Prob Anaya Opt Fets

5/14/2018 Prob Anaya Opt Fets - slidepdf.com

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Unidad 10. Óptica geométrica330

1. Explica brevemente qué entiendes por foco y distancia focal para un dioptrioesférico. Razona cómo será el signo de la distancia focal objeto y la distancia

focal imagen según que el dioptrio sea convexo o cóncavo.

Se llama foco imagen al punto del eje óptico donde convergerían, después de refrac-tarse, una serie de rayos que, procedentes del infinito, incidiesen sobre la superficiedel dioptrio paralelos al eje óptico.

El foco objeto es un punto del eje óptico tal que los rayos procedentes de él despuésde refractarse sobre el dioptrio saldrían paralelos al eje óptico.

La diferencia está en que, para un dioptrio esférico convexo, R > 0, por lo que f < 0, y el foco imagen se encuentra a la derecha, f 4 > 0. En el dioptrio esférico cóncavo, el fo-co objeto está a la derecha del dioptrio, f > 0, y el foco imagen, a la izquierda, f 4 < 0.

La figura inferior muestra para un dioptrio esférico convexo el foco imagen, repre-

sentado por F 4, a la izquierda, y el foco objeto, representado por el punto F , a la de-recha.

A ctividades del final de la unidad

f '

O

F'

n n'

F O

f

n n'

En el caso de un dioptrio esférico cóncavo, R < 0, la figura inferior muestra a la iz-quierda el foco imagen, y a la derecha, el foco objeto.

f

O

F

n n'

F ' O

f '

n n'

En todos los casos hemos considerado que n 4 > n.

2. ¿Qué significado tiene la aproximación de rayos paraxiales?

Consiste en suponer que los rayos inciden sobre el dioptrio con un ángulo menor de10°. En este caso, podemos utilizar la siguiente aproximación (con a en radianes):

sen a ≈ tg a ≈ a



Unidad 10. Óptica geométrica 331

3. Un objeto se encuentra situado a 6 cm del vértice óptico de un dioptrio esféri-co. Sabiendo que sus distancias focales son: f = –3,5 cm y f 44 = 4,5 cm, determi-na la posición de la imagen.

La ecuación del dioptrio esférico podemos escribirla de la forma:

+ = 1

que es la denominada ecuación de Gauss. De acuerdo con el criterio de signos quehemos definido en el libro del alumno, los datos que tenemos son:

f 4 = 4,5 cm ; f = – 3,5 cm ; s = – 6 cm

Sustituyendo datos, la posición de la imagen resulta:

+ = 1 8 s 4 = 10,8 cm

4. Un dioptrio esférico convexo de 20 cm de radio separa dos medios de índicede refracción n 1 = 1,00 y n 2 = 1,65. Halla: a) Las distancias focales imagen y objeto. b) La distancia a la que se formará la imagen de un objeto de 5 cm de al-tura situado perpendicularmente a 2 m del dioptrio. c) El tamaño de la ima-gen. d) La naturaleza de esta.

a) Aplicando las expresiones de las distancias focales y sustituyendo datos, resulta:

f 4 = R · 8 f 4 = +20 cm · = 50,8 cm

f = – R · 8 f = –20 cm · = – 30,8 cm

Observa que se cumple que:

f + f 4 = R 8 f + f 4 = 50,8 – 30,8 = 20 cm = R

b) Ahora, s = – 2 m. Aplicando la ecuación de Gauss y sustituyendo datos, resulta:

+ = 1 8 + = 1 8 s 4 = 60 cm

c) Mediante la ecuación del aumento lateral calculamos el tamaño de la imagen:

A L = = 8 y 4 = y · = 5 cm · = – 0,91 cm

El signo negativo nos indica que la imagen sale invertida.d) Como s 4 es positivo, la imagen aparece a la derecha del dioptrio, lo que nos indi-

ca que se ha formado por intersección de los rayos convergentes. La imagen es,por tanto, real. Además, la imagen es de menor tamaño que el objeto, | A L| < 1, y aparece invertida, A L < 0.

5. Un dioptrio esférico cóncavo de 8 cm de radio separa aire y un vidrio de índi-ce de refracción 1,5: a) Determina la posición y el tamaño de la imagen de un objeto lineal de 4 mm situado verticalmente sobre el eje a 20 cm del dioptrio. b) Mediante el diagrama de rayos correspondiente, obtén las característicasde la imagen formada.

1,00 · 60 cm1,65 · (–200 cm)

n1 · s 4n2 · s

n1 · s 4n2 · s

y 4

y

–30,8 cm –200 cm

50,8 cm

s 4

f

s

f 4

s 4

1,001,65 – 1,00

n2

n2 – n1

1,651,65 – 1,00

n2

n2 – n1

–3,5 cm –6 cm

4,5 cm

s 4

f

s

f 4

s 4




a) Al ser el dioptrio esférico cóncavo, R = – 8 cm. La posición de la imagen la calcula-mos mediante la ecuación fundamental del dioptrio esférico:

– = 8 – = 8 s 4 = – 13,3 cm

El tamaño de la imagen lo calculamos a partir de la expresión del aumento late-ral, A L:

A L = = 8 y 4 = y · = 4 mm · = 1,8 mm

b) Para obtener gráficamente las características de la imagen, necesitamos conocer ladistancia focal imagen, f 4. Luego:

f 4 = R · 8 f 4 = – 8 cm · = – 24 cm

Trazando dos de los rayos principales, obtenemos gráficamente la imagen:

1,51,5 – 1,0

n 4

n 4 – n

1,0 · (–13,3 cm)1,5 · (–20 cm)

n · s 4

n 4 · s n · s 4

n 4 · s y 4

y

1,5 – 1,0

–8 cm

1,0

–20 cm

1,5

s 4

n 4 – n

R

n

s

n 4

s 4

y y '

f ' = –24 cm

s' = –13,3 cm

R = –8 cm

s = –20 cm

F' C O

n n' > n

La imagen formada es virtual, derecha y de menor tamaño que el objeto.6. ¿Por qué la profundidad real de una piscina llena de agua es mayor que la pro-

fundidad aparente?

La diferencia que existe es debida al fenómeno de refracción que experimenta la luzen la superficie que separa ambos medios, aire y agua. Esta superficie se comportacomo un dioptrio plano.

Como el índice de refracción del agua, n, es mayor que el del aire, n 4, un rayo emiti-do por un objeto situado en el fondo de la piscina, P , al llegar a la superficie del aguase alejará de la normal a dicha superficie.

El observador vería, por tanto, dicho objeto a una profundidad menor, P 4, tal y como

se muestra en la figura.

Aire

n'

n

Agua

P

P'

N

i

r




7. Calcula la profundidad aparente de un foco luminoso que se encuentra su-mergido en el fondo de una piscina de 5 m de profundidad.

Orientando el dibujo de forma quelos rayos procedan de la izquierdadel dioptrio plano y aplicando suecuación fundamental:

=

al sustituir datos, tenemos el valor dela posición de la imagen, s 4:

= 8 s 4 = – 3,75 m

8. Un avión y un submarino están en un instante determinado en la misma ver-

tical. El avión vuela a 100 m sobre el nivel del mar y el submarino se encuen-tra sumergido a 15 m de profundidad. Calcula la distancia aparente con la queel piloto del avión observará al submarino.

La figura aclara el enunciado:

1,333 –5 m

1,000

s 4

n

s

n 4

s 4

Aire

n' = 1,000

n = 1,333

Agua

P

A'

s' = –3,75 ms = –5 m

A

N

n = 1,333

n' = 1,000

100 m

Aire

Aguas'

s

El objeto es el submarino. Si giramos la figura de forma que los rayos del objeto inci-dan sobre el dioptrio por la izquierda, s = – 15 m. Aplicando la ecuación fundamentaldel dioptrio plano:

=

= 8 s 4 = – 11,3 m

Por tanto, el piloto del avión verá el submarino a una distancia aparente, d , igual a:

d = 100 m + 11,3 m = 111,3 m

1,333 –15 m

1,000

s 4

n

s

n 4

s 4




9. Un submarinista que se encuentra sumergido en el mar a una profundidad de 5 m observa pasar un avión a una distancia aparente de 50 m. Determina la altura sobre el nivel del mar a la que se encuentra el avión.

La figura aclara el enunciado:

n' = 1,333

n = 1,000

s'

50 m

5 m

Aire

Agua

Submarinista

s

A

A'

El objeto es el avión, y el observador, el submarinista, está en el agua. Al encontrar-se este en un medio más refringente, la distancia aparente será mayor que la real.

Del dibujo observamos que:

50 m = 5 m + s 4 8 s 4 = 45 m

Al girar la figura de forma que los rayos del objeto incidan sobre el dioptrio por laizquierda y aplicar la ecuación del dioptrio plano, tendremos que:

= 8 = 8 s = – 33,8 m

Es decir, la avioneta se encuentra a 33,8 m sobre el nivel del mar.

10. Indica cuál de las proposiciones siguientes es correcta referida a la imagen

formada por un espejo plano:a) Virtual, derecha y de menor tamaño.

b) Virtual, derecha y del mismo tamaño.

c) Virtual, invertida y del mismo tamaño.

d) Real, derecha y del mismo tamaño.

e) Real, invertida y del mismo tamaño.

Las imágenes formadas por un espejo plano son siempre virtuales, del mismo tama-ño que el objeto y simétricos a él. Por tanto, tenemos que descartar a), d) y e). Ade-más, la imagen siempre es derecha, ya que es simétrica al objeto. Por tanto, la res-puesta correcta es la b).

1,000

s

1,333 –45 m

n

s

n 4

s 4




11. Dispones de un espejo esférico cóncavo. Mediante el diagrama de rayos co-rrespondiente, indica las características de la imagen de un objeto situadoentre el foco y el espejo.

La construcción gráfica de una imagen requiere el empleo de, al menos, dos rayos

de trayectoria conocida. Dos de los rayos principales son:

• Un rayo paralelo al eje óptico; después de reflejarse en el espejo, pasa por el focoprincipal.

• Un rayo que pase por el centro del espejo no se desvía (se refleja en el espejo enla misma dirección).

C F

B

A A'

B'

La imagen es derecha, mayor que el objeto y virtual (se forma a partir de las pro-longaciones de los dos rayos reflejados en el espejo).

12. Explica el tipo de imágenes que se forman en un espejo convexo.

En un espejo convexo, el centro de curvatura está a la derecha. Para obtener gráfi-camente la posición y el tamaño de la imagen, debemos trazar, al menos, dos rayosde trayectoria conocida. Disponemos de tres rayos principales, que son:

• Un rayo paralelo al eje óptico; después de reflejarse en el espejo, parece que pro-cede del foco.

• Un rayo que se dirija al foco del espejo; se refleja en el espejo paralelamente eleje óptico.

• Un rayo que se dirija al centro de curvatura; se refleja en el espejo en la misma di-rección.

Eligiendo el primero y el tercero, tendremos:

B

B'

A A'

y ' y

F C

En un espejo convexo, la imagen es siempre virtual, ya que se forma por las pro-longaciones de los rayos principales trazados, derecha y de menor tamaño que elobjeto.




13. Un objeto de 10 cm se encuentra a 25 cm de distancia de un espejo cóncavo,cuya distancia focal es de 50 cm. Determina:

a) La posición de la imagen.

b) El tamaño de la imagen.Resuelve los apartados anteriores gráficamente.

a) Para determinar la posición de la imagen, aplicamos la ecuación de los espejosesféricos:

+ =

Como s = – 25 cm y f = = – 50 cm (espejo cóncavo), al sustituir estos valores, ten-dremos:

+ = 8 s 4 = 50 cm

b) El tamaño de la imagen lo obtenemos a partir de la ecuación del aumento lateral:

A L = = – 8 = – 8 y 4 = 20 cm

Para obtener gráficamente la posición y el tamaño de la imagen, debemos trazar,al menos, dos rayos de trayectoria conocida. Dos de los rayos principales son:

• Un rayo paralelo al eje óptico; después de reflejarse en el espejo, pasa por elfoco principal.

• Un rayo que pase por el foco del espejo. Se reflejará paralelo al eje óptico.

50 –25

y 4

10 s 4

s

y 4

y

1 –50

1 –25

1

s 4

1

f

1

s

1

s 4

C

R = –100 cm s' = 50 cm

y' y

f = –50 cm

s = –25 cmF

La imagen es virtual, ya que se forma por la prolongación de los rayos principa-les, derecha y de mayor tamaño que el objeto. Este resultado coincide con lo que

hemos calculado numéricamente.

14. Un objeto, O , está situado a 25 cm del vértice de un espejo cóncavo. La ima-gen producida por el espejo es real, invertida y de tamaño doble queel del objeto:

a) Determina la posición de la imagen y el radio de curvatura del espejo.

b) Resuelve el apartado anterior gráficamente.

a) Para los espejos esféricos, tenemos la siguiente expresión:

+ = [1]1

f

1

s

1

s 4




Por otro lado, tenemos que el aumento lateral, A L, viene dado por:

A L = = –

Como la imagen es de doble tamaño e invertida, y 4 = – 2 · y , tenemos que la po-sición de la imagen invertida resulta:

= – 8 s 4 = – 50 cm

Es decir, la imagen se obtiene a 50 cm.

Para obtener el valor de f , sustituimos datos en la ecuación [1]:

+ = 8 f = – 16,67 cm

El radio de curvatura, R , resulta:

R = 2 · f 8 R = 2 · ( – 16,67) = – 33,34 cm

b) Para resolver el apartado gráficamente, trazamos dos rayos:

– El primero paralelo al eje óptico, que, después de reflejarse en el espejo, pasa-rá por el foco.

– El segundo rayo, que pase por el centro de curvatura, C . Después de reflejarseen el espejo, volverá a pasar por C .

La representación gráfica será, por tanto:

1

f

1 –25

1 –50

s 4

–25

–2 · y

y

s 4

s

y 4

y

C F

R = –33,34 cm

s' = –50 cm

y'

y

f = –16,67 cm

s = –25 cm

15. Mediante un espejo cóncavo de 2 m de radio queremos proyectar la imagen de un objeto luminoso de 2 cm de alto sobre una pantalla separada del obje-to por una distancia de 5 m. ¿Dónde hemos de colocar el objeto? Indica, ade-más, las características de la imagen formada.

Al ser el espejo cóncavo, R = – 2 m. Aplicando la ecuación fundamental de los espe-jos esféricos y sustituyendo datos, se tiene:

+ = 8 + = = – 1 m [1]2

–2 m1

s

1

s 4

2

R

1

s

1

s 4




Pantalla

y'

s'

s 5 m

y

F O

Por otro lado, debe cumplirse que, tal y como se muestra en la figura:

s – s 4 = 5 m [2]

Con [1] y [2] podemos formar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

+ = – 18

s + s 4 = – s · s 48 s + s – 5 = – s · ( s – 5) 8 s 2 – 3 · s – 5 = 0

s – s 4 = 5 s 4 = s – 5

cuya única solución aceptable es s = – 1,19 m. La otra solución, s = 4,19 m, al tenersigno positivo, implicaría que el objeto estuviese detrás del espejo.

La posición de la imagen es:

s 4 = s – 5 8 s 4 = – 1,19 m – 5 m = –6,19 m

Como s 4 es negativo, la imagen será real. Por otro lado, el cálculo del aumento la-teral nos permite completar las características de la imagen formada:

A L = = – 8 A L = – = – 5,2

Al ser A L < 0, la imagen sale invertida. Además, es de mayor tamaño:

= – 5,2 8 y 4 = – 5,2 · 2 cm = – 10,4 cm

Estos resultados coinciden con las características de la imagen de la figura anterior.

16. El espejo retrovisor de un automóvil, esférico y convexo, tiene un radio decurvatura de 140 cm. El conductor mira a través de él y observa la imagen de otro coche con un tamaño de 4,5 cm. Sabiendo que este coche tiene una altura de 1,65 m, determina a qué distancia se encuentra.

Utilizando la ecuación fundamental de los espejos esféricos y la del aumento late-ral, tendremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: la distancia objeto, s , y la distancia imagen, s 4. Al ser el espejo convexo, su radio de curvatura será po-sitivo, y su valor es: R = 1,4 m; por tanto:

+ =

8

+ =

8

+ = 1,429

8

s = – 25 m

= – = – s 4 = –0,0273 · s s 4 = 0,68 m

Al resolver el sistema, se obtiene que la distancia a la que se encuentra el coche esde 25 m.

NOTA: La gráfica que representa la formación de la imagen es similar a la mostrada en la resolución delejercicio 12.

s 4

s

0,045 m1,65 m

s 4

s

y 4

y

1

s

1

s 4

21,4 m

1

s

1

s 4

2

R

1

s

1

s 4

y 4 y

–6,19 m –1,19 m

s 4

s

y 4

y

1

s

1

s 4 ° § ¢ § £

° § ¢ § £

° § § ¢ § § £

° § § ¢ § § £

° § § ¢ § § £




17. Completa la tabla siguiente referida a espejos esféricos. Todos los valores es-tán expresados en cm.

18. Indica cuáles de las lentes siguientes son convergentes y cuáles divergentes.La luz incide en ellas desde la izquierda.

Tipo deespejo

f

R

s4

s

Aumento

Imagen real

Imagenderecha

–20

–10

–20

–30

40

10

Aplicando la ecuación fundamental de los espejos esféricos y la ecuación del au-mento lateral, completamos la tabla, que queda como sigue:

Tipo deespejo

Cóncavo Cóncavo Convexo

f

R

s4

s

Aumento

Imagen real

Imagenderecha

–20

–40

20

–10+2

No

Sí

–20

–40

–60

–30–2

Sí

No

20

40

10

–20+0,5

No

Sí

a) b)

d) e)

c)

a) Divergente. b) Convergente. c) Convergente. d) Convergente. e) Divergente.




19. Indica, mediante un dibujo que muestre la marcha de los rayos, qué clase deimagen se obtiene cuando un objeto se encuentra delante de una lente convergente a una distancia:

a) Superior a la focal. b) Inferior a la focal. c) Igual a la focal.

Los rayos principales para determinar gráficamente la imagen de un objeto dada poruna lente convergente son tres: uno paralelo al eje óptico, que, después de refrac-tarse en la lente, el rayo (o su prolongación) pasa por el foco imagen; otro que inci-de sobre el centro óptico y que no experimenta desviación alguna, y otro que pasepor el foco objeto, o lo haga su prolongación, que después de refractarse en la len-te sale paralelo al eje óptico. El dibujo de, al menos, dos de estos rayos, nos permi-te determinar la imagen.

a) Cuando el objeto se encuentre a una distancia superior a la focal, la imagen esreal e invertida, y se pueden dar tres supuestos:

a1) Si el objeto está a una distancia de la lente superior a 2 · f , la imagen es de

menor tamaño que el objeto, y está situada entre los puntos F 4 y 2 F 4.

2F 2F' F A

B

B'

F' A'

s s'

a2) Si el objeto se encuentra a una distancia de la lente convergente igual a 2 · f ,

la imagen es de igual tamaño que el objeto, y se forma en el punto 2 F 4.

2F 2F' A A'

B

B'

F F'

s s'

a3) Si el objeto está a una distancia entre f y 2 · f 4, la imagen es de mayor tama-ño que el objeto, y aparece a una distancia mayor que 2 · f 4.

2F 2F' A

A'

B

B'

F F'

s s'




b) Cuando el objeto se encuentra a una distancia inferior a la distancia focal, el dia-grama de rayos es:

F AA'

B'

B

F'

s' s

En este caso, la imagen obtenida es virtual, ya que se forma por la prolongaciónde los rayos refractados en la lente, derecha y de mayor tamaño que el objeto.

c) Cuando el objeto se encuentra a una distancia igual a la distancia focal, no se for-ma imagen, como muestra el diagrama de rayos:

2F

A

F

B

2F' F'

s

20. Un objeto de 2 cm de altura está a 25 cm de una lente convergente de distan-cia focal f 44 = 20 cm:

a) Determina el tamaño y la posición de la imagen.

b) Dibuja el correspondiente diagrama de rayos, indicando el tipo de imagen formada.

a) Aplicando la ecuación de las lentes delgadas, obtenemos la posición de la imagen:

– = 8 – = 8 s 4 = 100 cm

Para obtener el tamaño de la imagen, aplicamos la ecuación del aumento lateral:

A L = = 8 = 8 y 4 = – 8 cm

Por tanto, la imagen es invertida y de mayor tamaño que el objeto.

b) La construcción gráfica requiere el empleo de, al menos, dos rayos de trayectoriaconocida. Por ejemplo:

• Un rayo paralelo al eje óptico. Después de refractarse en la lente, pasa por elfoco imagen, F 4.

• Un rayo que pase por el centro óptico; no se desvía.

100 cm –25 cm

y 4

2 cm s 4

s

y 4

y

120 cm

1 – 25 cm

1

s 4

1

f 4

1

s

1

s 4




El diagrama de rayos será:

y'

s' = 100 cm

y

f ' = 20 cm

s = –25 cm

f

F' F

Como la imagen se forma al cortarse los rayos principales, es real.

21. Una lente convergente delgada tiene una potencia de 5 D. Determina la posi-ción de la imagen que proporcionará un objeto que está situado a 50 cm de ella.

Mediante la expresión de la potencia de una lente, P , calculamos f 4:

P = 8 5 D = 8 f 4 = 0,2 m = 200 cm

Ahora, aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas en el aire, siendo s = – 50 cm, tendremos:

– = 8 – = 8 s 4 = – 66,7 cm

Como s 4 < 0, la imagen se forma delante de la lente; es decir, es virtual. Este resul-tado concuerda con lo estudiado; recuerda que la imagen es virtual en el caso deque: | s | < | f 4|.

22. Las cámaras fotográficas comerciales suelen emplear una lente delgada de 25 Dde potencia. Con esta cámara queremos fotografiar a una persona de 170 cm de altura situada a 2 m de la lente: a) Calcula la distancia que debe haber en-tre la lente y la película fotográfica. b) Determina la altura mínima que ha detener la película para poder sacar una foto de cuerpo entero a la persona.

a) La película fotográfica es la superficie donde se va a formar la imagen. Por tanto,la distancia entre la lente y la película fotográfica será la distancia imagen. Tene-mos los siguientes datos:

P = 25 D ; s = – 2 m

Aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas y sustituyendo datos,resulta:

– = = P 8 – = 25 D 8 s 4 = 0,0408 m = 4,08 cm

Es decir, la distancia que debe haber entre la lente delgada y la película fotográfi-ca es de 4,08 cm.

b) La altura de la película debe ser, al menos, igual al tamaño de la imagen, y 4. Me-diante la expresión del aumento lateral, A L, obtenemos su valor:

A L = = 8 y 4 = y · 8 y 4 = 170 cm · = – 3,47 cm

Es decir, la altura de la película debería ser mayor de 34,7 mm.

0,0408 m –2 m

s 4

s

s 4

s

y 4

y

1 –2 m

1

s 4

1

f 4

1

s

1

s 4

1200 cm

1 –50 cm

1

s 4

1

f 4

1

s

1

s 4

1 f 4

1 f 4




23. Un objeto luminoso está situado 15 cm a la izquierda de una lente conver-gente de 10 cm de distancia focal. A la derecha de esta primera lente, y a 15 cm, está situada otra lente convergente de 12 cm de distancia focal:

a) Determina la posición final del objeto.

b) Calcula el aumento lateral de cada una de las lentes.

c) Dibuja un diagrama de rayos que muestre las características de la imagen final.

a) En los sistemas ópticos formados por dos lentes, si las lentes están separadas, laimagen formada por la primera lente actúa como objeto de la segunda. Por tanto,se trata de aplicar la ecuación de las lentes delgadas dos veces.

La distancia imagen de la primera lente, s 41, es:

– = 8 – = 8 s 41 = 30 cm

Es decir, la imagen del objeto se forma 30 cm a la derecha de la primera lente.Como la segunda lente está a 15 cm de la primera y a su derecha, la primera ima-gen, objeto de la segunda, estará 15 cm a la derecha de la segunda lente. Esto es, s 2 (la distancia objeto para la segunda lente) es 15 cm.

La distancia imagen de la segunda lente, s 42, es:

– = 8 – = 8 s 42 = 6,67 cm

Es decir, la imagen final se forma a 6,67 cm a la derecha de la segunda lente.

b) El aumento lateral, A L, para cada lente es:

A L1= 8 A L1

= = – 2

A L2= 8 A L2

= = 0,44

El aumento lateral del sistema es el producto de los aumentos laterales:

A L = – 2 · 0,44 = – 0,88

Es decir, la imagen sale invertida y de menor tamaño que el objeto.

c) El diagrama de rayos completo es:

6,67 cm15 cm

s 42 s 2

30 cm –15 cm

s 41 s 1

1

12 cm

1

15 cm

1

s 42

1

f 42

1

s 2

1

s 42

110 cm

1 – 15 cm

1

s 41

1

f 41

1

s 1

1

s 41

y'

Imagenfinal

y

f 1 = –10 cm

F 1 F 1F 2

s 1 = –15 cm d = 15 cm

f 2 = –12 cm

s 2' = 6,67 cm

s 2 = 15 cm

' F 2'




24. Un objeto luminoso está situado a 5 m de una pantalla. Una lente de distan-cia focal desconocida forma sobre la pantalla una imagen real, invertida y tres veces mayor que el objeto. Determina:

a) La naturaleza de la lente (convergente o divergente).

b) La posición de la lente.

c) El valor de la distancia focal.

d) Una nueva posición de la lente en la que obtengamos sobre la pantalla una imagen nítida pero de tamaño diferente a la obtenida en el apartadoanterior. Obtén el valor del aumento lateral en este caso.

a) La lente es convergente (las lentes divergentes dan siempre imágenes virtuales).

b) Como la imagen es invertida y de tamaño tres veces mayor que el objeto:

A L = = 8 A L = = 8 s 4 = – 3 · s [1]

Como el objeto está situado a 5 m de la pantalla, teniendo en cuenta el conveniode signos, podemos escribir:

s 4 – s = 5 [2]

Las ecuaciones [1] y [2] constituyen un sistema de ecuaciones, que resuelto da:

s = – 1,25 m ; s 4 = 3,75 m

Es decir, la lente está 1,25 m a la derecha del objeto.

c) Aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas, obtenemos el valor dela distancia focal, f 4:

– = 8 – = 8 f 4 = 0,937 m

d) En esta nueva posición se sigue cumpliendo que: s 4 – s = 5; además, la distanciafocal no cambia.

Al sustituir en la ecuación de las lentes delgadas los valores s 4 = 5 + s y f 4 = 0,937 m;obtenemos una ecuación de segundo grado:

– = 8 s 2 + 5 · s + 4,69 = 0 8 s 1 = – 1,25 m ; s 2 = – 3,75 m

El primer valor es el obtenido en el apartado anterior; por tanto, una nueva posi-ción de la lente sería a 3,75 m a la derecha del objeto.

El nuevo valor del aumento lateral es:

A L = 8 A L = = – 0,33

25. Un objeto está situado a 1 m de distancia de una lente de –5,0 dioptrías de po-tencia. Determina:

a) La posición de la imagen.

b) El aumento lateral obtenido.

c) ¿Existe alguna posición donde podamos colocar el objeto para que la ima-gen sea real?

1,25 m –3,75 m

s 4

s

10,937

1

s

15 + s

1

f 4

1 –1,25 m

13,75 m

1

f 4

1

s

1

s 4

s 4

s

–3 · y

y

s 4

s

y 4

y




Los datos de que disponemos son:

s = – 100 cm ; P = –5,0 D

a) La distancia focal de la lente es:

P = 8 – 5,0 D = 8 f 4 = – 0,2 m = – 20 cm

Aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas, se obtiene la posiciónde la imagen:

– = 8 – = 8 s 4 = – 16,67 cm

Es decir, la imagen aparece 16,67 cm a la izquierda de la lente.

b) El aumento lateral, A L, vale:

A L =8

A L = = 0,167

c) No. La lente es divergente, ya que P < 0. Como sabemos, las lentes divergentesno dan nunca imágenes reales.

26. Un objeto luminoso, de 2 cm de altura, está situado a 25 cm de una lente divergente cuya potencia es de –10 D. Determina:

a) La distancia focal imagen.

b) Las características de la imagen (posición, tamaño y naturaleza), median-te: I) los correspondientes cálculos numéricos; II) el correspondiente dia-grama de rayos.

Los datos de los que disponemos son:

s = – 25 cm ; y = 2 cm ; P = – 10 dioptrías

a) La distancia focal imagen, f 4, la calculamos a partir de la potencia de la lente:

P = 8 f 4 = = = – 0,1 m = – 10 cm

b) II) Aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas, obtenemos la posi-ción de la imagen:

– =8

– =8

s 4

= – 7,14 cm

Por tanto, al ser s 4 < 0, la imagen es virtual. El tamaño de la imagen lo calcula-mos de esta forma:

A L = = 8 y 4 = y · = 2 cm · = 0,57 cm

Es decir, la imagen sale derecha, y 4 > 0, y de menor tamaño que el objeto.

b) II) Gráficamente, llegamos al mismo resultado. Al trazar dos de los rayos princi-pales, uno paralelo al eje óptico y otro que incida sobre el vértice óptico, ob-tenemos la figura que se muestra en la página siguiente.

–7,14 cm –25 cm

s 4

s

s 4

s

y 4

y

1

–10 cm

1

–25 cm

1

s 4

1

f 4

1

s

1

s 4

1 –10 D

1

P

1

f 4

–16,67 cm

–100 cm

s 4

s

1 –20 cm

1 –100 cm

1

s 4

1

f 4

1

s

1

s 4

1 f 4

1 f 4




27. Una lente bicóncava simétrica tiene una potencia de –3 D y está formada por un material transparente cuyo índice de refracción es 1,7. Determina: a) Losradios de curvatura de la lente. b) La posición donde deberíamos colocar el objeto para que el tamaño de su imagen sea la tercera parte.

a) Una lente bicóncava tiene la forma:

s' = –7,14 cm

f = –10 cm

s = –25 cm

y

y'

F'

O

1 2

Observa que R 1 < 0 y R 2 > 0. La distancia focal imagen, f 4, de la lente es:

P = 8 –3 D = 8 f 4 = – 0,33 m = – 33 cm

Al ser simétrica la lente, se cumple que: | R 1| = | R 2|. Teniendo en cuenta el con- venio de signos, R 1 = – R 2; al sustituir en la expresión de la distancia focal resulta:

= (n 4 – 1) · [ – ] 8 = (1,7 – 1,0) · [ – ]

R 2 = 46,2 cm ; R 1 = – 46,2 cmb) Si el tamaño de la imagen es la tercera parte, se cumplirá que:

A L = = 8 s 4 =

Aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas y sustituyendo datos,nos queda:

– = 8 – = 8 s = – 66 cm

Es decir, el objeto debería colocarse 66 cm a la izquierda de la lente.

1 –33 cm

1

s

3

s

1

f 4

1

s

1

s 4

s

313

s 4

s

1

R 2

1 – R 2

1 –33 cm

1

R 2

1

R 1

1

f 4

1

f 4

1

f 4

Recuerda que, para una lente divergente, la imagen formada por un objeto es, in-dependiente de su posición ante la lente, siempre virtual, derecha y de menor ta-maño que el objeto.




28. Una lente convergente de 2 D está situada enfrente de un espejo plano, tal y como muestra la figura.

EspejoLente

P

En el punto P , a 25 cm del espejo, hay un objeto que se refleja en el espejo, y

su imagen se utiliza como objeto respecto a la lente. Sabiendo que la lente y el espejo están separados 2,0 m:

a) Dibuja el diagrama de rayos para obtener la imagen formada por el espejo.

b) Determina numéricamente la posición de la imagen que forma la lente,así como su aumento lateral.

a) De acuerdo con las reglas de la reflexión, el espejo da una imagen virtual del ob-jeto, del mismo tamaño y a 25 cm de la parte posterior del espejo. La figura infe-rior muestra la trayectoria que siguen los rayos y la imagen formada:

Espejo

α

α

Lente

A

25 cm 25 cm

200 cm

B

A'

B'

b) La imagen formada por el espejo está a 225 cm de la lente. Esta imagen actúa co-mo objeto frente a la lente convergente, luego: s = – 225 cm. Por otro lado, la dis-tancia focal imagen, f 4, vale:

P = 8 f 4 = = = 0,5 m = 50 cm

Aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas, obtenemos la posi-ción de la imagen:

– = 8 – = 8 s 4 = 64,3 cm1

50 cm1

–225 cm1

s 4

1

f 4

1

s

1

s 4

12 D

1

P

1

f 4




Por tanto, al ser s 4 > 0, la imagen es real. El aumento lateral, A L, vale:

A L = = 8 A L = = – 0,29

La imagen saldrá invertida, A L < 0, y de menor tamaño que el objeto, como semuestra en la siguiente figura:

64 cm –225 cm

s 4

s

y 4

y

EspejoLente

s = – 225 cm s' = 64 cm

f ' = 50 cmf = –50 cm

F'

A''

B''

F 2F 2F 'A'

B'

NOTA: Por claridad, se ha aumentado la altura del objeto de la lente (imagen del espejo).

29. Haz un esquema con la formación de imágenes en un microscopio. ¿De quéfactores depende el aumento?

El microscopio se utiliza para observar objetos muy pequeños. Consta de, al menos,dos lentes convergentes. La primera, denominada objetivo, forma una imagen real y de mayor tamaño que el objeto, y 4. Esta imagen actúa como objeto frente a la segun-

da lente, denominada ocular, que forma la imagen definitiva, y 44, de mayor tamañoque el objeto pero virtual. La siguiente figura muestra un esquema del microscopiocompuesto:

y'

y''

y

δ

F 1

F 1

F 2

Objetivo Ocular

'

F 2'

El aumento del microscopio, A, viene dado por la expresión:

A = – 0,25 · d · P 1 · P 2

Donde d es la distancia entre los dos focos, F 41 y F 2, y P 1 y P 2 son la potencia del ob-jetivo y del ocular, respectivamente.




30. Dispones de una lupa de distancia focal 5 cm para poder observar mejor un mapa: a) Calcula la distancia a la que debes situar el mapa de la lupa si quieres obtener una imagen virtual veinte veces mayor que la imagen origi-nal. b) Construye el diagrama de rayos correspondiente al apartado anterior.

a) Una lupa es una lente convergente, generalmente biconvexa. Este instrumento óp-tico forma una imagen virtual, derecha y de mayor tamaño que el objeto. Por tan-to, este ha de estar situado a una distancia, s , menor que la distancia focal, f .

Como queremos que la imagen sea 20 veces mayor que el objeto y como la rela-ción entre los tamaños de la imagen, y 4, y del objeto, y , será igual que la relaciónentre las posiciones de la imagen, s 4, y del objeto, s , tenemos los siguientes datos:

f 4 = +5 cm ; y 4 = 20 · y ; s 4 = 20 · s

La posición del objeto resulta:

– = 8 – = 8

8 s = – 4,75 cm 8 s 4 = 20 · ( – 4,75 cm) = – 95 cm

b) La construcción geométrica de la imagen es:

1

5 cm

1

s

1

20 · s

1

f 4

1

s

1

s 4

s'

s

y

y'

F' F

31. Un microscopio tiene un objetivo con una potencia de 75 D y un ocular de

40 dioptrías. Sabiendo que sus centros ópticos distan 20 cm, determina:

a) Las distancias focales del objetivo y del ocular.

b) El aumento total del microscopio.

a) Tenemos los siguientes datos:

P obj = 75 D ; P ocu = 40 D ; OO 4 = 20 cm.

La distancia focal del objetivo es:

P obj = 8 f 4obj = = = 0,0133 m = 1,33 cm1

75 D1

P obj

1

f 4obj




Y la del ocular:

P oc = 8 f 4oc = = = 0,025 m = 2,5 cm

b) El intervalo óptico, o distancia entre los focos, del microscopio, d, vale:d = 20 cm – (1,33 cm + 2,5 cm) = 16,17 cm = 0,1617 m

Por tanto, el aumento total del microscopio, A, es:

A = – 0,25 · d · P 1 · P 2

Sustituyendo datos:

A = – 0,25 m · 0,1617 m · 75 m –1 · 40 m –1 = 121,3

32. La hipermetropía es un defecto de la visión. ¿Con qué tipo de lente se corri-ge? ¿Por qué? Haz un esquema que complete la explicación dada.

En un ojo hipermétrope, la imagen se forma detrás de la retina. Este defecto conlle-

va una mayor o menor dificultad cuando se trata de enfocar los objetos cercanos.

La hipermetropía se corrige con una lente convergente. Los dibujos muestran lodescrito anteriormente.

140 D

1

P oc

1

f 4oc

Puntopróximo

Objeto

Imagenen laretina

Lenteconvergente

Imagendetrás

Puntopróximo

Objeto

Imagendelante

Puntoremoto

Imagenen la

retina

Lentedivergente

Puntoremoto

33. Una persona presenta el mismo defecto en la visión en ambos ojos. Un of-talmólogo le recomienda unas gafas de –5 D en cada cristal. Indica qué de-fecto tiene y cómo se lo corrigen las lentes de las gafas.

Puesto que la potencia es negativa y esta se define como:

P =

la distancia focal imagen, f 4, ha de ser negativa. Este hecho caracteriza a las lentesdivergentes, las cuales se utilizan para corregir la miopía. Por tanto, este será el de-

fecto en la visión que presenta la persona.La lente divergente origina que los rayos de luz que llegan al ojo humano diverjan y se enfoquen lo más próximo a la retina, tal y como muestra la figura inferior.

1

f 4




34. Un présbita tiene su punto próximo a 40 cm del ojo. Determina el tipo de ga-fas que debe utilizar para poder leer a una distancia de 25 cm, así como la po-tencia de la lente utilizada.

Una persona con presbicia debe utilizar lentes convergentes.

Para poder leer a una distancia de 25 cm, la imagen de un objeto situado a esta dis-tancia debe formarse en el punto próximo. Es decir:

s = – 25 cm ; s 4 = – 40 cm

Aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas y sustituyendo datos, te-nemos:

– = 8 – = 8 f 4 = 66,7 cm = 0,667 m

Por tanto, la potencia de la lente debe ser:

P = 8 P = = 1,5 dioptrías

35. Una persona no ve claramente los objetos situados más allá de 3 m, su puntoremoto. Señala: a) El defecto visual que padece. b) El tipo de lentes que debe utilizar. c) La distancia focal de las lentes utilizadas, así como su potencia.

a) Si la persona no ve más allá de su punto remoto, padece miopía.

b) La miopía se corrige con lentes divergentes.

c) Las lentes que debe utilizar son tales que los objetos situados en el infinito, s = – @, formen la imagen en el punto remoto de la persona, s 4 = – 3 m. Por tanto,al aplicar la ecuación de las lentes delgadas y sustituir datos, resulta:

– = 8 – = 8 f 4 = – 3 m

Como f 4 < 0, se confirma que la lente es divergente. La potencia, P , vale:

P = 8 P = = – 0,33 dioptrías

36. ¿Qué lentes correctoras deben utilizarse para corregir la miopía de un ojocuyo punto remoto está situado a 45 cm?

De acuerdo con el enunciado, la imagen de un objeto situado en el infinito debeformarse a 45 cm del ojo. Por tanto, tenemos los siguientes datos:

s = – @ ; s 4 = – 45 cm

Sustituyendo estos datos en la ecuación fundamental de las lentes delgadas, resulta:

– = 8 – = 8 f 4 = – 45 cm = – 0,45 m

Como la distancia focal es negativa, la lente es divergente, y su potencia, expresadaen dioptrías, es:

P = 8 P = = – 2,2 D1

–0,45 m1

f 4

1

f 4

1 – @

1 –45 m

1

f 4

1

s

1

s 4

1 –3 m

1

f 4

1

f 4

1 – @

1 –3 m

1

f 4

1

s

1

s 4

10,667 m

1

f 4

1

f 4

1 –25 cm

1 –40 cm

1

f 4

1

s

1

s 4

Prob Anaya Opt Fets

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