Probab i Lida Des

Estadística y Probabilidad

Manuel Hurtado Sánchez 1

UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTO TORIBIO DE MOGROVEJO VICE RECTORADO ACADÉMICO

ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL Y AM-

BIENTAL

IV Unidad: Probabilidades, Estimación Prue-

ba de Hipótesis

Manuel F. Hurtado Sánchez, Lic. Estad. MsC.

Chiclayo, junio del 2014



1° UNIDAD: PROBABILIDADES

1. Experimento aleatorio [ ξ ]: Es cualquier realización que puede presentarse

de distintas maneras, pero que en el momento de su realización se presenta de una única forma. También podemos decir que un experimento aleatorio es aquel que proporciona diferentes resultados aun cuando se repita siempre de la mis-ma manera.

Ejemplos.

ξ1 : Lanzar una moneda

ξ2 : Lanzar un dado

ξ3 : Contar las imperfecciones de un metro de tela.

ξ4 : Inspeccionar la calidad de un producto

ξ5 : Resultado de una operación financiera

ξ6 : Observar si una persona que pasa delante de un establecimiento comer-

cial decide ingresar a éste.

ξ7 : Observar si una persona que ingresó a un establecimiento comercial com-

pró algo.

ξ8 : Observar la velocidad de lectura de un estudiante

ξ9 : Medir la presión arterial de un paciente

ξ10 : Medir la temperatura de un paciente

En todos estos ejemplos, es fácil darnos cuenta, que si los experimentos se repiten varias veces se pueden obtener resultados diferentes, incluso en el úl-timo ejemplo siempre habrá la posibilidad de observar cambios en las medi-ciones aun cuando sean muy pequeños, estos siempre estarán presentes. En algunos casos los cambios en las mediciones podrían ser tan pequeños que fácilmente se pueden considerar como despreciables, en cambio en otros ca-sos los cambios podrían ser tan fuertes al grado que las conclusiones del ex-perimento no son muy evidentes.

2. Espacio muestral [ Ω ]. En un conjunto matemático, cuyos resultados están

asociados a cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio, mediante la relación epiyectiva, es decir que,

Cada resultado del experimento aleatorio está asociado con un único ele-mento del espacio muestral y

Cada elemento del espacio muestral está asociado con al menos un resul-tado posible del experimento aleatorio.



Un espacio muestral puede ser discreto o continuo. Se dice que es discreto cuando está formado por un conjunto finito (o infinito contable) de elementos; en cambio se dice que es continuo cuando está formado con un conjunto infinito no numerable de elementos.

Los espacios muestrales discretos suelen construirse con la técnica del diagra-ma del árbol.

Ejemplo de espacios muestrales:

1. Para el experimento del lanzamiento de una moneda. Si estamos interesados en el lado de la moneda que queda hacia arriba, el espacio muestral será:

Ω = C , S , donde C = cara; S = Sello

2. Para el experimento del lanzamiento de dos dados. Si estamos interesados en el número que queda hacia arriba en cada dado, el espacio muestral será:

6,65,64,63,62,61,6

6,55,54,53,52,51,5

6,45,44,43,42,41,4

6,35,34,33,32,31,3

6,25,24,23,22,21,2

6,15,14,13,12,11,1

6,5,4,3,2,16,5,4,3,2,16,5,4,3,2,12

Note aquí, que el espacio muestral tiene 6x6=36 elementos, es decir 36 pa-res ordenados en los que el primer número representa el número de puntos del 1° dado y el segundo número representa el número de puntos del 2° da-do.

3. Para el experimento de contar imperfecciones en un metro de tela. Aquí el in-terés ya está establecido, el espacio muestral será:

Ω = 0, 1, 2, 3, ……

4. Para el experimento de inspeccionar la calidad de un producto. Aquí el inte-rés será si el producto es bueno o malo.

Ω = B , M ; donde B = Bueno ; M = Malo



5. Para el experimento del resultado de una operación financiera. Aquí el inte-rés será si el que hace la operación financiera, gana, solo recupera su inver-sión o pierde:

Ω = G, R , P ; donde G = Gana ; R = Recupera ; P = Pierde

6. Para el experimento de observar si una persona que pasa frente a un esta-blecimiento comercial, decide entrar o no ha dicho establecimiento. Aquí el interés será si la persona entra o no entra al establecimiento comercial:

Ω = E , NE ; donde E = Entra ; NE = No entra

7. Para el experimento de observar si una persona que ingresó a un estableci-miento comercial, decide comprar algo o no. Aquí el interés será si la perso-na compra algo o no compra:

Ω = C , NC ; donde C = Compra algo ; NC = No compra algo

8. Para el experimento de observar la velocidad de lectura de un estudiante. Aquí el interés es el número de palabras leídas por minuto, el espacio mues-tral será:

Ω = 1 , 2, 3, 4, 5, 6, ….. = Conjunto de los números naturales

9. Para el experimento de medir la presión arterial de un paciente. Aquí el inte-rés serán dos número correspondientes a la presión diastólica y a la presión sistólica medidos en milímetros de mercurio:

Ω = Ps / Pd ϵ N; donde Pd = Presión diastólica (mmHg) Ps = Presión sistóli-ca (mmHg) N = Conjunto de los números Naturales

10. Para el experimento de medir la temperatura de un paciente. Aquí el interés será conocer la temperatura del paciente:

Ω = T / T ϵ R; donde T = Temperatura del paciente (grados centígrados) R = Conjunto de los números reales

3. Evento [ A ]: Definimos como evento a cualquier subconjunto del espacio

muestral, incluido el mismo espacio muestral Ω y el conjunto vacío Φ. Los

eventos pueden ser expresados por extensión o por compresión.

Ejemplo 1: En el espacio muestral del experimento de lanzar dos dados legales

podemos definir los siguientes eventos:

A1 = Sale el mismo número en ambos dados: Notación por compresión A1 = (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) : Notación por extensión

A2 = Sale un 6 en el primer dado : Notación por compresión A2 = (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) : Notación por extensión

A3 = La suma de puntos es menor que cinco: Notación por compresión A3 = (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1) : Notación por extensión



A2 A1

)6,6()5,6()4,6()3,6()2,6()1,6(

)6,5()5,5()4,5()3,5()2,5()1,5(

)6,4()5,4()4,4()3,4()2,4()1,4(

)6,3()5,3()4,3()3,3()2,3()1,3(

)6,2()5,2()4,2()3,2()2,2()1,2(

)6,1()5,1()4,1()3,1()2,1()1,1(

A3

Ejemplo 2: Para el experimento de medir la temperatura de un paciente, po-

demos definir los siguientes eventos:

E1 = Tiene una temperatura menor a 37 °C E1 = X / 0 ≤ X < 37

E2 = Tiene una temperatura entre 36 y 38 °C inclusive E2 = X / 36 ≤ X ≤ 38

E3 = Tiene una temperatura superior a 38 °C E3 = X / X > 38

Recordemos que el espacio muestral es

Ω = X / X ϵ R+ ; donde X = Temperatura corporal de un paciente (°C), R+ = Conjunto de los números reales positivos

E2

E1 E3

0 36 37 38

Ejemplo 3: Para el experimento de disparar a un blanco tres veces y si solo

nos interesa si el disparo da o no en el blanco, el espacio muestral será el si-guiente:

Ω = (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)

Donde: 0 y 1 representen una falla y un acierto respectivamente.



El diagrama del árbol para construir el espacio muestral será:

1° Tiro o

0

1

2| Tiro o o

0

1

0

1

3° Tiro o o o o

0 1 0 1 0 1 0 1

O O o o o o o o

Podemos definir los eventos: M = La persona no acierta en el blanco tres veces seguidas M = (0,0,0)

N = La persona acertará una vez y fallará en dos ocasiones N = (0,0,1), (0,1,0), (10,0)

3.1. Eventos especiales:

Evento cierto : Es aquel que cuando se realiza el experimento aleatorio, éste siempre ocurre, y viene a ser el mismo espacio muestral

Evento imposible : Es aquel que cuando se realiza el experimento alea-torio, éste nunca puede ocurrir, y viene a ser el conjunto vacío, el cual no tiene elementos.

3.2. Operaciones con eventos: En muchas situaciones interesan eventos

que en realidad son combinaciones de dos o más eventos, formados al to-mar uniones, intersecciones y complementos; de aquí la necesidad de es-tudiar las operaciones que se pueden hacer con eventos.

Como ya hemos dicho, que un evento es un subconjunto del espacio mues-tral y siendo el espacio muestral un conjunto asociado a todos los elemen-tos del experimento aleatorio, es fácil deducir que existe un isomorfismo en-tre teoría de eventos y teoría de conjuntos, es decir que todo lo que se cumple en conjuntos, se cumple también en eventos.

Así podemos convenir en la siguiente manera de leer los eventos y repre-sentarlos usando diagramas de venn:

A Ocurre el evento A

A’ No ocurre el evento A

A



BA Ocurre el evento A o el evento B

BA Ocurre el evento A y el evento B

BA Los eventos A y B son disjuntos o mutuamente excluyentes

BA El evento A está contenido en el evento B

Ejemplo 1: Sea Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , A = 1, 3, 5, 7, B = 6, 7, 8,

9, C = 2, 4, 8, y D = 1, 5, 9. Los elementos que corresponden a los si-guientes eventos usando el siguiente diagrama ven serán.

a. BA = 7

b. CBA )'( = 8

c. CB' = 1, 2, 3, 4, 5

d. DCB )'( = 1, 5

e. CA' = 2, 4, 8

f. DCA )'( = ɸ



4. Probabilidad de un evento: Es un número real comprendido entre cero y uno [0 , 1], que expresa una medida del grado de incertidumbre acerca de la ocurrencia de un evento, antes que este ocurra.

Existen dos enfoques para obtener la probabilidad de un evento, uno ob-jetivo y otro subjetivo.

4.1. Enfoque Objetivo: En este enfoque la probabilidad de un evento puede entenderse como una medida real del grado de incertidum-bre acerca de la ocurrencia de un evento antes que este ocurra.

El enfoque objetivo se suele utilizar en aquellas situaciones en don-de es posible que un experimento aleatorio pueda ser repetido mu-chas veces bajo las mismas condiciones, tal como ocurre en los juegos del azar o en fenómenos de Ingeniería En este enfoque, la probabilidad de un evento depende de la naturaleza del experimento aleatorio, por lo tanto tiene un único valor el cual debe ser calculado.

Aquí podemos distinguir nuevamente dos clases de probabilidad, la probabilidad matemática o de Laplace y la probabilidad por fre-cuencia relativa

4.1.1. Probabilidad matemática o de Laplace: Esta probabilidad se basa en un modelo razonable del sistema que se estudia mediante un experimento aleatorio.

Esta probabilidad se aplica en aquellas situaciones en que ca-da uno de los elementos del espacio muestral son equiproba-bles, es decir tienen la misma probabilidad de ocurrir, por ejemplo, cuando lanzamos una moneda legal, la probabilidad de obtener una cara es la misma que la probabilidad de obte-ner un sello [ P(C) = P(S) = 0.5 ], o cuando lanzamos un dado legal, también tenemos que la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los resultados es la misma, así: [ P(1) = P(2) = … = P(6) = 1/6 ].

La probabilidad matemática o de Laplace, de un evento A, se define como el cociente entre número de casos “igualmente probables” favorable a la ocurrencia de ese evento y el núme-ro todos de casos “igualmente probables”.

probablesigualmentecasosdetotalN

AeventoalfavorablesprobablesigualmentecasosdeNAP

º

º)(

)(

)()(

N

ANAP

Nota: Tenga presente que una posibilidad no es una pro-babilidad, la probabilidad es una medida de la posibilidad.



Ejemplo 1. Considere que lanzamos un dado legal sobre una superficie regular, ¿cuál será la probabilidad de obtener en el lado superior un número mayor de cuatro puntos?.

El espacio muestral es: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

A

Si el dado es legal, es decir físicamente simétrico y equilibra-do, entonces cada uno de estos resultados deben ser igual-mente probables o equiprobables, por lo que debemos tener:

6

1)6()5()4()3()2()1( PPPPPP

Sea el evento A = Sale un número mayor que 4, entonces los elementos de dicho evento son: A = 5, 6, por lo que su pro-babilidad será:

333.06

2

)(

)()(

N

ANAP

Ejemplo 2. Considere que lanzamos dos dados legales sobre una superficie regular, ¿cuál será la probabilidad de obtener en el lado superior, números cuya suma sea menor que cinco puntos?.

Es espacio muestral y el evento de interés de muestran a con-tinuación: A

)6,6()5,6()4,6()3,6()2,6()1,6(

)6,5()5,5()4,5()3,5()2,5()1,5(

)6,4()5,4()4,4()3,4()2,4()1,4(

)6,3()5,3()4,3()3,3()2,3()1,3(

)6,2()5,2()4,2()3,2()2,2()1,2(

)6,1()5,1()4,1()3,1()2,1()1,1(

En este caso nuevamente cada uno de los elementos del es-pacio muestral son equiprobables

36

1)6,6()3,1()2,1()1,1( PPPP

Sea el evento A = la suma de puntos es menor que cinco

A = (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1)

1666.036

6

)(

)()(

N

ANAP



4.1.2. Probabilidad por frecuencia relativa: Esta probabilidad se basa en el modelo conceptual de la repetición de un experi-mento aleatorio. Aquí la probabilidad de un evento se interpre-ta como el valor límite de la proporción de veces en que apa-rece el evento en n repeticiones del experimento aleatorio, cuando n tiende a ser muy grande (n →∞ )

kn

AnLimAP n

)()(

Ejemplo: Considere que en una gran encuesta a 2000 perso-nas adultas se preguntó entre otras cosas por el estado civil, encontrando la siguiente distribución de frecuencias.

Tabla N° Estado civil de 2000 personas adultas de la ciudad de Lambayeque. Diciembre del 2011

Estado Civil (Ai)

N° de personas (ni) N (Ai)

Proporción de personas (pi) Probabilidad: P(Ai)

Soltero 680 0.34

Casado 720 0.36

Conviviente 340 0.17

Divorciado 60 0.03

Separado 140 0.07

Viudo 60 0.03

Total (n) 2000 1

Aquí, debido a que el tamaño de muestra es suficientemente grande ( 0n ), las frecuencias relativas pueden ser conside-

radas como probabilidades, es decir que, si de la población de referencia seleccionamos aleatoriamente una persona adulta, la probabilidad que sea soltera será 0.34, así sucesivamente.

4.2. Enfoque subjetivo: En este enfoque, la probabilidad de un evento puede interpretarse como el grado de creencia de que ocurra el evento. Aquí puede suceder que personas diferentes no duden en asignar probabilidades diferentes al mismo evento. Así por ejemplo la probabilidad de que un negocio sea exitoso para el sujeto A po-dría ser igual a 0.25; en cambio para el sujeto B este mismo evento podría tener una probabilidad igual a 0.40; incluso podría variar en una misma persona, de un tiempo a otro, dependiendo de su estado de ánimo u optimismo para emprender un nuevo negocio. En todos los casos dichas probabilidades serían igualmente lícitas, puesto que son sus creencias.

Este enfoque suele ser utilizado en situaciones en que el experi-mento aleatorio no es posible repetirlo muchas veces bajo las mis-mas condiciones, tal como ocurre en los fenómenos sociales en donde no se puede repetir la historia.



5. Axiomas de probabilidad

Los axiomas de probabilidad son premisas que no requieren demostración; pero que sobre las cuales se construye la teoría de probabilidades.

i. La probabilidad de un evento es un número real no negativo: 0)( AP

ii. La probabilidad del espacio muestral es igual a uno. 1)( P

iii. Si A1, A2, A3, …. Es una sucesión finita o infinita de eventos mutuamente excluyentes de un mismo espacio muestral, entonces:

...)()()...( 21321 APAPAAAP

6. Algunas reglas de probabilidad

En base a los tres axiomas de probabilidad, se pueden deducir muchas reglas que tienen aplicaciones importantes.

i. Si A y A’ son eventos complementarios en un espacio muestral Ω:

)(1)'( APAP

ii. La probabilidad del evento imposible siempre es cero: 0)( P

ɸ

iii. Si A y B son eventos de un mismo espacio muestral, tal que BA ,

entonces: )()( BPAP

iv. Si A y B son dos eventos cualquiera de un mismo espacio muestral Ω,

entonces: )()()()( BAPBPAPBAP

Ω



v. Si A, B y C son tres eventos cualquiera de un mismo espacio muestral Ω, entonces:

)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP

Esta regla podría ser extendida a la reunión de más de tres eventos usando el mismo razonamiento.

Ejemplo 1. En la ciudad de Chiclayo, las probabilidades son 0.86, 0.35 y 0.29 de que una familia escogida aleatoriamente para una encuesta por muestreo tenga un aparato de TV con tecnología LED, un aparato de TV con tecnología LCD, o ambas clases de aparatos respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia posea cualquiera de los dos o ambos aparatos?

Solución Sea: A = La familia tiene un televisor con tecnología LED

B = La familia tiene un televisor con tecnología LCD

Entonces tenemos: P(A) = 0.86 P(B) = 0.35 P(A∩B) = 0.29

)()()()( BAPBPAPBAP

= 0.86 + 0.35 - 0.29 = 0.92

Ejemplo 2. Cerca de la llegada al desvío por vía de evitamiento norte de la ciudad de Chiclayo, las probabilidades son 0.23 y 0.24, de que un camión parado al costado de la pista, tendrá frenos defectuosos o neumáticos muy gastados. También, la probabilidad es de 0.38 de que un camión pa-rado en esta zona tendrá frenos defectuosos o neumáticos muy gastados. ¿Cuál es la probabilidad de que un camión parado al costado de la pista tendrá los frenos defectuosos y los neumáticos muy gastados?.

Solución Sea:

A = El camión tiene frenos defectuosos B = El camión tiene los neumáticos muy gastados

Entonces tenemos: P(A) = 0.23 P(B) = 0.24 P(AυB) = 0.38



Sabemos que )()()()( BAPBPAPBAP entonces debemos tener

que )()()()( BAPBPAPBAP

= 0.23 + 0.24 - 0.38 = 0.09

Ejemplo 3. Si una persona acude con su dentista, supongamos que la probabilidad de que le limpie la dentadura es de 0.44, la probabilidad de que le tape una caries es 0.24, la probabilidad de que se le extraiga un diente es 0.21 , la probabilidad de que se le limpie la dentadura y le tape una caries es 0.08, la probabilidad de que le limpie la dentadura y le ex-traiga un diente es 0.11, la probabilidad de que le tape una caries y le sa-que un diente es 0.07 y la probabilidad de que le limpie la dentadura, le ta-pe una caries y le saque un diente es 0.03. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona que acude con su dentista se le haga por lo menos uno de estos tres procedimientos?

Solución Sea: A = Limpieza de dentadura

B = Tapar caries C = Extraer un diente

Entonces tenemos: P(A) = 0.44 P(B) = 0.24 P(C) = 0.21 P(A∩B) = 0.08 P(A∩C) = 0.11 P(B∩C) = 0.07 P(A∩B∩C) = 0.03

Sabemos que:

)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP

= 0.44 + 0.24 + 0.21 - 0.08 - 0.11 - 0.07 + 0.03

= 0.66

7. Probabilidad condicional

Dados dos eventos A y B con P(B) > 0, la probabilidad condicional de A dado B, expresada como P(A/B), representa la fracción de veces que ocu-rre A sabiendo que ha ocurrido B. Su cálculo corresponde al cociente en-tre la probabilidad de que ocurra A y B (ambos) y probabilidad de que ocu-rra B.

)(

)()/(

BP

BAPBAP

Esto significa que el suceso B ocurrirá una fracción P(B) veces y, asimis-mo A y B (ambos) ocurrirá una fracción )( BAP de las veces. El cocien-

te )(/)( BPBAP indica la proporción de veces que cuando ocurre B,

ocurre también A. Esto es, Si ignoramos las veces en que B no ocurre, y

consideramos solo aquellas en que ocurre, el cociente )(/)( BPBAP

corresponde a la fracción de veces que A también sucederá. Esto es pre-cisamente lo que significa la probabilidad condicional de A dado B.



La probabilidad condicional de A dado B también podría ser entendida como la probabilidad de A en un nuevo espacio muestral reducido dado por B

En efecto, es fácil probar que las dos expresiones que aparecen en la fi-gura anterior son equivalentes.

)(#

)(#

)(#

)(#

)(#

)(#

)(

)()/(

B

BA

B

BA

BP

BAPBAP

Ejemplo 1: Consideremos el lanzamiento de tres monedas, en donde el espacio muestral es:

Ω = ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss

Donde: P(ccc) = P(ccs) = P(csc) = ….. = P(sss) = 1/8

¿Cuál es la probabilidad de que la primera moneda sea cara?

Naturalmente esta probabilidad es ½, lo que podemos establecer de ma-nera más formal establecer como

P(cara en la primera moneda)= P( ccc, ccs, csc, css ) =4/8 = ½.

Pero consideremos que sabemos que en dos de las tres monedas ha sali-do cara. ¿Cuál es ahora la probabilidad de que la primera moneda sea ca-ra?.

La cuestión es que ha cambiado nuestra información disponible, es decir nuestro nivel de ignorancia, y en consecuencia habrán cambiado las pro-babilidades correspondientes. De hecho, si sabemos que dos de las tres

A B

Ω

A∩B

Aquí, las probabilidades P(A), P(B) y P(A∩B) están definidas sobre el espacio muestral Ω. P(A/B) = P(A∩B) / P(B)

En cambio aquí, el evento B funciona como un espacio muestral reducido

P(A/B) = # (A∩B) / # (B)



monedas han salido cara los resultados posibles son ccs, csc y scc. Da-do que los tres resultados son(en este caso) equiprobables, y puesto que solo en los dos primeros la moneda es cara, podemos concluir que: si sa-bemos que en dos de las tres monedas ha salido cara, entonces la proba-bilidad de que la primera moneda sea cara es 2/3.

Más exactamente, hemos calculado una probabilidad condicional. Esto es, hemos determinado que bajo la condición de que sabemos que dos de las tres monedas han salido cara, la probabilidad condicionada de que la pri-mera sea cara es 2/3, lo que matemáticamente se expresa como:

P(cara en la primera moneda | cara en dos monedas) =2/3.

La barra vertical | establece “bajo la condición” o “dado que”.

En este ejemplo, A es el suceso de que la primera moneda sea cara, mientras que B es el suceso de que haya salido cara en dos monedas. Por tanto en términos matemáticos, A= ccc, ccs, csc, css, B= ccs, csc, scc y A ∩B =ccs. csc. En consecuencia se ha calculado:

.3/2

8/3

8/2

csc,,

)csc,(

)(

)()/(

sccccsP

ccsP

BP

BAPBAP

Por otra parte, y de forma análoga, podemos calcular

P(cruz en la primera moneda | cara en dos monedas) =1/3.

Vemos por tanto que condicionar un suceso (como es el caso de “cara en la primera moneda”) o bien disminuirla (como en “cruz en la primera mo-neda”).

Ejemplo 2: Considere que se dispone la siguiente información relacionada con el comportamiento de un gran número de clientes:

Intención de comprar algo

Decisión: compra algo Total

Si (B) No

Si (A) 1100 100 1200

No 500 800 1300

Total 1600 900 2500

Sea Los eventos:

A = El cliente visita el establecimiento comercial con la intención de com-prar algo

B = El cliente que visita el establecimiento comercial compra algo (lo que estaba buscando)

Considerando la probabilidad como una frecuencia relativa, podemos cal-cular la probabilidad de a dado B del siguiente modo:



48.02500

1200

)(#

)(#)(

AAP

64.02500

1600

)(#

)(#)(

BBP

44.02500

1100

)(#

)(#)(

BABAP

6875.064.0

44.0

)(

)()/(

BP

BAPBAP

Es exactamente lo mismo cuando consideramos al evento B como un es-pacio muestra reducido, en el cual, en el cual calculamos la misma proba-bilidad:

6875.01600

1100

)(#

)(#)/(

B

BABAP

Finalmente note que la definición de P(B/A) conduce inmediatamente a la fórmula del producto

)./()()( ABPAPBAP

Esto nos permite calcular la probabilidad conjunta de A y B conociendo la probabilidad de A y la probabilidad condicional de B dado A.

La probabilidad condicional nos permite expresar el teorema “ley de la probabilidad total, versión no condicionada”, de una forma diferente y al-gunas veces más útil.

8. Regla de la multiplicación

i. Para dos eventos: Supongamos que A y B, son dos eventos cualquiera del mismo espacio muestral Ω,

)/()()( ABPAPBAP

ii. Para varios eventos: Supongamos que A1, A2, …, Ak, son k eventos cual-quiera del mismo espacio muestral Ω,

).../().../()/()()...( 11213121321 kkk AAAPAAAPAAPAPAAAAP

Ejemplo 1:

Si seleccionamos aleatoriamente dos personas en sucesión de un con-junto de 240 personas de los cuales 15 tienen presión alta, ¿Cuál es la probabilidad de que ambas personas tengan presión alta?



Solución:

Si suponemos probabilidades iguales para cada selección (que es lo que queremos decir al seleccionar aleatoriamente personas), la probabilidad de que la primera persona tenga presión alta es 15/240, y la probabilidad de que la segunda persona también tenga presión alta dado que la pri-mera persona tenía presión alta es 14/239. Así la probabilidad de que ambas personas tengan presión alta es 15/240.14/239 = 7/1912 = 0.003661

También lo podemos presentar del siguiente modo:

Sea: A1 = La primera persona seleccionada tiene presión alta

A2 = La segunda persona seleccionada tiene presión alta

A1∩A2 =Ambas personas seleccionadas tienen presión alta

P(A1∩A2) = P(A1)P(A2/A1)

= (15/240).(14/239)

= 0.003661

Esto supone que estamos muestreando sin reemplazo; esto es la prime-ra persona seleccionada no se regresa a la población antes de que de seleccionar la segunda persona.

Ejemplo 2:

Encuentre las probabilidades de sacar aleatoriamente dos ases de una baraja ordinaria de 52 cartas de juego, si muestreamos

a) Sin reemplazo; b) Con reemplazo.

Solución:

a) Si la primera carta no se reemplaza antes de que se saque la segun-da, la probabilidad de sacar dos ases en sucesión es

121

1.

51

3.

52

4

b) Si la primera carta se reemplaza antes de que se saque la segunda, la probabilidad correspondiente es

169

1.

52

4.

52

4

Ejemplo3:

Una caja de vacunas contiene 20 vacunas, de las cuales cinco están defectuosas. Si se seleccionan tres vacunas aleatoriamente y se sa-



can de la caja en sucesión sin reemplazo, ¿Cuál es la probabilidad de que las tres vacunas estén defectuosas?

Solución:

Si A es el evento de que el primer fusible este defectuoso, B es el evento de que el segundo fusible este defectuoso, y C es el evento de que el tercer fusible sea defectuoso, entonces P(A)=5/20, P(B|A)=4/19, P(C|A∩B)=3/18 y la sustitución en la formula nos da :

114

1

18

3.

19

4.

20

5)( CBAP

9. Eventos independientes

Si A y B son dos eventos cualesquiera de un mismo espacio muestral Ω, entonces decimos que estos dos eventos son independientes si la ocu-rrencia o no ocurrencia de cualquiera de los dos no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.

Con símbolos, dos eventos A y B son independientes si, )()/( BPABP o

en forma equivalente )()/( APBAP , siempre que las probabilidades

condicionales existan, es decir que 0)( AP y también 0)( BP .

Si esta igualdad lo remplazamos en la regla de multiplicación para dos eventos, obtenemos que:

)/()()( ABPAPBAP

)().( BPAP

Por lo que finalmente podemos decir que, dos eventos A y B son inde-pendientes si y solo si:

)().()( BPAPBAP

Generalizando para k eventos, tenemos que los eventos A1, A2, …, Ak, son independientes si y sólo si la probabilidad de la intersección de cualquiera 2, 3, … , o k de estos eventos es igual al producto de sus probabilidades respectivas.

Para tres eventos A, B y C, por ejemplo, la independencia requiere que: )().()( BPAPBAP

)().()( CPAPCAP

)().()( CPBPCBP

)()().()( CPBPAPCBAP

Cada una de las tres ecuaciones anteriores se cumplen, pero no la ecua-ción )()().()( CPBPAPCBAP . En este caso los sucesos A,B y C son

independientes parejas, pero no en conjunto.

Finalmente los eventos A1, A2, …, Ak, son Conjuntamente Independientes si y sólo si



)()...()()()....( 321321 kk APAPAPAPAAAAP

Ejemplo

La figura muestra un diagrama de Venn con probabilidades asignadas a sus diversas regiones.

Verifique que A y B son independientes, que A y C son independientes que B y C son independientes pero que A, B y C no son independientes.

Solución:

Como se puede ver en el diagrama, P(A)=P(B)=P(C) =1/2, P(A∩B)= P(A∩C)= P(B∩C)= ¼ y P(A∩B∩C) =1/4. Así,

)(4

1)().(

)(4

1)().(

)(4

1)().(

CBPCPBP

CAPCPAP

BAPBPAP

Pero

)(8

1)().().( CBAPCPBPAP

A propósito del ejemplo anterior se le puede dar una interpretación “real” al considerar un cuarto grande que tiene tres interruptores separados que controlan las luces del techo. Estas luces estarán encendidas cuando los tres interruptores estén “hacia arriba” y por tanto también cuando uno de los interruptores este “hacia arriba” y los otros dos estén “hacia abajo”. Si A es el evento que el primer interruptor este “hacia arriba”, B es el evento que el segundo interruptor este “hacia arriba” y C es el evento de que el tercer interruptor este “hacia arriba”, el diagrama de Venn de la figura ante-rior muestra un posible conjunto de probabilidades asociado con que los interruptores estén “hacia arriba” o “hacia abajo” cuando las luces del te-cho estén están prendidas. Ejemplo:

Encuentre las probabilidades de obtener:

¼

¼

1/4

1/4

A B

C



a) Tres caras en tres lanzamientos aleatorios de una moneda balanceada; b) Cuatro, seis y después otro número en cinco lanzamientos aleatorios

de un dado balanceado. Solución: a) Al multiplicar las probabilidades respectivas, obtenemos:

8

1

2

1.

2

1.

2

1

b) Al multiplicar las probabilidades respectivas, obtenemos:

7776

5

6

5.

6

1.

6

1.

6

1.

6

1

Ejemplo: Supongamos que tiramos un dado equilibrado de seis caras y una moneda también equilibrada. Podemos expresarlo como: Ω=1c,2c,3c,4c,5c,6c,1s,2s,3s,4s,5s,6s. Si A es el suceso correspondiente a que aparezca un 5 a tirar el dado y B a que la moneda caiga como cruz, entonces P(A)=P(5c,5s) = 2/12 = 1/6, y P(B)=P(1s,2s,3s,4s,5s,6s)= 6/12 =1/2. Además P(A∩B) = P(5s) = ½, que es igual a (1/6)(1/2). De ahí que en este caso A y B sean independien-tes.

10. Probabilidad total

i. Para dos eventos: Para cualquier par de eventos A y B de un mismo espacio muestral Ω, entonces:

)'()()( ABPABPBP

ii. Para varios eventos: Supongamos que A1, A2, …, Ak, constituye una

partición del espacio muestral Ω, es decir que jiAA ji y



n

i

iA1

, entonces: )(...)()()( 21 kABPABPABPBP , o

también se puede expresar como:

k

j

jj ABPAPBP1

)/()()(

Ejemplo 1:

Una clase está formada por un 60% de chicas y 40% de chicos. Supon-gamos que el 30% de las chicas y el 20% de los chicos llevan el pelo lar-go. Si se escoge un alumno de la clase al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado lleve el pelo largo?

Para resolverlo, llamemos 1A al conjunto de chicas y 2A al conjunto de chi-

cos, con lo cual 21, AA es una partición de la clase. Llamemos además B

al conjunto de todos los alumnos con pelo largo.

Nos interesa calcular P(B), que por el teorema ley de probabilidad total resulta:

26.0)2.0)(4.0()3.0)(6.0()/()()/()()( 2211 ABPAPABPAPBP , es decir,

existe un 26% de probabilidad de que el alumno seleccionado al azar lleve el pelo largo.

Ejemplo 2 :

La terminación de un trabajo de construcción se puede retrasar a causa de una huelga. Las probabilidades son 0.60 de que habrá una huelga, 0.85 de que el trabajo de construcción se termine a tiempo si no hay huelga y 0.35 de que el trabajo de construcción termine a tiempo si hay huelga. ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajo de construcción termine a tiempo?

Solución:

Si B es el evento de que el trabajo de construcción se terminara a tiempo y A es el evento de que habrá una huelga, se nos dan P(A) = 0.60, P(B|A')=0.85 y P(B/A)=0.35. Nos valemos de que A∩B y A׳∩B son mutua-mente excluyentes y de la forma alternativa de la regla de multiplicación, podemos escribir:



)'()()( BABAPBP

)'()( BAPBAP

)'/()'()/()( ABPAPABPAP

Entonces al sustituir los valores numéricos dados obtenemos:

55.0)85.0)(60.01()35.0)(60.0()( BP

Ejemplo 3:

Los miembros de una empresa de consultoría rentan automóviles de tres agencias de renta de automóviles: 60% de la agencia 1, 30% de la agencia 2 y 10% de la agencia 3.

Si 9% automóviles de la agencia 1 necesita una afinación, 20% de los au-tos dela agencia 2 necesita una afinación, y 6% de los autos de la agencia 3 necesitan una afinación, ¿cuál es la probabilidad de que un automóvil rentado, entregado una fiesta necesite una afinación?

Solución:

Si B es el evento de que un automóvil necesita una afinación y 32,1 ByAA

son los eventos de que el automóvil venga de las agencias1, 2 ó 3, tene-

mos ,60.0)( 1 AP ,30.0)( 2 AP ,10.0)( 3 AP ,09.0)|( 1 ABP

20.0)|( 2 ABP y 06.0)|( 3 ABP .

Al sustituir esos valores en la fórmula del teorema anterior obtenemos:

12.0)06.0)(10.0()20.0)(30.0()09.0)(60.0()( BP

Así 12% de los automóviles rentadas entregados a esta empresa necesita-ran una afinación.

Con respecto al ejemplo precedente, supongamos que nos interesa la si-guiente pregunta: si un automóvil rentado entregado a la empresa de con-sultoría necesita una afinación, ¿Cuál es la probabilidad de que haya veni-do de la agencia de renta 2? Para responder a preguntas de esta clase, necesitamos el siguiente teorema, llamado el teorema de Bayes.



11. Teorema de Bayes.

Sea nAAA ,....,, 21 una partición del espacio muestral Ω, es decir que

i

n

i A1 , además ji AA , ji . Entonces si B es un evento

cualquiera con 0)( BP , se verifica que:

)(

)()/(

BP

BAPBAP i

i

ni ,....,3,2,1

o también:

)/()(

)/()()/(

1

j

k

j

j

iii

ABPAP

ABPAPBAP

Demostramos el cálculo:

)|()(

)(

)(

)(

)(

)()/(

)(

)(BAP

BP

BAP

AP

BAP

BP

APABP

BP

AP

Conduce al resultado anterior.

Las aplicaciones estándar de la fórmula del producto, la ley de probabili-dad total y el teorema de Bayes corresponden a sistemas de dos etapas. La respuesta de este tipo de sistemas puede considerarse que ocurre en dos etapas. En general se conocen las probabilidades relativas a la prime-ra etapa y las probabilidades condicionales para la segunda etapa. La fór-mula del producto se utiliza para calcular probabilidades conjuntas de am-bas etapas, la ley de la probabilidad total para calcular probabilidades de la segunda etapa, y el Teorema de Bayes para calcular probabilidades de la primera etapa habiendo ocurrido alguno de los sucesos de la segunda etapa.

Ejemplo 1. Supongamos que un artículo es manufacturado por tres fábri-cas, sean 1, 2 y 3. Se sabe que la primera produce el doble de artículos que la segunda y que ésta y la tercera producen igual número de artículos (durante un período de producción dado). Se sabe también que la primera



y la segunda producen 2% de defectuosos, y la tercera produce 4% de defectuosos. Se colocan juntos todos los artículos producidos en una fila y se escoge uno al azar, el cual resulta ser defectuoso. ¿Cuál será la proba-bilidad de que lo haya producido la primera fábrica?.

Este es un caso típico de aplicación del teorema de Bayes. Usando la no-tación anterior necesitamos calcular P(A1/B), lo cual lo podemos obtener usando el teorema de Bayes:

)/()(

)/()()/(

3

1

111

j

k

j

j ABPAP

ABPAPBAP

El teorema de Bayes también es conocido como la fórmula para la proba-bilidad de las “causas”. Puesto que las Ai son una partición del espacio muestral, uno y solo uno de los eventos Ai ocurre (esto es, uno de los su-cesos Ai debe ocurrir y solamente uno). Por lo tanto la fórmula anterior nos da la probabilidad de una Ai particular (esto es una “causa”), dado que el suceso B ha ocurrido. Para aplicar este teorema debemos conocer las P(Ai) y las P(B/Ai).

Para nuestro ejemplo, los cálculos son presentados en el siguiente cuadro:

40.025.004.025.002.05.002.0

5.002.0)/( 1

BAP



Laboratorio 1:

1. Un juego electrónico contiene tres componentes en un circuito del tipo serie paralelo de la siguiente figura. En un momento dado cualquiera, cada com-ponente puede estar en operación o no, y el juego funcionará solo si hay un circuito ininterrumpido de P a Q. Sea A el evento de que el juego funcionará; Sea B el evento de que el juego funcionará aunque el componente X no esté en operación; y sea C el evento de que el juego funcionará aunque el com-ponente Y no esté en operación. Use la notación en la cual (0,0,1) por ejem-plo, denota que el componente Z está en operación pero los componentes X y Y no lo están.

a. Enumere lo elementos del espacio muestral Ω y también los elemen-tos de los eventos A, B y C.

b. Determine qué pares de eventos A y B, A y C o B y C son mutua-mente excluyentes.

P Q

2. En un grupo de 200 estudiantes universitarios, 138 están matriculados en un curso de Psicología, 115 están inscritos en un curso de sociolo-gía y 91 están inscritos en ambos cursos. ¿Cuántos de estos estu-diantes no están inscritos en ninguno de los cursos?.

3. Explique por qué hay un error en cada una de las siguientes declaracio-nes:

a) La probabilidad de que Jean apruebe el examen de la barra de abo-gados es 0.66 y la probabilidad de que no lo pase es 0.34־.

b) La probabilidad de que el equipo de casa gane un juego de futbol venidero es 0.77, la probabilidad de que se empate el juego es 0.08 y la probabilidad de que gane o empate el juego es 0.95.

c) Las probabilidades de que una secretaria cometa 0, 1, 2, 3, 4, 5 o más errores al mecanografiar un informe son, respectivamente, 0.12, 0.25, 0.36, 0.14, 0.09 y 0.07.

d) Las probabilidades de que un banco reciba 0, 1, 2, 3 o más cheques malos en un día dado son, respectivamente, 0.08, 0.21, 0.29 y 0.40.

4. De los 78 doctores del personal de un hospital, 64 tienen seguro contra tratamiento erróneo, 36 son cirujanos y 34 de los cirujanos tienen segu-ro contra tratamiento erróneo. Si uno de estos doctores se escoge al azar para representar al personal del hospital en una convención de la

A.M.A. (esto es, cada doctor tiene una probabilidad de 78

1 de ser selec-

cionado), ¿Cuál es la probabilidad de que el seleccionado no sea un ci-rujano y no tenga seguro contra tratamiento erróneo?

X

Y

Z



5. Una profesora de biología tiene dos asistentes graduados que la ayudan con su investigación. La probabilidad de que el mayor de los asistentes se ausente en un día dado es 0.08, la probabilidad de que el más joven de los dos se ausente en un día dado e 0.05 y la probabilidad de que ambos se ausenten en un día dado es 0.02. Encuentre las probabilida-des de que

a) Cualquiera o ambos de los asistentes graduados esté ausente en cualquier día dado;

b) Al menos uno de los dos asistentes graduados no esté ausente en cualquier día dado;

c) Sólo uno de los dos asistentes graduados esté ausente en cual-quier día dado.

6. hay noventa aspirantes para un trabajo en el departamento de noticias de una estación de televisión. Algunos son egresados de la universi-dad y algunos no, algunos de ellos tienen al menos tres años de expe-riencia y algunos no la tienen, el análisis exacto es:

Formación Experiencia

Egresados de la Universidad

No Egresados de la universidad

Al menos tres años de experiencia 18 9 Menos de tres años de experiencia 36 27

Si el orden en que el gerente de la estación entrevista a los aspirantes es aleatorio, G es el evento que el primer aspirante entrevistado sea un egre-sado de la universidad, y T es el evento de que el primer aspirante entre-vistado tenga al menos tres años de experiencia, determine cada una de las siguientes probabilidades directamente de los asientos y de los reglo-nes y columnas de la tabla:

a) );( TGP

b) );( TGP

c) );( TGP

d) ´).( TGP

7. La probabilidad de sobrevivir a una cierta operación de trasplante es 0.55. si un paciente sobrevive la operación, la probabilidad de que su cuerpo rechace el trasplante en menos de un mes es 0.20. ¿Cuál es la probabilidad de que sobreviva a estas etapas críticas?

8. Los registros médicos muestran que una entre diez personas en una cierta ciudad tiene deficiencia tiroidea. Si se escogen aleatoriamente 12 personas en esta ciudad y se les hace un análisis, ¿Cuál es la pro-babilidad de que al menos una de ellas tenga una deficiencia tiroidea?

9. Si 5 de los diez camiones repartidores de una compañía no satisfacen los estándares de emisión y tres de ellos se seleccionan para una ins-pección, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de los camiones se-leccionados satisfará los estándares de emisión?



10. Una tienda departamental que factura a sus clientes una vez al mes ha encontrado que si un cliente paga oportunamente en un mes, la probabilidad es 0.90 de que él o ella pague también oportunamente el siguiente mes-, sin embargo, si un cliente no paga oportunamente en un mes, la probabilidad de que él o ella pague oportunamente el mes siguiente es solamente 0.40.

a) ¿Cuál es la oportunidad de que un cliente que paga oportunamente en un mes también pagara oportunamente los tres meses siguien-tes?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que no paga oportuna-mente en un mes tampoco pagara oportunamente los siguientes dos meses y después haga un pago oportuno al mes siguiente de ello?

11. Por experiencia se sabe que en una cierta industria 60% de todos los litigios entre los trabajadores y la administración son por salarios, 15% por las condiciones de trabajo y 25% son sobre aspectos de presta-ciones. También 45% de los litigios por salarios se resuelven sin huel-gas, 70% de los litigios por condiciones de trabajo se resuelven sin huelgas y 40% de los litigios acerca de prestaciones se resuelven sin huelgas. ¿cuál es la probabilidad de que un litigio entre trabajadores y la administración se resuelva sin una huelga?

12. En una cierta comunidad, 8% de todos los adultos mayores de 50 años tienen diabetes. Si un servicio de salud en esta ciudad diagnos-tica correctamente a 95% de las personas con diabetes como enfer-mas de diabetes e incorrectamente diagnostica a 2% de todas las personas sin diabetes como enfermas de diabetes, encuentre la pro-babilidad de que

a) El servicio de salud comunitario diagnosticara a un adulto mayor de 50 años como enfermo de diabetes

b) Una persona mayor de 50 diagnosticada con diabetes por el servi-cio de salud realmente tenga la enfermedad.



2° UNIDAD: VARIABLES ALEATORIAS

1. Variables aleatorias discretas:

Definición 1: Se dice que X es una variable aleatoria discreta unidimensional si es una variable que toma solo un conjunto finito o infinito numerable de valores del eje X. Su-

pongamos que X toma únicamente los valores ,...,...,, 21 nxxx con probabilidades

),...(...,),(),( 21 nxpxpxp y supongamos que A es cualquier subconjunto de los puntos

,...,...,, 21 nxxx . La probabilidad )(AP del suceso A (probabilidad de que x esté en A) se

define como:

A

xpAP )()(

Donde Representa la suma de f(x) para aquellos valores xi que pertenecen a A.

Así por ejemplo: P(X=2) quiere decir probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X sea igual a 2

P(3<X<5) significa probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X esté comprendido

entre 3 y 5,

Definición 2: Sea un experimento aleatorio y el espacio muestral asocia-

do con el experimento. Una función X que asigna a cada uno de los elementos

s , un número real )(sX se llama Variable aleatoria.

= Espacio muestral de Rx = Valores posibles de X

X )(sX = Valor de la variable

(Recorrido o Rango de X)

Ejemplo. Sea el experimento aleatorio = Lanzar tres monedas legales sobre una

superficie regular, entonces el espacio muestral debe ser

ssssscscscsssccccsccc ,,,,csc,,, , considere también que la variable aleatoria X =

Número de caras al lanzar tres monedas legales sobre una superficie regular, entonces

el Rango o conjunto de valores que podría tomar esta variable será: 3,2,1,0XR

= Espacio muestral X Rx = Valores posibles de X 3

2)( ccsX

1 0

A

xp )(

CCC

CCS

CSC

SCC

CSS

SCS

SSC

SSS

S



2. Función de Probabilidades

Llamaremos a )(xp función de probabilidades o función de cuantía por tra-

tarse de una variable discreta, siempre que cumpla con las dos condicio-

nes siguientes:

i) 0)( ixp ,....4,3,2,1, i

ii) 1)( ixp

Como ejemplo consideremos el experimento aleatorio de lanzar cuatro

monedas legales sobre una superficie regular, y definamos la variable X =

Número de caras al lanzar cuatro monedas legales sobre una superficie

regular, por lo tanto X debe tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4. Para determinar

la función de cuantía )(xf debemos observar que el número de formas en

que pueden caer las cuatro monedas es

162# 4 esrepeticiondenúmero

desposibilidadenúmero

Donde:

Número de posibilidades = Número de caras de una moneda = 2

Número de repeticiones = Número de monedas lanzadas o en forma equi-valente número de veces que se lanza una misma moneda.

El número de formas en que pueden aparecer x caras es

x

4 ; por lo tan-

to:

42

4

)(

x

xp ; 4,3,2,1,0x

Se puede verificar que:

i) 02

4

)(4

x

xp

ii) 12

4

)(4

4

0

4

0

xxp

xx



Por lo que concluimos que 42

4

)(

x

xp es una función de cuantía.

A menudo, la distribución de probabilidades de X se suele representar por el rango y su función de cuantía, es decir que, la distribución de la va-riable X de nuestro ejemplo se puede representar así:

Rango: 4,3,2,1,0XR

X ~

Función de cuantía: 42

4

)(

x

xp

Podemos calcular los valores de la función de cuantía para cada uno de los valores de X:

Para 0x : 1!4!0

!4

0

44

x entonces 0625.0

16

1

2

0

4

)0(4

p

Para 1x : 4!3!1

!4

1

44

x entonces 25.0

16

4

2

1

4

)0(4

p

Para 2x : 6!2!2

!4

2

4

2

4

entonces 375.0

16

6

2

2

4

)2(4

p

Para 3x : 4!1!3

!4

3

44

x entonces 25.0

16

4

2

3

4

)3(4

p

Para 4x : 1!0!4

!4

4

44

x entonces 0625.0

16

1

2

4

4

)4(4

p



Si lo escribimos en una tabla, debemos tener:

Número de caras X

Probabilidad P(X)

0 0.0625 1 0.2500 2 0.3750 3 0.2500

4 0.0625

Total 1

Y al graficarlo tenemos:

Conviene resaltar que )(xp da las frecuencias relativas con que se presen-

ta cada uno de los valores de x . Así, si suponemos que las cuatro mone-

das se lanzan un gran número de veces, debemos esperar que no aparez-

can caras ( 0x ) en 16

1 aproximadamente de las tiradas; esperamos

que aparezca una cara ( 1x ) en la cuarta parte aproximadamente de las tiradas, y así sucesivamente. Decimos aproximadamente porque ya estamos familiarizados con las fluctuaciones que acompañan los sucesos aleato-rios.

Los resultados de un experimento real de lanzamientos de 4 monedas pueden verse en la siguiente tabla. Se lanzaron 4 monedas 160 veces, contando el número de caras aparecidas en cada prueba.



Resultado del lanzamiento de 4 monedas 160 veces

Número de caras X

Probabilidad P(X)

Ocurrencias efectivas

Ocurrencias esperadas

0 0.0625 6 10 1 0.2500 41 40 2 0.3750 56 60 3 0.2500 45 40

4 0.0625 12 10

Total 1 160 160

Conocida la función de cuantía de una variable aleatoria x , podemos dar

respuesta a cualquier cuestión probabilística relativa a x . Así por ejemplo,

para la variable X = Número de caras al lanzar de las 4 monedas, la pro-babilidad de obtener 2 caras es:

375.016

6

2

2

4

)2()2(4

pxP

La probabilidad de que el número de caras sea inferior a 3 es

6875.016

11

16

6

16

4

16

1

2

2

4

2

1

4

2

0

4

)2()1()0()()3(444

2

0

pppxpxPx

La probabilidad de que el número de caras esté entre 1 y 3, ambos inclusi-ve es,

875.016

14

16

4

16

6

16

4

2

3

4

2

2

4

2

1

4

)3()2()1()()31(444

3

1

pppxpxPx

Supongamos que deseamos calcular la probabilidad condicional de que un número de caras sea menor que tres cuando se sabe que dicho número es menor que cuatro. Sea A el suceso “aparecen menos de tres caras”, es decir,

2,1,0: xxA

Sea B el suceso “aparecen menos de cuatro caras”; esto es,

3,2,1,0: xxB

Deseamos calcula P(A/B). Por definición de probabilidad condicional,

)(

)()/(

BP

BAPBAP

Ahora bien:

2,1,0: xxBA

Luego



16

11

2

4

)()(4

2

02

0

x

x

xxpBAP

También

16

15

2

4

)()(4

3

03

0

x

x

xxpBP

De donde:

15

11

16/15

16/11)4/3()/( xxPBAP

La interpretación frecuencial es la siguiente: Supongamos que cuatro mo-nedas ideales se lanzan un gran número de veces y se registra el número de caras de cada tirada solamente en los casos en que aparecen menos de cuatro caras. La fracción de estos casos (donde aparecen menos de cua-tro caras) en que aparecen menos de tres caras será aproximadamente 11/15.

3. Distribuciones acumulativas: A menudo es necesario calcular probabili-

dades del tipo )3( xP , )31( xP , etc. En estos casos es conveniente

definir una nueva función, llamada Función de distribución acumulativa.

Para una función de cuantía )( ixf , ,...,2,1i la distribución acumulativa

)(xF se define por

xx

i

i

xpxF )()(

Donde la suma para todos los valores de i tales que xxi . Es fácil ver

que

)()( xXPxF

Y que

)()()( aFbFbXaP

Por consiguiente, puede demostrarse que para una variable aleatoria dis-creta es posible obtener la distribución acumulativa a partir de la función de densidad, y viceversa. Propiedades: Una función de distribución tiene las siguientes propiedades:

i) 0)( F , 1)( F

ii) Monótona no decreciente. En variables discretas crece por saltos.

iii) Continua por la derecha

Ejemplo: Para el caso de la variable aleatoria X = Número de caras al lan-zar 4 monedas legales:



La función de distribución obtenida a partir de la función de cuantía es

xx

i

i

xpxF )()(

Para x < 0 : 0)()(0

xx

i

i

xpxF

Para 0≤ x < 1 : 0625.0)0()()(1

pxpxFxx

i

i

Para 1≤ x < 2 : 3125.0)1()0()()(2

ppxpxFxx

i

i

Para 2≤ x < 3 : 6875.0)2()1()0()()(3

pppxpxFxx

i

i

Para 3≤ x < 4 : 9375.0)3()2()1()0()()(4

ppppxpxFxx

i

i

Para x ≥ 4 :

1)4()3()2()1()0()()(4

pppppxpxFxx

i

i

Función de cuantía Función de Distribución

Número de caras x

Probabilidad P(x)

x F(x) = P(X ≤ x)

0 0.0625 x < 0 0 1 0.2500 0 ≤ x < 1 0.0625 2 0.3750 1 ≤ x < 2 0.3125 3 0.2500 2 ≤ x < 3 0.6875 4 0.0625 3 ≤ x < 4 0.9375

Total 1 x ≥ 4 1

Cuyos gráficos son:

Laboratorio 2



1. Determine si la función puede servir como distribución de probabilida-

des de una variable aleatoria con el rango dado

a. 5

2)(

xxp para x = 1, 2, 3, 4, 5.

b. 30

)(2x

xp para x = 0, 1, 2, 3, 4.

2. Construya un gráfico de barras de probabilidad para cada una de las

siguientes funciones de cuantía

a.

3

6

3

42

)(xx

xp Para x = 0, 1, 2.

b. xx

xxp

58.02.0

5)( Para x = 0,1, 2, 3, 4, 5.

3. Una moneda está alterada para que las caras sean doblemente proba-

bles que los sellos. Para tres lanzamientos independientes de la mone-

da, encuentre:

a. La función de cuantía de X = número total de caras

b. La probabilidad de obtener a lo más dos caras

c. La probabilidad de obtener más de dos caras

4. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la función de cuantía de la suma de los dos números que aparecen en la cara superior de los dados?.

5. En una ciudad de 5000 adultos, se pregunta a una muestra de 10, cuál es su opinión sobre una propuesta de proyecto municipal; se obtienen 6 respuestas a favor del proyecto y 4 en contra. Si en realidad los adul-tos estuvieran divididos en dos grupos iguales respecto a dicha pro-puesta, ¿Cuál sería la probabilidad de obtener una mayoría de 6 o más, en una muestra de tamaño 10?

6. Un distribuidor de semillas ha determinado a partir de numerosos en-sayos que el 5% de un grupo grande de semillas no germina; vende las semillas en paquetes de 100, garantizando la germinación del 90%. ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete dado no cumpla la garan-tía?

7. Se trata de utilizar un proceso de fabricación para la obtención de conmutadores con un porcentaje de defectuosos no superior a 1%. Se comprueba el proceso cada hora, ensayando 10 conmutadores elegi-dos aleatoriamente entre los obtenidos en una hora. Si fallan uno o más de los 10, se detiene el proceso y se procede a un examen cuida-doso. Si la probabilidad real de producir un conmutador defectuoso es 0.01, ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso sea examinado sin que sea necesario en un caso determinado?

8. Una compañía de seguros halla que el 0.005% de la población fallece cada año de un cierto tipo de accidente. ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía tenga que pagar a más de 3 de los 10 000 asegura-dos contra tales accidentes en una año dado?.



4. Valores esperados y momentos de Variables aleatorias discretas

1) Valor esperado de una variable aleatoria: El valor esperado de una

variable aleatoria o de cualquier función de una variable aleatoria es un

número real -que puede o no ser un posible valor de la variable aleato-

ria- al cual tienden los valores de dicha variable en el largo plazo, y re-

presenta el centro de masa la distribución de dicha variable. Se obtiene

hallando el valor medio de la función para todos los valores posibles de

la variable.

La definición matemática del valor esperado es:

Definición: Sea X una variable aleatoria discreta con función de cuantía p(x).

El valor esperado de X, E(X) es

x

xxpxE )()(

Esta cantidad se define como el valor esperado solo si p(x) es absolu-

tamente convergente. Si no lo es, decimos que el valore esperado de X

no existe.

Ejemplo Considere el experimento aleatorio:

= Lanzar tres monedas legales sobre una superficie regular

Con el espacio muestral Ω = ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss

Se define la variable aleatoria X = Número de caras.

El rango de esta variable es: Rx = 0, 1, 2, 3

Y su función de cuantía correspondiente será:

3

2

13)(

xxp

Esta función genera las siguientes probabilidades



5.1125.03375.02375.01125.00)()( x

ii xpxxE

En algunas ocasiones podríamos estar interesados en el valor esperado

de alguna función de la variable aleatoria X, en lugar del correspondien-

te a la propia X. Así por ejemplo podemos estar interesados en el valor

esperado de 2X, o de X2+1, etc.

Teorema: Sea X una variable aleatoria discreta con función de cuantía

p(x). El valor esperado de una función u de la variable aleatoria X es

x

xpxuxuE )()()]([

De nuevo observamos que esta cantidad se definen como valor espera-

do solo si p(x) es absolutamente convergente. La misma observación

debe hacerse para todos los valores esperados de las variables aleato-

rias y no volveremos a repetir en lo sucesivo.

Ejemplo 1:

Considere que Ud. decide comprar un boleto por un valor de 1 nuevo sol

para participar en el siguiente juego, “Se lanza un dado legal sobre una su-

perficie regular, si sale un 6, entonces gana 20 nuevos soles, caso contrario

pierde el valor de la apuesta”. Cuál será su ganancia esperada?

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 1 2 3

Pro

babi

lidad

Número de caras

Distribución de probabiliadades del número de caras al lanzar tres moenedas

E(x)=1.5



Solución

Considerando la variable aleatoria X = número de puntos de la cara su-

perior de un dado legal, lanzado sobre una superficie regular, entonces

su función de cuantía será:

1/6 para todo X = 1, 2, 3, 4, 5, 6

p(x) =

0 en otro caso

La función ganancia es:

20 si x = 6

g(x) =

-1 en otro caso ( x = 1≤ x ≤ 5)

El valor esperado de la función ganancia es:

6

1

)51()1()6(20)()())((x

xpxpxpxgxgE

solesnuevosxgE 5.26

15

6

51

6

120))((

Propiedades del valor esperado.

a) ccE ][ donde c es una constante

b) )]([)]([ xuEcxucE

c) )]([.)](.[ xuEcxucE

d) De (b) y (c) se deduce que: )]([.)](.[ xuEbaxubaE

e) )]([)]([)]()([ xvExuExvxuE



Laboratorio N° 3

1. Suponga que el valor esperado del salario de una clase de trabajadores,

del sector de construcción civil, durante el mes de abril del 2013, fue de

800 nuevos soles, El gobierno central decreta un incremento de 75 nue-

vos soles a partir del mes de mayo, ¿Cuál será el nuevo valor esperado

del salario dicho sector de trabajadores para el mes de mayo?

2. Suponga que en una gran empresa, el valor esperado del salario de los

varones es de 2400 n. s., y de las mujeres es de 1800 n. s., durante el

mes de julio del 2011, el gobierno central decreta un incremento de 75.

Sabiendo que el 60% de los trabajadores son varones, ¿Cuál es el valor

esperado del salario de todos los trabajadores de dicha empresa?

3. En el mes de enero, el promedio de salarios de los empleados de una

empresa era 2400 n.s.; en el mes de febrero, la empresa consideró un

incremento del 25% en el número de empleados y con un salario igual al

80% del promedio de los salarios de los antiguos empleados. En el mes

de marzo, la empresa hizo efectivo un aumento del 5% en el salario de

cada uno de los empleados, más una asignación de 200 n.s. por esco-

laridad. Hallar el sueldo promedio de los salarios de los empleados en el

mes de marzo.

4. Se venden 30000 billetes de lotería, a un nuevo sol cada uno, para un

sorteo de un coche de 4000 nuevos, ¿Cuál es la ganancia esperada de

una persona que compre uno de estos billetes?

5. La probabilidad de que un suceso ocurra es p y la de que no ocurra

q=1-p. En una sola prueba, ¿Cuáles son la media y la varianza de X,

siendo este el número de aciertos?

6. Si se realizan n pruebas independientes del experimento descrito en el

ejercicio 4, y X es el número total de aciertos, ¿Cuáles son la media y

varianza de X?



5. Variables Aleatorias Continuas

Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor de cierto inter-valo o colección de intervalos sobre el eje X, el plano X1,X2, espacio X1,X2,X3, etc., sin la restricción de que aquellos sean número aislados.

Variable aleatoria continua unidimensional: Se dice que X es una variable aleatoria continua unidimensional, si existe una función f tal que satisface dos condiciones:

i) f(x) ≥ 0 para todo x

ii) Para cualquier suceso A se cumple que P(A) = P(x esté en A) =

A

dxxf )(

Donde )(xf se denomina función de densidad de X, y diremos a veces

que “X se distribuye según )(xf ” o que “ )(xf es la distribución de X”.

Los sucesos que consideraremos en este curso serán un intervalo o una

colección de un número finito de intervalos no superpuestos.

Así por ejemplo, sea:

23:1 xxA , 42:2 xxA

El suceso “A1 o A2 “ es : 43:21 xxAA

El suceso “A1 no ocurre” es: 211 BBA

Donde: 3:1 xxB xxB 2:2

El suceso “A1 y A2” es: 22:21 xxAA

B2 B1 A2

A1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 En lo que sigue del curso supondremos que las variables aleatorias conti-nuas tienen función de densidad también continua, salvo, a lo sumo, en un número finito de puntos.

Definamos A por bxaxA : . Para una variable aleatoria con-

tinua X, la función de densidad f(x).



b

aA

dxxfdxxfAPbXaP )()()()(

Como b

adxxf )( toma el mismo valor, ya sea el intervalo abierto, cerra-

do, o abierto a la derecha o a la izquierda, tenemos

)()()()( bXaPbXaPbXaPbXaP

Así, la integral en un punto es 0; por lo tanto 0)( aXP para cual-

quier número a .

Si A no es un intervalo simple sino la unión de un número finito de interva-

los no superpuestos, es decir que kAAAA ...21 donde

ji AA para todo ji , y donde iii bxaxA : , resulta

que.

A

k dxxfAAAPAP )()...()( 21

kAAA

dxxfdxxfdxxf )(....)()(

21

k

k

b

a

b

a

b

adxxfdxxfdxxf )(...)()(

2

2

1

1

Da la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria esté comprendi-

do entre 11 bya , 22 bya …. O entre kk bya . En esencia,

esto establece que la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria

pertenezca a un conjunto A es el área comprendida entre f(x) y el eje X



sobre el conjunto. La función de densidad f(x) puede obtenerse mediante

un proceso empírico ajustando una curva sobre un histograma de frecuen-

cias o a trasvés de un razonamiento lógico.

Si el suceso A es todo el eje X, P(A) debe ser igual a 1, y se tiene que

1)(

xf

Por lo tanto, cualquier función f puede servir como función de densidad de

una variable aleatoria X si satisface las condiciones:

i) 1)(

xf

ii) 0)( xf

x

Naturalmente, en un problema particular de aplicación, se elegirá f de tal

forma que, para todo a y b (a < b)

b

adxxfbXaP )()(

Represente la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X se ha-

lle comprendido entre a y b.

Cualquier función positiva en un dominio elegido arbitrariamente puede

considerarse como una función de densidad de una variable aleatoria,

siempre que la función esté multiplicada por una constante que haga que

su integral sea igual a uno. Así por ejemplo, la siguiente función es una

función de densidad:

0)( xf

2x

18

23 X

42 x

= 0 x ≥ 4



Verificación de las propiedades:

i) El valor de la función es positivo o cero

ii) La integral en todo el recorrido es igual a 1.

4

4

2

2

018

230)( dxdx

xdxxf

010

= 1

Además la probabilidad de que el valor de la variable caiga por ejemplo en

el intervalo 2 < X < 3 es:

9

4

18

23)32(

3

2

dx

xXP



6. Valores esperados de variables aleatorias continuas

1) Valores esperados: El valor esperado de una variable aleatoria o de

cualquier función de una variable aleatoria es un número real -que pue-

de o no ser un posible valor de la variable aleatoria- al cual tienden los

valores de dicha variable en el largo plazo, y representa el centro de

masa la distribución de dicha variable. Se obtiene hallando el valor me-

dio de la función para todos los valores posibles de la variable.

La definición matemática del valor esperado es:

Definición: Sea X una variable aleatoria continua con densidad f(x). el valor

esperado de X, E(X) es

dxxxfxE )()(

Esta cantidad se define como el valor esperado solo si es absolutamen-

te convergente. Si no lo son, decimos que el valor esperado de X no

existe.

Ejemplo

Consideremos la variable aleatoria X cuya función de densidad está

dada por:

xxf 54

1)(

Para todo 2 < X < 4

Entonces su valor esperado será:

4

2

24

25

4

15

4

1.)()( dxxxdxxxdxxxfxE

dxxxdxxE

4

2

24

2 4

15

4

1)(

4

2

34

2

2

34

1

25

4

1

xx



3

2

3

4

4

1

2

2

2

45

4

1 3322

3

56

4

1

2

125

4

1

8333.26

17



Laboratorio N° 4

1. La densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X esta dada por:

0

5

1

a) Dibuje su gráfica y verifique que el área total bajo la curva (arriba

del eje x) es igual a 1.

b) Encuentre P(3 < x < 5)

2. La cantidad real de café(en gramos) en un frasco de 230 gramos que llena

cierta maquina es una variable aleatoria cuya densidad de probabilidad es-

ta dad por

0

5

1

0

Encuentre las probabilidades de que un frasco de 230 gramos que llene

esta máquina tendrá

a) Cuando mucho 228.65 gramos de café

b) Cualquier cantidad entre 229.34 y 231.66 gramos de café

c) Al menos 229.85 gramos de café

3. El número de minutos que en vuelo de Phoenix a Tucson se adelanta o se atrasa

es una variable aleatoria cuya densidad de probabilidad esta dad por:

0

)36(288

1 2x

Donde los valores negativos son indicativos de que un vuelo llega adelan-

tado y los valores positivos son indicativos de que llega con retraso. En-

cuentre las probabilidades de uno de estos vuelos llegara:

)(xf

Para 2 < x < 7

En cualquier otra parte

)(zf

Para x ≤227.5

Para 227.5 < x< 232.5

Para x≥ 232.5

)(xfPara -6 < x < 6

En cualquier otra parte



a) Al menos 2 minutos adelantado, b) Al menos 1 retrasado, c) Cualquier tiempo

entre 1 y 3 minutos adelantado, e) Exactamente 5 minutos de retrasa

4. La vida en el anaquel (en horas) de un alimento empacado perecedero es una

variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad esta dad por:

0

100

200003

x

Encuentre las probabilidades que uno de estos paquetes tendrá una vida en el

anaquel de: a) La menos 200 horas b) A lo más 100 horas c) Cualquier tiempo en-

tre 80 y 120 horas

5. En una cierta ciudad el consumo diario de agua(en millones de litros) es

una variable aleatoria cuya densidad de probabilidad está dada por:

0

9

13

x

xe

¿Cuáles son las probabilidades de que en un día dado

a) El consumo de agua en esta ciudad no sea mayor de 6 millones de

litros

b) El abastecimiento de agua sea inadecuado si la capacidad diaria de

esta ciudad es 9 millones de litros?

6. La duración de vida total (en años) de perros de cinco años de edad de

una cierta raza es una variable aleatoria cuya función de distribución está

dada por:

2

251

0

x

Encuentre las probabilidades de que un perro como esos de cinco años de

edad vivirá

a) Más allá de los 10 años, b) Menos de 8 años y c)Entre 12 y 15 años

)(xf

Para x > 0

En cualquier parte

)(xf

Para x > 0

En cualquier otra

parte

)(xf

Para x ≤5

Para x > 5



3° UNIDAD: DISTRIBUCIONES ESPECIALES

1. La distribución Binomial:

Sea un experimento aleatorio de Bernoulli, es decir que tiene las siguientes

características: i. Solo admite dos resultados posibles, el suceso E = Éxito y el suceso F =

Fracaso

ii. Ambos resultados o sucesos son independientes

iii. La probabilidad de obtener un éxito P(E) = p se mantiene constante en

cualquier ejecución del experimento aleatorio, donde 0≤ p ≤ 1

Definimos la variable de Bernoulli x como

1 : Éxito (E)

ix

0 : Fracaso (F) Y su función de cuantía será:

p si 1ix para todo 0≤ p ≤ 1

)( ixP

q si 0ix para todo q = 1 – p y p + q = 1

Con lo cual es fácil notar que el valor esperado de esta variable es pxE i )(

y su varianza pqxV i )(

Si el experimento se puede repetir n–veces, (n ≥ 2) y definimos la variable

aleatoria:

n

i

in xxxxX1

21 ...

Es decir que:

X = Número de éxitos en las n-repeticiones del experimento de Bernoulli .

Esta variable así definida es discreta y se llama variable aleatoria Binomial, la cual sigue la ley de probabilidades Binomial, caracterizada por:

Rango de la variable X: nRX ,....,3,2,1,0

X ~ 10 p

Función de cuantía: xnxqp

x

nxpxXP

)()( donde pq 1

Esta distribución se suele denotar como: X ~ B(n, p) donde n y p son co-nocidos como los parámetros de la distribución binomial y vienen a ser n = número de veces que repite el experimento de Bernoulli y p es la probabi-

lidad de éxito en cada repetición dicho experimento.



Valor esperado: E(X) = np La varianza: V(X) = npq La forma de la función de cuantía depende del valor de p. Así por ejemplo pa-ra una Binomial con n=20 y tres valores de p=0.2, 0.5 y 0.8, tenemos que la función de cuantía es

X

P(X = x) P(X = x) P(X = x)

B(10, 0.20) B(10, 0.50) B(10, 0.80)

0 0.107374182 0.000976563 1.024E-07 1 0.268435456 0.009765625 0.000004096 2 0.301989888 0.043945313 7.3728E-05

3 0.201326592 0.1171875 0.000786432 4 0.088080384 0.205078125 0.005505024 5 0.026424115 0.24609375 0.026424115 6 0.005505024 0.205078125 0.088080384 7 0.000786432 0.1171875 0.201326592 8 7.3728E-05 0.043945313 0.301989888 9 4.096E-06 0.009765625 0.268435456

10 1.024E-07 0.000976563 0.107374182

Σ 1 1 1 Cuyas gráficas son:



Ejemplo. Sea el experimento aleatorio = Lanzar una moneda legal tres veces sobre una

superficie regular, y deseamos estudiar la variable aleatoria X = Número de caras en dicho

experimento. El experimento de Bernoulli básico es = Lanzar una moneda legal, en donde los

posibles resultados son Ω = C , S, donde C = cara y S = Sello. En este espacio muestral, definimos la variable aleatoria de Bernoulli

1 : Cara (Éxito)

ix

0 : Sello (Fracaso)

Con P(C) = P(X=1) = 0.5 = p y P(S) = P(X=0) = 0.5 = 1 - p

Como el experimento aleatorio se repite tres veces, el espacio muestral debe

ser 3,,,,,csc,,, scssssscscscsssccccsccc ,

Entonces la variable aleatoria X = Número de caras al lanzar tres monedas legales

sobre una superficie regular se puede expresar como:

3

1

321

i

ixxxxX donde, cada ix puede ser 0 ó 1, por lo que el

rango de esta variable será: 3,2,1,0XR

La función de cuantía es:

Rango de la variable X: 3,2,1,0XR

X ~

Función de cuantía: xx

xxpxXP

3)5.01(5.0

3)()(



Esta función de cuantía genera las siguientes probabilidades:

Ejemplo 2:Una Agencia de Turismo, informa que un puente elevadizo en particular en su ruta, queda levantado bloqueando el tránsito de autos 20% del tiempo. Ud. Ha de pasar un auto por dicha ruta una vez al día en los próximos 7 días, y desea predecir el número de los mismos en que el puente estará en la posición elevada, cuando Ud. se acerque. a. Esta situación se adapta al modelo Binomial de probabilidades?. Explique por qué.

b. Calcule la probabilidad de que el puente se halle levantado cada vez que Ud. se

acerque.

c. Cuál es la probabilidad de que esté en posición elevada exactamente en tres de sus

siete viajes?

d. Calcule la probabilidad de que esté elevado exactamente una vez.

e. Calcule la probabilidad para todos los valores de la variable y grafíquelo.

f. Determine el valor esperado y desviación estándar del número de días en que en-

cuentra el puente elevado.

SOLUCIÓN

a). El experimento de Bernoulli básico es = Transitar en auto una vez al día

en la ruta en la cual existe un puente elevadizo, en donde los posibles resultados son Ω = Elevado, Posición normal. En este espacio muestral, definimos la variable aleatoria de Bernoulli. 1 : Puente elevado (Éxito=E)

ix

0 : Puente no elevado (Fracaso=F)

Con P(E) = P(X=1) = 0.2 = p y P(F) = P(X=0) = 0.8 = 1 – p = q Como el experimento aleatorio se repite siete veces, el espacio mues-

tral debe ser 7, FE ,

Entonces la variable aleatoria X = Número de días a la semana que encuentra el

auto encuentra el puente elevado se puede expresar como:



7

1

71 ...i

ixxxX donde cada ix puede ser 0 ó 1, por lo que

el rango de esta variable será: 7,...,1,0XR

Esta variable seguirá una distribución Binomial B(7, 0.2), cuya función de cuantía es:

Rango de la variable X: 7,...,1,0XR

X ~

Función de cuantía: xx

xxpxXP

78.02.0

7)()(

b) 000013.08.02.07

7)7()7( 777

pXP

c) 114688.08.02.03

7)3()3( 373

pXP

e) Esta función de cuantía genera las siguientes probabilidades:

P(X = x) P(X ≤ x)

X B(7, 0.20) F(x)

0 0.209715 0.209715 1 0.367002 0.576717 2 0.275251 0.851968 3 0.114688 0.966656 4 0.028672 0.995328 5 0.004301 0.999629 6 0.000358 0.999987 7 0.000013 1

Σ 1

f) E(x) = n.p = 7 x 0.2 = 1.4 veces

0583.112.18.02.07)( npqxDE

La Distribución Binomial también aparece cuando de un lote o población fi-nita de N elementos, de los cuales A de estos elementos poseen una cua-

0.000000

0.100000

0.200000

0.300000

0.400000

0 1 2 3 4 5 6 7

B(7, 0.20)



lidad específica en estudio y el resto (N–A) no lo poseen, se seleccionan n elementos usando un muestreo con reemplazo, tal que n < A. En este contexto se define la variable aleatoria X = Número de elementos en la mues-

tra que poseen la cualidad específica en estudio. Esta variable sigue una Dis-tribución Binomial con parámetros n y p, donde n es el tamaño de muestra y p es la probabilidad de obtener un elemento que tenga la cuali-dad en estudio en cualquier extracción de los elementos de la muestra, usando un muestreo con reemplazo (p = A/N). M.C.R.

Muestra (n)

Población (N)

Nota: Si el muestreo fuera sin reemplazo pero se tiene la fracción de

muestreo 0N

nf (en la práctica se considera que la fracción de

muestreo tiende a cero cuando 05.0N

nf ) entonces se puede con-

siderar que variable aleatoria X = Número de elementos en la muestra que po-

seen la cualidad específica en estudio, se distribuye aproximadamente como una Binomial con parámetros n y p, donde se asume que p permanece aproximadamente constante debido a que la fracción de muestreo es me-nor al 5% (f < 0.05).

Ejemplo 3: Un fabricante de marcos de ventana sabe por larga experien-cia que el 10% de la producción tendrá algún tipo de defecto que requerirá un ligero reajuste. a) ¿Cuál es el número esperado de marcos defectuosos en la muestra? b). ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 20 marcos de ven-

tana, de un lote de 500: i. Ninguno necesite arreglo?

ii. Por lo menos 1 requerirá arreglo?

iii. Más de 2 requerirá arreglo?

iv. Elabore una gráfica de la función de cuantía.

SOLUCIÓN

Población N = 500 Muestra sin reemplazo n = 20 Fracción de muestreo f = n/N = 20/500 = 0.04 < 0.05 Probabilidad de obtener un marco defectuoso p = 0.10 (Asumimos constante de-

bido a que la fracción de muestreo f < 0.05). Variable aleatoria: X = Número de marcos defectuosos en la muestra

Muestreo

con Reempla-zo X = Número de elementos en la muestra que

poseen la cualidad específica en estudio

~ B(n, p)

Donde p = A/N

A = N° de elementos en la pobla-

ción que tienen la cualidad en estu-

dio



La distribución de la variable X es una B(20, 0.10), Rango Rx = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …., 20 X ~

xx

xxpXP

209.0.1.0

20)()(

a) Número esperado de defectuosos en la muestra: E(x) = n.p = 20 x 0.1 = 2

b) i. 12157665.09.09.0.1.00

20)0()0( 200200

pXP

ii. 87842335.012157665.01)0(1)1( XPXP

iii. 32307317.067692681.01)2(1)3( XPXP

)2()1()0(1)3( XPXPXPXP

285179807.0270170344.0121576655.01)3( XP

323073195.0676926805.01)3( XP

Distribución B(20, 0.1)

B(20, 0.10)

X P(X = x) P(X ≤ x)

0 0.121576655 0.121576655

1 0.270170344 0.391746998

2 0.285179807 0.676926805

3 0.190119871 0.867046677

4 0.089778828 0.956825505

5 0.031921361 0.988746866

6 0.008867045 0.997613911

7 0.001970454 0.999584365

8 0.000355776 0.999940141

9 5.27076E-05 0.999992849

10 6.44204E-06 0.999999291

11 6.50711E-07 0.999999942

12 5.4226E-08 0.999999996

13 3.70776E-09 1

14 2.05987E-10 1

15 9.15496E-12 1

16 3.1788E-13 1

17 8.3106E-15 1

18 1.539E-16 1

19 1.8E-18 1

20 1E-20 1

Total 1

X ≤ 2

X ≥ 3

P(X ≤ 2)

P(X ≥ 3) = 1-P(X ≤ 2) = 1–0.676926805 = 0.323073195



2. La distribución Hipergeométrica:

Sea N una población finita formada por un número pequeño de individuos, objetos o medidas, de los cuales una parte A de estos elementos tienen una cualidad que estamos interesados en estudiar. Considere que de esta población se selecciona una muestra aleatoria sin reemplazamiento tama-ño n. M.S.R.

Muestra (n)

Población (N)

Variable aleatoria: X = Número de elementos en la muestra La distribución de la variable X es una B(20, 0.10), Rango: Rx = Máx0, n-(N-A), …., Mínn, A X ~

Función de cuantía

n

N

xn

AN

x

A

xpxXP )()(

Valor Esperado: N

nAXE )(

Varianza:

N

A

N

nA

N

nNXV 1

1)(

Desviación estándar: XVXDE

Muestreo Sin Reemplazo

X = Número de elementos en la muestra que

poseen la cualidad específica en estudio

~ Hipergeométrica:

H(N,A,n)

A = N° de elementos en la población

que tienen la cualidad en estudio



Ejemplo1 Un profesor tiene 15 preguntas de opción múltiple referente a distribuciones probabilísticas. Cuatro de estas interrogantes se relacionan con la distribución hipergeométrica. Cuál es la probabilidad de que al me-nos una de tales preguntas sobre la distribución hipergeométrica, aparezca en el examen de 5 preguntas del próximo lunes?. Cuál es el número espe-rado y desviación estándar del número de preguntas sobre la distribución hipergeométrica

SOLUCIÓN N = 15 A = 4 n = 5 X = Número de preguntas relacionadas con la distribución hipergeométrica La distribución de X es: RX: 0, 1, 2, 3, 4=A

X ~

5

15

5

114

)()(xx

xpxXP

Se pregunta por: P(X ≥ 1) = ? P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)

8462.01538.01

5

15

05

415

0

4

1)1(

XP

33.13

4

15

45)(

N

nAXE

8357.06984127.063

44

15

41

15

45

115

515

XVXDE

Ejemplo 2. Considere que una población consiste de 15 artículos, 10 de los cuales son aceptables. Se selecciona una muestra de 4.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 sean aceptables?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que los 4 sean aceptables?

c) ¿Cuál es la probabilidad de al menos uno sea aceptable?



SOLUCIÓN N = 15 A = 10 n = 4 X = Número de artículos aceptables en la muestra La distribución de X es: RX: 0, 1, 2, 3, 4 = n

X ~

4

15

4

101510

)()(xx

xpxXP

a) Se pregunta por: P(X = 3) = ?

4396.0

4

15

34

1015

3

10

)3(

XP

b) Se pregunta por: P(X = 4) = ?

1538.0

4

15

44

1015

4

10

)4(

XP

c) Se pregunta por: P(X ≥ 1) = ?

P(X ≥ 1) = 1- P(X = 0)

9963.00037.01

4

15

04

1015

0

10

1)0(1)1(

XPXP

Ejemplo 3. Una florería tiene 15 camiones de reparto que se utilizan prin-cipalmente para entregar flores y arreglos florales en su ámbito de influen-cia. Suponga que 6 de los 15 vehículos tienen problemas con los frenos. Se seleccionaron cinco camiones al azar para probarlos. ¿Cuál es la pro-babilidad de que dos de los vehículos examinados tengan frenos defectuo-sos?.



SOLUCIÓN N = 15 A = 6 n = 5 X = Número de vehículos con defectos en los frenos. La distribución de X es: RX: 0, 1, 2, 3, 4, 5 = n

X ~

5

15

5

6156

)()(xx

xpxXP

Se pregunta por P(X = 2 ) = ?

41958.0

5

15

3

9

2

6

5

15

25

615

2

6

)2()2(

pXP

3. La distribución de Poisson:

Sea una variable aleatoria X = Número de ocurrencias por unidad de medición (minuto, hora, centímetro, metro cuadrado, etc,) de la cual se conoce la tasa media de ocurrencias por unidad denotada por λ, la cual se mantiene constante du-rante el período de estudio. Esta variable sigue una distribución de Pois-son, la cual debe su nombre a su creador, el Matemático Francés Simenon Poisson (1781–1840). La distribución de Poisson tiene como parámetro a la tasa media de ocurrencias λ, y mide la probabilidad de un evento alea-torio sobre algún intervalo de tiempo o espacio. La distribución de Poisson tiene los siguientes supuestos para su aplicación:

La probabilidad de ocurrencia del evento es constante para dos intervalos

cualesquiera de tiempo o espacio.

La ocurrencia del evento en un intervalo es independiente de la ocurrencia de

otro intervalo cualquiera.

Dados estos supuestos, la distribución puede expresarse como:

Rango: Rx = 0, 1, 2, 3, 4, ….

Función de cuantía !

)()(x

expxXP

x

Número de veces que ocurre el evento Número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o de espacio (o tasa promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o de espacio)

Base del logaritmo natural

:X:

71828.2e

X ~



Valor esperado: E[x] = λ Varianza : V[x] = λ La forma de esta distribución va cambiando con el valor de su parámetro λ

X P(X: λ =0.8) P(X: λ=2.5) P(X: λ=5) P(X: λ=10)

0 0.44933 0.082084999 0.006737947 4.53999E-05

1 0.35946 0.205212497 0.033689735 0.000453999

2 0.14379 0.256515621 0.084224337 0.002269996

3 0.03834 0.213763017 0.140373896 0.007566655

4 0.00767 0.133601886 0.17546737 0.018916637

5 0.00123 0.066800943 0.17546737 0.037833275

6 0.00016 0.027833726 0.146222808 0.063055458

7 0.00002 0.009940617 0.104444863 0.090079226

8 0.003106443 0.065278039 0.112599032

9 0.000862901 0.036265577 0.125110036

10 0.000215725 0.018132789 0.125110036

11 4.90285E-05 0.008242177 0.113736396

12 0.00343424 0.09478033

13 0.001320862 0.072907946

14 0.000471736 0.052077104

15 0.000157245 0.03471807

16 4.91392E-05 0.021698794

17 0.012763996

18 0.007091109

19 0.003732163

20 0.001866081

21 0.00088861

22 0.000403914

23 0.000175615

24 7.31728E-05

La distribución de probabilidades Poisson a menudo proporciona un buen modelo de la distribución de probabilidad para el número “X” de eventos poco comunes que se presentan en el espacio, tiempo, volumen o cual-quier otra dimensión, donde λ es el valor promedio de “X”. Así tenemos que, esta distribución proporciona un buen modelo de la distribución de probabilidad del número X de accidentes automovilísticos, industriales u



otra clase de accidentes que ocurren en cierta unidad de tiempo. El núme-ro de llamadas telefónicas que atiende un conmutador en un intervalo, el número de partículas radioactivas que se desintegran en cierto período, el número de errores que una mecanógrafa comete en una cartilla, el número de vehículos que doblan en un sentido específico en una bifurcación de la vía rápida en un intervalo de 10 minutos, son otros ejemplos de variables aleatorias con una distribución aproximada a la de Poisson. Ejemplo 1: Supongamos que estamos interesados en la probabilidad de que exactamente 5 clientes lleguen durante la siguiente hora (o en cual-quier hora dada) laboral. La observación simple de las últimas 80 horas ha demostrado que 800 clientes han entrado al negocio. Por lo tanto λ = 10 clientes por hora.

SOLUCIÓN

X = Número de clientes por hora que ingresan al negocio. E[X] = λ = 10 clientes por hora La distribución puede expresarse como:

Rango: Rx = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …. X ~


10)()(

10

x

expxXP

x

0378.0!5

10)5()5(

510

e

pXP

Otros cálculos

067085.0!5

10)5(

5105

0

e

XPx

93915.0067085.01)5(15 XPXP

78640.013014.091654.06)14(147 XPXPXP

Ejemplo 2. Una compañía de pavimentación local obtuvo un contrato con el municipio para hacer mantenimiento a las vías del centro de la ciudad. Las vías recientemente pavimentadas por esta compañía demostraron un promedio de dos defectos por Km., después de haber sido utilizadas du-rante un año. Si el municipio sigue con esta compañía de pavimentación, ¿cuál es la probabilidad de que se presenten tres defectos en cualquier ki-lómetro de vía después de haber tenido tráfico un año?.



SOLUCIÓN X = Número de defectos por kilómetro de vía. E[X] = λ = 2 defectos por kilómetro La distribución puede expresarse como:

Rango: Rx = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …. X ~


2)()(

2

x

expxXP

x

1804.0!3

2)3()3(

32

e

pXP

Nota: Si lo que se desea es conocer la probabilidad de que ocurran X eventos en un intervalo de tiempo “t”, múltiplo del intervalo unitario de referencia de λ, entonces la función de cuantía se modifica en su parámetro por λt, que-dando de la siguiente manera. X = Número de eventos por un intervalo de tiempo “t”. E[X] = λt La distribución puede expresarse como:

Rango: Rx = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …. X ~


)()()(

x

texpxXP

xt

Ejemplo 3. Suponga que en el ejemplo anterior sobre los defectos de

pavimentación, deseamos calcular la probabilidad de que se presenten

cinco defectos en un intervalo de tres kilómetros de vía después de ha-

ber tenido tráfico un año.

SOLUCIÓN

X = Número de defectos por cada tres kilómetros de vía. E[X] = λt = 2x3 =6 defectos por cada tres kilómetros La distribución puede expresarse como:

Rango: Rx = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …. X ~


6

!

)32()()(

632

x

e

x

expxXP

xx

16062.0!5

6)5()5(

55

e

pXP



4. Propiedades de la distribución de Poisson:

a. Si X es una variable con distribución de Poisson con parámetro

λ y Y es otra variable también con distribución de Poisson pero

con parámetro µ, entonces la suma de estas variables generan

una nueva variable Z = X + Y con la misma distribución de Pois-

son, pero con parámetro dado por (λ + µ).

b. Sea Z una variable aleatoria con distribución de probabilidades

Poisson con parámetro λ. Sea “p” una probabilidad de que la va-

riable Z adquiera un atributo particular y “(1-p)” es la probabilidad

de que no lo adquiera, entonces se generan dos variables X y Y

con la misma distribución de Poisson cada una de ellas, pero

con parámetros (pλ) y (1-p)λ respectivamente.

Estas dos características son conocidas como la propiedad de re-

producción de la distribución de Poisson.

Y ~ P( (1-

p)λ )

X ~ P(

pλ)

X :

P(λ)

Y:

P(µ)

Z = X + Y :

P(λ+µ)

Z ~

P(λ)



Ejemplo: El siguiente gráfico se muestra un flujo de tráfico en una zona

urbana, en donde el número de vehículos que pasan por un punto dado

en un intervalo de tiempo unitario sigue una distribución de Poisson con

sus correspondientes parámetros en cada una de los sectores de las

vías. Estos parámetros son deducidos usando la propiedad de reproduc-

tividad de la Distribución de Poisson.

5. Aproximación de la distribución de Poisson a la Bino-

mial:

Suponga que X es una variable aleatoria Binomial con parámetros n y p,

es decir que pnBX , . Cuando n y 0p tal que el producto

np se mantiene constante, el cual lo denotamos por , es decir que

np ; entonces la distribución Binomial pnB , puede ser suficiente-

mente bien aproximada por la distribución de Poisson con parámetro

np . en la práctica se considera que n cuando 30n y que

0p cuando 05.0p . A continuación se muestra dos ejemplos de la

aproximación Poisson a la Binomial. La única ventaja de usar la distribu-

ción de Poisson en lugar de la Binomial es por facilidad de cómputo.



λ = 50*0.02= 1

X B(50, 0.02) P(λ=1) 0 0.364170 0.367879 1 0.371602 0.367879 2 0.185801 0.183940 3 0.060670 0.061313 4 0.014548 0.015328 5 0.002732 0.003066 6 0.000418 0.000511 7 0.000054 0.000073 8 0.000006 0.000009 9 0.000001 0.000001 10 0.000000 0.000000

λ = 200*0.03= 6

X B(200, 0.03) P(λ=6)

0 0.002261 0.002479 1 0.013987 0.014873 2 0.043043 0.044618 3 0.087860 0.089235 4 0.133828 0.133853 5 0.162250 0.160623 6 0.163086 0.160623 7 0.139788 0.137677 8 0.104301 0.103258 9 0.068817 0.068838

10 0.040652 0.041303 11 0.021716 0.022529 12 0.010578 0.011264 13 0.004731 0.005199 14 0.001955 0.002228 15 0.000750 0.000891 16 0.000268 0.000334 17 0.000090 0.000118 18 0.000028 0.000039



19 0.000008 0.000012 20 0.000002 0.000004

Por lo tanto es fácil deducir que para las condiciones especificadas ante-

riormente de una distribución Binomial, podría utilizarse la Distribución de

Poisson como una distribución aproximada, con la cual se obtendrán pro-

babilidades suficientemente próximas a su valor verdadero Binomial.

Ejemplo: Un vendedor de productos electrónicos espera que el 2% de las

unidades vendidas fallen durante el período de garantía. Se hace un se-

guimiento de 500 unidades independientes para determinar su desempeño

durante el tiempo de garantía.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las unidades fallen du-

rante el período de garantía?

b) Cuál es el número esperado de unidades que fallan durante el pe-

ríodo de garantía?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen más de dos unidades durante

el período de garantía?

SOLUCIÓN

X = Número de unidades que fallan en periodo de garantía.

n = 500 : Número de unidades en el período de garantía

p = 0.02 : Probabilidad de que una unidad falle en el período de garantía



La distribución verdadera de X ~ B(500, 0.02), Como n y 0p ,

Entonces se puede usar la distribución de Poisson como una distribución

aproximada, así: X ~ Poisson con 1002.0500 np

Por lo tanto:

a) 000045.0!0

)10()0(

010

e

XP

El valor de esta probabilidad con su distribución verdadera es

000041.0)98.0()02.0(0

500)0( 5000

XP

La ventaja de usar la distribución aproximada es solamente por facilidad

de cómputo.

b) 1002.0500 npXE

c) !

)10(121)2(

102

0 x

eXPXP

x

x

002270.0000454.0000045.01)2( XP

002769.01)2( XP

997231.0)2( XP



Laboratorio 5

1. En una encuesta sobre corretaje reporta que el 30% de los inversio-

nistas individuales ha utilizado a un corredor de descuento; esto es,

uno que no cobra las comisiones completas. En una muestra selec-

cionada al azar de nueve inversionistas, ¿Cuál es la probabilidad de

que:

a. Exactamente dos de los individuos de la muestra hayan emplea-do a un corredor de descuento?

b. Exactamente cuatro de ellos hayan utilizado a un corredor de es-te tipo?.

c. Entre tres y cinco individuos inclusive hayan utilizado a un corre-dor de este tipo?

d. Más de cinco individuos hayan utilizado un corredor de este tipo?

2. Un estudiante debe obtener por lo menos el 60% de respuestas co-

rrectas en un examen con 18 preguntas diseñadas cada con dos al-

ternativas de verdadero o falso. Si el estudiante lanza una moneda

para determinar la respuesta a cada pregunta, ¿Cuál es la probabili-

dad de que el estudiante pase?

3. Como subgerente de una empresa de materias primas Ud. debe

contratar a 10 personas entre 30 candidatos, 22 de los cuales tienen

título universitario. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de los que Ud.

contrate tengan título universitario?

4. De los 15 altos ejecutivos de un negocio de importaciones y exporta-

ciones, se seleccionan 12 para ser enviados a Japón a estudiar un

nuevo proceso de producción. Ocho de los ejecutivos ya tienen algo

de entrenamiento en el proceso. ¿Cuál es la probabilidad de que

cinco de los enviados tengan algo de conocimiento sobre el proceso

antes de partir para el lejano oriente?

5. A un conmutador de la oficina principal de una empresa llegan lla-

madas a un promedio de dos por minuto y se sabe que tienen distri-



bución de Poisson. Si el operador está distraído por un minuto, cuál

es la probabilidad que el número de llamadas no respondidas sea:

a. ¿Cero?, b) ¿por lo menos una? Y c)¿Entre tres y cinco inclusive?

6. Un proceso de fabricación utilizado para hacer artefactos plásticos

Incas presentan una tasa de defectuosos de 5 por cada 100 unida-

des. Las unidades se envían a los distribuidores en lotes de 200. Si

la probabilidad de que más de tres salgan defectuosos supera el 0.3,

Ud. planea vender en su lugar, camisetas Gratefull Dead. ¿Cuál ar-

tículo agregará ud. al inventario?

7. Usted compra partes para bicicleta de un proveedor en Lima que tie-

ne tres defectos por cada 100 partes. Ud. está en el mercado para

comprar 150 partes pero no aceptará una probabilidad de más de

0.50 de que más de dos partes sean defectuosas. ¿Ud. le comprará

a dicho proveedor?

8. La cantidad promedio de automóviles que pasan por un túnel es de

uno cada periodo de 2 minutos. El paso de muchos vehículos en un

período breve hace que sea peligroso recorrerlo. Determine la pro-

babilidad de que el número de automóviles que pasan por allí duran-

te un período de 2 minutos sea superior a tres.

9. Un vendedor descubre que la probabilidad de hacer una venta en

una sola entrevista con clientes es de 0.03 aproximadamente. Si se

acerca a 100 posibles clientes, ¿cuál es la probabilidad de hacer por

lo menos una venta?



6. La distribución Exponencial:

La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométri-ca discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que:

Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que, el tiem-po que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada.

Ejemplos de este tipo de distribuciones son:

El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento de la ley que sigue este evento se utiliza en Ciencia para, por ejemplo, la datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14, C14;

El tiempo que puede transcurrir para la llegada de un cliente a una estación de servicio como por ejemplo, Tiempo entre llegadas de buses a un grifo de gasolina.

En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre dos llegadas de clientes a una ventanilla.

Concretando, si una v.a. continua T distribuida a lo largo de , es tal que su función de densidad es

TeTf )( para todo 0 y 0T

Se dice que sigue una distribución exponencial de parámetro , )(ExpT .

Un cálculo inmediato nos dice que si x > 0,

xx x

tt eedtexXPxF 1)()(0 0

]



luego la función de distribución es:

Valor esperado: E(X):

1)( TE

Varianza V(X): 2

1)(

TV

1. Ejemplo

Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de empresas individuales de res-

ponsabilidad limitada (EIRL) sigue una distribución exponencial con una media o valor

esperado igual a: E(T) = 16 años.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que a una de estas empresas tenga un tiempo de vida

menor a 20 años?

b. Si la empresa lleva funcionando normalmente 5 años, ¿cuál es la probabilidad de

que función menos de 25 años?

Solución: Sea T la variable aleatoria que mide la duración de la empresa. Tenemos que

Entonces

En segundo lugar



Luego como era de esperar, por ser propio a un mecanismo exponencial,

o sea, en la duración que se espera que tenga el objeto, no influye en nada el tiempo que

en la actualidad lleva funcionando. Es por ello que se dice que ``la distribución exponen-

cial no tiene memoria".

Ejem 2: Considerando que en el proceso de llegadas de pasajeros a un parade-

ro de transporte urbano, el tiempo ente dos llegadas consecutivas es una variable con distribución exponencial; Se sabe que el valor esperado de este tiempo entre llegadas es de 4 minutos, encontrar la probabilidad de que:

a) No lleguen pasajeros en un intervalo de 5 minutos

b) No lleguen pasajeros en un intervalo de 8 minutos

Ejem. 3 Considerando que en el proceso de llegadas de buses a un paradero

de transporte urbano, el tiempo ente dos llegadas consecutivas es una variable con distribución exponencial; Se sabe que el valor esperado de este tiempo entre llegadas es de 5 minutos.

a) Encuentre la probabilidad de que no lleguen buses en un intervalo de 8

minutos

b) Suponga que Ud. llega al paradero justo cuando acaba de salir el último

bus y al preguntar al controlador de la empresa de buses, éste le informa

que el valor esperado de tiempo entre llegada de buses es de 5 minutos.

Ud. se forma una expectativa que el próximo bus tardará 5 minutos en lle-

gar al paradero y si no llega en este tiempo Ud. empieza a mortificarse.

¿Cuál es la probabilidad que se sienta mortificado?

c) Con relación a la parte (b), ¿Cuál es el tiempo entre llegadas de buses,

que debe indicar el controlador de la empresa, a los pasajeros que como

Ud. llegan justo cuando acaba se salir el último bus, para que solo el 10%

de pasajeros se puedan sentir mortificados?



7. Distribución Normal

1. Distribución normal o campana de Gauss-Laplace

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, jus-tificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenóme-nos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.

En resumen, la importancia de la distribución normal se debe prin-cipalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plan-

tas,...) de una especie, p.ejm. tallas, pesos, diámetros, períme-tros,... )

Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono.

Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.

Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,...

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. Valores estadísticos muestrales, por ejemplo : la media. Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproxima-

ciones normales, ...

Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores.

FUNCIÓN DE DENSIDAD

El modelo de la función de densidad que corresponde a la distribu-ción normal viene dado por la fórmula de Gauss:

2

2

2

2

1)(

x

exf

Donde:

media

...14159265.3

estándarDesviacion

...718281828.2e

Varianza2

aleatoriaiablex var

La representación gráfica de esta función de densidad es:



Propiedades de la función de densidad Normal

i. Rango de X: Conjunto de los números reales

ii. La función de densidad tiene un máximo en :

2

1,

iii. Dos puntos de inflexión: en X y X

iv. Es asíntota El eje horizontal X v. Simétrica respecto a la media

vi. Numéricamente coinciden MoMe

vii. Aproximadamente: 6827.0)( XP

9545.0)22( XP

9973.0)33( XP

viii. Monotonía: creciente ),( , decreciente ),(

ix. Es siempre positiva 0)( xf

La distribución normal queda definida por dos parámetros, su media

y su varianza y la representamos así N( μ, σ2). Para cada valor de

μ y σ2 tendremos una función de densidad distinta, por lo tanto la ex-

presión N(μ, σ2) representa una familia de distribuciones norma-

les.



FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

La función de distribución está definida por:

dtexFxXP

tx 2

2

2

2

1)()(

Tiene las siguientes propiedades de la función de distribución:

1. F(x) es continua

2. F(x) es monótona no decreciente.

3. F(-∞) = 0 y F(+∞) = 1

F(x) es el área sombreada de esta gráfica

TIPIFICACIÓN ESTANDARIZACIÓN

Si la variable X es ),( N entonces la variable tipificada de X es 0

XZ y

sigue también una distribución normal pero con 0 y 1 , es decir )1,0(N

Por tanto su función de densidad es

zezfz

;2

1)( 2

2

y su función de distribución es



dtezfzZPzFt

t2

2

2

1)()()(

siendo la representación gráfica de esta función

a la variable Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva de su función de densidad curva normal tipificada o estandarizada.

Característica de la distribución normal tipificada (reducida, estándar)

No depende de ningún parámetro Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1. La curva f(z) es simétrica respecto del eje OY

Tiene un máximo en este eje e igual a: 2

1

Tiene dos puntos de inflexión en z =1 y z = -1

Cálculo de probabilidades usando la Distribución Normal estándar :

1° Caso: Dado el evento, encontrar una probabilidad: Sea X una variable aleatoria con distribución normal con media 10 y varianza 4, calcule la probabilidad de los siguientes eventos: (Note que µ = 10 y σ2 = 4 y σ

= 2)

a. P(X<13.5) b. P(X< 9.5) c. P(10.5 < X < 14.5) d. P(8 < X < 12) e. P(6 < X < 14) f. P(|X-µ| < 2) g. P(|X-µ| < 4)



h. P(|X-µ| < 6)

DESARROLLO

a.

2

105.13)5.13(

XPXP

75.1 ZP

= 0.959941

b.

2

105.9)5.9(

XPXP

25.0 ZP

= 0.401294

Si no se tiene una tabla de la normal estándar para valores negativos de Z, se puede aprovechar la simetría de la distribución del siguiente modo:

25.0 ZP

25.01 ZP

= 1 – 0.598706

= 0.401294

c.

2

105.14

2

105.10)5.145.10(

XPXP

25.225.0 ZP

)25.0(25.2 ZPZP

= 0.987776 - 0.598706

= 0.389069

d.

2

1012

2

108)128(

XPXP

11 ZP

)1(1 ZPZP

= 0.841345 - 0.158655

= 0.682689

e.

2

1014

2

106)146(

XPXP

22 ZP

)2(2 ZPZP

= 0.977250 - 0.022750



= 0.954500

f.

2

2)2|(|

XPXP

1 ZP

)1(1 ZPZP

= 0.841345 - 0.158655

= 0.682689

g.

2

4)4|(|

XPXP

2 ZP

)2(2 ZPZP

= 0.977250 - 0.022750

= 0.954500

h.

2

6)6|(|

XPXP

3 ZP

)3(3 ZPZP

= 0.998650 - 0.001350 = 0.997300

2° Caso: Dado la probabilidad, encontrar los límites del evento:

Aproximación de la Binomial por la Normal (Teorema de De Moivre) :

Demostró que bajo determinadas condiciones (para n grande y tanto p como q no estén próximos a cero) la distribución Binomial B(n, p) se puede aproximar me-diante una distribución normal con media np y varianza npq.

Esto es:

Si tal que n y 5.0p con 5np entonces

Y, por tanto la variable

MoivredeTeoremaNunaesnpq

npXZ

)1,0(



Debemos tener en cuenta que cuanto mayor sea el valor de n, y cuanto más pró-ximo sea p a 0.5, tanto mejor será la aproximación realizada. Es decir, basta con que se verifique

gracias a esta aproximación es fácil hallar probabilidades binomiales, que para valores grandes de n resulten muy laboriosos de calcular.

Hay que tener en cuenta que para realizar correctamente esta transformación de una variable discreta (binomial) en una variable continua (normal) es necesario hacer una corrección de continuidad agregando o restando 0.5 según convenga para un evento específico, tal como se puede apreciar en los siguientes gráficos.



MANEJO DE TABLAS. CASOS MÁS FRECUENTES.

La distribución de la variable Z se encuentra tabulada

http://personal5.iddeo.es/ztt/pra/p1_normal000.htm



a. Aplicaciones de la distribución normal

Ejemplos:

Los niveles de rendimiento de un proceso productivo diario se distribuyen normalmen-

te con = 200 y = 20. Si de esta población se selecciona un día al azar, ¿cuál es la

probabilidad de que tenga un valor entre 170 y 230?



p(170 < x < 230) = ?

Se transforman o estandarizan los valores de xi en términos de z.

5.120

200170z170

5.120

200230z230

Luego: p(170 < x <230) = p (-1.50 < z < 1.50)=?.

De la tabla:

p(-1.50 < z < 1.50) = 0.0668 + 0.9332 = 0.8664

La probabilidad de que en un día seleccionado al azar el nivel de rendimiento

del proceso productivo este entre 170 y 230, es de 0.8664



Laboratorio 6 1. A partir de la información sobre tiempos de servicio: con media 5 minutos y una

desviación estándar de 1.5 minutos.

a. El 95 por ciento de los clientes, alrededor de la media, ¿entre qué tiempos de

servicio se encuentran?

b. El 90 por ciento de los clientes, alrededor de la media, ¿entre qué tiempos de

servicio sen encuentran?

c. El 99 por ciento de los clientes, alrededor de la media, ¿entre qué tiempos de

servicio sen encuentran?

2. La resistencia a la compresión de una serie de muestras de cemento puede mode-

larse con una distribución normal con media 6000 Kgr. por centímetro cuadrado, y

una desviación estándar de 100 Kgr. por centímetro cuadrado.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que

6250 Kgr./cm2?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre

entre 5800 y 5900 Kgr./cm2?

c. ¿Cuál es el valor de la resistencia que excede el 95% de las muestras?

3. La resistencia a la tracción de un papel está moldeada por una distribución normal

con media 35 Lib/pulg2

a. Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que

40 Lib/pulg2?

b. Si las especificaciones requieren que la resistencia sea mayor que 30

Lib/pulg.2, ¿qué proporción de muestras será desechada?

4. El volumen que una máquina de llenado automático deposita en latas de una bebida gaseo-

sa tiene una distribución normal con media 12.4 onzas de líquido y desviación estándar de

0.1 onzas de líquido.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el volumen depositado sea menor que 12 onzas de

líquido?

b. Si se desechan todas la latas que tienen menos de 12.1 o más de 12.6 onzas de lí-

quido, ¿cuál es la proporción de latas desechadas?.

c. Calcule especificaciones que sean simétricas alrededor de la media, de modo que

se incluya al 99% de todas la latas?

5. El tiempo de reacción de un conductor a un estímulo visual tiene una distribución

normal con media 0.4 segundos y una desviación estándar de 0.05 segundos.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el conductor reaccione en más de 0.5 se-

gundos?

b. ¿Cuál es la probabilidad que el tiempo de reacción esté entre 0.4 y 0.5 se-

gundos?

c. ¿Cuál es el tiempo de reacción que se espera exceder el 90% de la veces?

6. Un proceso de fabricación de chips produce 2% de chips defectuosos. Suponga que

los chips son independientes y que un lote contiene 1000 de ellos.

a. Obtenga la probabilidad de que el lote contenga entre 20 y 30 chips defec-

tuosos.

b. Obtenga la probabilidad de que el lote contenga exactamente 20 chips de-

fectuosos.

Probab i Lida Des

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