Principio Del Palomar Nuevo

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PRINCIPIO DEL PALOMARLic. ADHA MORALES MOYALic. ADHA MORALES MOYAEL PRINCIPIO DEL PALOMAR Principio del palomar: Si n casillas en el palomar las ocupan n+1 palomas, entonces por lo menos una casilla esta ocupada por mas de una paloma.

Este principio se aplica a muchas situaciones en las que se busca demostrar que puede ocurrir una situacin dada.Lic. ADHA MORALES MOYA Ejemplo a) Suponga que en un rea escolar hay 13 profesores y dos de ellos (palomas) nacieron el mismo mes (casillas). Lic. ADHA MORALES MOYAEJEMPLO Cualquier subconjunto de tamao seis del conjunto S={1,2,3,...,9} debe contener dos elementos que sumen 10.Aqu los nmeros 1,2,3,...,9 son las palomas mientras que los nidos son los subconjuntos {1,9}, {2,8}, {3,7}, {4,6}, {5}. Cuando seis palomas van a sus respectivos nidos, deben ocupar al menos un subconjunto de dos elementos, cuyos miembros sumen diez.

Lic. ADHA MORALES MOYAEjemplo Si se escoge 8 personas aleatoriamente de algn conjunto, por lo menos dos de ellas habrn nacido el mismo da de la semana. Aqu cada persona (paloma) se asigna al da de la semana (casilla) en que naci el o ella. Como hay ocho personas y solamente siete das de la semana, el principio de las casillas dice que por lo menos dos personas debern asignarse al mismo da de la semana. Lic. ADHA MORALES MOYAEl principio del palomar se generaliza como sigue

Principio del palomar generalizado: Si n casillas estn ocupadas por kn+1 o ms palomas, donde k es un entero positivo, entonces por lo menos una casilla est ocupada por k+1 o ms palomas.

Lic. ADHA MORALES MOYAEjemplo Encuentre el nmero mnimo de estudiantes en un curso para asegurar que tres de ellos nacieron el mismo mes. Lic. ADHA MORALES MOYAEjemplo Encuentre el nmero mnimo de estudiantes necesario para garantizar que 5 de ellos estn en el mismo nivel (de primero, de segundo, de tercero o de ltimo ao) Lic. ADHA MORALES MOYAEjemplo Sea L una lista ( no necesariamente en orden alfabtico) de las 26 letras del alfabeto ingles (que consta de 5 vocales : a, e, i, o, u y 21 consonantes).a) demuestre que L contiene una sublista que consta de cuatro o ms consonantes consecutivas Lic. ADHA MORALES MOYAb) En el supuesto de que L empiece con una vocal ; por ejemplo a , demuestre que L contiene una sublista que consta de 5 o ms consonantes consecutivas Lic. ADHA MORALES MOYAEjemplo Encuentre el numero mnimo de estudiantes necesarios para garantizar que 4 de ellos nacieron a) El mismo da de la semana.b) el mismo mes.

Lic. ADHA MORALES MOYAEjemploEncuentre el numero de estudiantes necesarios para garantizar que 3 de ellos:a) tienen apellidos que empiezan con la misma letra.b) nacieron el mismo da de un mes (de 31 das)

Lic. ADHA MORALES MOYALic. ADHA MORALES MOYAProducto cartesianoEjemplo: Sean A = {1, 2, 3} y B = {5, 6}A x B consta de los 6 pares de la lista(1, 5)(2, 5)(3, 5)(1, 6)(2, 6)(3, 6) Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) donde x A e y B. En smbolosA x B = {(x, y) / x A y B }

Lic. ADHA MORALES MOYAProducto cartesianoPara representar grficamente el producto cartesiano utilizaremos la representacin cartesiana que consiste en trazar ejes perpendiculares; en el eje horizontal colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto B, los elementos del producto cartesiano los forman los puntos de interseccin que se obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal. Ejemplo: La representacin grfica de los pares de A B ={(1, 5), (2, 5),(3, 5),(1, 6),(2, 6),(3, 6) }

B 6 5 1 2 3 ALic. ADHA MORALES MOYA A x B = B x A?

No son iguales ... Por ej. si A = {a, b, c}, B = {1, 2}

A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b, 2), (c, 1), (c,2) }B x A = { (1,a), (1,b), (1,c), (2, a), (2, b), (2,c) }Si A y B son finitos el nmero de elementos de A x B es llamado cardinal de A x B y denotado por A x B A x B= A. B Adems A. B = B. A= B x AEntonces A x B= B x AProducto cartesianoLic. ADHA MORALES MOYAProducto cartesiano de conjuntos de infinitos elementosA={x R/-2 x 3} yB ={x R/-1 x 2} No podemos enlistar los elementos de AxB pero tenemos en el rectngulo sombreado de azul todos los elementos (puntos) del mismo.

Lic. ADHA MORALES MOYA A={x R/-2 x 3} yB ={x R/-1 x 2} Los puntos del rectnguloen rosa constituyen el producto cartesiano BxA

Producto cartesianoLic. ADHA MORALES MOYAB1230 Ejemplo Sean A = {1, 2, 3} y B = {0, 1, 2, 3}. Entonces A x B={(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0).(3,1),(3,2),(3,3)}Consideremos el siguiente subconjunto de AxB R = { (a, b) A x B / a + b 3} 123A0Nos interesan algunos subconjuntos del producto cartesianoLic. ADHA MORALES MOYA RELACIONES BINARIAS Dados dos conjuntos A y B, una relacin R binaria es cualquier subconjunto de AxB R A B

Notacin: Si aA y bB, para decir que a est relacionado con b por R escribimos: (a,b)R o aRb

Si a no est relacionado con b, entonces (a,b)R

Si B=A, se dice que R es una relacin binaria definida en A . Escribimos R A A

Lic. ADHA MORALES MOYAEjemplosAlgunos elementos de la relacin son:( 2 ,1 ) , (4, 2), ( 10, 5) , (20,10) , (100,50), etc Sea R definida en N por medio de R={(x,y)/x es el doble de y}Entonces: 1 R 2, 2 R 2, 2 R 6, 2 R 18, 3 R 18, 3 R 21, 3 R 3, ....R={(x,y)/x divide a y} NxNLic. ADHA MORALES MOYADISTINTAS FORMAS DE REPRESENTAR Relaciones: -

Matriz Booleana: MR: Hay 1 en la matriz si el par est en la relacin y cero si no est. Lic. ADHA MORALES MOYALic. ADHA MORALES MOYALic. ADHA MORALES MOYA