Principio de conservacin de la energaSi solamente una fuerza conservativaFacta sobre una partcula, el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y final de la energa potencial

Como hemos visto en el apartado anterior, el trabajo de la resultante de las fuerzas que acta sobre la partcula es igual a la diferencia entre el valor final e inicial de la energa cintica.

Igualando ambos trabajos, obtenemos la expresin del principio de conservacin de la energaEkA+EpA=EkB+EpBLa energa mecnica de la partcula (suma de la energa potencial ms cintica) es constante en todos los puntos de su trayectoria.Comprobacin del principio de conservacin de la energaUn cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m. Calcular1. La velocidad del cuerpo cuando est a 1 m de altura y cuando llega al suelo, aplicando las frmulas delmovimiento rectilneo uniformemente acelerado2. La energa cintica potencial y total en dichas posicionesTomarg=10 m/s2

Posicin inicialx=3 m,v=0.Ep=2103=60 J,Ek=0,EA=Ek+Ep=60 J Cuandox=1 m

Ep=2101=20 J,Ek=40,EB=Ek+Ep=60 J Cuandox=0 m

Ep=2100=0 J,Ek=60,EC=Ek+Ep=60 JLa energa total del cuerpo es constante. La energa potencial disminuye y la energa cintica aumenta.Fuerzas no conservativasPara darnos cuenta del significado de una fuerza no conservativa, vamos a compararla con la fuerza conservativa peso.El peso es una fuerza conservativa.Calculemos el trabajo de la fuerza peso cuando la partcula se traslada de A hacia B, y a continuacin cuando se traslada de B hacia A.WAB=mg xWBA=-mg xEl trabajo total a lo largo el camino cerrado A-B-A,WABAes cero.

La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativaCuando la partcula se mueve de A hacia B, o de B hacia A la fuerza de rozamiento es opuesta al movimiento, el trabajo es negativo por que la fuerza es de signo contrario al desplazamientoWAB=-FrxWBA=-FrxEl trabajo total a lo largo del camino cerrado A-B-A,WABAes distinto de ceroWABA=-2Frx

Balance de energaEn general, sobre una partcula actan fuerzas conservativasFcy no conservativasFnc.El trabajo de la resultante de las fuerzas que actan sobre la partcula es igual a la diferencia entre la energa cintica final menos la inicial.

El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la diferencia entre la energa potencial inicial y la final

Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar obtenemos que

El trabajo de una fuerza no conservativa modifica la energa mecnica (cintica ms potencial) de la partcula.Ejemplo 1:Un bloque de masa 0.2 kg inicia su movimiento hacia arriba, sobre un plano de 30 de inclinacin, con una velocidad inicial de 12 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0.16. Determinar: la longitudxque recorre el bloque a lo largo del plano hasta que se para la velocidadvque tendr el bloque al regresar a la base del planoCuando el cuerpo asciende por el plano inclinado La energa del cuerpo en A esEA=0.2122=14.4 J La energa del cuerpo en B esEB=0.29.8h=1.96h=0.98xJ El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de A a B esW=-Frx=-mgcosx=-0.160.29.8cos30x=-0.272xJDe la ecuacin del balance energticoW=EB-EA, despejamosx=11.5 m,h=xsen30=5.75 m

Cuando el cuerpo desciende La energa del cuerpo en B esEB=0.29.8h=1.96h=0.98x=0.9811.5=11.28 J La energa del cuerpo en la base del planoEA==0.2v2 El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de B a A esW=-Frx=-mgcosx=-0.160.29.8cos3011.5=-3.12 JDe la ecuacin del balance energticoW=EA-EB, despejamosv=9.03 m/s.Ejemplo 2:Una partcula de masamdesliza sobre una superficie en forma de cuarto de circunferencia de radioR, tal como se muestra en la figura.Las fuerzas que actan sobre la partcula son: El pesomg La reaccin de la superficieN, cuya direccin es radial La fuerza de rozamientoFr, cuya direccin es tangencial y cuyo sentido es opuesto a la velocidad de la partcula.

Descomponiendo el pesomg, a lo largo de la direccin tangencial y normal, escribimos la ecuacin del movimiento de la partcula en la direccin tangencialmat=mgcos-FrDondeat=dv/dtes la componente tangencial de la aceleracin. Escribimos en forma de ecuacin diferencial la ecuacin del movimiento

Calculamos el trabajoWrrealizado por la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento es de sentido contrario al desplazamiento

Teniendo en cuenta que el deslazamiento es un pequeo arco de circunferenciadl=Rdy que

El trabajo realizado por la fuerza no conservativaFrvale

Si el mvil parte del reposov=0, en la posicin=0. Cuando llega a la posicin La energa cintica se ha incrementado enmv2/2. La energa potencial ha disminuido enmgRsen.El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energa final y la energa inicial o bien, la suma de la variacin de energa cintica ms la variacin de energa potencial.El trabajo total de la fuerza de rozamiento cuando la partcula describe el cuarto de crculo es