Primera sesion
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1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:◦ Polinómicas◦ Racionales.◦ Problemas con condiciones
2. APLICACIONES DE LA DERIVADA:◦ En distintas áreas: Economía, Medicina, Ingeniería, Física,
etc.◦ En problemas de optimización.
Corte con los ejes
Dominio y Continuidad
Tipo de función
Periodicidad
Simetría
Asíntotas
Máximos y mínimos
Monotonía
Puntos de inf lexión
Curvatura
1. ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN:
ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN:
Tipo de función
Polinómica
Racional
Irracional
Exponenciales y logarít imicas
Trigonométricas
ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN:
DominioConjunto de valores que toman
la variable independiente x.
Una función es continua si se puede dibujar sin levantar el lápiz
del papel
Una función es periódica si se repite en intervalos iguales
DominioContinuidad
Periodicidad
)()( Txfxf +=
ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN:
Simetría
Par
Impar
)()( xfxf −=
)()( xfxf −−=
2xy =
3xy =
ANÁLISIS DE FUNCIONES
Asíntotas
Oblicuas
Horizontales
Verticales
Polinómicas
Racionales
NO
NO
NO SI o NO
SI o NO
SI o NO
Asíntota vertical
Resolver la ecuación que se obtiene al igualar a cero el denominador;
Se toman solo las raíces del denominador que no lo son del
numerador
ANÁLISIS DE FUNCIONES◦ Racionales
Kx =
3
52)(
−−=
x
xxf Se
estudia:
)(lim xfKx −→
)(lim xfKx +→
Asíntota vertical
Resolver la ecuación que se obtiene al igualar a cero el denominador;
Se toman solo las raíces del denominador que no lo son del
numerador
ANÁLISIS DE FUNCIONES◦ Racionales
Kx =
1
6)(
2 −=x
xxf Se
estudia:
)(lim xfKx −→
)(lim xfKx +→
Asíntota vertical
Resolver la ecuación que se obtiene al igualar a cero el denominador;
Se toman solo las raíces del denominador que no lo son del
numerador
ANÁLISIS DE FUNCIONES◦ Racionales
Kx =
1)(
2 +=x
xxf Se
estudia:
)(lim xfKx −→
)(lim xfKx +→
Asíntota Horizontal Se hal la:
Cy =
1)(
2 +=x
xxf
ANÁLISIS DE FUNCIONES◦ Funciones racionales
)(lim xfCx ±∞→
=
1
6)(
2
2
−=x
xxf
1)(
2
−=x
xxf
Asíntota Oblicua
1)(
2 +=x
xxf
ANÁLISIS DE FUNCIONES◦ Funciones racionales
1)(
2
23
−+=x
xxxf
1)(
2
−=x
xxf
Asíntota en y=mx+b, siempre que el grado numerador sea una unidad mayor que el de
denominador:
y=mx+b es el cociente
123)(
2
24
+−+−=
xx
xxxxf
ANÁLISIS DE FUNCIONES ¿Para que se utilizan las derivadas en el análisis de
funciones?.Máximos y mínimos relat ivos
Monotonía (crecimiento y decrecimiento) de una función
Calcular los puntos de inf lexión
Curvatura (concavidad o convexidad ) de una
función∪
∩
1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:1ª Derivada Calcula la pendiente (m) de la recta
tangente a cualquier punto de la curva
La recta tangente algún punto de la curva es: )( 00 xxmyy −⋅=−
1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:Derivada
Máximos y mínimos relativos
1º- Se calcula la 1ª derivada, f´(x)
2º- Se resuelve la ecuación, f´(x)=0
3º- Se calcula la 2ª derivada, f´´(x)
4º- Calcular f´´(punto candidato)
Las soluciones de f´(x)=0 son los candidatos a ser
máximos o mínimos
f´´(pto. candidato)<0, Pto. candidato es
MÁXIMO
f´´(pto. candidato)>0, Pto candidato es
MÍNIMO5º- Calcular f(punto candidato)
1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:Máximos y mínimos
relat ivos1º- Se calcula la 1ª derivada, f´(x)
2º- Se resuelve la ecuación, f´(x)=0
3º- Se calcula la 2ª derivada, f´´(x)
4º- Calcular f´´(punto candidato)
f´´(pto. Cand.)<0, Pto. candidato es
MÁXIMO
f´´(pto. Cand.)>0, Pto candidato es
MÍNIMO
5º- Calcular f(punto candidato)
Las soluciones de f´(x)=0 son los candidatos a ser máximos o
mínimos
15)( 23 −+= xxxf
1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:Máximos y mínimos
relat ivos1º- Se calcula la 1ª derivada, f´(x)2º- Se resuelve la ecuación, f´(x)=0
3º- Se calcula la 2ª derivada, f´´(x)
4º- Calcular f´´(punto candidato)
f´´(pto. Cand.)<0, Pto. candidato es
MÁXIMO
f´´(pto. Cand.)>0, Pto candidato es
MÍNIMO
5º- Calcular f(punto candidato)
Las soluciones de f´(x)=0 son los candidatos a ser máximos o
mínimos
1
5)(
2
−+=x
xxf
1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:
1
96)(
2
−+−=
x
xxxg
MonotoníaMáximos y mínimos
Puntos no pertenecen al
dominio
Definen los
intervalos
Evaluar el signo de la 1ª
derivada
0)( <xg I 0)( >xg I
Función g(x) decrece Función g(x) crece
),3[]1,( +∞∪−−∞]3,1()1,1[ ∪−
2
2
)1(
32)(
−−−=
x
xxxg I
1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:Puntos de inf lexión
1º- Se calcula la 2ª derivada, f´´(x)
2º- Se resuelve la ecuación, f´´(x)=0
3º- Se calcula la 3ª derivada, f´´´(x)
4º- Calcular f´´´(punto candidato)
f ´´´(pto. Cand.) es dist into de cero. Pto. Candidato es punto de Inf lexión
Las soluciones de f´´(x)=0 son los candidatos a ser punto inf lexión
Punto donde se produce el cambio de concavo a convexo, o
viceversa.15)( 23 −+= xxxf
Puntos no pertenecen al
dominio
Definen los
intervalos
Evaluar el signo de la 2ª derivada
0)( <xf II 0)( >xf II
Función g(x) concava
Función g(x) convexa
Punto inflexión
Curvatura
1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:
xxxxf 43)( 23 +−=
Puntos no pertenecen al
dominio
Definen los
intervalos
Evaluar el signo de la
2ª derivada
0)( <xf II 0)( >xf II
Función g(x) concava
Función g(x) convexa
Punto inflexión
Curvatura
1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:
1
96)(
2
−+−=
x
xxxg
)1,(−∞ ),1( ∞