Principales Productos Notables

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I.E.S.P.”ACCIÓN COMUNITARIA CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 1 PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES 1.- BINOMIO SUMA O DIFERENCIA AL CUADRADO (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 Trinomio Cuadrado Perfecto EJERCICIOS a) (3x+1) 2 = h) (5x+3) 2 = b) (x 2 +3y) 2 = i) ( 3 x+5) 2 = c) (5x 2 + 1/8 ) = j) (0,2+x) 2 = d) (x13) 2 = k) (x 3 2y) 2 = e) (x 6 3 ) 2 = l) (x13) 2 = f) (3 x) 2 = m) (x 4 3y 2 ) 2 = g) (x 11 + 8) 2 =

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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 1

PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES 1.- BINOMIO SUMA O DIFERENCIA AL CUADRADO

(a b)2 = a

2 2ab + b

2

Trinomio Cuadrado Perfecto

EJERCICIOS

a) (3x+1)

2 = h) (5x+3)

2 =

b) (x2+3y)

2 = i) ( 3 x+5)

2 =

c) (5x2 + 1/8 ) = j) (0,2+x)

2 =

d) (x–13)2 = k) (x

3–2y)

2 =

e) (x6– 3 )

2 = l) (–x–13)

2 =

f) (–3 – x)2 = m) (x

4 – 3y

2)2 =

g) (x11

+ 8)2 =

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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 2

EJERCICIOS

a) ( )2 = x

2 – 4x + 4

b) ( )2 = x

2 + 22x + 121

c) ( )2 = 4x

2 – 12x + 9

d) x2 – 18x + 81 = ( )

2

e) x2 + 0,6x + 0,09 = ( )

2

f) x2 – 4 3 x + 12 = ( )

2

g) ( )2 = x

2 + 12x + 36

h) ( )2 = x

2 + 6x + 9

i) ( )2 = 9x

2 + 6x + 1

j) ( )2 = 25x

2 + 20x + 4

k) ( )2 = x

2 – 2 7 x + 7

l) ( )2 = x

2 – 16x + 64

m) ( )2 = x

2 – 26x + 169

n) ( )2 = x

2 + 24x + 144

o) ( )2 = 9x

2 – 24x + 16

p) ( )2 =

29x

4 + 3x + 1

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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 3

2.- DIFERENCIA DE CUADRADOS

“El producto de la suma por la diferencia de dos binomios es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo”. Al segundo miembro de esta igualdad se denomina Diferencia de Cuadrados.

EJERCICIOS

a) (5x2 + 2)(5x

2 – 2)

b) (7y + 4)(7y – 4)

c) (6+x)(x–6)

d) (3x+4)(3x–4)

e) (1–x2)(1+x

2)

f) (x+8)(x–8)

g) ( 5 +x)(x– 5 )

h) 2 2

x 4 x 43 3

i) 1 1

x x2 2

j) (x3 + z

2)(x

3 – z

2)

k) (5x3y

– 3)(5x

3y+3)

l) ( 11x – 7 )( 11x + 7 )

m) (2–3x4)(2+3x

4)

n) ( 2 3 )( 2 3 )

o) 2 2 2 25 5

x 2y x 2y3 3

p) ( 7 6 )( 7 6 )

(a+b)(a–b) = a2 – b2

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3.- Producto de dos Binomios con un término común

EJERCICIOS

a) (x+2)(x+5) =

b) (x+9)(x–8) =

c) (x+1)(x+3) =

d) (x–9)(x+4) =

e) (2x+1)(2x+4) =

f) (5x+7)(5x–3) =

g) (6x+1)(6x–6) =

h) (4x–1)(4x–7) =

i) (x+7)(x+5) =

j) (2x2–3)(2x

2+4) =

k) (3x2–4)(3x

2–5) =

l) (x+4)(x+2) =

m) (x+7)(x–5) =

n) ( 3 x+2)( 3 x–3) =

o) (2xy3–8)(2xy

3+6) =

p) (x–6)(x+4) =

q) (x3+4)(x

3–10) =

(x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x +a.b

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4.- CUADRADO DE UN TRINOMIO

EJERCICIOS

a) (x+y+2)2 =

b) (x-y-3)2 =

c) (x2+x–2)

2 =

d) (4x–y–1)2 =

e) (x+2y+5)2 =

f) (x3+2x+4)

2 =

g) (1+2x+x)2 =

h) (x2+2x–1)

2 =

i) (4+x–x2)2 =

j) (2x3–3x

2–4)

2 =

k) (x+y+2)2 =

l) (x6–x

3–1)

2 =

m) (4–x–x4)2 =

n) (2x2–3–x)

2 =

o) (2x–x3+3)

2 =

p) (3x+y+5)2 =

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

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5.- SUMA DE CUBOS

EJERCICIOS

a) (x+4)(x²-4x+16)

b) (x+7)(x²-7x+49)

c) (x4+2)(x

8+2x

4+4)

d) (x²+8)(x4-8x

2+64)

e) (2x6+9)(4x

12-18x

6+81)

f) (0,3x+7)(0,09x²-4,2x+49)

g) (x²+3)(x4-3x²+9)

h) (x5+6)(x

10-6x

5+36)

i) (5x3+1)(25x

6-5x

3+1)

(a+b)(a2–ab+b2) = a3 + b3

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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 7

6.- DIFERENCIA DE CUBOS

EJERCICIOS

a) (x²-8)(x4+8x

2+64)

b) (x-4)(x²+4x+16)

c) (x-7)(x²+7x+49)

d) (x4-2)(x

8+2x

4+4)

e) (x4–2)((x

8+2x

4+4)

f) (0,5x–3)(0,25x2+1,5x+9)

g) (2x6 –9)(4x

12+18x

6+81)

h) (x2–8)(x

4+

8x

2+64)

i) (2x6-9)(4x

12+18x

6+81)

j) (7x-3)(49x2+21x+9)

k) (0,5x-3)(0,25x2+1,5x+9)

l) (x–6)(x2+6x+36)

(a–b)(a2+ab+b2) = a3 – b3

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7.- IDENTIDADES DE LEGENDRE

EJERCICIOS

EJERCICIOS

a) (x + 2)2 – (x – 2)

2

b) (3x – 1)2 + (3x + 1)

2

c) (x + 7)2 – (x – 7)

2

d) (x + 8)2 + (x – 8)

2

e) (5x + 4)2 + (5x – 4)

2

f) (2x – 11)2 + (2x + 11)

2

g) (9x + 3)2 + (9x – 3)

9

h) (4x + 1)2 – (4x – 1)

2

i) (2x3 + 6)

2 – (2x

3 – 6)

2

j) (2 – x4)2 – (2 + x

4)2

k) (ax2 + b

2)2 – (ax

2 – b

2)2

(a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2) (a+b)2 – (a-b)2 = 4ab

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PROBLEMAS NIVEL I

01.- Desarrollar: E = (x + 2)2 - (x - 2)

2

a) 6x b) 7x c) 8x d) 5x e) N. A.

02.- Desarrollar: E = (x + 3)2 - (x - 3)

2

a) 13x b) 12x c) 14x d) 15x e) N.A.

03.- Desarrollar: E = (2x+1)2 - (2x-1)

2

a) 8x b) 7x c) 6x d) 9x e) N.A.

04.- Desarrollar: P = (2x+3)2 - (2x-3)

2

a) 23x b) 24x c) 25x d) 27x e) N.A.

05.- Calcular: E = (9 x)(9 x) (x 9)(x 9)

a) 1 b) 0 c) 3 d() 5 e) 7

06.- Efectuar: R = (x+4)(x-4) - (x+3)(x-3)

a) -7 b) +7 c) -6 d) +6 e) N.A.

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07.- Efectuar:

2 2 2 2(a b) (a 2b) (a 3b) 14b

a) 5a b) 2 a c) 7a d) 3 a e) NA

08.- Desarrollar: E = (x+5)(x-5) - (x+4)(x-4)

a) +9 b) -9 c) -5 d) +5 e) N.A.

09.- Desarrollar: E = (x+3)2 + (x-3)

2 - 2x

2

a) 13 b) 18 c) 12 d) 11 e) 7

10.- Desarrollar: E = (x+5)2 + (x-5)

2 - 50

a) 3x2 b) 2x

2 c) 4x

2 d) 5x

2 e) N.A.

11.- Desarrollar:

E = (x+4)(x-4) - (4-x)(4+x) + 32

a) 3x2 b) 5x

2 c) 6x

2 d) 2x

2 e) N.A.

12.- Efectuar:

R = (x+y)(x-y) + (y-z)(y+z)

a) x2+z

2 b) x

2-z

2 c) z

2-x

2 d) y

2+z

2 e) N.A.

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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 11

13.- Calcular: E = 2 2 2 2(a b) (a 2b) 2a 6ab 5b

a) a2 b) b

2 c) 0 d) ab e) a

2+b

2

14.- Efectuar: E = (x+1)3 - (x-1)

3 - 2

a) 6x2 b) 5x

2 c) 4x

2 d) 3x

2 e) N.A.

15.- Efectuar: E = 2 2[ (x 3y) (x 3y) ].3xy

a) 3xy b) x2+y c) x+y

2 d) 6xy e) NA

16.- Calcular: E = (x+2)3 + (x-2)

3 - 24x

a) 2x2 b) 2x

3 c) 2x d) 3 e) N.A.

17.- Efectuar: E = (x+2a)2 - (x-2a)

2

a) 4xa b) 8xa c) 6xa d) xa e) N.A.

18.- Efectuar:

E = (x+1)3 + (x+1)

2 - 4x

2 - 5x – 2

a) x2 b) x

3 c) x d) 2x e) x

4

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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 12

19.- Efectuar:

E = (x-1)3 + (x+1)

3 - 2x

3

a) 4x b) 3x c) 6x d) 7x e) N.A.

20.- Calcular: E = (a+b)2 - (a-b)

2

a) 4ab b) 3ab c) 2ab d) ab e) N.A.

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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 13

Formulas - Repaso

01.- (x+y)2 = x2 + 2xy + y2

02.- (x+y)(x–y) = x2 – y2

03.- (x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + a.b

04.- (x+y)(x2–xy+y2) = x3 + y3

05.- (x-y)(x2+xy+y2) = x3 – y3

06.- (x+y)2+(x-y)2 = 2(x2+y2)

07.- (x+y+z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(x+y)(x+z)(y+z)

08.- (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab3 ± b3

(a ± b)3 = a3 ± b3 ± 3ab(a ± b)

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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 14

Ejemplo 1:

Reducir:

2 2E (x x 7) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)

Solución: Hacemos: x

2 + x = a

Entonces:

2 2 2 2

2

2 2

E (x x 7) (x x 2)(x x 12)

E (a 7) (a 2)(a 12)

E a 14a 49 a 14a 24

E 49 24

E 25

E 5

Ejemplo 2:

Reducir: E= 2( 2 a)(a 2)(2 a ) 4

Solución:

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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 15

2

22 2

2 2

4

4

E (a 2)(a 2)(2 a ) 4

E (a 2 )(a 2) 4

E (a 2)(a 2) 4

E a 4 4

E a

Ejemplo 3: Efectuar: (x+4)

2 – (x+1)

2 – 6x

Solución: Utilizando las fórmulas: E = x

2 + 2(x)(4) + 4

2 – [ x

2 + 2(x)(1) +1

2 ] – 6x

E = x

2 + 8x + 16 – [ x

2 + 2x + 1] – 6x

E = x2 + 8x + 16 – x

2 – 2x – 1 – 6x

E = 15 Ejemplo 5: Reducir:

2 4 88E 1 3(2 1)(2 1)(2 1)

Solución:

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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 16

2 4 88

2 2 4 88

4 4 88

8 88

8 16

8 16

2

E 1 3(2 1)(2 1)(2 1)

E 1 (2 1)(2 1)(2 1)(2 1)

E 1 (2 1)(2 1)(2 1)

E 1 (2 1)(2 1)

E 1 2 1

E 2

E 2

E 4

PROBLEMAS

NIVEL I

01.- Hallar el equivalente:

E = (x-2)2 + (x-3)

2 + (x-4)

2 + 18x – 29

a) x2 b) 2x

2 c) 3x

2 d) 4x

2 e) N.A.

02.- Calcular:

E = (a+1)2 + (a+2)

2 + (a+3)

2 – 3a

2 -12a

a) 14 b) 13 c) 12 d) 11 e) N. A.

03.- Efectuar:

R = (b-1)2 + (b-2)

2 + (b-3)

2 + 12b – 14

a) 2b2 b) b

2 c) 3b

2 d) 7b

2 e) N. A.

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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 17

04.- Efectuar: E = (x + 9)(x + 3) - (x + 6)2

a) 27 b) 9 c) 18 d) -9 e) 63

05.- Reducir: A = (x+1)(x+5) + (x+3)(x+7) - 2(x+4)2

a) -4 b) 5 c) -5 d) -6 e) 64

06.- Reducir: Si: m-n = 8

E = 2(m 3n) 4n(2n m) 8

a) 36 b) 32 c) 72 d) 64 e) 90

07.- Reducir:

E = (3x+2)2 + (2x+3)

2 - (2x-3)

2 - (3x-2)

2

a) 12x b) 24x c) 6x d) 48x e) 0

08.- Reducir:

E = (x+3)(x-3) + (x+5)(x-5) + (2-x)(x+2) + (6-x)(x+6)

a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 12

09.- Reducir:

E = (x+a)(x2+a

2)(x

4+a

4)(x-a) + a

8

a) x4 b) x

8 c) x

8 – a

8 d) a

8 e) –a

8

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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 18

10.- Efectuar:

E = 2

a 2 a 8 a 5 10

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.

11.- Calcular:

E = 2 22x x 1 x 1 x 1

a) 2 x b) 3x c) 3 x d) 5x e) N.A.

12.- Efectuar:

R = 2 23x x 1 x 1 5x 1 2x

a) 5x b) 3x c) 4x d) 2x e) N.A.

13.- Calcular:

E = 2 2x 2x 1 x 2 x 3x 4

a) -2x b) 2x c) 3x d) -3x e) N.A.

14.- Efectuar, sabiendo que: x > 0

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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 19

P = 2x x 2 x x 1 x 3x

a) x b) x c) x2 d) 2x e) N.A.

15.- Calcular:

E = m m 2 m m 2 4m

a) m b) 0 c) m2 d) 1 e) N.A.

16.- Operar:

a.- (x3 + y

5) (x

2 + y

4) =

b.- (5x + 2y) (2x – 4y) =

c.- (4x2 – 3y

2) (5x

2 + 2y

2) =

d.- (2x – 3xy + 5y) (3x – y) =

e.- (x + 5) (x + 3) =

f.- (x – 5) (x + 4) =

g.- (x + 9) (x - 5) =

h.- (x – 3) (x – 2) (x2 + 2x – 3) =

17.- Si se cumple:

m n 17 ; mn = 2

Calcular:

“m2 + n

2 + m – n”

a) 15 b) 17 c) 16 d) 18 e) 14

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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 20

18.- Señalar cuántos enunciados son verdaderos:

I. (x + 5)2 = x

2 + 25

II. (x + 3) (x - 2) = x2 – 9

III. (x + 5) (x – 2) = x2 – 10

IV. (a – x)2 = (x - a)

2

V. 3 2 3 2 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

19.- Señalar verdadero (v) o falso (f).

I. (x + y) (x – y) = x2 – y

2

II. (m + 3) (m + 2) = m2 + 6

III. (p – 2) (p – 3) = p2 – 5p + 6

a) VVV b) VFF c) VVF d) VFV e) FVV

20.- Si: m + n = 5 ; mn = 2

Hallar: “m2 + n

2”

a) 25 b) 27 c) 31 d) 21 e) 19

21.- El área del cuadrado de lado “(x+y)” es 8 veces el área de un

triángulo de base “x” y altura “y” , calcular el valor de:

4 4

2 2 2 2 2 2

(x y) (x y)E

(2x y ) (2x y )

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8

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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 21

22.- Si se cumple: a/b + b/a = 4

Hallar el valor de:

4 2 2

2 2

(a b) 4a bE

16a b

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/3 e) NA

23.- Calcular:

E = 2 4 8 16321 3 2 1 2 1 2 1 2 1

a) 32 b) 16 c) 8 d) 4 e) 2