 0,080 0,100 0,152

Medio (B) 0,160 0,224 0,384

Alto (C) 0,208 0,104 0,312

muy alto (D) 0,052 0,072 0,124

Total 0,472 0,460 1,000

b. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un registro de un conductor de sexo

masculino?;

c. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un registro de un conductor con percepción de nivel de velocidad muy alto?;

d. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un registro de un conductor de sexo masculino

y que presente una percepción de nivel de velocidad alto?;

e. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un registro de un conductor de sexo femenino y que presente una percepción de nivel de velocidad bajo?;

f. Determine la probabilidad de seleccionar un registro de sexo femenino dado que presenta

una percepción del nivel de velocidad medio.

g. Determine la probabilidad de seleccionar un registro que presente una percepción del nivel

de velocidad muy alto dado que el conductor es de sexo masculino.


pág. 59

h. ¿Cuál evento es más probable: un conductor de sexo masculino con percepción de nivel de velocidad bajo o un conductor de sexo femenino con percepción de nivel de velocidad muy alto?

Probabilidad conductor sexo masculino y percepción de nivel bajo Probabilidad conductor sexo femenino y percepción de nivel muy alto

Es más probable un conductor de sexo masculino y percepción de nivel de velocidad bajo a un conductor de sexo femenino con percepción de nivel de velocidad muy alto.

4.6. Observe la siguiente tabla:

Segundo evento Primer evento

Total

2 1 3 6

1 2 1 4

Total 3 3 4 10

a. Encuentre la tabla de probabilidades conjuntas.

Segundo evento Primer evento

Total

0.20 0.10 0.30 0.60

0.10 0.20 0.10 0.40

Total 0.30 0.30 0.40 1.00

b. Determine la probabilidad de que ocurra el evento ;

c. Estime la probabilidad de que ocurra dado que ha ocurrido.

d. Determine la probabilidad de que ocurran y ;

4.7. Cada vendedor de la agencia de seguros recibe una calificación debajo del promedio, promedio

y por encima del promedio en lo que se refiere a sus habilidades en ventas. A cada vendedor también se le califica por su potencial para progresar: regular, bueno o excelente. La siguiente tabla muestra una clasificación cruzada de estas características de personalidad de los 500 empleados.

Habilidades en ventas Potencial para progresar

Total Regular Bueno Excelente

Bajo el promedio 16 12 22 50

Promedio 45 60 45 150

Encima del promedio 93 72 135 300

Total 154 144 202 500


pág. 60

a. Construya la tabla de probabilidades.

Habilidades en ventas Potencial para progresar

Total Regular (D) Bueno (E) Excelente (F)

Bajo el promedio (A) 0,032 0,024 0,044 0,100

Promedio (B) 0,090 0,120 0,090 0,300

Encima del promedio (C) 0,186 0,144 0,270 0,600

Total 0,308 0,288 0,404 1,000

b. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga una habilidad para las

ventas con calificación por encima del promedio y un excelente potencial para progresar?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un buen potencial para progresar dado que está calificado con habilidades para las ventas por el promedio?

d. Determine la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga bajo promedio en

habilidades para la venta dado que su potencia para progresar es excelente.

4.8. En una encuesta entre alumnos de maestría en administración se obtuvieron los datos acerca de

“El principal motivo del alumno para solicitar su ingreso a la escuela”.

Tipo de estudiante Motivo de la solicitud

Total Calidad Costo Otros

Tiempo completo 421 393 76 890

Tiempo parcial 400 593 46 1039

Total 821 986 122 1929

a. Elabore una tabla de probabilidad conjunta para estos datos.

Tipo de estudiante Motivo de la solicitud

Total Calidad (C) Costo (D) Otros (E)

Tiempo completo (A) 0,218 0,204 0,039 0,461

Tiempo parcial (B) 0,207 0,307 0,024 0,539

Total 0,426 0,511 0,063 1,000

b. Aplique las probabilidades marginales de calidad de la escuela, costo y otras, para hacer

comentarios sobre el motivo principal para elegir una escuela.

Probabilidad marginal evento C: Calidad, Probabilidad marginal evento D: Costo, Probabilidad marginal evento E: Otros,


pág. 61

El motivo principal para elegir una escuela es su costo, es decir:

c. Si un alumno es de tiempo completo ¿cuál es la probabilidad de que la calidad de la institución sea el principal motivo para elegir su escuela?

d. Sea A el evento en que el alumno es de tiempo completo y sea C el evento que el alumno

menciona que la calidad de la escuela es el primer motivo de su solicitud. ¿Son independientes los eventos A y C? justifique su respuesta.

Probabilidad marginal evento A: alumno de tiempo completo, Probabilidad marginal evento C: Calidad, Probabilidad combinada eventos A y C,

Los eventos A y C son independientes si se cumple con:

No cumple

Los eventos A: estudiante a tiempo completo y C: calidad de la escuela no son independientes.

4.9. En un estudio de suscriptores del diario El telégrafo se obtuvo la siguiente tabla acerca de Tv por

cable. Los datos se separan para las cuatro zonas del país de la siguiente manera:

TV por cable Zona Geográfica

Total Costa Sierra Amazonía Insular

La tiene 17 8 7 13 45

Probablemente la adquiera 107 95 30 93 325

Ninguna 488 403 98 275 1264

Total 612 506 135 381 1634

a. Forme una tabla de probabilidades conjuntas.

TV por cable Zona Geográfica

Total Costa (D) Sierra (E) Amazonía (F) Insular (G)

La tiene (A) 0,010 0,005 0,004 0,008 0,028

Probablemente la adquiera (B) 0,065 0,058 0,018 0,057 0,199

Ninguna (C) 0,299 0,247 0,060 0,168 0,774

Total 0,375 0,310 0,083 0,233 1,000

b. Cuál es la probabilidad de que un suscritor posea TV por cable;

c. Cuál es la probabilidad de que un suscriptor encuestado sea de la amazonía;

d. Cuál es la probabilidad de que un suscriptor de la sierra posea Tv por cable;


pág. 62

e. En qué región del país es mayor la probabilidad de poseer Tv por cable; La región que tiene mayor probabilidad de poseer Tv por cable es la costa,

f. Cuál es la probabilidad de que uno de los suscriptores sea de la costa dado que está pensando en adquirir Tv por cable.

4.10. Un gran almacén distribuye artículos deportivos para pesca, montañismo y ciclismo de origen

nacional e importado, tal como se indica en la siguiente tabla:

Origen Artículos deportivos

Pesca Montañismo Ciclismo

Nacional 5 1 4

Importado 12 4 10

a. Construya la tabla de probabilidad conjunta.

Origen Artículos deportivos

Total Pesca (C) Montañismo (D) Ciclismo (E)

Nacional (A) 0,139 0,028 0,111 0,278

Importado (B) 0,333 0,111 0,278 0,722

Total 0,472 0,139 0,389 1,000

b. Con los valores de la probabilidad marginal determine que es más probable: ¿encontrar en el

almacén un artículo nacional o un artículo importado?

Evento A: Encontrar un artículo de origen nacional: Evento B: Encontrar un artículo de origen importado:

Es más probable encontrar un artículo de origen extranjero (importado) que un artículo de producción nacional, es decir:

c. Verifique que los eventos combinados: Artículo para montañismo de origen importado y

artículo para ciclismo de origen nacional son equiprobables.

Evento combinado: Artículo para montañismo, origen importado, Evento combinado: artículo para ciclismo de origen nacional,

Los eventos: artículo para montañismo de origen importado y artículo para ciclismo de origen nacional son equiprobables, es decir:

d. Se selecciona un artículo al azar, determine la probabilidad de que el artículo seleccionado

sea para montañismo dado que es de origen nacional.


pág. 63

e. ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo seleccionado sea de origen importado dado que es para ciclismo?

f. ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo seleccionado sea de pesca o de mono de origen

nacional?

g. ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo seleccionado al azar sea de pesca o ciclismo dado

que es importado?

[ ]

[ ]

[ ]


pág. 64

4.4. PROBLEMAS PROPUESTOS 4.11. En un experimento clásico de genética, se determinó el número de entrecruces genéticos en

tres tipos de mosca Drosophila Melanogaster. A continuación se presentan las probabilidades obtenidas.

Mosca Con entrecruce (C) Sin entrecruce (C’) Total

H1 45 35

H2 80 145

H3 10 85

Total

a. Complete el cuadro. b. Elabore la tabla de probabilidades.

Tomando una mosca al azar determine la probabilidad de que la mosca seleccionada sea:

c. Tipo H1 d. Con entrecruce e. Tipo H3 dado que es una mosca con entrecruce f. Sin entrecruce dado que es hembra tipo H2

R: 0.26; 0.65; 0.3692; 0.4468

4.12. La siguiente tabla muestra la distribución de grupos hemáticos entre la población general:

Tipo A B AB O Total

Rh+ 34 9 4 38

Rh- 6 11 2 16

Total

a. Complete la tabla de datos b. Construya la tabla de probabilidad c. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga sangre tipo O? d. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga sangre con Rh-?; e. ¿Cuál es la probabilidad de que en un matrimonio ambos tengan Rh-? f. ¿Cuál es la probabilidad de que en un matrimonio ambos tengan sangre tipo AB? g. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga sangre con Rh- dado que tiene tipo O? h. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga sangre tipo B, dado que tiene Rh+?

R: 0.45; 0.29; 0.08; 0.0025; 0.29; 0.11

4.13. La asamblea legislativa de una localidad está conformada por tres partidos políticos PR, PC y

PD. Se efectúa una votación para decidir si un cierto día se declara fiesta local. La siguiente tabla nos da los resultados de la votación en función del partido al cual pertenecen y su aprobación o no al proyecto:

Partido PR PC PD TOTAL

SI 25 45 30 100

NO 35 22 38 95

Total 60 67 68 195


pág. 65

a. Construya la tabla de probabilidad. b. Calcule la probabilidad de que un legislador elegido al azar haya votado negativamente

por el proyecto. c. Calcule la probabilidad de que un legislador elegido al azar haya votado afirmativamente

por el proyecto dado que pertenece al partido PR. d. Calcule la probabilidad de que el legislador elegido al azar haya votado negativamente por

el proyecto dado que pertenece al partido PC. e. Calcule la probabilidad de que un legislador elegido al azar haya votado afirmativamente

por el proyecto dado que pertenece al partido PD o PR.

R: 0.49; 0.42; 032; 0.85 4.14. A una conferencia de historia asisten 66 profesionales, los varones que son sociólogos son

tantos como las mujeres antropólogas; además, el número de mujeres que son sociólogas es tres veces el número de varones que son antropólogos. si en total hay 45 mujeres.

a. Construya la tabla de contingencia. b. Construya la tabla de probabilidades. c. Si se elige aleatoriamente a uno de los asistentes, ¿cuál es la probabilidad de que sea

antropóloga? d. Si se elige aleatoriamente a uno de los asistentes, ¿cuál es la probabilidad de que sea

antropólogo? e. Determine la probabilidad de seleccionar un asistente de sexo femenino dado que es

socióloga. f. Determine la probabilidad de seleccionar un asistente profesional en antropología dado

que es de sexo masculino. g. Determine la probabilidad de seleccionar un asistente que sea socióloga o antropólogo. h. ¿Cuál evento es más probable: seleccionar un sociólogo o una antropóloga?

R: 0.136; 0.182; 0.799; 0.572; 0.727; equiprobables

4.15. Se hizo una encuesta a 500 parejas de trabajadores sobre su salario anual, y se obtuvo la

información siguiente:

ESPOSA ESPOSO

Total

212 198 400

36 54 100

Total 248 252 500

a. Construya la tabla de probabilidades. b. Cuál es la probabilidad de que el esposo gane más de $ 25,000 c. Determine la probabilidad de que el esposo gane más de $ 25,000 ya que la esposa gana

más de esa cantidad. d. Determine la probabilidad de que la esposa gane más de $ 25,000 ya que el esposo gana

menos de esa cantidad.

R: 0.504; 0.540; 0.0855


pág. 66

4.16. En la base de datos de una empresa de ventas de productos de consumo masivo se registran 236 vendedores distribuidos en el sector Norte, Centro y Sur de la ciudad tal como se indica en la siguiente tabla:

VENDEDORES SECTOR

Total Norte Centro Sur

Hombres 18 33 50 101

Mujeres 25 45 65 135

Total 43 78 115 236

a. Encuentre la tabla de probabilidades conjuntas. b. Seleccione un registro al azar y encuentre la probabilidad de que el registro seleccionado

corresponda a un vendedor de sexo masculino. c. Seleccione un registro al azar y encuentre la probabilidad de que el registro seleccionado

corresponda a un vendedor ubicado en el sector norte de la ciudad. d. Determine la probabilidad de que el registro seleccionado corresponde a un vendedor de

sexo femenino y que desarrolle su trabajo en el centro de la ciudad. e. ¿Cuál evento es más probable: seleccionar un registro de un vendedor de sexo masculino

ubicado en el sur de la ciudad o un vendedor de sexo femenino que desarrolle su trabajo en el centro de la ciudad?

f. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un registro de un vendedor que trabaje en el norte de la ciudad dado que es de sexo masculino?

g. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un registro de un vendedor de sexo femenino dado que desarrolla su trabajo en el sur de la ciudad?

R: 0.428; 0.182; 0.191; 0.212; 0.191; 0.178; 0.565

4.17. Los siguientes datos pertenecen a una muestra de 80 familias de cierta población, estos muestran la escolaridad de los padres y la de sus hijos.

Padre Hijo

Total Fue a la universidad No fue a la universidad

Fue a la universidad 18 7 25

No fue a la universidad 22 33 55

Total 40 40 80

a. Elabore la tabla de probabilidad conjunta. b. Use las probabilidades marginales para hacer comparaciones de la escolaridad entre padres

e hijos. c. ¿Cuál es la probabilidad de que el hijo vaya a la universidad, si su padre asistió? d. ¿Cuál es la probabilidad de que el hijo vaya a la universidad, si su padre no lo hizo? e. ¿Es independiente la asistencia del hijo a la universidad del hecho de que el padre fuera o no

a la universidad?, Explique la respuesta empleando argumentos probabilísticos.

R: 0.72; 0.41; no son independientes


pág. 67

4.18. Un club social tiene los siguientes datos sobre la edad y el estado civil de 140 socios.

Edad Estado civil

Total Soltero Casado

Menor de 30 años 77 14 91

30 años o mayor 28 21 49

Total 105 35 140

a. Forme la tabla de probabilidad conjunta para estos datos. b. Aplique las probabilidades marginales para comentar sobre la edad de los miembros de club. c. Emplee las probabilidades marginales para comentar sobre el estado civil de los socios. d. Cuál es la probabilidad de encontrar un socio de estado civil soltero y menor de 30 años; e. Si un socio tiene menos de 30 años, ¿Cuál es la probabilidad de que sea soltero? f. Verifique aplicando probabilidades si el estado civil de los socios es independiente de la

edad.

R: 0.550; 0.846; no son independientes 4.19. Una encuesta realizada dio los siguientes resultados acerca de un bono de compensación

anual a 105 directores ejecutivos de empresas de tecnología y financieras. Las percepciones totales se dan en miles de dólares.;

Corporación Percepción total anual (miles USD)

Total

De tecnología 17 21 7 45

Financiera 12 31 17 60

Total 29 52 24 105

a. Formar la tabla de probabilidades conjuntas para estos datos. b. Aplique las probabilidades marginales para comentar sobre el más probable de los tres

intervalos de percepciones. c. Calcule la probabilidad de seleccionar un directivo al azar que tenga una percepción total

anual entre $ 1,000 y $ 2,000 dólares dado que pertenece a una corporación de tecnología. d. ¿Qué conclusión se puede obtener la probabilidad marginal de corporaciones de tecnología y

corporaciones financieras?

R: 0.466; 4.20. La siguiente tabla registra el número de cajas de plátanos procedentes de Ecuador y Honduras

que han sido rechazadas debido a que se han echado a perder o se encuentran muy maduras:

Procedencia Causas de rechazo

Total Fruta echada a perder Fruta muy madura

Ecuatoriana 200 340 540

Hondureña 320 480 800

Total 520 820 1340

a. Construya la tabla de probabilidades. b. Compare las probabilidades marginales de las causas de rechazo.


pág. 68

c. Al seleccionar al azar una caja rechazada determine la probabilidad de que sea ecuatoriana dado que el plátano se encuentra muy maduro.

d. Determine la probabilidad de seleccionar una caja de procedencia hondureña y que se ha sido rechazada porque el producto se ha echado a perder

e. Determine la probabilidad de que la caja seleccionada ha sido rechazada porque se ha echado a perder dado que es de procedencia ecuatoriana.

f. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar sucesivamente dos cajas de procedencia ecuatoriana si la primera caja seleccionada no regresa al lote?

R: 0.415; 0.239; 0.384; 0.162


pág. 69

5. ÁRBOL DE PROBABILIDAD Y FÓRMULA DE BAYES 5.1. ÁRBOL DE PROBABILIDAD El árbol de probabilidad es una representación gráfica del espacio muestral de dos o más eventos combinados de manera secuencial, junto con el valor de la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos, tanto en la fase inicial, como en la fase secuencial. A los eventos de la fase inicial se los denominan eventos a priori y a los eventos en la fase secuencial se los llama eventos a posteriori.

En el árbol de probabilidad se puede apreciar los eventos A y B como eventos iniciales o eventos a priori; además se observa los eventos C y D como eventos secuenciales de los eventos A y B respectivamente. Se cumple que: A y B son eventos independientes y colectivamente exhaustivos. C y D son eventos independientes, colectivamente exhaustivos; además C y D se presentan

(ocurre o no ocurre) si es que A o B han ocurrido. 5.2. FÓRMULA DE BAYES La fórmula de Bayes permite calcular las probabilidades condicionales de los eventos a priori dado que el evento a posteriori ha ocurrido; sean A y C dos eventos tales que A es evento a priori y C es evento a posteriori, tal como indica en el árbol de probabilidad anterior; entonces, la probabilidad de


pág. 70

que el evento A (a priori) ocurra, dado que el evento C (a posteriori) ha ocurrido se expresa de la siguiente manera:

Asociando esta expresión con la definición clásica de probabilidad se puede indicar: Casos favorables: la probabilidad de que ocurra A y ocurra C dado que el evento A ha ocurrido. Total de casos: La probabilidad de que ocurra A o que ocurra B, dado que el evento C ha

ocurrido 5.3. RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS

Identifique y describa los eventos que intervienen en el problema, señale claramente los eventos a priori y los eventos a posteriori; determine la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos.

Trace el árbol de probabilidad señalando los eventos a priori y los eventos a posteriori; en

cada una de las ramas del árbol coloque la probabilidad de ocurrencia del evento; tome en cuenta que los eventos a posteriori están supeditados a la ocurrencia de los eventos a priori.

Verifique que los eventos a priori y los eventos a posteriori sean colectivamente exhaustivos,

es decir que la suma de sus probabilidades de ocurrencia sea igual a 1.

Para encontrar la probabilidad condicional de un evento a priori, dado que el evento a posteriori ha ocurrido debe aplicar la fórmula de Bayes.


pág. 71

5.4. PROBLEMAS RESUELTOS 5.1. Los repuestos de computador se fabrican en dos máquinas, la máquina A fabrica el 60% de la

producción total y la máquina B fabrica el 40% restante de la demanda; existe un 98% de probabilidad de que los repuestos fabricados por la máquina A sean óptimos; mientras que existe un 96% de probabilidad que los repuestos fabricados con la máquina B sean óptimos; se toma un repuesto al azar, con esta información:

Eventos a priori

Evento Descripción Probabilidad

A Pieza fabricada en la máquina A 0.60

B Pieza fabricada en la máquina B 0.40

Eventos a posteriori


C|A Pieza óptima máquina A 0.98 0.02

C|B Pieza óptima máquina B 0.96 0.04

a. Construya el árbol de probabilidades.

b. Probabilidad de que se obtenga un repuesto óptimo que se fabricó en la máquina A

c. Probabilidad de que se obtenga un repuesto óptimo que se fabricó en la máquina B.

d. Probabilidad de que se obtenga un repuesto defectuoso que se fabricó en la máquina A.


pág. 72

e. Probabilidad de que se obtenga un repuesto defectuoso que se fabricó en la máquina B

f. Probabilidad de que el repuesto obtenido sea óptimo.

[ ]

g. Probabilidad de que el repuesto obtenido sea defectuoso.

[ ]

h. Probabilidad de que el repuesto seleccionado sea de la máquina A dado que es óptimo.

i. Probabilidad de que el repuesto seleccionado sea de la máquina B dado que es óptimo.

j. Probabilidad de que el repuesto seleccionado sea de la máquina A, dado que es defectuoso.

k. Probabilidad de que el repuesto seleccionado sea de la máquina B dado que es defectuoso.


pág. 73

5.2. El despertador de Javier no funciona muy bien y el 20% de las veces no suena. Cuando suena, Javier llega tarde a clase con probabilidad 0.20; pero si no suena, la probabilidad de que llegue tarde a clase es 0.90.

a. Determine la probabilidad de que llegue tarde a clase y haya sonado el despertador. m b. Halle la probabilidad de que llegue temprano. c. Javier ha llegado tarde a clase, ¿cuál es la probabilidad de que haya sonado el despertador?

Eventos a priori


A Despertador suena 0.80 0.20




C|A Llega tarde dado que despertador suena 0.20 0.80

C|A’ Llega tarde dado que despertador no suena 0.90 0.10

a. La probabilidad de que llegue tarde a clase y haya sonado el despertador está dado por:

b. La probabilidad de que llegue temprano, es decir que no llegue tarde está dado por:

[ ]

c. la probabilidad de que haya sonado el despertador, ya que Javier llegó tarde está dado por:


pág. 74

5.3. Se recibieron de la fábrica dos cajas de camisas para caballero marca Old Navy, la caja 1 contenía 25 camisas polo y 15 camisas Súper-T, la caja 2 contenía 30 camisas Polo y 10 camisas Súper-T. Una de las cajas se seleccionó al azar y se eligió una camisa de dicha caja, también en forma aleatoria, para revisarla. La camisa era Polo. Dada esta información, ¿cuál es la probabilidad de que la camisa polo provenga de la caja 1?

Eventos a priori


A Caja 1 ha sido seleccionada 0.50

B Caja 2 ha sido seleccionada 0.50



C|A Camisa polo dada que fue de la caja 1 25/40 = 5/8

D|A Camisa súper T dada que fue de la caja 1 15/40 = 3/8

C|B Camisa polo dada que fue de la caja 2 30/40 = 3/4

D|B Camisa súper T dada que fue de la caja 2 10/40 = 1/4


pág. 75

5.4. En un colegio hay dos grupos de 25 alumnos de quinto curso y dos grupos de 20 alumnos de sexto curso. El 50 % de los alumnos de quinto no tienen faltas de ortografía, porcentaje que sube a 70% en los alumnos de sexto. En un concurso de redacción entre alumnos de quinto y sexto se elige una redacción al azar:

a. Si tiene faltas de ortografía, ¿qué probabilidad hay de que sea de un alumno de quinto

curso? b. Si no tiene faltas de ortografía ¿qué probabilidad hay de que sea de un alumno de sexto

curso?

Eventos a priori


A Alumno de quinto curso 50/90 =5/9

B Alumno de sexto curso 40/90 = 4/9




C|A Alumno con faltas de ortografía dado que es de quinto curso

0.50 0.50

C|B Alumno con faltas de ortografía dado que es de sexto curso

0.30 0.70


pág. 76

5.5. En una pequeña ciudad hay dos bibliotecas. En la primera, el 50% de los libros son novelas mientras que en la segunda lo son el 70%. Un lector elige al azar una biblioteca siguiendo un método que implica que la probabilidad de elegir la primera biblioteca es el triple que la de elegir la segunda. Una vez llega a la biblioteca seleccionada, elige al azar un libro, novela o no.

a. Calcular la probabilidad de que elija una novela. b. Sabiendo que el libro seleccionado es una novela, obtener razonadamente la probabilidad de

que haya acudido a la primera biblioteca.

Eventos a priori


A Primera biblioteca seleccionada 0.75

B Segunda biblioteca seleccionada 0.25




C|A Novela seleccionada dado que es de la primera biblioteca 0.50 0.50

C|B Novela seleccionada dado que es de la segunda biblioteca 0.70 0.30

a. Probabilidad de que elija una novela:

[ ]

b. Probabilidad de que sea de la primera biblioteca dado que el novela:


pág. 77

5.6. El 75% de los alumnos acude a clase en algún tipo de transporte y el resto andando. Llega puntual a clase el 60% de los que utilizan el transporte y el 90% de los que acude andando. Calcular:

a. Si se elige al azar uno de los alumnos que ha llegado puntual a clase, la probabilidad de que

haya acudido andando, y b. si se elige un alumno al azar, la probabilidad de que no haya llegado puntual.

Eventos a priori


A Estudiante utiliza algún tipo de transporte 0.75

B Estudiante llega a clase andando 0.25




C|A Estudiante llega puntual ya que utiliza algún transporte 0.60 0.40

C|B Estudiante llega puntual ya que acude andando 0.90 0.10

a. Probabilidad de que llegue andando dado que llega puntual a clase.

b. Probabilidad de que no haya llegado puntual:

[ ]


pág. 78

5.7. En un centro escolar 22 de cada 100 chicas y 5 de cada 10 chicos llevan gafas. Si el número de chicas es tres veces superior al de chicos, hallar la probabilidad de que elegido al azar:

a. El estudiante no lleve gafas b. El estudiante sea chica y lleve gafas c. El estudiante sea chica, sabiendo que lleva gafas.

Eventos a priori


A Estudiante de sexo femenino 0.75

B Estudiante de sexo masculino 0.25




C|A Estudiante lleva gafas dado que de sexo femenino 0.22 0.78

C|B Estudiante lleva gafas dado que es de sexo masculino 0.50 0.50

a. Probabilidad de que no lleve gafas:

[ ]

b. Probabilidad de que chica y lleve gafas

c. Probabilidad que sea chica, sabiendo que lleva gafas.


pág. 79

5.8. Las máquinas A y B producen 50 y 250 piezas por hora, con un porcentaje de fallos del 1 % y del 10 %, respectivamente. Tenemos mezcladas las piezas fabricadas en una hora y elegimos una pieza al azar. Calcular:

a. La probabilidad de que sea una pieza no defectuosa fabricada en la máquina B. b. La probabilidad de que esté fabricada en la máquina A, si sabemos que es defectuosa.

Eventos a priori


A Pieza producida en la máquina A 50/300 = 1/6

B Pieza producida en la máquina B 250/300 = 5/6




C|A Pieza con falla dado que es de la máquina A 0.01 0.99

C|B Pieza con falla dado que es de la máquina B 0.10 0.90

a. Probabilidad de que sea una pieza no defectuosa fabricada en la máquina B:

b. La probabilidad de que esté fabricada en la máquina A, si sabemos que es defectuosa.


pág. 80

5.9. El portero titular de un equipo de fútbol para 8 de cada 10 penaltis, mientras que el suplente solo para 5. el portero suplente juega, por término medio, 15 minutos en cada partido (90 minutos); calcule la probabilidad de que:

a. Se atajen los tres, si en un partido se lanzan tres penaltis contra este equipo. b. Estuviera jugando el portero titular si se lanza un penalti y no se lo ataja.

Eventos a priori


A Portero titular juega el partido 75/90 = 5/6

B Portero suplente juega el partido 15/90 = 1/6




C|A Penal detenido dado que tapa el portero titular 8/10 2/10

C|B Penal detenido dado que tapa el portero suplente 5/10 5/10

a. Probabilidad de atajar un penal:

[ ]

La probabilidad de atajar tres penales en un partido está dado por:

b. Probabilidad de que estuviera jugando el portero titular si se lanza un penalti y no se lo ataja:


pág. 81

5.10. El 75 % de los jóvenes que tienen celular inteligente ha recibido propaganda de un determinado videojuego y el 25 % restante no. El 30 % de los que recibieron la propaganda ha utilizado después dicho videojuego y también lo ha hecho el 5 % de los que no la recibieron. Calcular:

a. La probabilidad de que un joven con celular inteligente seleccionado al azar haya utilizado este vídeo juego.

b. La probabilidad de que un joven con celular inteligente seleccionado al azar no haya recibido propaganda dado que no haya utilizado el vídeo juego.

Eventos a priori


A Joven recibió en su celular la propaganda del vídeo juego 0.75

B Joven no recibió en su celular la propaganda del vídeo juego 0.25




C|A Joven utiliza el vídeo juego dado que recibió propaganda 0.30 0.70

C|B Joven utiliza el vídeo juego dado que no recibió propaganda 0.05 0.95

a. Probabilidad de que un joven con celular inteligente seleccionado al azar haya utilizado este

vídeo juego.

[ ]

b. La probabilidad de que un joven con celular inteligente seleccionado al azar no haya recibido

propaganda dado que no haya utilizado el vídeo juego.


pág. 82

5.11. Una urna contiene dos monedas de oro y tres de cobre. Otra urna contiene cuatro monedas de oro y tres de cobre; si se elige una urna al azar y se extrae una moneda al azar:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda extraída sea de oro? b. Dado que la moneda es de oro; ¿cuál es la probabilidad de que se la obtuvo de la primera

urna?

Eventos a priori


A Primera urna ha sido seleccionada 1/2

B Segunda urna ha sido seleccionada 1/2




C|A Moneda de oro dado que se extrajo de la urna A 2/5 3/5

C|B Moneda de oro dado que se extrajo de la urna B 4/7 3/7

a. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda extraída sea de oro?

[ ]

b. Dado que la moneda es de oro; ¿cuál es la probabilidad de que se la obtuvo de la primera

urna?


pág. 83

5.12. Una imprenta tiene en almacén 1000 libros de una edición E1, 1200 de la edición E2 y 800 de E3. Se sabe que el 3% de los libros E1, el 1.5 % de E2 y el 2% de E3 tienen defectos. Se elige un libro al azar:

a. Hallar la probabilidad de que tenga defectos. b. Sabiendo que el libro presenta defectos, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la edición E2?

Eventos a priori


A Libro edición E1 1000/3000 = 1/3

B Libro edición E2 1200/3000 = 2/5

C Libro edición E3 800/3000 = 4/15




D|A Defecto en un libro dado que es edición E1 0.030 0.970

D|B Defecto en un libro dado que es edición E2 0.015 0.985

D|C Defecto en un libro dado que es edición E3 0.020 0.980

a. la probabilidad de que un libro seleccionado tenga defectos.

[ ]

b. Sabiendo que el libro presenta defectos, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la edición E2?


pág. 84

5.13. ABC Auto Insurance clasifica a los conductores en buenos, de riesgo medio, o malos. Los conductores que solicitan un seguro caen dentro de estos tres grupos en porcentajes de 30, 50 y 20%, respectivamente. La probabilidad de que un buen conductor tenga un accidente es de 0.01; la probabilidad de un conductor de riesgo medio es de 0.03 y la probabilidad de que un mal conductor tenga un accidente es de 0.10. La compañía le vende al señor Brophy una póliza de seguro y él tiene un accidente. ¿Cuál es la probabilidad de que el señor Brophy sea:

a. ¿un buen conductor? b. ¿un conductor de riesgo medio? c. ¿un mal conductor?

Eventos a priori

Evento Descripción (Proveedor) Probabilidad

A Asegurado es clasificado como buen conductor 0.30

B Asegurado es clasificado como conductor de riesgo medio 0.50

C Asegurado es clasificado como mal conductor 0.20




D|A Asegurado tiene un accidente dado que es buen conductor 0.01 0.99

D|B Asegurado tiene un accidente dado que es un conductor medio 0.03 0.97

D|C Asegurado tiene un accidente dado que es mal conductor 0.10 0.90

a. Probabilidad de que señor Brophy sea un buen conductor dado que ha sufrido un accidente.

0

0


pág. 85

b. Probabilidad de que señor Brophy sea un conductor de medio riesgo dado que ha sufrido un accidente.

c. Probabilidad de que señor Brophy sea un mal conductor dado que ha sufrido un accidente.

5.14. En un aparato de radio hay pre sintonizadas tres emisoras A, B y C que emiten durante todo

el día. La emisora A siempre ofrece música, mientras que la B y la C lo hace la mitad del tiempo de emisión. Al encender la radio se sintoniza indistintamente cualquiera de las tres emisoras.

a. Obtener la probabilidad de que al encender la radio escuchemos música. b. Si al poner la radio no escuchamos música, cuál es la probabilidad de que esté

sintonizada en la emisora B.

Eventos a priori


A Emisora A sintonizada 1/3

B Emisora B sintonizada 1/3

C Emisora C sintonizada 1/3




D|A Música dado que emisora A ha sido sintonizada 1/2 1/2

D|B Música dado que emisora B ha sido sintonizada 1/2 1/2

D|C Música dado que emisora C ha sido sintonizada 1/2 1/2


pág. 86

a. Probabilidad de encender la radio y escuchar música

[ ]

b. Probabilidad de que la radio B esté sintonizada dado que no se escucha música.

5.15. En un invernadero se tienen plantas de cuatro variedades distintas (V1, V2, V3 y V4) en las proporciones de 50% 20% 20% y 10% respectivamente. Sabemos que una cierta enfermedad ataca al 5% de las plantas de variedad V1, el 10% a las de V2, al 8% de las V3 y el 15% a las V4. si cierta planta está afectada por la enfermedad, Cuál es la probabilidad de que sea de la variedad V1, V2 V3 o V4?

Eventos a priori


A Planta variedad V1 0.50

B Planta variedad V2 0.20

C Planta variedad V3 0.20

D Planta variedad V4 0.10


pág. 87




F|A Planta atacada por cierta enfermedad dada que es de tipo V1 0.05 0.95

F|B Planta atacada por cierta enfermedad dada que es de tipo V2 0.10 0.90

F|C Planta atacada por cierta enfermedad dada que es de tipo V3 0.08 0.92

F|D Planta atacada por cierta enfermedad dada que es de tipo V4 0.15 0.85

a. La probabilidad de que la planta seleccionada sea del grupo V1 dado que está atacada por cierta

enfermedad está dado por:

b. La probabilidad de que la planta seleccionada sea del grupo V2 dado que está atacada por cierta



pág. 88

c. La probabilidad de que la planta seleccionada sea del grupo V3 dado que está atacada por cierta enfermedad está dado por:

d. La probabilidad de que la planta seleccionada sea del grupo V4 dado que está atacada por cierta



pág. 89

5.5. PROBLEMAS PROPUESTOS 5.16. Se ha realizado una encuesta a un grupo de estudiantes de informática, entre sus conclusiones

está que un 40 % ha recibido algún curso de LINUX. Además, el 20% de aquellos que recibieron algún curso de LINUX tiene ordenador en su casa. Si un 10 % de estudiantes de informática tiene ordenador en casa y no han recibido ningún curso de LINUX, calcular:

a. La probabilidad de que un estudiante de informática tenga ordenador en casa y haya

recibido un curso de LINUX. b. La probabilidad de que un estudiante de informática tenga ordenador en casa. c. Si un estudiante de informática tiene ordenador en casa, la probabilidad de que haya

recibido un curso de LINUX. R: 0.80; 0.14; 0.57

5.17. Tenemos dos bolsas de caramelos, la primera contiene 15 caramelos de naranja y 10 de limón

y la segunda 20 de naranja y 25 de limón. Elegimos una de las bolsas al azar y extraemos un caramelo; calcular:

a. La probabilidad de que el caramelo sea de naranja. b. Si el caramelo elegido es de limón, ¿cuál es la probabilidad de que lo hayamos extraído de

la segunda bolsa? R: 47/90; 25/43

5.18. En un colegio secundario se sabe que el 45% de los estudiantes son varones, de estos el 25%

utiliza lentes y de las mujeres solo lleva lentes el 15%. Se selecciona un estudiante al azar:

a. Determine la probabilidad de que el estudiante seleccionado sea varón y no use lentes. b. Determine la probabilidad de que el estudiante seleccionado sea mujer dado que usa

lentes.

R: 0.3375; 0.4321

5.19. Dos máquinas A y B han producido respectivamente, 100 y 200 piezas. Se sabe que A produce un 5% de piezas defectuosas y B un 6%. Se toma una pieza y se pide:

a. Probabilidad de que sea defectuosa. b. Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que proceda de la primera máquina.

R: 0.058; 0.310

5.20. Un hombre toma un autobús o un subterráneo para ir a su trabajo, con probabilidades de 0,3 y

0,7 respectivamente. 30% de las veces que toma el autobús llega tarde a su trabajo, mientras que 20% de las veces que toma el subterráneo llega tarde a su trabajo. Si el hombre llega tarde a su trabajo un día particular, cuál es la probabilidad de que haya tomado el autobús.

R: 0.39


pág. 90

5.21. 70% de todo el ganado es inyectado con una vacuna para combatir una enfermedad grave. La probabilidad de recuperarse de la enfermedad es 1/20 si no ha habido tratamiento y 1/5 si hubo tratamiento.

a. Si una res enferma se recupera, ¿cuál es la probabilidad de que haya recibido la vacuna

preventiva? b. Si una res enferma no se recupera, ¿cuál es la probabilidad de que no haya recibido la

vacuna preventiva? R: 28/31; 57/169

5.22. El 60 % de los alumnos de bachillerato de un Instituto son chicas y el 40 % chicos. La mitad de

los chicos lee asiduamente la revista COMIC, mientras que sólo el 30 % de las chicas la lee.

a. Obtener a la probabilidad de que un alumno elegido al azar lea esta revista. b. Si un alumno elegido al azar nos dice que no lee la revista, obtener la probabilidad de que

sea chica. R: 0.42; 0.21

5.23. En una población hay el doble de mujeres que de hombres. El 25% de las mujeres son rubias y

el 10 % de los hombres también son rubios. Calcular:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea hombre y no sea rubio? b. Si se elige al azar una persona y resulta ser rubia, ¿cuál es la probabilidad de que sea

mujer?

R: 3/10; 5/6

5.24. Hay cuatro candidatos para el cargo de director ejecutivo de Dalton Enterprises. Tres de los solicitantes tiene más de 60 años de edad. Dos son mujeres, de las cuales sólo una rebasa los 60 años. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato tenga más de 60 años y sea mujer? b. Si el candidato es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 60 años? c. Si el individuo tiene más de 60 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

R: 0.25; 0; 0.33

5.25. En una ciudad se sabe que el 55% de las personas son mujeres y el 40% son mujeres y mayores

de edad. Asimismo, el 35% de las personas de esa ciudad son hombres mayores de edad. Se elige al azar una persona y resulta ser mayor de edad, ¿cuál es la probabilidad de que esta persona sea, además, mujer?

R: 0.582

5.26. En un supermercado, el 70% de las compras las realizan mujeres; de las compras realizadas por éstas, el 80 % supera los $ 20, mientras que de las compras realizadas por hombres sólo el 30% supera esa cantidad. a. Elabore el árbol de probabilidad. b. Elegido un ticket de compra al azar, ¿cuál es la probabilidad de que supere los $20? c. Si se sabe que un ticket de compra no supera los $ 20, ¿cuál es la probabilidad de que la

compra haya sido hecha por una mujer? R: 0.65; 0.40


pág. 91

5.27. En una oficina el 70% de los empleados son quiteños. Entre los quiteños hay un 50% de hombres, mientras que de los no quiteños son hombres el 20%.

a. ¿Qué porcentaje de empleados no quiteños son mujeres? b. Calcule la probabilidad de que un empleado de la oficina sea mujer. c. Fernando trabaja en dicha oficina, ¿cuál es la probabilidad de que sea quiteño?

R: 0.24; 0.49; 0.85

5.28. Flashner Marketing Research, Inc., se especializa en la evaluación de las posibles tiendas de

ropa para dama en centros comerciales. Al Flashner, el presidente, informa que evalúa las posibles tiendas como buenas, regulares y malas. Los registros de anteriores evaluaciones muestran que 60% de las veces las tiendas fueron evaluadas como buenas; 30% de las veces regulares y 10% de las ocasiones, malas. De las tiendas que fueron calificadas como buenas, 80% hicieron mejoras el primer año; las que fueron calificadas como regulares, 60% hicieron mejoras el primer año y de los que fueron mal evaluadas, 20% hicieron mejoras el primer año. Connie’s Apparel fue uno de los clientes de Flashner. Connie’s Apparel hizo mejoras el año pasado. ¿Cuál es la probabilidad de que se le haya dado originalmente una mala calificación?

R: 0.03

5.29. El departamento de crédito de un gran almacén, informó que 30% de las ventas se paga con

efectivo; 30% con tarjeta de crédito, y 40% con dinero electrónico; además el 20% de las compras con efectivo, 90% de las compras con tarjeta de crédito y el 60% de las compras con dinero electrónico son por más de $50. Una señora acaba de comprar un vestido nuevo que le costó $120. ¿Cuál es la probabilidad de que haya pagado en efectivo?

R: 0.1053

5.30. Horwege Electronics, Inc., compra partes (repuestos) de televisión a cuatro proveedores.

Tyson Wholesale proporciona 20% de las partes; Fuji Importers 30%, Kirkpatricks 25%, y Parts, Inc., 25%. Tyson Wholesale normalmente tiene la mejor calidad, ya que sólo 3% de sus repuestos llegan defectuosos. 4% de los repuestos de Fuji Importers están defectuosos; 7% de los tubos de Kirkpatricks y 8% de los repuestos de Parts, Inc., tienen defectos.

a. Al tomar un repuesto al azar ¿cuál es el la probabilidad de que sea defectuoso? b. Al tomar un repuesto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso? c. Un tubo de televisión defectuoso fue descubierto en el último envío. ¿Cuál es la

probabilidad de que proviniera de Tyson Wholesale?

R: 0.0555; 0.9445; 0.1081


pág. 92

6. ANÁLISIS COMBINATORIO Y APLICACIONES EN EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES 6.1. INTRODUCCIÓN Una de las dificultades en el estudio de la Matemática Finita es la cuantificación de eventos, estos eventos pueden ser:

El número de arreglos u ordenaciones que se pueden hacer con los elementos de un conjunto.

El número de subconjuntos que se pueden obtener de un conjunto.

Para determinar el número de estos eventos, sean arreglos u ordenaciones de los elementos de un conjunto o el número de eventos que suceden en un experimento de carácter aleatorio, se han establecido una serie de métodos de conteo denominado Análisis Combinatorio. 6.2. LA NOTACIÓN FACTORIAL Sea n un número de elementos, como n factorial se define a:

Donde ; es decir Como ejemplos podemos decir: 6.3. PROPIEDADES DEL FACTORIAL

6.4. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL ANÁLISIS COMBINATORIO Si un evento puede realizarse de maneras y otro evento puede realizarse de maneras, entonces los dos eventos en forma simultánea se pueden realizar de maneras. 6.5. VARIACIONES Se tiene un conjunto de elementos con los cuales se quiere hacer Arreglos u Ordenaciones de elementos, al número de Arreglos u Ordenaciones de tamaño r elementos que se pueden hacer con los elementos de este conjunto se denomina una variación de elementos tomados de en . Ejemplo: Sean los elementos A, B y C; con estos tres elementos se pueden hacer los siguientes arreglos y ordenaciones de dos elementos:

AB, AC, BA, BC, CA, CB


pág. 93

Es decir 6 arreglos o 6 ordenaciones, entonces la Variación de los 3 elementos en grupos de 2 es igual a 6. Matemáticamente, la Variación de los elementos en grupos de elementos está dada por:

Aplicando esta expresión al ejemplo anterior se tiene:

6.6. PERMUTACIONES Si se trata establecer el número de Arreglos u Ordenaciones que se pueden hacer con todos los elementos de un conjunto, es decir, arreglos de elementos con los elementos de un conjunto, entonces se tiene una permutación; aplicando la expresión para las variaciones se tiene:

Lo que permite afirmar que una Permutación es un caso particular de las variaciones, entonces:

!nnP 6.7. PERMUTACIONES REPETIDAS Si entre los elementos de un conjunto, existen elementos que se repiten, entonces el número de arreglos u ordenaciones que se puede hacer con los elementos es una permutación con elementos repetidos, entonces:

Donde n es el número de elementos del conjunto y , … el número de elementos que se repiten. 6.8. PERMUTACIONES CIRCULARES Cuando se trata de calcular el número de arreglos u ordenaciones de los elementos de un conjunto en forma circular, ejemplo ubicar a n personas alrededor de una mesa circular, el número de permutaciones está dado por:

6.9. COMBINACIONES El número de subconjuntos de tamaño elementos que se pueden formar con los elementos de un conjunto se denomina una combinación de los elementos de un grupo de elementos.


pág. 94

Tomando como ejemplo el conjunto:

{ } Se trata de establecer cuantos subconjuntos de dos elementos se pueden formar con los tres elementos del conjunto :

{ } { } { } Se pueden formar 3 subconjuntos de 2 elementos; entonces el número de combinaciones de los tres elementos en grupos de dos es igual a 3. El número de combinaciones de los elementos tomados de en es el número de variaciones de los elementos tomados de en dividida para el número de permutaciones de los elementos, es decir:

Desarrollando la última expresión, se tiene:

Aplicando esta expresión al ejemplo anterior, se tiene:

Una propiedad muy importante en el cálculo del número de combinaciones es:

Lo que quiere decir que el número de combinaciones de elementos tomados de en es igual al número de combinaciones de los elementos tomados en grupos de elementos.


pág. 95

6.10. PROBLEMAS RESUELTOS EL FACTORIAL DE y MANEJO DE LAS EXPRESIONES DE CÁLCULO 6.1. Simplifique la siguiente expresión:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

6.2. Resuelva:

;


pág. 96

6.3. Demuestre que:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

6.4. Hallar en la ecuación:

Resolviendo la ecuación se obtiene ,


pág. 97

6.5. Encontrar el valor de en la siguiente ecuación:

;

6.6. Encuentre el valor de tal que:


pág. 98

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL ANÁLISIS COMBINATORIO 6.7. Un menú del restaurante El Típico ofrece una selección de 2 bebidas, 3 ensaladas, 5 entradas y 3

postres. De cuántas maneras puede una persona elegir la comida a base de cada una de las cosas del menú.

Evento Descripción Número de maneras

A Bebida seleccionada 2

B Ensalada seleccionada 3

C Entrada seleccionada 5

D Postre seleccionado 3

maneras

6.8. Una empresa concesionaria de vehículos, ofrece cinco modelos, seis colores y siete opciones

diferentes de servicio. ¿Cuántos vehículos diferentes puede ofrecer dicha empresa a sus clientes?


A Modelo del vehículo 5

B Color del vehículo 6

C Opciones de servicio 7

maneras

6.9. Un experimento consta de tres pasos; para el primer paso hay tres resultados posibles, para el

segundo hay dos resultados posibles y para el tercer paso hay cuatro resultados posibles. ¿Cuántos resultados distintos hay para el experimento completo?

Evento Número de maneras posibles

Paso A 3

Paso B 2

Paso C 4

maneras

6.10. Kelly & Katz, empresa de telefonía celular, vende teléfonos móviles ofreciendo 5 estilos, 4 colores y 7 opciones de servicio. ¿Cuántos teléfonos diferentes puede ofrecer la compañía a sus clientes?

Evento Número de maneras posibles

A: estilos 5

B: colores 4

C: servicios 7

maneras


pág. 99

6.11. Carros.com, un patio virtual de compra venta de vehículos, ofrece a sus clientes automóviles 8 opciones de color, 4 paquetes de interior, y 3 diseños diferentes de techo corredizo. ¿Entre cuántos automóviles pueden escoger los clientes del patio virtual?

Opciones Número de maneras posibles

A: color 8

B: paquetes de interior 4

C: Techo corredizo 3

maneras

6.12. En una ciudad las solicitudes de cambio de uso de suelo pasan por un proceso de dos pasos:

una revisión por la comisión de planeación y la decisión final tomada por el consejo de la ciudad. En el paso 1 la comisión de planeación revisa la solicitud de cambio de uso de suelo y hace una recomendación positiva o negativa respecto al cambio. En el paso 2 el consejo de la ciudad revisa la recomendación hecha por la comisión de planeación y vota para aprobar o desaprobar el cambio de suelo. Suponga que una empresa dedicada a la construcción de complejos departamentales presenta una solicitud de cambio de uso de suelo. Considere el proceso de la solicitud como un experimento. ¿Cuántos puntos muestrales tiene este experimento?

Evento Descripción Número de opciones

A: Revisión de la solicitud por la Comisión

Recomendación positiva 2

Recomendación negativa

B: Revisión de la recomendación por parte del Consejo

Aprobación de la solicitud 2

Reprobación de la solicitud

maneras

6.13. Un turista debe trasladarse de una ciudad a otra, Para hacerlo puede optar por viajar en

avión, autobús o tren, y en cada uno de estos medios puede elegir viajar en primera o en clase turista. ¿De cuántas maneras puede realizar el viaje?

Evento Descripción Número de opciones

A: Tipo de transporte

Avión

3 Autobús

Tren

B: Clase de transporte Primera clase

2 Turista

maneras

6.14. La contraseña de una computadora consta de cuatro caracteres. Los caracteres pueden ser

una de las 26 letras del alfabeto. Cada carácter se puede incluir más de una vez. ¿Cuántas diferentes contraseñas puede haber?

EVENTO DESCRIPCIÓN NÚMERO DE MANERAS

A Primer caracter de la contraseña 26

B Segundo caracter de la contraseña 26

C Tercer caracter de la contraseña 26

D Cuarto caracter de la contraseña 26

maneras


pág. 100

VARIACIONES Y PERMUTACIONES 6.15. ¿Cuántos arreglos u ordenaciones de tres elementos se pueden realizar con un grupo de seis

objetos?:

Solución.- El número de arreglos u ordenaciones que se pueden hacer con elementos de un conjunto en grupos de elementos en una de elementos en grupos de elementos, es decir:

6.16. De los 15 miembros de la junta directiva de una gran empresa, ¿cuántos comités de 5

miembros pueden seleccionarse si el orden no importa?

Solución.- Si el orden no importa se trata de una Variación, entonces el número de arreglos u ordenaciones que se pueden hacer con elementos de un conjunto en grupos de elementos está dado por:

6.17. En una ciudad, las placas de los autos constan de 3 letras seguidas de 3 números. ¿Cuántas

placas distintas pueden hacerse?


A Ordenar 26 letras en grupos de 3 letras

B Ordenar 10 números en grupos de 3 números

6.18. ¿De cuántas maneras se pueden elegir un presidente, un secretario y un tesorero en un club

formado por 12 personas?

Solución.- El número de arreglos u ordenaciones que se pueden hacer con elementos (12 personas) de un conjunto en grupos de elementos (3 funciones: presidente, secretario, tesorero) es una de elementos en grupos de elementos, es decir:

Alternativa PFAC:


pág. 101


A Elección del presidente 12

B Elección del secretario 11

C Elección del tesorero 10

maneras

6.19. De cuantas maneras se pueden sentar 6 personas en un banco.

Solución.- Ubicar a las seis personas en un asiento es un arreglo o una ordenación de las 6 personas en grupos de 6; entonces el número de arreglos u ordenaciones que se pueden hacer con elementos de un conjunto en grupos de elementos está dado por:


A Asiento para la primera persona 6

B Asiento para la segunda persona 5

C Asiento para la tercera persona 4

D Asiento para la cuarta persona 3

E Asiento para la quinta persona 2

F Asiento para la sexta persona 1

maneras

6.20. Hallar el número de señales distintas que se pueden hacer con cuatro banderas de colores

desplegando dos banderas una encima de la otra.

Solución.- El número de señales distintas hacer con elementos (4 banderas de colores) de un conjunto en grupos de elementos (2 lugares: arriba, abajo) es una de elementos en grupos de elementos, es decir:


A Realiza la primera señal 4

B Realiza la segunda señal 3

maneras

6.21. Hallar cuántos números pares de dos cifras distintas se pueden formar con los dígitos 3, 4, 5,

6, 8.


A Primera cifra (cualquiera de los cinco números) 5

B Segunda cifra (debe ser un número par) 3

maneras

Pero se debe retirar de este grupo los números: 44, 66 y 88 ya que deben ser pares de cifras distintas, entonces son 15 - 3 = 12 maneras de formar números pares de dos cifras distintas.


pág. 102

6.22. Hallar cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5.


A Primera cifra (cualquiera de los cinco números) 5

B Segunda cifra (cualquiera de los cuatro números)

4

C Tercera cifra (cualquiera de los tres números) 3

números

Alternativa.- Formar números de tres cifras distintas con los dígitos 1,2, 3, 4, 5 es una variación de 5 elementos tomados de 3 en tres, es decir:

60!2

!2345

!2

!5

!35

!53,5

V

6.23. Hallar cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, … , 9


A Primera cifra (cualquiera de los nueve números) 9

B Segunda cifra (cualquiera de los ocho números) 8

C Tercera cifra (cualquiera de los siete números) 7

números

Alternativa.- Formar números de tres cifras distintas con los dígitos 1,2, … ,9 es una variación de 9 elementos tomados de 3 en tres, es decir:

504!6

789

!6

!9

!39

!93,9

V

6.24. De cuántas maneras se pueden distribuir 18 números en una rueda de ruleta.

Se trata de hacer arreglos u ordenaciones circulares con 18 objetos interviniendo todos a la vez entonces:

6.25. En un estante se deben colocar 11 libros: 2 rojos, 4 cafés y 5 azules. ¿De cuántas maneras se

pueden colocar los libros, si los libros del mismo color siempre deben estar juntos?


A Ordenar los 2 libros de color rojo

B Ordenar los 4 libros de color café C Ordenar los 5 libros de color azul

D Ordenar los 3 grupos (A, B, C) maneras


pág. 103

COMBINACIONES 6.26. ¿De cuántas maneras es posible seleccionar tres objetos de un conjunto de seis objetos? Use

las letras A, B, C, D, E y F para identificar a los objetos y enumere todas las combinaciones diferentes de tres objetos.

En general, seleccionar objetos de un conunto de objetos es una combinación de los elementos en grupos de elementos, es decir:

Sean los objetos: A, B, C, D, E, F Con los 6 objetos descritos se pueden formar los siguientes grupos de 3 elementos:

ABC ABD ABE ABF ACD ACE ACF ADE ADF AEF

BCD BCE BCF BD BDF BEF CDE CDF CEF DEF

6.27. Diez ingenieros han solicitado un puesto administrativo en una gran empresa. Se

seleccionará a cuatro de ellos como finalistas para el puesto. ¿De cuántas maneras se puede hacer esta selección?

Se debe encontrar el número de grupos de 4 ingenieros que se pueden seleccionar de un total de 10 ingenieros, entonces se tiene una combinación es decir:

6.28. Un comité de ocho personas debe elegir un presidente, un vicepresidente y un secretario.

¿De cuántas maneras se puede hacer esta selección?

Se trata de formar grupos de 3 personas de un total de 8 personas, entonces es el número de grupos resultantes es una combinación , es decir:

6.29. ¿De cuantas formas se pueden establecer mesas directivas de 5 alumnos de un grupo de 20

alumnos?

Solución.- Se debe encontrar el número de mesas directivas de 5 alumnos se pueden seleccionar de un total de 20 alumnos, entonces se tiene una combinación ) es decir:


pág. 104

6.30. Una señora tiene tres frutas: mora naranja y piña. ¿Cuántos sabores diferentes de jugo podrá preparar con esas frutas?


A Jugos de frutas con un sabor B Jugos de fruta con dos sabores

C Jugos de fruta con tres sabores

Número de sabores: 3 + 3 +1 = 7

6.31. Una compañía ha contratado a 15 nuevos empleados y debe asignar seis al turno matutino,

cinco al vespertino y cuatro al nocturno. ¿De cuántas maneras se puede hacer la asignación?


A Conformar un grupo de 6 empleados de los 15 existentes B Conformar un grupo de 5 empleados de los 9 restantes

C Conformar un grupo de 4 personas de las 4 restantes asignaciones

6.32. ¿En cuántas formas diferentes pueden ser alojados 9 estudiantes en tres cuartos triples?

Solución.- Se debe encontrar el número de selecciones o grupos que se pueden hacer con los 9 estudiantes en grupos de 3 (tres cuartos triples), entonces se tiene una combinación ) es decir:

6.33. De cuántas maneras puede dividirse un grupo de 10 personas en: a) dos grupos de 7 y 3

personas y b) tres grupos de 5, 3, y 2 personas.

a. Dos grupos de 7 y 3 personas


A Conformar un grupo de 7 personas de las 10 existentes B Conformar un grupo de 3 personas de las 3 restantes

maneras

b. Tres grupos de 5, 3 y 2 personas


A Conformar un grupo de 5 personas de las 10 existentes B Conformar un grupo de 3 personas de las 5 restantes

C Conformar un grupo de 2 personas de las 2 restantes maneras

6.34. A partir de 5 profesionales de la estadística y 6 economistas, se va a formar un grupo que

conste de 3 profesionales de la estadística y 2 economistas. Encontrar el número de comités diferentes que pueden formarse si:


pág. 105

a. No hay restricción alguna. b. Hay 2 profesionales de la estadística que deben estar en el comité. c. Hay un economista que no puede formar parte del comité.

Solución:

a. Si no hay ninguna restricción, el número de comités que se pueden formar está dado por:


A Seleccionar 3 profesionales de estadística de los 5 existentes

B Seleccionar 2 economistas de los 6 economistas existentes

maneras

b. Si en el grupo hay 2 profesionales de la estadística que deben estar en el comité,

entonces el número de comités que se pueden formar está dado por:


A Al tener 5 profesionales de estadística y 2 de ellos deben formar parte del comité, entonces se debe seleccionar 1 profesional de estadística de los 3 sobrantes; puesto que 2 de los 5 profesionales ya están elegidos

B Seleccionar 2 economistas de los 6 economistas existentes maneras

c. Si hay un economista que no puede formar parte del comité entonces el número de

comités que se pueden formar está dado por:


A Seleccionar 3 profesionales de estadística de los 5 existentes.

B Al tener 6 economistas y 1 de ellos no deben formar parte del comité, entonces se debe seleccionar los 2 economistas de los 5 sobrantes

maneras

6.35. De 8 hombres y 7 mujeres, cuántos comités de 10 miembros se pueden formar si cada uno

de ellos debe contener cuando menos 5 mujeres.

a. 5 mujeres y 5 hombres, o b. 6 mujeres y 4 hombres, o c. 7 mujeres y 3 hombres.

a. Evento A: Seleccionar 5 mujeres de las 7 existentes y 5 hombres de los 8 existentes.


A1 Seleccionar 5 mujeres de las 7 existentes A2 Seleccionar 5 hombres de los 8 existentes

grupos


pág. 106

b. Evento B: Seleccionar 6 mujeres de las 7 existentes y 4 hombres de los 8 existentes.


B1 Seleccionar 6 mujeres de las 7 existentes

B2 Seleccionar 4 hombres de los 8 existentes

grupos

c. Evento C: Seleccionar 7 mujeres de las 7 existentes y 3 hombres de los 8 existentes.


C1 Seleccionar 7 mujeres de las 7 existentes

C2 Seleccionar 3 hombres de los 8 existentes grupos

El número de grupos de 10 personas, cada uno de ellos contiene al menos 5 mujeres, está dado por: Grupos.

APLICACIONES EN EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES 6.36. Una caja con 24 latas contiene 1 lata contaminada. Se van a elegir al azar 3 latas para

probarlas.

a. ¿Cuántas diferentes combinaciones de 3 latas podrían seleccionarse? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la lata contaminada se seleccione para la prueba?

a. El número de grupos de 3 unidades (latas) que se pueden seleccionar la de las 24

existentes está dado por:

b. Sea el evento A: Una lata contaminada en el grupo de las tres latas seleccionadas.

La probabilidad de ocurrencia del evento A está dado por:

6.37. De los 12 empleados de Worldwide Travel Services, 7 han tenido capacitación especial. Si 5

empleados van a ser enviados a Europa, ¿cuál es la probabilidad de que 3 estén dentro de los que han tenido entrenamiento especial?

6.38. El presidente debe seleccionar 5 miembros de una lista de 12 senadores, de los cuales 7 lo

apoyan y 5 le hacen oposición. Si él selecciona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la mayoría del comité apoye al presidente?


pág. 107

Eventos Descripción

A Elegir 5 miembros: 3 apoyan y 2 son oposición

B Elegir 5 miembros: 4 apoyan y 1 es oposición

C Elegir 5 miembros: 5 apoyan y 0 oposición

6.39. La junta directiva de una empresa consta de 12 miembros, 3 de los cuales son mujeres. Para

redactar un nuevo manual relacionado con la política y procedimientos de la empresa, se elige al azar un comité de 3 miembros de la junta directiva para llevar a cabo la redacción.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los miembros del comité sean hombres?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos un miembro del comité sea mujer?

6.40. Para participar en un juego de lotería se debe comprar un billete y seleccionar cinco números

del 1 al 55 y un número del 1 al 42. Para determinar al ganador se sacan 5 bolas blancas entre 55 bolas blancas y una bola roja entre 42 bolas rojas. Quien atine a los cinco números de bolas blancas y al número de la bola roja es el ganador. En cada juego hay también otros premios. Por ejemplo, quien atina a los cinco números de las bolas blancas se lleva un premio de $200 000.

a. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar los primeros cinco números? b. ¿Cuál es la probabilidad de ganar los $200 000 atinándole a los cinco números de bolas

blancas? c. ¿Cuál es la probabilidad de atinarle a todos los números y ganar el premio mayor?


pág. 108

a. Se pueden seleccionar 5 números de un conjunto de 55 números de la siguiente manera:

b. Sea A el evento: “cinco números de bolas blancas acertados”; entonces, la probabilidad

de ganar los $ 200,000 atinándole a los cinco números de bolas blancas está dado por:

B: “cinco números de bolas blancas acertados” C: “un número de bola roja acertado”;

Entonces, la probabilidad de atinarle a todos los números y ganar el premio mayor (cinco bolas blancas y una roja) está dado por:

6.41. Para el juego diario de la lotería, los participantes seleccionan tres números entre 0 y 9. No

pueden seleccionar un número más de una vez, así que un billete ganador podría ser, por ejemplo, 307, pero no 337. La compra de un billete le permite seleccionar un conjunto de números. Los números ganadores se anuncian en televisión todas las noches.

a. ¿Cuántos diferentes resultados (números de tres dígitos) es posible formar?


A Seleccionar el primer número 10

B Seleccionar el segundo numero 9

C Seleccionar el tercer número 8

números

b. Si compra un billete para el juego de la noche, ¿cuál es la probabilidad de que gane?

Sea el evento A: ganar el juego diario de lotería

6.42. En una caja hay 11 discos CDs, de los cuales 5 están en buen estado. Una persona toma al

azar 4 discos, hallar la probabilidad de que por lo menos uno esté en buen estado.

Sean los eventos: A: 1 disco en buen estado de los 5 existentes y 3 discos en mal estado de los 6 existentes. B: 2 discos en buen estado de los 5 existentes y 2 discos en mal estado de los 6 existentes. C: 3 discos en buen estado de los 5 existentes y 1 disco en mal estado de los 6 existentes. D: 4 discos en buen estado de los 5 existentes.


pág. 109

La probabilidad de que al menos 1 de los 4 discos elegidos al azar esté en buen estado está dado por:

Alternativa: Sea el evento F: Ninguno de los cuatro CDs, de los 5 existentes, se encuentran en buen estado, entonces la probabilidad de ocurrencia de F está dado por:

La probabilidad de que al menos uno de los 4 CDs, seleccionados, de los 5 existentes, de los CDs en buen estado está dado por:

6.43. Un cajón en un tocador contiene ocho calcetines azules y seis blancos. Un segundo cajón

contiene cuatro calcetines azules y dos calcetines blancos. Se elige un par de calcetines de cada cajón. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color?

Sean los eventos: A: elegir un par de calcetines de color azul del primer cajón y elegir un par de calcetines de color azul del segundo cajón. B: elegir un par de calcetines de color azul del segundo cajón y elegir un par de calcetines de color azul del primer cajón. C: elegir un par de calcetines de color blanco del primer cajón y elegir un par de calcetines de color blanco del segundo cajón. D: elegir un par de calcetines de color blanco del segundo cajón y elegir un par de calcetines de color blanco del primer cajón. La probabilidad de elegir un par de calcetines del mismo color está dado por:


pág. 110

6.44. De una baraja de 52 cartas se extraen dos de ellas a la vez. Calcule la probabilidad de que:

a. Las dos sean ases. b. Una sea as y otra un dos de trébol. c. Al menos una sea de diamantes.

a. Sea el evento A: “Seleccionar dos cartas que seas ases”, entonces la probabilidad de

ocurrencia de A está dado por:

b. Sea el evento B: “Seleccionar un As y un dos de trébol”, entonces la probabilidad de

ocurrencia de B está dado por:

c. Sea el evento C: “Seleccionar dos cartas a la vez, ninguna de diamantes”, entonces a

probabilidad de ocurrencia de C está dado por:

La probabilidad de que: “Al menos una sea de diamantes”; está dado por:


pág. 111

6.45. De las 42 librerías que hay en la capital, solo 8 están especializadas en alguna disciplina. Determine la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 6 librerías,

a. Todas estén especializadas

Sea el evento A: 6 librerías especializadas de las 8 existentes, la probabilidad de ocurrencia de A está dado por:

b. Solo la mitad estén especializadas

Sea el evento B: 3 librerías especializadas de las 8 existentes y 3 librerías no especializadas de 34 existentes, la probabilidad de ocurrencia de B está dado por:

c. Haya alguna especializada

Sea el evento C: 0 librerías especializadas de las 8 existentes y 6 librerías no especializadas de las 34 existentes, la probabilidad de ocurrencia de C está dado por:

La probabilidad que haya alguna librería especializada está dado por:


pág. 112

6.11. PROBLEMAS PROPUESTOS 6.46. Hallar el valor de:

(

)

R: 100/121

6.47. Calcule el valor de si:

R: 14 6.48. Hallar en la ecuación:

R: 4 6.49. Hallar en la ecuación:

R: 7 6.50. Dada la expresión, encuentre el valor de que satisfaga la ecuación:

R: 8 6.51. Dada la expresión:

Además, se sabe que ; hallar el valor de

R: 10

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL ANALISIS COMBINATORIO 6.52. Un joven tiene 2 pares de zapatos, 5 pantalones, 3 camisas y 2 chaquetas. De cuántas

maneras diferentes se puede vestir el joven si cada vez debe vestirse con zapatos, camisa, pantalón y chaqueta.

R: 60

6.53. Un matrimonio decide comprar una radio y una cocina. Si en el lugar donde haría la compra hay 4 tipos de radio y 2 clases de cocina, De cuántas maneras distintas pueden realizar la compra de ambos objetos a la vez.

R: 8

6.54. Una compañía de construcciones ofrece cinco diseños de exterior a los posibles

compradores. La constructora ha uniformado tres planos de interior que pueden incorporarse a cualquiera de los cinco modelos de exteriores. ¿Cuántos planos de exterior e interior se pueden ofrecer a los posibles compradores?

R: 15


pág. 113

6.55. Se va a conformar un comité de 3 miembros compuesto por un representante de los trabajadores, uno de la administración, y uno del gobierno. Si hay 3 candidatos de los trabajadores, 2 de la administración y 4 del gobierno. Determinar cuántos comités diferentes se pueden conformarse.

R: 24

6.56. Como ingeniero constructor de Base Electronics, usted debe determinar ¿cuántos reproductores de CD puede ensamblar de tal forma que tengan un sistema de parlantes, un tocadiscos y un mecanismo de sintonización si usted puede escoger entre 3 sistemas distintos de parlantes, 4 de tocadiscos y 2 de sintonización?

R: 24

6.57. Un ingeniero químico está diseñando un experimento para determinar el efecto de temperatura, la razón de activación y el tipo de catalizador en la producción de reacción dada. Quiere estudiar cinco temperaturas diferentes de reacción, dos razones de activación distintas y cuatro catalizadores diferentes. Si cada operación del experimento implica la elección de una temperatura, una razón de activación y un catalizador, ¿cuántas operaciones diferentes son posibles?

R: 40

6.58. Sus dos compañeros de cuarto están enfermos y a usted lo envían a un centro estudiantil para llevar comida a cada uno de ellos. Si usted debe escoger entre cinco selecciones de menú, en cuántas formas puede alimentar a sus compañeros considerando:

a. El menú debe ser diferente para cada uno de los enfermos. b. El menú puede ser el mismo.

R: 20; 25

6.59. Una prueba consta de 15 preguntas. Diez son preguntas verdadero- falso y cinco son de elección múltiple que tienen cuatro opciones cada una. Un estudiante debe seleccionar una respuesta para cada pregunta. ¿De cuántas maneras se puede hacer esta prueba?

R: 1’048.576

6.60. Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 0, 1,. . . ,9?

a. Permitiendo repeticiones. b. Sin repeticiones. c. Si el último dígito ha de ser 0 y no se permiten repeticiones.

R: 9000; 4536; 504 6.61. Seis matrimonios posan en fila para una fotografía, ¿de cuántas maneras pueden colocarse si

los miembros de cada pareja deben aparecer juntos? R: 1440

6.62. La puerta de un centro de cómputo tiene una contraseña que consta de 5 botones

numerados del 1 al 5. La clave que abre la puerta es una secuencia de 5 números.

a. ¿Cuantas claves de acceso son factibles si cada número debe ser utilizado una sola vez? b. ¿Cuántas clases son posibles si no hay restricciones en las veces que se utilice el mismo

número? R: 120; 3125


pág. 114

6.63. De los 10 ejecutivos, 3 van a ser seleccionados para que sirvan como presidente, vicepresidente y tesorero. ¿Cuántas selecciones distintas son posibles?

R: 720

6.64. Existen tres rutas diferentes que conectan a la ciudad A con la ciudad B

a. En cuántas maneras diferentes puede hacerse un viaje de ida y vuelta desde la ciudad A a la B y viceversa; detalle los eventos.

b. Cuántas formas si se desea tomar una carretera diferente de regreso; describa los

eventos: R: 6; 3

6.65. Hallar cuántos números de tres cifras, iguales o distintas se pueden formar con los dígitos 3,

4, 5, 6, 7. R: 125

6.66. En torno a una mesa se han sentado 6 personas para jugar póquer, De cuántas maneras

diferentes se pueden sentar alrededor de la mesa.

R: 120

6.67. En una pared están clavadas 4 perchas. ¿De cuántas maneras distintas se pueden colgar de ellas 3 chaquetas, una en cada percha?

R: 24

6.68. Hallar cuántos números de dos cifras distintas se pueden formar con los dígitos 0, 3, 5, 7.

R: 9

6.69. Halle el número de maneras en que 8 personas pueden conducir un coche de madera si uno debe manejar y otro va de pasajero.

R: 56

6.70. Una compañía desea ascender a 3 de sus 10 gerentes a posiciones de vicepresidente de ventas, de manufactura y de finanzas. Halle el número de formas distintas de efectuar los ascensos.

R: 720

COMBINACIONES 6.71. El club botánico tiene 25 miembros. Van a elegir presidente, vicepresidente, secretario y

tesorero. ¿Cuántos grupos diferentes de cargos se pueden formar? R: 12650

6.72. El muestreo aleatorio simple usa una muestra de tamaño tomada de una población de

tamaño para obtener datos para hacer inferencias acerca de las características de la población. Suponga que de una población de 50 cuentas bancarias, desea tomar una muestra de cuatro cuentas con objeto de tener información acerca de la población. ¿Cuantas muestras diferentes de cuatro cuentas pueden obtener?

R: 230.300


pág. 115

6.73. Un entrenador cuenta con 7 defensas, 4 centrales y 4 delanteros para componer su equipo de fútbol. El entrenador duda entre utilizar la táctica 4-3-3 o 5-3-2, en referencia al número de defensas, centro campistas y delanteros a utilizar. ¿Cuántos equipos diferentes podría formar dependiendo de la táctica a utilizar?

R: 560; 168

6.74. Un estudiante debe contestar 5 de 7 preguntas de un examen. ¿De cuántas maneras

diferentes puede escoger las preguntas?

a. Sin ninguna restricción b. Si las dos primeras son obligatorias c. Si debe contestar 3 de las 4 primeras.

R: 21; 10; 12

6.75. Se desea formar un comité de 7 científicos, seleccionando 4 biólogos, y 3 matemáticos de un grupo de 8 biólogos y 6 matemáticos. ¿De cuántas maneras podrá seleccionarse?

R: 1400

6.76. Se va a seleccionar una muestra de 3 productos en un lote de 15 productos, ¿cuántas formas diferentes de hacerlo existen si:

a. Importa el orden b. No importa el orden.

R: 455; 2730

6.77. ¿Cuántos comités de 3 hombres y 4 mujeres pueden formarse a partir de un grupo de 8 hombres y 6 mujeres?

R: 840

6.78. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse 2 hombres, 4 mujeres, 3 niños y 3 niñas de un

grupo de 6 hombres, 8 mujeres, 4 niños y 5 niñas si: a. No hay ninguna restricción b. Hay un hombre y una mujer que tienen que seleccionarse

R: 42.000; 7.000

6.79. Camilo’s Burger ofrece sus hamburguesas con una selección de 5 condimentos diferentes: mostaza, pepinillos, salsa de tomate, cebolla y tomate. ¿Cuántas hamburguesas diferentes pueden comprar?

R: 26 6.80. Un hotel dispone de diez habitaciones dobles y seis habitaciones triples. Cierto día recibe a

tres matrimonios sin hijos que ocuparán cuartos dobles y a dos matrimonios con un hijo cada uno, que se alojarán en habitaciones triples. ¿De cuántas maneras pueden distribuirse las familias en el hotel?

R: 1800


pág. 116

APLICACIONES DE LA COMBINATORIA EN EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES

6.81. El acertijo de un periódico presenta un problema de comparación. Los nombres de las 10

provincias de la sierra ecuatoriana aparecen en una columna y las ciudades capitales de provincia se colocan en la segunda columna en lista aleatoria. En el acertijo se pide al lector que ponga en correspondencia a cada provincia con su capital. Si usted realiza las correspondencias al azar:

a. ¿Cuántas correspondencias son posibles? b. ¿Cuál es la probabilidad de que las 10 correspondencias sean correctas?

R: 1/100

6.82. En cierto estado, las placas constan de tres letras seguidas de tres números.

a. ¿Cuántas placas diferentes se pueden hacer? b. ¿Cuántas placas diferentes se pueden hacer de tal forma que ninguna letra o número

aparezca más de una vez? c. Una placa se elige aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna letra o

número aparezca más de una vez?

R: 17’576.000; 11’232.000; 0.64

6.83. Diez unidades de producción se seleccionan de una línea de producción. Tres de estas 10 son defectuosas. Si se deben sacar 5 de las 10, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosas?

R: 5/12

6.84. Un director de personal tiene 8 candidatos para cubrir 4 puestos. De éstos cinco son hombres

y tres mujeres. Si, de hecho, toda combinación de candidatos tiene las mismas probabilidades de ser elegido, Cuál es la probabilidad de ninguna mujer sea contratada.

R: 1/14

6.85. En un torneo de ajedrez participan 10 grandes maestros, 6 maestros internacionales y 4

maestros nacionales. Los rivales se determina por sorteo, Halle la probabilidad de los siguientes sucesos:

a. En la mesa 1 se encontrarán ajedrecistas que tienen el mismo título. b. En la mesa 2 se enfrentarán ajedrecistas que tienen título diferente.

R: 33/95; 62/95

6.86. En un concurso de matemáticas participan 8 alumnos y 9 alumnas. Si debe haber dos

ganadores, ¿Cuál es la probabilidad de que los ganadores sean una pareja mixta?

R: 9/17

6.87. Un cajón contiene seis calcetines rojos, cuatro verdes y dos negros. Se elige dos calcetines aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que combinen?

R: 11/95


pág. 117

6.88. Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 bolas negras. Si se sacan dos bolas al azar cuál es la

probabilidad que sea del mismo color. R: 47/95

6.89. Veinte familias viven en Quito. De ellas, 10 elaboraron sus propias declaraciones de

impuestos del año pasado, 7 la encargaron a un profesional de la localidad y los restantes 3 las encargaron a H&R Asociados.

a. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a dos familias que hayan preparado sus propias

declaraciones? b. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a tres familias que hayan encargado su

declaración a un profesional de la localidad? c. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a dos familias, a ninguna de las cuales le elaboró

sus declaraciones H&R Asociados?

R: 9/38; 7/228; 3/190 6.90. Edgar Pazmiño es propietario de una compañía de bienes y raíces, la compañía

recientemente compró cuatro terrenos en Ambato y seis terrenos en Manta. Los terrenos eran igual de atractivos y se venden en el mismo precio aproximadamente.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que los siguientes dos terrenos que se vendan se ubiquen en

Ambato?

b. La probabilidad de que por lo menos uno de los siguientes cuatro que se vendan se ubique en Manta

R: 2/15; 209/210


pág. 118

7. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Recordemos que el Espacio Muestral es el conjunto de todos y cada uno de los valores que puede tomar una variable aleatoria; dicho en otras palabras, el Espacio Muestral reúne a todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Si a cada uno de los valores del Espacio muestral, le hacemos corresponder su respectiva probabilidad de ocurrencia, a esta correspondencia le llamaremos Distribución de probabilidad, Función de Probabilidad o simplemente o Distribución Probabilística, es decir:

Una Distribución de Probabilidad, se puede representar de dos maneras: mediante una tabla de datos o mediante un gráfico denominado histograma.

1 0.10

2 0.15

3 0.30

4 0.18

5 0.12

6 0.15

La Distribución de Probabilidad permite calcular probabilidades; siempre y cuando, se cumplan los requisitos que cada una de ellas exigen. De acuerdo con la clasificación de la variable aleatoria, se ha tomado en cuenta la siguiente clasificación de distribución de probabilidades:

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

1 2 3 4 5 6


pág. 119

7.1. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA En esta distribución la variable aleatoria asume valores discretos (enteros) finitos o infinitos, destacándose las siguientes propiedades: 1. 2.

3. Esperanza matemática:

4. Varianza: [ ]

5. Varianza:

6. Desviación estándar: √

7. Coeficiente de variación:

Cuando se presentan dos distribuciones de variable discreta: y del mismo espacio muestral se tiene: 8. Si , entonces: 9.

10. 11. Si y son variables aleatorias independientes, entonces:

12. 13.


pág. 120

7.2. PROBLEMAS RESUELTOS 7.1. Dada la variable aleatoria discreta y su distribución de probabilidad , entonces:

0 2 3 4 1/8 1/4 1/2 1/8

a. Verificar que se trata de una distribución de variable discreta.

;

;

;

b. Construir el histograma

c. Calcule los estadísticos de la distribución de probabilidad

0 0.125 0.00 0.78

2 0.250 0.50 0.06

3 0.500 1.50 0.13

4 0.125 0.50 0.28

1.000 2.50 1.25

Esperanza matemática

Varianza


pág. 121

Desviación estándar

√

√

Coeficiente de variación

7.2. Una variable aleatoria tiene la siguiente ley de distribución

2 4 6 8 10

1/4 1/8 1/8 1/4

a. Determine el valor de .

b. Trace el histograma de frecuencias.

c. Calcule los estadísticos de la distribución de probabilidad.

2 0.250 0.50 4.00

4 0.125 0.50 0.50

6 0.250 1.50 0.00

8 0.125 1.00 0.50

10 0.250 2.50 4.00

1.000 6.00 9.00


pág. 122


Varianza


√

√


7.3. Una variable aleatoria toma valores 3, 6 y con probabilidades ,

y . Si se sabe que la esperanza de es igual a 9 halle los valores de y .

3 0.45 1.35

6 0.25 1.50

1.00 9

(1) (2)

(1) en (2)

7.4. Una variable aleatoria solo puede tomar 2 valores positivos. El uno el cuadrado de otro. A su

vez, sus respectivas probabilidades también tienen esta propiedad. Escriba la ley de

probabilidad de esta variable aleatoria si su esperanza es igual a √ .

(1) Resolviendo (1) se tiene:

√

√

( √ )

Resolviendo la ecuación de segundo grado se tiene:


pág. 123

Tomando la raíz positiva:

√

√

(√

)

√

La raíz negativa no sirve puesto que:

√ √

Reemplazando el valor de se tiene:

√ √

√

Entonces la ley de probabilidad de la variable aleatoria es:

3 9

√

√

7.5. Una variable aleatoria toma 3 valores que forman una progresión aritmética creciente, cuyo

primer término es igual a 2. Sus respectivas probabilidades forman una progresión geométrica decreciente. Cuyo primer término es 2/3. Forme la ley de probabilidad si su esperanza es igual a

√ .

De acuerdo con el enunciado, la distribución de probabilidad está dada de la siguiente manera:

2

Resolviendo la ecuación de segundo grado se tiene:

√

√

√

( √ )

√

√

√

Entonces:

2 2/3 4/3

(√ ) (√ )

( √ ) ( √ )


pág. 124

Por otro lado, con el valor de la esperanza se tiene:

(√ )

( √ )

√

(√ ) ( √ ) ( √ )

√ √ √ √ √

Simplificando:

√ √

√ √

( √ ) ( √ )

Finalmente, la ley de distribución de probabilidad es:

2

(√ ) ( √ )

7.6. La variable aleatoria toma 3 valores , y que forman una progresión aritmética cuya

suma es igual a 0 y su tercer elemento e igual a 3. Forme la ley de probabilidad de si su esperanza es igual a 3/4 y su varianza es igual a 99/16.

Sea la progresión aritmética: (1)

Por otro lado, el tercer término de la progresión aritmética es 3 entonces: (2) Reemplazando (1) en (2) se tiene:

-3

(1)

(2)

[ ]

(3)

Resolviendo el sistema se tiene:


pág. 125

7.7. La distribución de probabilidad de reclamaciones por daños pagadas por una aseguradora en siniestro de vehículos se muestra a continuación:

Pago (dólares) 0 400 1,000 2,000 4,000 6,000

Probabilidad 0.90 0.04 0.03 0.01 0.01 0.01

Calcule los estadísticos de la distribución de probabilidad.

2 0.250 0.50 4.00

4 0.125 0.50 0.50

6 0.250 1.50 0.00

8 0.125 1.00 0.50

10 0.250 2.50 4.00

1.000 6.00 9.00


Varianza


√

√


7.8. Un vendedor calcula que cada entrevista con un cliente lleva a una venta con probabilidad 0.2.

Cierto día entrevista a dos clientes. Calcule la distribución de probabilidad del número x de clientes que firman un contrato de ventas además determine la esperanza y varianza de la distribución.

A: venta a primer cliente.- B: Venta a segundo cliente.-

Evento Probabilidad de ocurrencia

Ninguna venta a los dos clientes 0.64

Venta a uno de los dos clientes 0.32

Venta a los dos clientes 0.04

Distribución de probabilidad:

[ ] 0 0.6400 0.0000 0.1024

1 0.3200 0.3200 0.0020

2 0.0400 0.0800 0.0041

1.0000 0.4000 0.1085


pág. 126


Varianza

[ ]

7.9. Una fábrica embarca sus productos en camiones de dos tamaños distintos: uno de 2 x 3 x 9

metros y otro de 2 x 3 x 12 metros. Si el 30% de los envíos se hacen con el camión de 9 metros y el 70% con el de12 metros encuentre el volumen medio encargado por camión. (Suponga que los camiones van siempre llenos).

Camión Volumen (m3) Frecuencia relativa

Tamaño: 2 x 3 x 9 metros 54 30%

Tamaño: 2 x 3 x 12 metros 72 70%


54 0.30 16.20

72 0.70 50.40

1.00 66.60

7.10. Una inversión puede producir uno de tres resultados: Una ganancia de $ 7000; Una ganancia de $ 4000 o una pérdida de $ 10000, con posibilidades de 0,55, 0,20 y 0,25.

a. Construya una variable aleatoria asignando a cada evento de inversión un valor similar al

de la ganancia o pérdida que pudiera suceder. b. Construya para la variable aleatoria obtenida una distribución de probabilidad discreta c. Encuentre la ganancia esperada por el inversionista.

Evento Ganancia de $ 7000 7000 0.55 3850

Ganancia de $ 4000 4000 0.20 800

Pérdida de $ 10,000 -10000 0.25 -2500

2150

.


pág. 127

7.11. Un servicio voluntario de ambulancias maneja de 0 a 5 llamadas en cualquier día. La distribución de probabilidades de la cantidad de llamadas de servicio se muestra en la tabla siguiente.

Cantidad de llamadas 0 1 2 3 4 5

Probabilidad 0.10 0.15 0.30 0.20 0.15 0.10

a. ¿Cuál es la cantidad esperada de llamadas de servicio? b. ¿Cuál es la varianza de la cantidad de llamadas de servicio? c. ¿Cuál es la desviación estándar?

[ ]

0 0,100 0,000 0,600 0,000

1 0,150 0,150 0,315 0,150

2 0,300 0,600 0,061 1,200

3 0,200 0,600 0,061 1,800

4 0,150 0,600 0,360 2,400

5 0,100 0,500 0,650 2,500

∑ = 1,000 2,450 2,048 8,050

a. La cantidad esperada de llamadas de servicio está dado por:

b. La varianza de la cantidad de llamadas de servicio está dado por:

[ ] Alternativa:

c. La desviación estándar de llamadas de servicio está dado por:

√ √ 7.12. En una región que contiene un gran número de casas rurales, se estima que el 60% de ellas

están aseguradas contra incendios. Se seleccionan al azar cuatro propietarios de casas rurales de la población rural y se encuentra que de ellos están asegurados contra incendios. Encuentre la distribución de probabilidad de :

a. Encuentre la distribución aleatoria. b. Determine la esperanza matemática y compruebe el resultado. c. Determine la varianza y la desviación estándar de la distribución de probabilidad

encontrada.


pág. 128


A Casa rural asegurada 0.60

B Casa rural no asegurada 0.40

Espacio muestral:

Casas aseguradas Casa 1 Casa 2 Casa 3 Casa 4

0 A’ A’ A’ A’

1

A A’ A’ A’

A’ A A’ A’

A’ A’ A A’

A’ A’ A’ A

2

A A A’ A’

A A’ A A’

A A’ A’ A

A’ A A A’

A’ A A’ A

A’ A’ A A

3

A A A A’

A A A’ A

A A’ A A

A’ A A A

4 A A A A

Cálculo de probabilidades del Espacio muestral

Casas aseguradas Casa 1 Casa 2 Casa 3 Casa 4 Probabilidad

parcial Probabilidad

total

0 0,40 0,40 0,40 0,40 0,0256 0,0256

1

0,60 0,40 0,40 0,40 0,0384

0,1536 0,40 0,60 0,40 0,40 0,0384

0,40 0,40 0,60 0,40 0,0384

0,40 0,40 0,40 0,60 0,0384

2

0,60 0,60 0,40 0,40 0,0576

0,3456

0,60 0,40 0,60 0,40 0,0576

0,60 0,40 0,40 0,60 0,0576

0,40 0,60 0,60 0,40 0,0576

0,40 0,60 0,40 0,60 0,0576

0,40 0,40 0,60 0,60 0,0576

3

0,60 0,60 0,60 0,40 0,0864

0,3456 0,60 0,60 0,40 0,60 0,0864

0,60 0,40 0,60 0,60 0,0864

0,40 0,60 0,60 0,60 0,0864

4 0,60 0,60 0,60 0,60 0,1296 0,1296


pág. 129

Distribución de probabilidad

Cantidad visitadas 0 1 2 3 4

Probabilidad 0,0256 0,1536 0,3456 0,3456 0,1296

Cálculo de estadísticos de la distribución de probabilidad:

[ ]

0 0,0256 0,0000 0,1475 0,0000

1 0,1536 0,1536 0,3011 0,1536

2 0,3456 0,6912 0,0553 1,3824

3 0,3456 1,0368 0,1244 3,1104

4 0,1296 0,5184 0,3318 2,0736

∑ = 1,0000 2,4000 0,9600 6,7200

a. La cantidad esperada de casas rurales aseguradas contar incendios está dado por:

b. La varianza de casas rurales aseguradas contar incendios está dado por:

[ ] Alternativa:

c. La desviación estándar de llamadas de servicio está dado por:

√ √ 7.13. En la siguiente tabla se presentan distribuciones porcentuales de frecuencia para

calificaciones de satisfacción en el empleo, en una muestra de altos ejecutivos y mandos medios de una empresa de telefonía celular. Las calificaciones van desde 1 muy insatisfecho hasta 5, muy satisfecho.

Calificación de satisfacción del trabajo Altos ejecutivos (%) Mandos medios (%)

1 5 4

2 9 10

3 3 12

4 42 36

5 41 38

Para cada uno de los grupos (altos ejecutivos y Mandos medios) defina una distribución de probabilidad y calcule los estadísticos correspondientes.


pág. 130

[ ]

1 0,05 0,050 0,465 0,050

2 0,09 0,180 0,378 0,360

3 0,03 0,090 0,033 0,270

4 0,42 1,680 0,001 6,720

5 0,41 2,050 0,370 10,250

∑ = 1,000 4,050 1,248 17,650

[ ]

1 0,04 0,040 0,346 0,040

2 0,10 0,200 0,376 0,400

3 0,12 0,360 0,106 1,080

4 0,36 1,440 0,001 5,760

5 0,38 1,900 0,427 9,500

∑ = 1,000 3,940 1,256 16,780

7.14. Un vendedor obtiene sus ingresos mediante la venta de dos productos distintos. Por

experiencia sabe que el volumen de ventas de A no obtiene ninguna influencia sobre el de B. Su ingreso mensual es el 10% del volumen en dólares del producto A y el 15% del volumen de B. Si en promedio las ventas del producto A ascienden a $ 10,000 con una desviación de $ 2,000 y las de B a $ 8,000 con una desviación de $ 1,000. Obtenga el valor esperado y la desviación del ingreso mensual del vendedor.

Producto Promedio Ventas Desviación estándar ventas

A 10,000 2,000

B 8,000 1,000

Sea la distribución de probabilidad del producto A, Sea la distribución de probabilidad del producto B.

Producto Variable aleatoria

Proporción de ingresos sobre las ventas

Ingresos por ventas

Promedio D. estándar Varianza

A 0.10 1,000 200 40,000

B 0.15 1,200 150 22,500

El valor esperado de los ingresos del vendedor está dado por: La varianza de los ingresos del vendedor está dado por: Finalmente la desviación estándar es:

√ √


pág. 131

7.15. El gerente del almacén de una fábrica ha construido la siguiente distribución de probabilidad para la demanda diaria (número de veces que se usa) de una herramienta en particular.

0 1 2

) 0.1 0.5 0.4

Cuesta a la fábrica $10 cada vez que la herramienta se usa. Encuentre la media y la varianza del costo diario por usar la herramienta.

0 0.10 0.00 0.00

1 0.50 0.50 0.50

2 0.40 0.80 1.60

∑= 1.00 1.30 2.10

Costo promedio del uso diario de la herramienta:

Varianza del costo diario de usar la herramienta:

7.16. Un distribuidor de enseres para el hogar vende tres modelos de congeladores verticales de

13.5, 15.9 y 19.1 pies cúbicos de espacio de almacenamiento, respectivamente. Sea la cantidad de espacio de almacenamiento adquirido por el siguiente cliente que compre un congelador. Suponga que tiene la distribución de probabilidad:

13.50 15.90 19.10

0.20 0.50 0.30

a. Calcule ), y .

13.50 0.20 2.70 36.45

15.90 0.50 7.95 126.41

19.10 0.30 5.73 109.44

∑= 1.00 16.38 272.30


pág. 132

b. Si el precio de un congelador de pies cúbicos de capacidad es , ¿cuál es el precio esperado pagado por el siguiente cliente que compre un congelador?

El precio esperado pagado por el siguiente cliente está dado por [ ] [ ]

c. ¿Cuál es la varianza del precio pagado por el siguiente cliente?

La varianza del precio pagado por el siguiente cliente está dado por:

d. Suponga que aunque la capacidad nominal de un congelador , la real es

. ¿Cuál es la capacidad real esperada del congelador adquirido por el siguiente cliente?

La capacidad real del congelador está dado por: El valor esperado de la capacidad real del congelador será: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

7.17. Un pequeño mercado ordena ejemplares de cierta revista para su exhibidor de revistas cada

semana. Sea la demanda de la revista, con función masa de probabilidad.

1 2 3 4 5 6

1/15 2/15 3/15 4/15 3/15 2/15

Suponga que el propietario de la tienda paga $1.00 por cada ejemplar de la revista y el precio para los consumidores es de $2.00. Si las revistas que se quedan al final de la semana no tienen valor de recuperación, ¿es mejor ordenar tres o cuatro ejemplares de la revista? [Sugerencia: Tanto para tres o cuatro ejemplares ordenados, exprese un ingreso neto como una función de la demanda y luego calcule el ingreso esperado.]

1 1/15 0.133

2 2/15 0.400

3 3/15 0.800

4 4/15 0.800

5 3/15 0.667

6 2/15 0.400

∑= 1.00 3.200


pág. 133

Evento: Comercializar tres revistas Sea el número de revistas vendidas entonces; Ingresos: $ 2 por cada revista vendida, Costos: $ 1 por cada revista, La Utilidad está dada por la diferencia entre los Ingresos y los Costos, es decir:

1 -1.00 1/15 -0.067

2 1.00 2/15 0.133

3 3.00 3/15 0.600

4 3.00 4/15 0.800

5 3.00 3/15 0.600

6 3.00 2/15 0.400

∑= 1.00 2.467

Evento: Comercializar cuatro revistas Sea el número de revistas vendidas entonces; Ingresos: $ 2 por cada revista vendida, Costos: $ 1 por cada revista, La utilidad está dada por la diferencia entre los Ingresos y los Costos, es decir:

1 -2.00 1/15 -0,133

2 0.00 2/15 0,000

3 2.00 3/15 0,400

4 4.00 4/15 1,067

5 4.00 3/15 0,800

6 4.00 2/15 0,533

∑= 1.00 2,667

Decisión: Es mejor ordenar cuatro ejemplares, puesto que el valor esperado de la Utilidad es mayor a que el valor esperado de tres ejemplares.


pág. 134

7.18. Sea el daño incurrido (en dólares) en un tipo de accidente durante un año dado. Valores posibles de son 0, 1000, 5000 y 10 000 dólares con probabilidades de 0.8, 0.1, 0.08, y 0.02, respectivamente. Una compañía particular ofrece una póliza con deducible de $500. Si la compañía desea que su utilidad esperada sea de $100, ¿qué cantidad de prima deberá cobrar?

Prima Probabilidad de Ocurrencia 0.80 0.10 0.08 0.02

Para que la utilidad esperada sea de $100,00 se tiene:

7.19. Un cliente potencial para una póliza de seguro contra incendio por $85,000 es propietario de

una casa en una zona que, de acuerdo con la experiencia, puede sostener una pérdida total en un año determinado con probabilidad de .001 y un 50% de pérdida con probabilidad .01. Si se ignoran todas las otras pérdidas parciales, ¿qué prima debe cobrar la compañía de seguros por una póliza anual para que no haya pérdida ni ganancia en todas las pólizas de $85,000 en esta zona?


A Pérdida total 0.001

B Pérdida parcial (50%) 0.010

C Ninguna pérdida 0.989


Valor de la prima Probabilidad 0.001 0.010 0.989

Para que no haya pérdidas ni ganancias se tiene que:


pág. 135

7.20. La información que sigue representa el número de llamadas diarias al servicio de emergencia por el servicio voluntario de ambulancias de Walterboro, Carolina del Sur, durante los últimos 50 días. En otras palabras, hubo 22 días en los que se realizaron 2 llamadas de emergencia, y 9 días en los que se realizaron 3 llamadas de emergencia.

Llamadas 0 1 2 3 4

frecuencia 8 10 22 9 1

a. Convierta esta información sobre el número de llamadas en una distribución de probabilidad.

Llamadas Frecuencia Frecuencia relativa

0 8 0.16

1 10 0.20

2 22 0.44

3 9 0.18

4 1 0.02

50

Llamadas 0 1 2 3 4

Probabilidad 0.16 0.20 0.44 0.18 0.02

b. ¿Cuál es la media de la cantidad de llamadas y cuál es la desviación estándar de la cantidad de

llamadas diarias?

[ ]

0 0.16 0,00 0,46

1 0.20 0,20 0,10

2 0.44 0,88 0,04

3 0.18 0,54 0,30

4 0.02 0,08 0,11

∑ = 1.00 1,70 1,01

[ ]

√ √


pág. 136

7.3. PROBLEMAS PROPUESTOS 7.21. Se recabaron los siguientes datos a partir del conteo de la cantidad de salas de operación en

uso en un hospital durante 20 días: 3 días sólo se usó 1 sala de operaciones, en 5 se usaron 2, en 8 se usaron 3 y en 4 días se usaron 4 salas de operaciones del hospital.

F. Relativa :

1 3 3/20

2 5 1/4

3 8 2/5

4 4 1/5

20 1.00

a. Demuestre que su distribución de probabilidad satisface las condiciones requeridas. b. Construir el histograma c. Calcule los estadísticos de la distribución de probabilidad.

R: 5.70; 1.98

7.22. La distribución de probabilidad del número de automóviles nuevos vendidos por día por un concesionario aparece en la siguiente tabla:

0 1 2 3 4 5 6 7

0,20 0,40 0,15 0,03 0,01 0,01

a. Considerando que se trata de una distribución de variable aleatoria discreta, encuentre

los valores que faltan tomando en cuenta que la probabilidad de no vender automóviles es la misma que la de vender 4 automóviles.

b. Construir el histograma c. Calcule los estadísticos de la distribución de probabilidad.

R: 0.10; 2.13; 1.35

7.23. Una variable aleatoria solo puede tomar 2 valores, el uno el doble del otro. La probabilidad con la que toma el menor de los valores es el doble de la probabilidad con la que toma el valor mayor y su esperanza es 14/3. Halle la ley de probabilidad de esta variable aleatoria.

R: 7/2; 7; 2/3; 1/3

7.24. La variable aleatoria discreta tiene solamente dos valores posibles y , además

. La probabilidad de que tome el valor es igual a 0.3. Halle la ley de distribución de , conociendo la esperanza y la varianza .

R: 4; 6; 0.30; 0.70

7.25. Una variable aleatoria toma los valores 0, 1 y 2 con probabilidades , y respectivamente. Si se sabe que la esperanza es 4/3 y la varianza 5/9 encuentre los valores de , y .

R: 1/6; 1/3; 1/2


pág. 137

7.26. Una variable aleatoria toma 3 valores que forman una progresión geométrica creciente cuyo primer término es igual a 2. Sus respectivas probabilidades forman una progresión aritmética creciente cuyo último término es . Forme la ley de probabilidad de la variable aleatoria si su esperanza es igual a .

R: 2; 6; 18; 1/15; 1/3; 3/5

7.27. Un técnico da servicio a máquinas registradoras asistencia de en cierta ciudad. Dependiendo

de la avería el servicio puede durar 1,2, 3 o 4 horas. Las distintas averías se presentan más o menos con la misma frecuencia.

a. Defina una distribución de probabilidad de duración del servicio. b. Trace una gráfica de la distribución de probabilidad. c. Verifique que la distribución de probabilidad cumpla con las propiedades que la definen

como tal. d. Encuentre el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la distribución de

probabilidad

R: 2.50; 1.25; 1.12

7.28. Los datos siguientes describen la cantidad de empleados en cada uno de los cinco niveles ejecutivos del gobierno local:

Nivel ejecutivo Cantidad de funcionarios

1 15

2 32

3 84

4 30

5 31

Suponga que se desea seleccionar una muestra de empleados de nivel ejecutivo para una encuesta acerca de las condiciones de trabajo. Sea la variable aleatoria que indica el nivel de un empleado seleccionado.

a. Con los datos anteriores forme una distribución de probabilidad de . Especifique los

valores de la variable aleatoria y los valores correspondientes de la función de probabilidad. b. Trace una gráfica de la distribución de probabilidad. c. Demuestre que la distribución de probabilidad satisface las condiciones para ser calificada

como tal. d. Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la distribución

probabilidad.

R: 3.156; 1.257; 1.12


pág. 138

7.29. Una investigación reciente muestra que la cantidad promedio de televisores por familia es 2.3. Suponga que la distribución de probabilidad de la cantidad de televisores por familia es que se muestra en la tabla siguiente:

televisores por familia

0 1 2 3 4 5

Probabilidad 0.01 0.23 0.41 0.20 0.10 0.05

a. Calcule el valor esperado de la cantidad de televisores por familia y compare con el

promedio que menciona la investigación reciente. b. ¿Cuáles son la varianza y la desviación estándar de la cantidad de televisores por familia?

R: 2.30; 1.23; 1.11

7.30. Se selecciona al azar un individuo que tiene asegurado su automóvil con una compañía. Sea

el número de infracciones de tránsito por las que el individuo fue citado durante los últimos 3 años. La función masa de probabilidad de es:

0 1 2 3

0.60 0.25 0.10 0.05

a. Calcule ) y b. Suponga que un individuo con infracciones incurre en un recargo de $ . Calcule la

cantidad esperada del recargo.

R: 0.60; 0.74; 110

7.31. Un vendedor de equipo pesado puede entrevistar uno o dos clientes por día, con probabilidad 1/3 y 2/3 respectivamente. Cada entrevista produce una venta de $ 50,000 o ninguna venta con probabilidades 1/10 y 9/10 respectivamente. Encuentre la distribución de probabilidad y determine la esperanza matemática de la distribución.

R: 7,133.33

7.32. Los registros de una compañía de seguros de automóviles dan la siguiente información sobre

accidentes: la probabilidad de que un conductor asegurado tenga un accidente automovilístico es 0.15. Si ocurre un accidente, el daño al vehículo es el 20% de su valor en el mercado con probabilidad de 0.80, es el 60% de su valor con probabilidad 0.12 y es una pérdida total con probabilidad 0.08. ¿Qué prima debe cobrar la compañía por un auto de $ 40,000 para que la ganancia esperada de la compañía sea cero.


A Asegurado sufre accidente 0.15

A’ Asegurado no sufre accidente 0.85

B Accidente con reposición del 20% 0.80

C Accidente con reposición del 60% 0.12

D Accidente con reposición total 100% 0.08

R: 1,872.00


pág. 139

7.33. Una inversión puede producir uno de tres resultados: una ganancia de $ 17,000, una ganancia de $ 14,000 o una pérdida de $ 10,000, con probabilidades de 0.25, 0.40 y 0.35 respectivamente. Encuentre la ganancia esperada del inversionista.

R: 4,600.00

7.34. Un dispositivo para la detección de incendios utiliza tres células sensitivas a la temperatura,

que actúan independientemente, de manera que una o varias de ellas pueden accionar la alarma. Cada célula tiene una probabilidad de accionar la alarma cuando la temperatura llega a 60 grados o más. Sea x igual al número de células que accionan la alarma cuando la temperatura llega a 60 grados.

a. Encuentre la distribución aleatoria. b. Determine la esperanza matemática la varianza y la desviación estándar de la distribución

de probabilidad encontrada. R: 2.40; 0.48; 0.69

7.35. Un estudio realizado en el año 2015 por dos empresas consultoras indicó la probabilidad de

la cantidad de vehículos por familia en una ciudad:

Número de vehículos Consultora A Consultora B

0 0.045 0.028

1 0.230 0.165

2 0.449 0.489

3 0.169 0.185

4 0.107 0.133

a. ¿Cuál es el valor esperado y la varianza de la cantidad de vehículos por familia para cada

Empresa consultora?

b. En forma conjunta ¿Cuál es el valor esperado y la varianza para el número de vehículos por familia, para las dos empresas consultoras?

R: 2.063; 1.003; 2.23; 0.969; 4.293; 1.972

7.36. Una empresa de fabricación de computadores planea la expansión de su fábrica que le

permita iniciar la manufactura de un nuevo producto informático. El presidente de esta empresa debe determinar si la expansión será un proyecto a escala mediana o grande. Una incertidumbre es la demanda del nuevo producto que para fines de planeación puede ser baja mediana o alta. Los estimados de probabilidad de la demanda son 0.20, 0.50 y 0.30 respectivamente. Si x indica la utilidad anual, en miles de dólares, los planificadores de la empresa han elaborado los siguientes pronósticos de utilidades para los proyectos de expansión en mediana y gran escala.

Demanda Utilidades expansión a escala mediana Utilidades expansión a gran escala

Baja 50 0.20 0 0.20

Mediana 150 0.50 100 0.50

Alta 200 0.30 300 0.30


pág. 140

a. Calcule el valor esperado de la utilidad asociado con las dos alternativas de ampliación. ¿Qué decisión se prefiere si se trata de maximizar la utilidad esperada?

b. Calcule la varianza de la utilidad asociada con las dos alternativas de ampliación. ¿Qué decisión se prefiere si se trata de minimizar el riesgo o incertidumbre?

R: 145,000; 140,000 2,795; 12,400

7.37. Una compañía de productos químicos en la actualidad tienen existencia 100 lb de un

producto químico, el cual se vende a sus clientes en lotes de 5 lb. Sea el número de lote; es solicitados por un cliente seleccionado al azar y suponga que X tiene la función de probabilidad:

1 2 3 4

0.20 0.40 0.30 0.10

a. Calcule . b. Calcule el número esperado de libras que quedan una vez que se envía el pedido del

siguiente cliente y la varianza del número de libras sobrantes. [Sugerencia: El número de libras que quedan es una función lineal de X].

R: 2.30; 0.81; 88.50; 20.25

7.38. Una compañía de seguros expide una póliza de un año por $1000 dólares contra el suceso A

que históricamente le ocurre a 2 de cada 100 propietarios de la póliza. Las tarifas administrativas son de $15 por póliza y no son parte de la “utilidad” de la compañía. ¿Cuánto debe cobrar la compañía por la póliza si requiere que la utilidad esperada por póliza sea de $50? [Sugerencia: si C es la prima por la póliza, la “utilidad” de la compañía es C – 15 si A no ocurre y C – 15 – 1000 si A ocurre.]

R: 85

7.39. Aproximadamente 10% de las botellas de vidrio que salen de una línea de producción

presentan defectos serios en el vidrio. Si dos botellas se seleccionan al azar, encuentre la media y la varianza del número de botellas que presentan defectos serios.

R: 0.20; 0.18

7.40. Dos contratos de construcción se van a asignar al azar a una o más de tres empresas: I, II y III.

Cualquier empresa puede recibir ambos contratos. Si cada contrato dará una utilidad de $90,000 para la empresa, encuentre la utilidad esperada para la empresa I. Si las empresas I y II son propiedad de la misma persona, ¿cuál es la utilidad esperada total del propietario?

R: 60,000; 120,000


pág. 141

8. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL O DE BERNOUILLI 8.1. INTRODUCCIÓN

Un evento está bajo la Distribución Binomial, si cumple con las siguientes condiciones: a. Existen n observaciones o ensayos idénticos. b. Cada ensayo tiene dos posibles resultados, uno llamado “éxito” (cumple) y el otro denominado

“fracaso” (no cumple). c. Las probabilidades de éxito y de fracaso se mantienen constantes para todos los

ensayos. d. Los resultados de los ensayos son independientes entre sí. La distribución Binomial o de Bernoulli se expresa con la siguiente función:

Donde:

Número de combinaciones de elementos que se pueden hacer con elementos. : El valor de la variable cuya probabilidad queremos calcular. : Número de ensayos. : Probabilidad de la ocurrencia de un evento. : Probabilidad de la no ocurrencia del evento .

8.2. PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

En una distribución binomial se debe tomar en cuenta las siguientes propiedades:

1. 2. 3. 4.

5. √

Por otro lado, la probabilidad acumulada en una distribución binomial o de Bernoulli cumple con:


pág. 142

8.3. PROBLEMAS RESUELTOS

8.1. Un vendedor de seguros vende pólizas a 5 hombres, todos de la misma edad y con buena salud; de acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un hombre de esta edad viva 30 años más es 2/3. Hallar la probabilidad de que a los 30 años vivan:

a. Los 5 hombres. b. Al menos 3 hombres.

Evento aleatorio (

)

a. Probabilidad que vivan los 5 hombres.

(

)

(

)

b. Probabilidad que vivan al menos 3 hombres

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

8.2. En promedio, 12% de los que se inscriben al programa de entrenamiento de controladores de

trámites aduaneros reprueban el curso. Si el tamaño actual del curso es 15 participantes, cuál es la probabilidad de que:

a. Exactamente 10 aprueben el curso. b. Más de 12 aprueben el curso. c. Menos de 6 tengan que repetir el curso.

Variable Aleatoria ,

a. Exactamente 10 aprueben el curso;


pág. 143

b. Menos de 6 tengan que repetir el curso;

08

8.3. Jaime Torres es el alcalde de una gran ciudad. Últimamente le ha empezado a inquietar la

posibilidad de que haya un extenso número de personas que estén cobrando cheques del seguro de desempleo y trabajen en secreto. Sus ayudantes estiman que 35% de los beneficiarios de ese seguro caen dentro de tal categoría, pero el señor Torres no está convencido de ello. Pide a uno de sus ayudantes llevar a cabo una investigación confidencial de 10 beneficiarios del seguro seleccionados aleatoriamente. si los ayudantes del alcalde tienen razón, ¿cuál es la probabilidad de que más de 7 individuos tengan algún trabajo?

Variable Aleatoria x: cobrar seguro de desempleo Probabilidad de que más de 7 tengan trabajo y hayan cobrado el seguro de desempleo

8.4. Una prueba de inteligencia consta de diez cuestiones cada una de ellas con cinco respuestas de

las cuales una sola es verdadera. Un alumno responde al azar: a. ¿Cuál es la probabilidad de que responda bien como máximo a dos cuestiones? b. ¿Cuál la probabilidad de que responda bien a seis? c. ¿Cuál es la probabilidad de que responda al menos a dos cuestiones correctamente?

Variable Aleatoria : respuesta correcta

a. Máximo dos respuestas correctas


pág. 144

b. Exactamente 6 respuestas correctas;

c. Al menos dos respuestas correctas;

[ ]

[ ] [ ]

8.5. Si se contesta sin pensar un test de 10 preguntas en las que hay que contestar si es cierto o

falso:

a. ¿Cuál es la probabilidad de acertar el 70 % o más de las preguntas?, b. ¿exactamente 6 de las 10 respuestas?

Variable Aleatoria x respuesta correcta a. Correctas 70% o más;

b. Exactamente 6 respuestas correctas;

8.6. Cada muestra de aire tiene 10% de posibilidades de contener una molécula rara particular.

Suponga que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molécula rara. Encuentre la probabilidad de que en las siguientes 18 muestras:

a. Exactamente 2 contengan la molécula rara. b. Entre 5 y 8 muestras contengan la molécula rara. c. Menos de 6 muestras contengan la molécula rara. d. Más de 10 contengan la molécula rara.


pág. 145

Evento aleatorio x: presencia de molécula rara en una muestra de aire a. Probabilidad que exactamente dos muestras contengan una molécula rara

b. Entre 5 y 8 muestras contengan la molécula rara.

c. Menos de 6 muestras contengan la molécula rara.

x

0 1 1,00000 0,15009 0,15009

1 18 0,10000 0,16677 0,30019

2 153 0,01000 0,18530 0,28351

3 816 0,00100 0,20589 0,16801

4 3060 0,00010 0,22877 0,07000

5 8568 0,00001 0,25419 0,02178

Total 0,99358

d. Más de 10 muestras contengan la molécula rara

11 31824 1,000E-11 4,783E-01 1,522E-07

12 18564 1,000E-12 5,314E-01 9,866E-09

13 8568 1,000E-13 5,905E-01 5,059E-10

14 3060 1,000E-14 6,561E-01 2,008E-11

15 816 1,000E-15 7,290E-01 5,949E-13

16 153 1,000E-16 8,100E-01 1,239E-14

17 18 1,000E-17 9,000E-01 1,620E-16

18 1 1,000E-18 1,000E+00 1,000E-18

Total 1,626E-07


pág. 146

8.7. Un director de producción sabe que el 5% de las piezas producidas en cierto proceso de fabricación tiene algún defecto. Se examinan 6 de estas piezas cuyas características se asumen independientes:

a. Cuál es la probabilidad de que ninguna de estas piezas tenga un defecto. b. Cuál es la probabilidad de que una de estas piezas tenga un defecto. c. Cuál es la probabilidad de que al menos dos de estas piezas tenga un defecto.

Evento aleatorio x: piezas con defecto,

a. probabilidad de que ninguna de estas piezas tenga un defecto,

b. Cuál es la probabilidad de que una de estas piezas tenga un defecto,

c. Cuál es la probabilidad de que al menos dos de estas piezas tenga un defecto,

8.8. Determinar la probabilidad de realizar cierto tipo de experimento con éxito si se sabe que si se

repite 24 veces es igual de probable obtener 4 éxitos que 5.

Resolviendo la ecuación descrita se tiene:

8.9. La última encuesta de opinión política hecha en Ecuador revela que si un ecuatoriano es

seleccionado al azar, la probabilidad de que sea afiliado al partido de gobierno es de 0.45, y la probabilidad de que sea afiliado al partido de derecha es de 0.40. Suponiendo que estas cifras sean correctas, conteste las siguientes preguntas relativas a un grupo de 10 ecuatorianos escogidos en forma aleatoria:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea gobiernista? b. ¿Cuál es la probabilidad de que 6 sean de derecha? Evento aleatorio : ecuatoriano gobiernista,

a. Probabilidad que ninguno sea gobiernista,


pág. 147

Evento aleatorio : ecuatoriano de derecha,

b. Probabilidad que 6 sean de derecha.

8.10. El director de control de calidad en una fábrica está realizando su inspección mensual de las transmisiones automáticas en la planta. En este procedimiento, 10 transmisiones se sacan del grupo de componentes y se verifica si no tienen defectos de fabricación. En general solo 2% de las transmisiones presentan estos defectos. (suponga que los defectos ocurren independiente en varias transmisiones) Cuál es la probabilidad de que la muestra del director de control de calidad contenga más de dos transmisiones con defectos de fabricación.

Evento aleatorio : transmisión sin defectos de fabricación,

La probabilidad de que más de dos transmisiones tengan defectos de fabricación,

[ ] [ ]

8.11. Arturo Hernández está encargado de la sección de electrónica de una gran tienda de departamentos. Se ha percatado de que la probabilidad de que un cliente está curioseando compre algún artículo es de 0.45. Suponga que 8 clientes están curioseando en la sección de electrónica determine la probabilidad:

a. Ningún cliente que curiosea compre algo en una hora específica. b. Por lo menos 1 cliente que curiosea compre algo en una hora específica. c. Menos 4 clientes que curiosean compren algo en una hora específica. d. Por lo menos 4 clientes que curiosean compren algo en una hora específica

Variable aleatoria : cliente compra en la sección electrónica.

a. Probabilidad de que ningún cliente que curiosea compre algo en una hora específica,


pág. 148

b. Probabilidad de que por lo menos 1 cliente que curiosea compre algo en una hora específica,

c. Probabilidad de que menos de 4 clientes que curiosean compren algo en una hora específica,

d. Probabilidad de que por lo menos 4 clientes que curiosean compren algo en una hora

específica,

8.12. Un operador elige al azar entre “n” chips de una caja, la probabilidad de que el chip sea

defectuoso es 0.20.

a. Si n = 7, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 3 chips sean defectuosos? b. Si n = 50, ¿cuál es la probabilidad de tener entre 9 y 12 chips defectuosos? c. ¿Cuántos chips hay en la caja si la varianza es 32?

Evento aleatorio chip defectuoso,

a. La probabilidad de que al menos 3 chips sean defectuosos.

[ ] [ ]


pág. 149

Evento aleatorio chip defectuoso,

b. La probabilidad de tener entre 9 y 12 chips defectuosos,

c. ¿Cuántos chips hay en la caja si la varianza es 32?

8.13. Una empresa dedicada a la investigación de mercados efectúa una encuesta postal que

produce una tasa de respuestas del 15%. Si se envían 35 circulares en calidad de prueba del mercado, determinar la probabilidad de recibir:

a. 9 respuestas. b. Por lo menos 3 respuestas. c. Entre 5 y 7 respuestas inclusive.

Evento aleatorio respuesta recibida a. La probabilidad de que se reciban 9 respuestas,

b. La probabilidad de que por lo menos se reciban 3 respuestas,

[ ] [ ]


pág. 150

c. La probabilidad de que se reciban Entre 5 y 7 respuestas inclusive,

8.14. El 29% de los alumnos de la Facultad de Tecnología y Ciencias Aplicadas son de otras provincias. Si se analiza una muestra de 20 alumnos, calcular la probabilidad de obtener:

a. No más de 4 foráneos. b. Exactamente 13 foráneos. c. Como mínimo 5 foráneos.

Variable aleatoria x: alumno foráneo (de otra provincia),

a. Probabilidad de que obtener no más de 4 foráneos,

b. Probabilidad de que obtener exactamente 13 foráneos,

c. Probabilidad de que obtener como mínimo 5 foráneos,


pág. 151

8.15. Se lanzan 20 monedas en las que la probabilidad de cara es de 0.60. Calcular cuál es el número más probable de caras y qué probabilidad hay de que salga dicho número.

Variable aleatoria x: obtener cara al lanzar una moneda, El número más probable de caras es el valor esperado o esperanza matemática, es decir:

Probabilidad de que obtener exactamente 12 caras,

8.16. El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservas sabe, por experiencia, que

el 20% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el restaurante acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa?

Variable aleatoria x: cliente con reserva asiste al restaurante,

Probabilidad que a todas las personas que asisten se les asigne una mesa,

[ ]

[ ]

8.17. Un vendedor de seguros sabe que la oportunidad de vender una póliza es mayor mientras más

contactos realice con clientes potenciales. Si la probabilidad de que una persona compre una póliza de seguro después de la visita es constante e igual a 0.25 y si el conjunto de visitas constituye un conjunto independiente de ensayos ¿cuántos compradores potenciales debe visitar el vendedor para que la probabilidad de vender para que la probabilidad de vender por lo menos una póliza sea de 0.80?

Variable aleatoria x: póliza vendida,


pág. 152

8.18. Un técnico mecánico trabaja en 50 máquinas. La probabilidad de que durante una jornada una

máquina necesite regulación es igual a

determine cuál de los siguientes eventos es más

probable.

a. 17 máquinas necesitarán regulación. b. 16 máquinas necesitarán regulación.

Variable aleatoria x: máquina necesita regulación, (

)

a. Probabilidad de que 17 máquinas necesiten regulación,

(

)

(

)

b. Probabilidad de que 16 máquinas necesiten regulación,

(

)

(

)

; Eventos equiprobables.

8.19. Se sabe que la probabilidad de que un estudiante supere el examen de suspensión de

Estadística es 0.30. Si se examina a un grupo de 7 estudiantes calcule:

a. La probabilidad de que al menos dos aprueben. b. La probabilidad de que aprueben los siete. c. El número esperado de estudiantes que aprueben.

Evento aleatorio : estudiante supere el examen de suspensión,

a. La probabilidad de que al menos dos aprueben.

[ ] [ ]


pág. 153

b. La probabilidad de que aprueben los siete,

c. El número esperado y la varianza de los estudiantes que aprueben.

8.20. La probabilidad de que el gasto diario del gas en un hotel supere la norma es igual a 0.90.

¿Cuál es la probabilidad de que durante una semana el hotel tenga tres veces consumo excesivo de gas?

Evento aleatorio : consumo diario de gas supera la norma,

Probabilidad de que tres días supere la norma,


pág. 154

8.4. PROBLEMAS PROPUESTOS

8.21. Si el 20% de los cerrojos producidos por una máquina son defectuosos, determinar la probabilidad de que de 4 cerrojos elegidos al azar:

a. Un cerrojo sea defectuoso, b. Dos cerrojos sean defectuosos c. más de dos cerrojos sean defectuosos.

R: 0.41; 0.15; 0.0272

8.22. Gonzalo Rivera, un abogado que trabaja en la oficina de defensa del inquilino estima que, en promedio, siete de los que acuden a la oficina son personas que (en su opinión) fueron desalojadas de su casa injustamente. Además, estima que, en promedio, cinco de los que acuden a la oficina son personas cuyos dueños de casa les han aumentado la renta ilegalmente.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que seis de los que acuden diariamente informen de un desalojo

injustificado?

b. Cuál es la probabilidad de que ocho de los que acuden diariamente a la oficina hayan sufrido un aumento ilegal de su alquiler.

R: 0.19; 0.05

8.23. El departamento de control de calidad de una empresa que fabrica pañuelos sabe que el 5% de su producción tiene algún tipo de defecto. Los pañuelos se empaquetan en cajas con 15 elementos. Calcular la probabilidad de que una caja contenga:

a. 2 elementos defectuosos. b. Menos de 3 elementos defectuosos c. Entre 3 y 5 elementos defectuosos (ambos incluidos)

R: 0.14; 0.96; 0.0362

8.24. Las investigaciones médicas señalan que el 20% de la población general sufre efectos negativos colaterales al ingerir un nuevo fármaco. Si un médico receta dicho fármaco a cuatro pacientes, cuál es la probabilidad de que:

c. Ninguno sufra efectos colaterales. d. Todos los tengan. e. Al menos uno presente efectos colaterales.

R: 0.4096; 0.0016; 0.5904

8.25. Los registros de una pequeña compañía de servicios indican que el 40% de las facturas que envían son pagadas después de la fecha de vencimiento. Si se envían 14 facturas, encuentre la probabilidad de que:

a. Tres facturas se paguen con retraso. b. Cuando menos dos se paguen con retraso. c. Menos de la mitad se paguen con retraso.

R: 0.0845; 0.9919; 0.6924


pág. 155

8.26. Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es de 0.05. Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes: a. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas? b. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas? c. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa?

R: 0.0746; 0.9884; 0.4013

8.27. Si las probabilidades de ganar y perder en una partida son iguales y vale 0.5. determine cual

evento es más probable:

a. Ganar 3 partidas de 4 o ganar 5 partidas de 8 b. Ganar no menos de 3 partidas de 4 o ganar no menos 5 de 8

R: ganar 3 de 4 partidas; ganar no menos 5 de 8 partidas

8.28. En la transmisión de un mensaje compuesto por signos, la probabilidad de que ocurra un error

en un signo es 0.1. Calcule la probabilidad de que en un mensaje de 4 signos:

a. No haya errores. b. Ocurra un error. c. Ocurra no menos de un error.

R: 0.6561; 0.2916; 0.3439

8.29. Para estudiar la regulación hormonal de una línea metabólica se inyectan ratas albinas con un fármaco que inhibe la síntesis de proteínas del organismo. En general, 4 de 20 ratas mueren a causa del fármaco antes de que el experimento haya concluido. Si se trata a 10 animales con el fármaco, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 8 lleguen vivas al final del experimento?

R: 0.6778

8.30. Con base en encuestas al consumidor se sabe que la preferencia de este con respecto a dos marcas A y B de un producto dado se encuentra muy pareja. Si la opción de compra entre estas marcas es independiente, cuál es la probabilidad de que entre 25 personas seleccionadas al azar, no más de diez tengan preferencia con la marca A.

R: 0.2122 8.31. Dos vendedores tienen el 20% de posibilidades de cerrar una venta con un cliente cualquiera.

Si el primero llama a cinco clientes y el segundo a ocho: a. Cuál es la probabilidad de que el primer vendedor haga menos de 3 ventas. b. Cuál es la probabilidad de que el segundo vendedor haga más de 5 y menos de 8 ventas. c. Cuál es la probabilidad de que entre los dos vendedores no se haga ninguna venta.

R: 0.9421; 0.0012; 0.055


pág. 156

8.32. Repetidas estadísticas realizadas en todo el mundo han dado origen a la distribución de probabilidad del sexo del recién nacido . Si un matrimonio tiene 4 hijos calcule la probabilidad:

a. De que todos sean varones. b. De que al menos haya una chica. c. Encuentre el número esperado de hijos varones y la varianza.

R: 0.0731; 0.9269; 2.08; 0.9984

8.33. La probabilidad de que un jugador de golf haga hoyo en un lanzamiento a una cierta distancia

es 0.3. Si lo intenta 6 veces determine:

a. La probabilidad de que no acierte ninguna. b. La probabilidad de que acierte algún lanzamiento. c. La probabilidad de que acierte dos lanzamientos.

R: 0.1176; 0.8823; 0.3241

8.34. Una empleada de un cibercafé controla 5 computadoras del mismo tipo. La probabilidad de

que una máquina requiera la atención empleada en el lapso de una hora es

. Calcule la

probabilidad de que, en el curso de una hora, la empleada será requerida para atender a:

a. Tres máquinas. b. No menos de dos máquinas.

R: 0.1646; 0.5391

8.35. La probabilidad de que un jugador de tenis gane un partido es 0.25. Si juega cuatro partidos, calcule la probabilidad de que gane más de la mitad.

R: 0.0508 8.36. Una prueba tiene 10 preguntas de selección múltiple, cada una de las cuales tiene cuatro

opciones. Un estudiante se propone adivinar en el examen y se pregunta cuál será la probabilidad de éxito en la prueba; cuál es la probabilidad de aprobar si cada pregunta vale un punto, y si el examen se aprueba con a) 4 puntos, b) 6 puntos, c) 7 puntos.

R: 0.1460; 0.0162; 0.0031

8.37. En una fábrica de circuitos electrónicos se afirma que la proporción de unidades defectuosas

de cierto componente que ésta produce es del 5%. Un buen comprador de estos componentes revisa 15 unidades seleccionadas al azar y encuentra cuatro defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que esto suceda?

R: 0.0049

8.38. La probabilidad de presentar cierta característica genética es de

.

a. Tomando una muestra de 8 individuos, calcule la probabilidad de que 3 individuos presenten la

característica. b. Tomando una muestra de 80 personas, ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan más de 5

individuos con la característica?

R: 0.0054; 0.2109


pág. 157

8.39. Una compañía recibe un pedido muy grande. Se analiza una muestra aleatoria de 16 artículos, y se acepta un pedido si menos de dos resultan defectuosos. Determinar la probabilidad de aceptar un envío que contenga:

a. un 5% de artículos defectuosos. b. Un 15% de artículos defectuosos. c. Un 25% de artículos defectuosos.

R: 0.8107; 0.2840; 0.0535

8.40. Un concesionario de automóviles monta una nueva campaña de promoción, en la que se promete que los compradores de automóviles nuevos pueden, si están descontentos por algún motivo, devolver el auto antes de dos días y recibir el importe íntegro. Se ha estimado que el costo que debe soportar el concesionario por cada devolución es de $ 2500. El concesionario estima que el 15% de los compradores devolverán los automóviles. Suponiendo que durante el período de campaña se venden 50 automóviles.

a. Halle la media y la desviación estándar del número de automóviles que se devolverán. b. Halle la media y la desviación estándar del costo total que se derivará a estas 50 ventas.

R: 7.5 ; 2.53; 18,750; 6,312.19


pág. 158

9. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES PARA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA A los eventos de un experimento aleatorio que se los determina mediante una medición, tales como la estatura de una persona, el peso de un cuerpo, el tiempo de duración de un repuesto, el volumen que contiene un envase, se los denomina como variable aleatoria continua. 9.1. DISTRIBUCIÓN NORMAL La distribución de probabilidad de Gauss o distribución Normal, está dada por la siguiente ecuación:

√

Para mejor manejo de la ecuación de Gauss, se procede a tipificar la variable, haciendo el siguiente cambio de variable:

La ecuación de Gauss se transforma en:

√

Que presenta ahora el siguiente gráfico:

9.2. PROPIEDADES DE LA CURVA NORMAL

La gráfica de una distribución normal, se asemeja a una campana, por eso se la conoce como la campana de Gauss.

La curva es suave, unimodal y simétrica, entonces: la media, la mediana y, la moda coinciden en el eje de simetría.

En sentido horizontal, la curva se extiende hacia el infinito, en los dos sentidos; sin embargo, con la tipificación de la variable z, la distribución normal tiene dominio entre ]-4,4[

La curva de distribución normal queda totalmente identificada, mediante dos parámetros: la media aritmética y la desviación estándar.

El área total de la curva normal, representa el 100% de probabilidad de dicha variable; dada la simetría, el eje divide a la curva en dos áreas, representa cada una por el 50% del área total.


pág. 159

9.3. PROBABILIDAD CON LA CURVA NORMAL Con estas características se tiene que:

La probabilidad de que una variable aleatoria que está distribuida normalmente asuma un valor entre dos puntos cualesquiera, es igual al área bajo la curva normal entre estos dos puntos.

Mediante la distribución normal, se pueden calcular probabilidades para eventos de variable continua, para este cálculo se deberá contar con:

Media aritmética: Desviación estándar:

Con estos valores procedemos a calcular el valor (variable tipificada):

9.4. PROCESO DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

1. Cálculo del valor para la probabilidad , 2. Gráfico de la campana y ubicación del valor , 3. Ubicación de las áreas en el gráfico, 4. Definir el área (sombrear) que corresponde a la probabilidad a calcular, 5. Cálculo del área sombreada (es el valor de la probabilidad).


pág. 160

9.5. PROBLEMAS RESUELTOS ÁREA BAJO LA CURVA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 9.1. Para cada valor z de la distribución normal tipificada, calcular las probabilidades (áreas):

a.

b.

c.

d.


pág. 161

e.

f.

g.

h.


pág. 162

i.

j.

k.

l.


pág. 163

CALCULAR DADO EL ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL

9.2. Para la distribución normal tipificada, calcular: a. 6º Decil.

b. Percentil 35.


pág. 164

c. Valores centrales para el 70% de las observaciones.


pág. 165

d. Valores de z que comprenden entre el percentil 30 y el percentil 80


pág. 166

PROBABILIDAD DE EVENTOS BAJO LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

9.3. Si la vida media de operación de una pila de linterna es de 24 horas y está distribuida normalmente con una desviación de 3 horas, ¿cuál es la probabilidad de que una pila tomada al azar tenga una media de duración de más de 60 minutos del promedio?

Variable aleatoria: vida de operación de una pila de linterna (horas)

9.4. Se calculó que el promedio de enfriamiento de todas las neveras para una línea de cierta

compañía, emplean una temperatura de -4.00°C con una desviación típica de 1.20°C. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superior a -3.00°C? b. ¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura menor a - 5.50°C? Variable aleatoria: Temperatura de enfriamiento de una nevera (°C) a.


pág. 167

b.

9.5. En un quiosco de periódicos se supone que el número de ventas diarias se distribuye

normalmente con media 30 y varianza 4. Determinar la probabilidad de que en un día se vendan entre 28 y 33 periódicos.

Variable aleatoria: periódicos vendidos en un día (unidades)

9.6. Los 460 alumnos de un centro de estudios tienen 156 cm de estatura media con una varianza de

81 cm². a. Determine el porcentaje de alumnos que miden más de 160 cm. b. ¿Cuántos alumnos miden entre 140 y 150 cm? Variable aleatoria: estatura de los alumnos (cm)

a.


pág. 168

b.

Alumnos.

9.7. Las edades de un grupo de 320 individuos tienen como media 24 y desviación típica 5. ¿Cuantos tendrán menos de 27 años?

Variable aleatoria: Edad de un grupo de individuos (años).

Personas.


pág. 169

9.8. Analizadas 240 determinaciones del nivel de colesterol en sangre, se observó que se distribuían normalmente con media 100 mg/cm3 y desviación típica 20 mg/cm3.

a. Calcule la probabilidad que una determinación sea inferior a 94. b. Qué proporción de determinaciones tienen valores comprendidos entre 105 y 130? c. Cuántas determinaciones fueron superiores a 138?

Variable aleatoria: nivel de colesterol en sangre (mg/cm3).

a.

b.

c.


pág. 170

9.9. Una máquina envasadora de jugo se ajusta para servir en promedio 250 ml de líquido por envase, si la desviación estándar es de 2ml, encuentre la probabilidad de que la máquina sirva:

a. Más de 254 ml b. Entre 247 y 252 ml c. Entre 246 y 253 ml d. Menos de 248 ml e. Entre 245 y 249 ml f. Entre 251 y 253 ml

. Variable aleatoria: volumen de jugo envasado (ml).

a.

b.

c.


pág. 171

d.

e.

f.


pág. 172

9.10. El tiempo necesario para hacer un examen final en un determinado curso de una universidad tiene una distribución normal cuya media es 80 minutos con desviación estándar de 10 minutos.

a. ¿Cuál es la probabilidad de terminar el examen en menos de una hora? b. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante termine el examen en más de 60 minutos

pero en menos de 70 minutos?

Variable aleatoria: Tiempo para examen final


pág. 173

9.11. De acuerdo con la Sleep Foundation, en promedio se duermen 6.8 horas por noche. Suponga que la desviación estándar es 0.6 horas y que la distribución de probabilidad es normal.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar duerma más de ocho

horas? b. ¿De que una persona tomada aleatoriamente duerma menos de seis horas? c. Los médicos aconsejan dormir entre siete y nueve horas por noche. ¿Qué porcentaje de

la población duerme esta cantidad?

Variable aleatoria: tiempo de sueño por noche


pág. 174

9.12. Una persona con una buena historia crediticia tiene una deuda promedio de $15,000. Suponga que la desviación estándar es de $3,540 y que los montos de las deudas están distribuidos normalmente;

a. ¿Cuál es la probabilidad de que la deuda de una persona con buena historia crediticia sea

mayor a $18,000? b. ¿De que la deuda de una persona con buena historia crediticia sea de menos de $10,000? c. ¿De que la deuda de una persona con buena historia crediticia esté entre $12,000 y

$18,000? d. ¿De que la deuda de una persona con buena historia crediticia sea mayor a $14,000?

Variable aleatoria: Monto de deudas


pág. 175

9.13. Se toman 90 barras de chocolate cuyo peso promedio es 50 gramos con varianza de 9

gramos²:

a. ¿Cuántas barras pesan menos de 45 gramos? b. ¿Cuántas barras pesan más de 52 gramos? c. ¿Cuántas barras pesan entre 47 y 53 gramos? d. ¿Cuántas barras pesan entre 43 y 47 gramos? e. ¿Cuántas barras pesan entre 55 y 57 gramos? Variable aleatoria: Peso corporal de un trabajador (Kg) a. ¿Cuántas barras pesan menos de 45 gramos?

Barras


pág. 176

b. ¿Cuántas barras pesan más de 52 gramos?

Barras. c. ¿Cuántas barras pesan entre 47 y 53 gramos?

Barras

d. ¿Cuántas barras pesan entre 43 y 47 gramos?

Barras.


pág. 177

e. ¿Cuántas barras pesan entre 55 y 57 gramos?

Barras.

9.14. El volumen que una máquina de llenado automático deposita en latas de una bebida gaseosa

tiene una distribución normal con media 34 cl. y una desviación típica 1.5 cl. a. Si se desechan aquellas latas que tienen menos de 33 cl, ¿cuál es la proporción de latas

desechadas? Variable aleatoria: volumen de gaseosa en una lata (cl)

b. ¿Cuál es la probabilidad de al tomar una lata al azar presente un contenido de gaseosa de ±1.5 cl alrededor de la media? Variable aleatoria: volumen de gaseosa en una lata (cl)


pág. 178

c. Si en un día se envasan 2500 latas de gaseosa, ¿cuántas latas contienen más de 35 cl?

Variable aleatoria: volumen de gaseosa en una lata (cl)

latas

d. Si las latas que contienen más de 35.5 cl deben ser reprocesadas, ¿cuántas latas deben ser reprocesadas de un lote de 1500 unidades? Variable aleatoria: volumen de gaseosa en una lata (cl)

Latas


pág. 179

9.15. La tasa de remuneración media por hora para administrativos financieros en una determinada región es $32.62 y la desviación estándar es $2.32 (Bureau of Labor Statistics, septiembre de 2005); suponga que estas tasas de remuneración están distribuidas normalmente.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que un directivo financiero tenga una remuneración entre

$30 y $35 por hora? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la remuneración por hora de un directivo financiero sea

menos de $28 por hora?

Variable aleatoria: remuneración horaria directivos financieros


pág. 180

PARAMETROS DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 9.16. Si tiene una distribución normal con media y desviación estándar 4, y dado que, la

probabilidad de que sea menor a 32 es de 0.0227, encontrar el valor de Solución: Sea la variable aleatoria entonces ; además, Utilizando la función INV.NORM.ESTAND del Excel se puede encontrar el valor de la variable tipificada , tal como se indica en el siguiente cuadro de diálogo:

Con el valor se encuentra la media poblacional de la siguiente manera:


pág. 181

9.17. El percentil 60 de una distribución normal de varianza 80 es igual a 72. ¿Cuál es su media?; si el número de individuos que la integran es 850, ¿cuántos tienen entre 50 y 80 puntos?

Sea una variable aleatoria, entonces se tiene: √

La probabilidad de que un alumno mida más de 175 cm es:

Entonces con el valor de se puede ahora encontrar el valor de la media poblacional:

√

Variable aleatoria: ( √ )

√

√


pág. 182

9.18. El percentil 70 de una distribución normal es igual a 88, siendo 0.27 la probabilidad de que la variable tenga un valor inferior a 60. ¿A qué distribución normal nos estamos refiriendo?

Sea la variable aleatoria estatura, entonces se tiene:


pág. 183

Entonces con el valor de para cada una de las probabilidades dadas se tiene:

Resultando el siguiente sistema de ecuaciones:

{

Resolviendo este sistema se tiene: Entonces la distribución normal del problema está definida por:

9.19. Las puntuaciones de un examen se distribuyen normalmente con media aritmética de 15

puntos. La puntuación A está situada a 5 puntos de diferencia por debajo de la media. Entre A y la media se encuentra el 30% de los alumnos, si la puntuación B ha sido superada por el 77% de los alumnos, calcular:

a. La desviación típica de las notas. b. Las puntuaciones directas de A y B. c. El porcentaje de alumnos entre A y B. Solución:

a. La desviación típica de las notas.

Puntuación A: 5 puntos diferenciales bajo la media, entonces: Si entre el punto y la media se encuentra en 30% de los alumnos entonces:


pág. 184

b. La puntuación directa de A es 10, mientras que la puntuación de B se determina de la siguiente

manera:


pág. 185

c. El porcentaje de alumnos entre A y B se determina como la probabilidad

9.20. Aplicado un test a 80 individuos, se obtuvo un promedio de 28 puntos; sabiendo que el

percentil 40 de la distribución es igual a 25.45 puntos, determine su desviación típica, determine además ¿cuántos poseen calificación entre 25 y 30 puntos?

Sea la variable aleatoria ,


pág. 186

Cuántas personas poseen calificación entre 25 y 30 puntos.

Número de personas que poseen calificación entre 25 y 30 puntos: Personas.


pág. 187

9.6. PROBLEMAS PROPUESTOS AREA BAJO LA CURVA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 9.21. Para cada valor z de la distribución normal tipificada, calcular las probabilidades (áreas):

Valor z Área bajo la curva normal

a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l.

0.5753 0.9162 0.1491 0.4404 0.3470 0.3136 0.1398 0.0654 0.7416 0.9502 0.1710 0.1857

CALCULAR DADO EL ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL 9.22. Para la distribución normal tipificada, calcular:

a. 3º Decil. b. Percentil 65. c. Valores centrales para el 80% de las observaciones. d. Valores de z que comprenden entre el percentil 32 y el percentil 78

R: 0.52; 0.39; -0.28; 0.28;-0.46; 0.77

9.23. La vida útil de una batería de auto tiene una media de 900 días y desviación estándar de 35 días. ¿Qué porcentaje de baterías se espera que sobreviva más de 950 días?

R: 0.0763 9.24. El voltaje promedio de una fuente de poder es de 12 V con = 0.05V. Si las especificaciones

son 11.90 y 12.10 V, ¿Cuál es la probabilidad de que una fuente de poder seleccionada al azar cumpla con las especificaciones?

R: 0.9545

9.25. En las especificaciones de una máquina de acuñar monedas conmemorativas, el espesor

promedio de las monedas es de 0.20 cm con desviación de 0.01 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio del espesor de una moneda supere los 0.21 cm?

R: 0.1586

9.26. La resistencia promedio de una pieza es de 40 lb y desviación estándar de 8 lb. Si se producen 50000 piezas ¿Cuántas tienen menos de 34 lb y cuántas tienen más de 48 lb?

R: 11330; 7930


pág. 188

9.27. Un complejo industrial produce pernos con un diámetro promedio de 0.51 mm y una desviación estándar de 0.01 mm si la distribución de los diámetros es aproximadamente normal, ¿Qué porcentaje de la producción total tiene diámetros dentro del intervalo de 0.49 a 0.53 mm?

R: 95,45%

9.28. Con referencia al ejercicio anterior, suponga que las especificaciones de los pernos requieren un diámetro igual a 0.5 ± 0.02 mm, los pernos que no satisfacen este requerimiento se consideran defectuosos. Si el proceso funciona en la forma descrita en el problema anterior, ¿qué porcentaje de la producción total resultará defectuosa?

R: 16%

9.29. Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para contratación laboral, se distribuye normalmente con media 6.5 y varianza 4.

a. Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos. b. Determine la proporción de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos. c. ¿Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7.5 puntos?

R: 0.2266; 22.66%; 232

9.30. Los pesos de un grupo de trabajadores presentan una distribución normal con promedio 65

kg y desviación típica 8 kg. Calcular la probabilidad de que un trabajador elegido al azar pese:

a. Más de 61 kg. b. Entre 63 y 69 kg. c. Menos de 70 kg. d. Más de 75 kg

R: 0.6914; 0.2902; 0.7356; 0.1056

9.31. Se sabe que el gasto anual que realizan los estudiantes de una universidad en libros de texto, sigue una distribución normal de media $ 280 y desviación estándar $ 50. Determine es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste:

a. Menos de $ 300 en libros de texto al año b. Más de $ 260 dólares en libros de texto al año c. Entre $ 200 y $ 300 dólares en libros de texto al año

R: 0.6554; 0.6554; 0.6006

9.32. Una compañía produce un compuesto químico para fotografía y está preocupada por su contenido de impurezas. Se estima que el peso de las impurezas por lote se distribuye según una ley normal con media 12.2 gramos y desviación estándar 2.8 gramos. Se elige un lote al azar:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga menos de 10 gramos de impurezas? b. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga más de 15 gramos de impurezas? c. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga entre 12 y 15 gramos de impurezas?

R: 0.2147; 0.1586; 0.3692


pág. 189

9.33. La temperatura en el mes de junio en la ciudad de Guayaquil sigue una distribución normal con media 24.3 °C y desviación estándar 2.4°C; determine la probabilidad de que en el mes de junio, en la ciudad de Guayaquil, se presenten temperaturas:

a. Mayores a 26 grados. b. Menores a 20 grados. c. Entre 22 y 28 grados. d. Entre 18 y 22 grados. e. Entre 28 y 30 grados.

R: 0.2388; 0.0367; 0.7697; 0.1643; 0.0531

9.34. La duración de un láser semiconductor a potencia constante tiene una distribución normal con media de 7000 horas y desviación típica de 600 horas.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el láser falle antes de 5750 horas? b. ¿Cuál es la duración en horas excedida por el 95% de los láseres? c. Si se hace el uso de tres láseres en un producto y se supone que fallan de manera

independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que tres sigan funcionando después de 7000 horas?

R: 0.0187; 6013; 0.125

9.35. En una bodega, la demanda mensual de azúcar negra tiene una distribución normal con media 200 y desviación estándar 40; por otro lado, la demanda de la azúcar blanca también tiene una distribución normal con media 500 y desviación estándar 80. Al comienzo del mes, hay almacenadas 280 fundas de azúcar negra y 650 fundas de azúcar blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que en el mes, se vendan todas las unidades de ambos productos?

R: 0.00069

PARAMETROS DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 9.36. La desviación típica de la distribución de estaturas de los 200 alumnos de un centro es igual a

4 cm. Si 10 miden más de 175 cm., determine el promedio de la distribución. R. 164.42

9.37. Sólo 24 de los 200 alumnos de un Centro miden menos de 150 cm. Si la estatura media de

dichos alumnos es de 164 cm., ¿cuál es su varianza? R: 143.18 cm ²

9.38. El 80% de los integrantes de un grupo de personas tienen menos de 30 años. Sabiendo que la

edad media del grupo es de 24 años, calcule su desviación típica. R: 7.13

9.39. 312 de los 1200 tornillos producidos durante una hora en una factoría miden más de 11.28

cm. Sabiendo que el primer decil de la distribución es igual a 7.44 cm, calcule su media y su desviación típica.

R: 10; 2

9.40. Determine la media y la desviación típica de las puntuaciones de un test de agresividad que se aplicó a 120 individuos, sabiendo que 30 alcanzaron menos de 40 puntos y que el 60% obtuvieron puntuaciones comprendidas entre 40 y 90 puntos.

R: 59.71; 29.22


pág. 190

10. APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

10.1. INTRODUCCIÓN La probabilidad de ocurrencia de un evento en una distribución binomial está dado por:

Donde es el número de combinaciones de tamaño x que se pueden hacer con el número de ensayos; este valor está dado por:

Se lo obtiene en la mayoría de las veces con el uso de una calculadora o con la función COMBINAT del Excel, sin embargo si n es muy grande el número de combinaciones resulta ser una cantidad astronómica lo que dificulta y vuelve materialmente imposible calcular y manejar el resultado. Por otro lado, en el cálculo de probabilidades acumuladas, por ejemplo requiere determinar:

Lo que resulta ser una tarea demasiado larga. Si en una distribución binomial se cumple con y entonces se puede aproximar la distribución binomial en una distribución normal, es decir:

Para esto, es necesario encontrar la media aritmética y la desviación estándar, entonces:

; √


pág. 191

10.2. PROBLEMAS RESUELTOS 10.1. Se sabe que el 30% de todas las llamadas que llegan a una central telefónica son llamadas de

larga distancia. Si llegan 200 llamadas a esta central telefónica, ¿Cuál es la probabilidad de que más de 50 llamadas sean de larga distancia?

Variable aleatoria : Bombilla defectuosa,

Requisitos Estadísticos

a.

(OK) b.

(OK)

√

√

10.2. Se lanza una moneda correcta al aire 400 veces. Se pide calcular la probabilidad de obtener un

número de “caras” comprendidas entre 180 y 210 ambos inclusive.

Variable aleatoria : obtener “cara” en el lanzamiento de una moneda,


a.

(OK) b.

(OK)

√

√


pág. 192

10.3. Supongamos que un tirador tiene probabilidad de 0.45 de acertar en la diana. Hallar la

probabilidad de que después de realizar 200 disparos haya acertado al menos 100 lanzamientos. Hacerlo mediante la distribución binomial y la aproximación normal y comparar los resultados.

Variable aleatoria : acertar el disparo en la diana,


a.

(OK) b.

(OK)

√

√


pág. 193

10.4. Un examen tipo test consta de 40 preguntas a contestar verdadero o falso. El examen se aprueba si se contesta correctamente al menos 28 preguntas. Un alumno responde al examen al azar; aproximando la distribución binomial a la normal hallar la probabilidad de aprobar el examen.

Variable aleatoria : responder correctamente las preguntas del test,


c.

(OK) d.

(OK)

√

√

10.5. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la sangre es de

0.40. Si se sabe que 100 personas han contraído esta enfermedad, Determine es la probabilidad de que:

a. Al menos 38 sobrevivan. b. Menos de 43 sobrevivan. c. Entre 37 y 42 sobrevivan.

Variable aleatoria : paciente sobreviva a una rara enfermedad,


a. (OK)

b.

(OK)

√

√


pág. 194

10.6. Una máquina produce componentes que son defectuosos en un 10%. Se elige al azar una

muestra de 85 componentes. Calcular las probabilidades de que: a. Como mucho 5 componentes estén defectuosos, b. Tenga 4 o más componentes defectuosos. Variable aleatoria : paciente de recupere de una rara enfermedad,


pág. 195


c.

(OK)

d.

(OK)

√

√

10.7. Los archivos de una empresa constructora indican que diariamente faltan 4% de sus 1100 empleados. Calcular la probabilidad de que un día cualquiera:

a. Falten por lo menos 30 empleados. b. Falten entre 50 y 60 empleados.

Variable aleatoria : empleados falten al trabajo,


pág. 196


a.

(OK)

b.

(OK)

√

√

10.8. Un cierto equipo electrónico está formado por 1000 componentes conectados. Si cada componente tiene una probabilidad de 0.02 de romperse cuando el equipo es lanzado en un cohete, hallar la probabilidad de que al hacerlo se rompan 18 o más componentes.

Variable aleatoria : componente conectado se rompe,


pág. 197


a.

(OK)

b.

(OK)

√

√

10.9. Un examen tipo test consta de 38 preguntas a contestar verdadero o falso. El examen se aprueba si se contesta correctamente al menos 20 preguntas. Un alumno responde al examen lanzando al aire una moneda y contestando verdadero si sale cara y falso si sale cruz.

a. Hallar la probabilidad de aprobar el examen b. Hallar la probabilidad de acertar más de 24 y menos de 31.

Variable aleatoria : contesta correctamente la pregunta,


a. (OK)

b.

(OK)

√

√


pág. 198

10.10. Si 35% de los productos manufacturados en cierta línea de producción es defectuoso,

determine la probabilidad de que entre los siguientes 1000 productos manufacturados en esa línea se encuentren:

a. Menos de 354 productos defectuosos. b. Entre 342 y 364 productos defectuosos.

Variable aleatoria : producto defectuoso,


c.

(OK)

d.

(OK)

√

√


pág. 199


pág. 200

10.3. PROBLEMAS PROPUESTOS

10.11. El 2% de los tornillos fabricados por una máquina presentan defectos. Si se tiene un lote de 2000 tornillos cuál es la probabilidad de que haya más de 50 defectuosos.

R: 0.0548

10.12. Un tirador acierta en el blanco el 70% de sus tiros. Si el tirador participa en una competencia

y tira 150 veces ¿Cuál es la probabilidad de que acierte más de 80 tiros?

R: 0.8132

10.13. Se lanza una moneda 200 veces. Calcula la probabilidad de que salgan a lo sumo 109 caras; además la probabilidad de que caigan entre 90 y 105 caras.

R: 0.9098; 0.6819

10.14. En la convención de un partido político se plantea llevar a cabo una encuesta para detectar la

preferencia de los votantes con respecto a los candidatos A y B que ocuparán un puesto en la administración pública. Si se toma una muestra de 1000 ciudadanos, ¿cuál es la probabilidad de que 510 o más de los votantes indiquen una preferencia por el candidato A, si la población, con respecto a los candidatos se encuentra igualmente dividida?

R: 0.2742

10.15. En una ciudad una de cada tres familias posee conexión de televisión por cable. Si se eligen al

azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya entre 40 y 50 familias que tengan conexión de televisión por cable.

R: 0.0105

10.16. Una prueba consta de 300 preguntas de verdadero o falso, para un sujeto que respondiese al azar, encuentre la probabilidad de que acertase: a. 139 preguntas o menos. b. Más de 140 y menos de 160. c. Al menos 160 preguntas.

R: 0.119; 0.7415; 0.1423

10.17. El 5% de los libros prestados en una biblioteca de un centro escolar son técnicos. Si se toman los últimos 500 préstamos, calcular la probabilidad de que se hayan prestado entre 25 y 30 libros técnicos.

R: 0.2123

10.18. Una prueba de opción múltiple tiene 200 preguntas, cada una con 4 posibles respuestas, de las cuáles solo una es la correcta ¿cuál es la probabilidad de que al azar se den de 25 a 30 respuestas correctas para 80 de las 200 preguntas acerca de los cuales el estudiante no tiene conocimientos?

R: 0.0936


pág. 201

10.19. El porcentaje de vacas que enferman después de suministrarles una determinada vacuna es del 2% .En una granja se vacuna a 600 vacas. Determine:

a. La probabilidad de que se enfermen como máximo 10 vacas vacunadas. b. La probabilidad de que enfermen como mínimo 15 vacas vacunadas.

R: 0.3336; 0.2327

10.20. Un control de calidad es superado por cuatro de cada cinco artículos de pesca. Se someten a dicho control un total de 225 artículos.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que máximo 170 artículos superen el control de calidad? b. ¿Cuál es la probabilidad de que superen el control de calidad entre 170 y 187 (incluidos)

artículos? c. ¿Cuál es la probabilidad de que mínimo 187 artículos superen el control de calidad?

R: 0.057; 0.8543; 0.1400

RESUMEN: Descripción del uso de varias herramientas informáticas en Excel, SPSS y en el programa Graphmatica para el cálculo de probabilidades, el trazado del gráfico de la distribución normal y el cálculo del área bajo la curva por el método de Integración por la regla de trapecios.

HERRAMIENTAS INFORMÁTICAS PARA EL CÁLCULO DE PROBABLIDADES

SEGUNDA SECCIÓN


pág. 202

SECCIÓN 2.-

11. HERRAMIENTAS INFORMÁTICAS PARA EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES .................... 203

11.1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 203

11.2. TABLAS DE CONTINGENCIA Y TABLAS DE PROBABILIDAD ............................................... 203

11.2.1. TABLAS DINÁMICAS EN EXCEL ......................................................................................... 203

11.2.2. TABLAS CRUZADAS EN SPSS ............................................................................................ 206

11.3. COMBINATORIA CON FUNCIONES DE EXCEL .................................................................. 207

11.3.1. FUNCIÓN FACT................................................................................................................. 207

11.3.2. FUNCIÓN PERMUTACIONES ............................................................................................ 207

11.3.3. FUNCIÓN COMBINAT....................................................................................................... 208

11.4. COMBINATORIA EN UNA CALCULADORA ........................................................................ 209

11.5. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL EN EXCEL ................................................................................ 209

11.6. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL CON SPSS ............................................................................... 212

11.6.1. FUNCIÓN PDF.BINOM ...................................................................................................... 212

11.6.2. FUNCIÓN CDF.BINOM...................................................................................................... 213

11.7. DISTRIBUCIÓN NORMAL .................................................................................................. 214

11.7.1. TRAZADO DE LA CURVA NORMAL Y ÁREA BAJO LA CURVA ............................................ 214

11.7.2. FUNCIÓN DISTR.NORM.ESTAND.N .................................................................................. 216

11.7.3. FUNCIÓN INV.NORM.ESTAD.N ........................................................................................ 216

11.7.4. FUNCIÓN CDF.NORMAL DEL PROGRAMA SPSS ............................................................... 217


pág. 203

11. HERRAMIENTAS INFORMÁTICAS PARA EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES 11.1. INTRODUCCIÓN A simple vista, la cuantificación de la probabilidad de un evento se resume en el cálculo aritmético del cociente entre el número de caso favorables para el total de casos; sin embargo la cuantificación de los casos favorables como también del total de casos, requieren en muchas ocasiones de procesos numéricos laboriosos, los mismos que pueden ser desarrollados en una calculadora, en hojas electrónicas o con algún software estadístico tal como el SPSS. En la Unidad 4 de la Primera Sección de este texto, se determinó el cálculo de probabilidades de eventos combinados y de eventos marginales mediante la organización de estos eventos en una tabla de contingencia, y luego, aplicando la definición clásica de probabilidad, se creó la tabla de probabilidades; la tabla de contingencia y la tabla de probabilidad se pueden obtener mediante el uso de herramientas específicas para este fin que se encuentran en el Excel y en el SPSS. Con algunas funciones de Excel como de SPSS se podrá obtener los resultados para el cálculo de factoriales, permutaciones, variaciones y combinaciones, sin perjuicio de que también se pueden obtener estos resultados con una calculadora de bolsillo. Por otro lado, el cálculo de probabilidades en eventos de variable cuantitativa continua que se aproximan a la distribución normal requiere de la determinación del área bajo la curva de Gauss en un intervalo dado; es conocido también que la función de Gauss no tiene primitiva; razón por la cual el área bajo la curva se la determina por el método de la regla del trapecio o Regla de Simpson. El programa Graphmatica permite trazar la curva de Gauss en variable estandarizada y con las herramientas propias de este programa se podrá determinar el área bajo la curva, la misma que representa la probabilidad de ocurrencia de dicho evento en el intervalo dado. 11.2. TABLAS DE CONTINGENCIA Y TABLAS DE PROBABILIDAD En esta parte se hará una descripción detallada de la elaboración de tablas de contingencia y tablas de probabilidad en el programa Excel y en el programa SPSS; en la Hoja electrónica las tablas de contingencia y probabilidad se las elabora con la herramienta de Tablas dinámicas y en el programa estadístico SPSS con la opción tablas cruzadas. 11.2.1. TABLAS DINÁMICAS EN EXCEL Una de las herramientas más utilizadas en el Excel es la de Tablas dinámicas; esta herramienta permite en forma automática la elaboración de tablas de doble entrada o tablas de contingencia, en la cual se registran los eventos que ocurren de manera simultánea en dos variables aleatorias. A manera de ejemplo ilustrativo se va a desarrollar una tabla de doble entrada, junto con su tabla de probabilidades, con las variables aleatorias de la base de datos Parque nacional.xls; este archivo lo puede obtener en: www.cedicaped.com.ec Actividad de aprendizaje Con los datos del archivo Parque nacional.xls y con la herramienta tablas dinámicas del Excel, elabore una tabla de doble entrada con las variables Estado civil y Motivo de visita.

http://www.cedicaped.com.ec/


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1. Abra el archivo parque nacional.xls 2. Señale el rango de celdas con la información que se encuentra en la hoja Datos. 3. En la pestaña Insertar del menú principal active el ícono de Tablas dinámicas, entonces aparecerá

la tarjeta de diálogo que se indica:

4. En este cuadro de diálogo el usuario deberá en primer lugar, seleccionar una tabla o rango con los datos para el análisis; observe que los datos ya se encuentran seleccionados.

5. Una vez seleccionado la tabla o el rango de datos en análisis el usuario deberá elegir el lugar dónde desea colocar el informe de resultados de la tabla dinámica; el programa presenta dos opciones: Nueva hoja de cálculo o en una Hoja de cálculo existente. En la primera opción el programa crea una nueva hoja de cálculo y en esa hoja ubica el informe del resultados, en la segunda opción el programa activa el campo ubicación en el cual el usuario deberá indicar la celda de referencia de una hoja de cálculo existente en donde desea ubicar el informe correspondiente. Finalmente deberá dar un clic en el botón aceptar.

6. Ahora el programa, en la nueva hoja de cálculo o en la hoja de cálculo existente, registra un cuadro de diálogo en el cual aparecen los campos de la tabla seleccionada y la cuadrícula de ubicación de filas, columnas y datos de la tabla a construir: a. Seleccione la variable Estado civil y manteniendo presionado el botón izquierdo del mouse

arrastre hacia el campo FILAS.

b. Seleccione la Variable Motivo y manteniendo presionado el botón izquierdo del mouse arrastre hacia el campo COLUMNAS.

c. Seleccione nuevamente cualquiera de las dos variables y manteniendo presionado el botón izquierdo del mouse coloque esta variable en el campo VALORES.


pág. 205

De esta manera obtendrá la tabla de contingencia o de doble entrada que se indica:

7. Para obtener la tabla de probabilidades el usuario debe dar un clic con el botón derecho en cualquiera de los valores de la tabla de contingencia y luego tomar la opción Configuración del campo de valor, con lo cual se desplegará el siguiente cuadro de diálogo:

8. En este cuadro de diálogo ahora deberá activar la pestaña Mostrar valores como y luego tomar la opción % del total general; en forma inmediata, los valores de la tabla de contingencia se transformarán en porcentajes que representan la probabilidad de ocurrencia de eventos marginales (Total general de filas y columnas) y la probabilidad de eventos combinados de ocurrencia simultánea, tal como se indica en la siguiente imagen:

Estado civil Descanso Negocios Salud Turismo Total general

Casado 20 10 16 20 66

Divorciado 10 6 11 5 32

Soltero 9 7 5 8 29

U libre 3 4 1 4 12

Viudo 4 1 6 11

Total general 46 28 39 37 150

Estado civil Descanso Negocios Salud Turismo Total general

Casado 13,33% 6,67% 10,67% 13,33% 44,00%

Divorciado 6,67% 4,00% 7,33% 3,33% 21,33%

Soltero 6,00% 4,67% 3,33% 5,33% 19,33%

U libre 2,00% 2,67% 0,67% 2,67% 8,00%

Viudo 2,67% 0,67% 4,00% 0,00% 7,33%

Total general 30,67% 18,67% 26,00% 24,67% 100,00%


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11.2.2. TABLAS CRUZADAS EN SPSS Con el programa SPSS se podrá también obtener una tabla de contingencia y su correspondiente tabla de probabilidad; a manera de ejemplo ilustrativo se va a desarrollar la misma tabla de doble entrada, junto con su tabla de probabilidades; este archivo lo puede obtener en: www.cedicaped.com.ec Actividad de aprendizaje: 1. Abra el archivo parque nacional.sav 2. Desarrolle el proceso Analizar/Estadísticos descriptivos/Tablas cruzadas, con lo cual se desplegará

el siguiente cuadro de diálogo:

3. En el campo Filas traslade la variable NIVEL DE INSTRUCCIÓN, en el campo Columnas ubique la variable MOTIVO DE VISITA AL PARQUE, luego activar el botón Casillas y seleccionar en el campo Porcentajes la opción Total; de esta manera obtendrá en la vista Resultados la tabla de contingencia (Recuento) y la tabla de probabilidades (porcentajes), tal como se indica en la siguiente imagen:



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ESTADO CIVIL*MOTIVO DE VISITA AL PARQUE tabulación cruzada

MOTIVO DE VISITA AL PARQUE

Total Descanso Negocios Salud Turismo

ESTADO CIVIL

Casado Recuento 20 10 16 20 66

% del total 13,3% 6,7% 10,7% 13,3% 44,0%

Divorciado Recuento 10 6 11 5 32

% del total 6,7% 4,0% 7,3% 3,3% 21,3%

Soltero Recuento 9 7 5 8 29

% del total 6,0% 4,7% 3,3% 5,3% 19,3%

U libre Recuento 3 4 1 4 12

% del total 2,0% 2,7% 0,7% 2,7% 8,0%

Viudo Recuento 4 1 6 0 11

% del total 2,7% 0,7% 4,0% 0,0% 7,3%

Total Recuento 46 28 39 37 150

% del total 30,7% 18,7% 26,0% 24,7% 100,0%

11.3. COMBINATORIA CON FUNCIONES DE EXCEL Para la combinatoria, el Programa Excel dispone las siguientes funciones de cálculo: 11.3.1. FUNCIÓN FACT Esta función entrega como resultado el factorial de un número; al activar la función FACT, que se encuentra en la categoría de funciones Matemáticas y trigonométricas, se despliega la siguiente ventana:

La función FACT requiere como argumento el número cuya factorial se desea obtener; puede ingresar directamente el número o también la referencia de la celda; finalmente puede utilizar como argumento una fórmula; recuerde que 𝑛 ≥ 0. 11.3.2. FUNCIÓN PERMUTACIONES Esta función entrega como resultado el número de variaciones, es decir: el número de arreglos u ordenaciones de tamaño 𝒓 que se pueden hacer con 𝒏 objetos; al activar la función PERMUTACIONES, que se encuentra en la categoría de funciones Matemáticas y trigonométricas, se despliega la siguiente ventana:


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La función PREMUTACIONES requiere dos argumentos: Argumento Número representa el número de objetos 𝒏 que se desea ordenar Argumento Tamaño representa el tamaño 𝒓 de los arreglos u ordenaciones que se desea realizar con los 𝒏 objetos (𝑟 ≤ 𝑛); si 𝑟 = 𝑛 la variación toma el nombre de permutación. 11.3.3. FUNCIÓN COMBINAT Esta función entrega como resultado el número de combinaciones, es decir: el número grupos o subconjuntos de 𝒓 elementos que se pueden hacer con 𝒏 objetos; al activar la función COMBINAT que se encuentra en la categoría de funciones Matemáticas y trigonométricas, se despliega la siguiente ventana:

La función COMBINAT requiere dos argumentos: Argumento Número representa el número de objetos 𝒏 que se desea ordenar Argumento Tamaño representa el tamaño 𝒓 de los arreglos u ordenaciones que se desea realizar con los 𝒏 objetos (𝑟 ≤ 𝑛); si 𝑟 = 𝑛 la variación toma el nombre de permutación.


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11.4. COMBINATORIA EN UNA CALCULADORA

En toda calculadora, como la que se indica en la figura derecha (Casio fx-115MS) se puede encontrar los valores den análisis combinatorio, es decir:

11.5. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL EN EXCEL La probabilidad de eventos bajo la distribución binomial está dado por:

𝑃(𝑥) = 𝐶(𝑛, 𝑥) × 𝑝𝑥 × (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 Para calcular la probabilidad de ocurrencia de eventos en variable aleatoria discreta el programa Excel presenta la función DISTR.BINOM.N; esta función se encuentra en la categoría ESTADÍSTICAS al activar esta función el programa desplegará el siguiente cuadro de diálogo:

Para calcular 𝑛! escriba el número, la tecla SHIFT y luego la tecla indicada

Para calcular 𝐶(𝑛, 𝑟) escriba 𝑛, la tecla SHIFT, la tecla señalada y finalmente 𝑟

Para calcular 𝑉(𝑛, 𝑟) escriba 𝑛, la tecla SHIFT, la tecla señalada y luego 𝑟


pág. 210

La función DISTR.BINOM.N requiere de los siguientes argumentos: Num_éxito: Corresponde al número de casos de ocurrencia del evento cuya probabilidad se desea encontrar, es el valor 𝒙 de análisis. Ensayos: corresponde al número total de ensayos que se realizan, es el valor n Prob_éxito: Es el valor que representa la probabilidad de ocurrencia del evento binomial, corresponde al valor p Acumulado: Es un valor lógico se presenta así: VERDADERO: Calcula la probabilidad acumulada hasta el valor de análisis, es decir 𝑃(𝑥 ≤ 𝑎) FALSO: Calcula la probabilidad puntual del valor de análisis, es decir 𝑃(𝑥 = 𝑎) A continuación se incluye un ejemplo ilustrativo: Se realizan 6 ensayos de un experimento binomial cuya probabilidad de ocurrencia del mismo está dado por 𝑝 = 0.35; determine: a. 𝑃(𝑥 ≤ 4) b. 𝑃(𝑥 = 4)

Solución:


pág. 211

𝑃(𝑥 ≤ 4) = 0.9779

𝑃(𝑥 = 4) = 0.0951


pág. 212

11.6. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL CON SPSS El programa estadístico SPSS presenta dos funciones para el cálculo de probabilidades de eventos bajo la distribución Binomial: la función PDF.BINOM para el cálculo de probabilidad puntual y CDF.BINOM para el cálculo de probabilidad acumulada. Las funciones del SPSS tienen una estructura similar a las funciones del Excel, es decir que luego del nombre de la función debe colocarse dentro de un paréntesis los argumentos de cálculo; en SPSS las funciones se encuentran en: Transformar/Calcular variable. 11.6.1. FUNCIÓN PDF.BINOM Al activar la calculadora virtual del SPSS se desplegará la siguiente ventana;

El usuario deberá ingresar el nombre de la variable donde se alojará el resultado de la función; en Grupo de funciones/Todas podrá ubicar la función PDF.BINOM, la misma que requiere según se indica tres argumentos:

𝑃𝐷𝐹. 𝐵𝐼𝑁𝑂𝑀(𝑐, 𝑛, 𝑝) Donde: 𝑐: Número de casos favorables cuya probabilidad se desea calcular 𝑛: Número total de ensayos. 𝑝: Probabilidad de ocurrencia.

La función PDF.BINOM devuelve como resultado la probabilidad puntual de un evento bajo la distribución binomial; como ejemplo se puede indicar el siguiente: Sea 𝑥 → 𝐵(5; 0.5), la probabilidad 𝑃(𝑥 = 3) se calcula con 𝑃𝐷𝐹. 𝐵𝐼𝑁𝑂𝑀(3,5,0.5). El resultado es 𝑃(𝑥 = 3) = 0.31


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11.6.2. FUNCIÓN CDF.BINOM La función CDF.BINOM devuelve la probabilidad acumulada de ocurrencia de eventos que se encuentran bajo la distribución binomial, al activar la calculadora virtual del SPSS y tomar la función indicada se desplegará la siguiente ventana:

La función PDF.BINOM tiene tres argumentos C𝐶𝐷𝐹. 𝐵𝐼𝑁𝑂𝑀(𝑐, 𝑛, 𝑝) Donde: 𝑐: Número acumulado de casos favorables cuya probabilidad se desea calcular 𝑛: Número total de ensayos. 𝑝: Probabilidad de ocurrencia.

Como ejemplo se puede indicar el siguiente: Sea 𝑥 → 𝐵(5; 0.5), la probabilidad 𝑃(𝑥 ≤ 3) se calcula con 𝐶𝐷𝐹. 𝐵𝐼𝑁𝑂𝑀(3,5,0.5). El resultado es 𝑃(𝑥 ≤ 3) = 0.81 Escribiendo en forma conveniente los argumentos de la función CDF.BINOM se puede determinar algunos casos particulares, tal como se indica en el siguiente cuadro:

Probabilidad acumulada Función en SPSS

𝑃(𝑥 ≤ 𝑐) 𝐶𝐷𝐹. 𝐵𝐼𝑁𝑂𝑀(𝑐, 𝑛, 𝑝) 𝑃(𝑥 < 𝑐) 𝐶𝐷𝐹. 𝐵𝐼𝑁𝑂𝑀(𝑐 − 1, 𝑛, 𝑝) 𝑃(𝑥 > 𝑐) 1 − 𝐶𝐷𝐹. 𝐵𝐼𝑁𝑂𝑀(𝑐, 𝑛, 𝑝) 𝑃(𝑥 ≥ 𝑐) 1 − 𝐶𝐷𝐹. 𝐵𝐼𝑁𝑂𝑀(𝑐 − 1, 𝑛, 𝑝)


pág. 214

11.7. DISTRIBUCIÓN NORMAL Para el cálculo de probabilidades de eventos aleatorios en variable aleatoria continua que se encuentra asociados con la distribución normal o de Gauss es necesario encontrar el valor estandarizado z y determinar el área bajo la curva de la función; tome en cuenta que la integral de la función de Gauss no tiene primitiva, entonces el área bajo la curva se la determina por la regla de trapecios o la regla de Simpson. El trazado de la curva normal y el cálculo del área bajo la misma se la puede obtener con el uso de algún software de análisis matemático; particularmente el programa Graphmatica, el mismo que puede obtenerse de www.cedicaped.com.ec 11.7.1. TRAZADO DE LA CURVA NORMAL Y ÁREA BAJO LA CURVA En el programa Graphmatica se ingresará para su análisis la ecuación que representa la función de Gauss, es decir:

y=1/sqrt (2*pi)*e^(-0.5x^2) {x:-4,4} O puede obtenerse directamente el archivo con la curva de gauss en www.cedicaped.com.ec Con lo cual se obtendrá el siguiente gráfico:

Este gráfico corresponde a la curva de la distribución normal estandarizada, por lo que su dominio está definido por: 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 ∶ −4 < 𝑥 < 4}

Partiendo del Menú principal del programa Graphmatica, desarrolle el proceso: Calulus/integrate con lo cual se desplegará el siguiente cuadro de diálogo




pág. 215

En este cuadro de diálogo el usuario puede observar que en el campo Equation 1 se encuentra la función de la distribución de Gauss definida en el dominio 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 ∶ −4 < 𝑥 < 4}.

En los campos Integrate From x = __________ To x ______ el usuario deberá ingresar los valores de 𝑧 tomando en cuenta: Para 𝑃(𝑥 < 𝑧) debe ingresar From x = -3.99 To x = 𝑧 Para 𝑃(𝑥 > 𝑧) debe ingresar From x = 𝑧 To x = 3.99 Para 𝑃(𝑧1 < 𝑥 < 𝑧2) debe ingresar From x = 𝑧1 To x = 𝑧2

Una vez que ha ingresado los límites de integración, presione ahora el botón Calculate, con lo cual aparecerá el área sombreada y el resultado correspondiente que representa la probabilidad de ocurrencia buscada. Con las herramientas de edición podrá ubicar los valores 𝑧 en el eje horizontal como también colocar a manera de etiqueta el valor correspondiente al área sobre el gráfico. Como ejemplo ilustrativo se incluye el siguiente: Calcule la probabilidad 𝑃(−1.56 < 𝑥 < 1.81); entonces se tiene:


pág. 216

11.7.2. FUNCIÓN DISTR.NORM.ESTAND.N La función DISTR. NORM.ESTAD.N devuelve el valor de la distribución normal para un valor de 𝒛 dado; esta función se encuentra en la categoría ESTADÍSTICAS, al activar la función mencionada se despegará el siguiente cuadro de diálogo:

La función DISTR. NORM.ESTAD.N requiere dos argumentos: Argumento z representa el valor de la variable estandarizada para el análisis. Argumento Acumulado es un valor lógico:

VERDADERO entregará el área bajo la curva normal en el intervalo ]−3,99; 𝑧[

FALSO entregará el valor de la ordenada de la curva normal tipificada para el valor z dado. 11.7.3. FUNCIÓN INV.NORM.ESTAD.N La función INV.NORM.ESTAD.N devuelve el valor estandarizado z de la distribución normal asociado con el valor del área bajo la curva dado; esta función se encuentra en la categoría ESTADÍSTICAS, al activar la función mencionada se despegará el siguiente cuadro de diálogo:

La función INV.NORM.ESTAD.N requiere como argumento, en el campo Probabilidad, el valor que representa el área bajo la curva; puede ingresar directamente el número o también la referencia de la celda; finalmente puede utilizar como argumento una fórmula; en todo caso el argumento se encuentra en el rango 0 < 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 <1.


pág. 217

11.7.4. FUNCIÓN CDF.NORMAL DEL PROGRAMA SPSS

La función CDF.NORMAL devuelve el valor correspondiente a la probabilidad acumulada de ocurrencia de eventos de variable cuantitativa continua bajo la distribución normal; esta función tiene tres argumentos:

𝐶𝐷𝐹. 𝑁𝑂𝑅𝑀𝐴𝐿(𝑐, 𝜇, 𝜎) Es decir: Sea 𝑋 → 𝑁(𝜇, 𝜎) la probabilidad (𝑥 < 𝑐) = 𝐶𝐷𝐹. 𝑁𝑂𝑅𝑀𝐴𝐿(𝑐, 𝜇, 𝜎). Como ejemplo: 𝑋 → 𝑁(5,2) la probabilidad (𝑥 < 3) = 𝐶𝐷𝐹. 𝑁𝑂𝑅𝑀𝐴𝐿(3,5,2) = 0.1587 Tome en cuenta los siguientes casos específicos:

Probabilidad acumulada Función en SPSS

𝑃(𝑥 ≤ 𝑐) 𝐶𝐷𝐹. 𝑁𝑂𝑅𝑀𝐴𝐿(𝑐 + 0.5, 𝜇, 𝜎) 𝑃(𝑥 < 𝑐) 𝐶𝐷𝐹. 𝑁𝑂𝑅𝑀𝐴𝐿(𝑐, 𝜇, 𝜎) 𝑃(𝑥 > 𝑐) 1 − 𝐶𝐷𝐹. 𝑁𝑂𝑅𝑀𝐴𝐿(𝑐 + 0.5, 𝜇, 𝜎) 𝑃(𝑥 ≥ 𝑐) 1 − 𝐶𝐷𝐹. 𝑁𝑂𝑅𝑀𝐴𝐿(𝑐, 𝜇, 𝜎)

www.cedicaped.com

CEDICAPED.- CENTRO DE ESTUDIOS DIDÁCTICA Y CAPACITACIÓN

AREA BAJO LA CURVA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL de 0 a 𝒛

𝒛 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0,1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753

0,2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

0,3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517

0,4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879

0,5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224

0,6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549

0,7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852

0,8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133

0,9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389

1,0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621

1,1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830

1,2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015

1,3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177

1,4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319

1,5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441

1,6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545

1,7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633

1,8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706

1,9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767

2,0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817

2,1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857

2,2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890

2,3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916

2,4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936

2,5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952

2,6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964

2,7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974

2,8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981

2,9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986

3,0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

3,1 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993

3,2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995

3,3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997

3,4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998

3,5 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998

3,6 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999

3,7 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999

3,8 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999

3,9 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000

B I B L I O G R A F I A

1. ANDERSON David, SWEENEY Dennis, WILLIAMS Thomas, “Estadística para Administración y Economía”, Editorial Thomson Learning México 1999.

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Acerca del autor: Daniel Herrera Aráuz (Quito, 1960) es Ingeniero Civil y Magister en Docencia Matemática, títulos otorgados por la Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Matemática de la Universidad Central del Ecuador; además tiene el título de Diplomado Superior en Gestión de Proyectos, otorgado por la Facultad de Ciencias Económicas de la misma universidad. Desde marzo de 1990 hasta diciembre de 2014, ejerció las funciones de Fiscalizador de Obras de Agua Potable y Saneamiento en la Empresa Pública Metropolitana de Agua potable y Saneamiento de Quito, EPMAPS. Desde noviembre de 1993 hasta la presente fecha es profesor de Matemáticas, Estadística e Investigación Operativa de la Facultad de Ciencias Administrativas de la Universidad Central del Ecuador. A nivel de posgrado, Profesor de Matemática Aplicada, Matemática Financiera y Estadística en la Facultad de Ingeniería en la Universidad Central del Ecuador, En el Instituto de Altos Estudios Nacionales IAEN, en la Dirección General de Posgrados de la Universidad Tecnológica Equinoccial UTE y de la Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Técnica Particular de Loja, UTPL. Instructor de Excel, SSPS y Ms Project en el Centro de Educación Continua de la Facultad de Ciencias Administrativas de la Universidad Central del Ecuador, en el Centro de Educación Continua de la Escuela Politécnica Nacional, en el Centro de Educación Continua de la Universidad Tecnológica Equinoccial y en el Centro de Actualización de Conocimientos del Colegio de Ingenieros Civiles de Pichincha. Publicaciones Académicas: Matemática Financiera, Editorial Alfaomega, Colombia, 2017. SOFTDIMAFI; Software Didáctico para el estudio de Matemática Financiera, formato

digital, 2017. Probabilidad, Combinatoria y Distribuciones de Probabilidad, formato digital, 2017. Solucionario de Problemas propuestos del Texto de Probabilidad, Combinatoria y

Distribuciones de Probabilidad, formato digital, 2017. Estadística con SPSS, formato digital, 2017. Prácticas de Laboratorio de Estadística con SPSS, formato digital, 2017.

Comentarios: [email protected] www.cedicaped.com

Pedidos a: 0992745563; 022801667; 023444480

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