Principios de Diseño para Ingeniería

7/26/2019 Principios de Diseo para Ingeniera

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UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA JOS SIMEN CAAS (UCA)

FACULTAD DE INGENIERA Y ARQUITECTURA

DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIN DEL ESPACIO (DOE)

DOCUMENTO TEXTO 2

PRINCIPIOS DE DISEO PARA INGENIERA

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Preparado por Herbert Ernesto Granillo Dubn. Catedrtico de la Asignatura.

El presentedocumento es partede los textos de laasignatura y tiene porfinalidad proveer el

apoyo terico de lasclases y talleres deacuerdo al nuevoprograma que sedesarrollar a partirdel ciclo II de 2004.


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UUUNNNIIIVVVEEERRRSSSIIIDDDAAADDDCCCEEENNNTTTRRROOOAAAMMMEEERRRIIICCCAAANNNAAAJJJOOOSSSSSSIIIMMMEEENNNCCCAAAAAASSS

FFFAAACCCUUULLLTTTAAADDDDDDEEEIIINNNGGGEEENNNIIIEEERRRAAAYYYAAARRRQQQUUUIIITTTEEECCCTTTUUURRRAAA

DDDEEEPPPTTTOOO... DDDEEEOOORRRGGGAAANNNIIIZZZAAACCCIIINNNDDDEEELLLEEESSSPPPAAACCCIIIOOO

H. E. Granillo Pgina 2 28/04/2004

INDICE

INDICE 1

PRINCIPIOS DE DISEO PARA INGENIERA: GEOMETRA DESCRIPTIVA 4

SISTEMAS DE PROYECCIN 4

SISTEMA DE PROYECCIN ORTOGONAL ........................................................ ......................... 4

LA MONTEA FIGURA DESCRIPTIVA...................................................... .................................. 8

PROYECTANTES. ................................................ ....................................................... .............. 11

ELEMENTOS GEOMTRICOS EN EL ESPACIO 14

LA RECTA.................................................. ........................................................ ....................... 14

POSICIONES RELATIVAS DE LAS RECTAS ...................................................... ....................... 15

POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS o ENTRE PLANOS o RECTAS ..... ...... ...... ..... ... 17

PARALELISMO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO. .................................................... .............. 19

TIPOLOGIA DE LOS PLANOS. ............................................... ................................................... 21

ILUSTRACIONESI lus trac in 1 Figu ras Esp acial es..............................................................................................5

I lus trac in 2 Cuad rant es..........................................................................................................7

I lust racin 3 Des pleg ado d e la Figur a Descr ipt iva ...................................................................9

I lustr acin 4 Mon tea ................................................................................................................9

I lus traci n 5 Despl egad o co n 4 Cuad rant es ..........................................................................10

I lu strac in 6 Mon tea de 4 Cuad rant es.................................................................................... 10

I lust racin 7 Proyec cio nes del Punt o Fig. Esp acial y Mont ea................................................ 11

I lust raci n 8 Proy ecc tantes de la Lnea .................................................................................11

I lust raci n 9 Proy ecc in de los p un tos m , n, p y q ................................................................ 13

I lust raci n 10 Mon tea de lo s p un tos m, n , p y q ..................................................................... 13

I lust raci n 11 Pos ici on es Relativ as de la Recta .................................................................... 16

I lustracin 12 Criter io de existenc ia d e rectas y planos paralelos.. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . 20

I lustrac in 13 Plano Horizo ntal ..............................................................................................21

I lustrac in 14 Plano de Canto ................................................................................................ 21

I lustrac in 15 Plano Front al ................................................................................................... 22


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I lustrac in 16 Plano Vertical .................................................................................................. 22

I lustrac in 17 Plano de Perfil ................................................................................................. 23

I lustr acin 18 Plan o Paralelo a LT ......................................................................................... 24

I lust racin 19 " Pend ientes de un Pl ano" ............................................................................... 26

I lus trac in 20 Trazo de la RMP ..............................................................................................27


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PRINCIPIOS DE DISEO PARA INGENIERA:

GEOMETRA DESCRIPTIVA

Sistemas de Proyeccin

Un sistema de proyeccin es aquel conjunto de mtodos grficos bidimensionalesque permiten presentar un objeto tridimensional. Uno de estos sistemas es laProyeccin Didrica y que consiste en la utilizacin de dos planos de proyeccin quereflejan dos vistas diferentes de un objeto tridimensional. Estos dos planos deproyeccin son perpendiculares entre s, es decir ortogonales, y por lo general sonsuficientes para representar las dimensiones de un objeto en el espacio.

Podemos asumir que para representar un objeto tridimensional en una hoja depapel , es necesario que dividamos en varias vistas el objeto. Por ejemplo en caso deun edificio dividimos las vistas en varios alzados o fachadas para que podamos apreciarlas dimensiones y proporciones del edificio ya terminado. Esta situacin es practicadapor nosotros de manera natural, sin necesidad de ningn adiestramiento especial.Nuestra primera reaccin ante un objeto nuevo, como el caso de un nuevo modelo deautomvil, nuestra primera reaccin es caminar alrededor de este para darnos una mejoridea de cmo son sus proporciones y en todos sus lados , ya que consideramos que unasola vista es insuficiente.

SISTEMA DE PROYECCIN ORTOGONA L

Es aquel que utiliza la proyeccin perpendicular1del punto hacia los planos deproyeccin. Este sistema permite que podamos utilizar las tres coordenadas x, y , z. LosPlanos de proyeccin son ortogonales, perpendiculares entre s, y se unen los verticalescon el horizontal mediante una lnea en comn denominada Lnea de Tierra (LT).

Existen muchos sistemas de coordenadas dependiendo de los usos que se lesden. Desde el sistema Geodsico2 (Surveyor, en ingls) que utiliza las dimensionesLatitud, Longitud y altura o Cota; este difiere de los otros sistemas porque las superficiesde proyeccin no son ni planas, ni perpendiculares entre s. Por convencionalismos latierra, que es una esfera; ha sido dividida en Longitud Este y Oeste. La tierra se divide ellneas imaginarias que van de los polos Sur y Norte denominados Meridianos. Elmeridiano de Grenwich es lo que marca la Longitud Cero y de all se comienza a contarlos 180 grados Este y los 180 grados Oeste. La Latitud ha sido dividida en Latitud Norte

y Sur. La Tierra se divide en lneas imaginarias que denominamos Latitudes (al igual quelos Usos Horarios); en crculos concntricos de los polos a la lnea ecuatorial en doslatitudes, los 90 grados Norte y los 90 grados Sur; y por ultimo desde el nivel del mar lasCotas. Por lo tanto cualquier punto del planeta tiene una ubicacin geodsica nica yabsoluta. La unidades de dimensin son arcos medidas en grados, minutos y segundos

1 Se utiliza la proyeccin perpendicular por el principio de distancia entre un punto y unplano, ya que es la relacin geomtrica de carcter nico entre ambos.

2Se refiere a las medidas de la tierra, sistema de coordenadas global.


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para la longitud y latitud. Para la cota se utilizan pies o metros seguidos de las letras queindican la unidad utilizada, Vg. : m.s.m. (Metros Sobre el Nivel del Mar)

En un sistema didrico ( Dos Planos de Proyeccin ) utilizaremos un Plano deProyeccin Horizontal (PPH) que nos permita determinar el Alejamiento y el Margen Profundidad; y un segundo Plano de Proyeccin Vertical (PPV, Perpendicular al primero,por lo tanto Ortogonales entre si) donde anotaremos la Cota y el Margen o Profundidad.Notemos que el dato en comn a ambos Planos de Proyeccin es la dimensin deMargen o Profundidad. En algunos casos los PPH y PPV son insuficientes para describirun objeto ubicado en un espacio de tres dimensiones, por eso recurrimos a un tercerplano de proyeccin, auxiliar, llamado Plano de Proyeccin de Perfil o Fondo (PPF); estetercer plano de proyeccin ortogonal a los dos primeros, refleja dos dimensiones: la Cotay el Alejamiento. Cuando utilizamos el PPF el sistema pasa de ser Didrico a unoTridrico.

Por ultimo nos referiremos a los valores de las tres dimensiones, donde se

aceptan Alejamientos y Cotas negativas, provocando la divisin del espacio Ortogonal enCuatro Cuadrantes. Presentamoslas siguientesilustraciones para entender mejor todo loexplicado anteriormente.

Ilustracin 1 Figuras Espaciales

La Ilustracin anterior muestra tres dibujos, el primero en Isomtrico, de ISOS

igual, METROS, medida, la representacin de los tres planos de proyeccin, Horizontal(H), Vertical (V) y de Perfil (F); tambin se indica la Lnea de Tierra (LT). La proyeccinisomtrica es un recurso para representar objetos tridimensionales en un mediobidimensional, el papel. La segunda figura presenta el mismo dibujo, desde una

Proyeccin Ortogonal a 45o. La tercera presenta lo mismo que lo anterior desde una

proyeccin Axonomtrica, deAXOS ejes, en su variante: a 60o, monoescalar. Se siguenunas reglas sencillas que permiten realizar estas proyecciones, el isomtrico a 30grados, la ortogonal a 45 grados y el axonomtrico a 60 grados.


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En el PPV solo puede presentar la Profundidad y la Cota. Si nos detenemos aquvemos que con el PPH y PPV presentas las tres dimensiones o coordenadas suficientespara ubicar al punto. El PPF es auxiliar y representa solamente al Alejamiento y la Cota.

Cuando representamos dimensiones, como la recta y el plano, por medio devarios puntos, debemos saber cuando estas se presentan en "Verdadera Magnitud"(VM). Los PP proyectan verdaderas magnitudes cuando las rectas y los planos sonparalelos a estos.

Observe que en la figura Isomtrica los tres planos de proyeccin estndeformados, porque no forman verdaderos ngulos rectos en las esquinas: en cambio enla segunda figura el Plano de Perfil es paralelo a nuestro plano de visin: por lo tantotambin las dimensiones de cota y alejamiento se presenta paralelas a nosotros. Laproyeccin axonomtrica presenta sin deformacin solamente la vista Horizontal "vistaen Planta".

Volviendo a las particularidades de los diferentes tipos de anotacin los masutilizados en nuestro medio, para describir las tres dimensiones en el espacio, son:

1. Margen, Alejamiento y Cota:. El primer valor numrico indica la ubicacin delpunto, medidas de izquierda a derecha sobre la L[nea de Tierra (LT). El segundo valornumrico se refiere a la distancia perpendicular del punto medidas desde un Plano deProyeccin Vertical y que se "reflejan" o anotan en el Plano Horizontal desde la LT. Eltercer valor indica la Cota o Elevacin, se anota en el Plano Vertical medidoperpendicularmente desde LT; indica la distancia o altura del punto sobre el PlanoHorizontal.

2. Alejamiento, Cota y Profundidad: donde el Alejamiento y la Cota se miden igualque el anterior, siendo respectivamente el primero y segundos valores numricos. El

tercer valor numrico es la profundidad, que refleja la distancia del punto, medidasperpendicularmente, hacia o desde un tercer plano de proyeccin ( Sist. Tridrico)denominado Plano de Fondo Perfil. Por lo tanto esta medicin se efecta sobre la LTde derecha a izquierda. Este sistema de anotada acepta como origen el punto deconjuncin de los tres planos de proyeccin como el Origen (0,0,0).

3 X; Y, Z: (Coordenadas matemticas que utilizan los actuales sistemas CAD donde X es la dimensin que vemos en planta como ancho o Alejamiento; donde Y es laProfundidad; y Z es la Altura o Cota.

Las proyecciones Isomtricas y Axomtricas se vern mas adelante y todas sonmuy utilizadas en diferentes representaciones, el isomtrico en dibujo mecnico y elaxonomtrico en arquitectura y topografa.

Como las dimensiones mas afectadas positiva o negativamente son la cota y elalejamiento la proyeccin Ortogonal es mas utilizada. Se debe a que con las escuadras

C.A.D. ( Computar Aided Design or Dafting) Dibujo o Diseo Asistido por Computadoras queutilizan el sistema de coordenadas X, Y, o Z cuando son Software 3D capacidad 3D. Entre ellos elmas popular ( y completo) Auto CAD by Autodesk en versiones mas recientes y desde la versin3.0 hasta la actual 2005 utilizan el sistema de coordenadas X, Y y Z (default Coordinates), perotambin pueden modificarse o personalizarse mediante un sencillo sistema de comandos deventana, que desde las versiones 12 ( R 12.0 MSWindows 3.1) permiten alterar a conveniencia lascoordenadas X, Y y Z


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podemos trazar las dimensiones de Cota y Alejamiento. Sin embargo es muy importanteque nos vayamos acostumbrando a la representacin de objetos tridimensionales pormedio de la Figura descriptiva. La figura descriptiva o "montea" nos facilita realizardibujos de precisin, es decir con absoluto control de las dimensiones y escalas, querequiere la ingeniera.

Cada punto tiene Alejamiento, Cota y Profundidad o Margen y por lo tanto resulta"proyectado en cada Plano de Proyeccin (PP). Como cada PP es bidimensional solopuede presentarse dos dimensiones del punto a la vez. En el Plano de ProyeccinHorizontal (PPH) cada punto presenta Profundidad o Margen y el los ejes decoordenadas como acostumbramos a realizarlos en Matemticas, en la pantalla delmonitor segn sea el caso, el eje Z seria perpendicular del papel o monitor hacianosotros. En otra palabras cuando usamos el sistema bidimensional" X-Y' nosencontramos trabajando en el plano horizontal y la "Lnea de Tierra" es este caso el ejeY.

De antemano sabamos que un punto es una entidad sin dimensiones, solamenteexpresa posicin, por otra parte una lnea es una entidad compuesta por una sucesinde puntos en una direccin. Es por eso que la lnea es unidimensional, solamenterepresenta direccin, un solo valor. Un plano es bidimensional, es decir presenta dosdirecciones o dimensiones; se compone de mover un punto en dos direcciones. El punto,la lnea y el plano son referentes conceptuales tericos, y no existen en la realidad. Todoobjeto fsico de la realidad tiene volumen que puede ser definido por una posicin, unadireccin, etc.

Veamos ahora el concepto de Cuadrantes que explicaremos con el graficosiguiente (Fig. 2) que representa al divisin del espacio que hacen los planos Horizontaly Vertical. Como puede observarse se muestran cuatro zonas, por ello llamadas

"cuadrantes", y se numeran (en romanos):

Ilustracin 2 Cuadrantes

"I" Primer Cuadrante donde se encuentran aquellos puntos que tienen alejamientopositivo y cota positiva. "II" Segundo Cuadrante donde el Alejamiento se presento comovalor negativo, detrs de PPV, y la Cota positiva, sobre PPH. "III" Tercer Cuadrante


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donde ambos valores, Alejamiento y Cota se presentan con signo negativo. "IV" CuartoCuadrante donde el nico valor negativo es la Cota, pues el Alejamiento resulta positivo.En todos los cuadrantes, el valor de Margen o Profundidad se toma como positivo paralos dos sistemas de coordenadas explicados. En el sistema matemtico (o CAD) todaslos coordenadas pueden tener signo positivo; adems no se reconoce el sistema decuadrantes, ni mucho menos Planos de Proyeccin; esto razn obliga un mejoradiestramiento previo del usuario de programas CAD.

Tabla 1 Signo de los Cuadrantes

CUADRANTE I II III IV

ALEJAMIENTO POSITIVO NEGATIVO NEGATIVO POSITIVO

COTA POSITIVA POSITIVA NEGATIVA NEGATIVA

MARGEN oPROFUNDIDAD

POSITIVO POSITIVO POSITIVO POSITIVO

Cuando se dan las coordenadas de un punto es muy importante identificar elsigno que precede a cada numero, pues es fundamental que sepamos su posicin en loscuadrantes.

LA MONTEA FIGURA DESCRIPTIVA

Se denomina figura descriptiva o montea a aquella representacin bidimensional

que representa los planos de proyeccin. En realidad no presenta una verdadera figuraespacial, sino mas bien se trata de un "desplegado" de los Planos de Proyeccin. Es unrecurso para representar en papel, dibujo bidimensional, la figura volumtrica o espacial.Las proyecciones isomtricas, ortogonales a 45 axonomtricas (o incluso perspectivas)no son ms que simulaciones de lo que vemos en realidad, y difcilmente podemoscontrolar en estos dibujos la escala, la proporcin y verdaderas magnitudes de losobjetos alli representados. En cambio la figura descriptiva si puede ser utilizada paraobtener informacin con suficiente precisin que requiere la Ingeniera, y solamentepuede ser sustituido en precisin y recursos de manipulacin del dibujo por medio deluso de computadoras y poderosos programas "software" tipo CAD 3D. Por el momentono existen disponibles en el mercado programas CAD que le permitan a un usuario queno tenga los conocimientos bsicos de Geometra Bi y Tridimensional para que puedamanipularlos. Por ejemplo el Auto CAD requiere de un alto conocimiento de geometra ymucho tiempo y esfuerzo para dominar lo bsico del dibujo bidimensional. Por otra parteotros poderosos software, MicroStation, Vector Works y GeoCALC requierenconocimientos de trigonometra y topografa, incluso de geodesia. Todos los programasmencionados son para uso profesional en ingeniera y arquitectura, que se popularizancada vez mas, pero requieren mucho entrenamiento a pesar de lo que diga la publicidaden las revistas especializadas.

La Figura Descriptiva, como lo expresamos anteriormente, es un desplegado devarios planos ortogonales. Imaginemos que desarmamos una caja de cartn,desdoblando las diversas caras que la componen, a tal punto de que llegamos a obtener


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todas las caras en un solo plano. Si regresamos a la figura 2 vemos que el plano verticaly horizontal son perpendiculares entre si, que se encuentran unidos o interceptados porLT. Si ocupamos LT como eje y giramos hasta alcanzar la horizontalidad, el Vertical seconfundir con el plano Horizontal.

Ilustracin 3 Desplegado de la Figura Descriptiva

Por lo tanto todos aquellos elementos que se encuentren reflejados o no en elplano Vertical son "arrastrados" en este giro y se confundirn con el plano Horizontal. deesta manera tenemos PPH y PPV dibujados como un mismo plano. Si tomamos encuenta tambin el plano PPF PPP este primero girara, como lo hace una puerta, hastaponerse a la par de PPV, y luego ambos se pliegan hacia PPH

Ilustracin 4 Montea

Este tipo de desplegado crea cierta confusin, y no se entiende sin antes conocer

los conceptos de proyeccin de un punto, una recta o un plano, pues la razn de todoesto no es el de confundir, sino mas bien el que podamos trabajar mas cmodamente lastres dimensiones mediante el uso de instrumentos simples. Lo primero que debemostomar en cuenta es que una hoja de papel difcilmente podra ayudarnos a representarun objeto volumtrico, por ejemplo una pieza mecnica, si solo contarnos con losinstrumentos comunes y corrientes de dibujo. La otra manera de manipular un volumenes crendolo como un modelo de arcilla y as poder controlar su ancho, largo y altura.

Adicionalmente podemos ampliar que el abatimiento o giro de los PP con cuatrocuadrantes se explican el siguiente grafico (Fig. 5):


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Ilustracin 5 Desplegado con 4 Cuadrantes

Primero se gira el PPF hasta quedar en el mismo plano (Coplanar) con el PPV. Elsegundo giro se realiza cuando PPV ( y PPF) se abaten o giran contra el PPH; de estamanera todos los PP resultan coplanares. Recuerde que los PP representanproyecciones de objetos en el espacio termina resultando, despus de estos giros en lafigura siguiente (Fig. 7) denominada Figura descriptiva Montea:

Ilustracin 6 Montea de 4 Cuadrantes

Las proyecciones del punto son como se indican en el dibujo de la Fig. 10, sondeterminadas a cada Plano de Proyeccin por medio de rayos o rectas proyectantesperpendiculares o normales al PP. Cada punto genera proyecciones a cada PP y seutiliza la nomenclatura siguiente:

PH= del PPH (Plano de Proyeccin Horizontal

Pv= del PPV (Plano de Proyeccin Vertical)

Pp: del PPP (Plano de Proyeccin de Fondo Perfil)

La letra subndice H, V P indicar a que proyeccin pertenece el punto. Estanomenclatura facilita la identificacin de la proyeccin especialmente cuando utilizamosla Figura Descriptiva Montea porque se sobreponen todos las PP. Para determinar unarecta hacen falta dos puntos, y cada uno de ellos proyecta su respectiva proyeccin acada PP.


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Ilustracin 7 Proyecciones del Punto Fig. Espacial y Montea

PROYECTANTES.

Tambin decimos que una recta es una sucesin de puntos en una direccin, porlo que podemos decir que una recta esta compuesta por una sucesin de puntos. Sicada punto genera un rayo proyectante, el conjunto de rayos proyectantes forma una"cortina" de rayos que llamaremos Plano Proyectante (NO confundir con Plano deProyeccin (PP)). Se ilustra a continuacin una lnea, no recta, para explicar en queconsiste el Plano Proyectante, y un Plano de Proyeccin cualquiera.

Este concepto nos seria muy til mas adelante para resolver la interseccin derectas y planos., dado que el Plano Proyectante nos resultara un plano auxiliarconceptualmente valioso.

Ilustracin 8 Proyecctantes de la Lnea

La figura descriptiva es utilizada para facilitar la resolucin de problemas y

veremos a continuacin ejemplos de la proyeccin del punto. Para generalizar lacomprensin presentamos los tres tipos de anotacin de coordenadas, primero elsistema MAC (Margen, Alejamiento y Cota); en segundo lugar es sistema ACP(Alejamiento, Cota y Profundidad), y por ultimo el sistema X,Y,Zpara los programas CAD(Computadoras).

Primero presentaremos las coordenadas del mismo punto en sus tres tipos deanotacin, luego la figura espacial y por ltimo la montea o figura descriptiva.

Dado el punto ncon las coordenadas:

M,A,C: ( 5, 6, 8) Se asume que el plano de perfil esta a 10 unidades


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margen.

A,C,P: (6,8,5) El plano de perfil est a 0 unidades de fondo(Origen)

X,Y,Z: ( 6, 5, 8 ) Se asume el plano de perfil a 10 unidades Y

Observase que los valores correspondientes al Alejamiento y Cota son positivos,por lo que asumimos que el punto se encuentra en el primer cuadrante.

Dado el punto mcon las coordenadas:

M,A,C: ( 5, -5, 6)Se asume que el plano de perfil esta a 1O unidades

margen.

A,C,P: (-5,6,5)El plano de perfil esta a 0 unidades de fondo(Origen)

X,Y,Z: ( -5, 5, 6 ) Se asume el plano de perfil a 10 unidades "Y'

Observase que los valores correspondientes al Alejamiento son negativos, por loque asumimos que el punto se encuentra en el Segundo Cuadrante.

Dado el punto pcon las coordenadas:

M,A,C: ( 5, -7, -3) Se asume que el plano de perfil esta a 10 unidades

margen.

A,C,P: (-7,-3,5) El plano de perfil est a 0 unidades de fondo(Origen)

X,Y,Z: ( -7, 5, -3 ) Se asume el plano de perfil a 10 unidades Y

Observase que los valores correspondientes al Alejamiento y Cota son negativos,por lo que asumimos que el punto se encuentra en el tercer cuadrante.

Dado el punto qcon las coordenadas:M,A,C: ( 5, 5, -6) Se asume que el plano de perfil esta a 10 unidades

margen.

A,C,P: (5,-6,5) El plano de perfil est a 0 unidades de fondo(Origen)

X,Y,Z: ( 5, 5, -6 ) Se asume el plano de perfil a 10 unidades Y

Observase que los valores correspondientes al Alejamiento y Cota son negativos,por lo que asumimos que el punto se encuentra en el cuarto cuadrante.

La grfica siguiente nos muestra esquemticamente las posiciones de los puntosm, n, p y q en la figura espacial y a continuacin la figura descriptiva.


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Ilustracin 9 Proyeccin de los puntosm, n, p yq

Ilustracin 10 Montea de los puntos m, n, p yq.


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Anlisis

El punto m presenta alejamiento positivo, por lo tanto la proyeccin horizontal(mH) se ubicar bajo la Linea de Tierra (LT). La cota positiva del punto m obliga acolocar la proyeccin vertical ( mV) sobre la LT. La proyeccin de perfil o fondo ( mP) sepresenta en el rectngulo superior derecho porque el punto pertenece al PrimerCuadrante (I). Recordemos que debido a los giros de abatimiento de los planos deproyeccin para formar la figura descriptiva, el PPP3 lo vemos completo con los cuatrocuadrantes (Ver esquema inicial de la secuencia).

El punto npresenta alejamiento negativo, por lo tanto la proyeccin horizontal (nH) se ubicar sobre la Lnea de Tierra (LT). La cota positiva del punto n obliga a colocarla proyeccin vertical ( n V) sobre la LT. La proyeccin de perfil o fondo (n P) se presentaen el rectngulo superior izquierdo. Ntese que las tres proyecciones se encuentran enel mismo rectngulo confundidas. Para que no nos confundamos es importante la

nomenclatura del punto que indique con un subndice la proyeccin respectiva.El punto ppresenta alejamiento negativo, por lo tanto la proyeccin horizontal (p

H) se ubican sobre la Lnea de Tierra (LT). La cota negativa del punto p obliga a colocarla proyeccin vertical ( pV) bajo la LT. La proyeccin de perfil o fondo ( pP)se presentaen el rectngulo inferior izquierdo. Ntese que dos proyecciones se encuentran en elmismo rectngulo confundidas.

El punto rpresenta alejamiento positivo, por lo tanto la proyeccin horizontal (rH)se ubicar bajo la Lnea de Tierra (LT). La cota negativa del punto robliga a colocartambin la proyeccin vertical (r V) bajo la LT. La proyeccin de perfil o fondo (r P) sepresenta en el rectngulo inferior derecho. Ntese que dos proyecciones se encuentranen el mismo rectngulo confundidas.

Elementos Geomtricos en el Espacio

LA RECTA

Como decamos anteriormente la recta nos muestra una dimensin unadireccin y por esta razn, cobra importancia sus cualidades "relativas". Cuando

decimos relativas nos referimos a posiciones o relaciones con algn elementoubicado en el espacio. Dado su carcter unidimensional solo puede relacionarse elngulo formado con otra lnea o plano, por lo que existen posiciones relativas a lo Planosde Proyeccin o relativas a otras Rectas o Planos. Adems la lnea, sea o no recta, nos

puede servir como eje y direccin.Veamos especficamente la Recta en sus posiciones relativas a los Planos de

Proyeccin que por convencionalismos llevan estos nombres (Ver Anexo B):

3NOTA: El PPP o PPF gira hasta confundirse con el PPV, pero es importante reconocer quePPF tiene necesariamente cuatro (4) zonas, y cada una representa a cada cuadrante. Es decir quecomo plano de proyeccin el PPF es mas grande que los otros dos. An as es un plano auxiliar ysolamente debemos utilizarlo en caso necesario.


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POSICIONES RELATIVAS DE LAS RECTAS

HORIZONTAL.

Se presenta paralela al PPH y en posicin oblicua a los planos PPV y PPF. Suproyeccin vertical es una recta paralela a LT ya que todos los puntos pertenecientes aella tienen la misma cota. Jams toca o intercepta al PPH (NO TIENE TRAZA HORIZ.).Cuando se analizan las coordenadas de sus puntos observamos que el valor COTA esuna constante.

DE PUNTA.

Se presenta paralela al PPH y al PPF; por lo que es perpendicular al PPV. Suproyeccin vertical se presenta como un punto. En cambio su proyeccin horizontal esuna recta perpendicular a LT. Presenta la misma proyeccin que la Recta Horizontal enel PPF, y slo tiene traza en el PPV ( Jams intercepta a los PPH y PPF). Al analizar las

coordenadas de sus puntos observamos que los valores de COTA y MARGEN PROFUNDIDAD son constantes entre si.

FRONTO-HORIZONTAL.

En pocas palabras es una recta paralela a LT, por lo tanto es tambin paralela aPPH y PPV; siendo perpendicular a PPF. Las proyecciones horizontales y verticales sepresentan como rectas paralelas a LT, y en el PPF su proyeccin es slo un punto.Solamente puede interceptar PPP o PPF.

FRONTAL.

Es una recta paralela al plano vertical, pero presenta inclinacin hacia el PPH y elPPF. Su proyeccin horizontal se presenta como una rectaparalela a LT; la proyeccin de perfil aparenta una recta vertical. Jamsintercepta al PPV (NO TIENE TRAZA VERTICAL). El anlisis de las coordenadas de suspuntos nos permite concluir de que los valores de ALEJAMIENTO son una constante.

VERTICAL.

Bsicamente es una recta perpendicular al PPH, por lo tantoparalela a los PPV y PPF. La proyeccin vertical y de perfil se presentan comorectas perpendiculares a LT, y en su proyeccin horizontal nada ms es unpunto. El nico plano que intercepta es al PPH (SOLO TIENE TRAZAHORIZONTAL). En el anlisis de coordenadas vemos que los valores deALEJAMIENTO son una constante, as como los valores de MARGEN PROFUNDIDAD.

De PERFIL.Es toda recta paralela al PPF y oblicua a los PPV y PPH. Presenta sus

proyecciones horizontales y verticales como rectas perpendiculares a LT. hado que esuna recta que presenta su verdadera magnitud (V.M.) en el PPF los ngulos respecto alos PPH y PPV se muestran aqu. A excepcin de esta recta y la prxima a describiren todas las dems no es necesario recurrir al PPF, y este slo se recomienda usarsecomo plano auxiliar, en especial cuando el elemento estudiado presenta paralelismocon ste. Cuando estudiamos las coordenadas de los puntos de la recta que nos ocupaobservaremos que todos ellos tiene una constante: el MARGEN PROFUNDIDAD.


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Ilustracin 11 Posiciones Relativas de la Recta


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PERPENDICULAR A LT.

Se trata de una variedad de la recta de Perfil, y que presenta las mismas

caractersticas que la anterior con la nica salvedad de que cada punto perteneciente asta recta presenta el mismo valor numrico en elALEJAMIENTO y la COTA. Esta rectaforma parte de uno de los Planos Bisectores que veremos mas adelante.

Hemos descrito la posiciones relativas de la recta respecto a los planos deproyeccin, a continuacin presentamos las posiciones relativas entre rectas.

En nuestro caso iniciaremos con lneas rectas, pero debemos aprender areconocer la posicin relativa de la recta, mediante el anlisis de las coordenadas de lospuntos dados.

POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS o ENTREPLANOS o RECTAS

PARALELISMO.

Al igual que la geometra plana dos rectas son paralelas entre s cuando estas alprolongarse jams se interceptan, es decir no tienen punto en comn en susprolongaciones. Pero principalmente es que la distancia entre ambas es una constante, yya que una tercera recta que intersecta a ambas, presenta el mismo ngulo deinclinacin con ambas por lo que puede deducirse que si es diferente el ngulo no sonparalelas. Dos rectas paralelas pueden determinar un plano ya que tienen la virtud de serCOPLANARES ( de un mismo plano). Por otra parte dos rectas que no tiene un punto encomn, pero que no son paralelas, o sea rectas que se cruzan, jams formarn un plano,por lo tanto no pueden ser coplanares. Cuando dos rectas son paralelas entre s, lasproyecciones respectivas tambin son paralelas entre si. Es decir que cuando dos rectas

son paralelas entre si, las proyecciones horizontales de ambas son tambin paralelas,as como sus proyecciones verticales y de perfil entre si. Nos valdremos de esto ultimopara reconocer o probar el paralelismo entre rectas.

INTERCEPCIN.

La intercepcin es la caracterstica entre dos elementos que convergen en elespacio, siendo la cualidad principal la de contener uno o mas puntos en comn. Laintercepcin que ocurre con rectas es un Punto de Intercepcin (No importa si es entredos rectas, o recta y plano): la intercepcin entre planos forma una Recta deIntercepcin. No importa el caso o tipologa de la intercepcin, el concepto ser siempreel mismo: Los puntos de intercepcin renen requisitos de pertenencia a los doselementos interceptados. Cuando se trata de una recta de intercepcin, y esta al

prolongarse o no, tiene trazas en los Planos de Proyeccin sern coincidentes siemprecon las trazas de los planos a que pertenece. Cuando los planos no son paralelos a losplanos de proyeccin estos presentan trazas en ellos. Cuando dos planos no paralelos aun plano de proyeccin se interceptan, presenta tambin trazas interceptadas. Esprecisamente ese punto en comn entre trazas el que determina la Traza de la Recta deIntercepcin (TRI) de ambos planos.


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TRAZA.

Es la intercepcin de un elemento con cualquier Plano de Proyeccin, en el caso

de una recta la Traza es un Punto: en el caso de un plano la Traza es una Recta: y de unvolumen es un Plano.

PERPENDICULARIDAD.

La perpendicularidad en la geometra tridimensional es un poco mas complejaque en la geometra plana en el aspecto de su determinacin. Sabemos que dos rectasson perpendiculares entre s cuando forman un ngulo recto ( de 90); pero el problemaes como probar esa relacin. Solamente puede ser determinada, medirse, en otraspalabras, cuando una de las dos rectas es paralela a un plano de proyeccin. Puededefinirse la perpendicularidad como un caso especial de intercepcin porque en efecto loes. Facilita la determinacin conocer el punto de intercepcin entre ambas, aunque no esimprescindible. En otro caso, una recta es perpendicular a un plano cuando la recta es

perpendicular a dos rectas que pertenezcan al plano. La razn de la perpendicularidad ados rectas se debe a que es necesario determinarla en dos direcciones para que secumpla; de otra manera podr ser perpendicular a una recta del plano, pero no al planoen s.

CRUCE.

Es bien importante distinguir entre rectas que se cortan o interceptan y rectas quese cruzan, porque las primeras tienen un punto en comn, las otras no. Se menciona loanterior porque las rectas que se cruzan tienen la apariencia de que se interceptan. Laapariencia se puede deber al punto de vista, donde podemos tener una recta en primerplano y otra detrs que pueden confundir o simular una intercepcin. Dos rectas cuandono tienen un punto en comn (No se cortan) y tampoco son paralelas, son rectas que se

cruzan. Resumiendo podemos decir que dos rectas pueden tener tres tipos deposiciones relativas (Entre s) y que podemos definir por INTERCEPCIN, CRUCE YPARALELISMO.

LA TRAZA DE UNA RECTA.

Es muy importante determinar lo trazo de uno recta especialmente cuando vemosque el punto Traza pertenece tanto al PP como a la misma recta. Por lo tanto si esto esas este punto tendr un valor 0 (CERO) en al menos una de sus tres proyecciones. Esteconocimiento ser muy til mas adelante cuando tengamos que resolver problemas mascomplejos.

PERTENENCIA DE UNA RECTA A UN PLANO

Podemos probar que una recta pertenece a un plano cuando I recta es definidapor dos puntos pertenecientes al plano. Tambin podemos determinarlo cuando la rectacorta dos rectas que de antemano sabemos que pertenecen al plano, por ejemplo dos desus bordes. Pero existe tambin una serie de condiciones adicionales cuando contamoscon las Trazas del plano y de la recta. Cuando una recta tiene traza en un PP ypertenece a un plano x cualquiera, ambas trazas se confunden, es decir que la traza dela recta, un punto, pertenece a la traza respectiva del plano x. En cambio si la recta esparalela (no tiene traza) a un PP, la proyeccin de la recta en ese PP es paralela a latraza del plano x a que pertenece.


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RECTAS NOTABLES DE UN PLANO

Se denominan rectas notables de un plano a aquellas rectas que pertenecen a un

plano y que guardan caractersticas conocidas., respecto a los PP. Por ejemplo un planode posicin cualquiera, es decir oblicuo a todos los planos de proyeccin, puedecontener rectas Frontales, Horizontales y de Perfil; pero jams rectas Fronto-Horizontales, de Punta o Verticales. Podemos agrupar las rectas notables en tresgrandes grupos, las Horizontales, Las Frontales y las de Perfil del Plano. Como sunombre lo indica las primeras son todas aquellas rectas que pertenecen a un plano y quesean paralelas al PPH; las segundas paralelas al PPV y las terceras al PPF.

Las Horizontales del plano pueden ser:

Horizontal,

de Punta

Fronto-HorIzontal.

Las Frontales del plano pueden ser:

Frontal

Vertical

Fronto-Horizontal

Los de Perfil del plano pueden ser:

de Perfil

de Punta

Vertical

Perpendicular a LT (Que es una de Perfil especial)

Todo depende del tipo de plano a que pertenecen. Emplearemos estascaractersticas mas adelante para resolver muchos problemas, pero para ahondar en suscualidades debemos primero estudiar otros conceptos de geometra espacial.

Primero veamos las posiciones relativas entre rectas y planos, y luegoestudiaremos las posiciones notables de los planos.

PARALELISMO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO.

Se sabe por GEOMETRIA ELEMENTAL que una recta esparalela a un plano si

sta es paralela a una recta del plano (Criterio de existencia de rectas y planosparalelos). Recprocamente, un plano es paralelo a una recta si contiene una rectaparalela a la recta dada.

Veamos un ejemplo (Fig. 10) donde se muestran dos rectas, Cy D, que seinterceptan, recordemos que un plano se forma con dos rectas que se interceptan, yexiste una tercera recta A, que es paralela a una de las rectas que se interceptan ocortan; la recta D. Si las rectas Cy Dson coplanares, el plano que forman es paralelo ala recta A ya que la distancia, medida perpendicularmente, entre A y el plano es unaconstante.


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Vemos que la recta

Ilustracin 12 Criterio de existencia de rectas y planos paralelos

En el PPV las proyecciones de Dy Ason paralelas. Tambin sabemos Cy Dsecortan porque tienen un punto en comn: P

En el PPH las proyecciones de Dy Ason paralelas, por lo tanto son paralelas lasrectas Dy A.

A continuacin se presentan tres casos hipotticos, y seguidamente lametodologa aconsejable para resolverlos:

Caso 1. Encontrar una recta paralela a un plano definido por tres puntos

1a. Que la rectapase por un punto "x' no perteneciente al plano abc.

1b. Que la distancia sea n unidades arbitrarios(UA).

1c. Que la distancia entre recta y plano sea cualquiera.

Caso2. Dada una recta My un plano Bcomprobar si existe paralelismo.

Soluciones: Todo se resume a cumplir con el concepto de paralelismo expresadopor Donato di Pietro, encontrar uno recta perteneciente al plano que sea paralelo o larecto fuera de este. En el caso la se traza una recta que pertenezca al plano abc, uno desus bordes bastar, y luego se traza una recto, paralelo a la anterior, que pase por el "x.En el caso del problema se complica por que debemos trazar primero una rectaperpendicular a una recta perteneciente al plano abc, y que sta perpendicular tenga lamagnitud nU.A. Para que podamos tener control de lo perpendicularidad, la recto quepertenece al plano debe ser paralelo a un PP. En el caso 1a es muy sencillo porque noexiste restricciones a cumplir, y por lo tanto podemos colocar un punto en cualquier


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lugar, siempre y cuando est fuero del plano abc. Sobre ese punto que ubicamosharemos pasar una recta paralela al plano, con el mismo mtodo empleado en

En el caso 2 se plantea el problema al revs, y donde en una de los dosproyecciones (PPH PPV) debemos trazar la proyeccin de una recta que pertenezca aal plano B y que sea paralela, en la proyeccin respectivo, o la proyeccin de M. Paracomprobar el paralelismo debemos demostrar que la proyeccin correspondiente al otroPP, de la recta auxiliar sea tambin paralelo; si no es as, habremos comprobado de quela recta M no es paralela

TIPOLOGIA DE LOS PLANOS.

Los planos segn sea su relacin con los PP pueden ser:

HORIZOTAL

Ilustracin 13 Plano HorizontalEs aquel plano paralelo al PPH, no tiene traza en ste, y que a su vez es

perpendicular a los PPV y PPF. Las trazas verticales (TV) y de Perfil (TF) son paralelas aLT. Si el plano es limitado, no infinito, se proyectar el los PPV y PPF como una lnearecta, y en Verdadera Magnitud (V.M.) en el PPH. En rojo una recta Horizontal, en azuluna recta de Punta, y en amarillo la recta Fronto-horizontal.

DE CANTO

Ilustracin 14 Plano de Canto


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Es aquel plano perpendicular al PPV y oblicuo a los PPH y PPF. Cuando esinfinito forma la traza horizontal como recta perpendicular a LT. La traza vertical nosindica en verdadera magnitud su ngulo respecto al PPH. La traza de perfil presentahorizontalidad, es decir, paralela a LT. Se proyectar como una lnea recta en el PPV. Nose proyecta en varadero magnitud. En rojo una recta de posicin cualquiera, en azul unarecta de Punta, y en amarillo la recta Frontal.

FRONTAL

Ilustracin 15 Plano Frontal

Es aquel plano paralelo al PPV, no tiene traza en ste, y que a su vez es

perpendicular a los PPH y PPF. La traza horizontal presenta paralelismo hacia la LT; latraza de perfil se presenta como una recta perpendicular a LT. Cuando no es infinito seproyecta en V.M. en el PPV, y como una lnea en los planos PPH y PPF. En rojo unarecta Frontal, en azul una recta de Fronto-horizontal, y en amarillo la recta Vertical.

VERTICAL

Ilustracin 16 Plano Vertical

Es aquel plano perpendicular a PPH y oblicuo hacia los PPV y PPF. Su trazavertical es una lnea perpendicular a LT, y una lnea oblicua (con V.M. del ngulo) en sutraza horizontal. No se proyecta en verdadera magnitud en ningn plano. Su proyeccin


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horizontal es una lnea recta. En rojo una recta de posicin cualquiera, en azul una rectade Horizontal, y en amarillo la Vertical.

De PERFIL

Ilustracin 17 Plano de Perfil

Es aquel plano perpendicular a PPH y A PPV. Normalmente se utiliza como planode proyeccin auxiliar debido a que puede contener rectas de perfil. (es aquella quecontiene puntos que mantienen el mismo margen y variables las cotas y alejamientos).La traza horizontal y vertical presentan perpendicularidad respecto a LT, y carece detraza en el PPF por ser paralela a ste, que es donde refleja su verdadera magnitud. Enrojo la recta de Perfil, en azul la recta de Punta, y en amarillo la recta Vertical.

PARALELO A LTEs un plano perpendicular a PPF. Sus trazas verticales y horizontales son

paralelas a LT y, al igual que el anterior, no presenta proyecciones en verdaderamagnitud. Su proyeccin de perfil se presenta como una lnea recta. Existen unavariedad de planos paralelos a LT que podemos llamar tambin "notables" como lo sonlos BISECTORES que pasan por la LT y dividen, como su nombre lo indica, en dossectores el Primer y Tercer Cuadrante, el primero: y un segundo plano bisector quedivide el Segundo y Cuarto Cuadrante. Es obvio que al dividir en dos sectores los

cuadrantes su inclinacin, respecto a los PPH y PPV es de 45. Todos los puntos quepertenecen a estos planos bisectores tienen la caracterstica singular de que el valor delAlejamiento es igual al valor de la Cota, es decir que son equidistantes a los PPH y PPV.


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Ilustracin 18 Plano Paralelo a LT

Podemos ahora preguntamos que "rectas notables" pueden pertenecer a cadauno de los planos descritos. Nos valdremos de un cuadro para ordenar las rectasnotables que le corresponden a cada plano en especial. La razn de este conocimientose ver mas adelante cuando manipulamos los elementos tridimensionales; en especialpara determinar intercepciones, verdaderas magnitudes, giros y abatimientos, etc.

NOTA ACLARATORIA:

Con los desarrollos tecnolgicos actuales, especialmente en elprocesamiento de datos, existe confusin sobre la capacidad que se les atribuye a

los programas de dibujo y diseo por computadora (CAD).Efectivamente existen programas para dibujar y disear, es decir para

resolver problemas de construccin de piezas y objetos tridimensionales. Unprograma que ofrece esta capacidad es el AutoCAD, pero requiere que losobjetos se desarrollen en forma de slidos. AutoCAD ofrece tres modalidadespara describir cuerpos geomtricos: trazo esqueltico, superficies slidas yslidos (volmenes).

Existe un gran diferencia entre AutoCAD y la Geometra Descriptiva talcomo la conocemos. AutoCAD gestiona el diseo por medio de vistas por unaparte y el Sistema de Coordenadas (UCS) y que podemos modificar a voluntad;siempre existe y mantiene todo el tiempo una Vista Base (Worldview) y unaCoordenada Base (World UCS) relacionadas con las coordenadas geodsicas.Contrario a Geometra Descriptiva AutoCAD permite crear volmenes virtuales,que incluyen material, peso, costo, etc.

Para utilizar el AutoCAD es necesario tener conocimientos de geometra,coordenadas en el es acio mucha ima inacin.


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CUADRO 2 RECTAS NOTABLES DE LOS PLANOS

Tipo de Plano HORIZONTALES VERTICALES DE PERFIL

HORIZONTAL HORIZONTAL

De PUNTA

FRONTOHORIZONTAL

FRONTO-HORIZONTAL

De PUNTA

DE CANTO De PUNTA FRONTAL De PUNTA

VERTICAL HORIZONTAL VERTICAL VERTICAL

FRONTAL FRONTO-HORIZONTAL

VERTICAL

FRONTAL

FRONTO-HORIZONTAL

VERTICAL

DE PERFIL De PUNTA VERTICAL De PERFIL

VERTICAL

De PUNTA

BISECTOR oPARALELO ALT

FRONTO-HORIZONTAL

FRONTO-HORIZONTAL

De PERFIL

Observase a la columna "Horizontales' que contiene a las rectas paralelas al PPH;

las Verticales son las rectas paralelas al PPV, y las de Perfil paralelas a PPF.Recordemos que una recta paralela a un PP se encuentra en V.M. tanto en su dimensincomo en su ngulo respecto a los otros PP.

Cuando una recta es paralela aun PP y a su vez est contenida en un plano nosser til para demostrar u obtener perpendicularidad para otra recta; girar un plano paraobtener su verdadera magnitud, y otra variedad de procesos tiles.

RECTA DE MAXIMA PENDIENTE

Una recta notable y muy til es la Recta de Mxima Pendiente (RMP) de un plano,pues indica la inclinacin del plano que la contiene respecto al PPH. Lo primero quedebemos conocer es el concepto de 'pendiente", que es la relacin geomtrica delngulo formado por el plano y el PPH. Si un plano cualquiera forma un ngulo con el

PPH puede medirse esta inclinacin en sus dos componentes, la horizontal denominadobase; y la componente vertical llamada altura. La relacin entre base y altura sedenomina pendiente y se expresa en porcentaje.

PENDIENTE =BASE

ALTURA

Por ejemplo un plano inclinado a 45 forma la relacin base = altura por lo queanotamos la pendiente como 1/1 sea !00%. Una pendiente del 50% significar que laaltura tiene la mitad del valor que la base. Este concepto es comnmente empleado por


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la Ingeniera y la Arquitectura para designar el grado de inclinacin de Techas oCubiertas, Carreteras, Topografa de los terrenos etc.

Veamos ejemplos obtenidos de la realidad: Un talud de tierra puede disearse con una pendiente del 100% en suelo

rocoso.

Un techo de teja tiene la pendiente ptima de entre el 25 al 30% dependiente.

La pendiente desde el eje de una calle hacia la cuneta o cordn es del2.5%.

La mxima pendiente permitido para una calle vehicular es del 18%, segnel Reglamento de Desarrollo Urbano del rea Metropolitana de SanSalvador, y en tramos no mayores de !00.00 MT de Longitud.

Lo "mxima" pendiente de un plano inclinado significa que es el porcentaje masalto que pueda obtenerse de los componentes, base y altura, de una recta contenida eneste plano. Quiere decir entonces de que pueden obtenerse varias pendientes de unplano, pero siempre habr una mxima que reflejar la inclinacin verdadera del planorespecto al PPH. Veamos como se obtiene la Recta de Mxima Pendiente:

Supongamos un plano inclinado M apoyado directamente sobre el PPH. La orillaque hace contacto con el PPH se llama TRAZA y all todos los puntos tienen cota 0.

Sobre el plano M colocaremos tres rectas 1,2 y 3. Todos parten de la cota 0 (laTRAZA) y continan hacia arriba. Es posible que todas alcancen, en su punto extremo,una cota mxima, pero cada una requiere para alcanzar esa cota diferentes longitudes.Las diferentes longitudes nos darn diferentes componentes horizontales (Proyecciones

Horizontales). Por lo tanto la recta que alcance la mayor altura en el tramo ms cortohorizontal ser la R.M.P. La razn es muy sencilla, entre menor sea la base y mayor loaltura, el porcentaje crece.

Ilustracin 19 "Pendientes de un Plano"

Supongamos que la recta 1 y 2 alcanzan la mayor altura, por ejemplo 5 unidades,pero ambas presentan diferentes longitudes. La recta 1 es de mayor longitud,supongamos 7 unidades de base proyectado. Su porcentaje es 5 entre 7 seaaproximadamente 71.4% de pendiente. En cambio la recta 2 de menor longitud reflejauna base menor, supongamos 5 unidades que equivalen a la relacin de 5 entre 5,correspondientes al 100%. La recta de mxima pendiente (RMP) se obtiene trazandouna recta perpendicular a la traza; en otras palabras la base (proyeccin horizontal de laRMP) ser siempre perpendicular a la traza. Existe un hecho muy simple para explicarla,


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la menor distancia entre el punto ms alta de un plano y su punto mas bajo es esaperpendicular. En un sencillo experimento de fsica podemos colocar una esfera en partesuperior de un plano inclinado; lo gravedad obligar a la esfera recorrer la distancia mscorta: una perpendicular hacia la lnea ms baja.

Ilustracin 20 Trazo de la RMPUtilizando el concepto de la RMPpodemos encontrar el valor del ngulo de un

plano cualquiera respecto el PPH. Por ejemplo el caso de plano M de posicin cualquieray definido por sus trazas. Si escogemos un punto 'p" ubicado en la Traza Horizontal 'delplano M (THM) y trazamos una recta perpendicular hasta encontrarnos con la LT, en elpunto 's' (alejamiento = 0) habremos encontrado lo Base de lo pendiente. Lo altura serla otra traza vertical de la RMP. ( Recuerde que la "base" es la proyeccin horizontal dela RMP). La altura es el valor de la cota. del punto "s', y no necesariamente es laproyeccin vertical de la RMP, porque son datos distintos).

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