Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.
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Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00
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• Clasificación y tipos de ecuaciones diferenciales parciales• Existencia y unicidad y las condiciones de frontera• La ecuación de propagación del calor en una dimensión espacial• La ecuación de Laplace
Coordenadas cartesianasCoordenadas esféricasCoordenadas cilíndricas
• La ecuación de onda en una dimensión espacial• La ecuación de Poisson. Función de Green• La ecuación de onda sin fuentes• La ecuación de onda con fuentes. Función de Green• La ecuación de Schrödinger
Problemas en una dimensiónEl átomo de hidrógeno
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Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas
2
2
2 2
22
df xkf x x
dx
d xm Fdt
it m x
![Page 5: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/5.jpg)
Una ecuación diferencial es ordinaria si la función desconocida depende de sólo una variable
2
2
2 2
22
df xkf x x
dx
d xm Fdt
it m x
![Page 6: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/6.jpg)
Una ecuación diferencial es ordinaria si la función desconocida depende de sólo una variable
0
32 2
3
sin cosdf x
x xf x xdx
dvav x
dt
d y dyx xy y x ydx dx
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Una ecuación diferencial es parcial si la función desconocida depende de varias variables
2 2
2
2
2
22
2 2 2 2 2
2
2
, ,, 0
1 1 1sin 4 , ,
sin sin
ˆ
it m x
q x y q x yq x y
x y
r rr r r r r
r
r
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El orden de una ecuación diferencial es el orden de la mayor derivada que aparezca en ella
22
2
3
3
5
0
Segundo orden
Tercer orden
Primer orden
Orden 5i
i ii
d f x dfkf x x
dx dx
b at x
d za b
dz
d g p
dp
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1 2
1 2
...
1 2
Sea , ,..., una función de variables
, ,..., .
Una ecuación diferencial parcial está definida como
, , 0...
El orden de la ecuación es el orden de la de
i n
n
l m n
i i il m nN
u x u x x x n
x x x
F x u x u xx x x
rivada
mayor que aparece
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ˆUn operador es lineal si
ˆ ˆ ˆ
L
L au bv aL u bL v
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...
...0 ... 1 2
...
1 2
La ecuación diferencial parcial lineal más general,
es de la forma
0...
donde los coeficientes , , , son en general,
funciones de , ,..., .
j k l
i jk l ij k lj k l M N
jk l
n
q ru x s u xx x x
q r s
x x x
1 2Supondremos que , ,..., son reales.nx x x
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A una ecuación diferencial parcial de la forma
ˆ
ˆdonde es un operador lineal, se le llama lineal.
* Si es cero, la ecuación es homogénea
* Si es distinta de cero, la ecuación es
inhomogénea ó
Lu f
L
f
f
no homogénea
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2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
La ecuación de Poisson:
4 , ,
La ecuación de onda con fuentes:
, , ,
f x y zx y z
vx y z t
x y z c t
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2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
La ecuación de difusión:
1, , ,
La ecuación de Schrodinger:
2
u u u ux y z t
x y z k t
i Vt m x y z
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Una función es solución de una
ecuación diferencial parcial si la
ecuación se transforma en una
identidad cuando la función y sus
derivadas son sustituidas en ella.
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2 2
2 2
2 21 2
Las funciones
, y , cos
son soluciones de esta ecuación.
x
u u
x y
u x y x y u x y e y
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La solución general de una
ecuación diferencial parcial
es la colección de todas las
soluciones posibles de ella.
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2
2
2
2
1
1, es una solución particular
2
1, es la solución general
2
x
x y x
x y x xf y g y
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2
2
en una variable espacial y el tiempo
, ,T x t T x tk
t x
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2
2
La ecuación diferencial parcial de
segundo orden lineal en dos variables
, ,
es una ecuación parabólica
T x t T x tk
t x
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2 2
2 2
2
2
2
, , ,
, , , 0
Tipos de ecuaciones:
Eliptica: 4 0
Parabólica: 4 0
Hiperbólica: 4 0
u u uA x y B x y C x y
x x y y
u uD x y E x y F x y
x y
B AC
B AC
B AC
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2 2
2
2
2
0
Tipos de cónica:
Elipse: 4 0
Parábola: 4 0
Hipérbola: 4 0
Ax Bxy Cy Dx Ey F
B AC
B AC
B AC
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1 2 1 2
22 21 21 2
2 2 2
aT bTT T Ta b
t t t t
aT bTT Tak bk k
x x x
2
2
, , es lineal
T x t T x tk
t x
1 2
1 2
La combinación lineal
siendo y soluciones y, y constantes
también es solución.
T aT bT
T T a b
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2
2
Ecuación diferencial parcial:
, ,; 0 , 0
0, 0Condiciones a la frontera: ; 0
, 0
Condiciones iniciales: ,0
T x t T x tk t x L
t x
T tt
T L t
T x f x
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2
2
2
2
2
2
Derivando:
1 1Dividiendo entre :
, Separación de variables
X x t X x tk
t x
d t d X xX x k t
dt dx
d t d X xkX
k t dt X x
T x t X x t
dx
2
2
, ,T x t T x tk
t x
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2
22
La única posibilidad es
1 1
donde es una constante arbitraria,
que será determinada por el problema mismo.
d t d X x
k t dt X x dx
2
2
, ,T x t T x tk
t x
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22
2
2
22
2
1
0
0
1
d X
d t d X x
k t d
xX x
dxd t
k td
x dx
t
t X
2
2
, ,T x t T x tk
t x
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22
20
0, 0
Condiciones a la frontera: 0
, 0
d X xX x
dx
T t
t
T L t
2
2
, , ; ,
T x t T x tk T x t X x t
t x
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22
2 , 0
0 0Condiciones a la frontera:
0
d X xX x x L
dx
X
X L
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2
22
1 d X x
X x dx
22
2
2 2
1 2
1 2
Ecuación diferencial ordinaria de
segundo orden lineal homogénea:
0
Ecuación característica: 0
;
cos sini x i x
d X xX x
dx
i i
X x c e c e A x B x
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22
2
22 2
2
sin cos
cos sin
0
cos sin
dX xA x B
d X xX x
dxX x
xdx
d X xA x B x X x
d
x
x
A B x
2
2
, ,T x t T x tk
t x
![Page 32: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/32.jpg)
2
22
; cos sind X x
X x X x A x B xdx
Condiciones iniciales:
0 0 y 0
1) 0 y 0 0
de donde necesariamente 0
Por tanto, la solución es p
si
or ahora
n
X x X x L
X x A X x
X x x
A
B
![Page 33: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/33.jpg)
2
22
; sind X x
X x X x B xdx
Condiciones iniciales:
0 0 y 0
1
2) sin 0
Esto impli
,2
ca
,3,.
que
.0 .ó n
X x X x L
X x L B
nn
L
LB
![Page 34: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/34.jpg)
22
2
Condiciones iniciales:
0 0
sin 1
y
,2
,
0
,3
...n
d X xX x
dx
X x X x L
n xX x B n
L
![Page 35: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/35.jpg)
1
1
L
n
![Page 36: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/36.jpg)
1
2
L
n
![Page 37: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/37.jpg)
1
3
L
n
![Page 38: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/38.jpg)
1
10
L
n
![Page 39: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/39.jpg)
1
100
L
n
![Page 40: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/40.jpg)
22
2ˆ
Condiciones iniciales: 0 0 y 0
sin 1,2,3,...n
d X x nLX x X x
dx L
X x X x L
n xX x B n
L
ˆElementos de matriz de
ˆ,ij i j
L
L L
![Page 41: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/41.jpg)
2
ˆ ; sin ; 1,2,3,...n n n
n n xLX x X x X x B n
L L
ˆ ˆElementos de matriz de , ,ij i jL L L
2
2
1 0 0 0 ...
0 4 0 0 ...
0 0 9 0 ...
0 0 0 16 ...
... ... ... ... ...
L
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2
2 2
2
2
; , 1,2,3,...
ex
exp ; 1,2,3,.
p
..
n n
n
n kt
d t nk t n
dt L
t C
C t
k
n
t
L
2
2
, , ; ,
T x t T x tk T x t X x t
t x
![Page 43: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/43.jpg)
1
1
L
n
![Page 44: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/44.jpg)
1
1
L
n
![Page 45: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/45.jpg)
1
10
L
n
![Page 46: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/46.jpg)
2 2
1 2, exp sin
1,2,3,...
n
n k n xT x t C t
L L
n
2
2
, ,T x t T x tk
t x
Comportamiento de los modos
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2
2
2 2
1 2
Ecuación diferencial parcial:
, ,; 0 , 0
, exp sin ;
0, 0Condiciones a la fronter
1,2,3,...
Condiciones inicia
a: ;
les: ,0
0, 0
n
T x t T x tk t x L
t x
n k n xT x t C t n
T tt
L L
T x
L t
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![Page 48: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/48.jpg)
2
2
2 2
1 2
Ecuación diferencial parcial:
, ,; 0 , 0
, exp sin ;
0, 0Condiciones a la fronter
1,2,3,..
Condiciones iniciale
a: ;
s: ,0
, 0
.
0
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T x t T x tk t x L
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n k n xT x t C t n
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L
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L
![Page 49: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/49.jpg)
2
1
2
Condiciones iniciale
Ecuación diferencial pa
,0 s
rcial:
, ,; 0 , 0
in ; 1,2,3,.
s:
.
,0
.n
T x
n
T x t T
xT x C n
L
x t
f
k t xt x
x
L
![Page 50: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/50.jpg)
2
1
2
21
Condiciones iniciales:
,0 sin
, exp si
n
,0
N
n
N
n
nn
n k n xT x t b t
T x
n xT x b f x
L
f x
L L
2
2
, ,T x t T x tk
t x
?
![Page 51: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/51.jpg)
2
1
2
21
Condiciones iniciales:
,0 sin
, exp sin
,0
n
n
n
n
n k n xT x t b t
T x
L
n xT x b
f
L
L
x
x
f
2
2
, ,T x t T x tk
t x
¡Ahora sí se puede!
![Page 52: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/52.jpg)
1
,0 sinnn
n xT x b f x
L
10 0
1 00
sin sin sin
sinsin sin
L L
nn
L
nn
L
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L L L
m xb
n x mf x d
x
L Ldx
Lx
2 nm
L
![Page 53: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/53.jpg)
1
,0 sinnn
n xT x b f x
L
1 0
0
sin2
sin2
L
n nmn
L
m
L m xb f x dx
L
L m xb f x dx
L
![Page 54: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/54.jpg)
1
,0 sinnn
n xT x b f x
L
0
2sin
L
n
n xb f x dx
L L
![Page 55: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/55.jpg)
2
2 2
21
2
Condicion
Ecuación difere
es iniciales:
n
2, exp sin ; s
ci
0, 0
Condiciones a la frontera: 0
al parcial:
, ,; 0 , 0
,0
in
, 0
n nn
T x t
n
T x tk t x L
t x
k n x n xT x t b t b f x
L L L L
T t
T x f x
t
T L t
0
L
dx
![Page 56: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/56.jpg)
2 2
21
0
, exp sin
2sin
Condiciones iniciales: ,0 1
nn
L
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n k n xT x t b t
L L
n xb f x dx
L
T x f x
L
![Page 57: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/57.jpg)
2 2
21 0
Condiciones iniciales: ,0 1
2, exp sin sin
L
n nn
T x
n k n x n xT x t b t b f x dx
L L L L
0 0
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1 1
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n
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n
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n x n xb dx
L L n L
n n
nn
n
![Page 58: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/58.jpg)
2 2
21 0
Condiciones iniciales: ,0 1
2, exp sin sin
L
n nn
T x
n k n x n xT x t b t b f x dx
L L L L
2 2
20
2 1 2 14 1, exp sin
2 1n
n k n xT x t t
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Animación
![Page 59: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/59.jpg)
2 2
21
0
Condiciones iniciales: ,
, exp sin
2sin
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L
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L L
n xb f x dx
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![Page 60: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/60.jpg)
2 2
21 0
Condiciones iniciales: ,0 / 2
2, exp sin sin
L
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n k n x n xT x t b t b f x dx
L L L L
0
2 2/ 2 sin sin
2
L
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n x nb x L dx
L L L
![Page 61: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/61.jpg)
2 2
21 0
Condiciones iniciales: ,0 / 2
2, exp sin sin
L
n nn
T x x L
n k n x n xT x t b t b f x dx
L L L L
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21
2, exp sin sin
2n
n k n n xT x t t
L L L
Animación
![Page 62: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/62.jpg)
Hasta aquí llegue el miércoles 24 de febrero del 2010 después de 1 clase de 1:30 horas, de 12:30 a 14:00
![Page 63: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/63.jpg)
Segunda Clase: Miércoles 3 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00
![Page 64: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/64.jpg)
![Page 65: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/65.jpg)
• Clasificación y tipos de ecuaciones diferenciales parciales• Existencia y unicidad y las condiciones de frontera• La ecuación de propagación del calor en una dimensión espacial• La ecuación de Laplace
Coordenadas cartesianasCoordenadas esféricasCoordenadas cilíndricas
• La ecuación de onda en una dimensión espacial• La ecuación de Poisson. Función de Green• La ecuación de onda sin fuentes• La ecuación de onda con fuentes. Función de Green• La ecuación de Schrödinger
Problemas en una dimensiónEl átomo de hidrógeno
![Page 66: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/66.jpg)
Repaso de la Segunda Clase: Miércoles 3 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00
![Page 67: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/67.jpg)
2
2
en una variable espacial y el tiempo
, ,T x t T x tk
t x
![Page 68: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/68.jpg)
2
2
La ecuación diferencial parcial de
segundo orden lineal en dos variables
, ,
es una ecuación parabólica
T x t T x tk
t x
![Page 69: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/69.jpg)
2
2
Ecuación diferencial parcial:
, ,; 0 , 0
0, 0Condiciones a la frontera: ; 0
, 0
Condiciones iniciales: ,0
T x t T x tk t x L
t x
T tt
T L t
T x f x
![Page 70: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/70.jpg)
22
2
2
0
0
d X xX x
dxd t
k tdt
2
2
, ,; ,
T x t T x tk T x t X x t
t x
![Page 71: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/71.jpg)
22
20
0, 0
Condiciones a la frontera: 0
, 0
d X xX x
dx
T t
t
T L t
2
2
, , ; ,
T x t T x tk T x t X x t
t x
![Page 72: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/72.jpg)
22
2 , 0
0 0Condiciones a la frontera:
0
d X xX x x L
dx
X
X L
![Page 73: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/73.jpg)
22
20
cos sin
d X xX x
dxX x A x B x
2
2
, ,T x t T x tk
t x
![Page 74: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/74.jpg)
22
2; cos sin
Condiciones iniciales: 0 0 y 0
d X xX x X x A x B x
dxX x X x L
1) 0 y 0 0
de donde necesariamente 0
Por tanto, la solución e
sin
s por ahora
X x A X x
A
X x B x
![Page 75: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/75.jpg)
2) sin 0
Esto implica que
0 ó 1,2,3,...n
X x L B L
Bn
nL
22
2; cos sin
Condiciones iniciales: 0 0 y 0
d X xX x X x A x B x
dxX x X x L
![Page 76: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/76.jpg)
22
2
Condiciones iniciales:
0 0
sin 1
y
,2
,
0
,3
...n
d X xX x
dx
X x X x L
n xX x B n
L
![Page 77: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/77.jpg)
1
1
L
n
![Page 78: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/78.jpg)
1
2
L
n
![Page 79: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/79.jpg)
1
3
L
n
![Page 80: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/80.jpg)
1
10
L
n
![Page 81: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/81.jpg)
1
100
L
n
![Page 82: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/82.jpg)
2
2 2
2
2
; , 1,2,3,...
ex
exp ; 1,2,3,.
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..
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n
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C t
k
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L
2
2
, , ; ,
T x t T x tk T x t X x t
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![Page 83: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/83.jpg)
1
1
L
n
![Page 84: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/84.jpg)
1
2
L
n
![Page 85: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/85.jpg)
1
10
L
n
![Page 86: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/86.jpg)
2 2
1 2, exp sin
1,2,3,...
n
n k n xT x t C t
L L
n
2
2
, ,T x t T x tk
t x
Comportamiento de los modos
![Page 87: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/87.jpg)
2 2
21
, exp sinn
N
n
n k n xT x t t
L Lb
2
2
, ,T x t T x tk
t x
![Page 88: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/88.jpg)
2
2
2 2
21
0, 0Condiciones
Ecuación diferencial parcial:
, ,; 0 , 0
, e
a la frontera: ; 0, 0
,
p sin
0
xN
nn
T x t T x tk t x L
t x
n k n xT x t b t
L
T
T x f x
L
tt
T L t
Condiciones iniciales :
![Page 89: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/89.jpg)
2
1
2
Condiciones iniciale
Ecuación diferencial pa
,0 s
rcial:
, ,; 0 , 0
in ; 1,2,3,.
s:
.
,0
.n
T x
n
T x t T
xT x C n
L
x t
f
k t xt x
x
L
![Page 90: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/90.jpg)
2
1
2
21
Condiciones iniciales:
,0 sin
, exp si
n
,0
N
n
N
n
nn
n k n xT x t b t
T x
n xT x b f x
L
f x
L L
2
2
, ,T x t T x tk
t x
?
![Page 91: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/91.jpg)
2
1
2
21
Condiciones iniciales:
,0 sin
, exp sin
,0
n
n
n
n
n k n xT x t b t
T x
L
n xT x b
f
L
L
x
x
f
2
2
, ,T x t T x tk
t x
![Page 92: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/92.jpg)
1
,0 sinnn
n xT x b f x
L
1
1
10 0
1 0 0
sin
sin sin sin
sin sin sin
sin sin sin
nn
nn
L L
nn
L L
nn
n xb f x
L
n x m x m xb f x
L L L
n x m x m xb dx f x dx
L L L
n x m x m xb dx f x dx
L L L
![Page 93: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/93.jpg)
1
1 0 0
,0 sin
sin sin sin
nn
L L
nn
n xT x b f x
L
n x m x m xb dx f x dx
L L L
0
sin sin2
L
nm
n x m x Ldx
L L
![Page 94: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/94.jpg)
1
1 00
sin s
,0 sin
sinin
n
L
n
L
nn
n xT x b f x
L
m xb
n x m xd f x dx
Lx
L L
1 0
0
sin
si
2
n2
L
nn
L
m
nm
m xb f x dxL
L
L m xb f x dx
L
![Page 95: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/95.jpg)
1
,0 sinnn
n xT x b f x
L
0
2sin
L
n
n xb f x dx
L L
![Page 96: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/96.jpg)
2
2 2
21
2
Condicion
Ecuación difere
es iniciales:
n
2, exp sin ; s
ci
0, 0
Condiciones a la frontera: 0
al parcial:
, ,; 0 , 0
,0
in
, 0
n nn
T x t
n
T x tk t x L
t x
k n x n xT x t b t b f x
L L L L
T t
T x f x
t
T L t
0
L
dx
![Page 97: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/97.jpg)
2 2
21
0
, exp sin
2sin
Condiciones iniciales: ,0 1
nn
L
n
n k n xT x t b t
L L
n xb f x dx
L
T x f x
L
![Page 98: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/98.jpg)
2 2
21 0
Condiciones iniciales: ,0 1
2, exp sin sin
L
n nn
T x
n k n x n xT x t b t b f x dx
L L L L
0 0
2 2sin cos
2 2 21
0 es par
4 es i
1 1
mpar
LL
n
n n
n
nb
n x n xb dx
L L n L
n n
nn
n
![Page 99: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/99.jpg)
2 2
21 0
Condiciones iniciales: ,0 1
2, exp sin sin
L
n nn
T x
n k n x n xT x t b t b f x dx
L L L L
2 2
20
2 1 2 14 1, exp sin
2 1n
n k n xT x t t
n L L
Animación
![Page 100: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/100.jpg)
2 2
21
0
Condiciones iniciales: ,
, exp sin
2sin
02
nn
L
n
n k
LT x f x x
n xT x t b t
L L
n xb f x dx
L L
![Page 101: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/101.jpg)
2 2
21 0
Condiciones iniciales: ,0 / 2
2, exp sin sin
L
n nn
T x x L
n k n x n xT x t b t b f x dx
L L L L
0
2 2/ 2 sin sin
2
L
n
n x nb x L dx
L L L
![Page 102: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/102.jpg)
2 2
21 0
Condiciones iniciales: ,0 / 2
2, exp sin sin
L
n nn
T x x L
n k n x n xT x t b t b f x dx
L L L L
2 2
21
2, exp sin sin
2n
n k n n xT x t t
L L L
Animación
![Page 103: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/103.jpg)
Fin del Repaso de la Segunda Clase: Miércoles 3 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00
![Page 104: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/104.jpg)
2
2
2
2
, ,
, , ,, , ,
Estado estacionario:
La ecuación de Lapla
, , , 0
ce
T x t T x tk
t x
T x y z tk T x
T x y z
y
t
z tt
![Page 105: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/105.jpg)
Como en el caso de la ecuaciones
diferenciales ordinarias, en caso que exista la
solución de una ecuación diferencial parcial,
estará únicamente especificada solamente si
se especifican ciertas condiciones a la
frontera, tanto para la función solución de la
ecuación como para sus derivadas.
![Page 106: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/106.jpg)
Sin embargo, en el caso de las ecuaciones
diferenciales parciales, la especificación de
las condiciones a la frontera es un asunto
muy delicado, y debe establecerse
claramente.
En caso contrario la solución puede no
existir o si existe no ser única
![Page 107: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/107.jpg)
...
1 1 2
Escribimos la ecuación diferencial parcial
como
, ,...
con y ... .
no es necesariamente lineal.
k l m n
i ik l m nN
uK x u u x
x x x x
l k l m n k
K
![Page 108: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/108.jpg)
1 1
2 31
Condiciones a la frontera:
, ,..., ; 0,1,..., 1j
j Nj
x a
uL x x x j k
x
...
1 1 2
, ,...
con y ... .
k l m n
i ik l m nN
uK x u u x
x x x x
l k l m n k
![Page 109: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/109.jpg)
1 2
1 2
1 2 , ,..., 1 1 2 2, ,... 0
Una función , ,..., es analítica en el punto
, ,...,
si puede ser desarrollada en series de potencias
, ,..., ....
que converge para todo suficie
L
L
r s t
L r s t L Lr s t
i
F y y y
c c c
F y y y F y c y c y c
y
ntemente cercano a ic
![Page 110: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/110.jpg)
1 1
...
1 1 2
2 31
La solución de la ecuación diferencial parcial
, ,...
satisfaciendo las condiciones a la frontera
, ,..., 0,1,..., 1
en una vecindad del pun
k l m n
i ik l m nN
j
j Nj
x a
uK x u u x
x x x x
uL x x x j k
x
to existe, es única y
analítica, si la función y las funciones son
analíticas.
i
i
a
K L
![Page 111: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/111.jpg)
1 2Sea , ,..., 0 la ecuación
de una hipersuperficie.
Las condiciones de Cauchy consisten
en especificar la función desconocida
y sus derivadas parciales (hasta un orden
menor que aquel de la ecuació
N
i
S x x x
u x
n) a lo
largo de una dirección normal a la hipersuperficie.
![Page 112: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/112.jpg)
2 2
2 2
2
2
2
, , ,
, , , 0
Eliptica: 4 0
Parabólica: 4 0
Hiperbólica: 4 0
u u uA x y B x y C x y
x x y y
u uD x y E x y F x y
x y
B AC
B AC
B AC
![Page 113: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/113.jpg)
2
1 1 1
ˆ 0
1. Eliptica: Los valores propios de la matriz
son todos positivos o todos negativos
N N N
ij ii j ii j i
ij
u uLu a b cu d
x x x
a
![Page 114: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/114.jpg)
2
1 1 1
ˆ 0
2. Parabólica: Los valores propios de la matriz
son todos positivos o todos negativos, excepto uno
que es cero
N N N
ij ii j ii j i
ij
u uLu a b cu d
x x x
a
![Page 115: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/115.jpg)
2
1 1 1
ˆ 0
3. Hiperbólica: Los valores propios de la matriz
son todos positivos menos uno que es negativo,
o todos negativos menos uno que es positivo.
N N N
ij ii j ii j i
ij
u uLu a b cu d
x x x
a
![Page 116: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/116.jpg)
2
1 1 1
ˆ 0
4. Ultrahiperbólica: Los valores propios de la matriz
son tales que hay más de un valor propio positivo y
más de un valor propio negativo, y no hay val
N N N
ij ii j ii j i
ij
u uLu a b cu d
x x x
a
ores
propios iguales a cero.
Hay muy pocas ecuaciones ultrahiperbólicas.
![Page 117: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/117.jpg)
2 0
![Page 118: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/118.jpg)
2 0 es elíptica
2
1 1 1
ˆ 0
En este caso, 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0, 1,2,3 0 y 0
N N N
ij ii j ii j i
ij
i
u uLu a b cu d
x x x
N
a
b i c d
![Page 119: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/119.jpg)
Aparece en muchos problemas
de la física y de las matemáticas
aplicadas, en particular en
la electrostática.
2 0
![Page 120: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/120.jpg)
2
2 2 2
2 2 2
0
0x y z
![Page 121: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/121.jpg)
2 2 2
2 2 20
*
*
x y z
Es de segundo orden
* Es lineal
Es elíptica
![Page 122: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/122.jpg)
4 0E E
Las ecuaciones de Maxwell
para la electrostática son:
![Page 123: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/123.jpg)
2
0
4
E E
E
Sustituyendo en la ley de Gauss
4 0E E
![Page 124: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/124.jpg)
2 4
E
La ecuación
de Poisson:
más
4
0
E
E
![Page 125: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/125.jpg)
2
0,
0
r
Si estamos en una región donde
tenemos la ecuación
de Laplace:
2 4
![Page 126: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/126.jpg)
2 2 22
2 2 2
22 2
2 2 2 2 2
22
2 2
0
1 1 1sin 0
sin sin
1 1
x y z
rr r r r r
rr r r r
En coordenadas cartesianas:
En coordenadas esféricas:
En coordenadas cilíndricas:2
20
z
2 4
![Page 127: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/127.jpg)
1 q
2 q
3 q
iq
Nq
1 2
3j
M
2 0
![Page 128: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/128.jpg)
• Sobre los conductores el potencial es constante e
igual al de la superficie
• En los conductores NO SE CONOCE la
distribución de carga
• Sobre las cargas
• En todo el resto del espacio
2
0
ii
qr r r
2 0r
![Page 129: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/129.jpg)
Es decir, lo que hay que resolver es la
ecuación de Laplace
con las condiciones a la frontera
adecuadas. Por ejemplo,
sobre el conductor
2 0
ii
![Page 130: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/130.jpg)
-Linealidad: Cualquier combinación lineal de soluciones
es una solución.
-Unicidad: Si una función satisface la ecuación de Laplace
y las condiciones de frontera, entonces es única.
- Las soluciones de la ecuación de Laplace no tienen
extremos locales; es decir, no tiene ni máximos ni
mínimos más que en las fronteras.
![Page 131: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/131.jpg)
2
Fijas las condiciones a la frontera, la solución
a la ecuación de Laplace
0
Así que si tenemos las solución a un problema
podemos adecuar otros problemas a
e
esa
solució
s única.
n
.
![Page 132: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/132.jpg)
![Page 133: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/133.jpg)
2 2 2
2 2 20
x y z
, ,x y z X x Y y Z z
2 2 2
2 2 20
d X x d Y y d Z zY y Z z X x Z x X x Y y
dx dy dz
2 2 2
2 2 2
1 1 10
d X x d Y y d Z z
X x dx Y y dy Z z dz
![Page 134: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/134.jpg)
22
2
22
2
22
2
1
1
1
d X x
X x dx
d Y y
Y y dy
d Z z
Z z dz
2 2 2 0
![Page 135: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/135.jpg)
, ,
, ,
i x i x i y i y z z
i x i x i y i y z z
x y z Ae Be Ce De Ee Fe
x y z d d Ae Be Ce De Ee Fe
2 2 2
2 2 20
x y z
Las constantes , , y los coeficientes , , , , ,
se determinan dependiendo de las condiciones a la frontera
A B C D E F
![Page 136: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/136.jpg)
Caja rectangular
a
b
c
,V x y
0 0
Sobre todas las caras,
excepto la de arriba el
potencial es cero
![Page 137: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/137.jpg)
, ,
0 0
0, , 0
, ,
, , 2 sin
i x i x i y i y z z
i y i y z z
i x i x i y i y z z
x y z Ae Be Ce De Ee Fe
x
y z A B Ce De Ee Fe
B A
x y z A e e Ce De Ee Fe
x y z A i x
i y i y z zCe De Ee Fe
![Page 138: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/138.jpg)
, , 2 sin
0 0
, , 2 sin 0
, , 4 sin sin
i y i y z z
z z
z z
x y z iA x Ce De Ee Fe
y
x y z iA x C D Ee Fe
D C
x y z AC x y Ee Fe
![Page 139: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/139.jpg)
, , 4 sin sin
0 0
, ,0 4 sin sin 0
, , 4 sin sin
z z
z z
x y z AC x y Ee Fe
z
x y AC x y E F
F E
x y z ACE x y e e
![Page 140: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/140.jpg)
, , 4 sin sin
0
, , 4 sin sin 0
donde es un entero
, , 4 sin sin
z z
z z
z zn
x y z ACE x y e e
x a
x a y z ACE a y e e
a n n
n
an
x y z ACE x y e ea
![Page 141: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/141.jpg)
, , 4 sin sin
0
, , 4 sin sin 0
donde es un entero
, , 4 sin sin
z zn
n
z zn
z znm
nx y z ACE x y e e
a
y b
nx y b z ACE x b e e
a
b m m
m
bn m
x y z ACE x y e ea b
![Page 142: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/142.jpg)
2 2 2
2 2 2 22 2
2 2
, , 4 sin sin z znm
n mx y z ACE x y e e
a b
n m n m
a b a b
![Page 143: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/143.jpg)
, , sin sin z znm
n mx y z C x y e e
a b
2 2 2
2 2 20
x y z
![Page 144: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/144.jpg)
0 0, 0, 0x y z
2 2
sin
sin
sinh
X x
Y y
Z z
![Page 145: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/145.jpg)
0 , x a y b
2 2
2 2
n
m
mn
n
am
b
n m
a b
![Page 146: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/146.jpg)
, 1
, , sin sin sinh
, , sin sin sinh
nm n m nm
nm n m nmn m
x y z x y z
x y z A x y z
2 2 2
2 2 20
x y z
![Page 147: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/147.jpg)
, 1
sin sin sinh ,nm n m nmn m
A x y c V x y
,z c V x y
0 0
4, sin sin
sinh
a b
nm n mnm
A dx dyV x y x yab c
![Page 148: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/148.jpg)
, 1
, 1
, 10 0
0 0
sin sin sinh ,
sin sin sin sin sinh
, sin sin
sin sin sin sin sinh
, sin sin
nm n m nmn m
nm n k m l nmn m
k l
a b
nm n k m l nmn m
a b
k l
A x y c V x y
A x x y y c
V x y x y
dx dy A x x y y c
dx dyV x y x y
![Page 149: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/149.jpg)
, 1 0 0
0 0
, 1 0 0
0 0
sin sin sin sin sinh
, sin sin
2 2 sinh , sin sin
4, sin sin
sinh
a b
nm n k m l nmn m
a b
k l
a b
nm nk ml nm k ln m
a b
nm n mnm
A dx x x dy y y c
dx dyV x y x y
A a b c dx dyV x y x y
A dx dyV x y x yab c
, 10 0 0 0
sin sin sin sin sinh , sin sina b a b
nm n k m l nm k ln m
dx dy A x x y y c dx dyV x y x y
![Page 150: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/150.jpg)
0 0
4, sin sin
sinh
a b
nm n mnm
A dx dyV x y x yab c
, 1
, , sin sin sinhnm n m nmn m
x y z A x y z
2 2
2 2 n m nm
n m n m
a b a b
![Page 151: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/151.jpg)
0
0
0 0
0
0 0
Para fijar ideas, pongamos un caso concreto,
,
Tenemos entonces
4sin sin
sinh
4sin sin
sinh
a b
nm n mnm
a b
n mnm
V x y V
VA dx dy x y
ab c
Vdx x dy y
ab c
![Page 152: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/152.jpg)
0 0
1 1 1sin cos cos
0 es par1
1 1 2 es impar
aa
n nn n n
n
nn
ndx x x a
a
n
n
0
0 0
4sin sin
sinh
a b
nm n mnm
VA dx x dy y
ab c
![Page 153: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/153.jpg)
0 0
1 1 1sin cos cos
0 es par1
1 1 2 es impar
bb
n n nn n n
n
nn
dy y y b
n
n
0
0 0
4sin sin
sinh
a b
nm n mnm
VA dx x dy y
ab c
![Page 154: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/154.jpg)
0,
0, 2
02
16 1
sinh
si , son ambos impares y cero en cualquier otro caso.
16
sinh
16 1
sinh
si , son ambos impares y cero en cualquier otro caso.
n mnm n m
n mnm
nm
VA
ab c
n m
V abA
ab c nm
V
c nm
n m
![Page 155: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/155.jpg)
02
2 1,2 1
2 1,2 1
, 1
2 2
2 1,2 1 2 2
16, ,
sinh
sin 2 1 / sin 2 1 / sinh
2 1 2 1
2 1 2 1
n m
n m
n m
n m
Vx y z
c
n x a m y b z
n m
n m
a b
![Page 156: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/156.jpg)
Hasta aquí llegue el miércoles 3 de marzo del 2010 después de 2 clases de 1:30 horas, de 12:30 a 14:00
![Page 157: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/157.jpg)
Tercera Clase: Miércoles 10 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00
![Page 158: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/158.jpg)
![Page 159: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/159.jpg)
• Clasificación y tipos de ecuaciones diferenciales parciales• Existencia y unicidad y las condiciones de frontera• La ecuación de propagación del calor en una dimensión espacial• La ecuación de Laplace
Coordenadas cartesianasCoordenadas esféricasCoordenadas cilíndricas
• La ecuación de onda en una dimensión espacial• La ecuación de Poisson. Función de Green• La ecuación de onda sin fuentes• La ecuación de onda con fuentes. Función de Green• La ecuación de Schrödinger
Problemas en una dimensiónEl átomo de hidrógeno
![Page 160: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/160.jpg)
![Page 161: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/161.jpg)
22
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sinr
r r r r r
La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas
es:
![Page 162: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/162.jpg)
, , ,r R r Y
Se propone la solución com
SEPARACIóN DE VAR
o
IABLES
22 2
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sinr
r r r r r
La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas es
![Page 163: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/163.jpg)
22 2
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sin
, , ,
rr r r r r
r R r Y
La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas es
22
2 2 2 2 2sin 0
sin sin
Y d dR R Y R Yr
r dr dr r r
![Page 164: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/164.jpg)
22
2 2 2 2 2sin 0
sin sin
Y d dR R Y R Yr
r dr dr r r
22
2 2
1 1sin
sin si
1
n0
Yd d YRr
R dr dr Y Y
![Page 165: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/165.jpg)
22
2 2
1 1 1sin 0
sin sin
d dR Y Yr
R dr dr Y Y
2
2
2 2
11
1 1sin 1
sin sin
d dRr l l
R dr dr
Y Yl l
Y Y
y
![Page 166: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/166.jpg)
2
2 2
2
2 2
1 1sin 1
sin sin
1 1sin 1
sin sin
ˆ 1
Y Yl l
Y Y
Y l l Y
LY l l Y
![Page 167: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/167.jpg)
2
2 2
ˆ 1
1 1sin 1
sin sin
,
LY l l Y
Y l l Y
Y
Otra vez separación de variables:
![Page 168: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/168.jpg)
2
2 2
1 1 1 1sin 1
sin sin
d d dl l
d d d
2
2 2
1 1 1 1sin 1 0
sin sin
d d dl l
d d d
2
22
sin 1sin 1 sin 0
d d dl l
d d d
![Page 169: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/169.jpg)
2
22sin
sin 1 sin1
0d d
l ld d
d
d
2 2
22
2
sinsin 1 sin
1
d dl l m
d d
dm
d
y
![Page 170: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/170.jpg)
22
2
im im
dm
d
Ae Be
¿Cuáles deben ser las condiciones
de frontera?
![Page 171: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/171.jpg)
2
22
im imdm Ae Be
d
2 2
2 1,2,3,...
2
im im
im i nm im i nm
n n
Ae Be
n Ae e Be e
m
i debe sermplica que un e ntero
![Page 172: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/172.jpg)
2
2
1 1sin 1 0
sin sin
d d ml l
d d
2 2sinsin 1 sin
d dl l m
d d
![Page 173: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/173.jpg)
1
cos
1
x
x
Esta ecuación puede ser llevada a una forma
conocida mediante el cambio de variable
Por tanto, debemos de buscar la validez de
la solución para
2
2
1 1sin 1 0
sin sin
d d ml l
d d
![Page 174: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/174.jpg)
2 2 2
2
sin
sin sin 1 cos 1
sin sin
cos
sin 1
d d dx d
d dx d dx
d d d dx
d dx dx dx
d d d d
x
dx d dx
d d dx d d dx dx
Haciendo el cambio de variable tenemos
2
2
1 1sin 1 0
sin sin
d d ml l
d d
![Page 175: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/175.jpg)
2
2
2 22
2 2
sin sin 1
1 1sin 1
sin
1 1sin 1
sin sin 1
d d d dx
d d dx dx
d d d dx
d d dx dx
d d m d d mx
d d dx dx x
2
2
1 1sin 1 0
sin sin
d d ml l
d d
![Page 176: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/176.jpg)
22
2
22
2
11 1
1
1 1 01
d d mx l l
dx dx x
d d mx l l
dx dx x
La ecuación queda ahora
ó bien
![Page 177: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/177.jpg)
2
22
1 1 01
d dP mx l l P
dx dx x
La ecuación es la generalizada de Legendre
y sus soluciones se llaman funciones asociadas
de Legendre.
Estas son "funciones especiales" que han sido
extensamente estudiadas y que sus propiedades
pueden ser consultadas.
![Page 178: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/178.jpg)
22
21 1 0
1
-1,1 .
d dP mx l l P
dx dx
l m l m l
x
La ecuación generalizada de Legendre
tiene soluciones que no son singulares en
sólo si
La solución se obtiene p
y son enteros co
or el método d
n
e series.
![Page 179: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/179.jpg)
22
2
/ 22 2
1 1 01
11 1
2 !
m l mm lm
l l l m
d dP mx l l P
dx dx x
dP x x x
l dx
La ecuación es la generalizada de Legendre
Sus soluciones se llaman funciones asociadas
de Legendre y están dadas por la expresión
![Page 180: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/180.jpg)
cosm iml
l m
l m l
P e
La solución de la parte angular queda
donde y son enteros
y
se cumple que
![Page 181: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/181.jpg)
2
0 0
2
0 0
cos , cos
sin cos cos
sin cos cos
n in m imk l
n in m imk l
i n mn mk l
P e P e
d d P e P e
d P P d e
Ortogonalidad de las funciones angulares
![Page 182: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/182.jpg)
22
2
0 0
2
0
1 11 0
2
0
i n m i n m i n m
i n m
n m
e d e ei n m i n m
n me d
n m
Si
así que
2
0 0
cos , cos sin cos cos i n mn in m im n mk l k lP e P e d P P d e
![Page 183: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/183.jpg)
0
1 1
1 1
sin cos cos
cos sin
0 cos 0 1
cos 1
n nk l
n n n nk l k l
d P P
x dx d
x
x
dxP x P x dxP x P x
y
2
0 0
cos , cos sin cos cos i n mn in m im n mk l k lP e P e d P P d e
![Page 184: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/184.jpg)
1
1
2 !
2 1 !n nk l kl
l ndx P x P x
l l n
Las funciones generalizadas de
Legendre cumplen:
![Page 185: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/185.jpg)
2
0 0
2
0 0
cos , cos
sin cos cos
sin cos cos
!4
2 1 !
n in m imk l
n in m imk l
i n mn mk l
nm kl
P e P e
d d P e P e
d P P d e
l m
l l m
![Page 186: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/186.jpg)
2 1 !
, cos4 !
m m iml l
l l mY P e
l m
l m
l m l
La solución a la parte ángular queda
donde y son enteros
y
se cumple que
![Page 187: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/187.jpg)
2 1 !
, cos4 !
m m iml l
l l mY P e
l m
l m
l m l
Las funciones
donde y so
son
n enteros
los armó
y
se cump
nicos es
le que
fér
icos
![Page 188: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/188.jpg)
2
2 2
1 1ˆ sinsin sin
ˆ 1
2 1 !, cos
4 !m m iml l
LY
LY l l Y
l l mY P e
l m
l m
l m l
donde y son enteros y se cumple que
![Page 189: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/189.jpg)
22
2 2
1 1 1sin 0
sin sin
d dR Y Yr
R dr dr Y Y
2
2
2 2
11
1 1sin 1
sin sin
d dRr l l
R dr dr
Y Yl l
Y Y
y
![Page 190: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/190.jpg)
2
2
22
2
1
1 0
2 1 0
d dRr l l R
dr dr
d dRr l l R
dr dr
d R dRr r l l Rdr dr
![Page 191: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/191.jpg)
22
2
0
2 1 0
nn
n
d R dRr r l l Rdr dr
R r a r
Se propone una serie como solución:
![Page 192: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/192.jpg)
2
22
0
2 1 0 nn
n
d R dRr r l l R R r a rdr dr
;
1
0
2 30 1 2 3
0
2 31 2 3 4
0
...
2 3 4 ....
nn
n
n nn n
n n
d da r a a r a r a r
dr
dR da r n
dr
a a r a r a r
a rdr dr
![Page 193: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/193.jpg)
2 30 1 2 3
0
2 31 2 3 4
2 3 41 2 3
1
0 0 0
4
...
2 3 4 ....
2 3 4 ....
n n nn n
n
nn n
n
n
n
d dr a r r a a r a r a rdr dr
r a a r a r a r
dR dr r a r r na r na rd
a r a r
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a r
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r a
2
22
0
2 1 0 nn
n
d R dRr r l l R R r a rdr dr
;
![Page 194: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/194.jpg)
2 31 2 3 4
22 3
21
20 0
4
2
2 3 4 ....
2 6 1
1
2 ...
n nn n
n n
da a r a r a r
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d R dna r n n a r
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r
r
a a a r
2
22
0
2 1 0 nn
n
d R dRr r l l R R r a rdr dr
;
![Page 195: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/195.jpg)
2 2 31 2 3 4
2 22 3 4
2 3 42 3
22
4
2 22
0 0
2 3 4 ....
2 6 12 ...
2 6 12 .
1
.
1
.
n nn n
n n
dr a a r a r a rdr
r a a
d Rr r n n a r n
r a r
a
n a r
r a r
dr
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2
22
0
2 1 0 nn
n
d R dRr r l l R R r a rdr dr
;
![Page 196: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/196.jpg)
0 0 0
0
1 2 1 0
1 2 1 0
n n nn n n
n n n
nn
n
n n a r na r l l a r
n n n l l a r
2
22
0
2 1 0 nn
n
d R dRr r l l R R r a rdr dr
;
![Page 197: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/197.jpg)
0
1 2
1 1
1
0
0
2
nn
n
n n n l l
n n n l l
a r
r
como las potencias de son
linealmente independientes, necesariamente
2
22
0
2 1 0 nn
n
d R dRr r l l R R r a rdr dr
;
![Page 198: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/198.jpg)
2
2
1 2
1 0
1 1 4 1 1 2 11 4 4 1
2 2 2
1
n n l l
l l ll
l
l
n l n
n
implica que
y
2
22
0
2 1 0 nn
n
d R dRr r l l R R r a rdr dr
;
![Page 199: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/199.jpg)
22
2
1
2 1 0
ll l
d R dRr r l l Rdr dr
BR r Ar
r
![Page 200: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/200.jpg)
22
2 2 2 2 2
10
1 1 1sin 0
sin sin
, , ,l
l lmlm lml
l m l
rr r r r r
Br A r Y
r
La solución general de la ecuación de Laplace en
coordenadas esféricas
es
![Page 201: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/201.jpg)
22
2 2 2 2 2
10
1 1 1sin 0
sin sin
, , ,l
l lmlm lml
l m l
rr r r r r
Br A r Y
r
0, ,
R
r R V
Para determinar una solución particular,
necesitamos condiciones a la frontera.
Por ejemplo, que el potencial sea
constante sobre una esfera de radio ,
es decir, que
![Page 202: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/202.jpg)
22
2 2 2 2 2
10
1 1 1sin 0
sin sin
, , ,l
l lmlm lml
l m l
rr r r r r
Br A r Y
r
0
.
, ,r R V
R
r
es decir, el potencial es constante sobre
una esfera de radio
Debemos añadir el que la solución sea
finita tanto en el infinito
Condic
ión de fron
como
en el o
tera
rigen
![Page 203: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/203.jpg)
22
2 2 2 2 2
10
1 1 1sin 0
sin sin
, , ,l
l lmlm lml
l m l
rr r r r r
Br A r Y
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10
.
0
0
.
,
, , ,
lm
llm
lmll m l
r R
r
A
l m
r R
Br Y
r
Analicemos la solución para
Si queremos que cuando
debemos tener para todos
y
Así que para
![Page 204: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/204.jpg)
22
2 2 2 2 2
10
1 1 1sin 0
sin sin
, , ,l
l lmlm lml
l m l
rr r r r r
Br A r Y
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0
.
0
0
.
,
, , ,
lm
ll
lm lml m l
r R
r
B
l m
r R
r A r Y
Analicemos la solución para
Si queremos que sea finito cuando
debemos tener para todos
y
Así que para
![Page 205: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/205.jpg)
22
2 2 2 2 2
10
1 1 1sin 0
sin sin
, , ,l
l lmlm lml
l m l
rr r r r r
Br A r Y
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10
0
010
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, , ,
, , ,
, , ,
, , ,
llm
lmll m l
ll
lm lml m l
llm
lmll m l
ll
lm lml m l
Br Y
r
r A r Y
Br R Y V
R
r R A R Y V
![Page 206: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/206.jpg)
010
00
000
00 0
0 0001
0
00
, , ,
, , ,
, , , ,
, , ,
llm
lmll m l
ll
lm lml m l
llm
lmll m l
ll
lm lml m l
Br R Y V
R
r R A R Y V
BV
RA V
B V R V Rr Y Y
r r r
r A r Y V
Por tanto,
y
![Page 207: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/207.jpg)
22
2 2 2 2 2
10
0
1 1 1sin 0
sin sin
, , ,
,
ll lm
lm lmll m l
rr r r r r
Br A r Y
r
r R V
Solución general:
Con la condición de frontera
más las condiciones necesarias debido al
0
0
,
, ,V R
r Rr r
V r R
significado
de tenemos
![Page 208: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/208.jpg)
0
0
20 0 0
22 2 2 2 2
2 20 02 2 2
, ,
1 1 1sin
sin sin
11
V Rr R
r rV r R
V R V R V R
r r rr
r r r r r
V R V Rrr r
r r r r r r
¿De verdad es una solución?
02
1 0V R
r r
22
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sinr
r r r r r
![Page 209: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/209.jpg)
0
0
20 0 02
2 2 2 2 2
, ,
1 1 1sin 0
sin sin
V Rr R
r rV r R
V V Vr
r r r r r
¿De verdad es una solución?
22
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sinr
r r r r r
![Page 210: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/210.jpg)
0
0
00
00
, ,
, ,
V Rr R
r rV r R
V RV r Rr R
r R RV r R
V r R
¿De verdad cumple
la condición de frontera?
22
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sinr
r r r r r
![Page 211: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/211.jpg)
0
0
, ,V R
r Rr r
V r R
es una solución y cumple
con las condiciones de frontera.
Dado que la solución es única, esta es la solución
22
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sinr
r r r r r
![Page 212: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/212.jpg)
![Page 213: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/213.jpg)
2 22
2 2 2
1 10
z
La ecuación de Laplace en
coordenadas cilíndricas es:
![Page 214: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/214.jpg)
2 22
2 2 2
1 10
, ,
z
z R Z z
La
Proponemos la solución d
ecuación de Laplace en coor
e variables separadas
denadas
cilíndricas es
![Page 215: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/215.jpg)
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
0
1 1 10
Z d dR RZ d d ZR
d d d dz
d dR d d Z
R d d d Z dz
Sólo de y zSólo de
![Page 216: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/216.jpg)
2 2
22
2
22
2
2 2 2
2
1 1
1
1 1
10
d dR d d Z
d Zk
Z dz
d dR dk
R d d d
R d d d Z dz
Tenemos
y
![Page 217: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/217.jpg)
22
2
22
2
1
kz kz
d Zk
Z dz
d Zk Z
dz
Z z Ae Be
![Page 218: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/218.jpg)
2 2
22 2 2 2
2
2
22
2
2
2
01
1
1
1
d
d d dRk
d R
dR
d dR dk
R d d d
d d
kR
d
dd d
y
![Page 219: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/219.jpg)
22
2
22
2
1
exp exp
2
d
d
d
d
A i B i
es un entero
![Page 220: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/220.jpg)
2 2 2
2 22 2 2
2
2 22
2 2
10
d dRk
R d d
d R dRk
R d R d
d R dRk R
d d
![Page 221: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/221.jpg)
2 22
2 2
2 2
2 2
10
1
11 0
d R dRk R
d d
kx k
x
d R dRR
dx x dx x
![Page 222: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/222.jpg)
2 2
2 2
11 0
d R dRR
dx x dx x
es la ecuación de Bessel
y sus soluciones se llaman
funciones de Bessel
![Page 223: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/223.jpg)
2
2 2 22
0d R dR
x x x Rdx dx
es la ecuación de Bessel
y sus soluciones se llaman
funciones de Bessel
![Page 224: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/224.jpg)
2
2 2 22
0d y dy
x x x ydx dx
![Page 225: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/225.jpg)
2
2 2 22
0d y dy
x x x ydx dx
0
Dado que 0 es un punto singular regular
de la ecuación de Bessel, sabemos que
existe al menos una solución de la forma
n rn
n
x
y c x
![Page 226: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/226.jpg)
0
0 0
2 2
0 0
1
0
n rn
n
n r n rn n
n n
n r n rn n
n n
y c x
c n r n r x c n r x
c x c x
Proponemos la solución
Sustituyendo en la ecuación de Bessel,
2
2 2 22
0d y dy
x x x ydx dx
![Page 227: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/227.jpg)
2 2
0 0 0 0
1 0n r n r n r n rn n n n
n n n n
c n r n r x c n r x c x c x
20 0 0
2
1
2
0
1
1
0
r r r
r nn
n
r nn
n
c r r x c rx c x
x c n r n r n r x
x c x
![Page 228: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/228.jpg)
20 0 0
2 2
1 0
1
1 0
r r r
r n r nn n
n n
c r r x c rx c x
x c n r n r n r x x c x
2 20
2
1
2
0
1
0
r
r nn
n
r nn
n
c r r r x
x c n r n r n r x
x c x
![Page 229: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/229.jpg)
22 2 20
1
2
0
0
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n
r nn
n
c r x x c n r x
x c x
2 20
2 2
1 0
1 0
r
r n r nn n
n n
c r r r x
x c n r n r n r x x c x
![Page 230: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/230.jpg)
2 2
1 2
0r
r r
Ecuación indicial:
Por tanto, tenemos
y
22 2 2 20
1 0
r r n r nn n
n n
c r x x c n r x x c x
![Page 231: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/231.jpg)
2 2 2
1 0
2
1 0
21
2 0
0
2 0
1 2 2 0
n nn n
n n
n nn n
n n
n nn n
n n
x c n x x c x
x c n n x x c x
x c x c n n x c x
22 2 2 20
1 0
r r n r nn n
n n
c r x x c n r x x c x
r
![Page 232: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/232.jpg)
2 21 2
0 0
21 2
0
1 2 2 2 2 0
1 2 2 2 2 0
k kk k
k k
kk k
k
x c x c k k x c x
x c x c k k c x
21
2 0
1 2 2 0n nn n
n n
x c x c n n x c x
![Page 233: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/233.jpg)
1
2
2
1 2 0
2 2 2 0
2 2 2
k k
kk
c
c k k c
cc
k k
21 2
0
1 2 2 2 2 0kk k
k
x c x c k k c x
![Page 234: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/234.jpg)
1
3 5 7
2 1
0
... 0
0 0,1,2,...n
c
c c c
c n
Si se pone
entonces
Es decir,
para
21 2
0
1 2
1 2 2 2 2
1 2 02 2 2
kk k
k
kk
x c x c k k c x
cc c
k k
![Page 235: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/235.jpg)
2 22 2
02 2
2 04 2 4
4 06 2 6
02 2
2 2 , 1,2,3
2
2 1 1
2 2 2 2 1 2 1 2
2 3 3 2 1 2 3 1 2 3
...
1
2 ! 1 2 ...
nn
n
n n
k n n
cc
n n
cc
c cc
c cc
cc
n n
Haciendo
Por tanto,
21 2
0
1 2
1 2 2 2 2
1 2 02 2 2
kk k
k
kk
x c x c k k c x
cc c
k k
![Page 236: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/236.jpg)
21 2
0
02 1 2 2
1 2 2 2 2
10
2 ! 1 2 ...
kk k
k
n
n n n
x c x c k k c x
cc c
n n
;
0
1
2 1c
![Page 237: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/237.jpg)
2 2 2
1 1
2 ! 1 2 ... 1 2 ! 1
0,1,2,3,...
n n
n n nc
n n n n
n
21 2
0
02 1 2 02
1 2 2 2 2 0
1 10 ;
2 ! 1 2 ... 2 1
kk k
k
n
n n n
x c x c k k c x
cc c c
n n
;
![Page 238: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/238.jpg)
21 2
0
2 2
1 2 2 2 2 0
10,1,2,3,...
2 ! 1
kk k
k
n
n n
x c x c k k c x
c nn n
;
2
0
1
! 1 2
n n
n
xJ x
n n
![Page 239: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/239.jpg)
0
[0, ).
Si , la serie converge
al menos en el intervalo
2
0
1
! 1 2
n n
n
xJ x
n n
![Page 240: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/240.jpg)
2
2
0
1
! 1 2
n n
n
r
xJ x
n n
Para , se obtiene de la
misma manera
![Page 241: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/241.jpg)
2
0
2
0
1
! 1 2
1
! 1 2
n n
n
n n
n
xJ x
n n
xJ x
n n
Las funciones
son las funciones de Bessel
de primera clase de orden
y orden , respectivamente.
![Page 242: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/242.jpg)
0J x
![Page 243: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/243.jpg)
1J x
![Page 244: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/244.jpg)
1J x
![Page 245: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/245.jpg)
2J x
![Page 246: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/246.jpg)
2J x
![Page 247: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/247.jpg)
10J x
![Page 248: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/248.jpg)
0.3J x
![Page 249: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/249.jpg)
0.2J x
![Page 250: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/250.jpg)
2 2
2 2
11 0
d R dRR
dx x dx x
R x A J x B N x
La solución, que se encuentra por el
método de series de potencias, es
donde .....
![Page 251: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/251.jpg)
2
1
1
0
1
! 1 2
cos
sin
1 !
m m
m
z t
xJ x
m m
J x J xN x
z t e dt n n
Funciones de Bessel de primera clase:
Funciones de Bessel de segunda clase o de Neumann:
donde
(Para enteros: )
R x A J x B N x
![Page 252: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/252.jpg)
2 22
2 2 2
, ,
1 10
kz ir z A J kr B N kr e e dk
z
tiene como solución gener
La ecuación de Laplace en coordenadas
cilín
l
a
a
dric s
![Page 253: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/253.jpg)
Hasta aquí llegue el miércoles 10 de marzo del 2010 después de 3 clases de 1:30 horas, de 12:30 a 14:00
![Page 254: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/254.jpg)
Cuarta Clase: Miércoles 17 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00
![Page 255: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/255.jpg)
![Page 256: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/256.jpg)
• Clasificación y tipos de ecuaciones diferenciales parciales• Existencia y unicidad y las condiciones de frontera• La ecuación de propagación del calor en una dimensión espacial• La ecuación de Laplace
Coordenadas cartesianasCoordenadas esféricasCoordenadas cilíndricas
• La ecuación de onda en una dimensión espacial• La ecuación de Poisson. Función de Green• La ecuación de onda sin fuentes• La ecuación de onda con fuentes. Función de Green• La ecuación de Schrödinger
Problemas en una dimensiónEl átomo de hidrógeno
![Page 257: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/257.jpg)
Repaso de la Cuarta Clase: Miércoles 17 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00
![Page 258: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/258.jpg)
![Page 259: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/259.jpg)
2 22
2 2 2
1 10
z
La ecuación de Laplace en
coordenadas cilíndricas es:
![Page 260: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/260.jpg)
, , z R Z z
Proponemos la solución
de variables separadas
2 22
2 2 2
1 10
z
![Page 261: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/261.jpg)
22
2
22
2
2 2 2
1
1
d Zk
Z dz
d
d
d dRk
R d d
2 22
2 2 2
1 10
z
![Page 262: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/262.jpg)
22
2
22
2
1
1exp exp
kz kzd Zk Z z Ae Be
Z dz
dC i D i
d
con un entero
2 22
2 2 2
1 10
z
![Page 263: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/263.jpg)
2 2 2d dRk
R d d
2 2
2 2
11 0
x k
d R dRR
dx x dx x
Haciendo
se obtiene
![Page 264: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/264.jpg)
2
2 2 22
0d R dR
x x x Rdx dx
es la ecuación de Bessel
y sus soluciones se llaman
funciones de Bessel
![Page 265: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/265.jpg)
2
2 2 22
0d y dy
x x x ydx dx
![Page 266: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/266.jpg)
2
2 2 22
0d y dy
x x x ydx dx
0
Dado que 0 es un punto singular regular
de la ecuación de Bessel, sabemos que
existe al menos una solución de la forma
n rn
n
x
y c x
![Page 267: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/267.jpg)
2
0
1
! 1 2
n n
n
xJ x
n n
2
2 2 22
0d y dy
x x x ydx dx
![Page 268: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/268.jpg)
2
2
0
1
! 1 2
n n
n
r
xJ x
n n
Para , se obtiene de la
misma manera
2
2 2 22
0d y dy
x x x ydx dx
![Page 269: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/269.jpg)
2
0
2
0
1
! 1 2
1
! 1 2
n n
n
n n
n
xJ x
n n
xJ x
n n
Las funciones
son las funciones de Bessel
de primera clase de orden
y orden , respectivamente.
![Page 270: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/270.jpg)
Fin del Repaso de la Cuarta Clase: Miércoles 17 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00
![Page 271: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/271.jpg)
2
0
2
0
1
! 1 2
1
! 1 2
n n
n
n n
n
xJ x
n n
xJ x
n n
Las funciones
son las funciones de Bessel
de primera clase de orden
y orden , respectivamente.
![Page 272: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/272.jpg)
1m
m mJ x J x
m
La función es "infinito" en 0
y en los enteros negativos,
por tanto,
para entero.
2 2
0 0
1 1
! 1 2 ! 1 2
n nn n
n n
x xJ x J x
n n n n
;
![Page 273: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/273.jpg)
0J x
![Page 274: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/274.jpg)
1J x
![Page 275: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/275.jpg)
1J x
![Page 276: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/276.jpg)
2J x
![Page 277: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/277.jpg)
2J x
![Page 278: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/278.jpg)
10J x
![Page 279: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/279.jpg)
vJ x J x
Por lo tanto, para entero
y no son
linealmente independientes,
y tenemos que buscar otra
solución.
2 2
0 0
1 1
! 1 2 ! 1 2
n nn n
n n
x xJ x J x
n n n n
;
![Page 280: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/280.jpg)
1y y udx
Un método es el que ya utilizamos,
para disminuir el orden de la
ecuación en uno, mediante la
sustitución
2 2
0 0
1 1
! 1 2 ! 1 2
n nn n
n n
x xJ x J x
n n n n
;
![Page 281: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/281.jpg)
ln x
Otro método consiste en buscar
directamente la solución en forma
de la suma de una serie
generalizada de potencias y del
producto de dicha serie por .
2 2
0 0
1 1
! 1 2 ! 1 2
n nn n
n n
x xJ x J x
n n n n
;
![Page 282: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/282.jpg)
cos
sin
J x J xY x
Otro método consiste en definir,
para no entero,
y luego pasar al límite cuando
tiende a un número entero.
2 2
0 0
1 1
! 1 2 ! 1 2
n nn n
n n
x xJ x J x
n n n n
;
![Page 283: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/283.jpg)
ˆ
lim limx c x c
f x f x
g x g x
Hay que usar la regla de
L´Hopital
coslim
sinnn
J x J xY x
n
con un entero
![Page 284: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/284.jpg)
1 2
1 2
y x c J x c J x
y x c J x c Y x
La solución general de la ecuación de
Bessel cuando no es un entero es
y cuando es un entero es
2
2 2 22
0d y dy
x x x ydx dx
![Page 285: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/285.jpg)
0.3J x
![Page 286: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/286.jpg)
0.2J x
![Page 287: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/287.jpg)
2
1
1
0
1
! 1 2
cos
sin
1 !
m m
m
z t
xJ x
m m
J x J xY x
z t e dt n n
Funciones de Bessel de primera clase:
Funciones de Bessel de segunda clase o de Neumann:
donde
(Para enteros: )
R x A J x B Y x
![Page 288: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/288.jpg)
2 22
2 2 2
, ,
1 10
kz ir z A J kr B Y kr e e dk
z
tiene como solución gener
La ecuación de Laplace en coordenadas
cilín
l
a
a
dric s
![Page 289: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/289.jpg)
![Page 290: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/290.jpg)
2 22
2 2
, ,
0 , 0
u x t u x tc
t x
x L t
![Page 291: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/291.jpg)
2
2
2 22
2 2
, ,
, ,
T x t T x tk
t x
u x t u x tc
t x
![Page 292: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/292.jpg)
2 22
2 2
, ,
* Es de segundo orden
* Es lineal
* Es hiperbólica
u x t u x tc
t x
![Page 293: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/293.jpg)
2 2
2 2
2
2
2
, , ,
, , , 0
Eliptica: 4 0
Parabólica: 4 0
Hiperbólica: 4 0
u u uA x y B x y C x y
x x y y
u uD x y E x y F x y
x y
B AC
B AC
B AC
![Page 294: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/294.jpg)
2 22
0
2 2
0, 0Condiciones en la frontera: ; 0
, 0
Ecuación diferencial parcial:
,0
Condiciones iniciales: ; 0,
, ,; 0 , 0
t
u tt
u
u x f x
x Lu x tg x
u x t u x tc x L t
L t
t
t x
![Page 295: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/295.jpg)
2 22
2 2
Ecuación diferencial parcial:
, ,;
0 , 0
Separación de variables:
,
u x t u x t
u x t X
c
x t
t xx L t
![Page 296: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/296.jpg)
2
2 2
2 22
2 2
2 22
2
2
2
211 d
c dt
X x t X x tc
t x
d d XX cd
d X
X dx
t dx
2 2
22 2
, ,; 0 , 0 ; ,
u x t u x tc x L t u x t X x t
t x
![Page 297: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/297.jpg)
2 22
2 2 2
1 1d d X
c dt X dx
2 2
22 2
, ,; 0 , 0 ; ,
u x t u x tc x L t u x t X x t
t x
![Page 298: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/298.jpg)
22
2
Problema de valores propios:
, 0
0 0 , 0
d XX x L
dx
X X L
2 2
22 2
, ,; 0 , 0 ; ,
u x t u x tc x L t u x t X x t
t x
![Page 299: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/299.jpg)
22
2, 0
0 0 , 0
sin /
/ , 1,2,3,....n
n
d XX x L
dxX X L
X x n x L
n L n
2 2
22 2
, ,; 0 , 0 ; ,
u x t u x tc x L t u x t X x t
t x
![Page 300: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/300.jpg)
22 2
2
Problema de valores propios:
, 0d
c tdt
2 22
2 2
, ,Ecuación diferencial parcial: ; 0 , 0
Separación de variables: ,
u x t u x tc x L t
t xu x t X x t
![Page 301: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/301.jpg)
22 2
2, 0
sin /cos /
/
1,2,3,....
n n n
dc t
dtn ct L
t A n ct L Bn c L
n
2 22
2 2
, ,Ecuación diferencial parcial: ; 0 , 0
Separación de variables: ,
u x t u x tc x L t
t xu x t X x t
![Page 302: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/302.jpg)
2 22
2
0
2
0, 0Condiciones en la frontera: ; 0
, 0
,0
Condiciones iniciales:
, ,Ecuación
sin /, cos
diferencial parcial:
//
; 0
; 0 0
,
,
t
n n
u x
u tt
u x f x
x Lu x tg x
t
t u x tc x L t
t
n
u
ct Lu x t A n ct L
L t
x
Bn c L
1
sin /n
n x L
![Page 303: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/303.jpg)
0
1
,0
Condiciones iniciales: ; 0,
,0 sin /
t
nn
u x f x
x Lu x tg x
t
u x A n x L f x
1
sin /, cos / sin /
/n nn
n ct Lu x t A n ct L B n x L
n c L
![Page 304: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/304.jpg)
1
0
0
,0
Condiciones iniciales: ;
,0 sin /
2i /
,
s n
0
n
n
L
m
t
u x
u x f x
x Lu
A n x
x tg
L f x
A f x m x L dxL
xt
1
sin /, cos / sin /
/n nn
n ct Lu x t A n ct L B n x L
n c L
![Page 305: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/305.jpg)
0
1
0
1
1
sin /, cos / s
,0
Condiciones ini
in
ciales: ; 0,
//
,
,sin / cos / sin /
sin /
n nn
n
t
t
nn
n
n
n ct Lu x t A n ct L B n x L
n c L
n c
L
u x tg
u x f x
x Lu x tg x
x
t
t
u x t An ct L B n ct L n x L
t
B n x L
![Page 306: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/306.jpg)
0
0
1
,0
Condiciones iniciales: ; 0,
2sin /
sin /
m
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n
L
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u x f x
x Lu x tg x
g x
B g x m x L dxL
t
B n x L
![Page 307: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/307.jpg)
1
0
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L
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t
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t x
u tt
u L t
u x f x
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t
![Page 308: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/308.jpg)
2 22
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0, 0Condiciones en la frontera: ; 0
, 0
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Condiciones iniciales:
, ,Ecuación
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![Page 309: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/309.jpg)
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![Page 310: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/310.jpg)
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u x f x
x Lu x tg x
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x xx
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x x LL x
![Page 311: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/311.jpg)
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00
0hx
x xx
f xh L x
x x LL x
h
0x L
![Page 312: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/312.jpg)
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L x
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L x L L x
n xh L
x L x n L
![Page 313: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/313.jpg)
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00
20
2 210 0
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; 0
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n
hxx x
xf x g x
h L xx x L
L x
L h n x n ct n xu x t
x L x n L L L
Animación
![Page 314: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/314.jpg)
![Page 315: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/315.jpg)
22
2 2
2
,1, 0
, 0
x tx t
c t
x t
![Page 316: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/316.jpg)
2
1 1 1
ˆ 0
1. Eliptica: Los valores propios de la matriz son todos positivos
o todos negativos
2. Parabólica: Los valores propios de la matriz son todos
positiv
N N N
ij ii j ii j i
ij
ij
u uLu a b cu d
x x x
a
a
os o todos negativos, excepto uno que es cero
3. Hiperbólica: Los valores propios de la matriz son todos positivos
menos uno que es negativo, o todos negativos menos uno que es positivo.
4. Ultrahiper
ija
bólica: Los valores propios de la matriz son tales que
hay más de un valor propio positivo y más de un valor propio negativo,
y no hay valores propios iguales a cero.
ija
![Page 317: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/317.jpg)
22
2 2
2
,1, 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1/
Es una ecuación hiperbólica
x tx t
c t
c
![Page 318: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/318.jpg)
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1
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B
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![Page 319: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/319.jpg)
0
1
0
1
E
BE
c t
B
EB
c t
![Page 320: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/320.jpg)
2
2
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2 2
1
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1
1
10
10
BE
c t
BE
c t
BE E
c t
E
c tE
c t
EE
c t
![Page 321: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/321.jpg)
2
2
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2 2
1
1
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10
EB
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EB
c t
EB B
c t
B
c tB
c t
BB
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![Page 322: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/322.jpg)
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B EE B
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22
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EE
c t
BB
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![Page 323: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/323.jpg)
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2 2 2 2
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![Page 324: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/324.jpg)
22
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d Z z d T tX x Y y T t X x Y y Z z
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![Page 325: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/325.jpg)
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2 2 2 2 2
1 1 1 1 10
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2 2 22
2 2 2
22 2 2
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1
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X x dx Y y dy Z z dz
d T tc k
T t dt
![Page 326: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/326.jpg)
2
22
d T tT t
dt
1 2i t i tT t T e T e
![Page 327: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/327.jpg)
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X x dx Y y dy Z z dz
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2 2 2 21 2 3
1 1 1
d X x d Y y d Z zk k k
X x dx Y y dy Z z dz
k k k k
31 20 0 0 ik zik x ik yX x X e Y y Y e Z z Z e
![Page 328: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/328.jpg)
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2 2 2
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, ,
0
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![Page 329: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/329.jpg)
0
0
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exp
exp
exp exp
exp
exp
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f ik y ik z i t ik xx
ik f ik x ik y ik z i t
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![Page 330: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/330.jpg)
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2
0 02
1 0 1 0
21 1 0 1 0
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exp exp
exp exp
exp exp
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f ik r i t f ik r i tx x x
ik f ik r i t ik f ik r i tx x
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![Page 331: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/331.jpg)
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![Page 332: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/332.jpg)
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2
22
, , , 0k f x y z tc
![Page 333: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/333.jpg)
22
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![Page 334: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/334.jpg)
22
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0, , , , expF x y z t f k ik r i t dkd
![Page 335: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/335.jpg)
Hasta aquí llegue el miércoles 17 de marzo del 2010 después de 4 clases de 1:30 horas, de 12:30 a 14:00
![Page 336: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/336.jpg)
Quinta Clase: Miércoles 24 de marzo del 2010 de 12:30 a 14:00
![Page 337: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/337.jpg)
![Page 338: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/338.jpg)
• Clasificación y tipos de ecuaciones diferenciales parciales• Existencia y unicidad y las condiciones de frontera• La ecuación de propagación del calor en una dimensión espacial• La ecuación de Laplace
Coordenadas cartesianasCoordenadas esféricasCoordenadas cilíndricas
• La ecuación de onda en una dimensión espacial• La ecuación de onda sin fuentes• La ecuación de Poisson. Función de Green• La ecuación de onda con fuentes. Función de Green• La ecuación de Schrödinger
Problemas en una dimensiónEl átomo de hidrógeno
![Page 339: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/339.jpg)
![Page 340: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/340.jpg)
2 4x x
![Page 341: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/341.jpg)
4 0E E
Las ecuaciones de Maxwell
para la electrostática son:
![Page 342: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/342.jpg)
2
0
4
E E
E
Sustituyendo en la ley de Gauss
4 0E E
![Page 343: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/343.jpg)
2 4
E
La ecuación
de Poisson:
más
4
0
E
E
![Page 344: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/344.jpg)
2 4x x
3
2
Debido a la linealidad, se propone
, , ( )
donde
, 4x
x t G x x x d x
G x x x x
![Page 345: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/345.jpg)
2 3
2 3
2
, ( ) 4
, ( ) 4
Como por definición:
, 4
x
x
x
G x x x d x x
G x x x d x x
G x x x x
3, , ( )x t G x x x d x
![Page 346: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/346.jpg)
2 3
3
3
, ( ) 4
4 ( ) 4
4 ( ) 4
4 4
xG x x x d x x
x x x d x x
x x x d x x
x x
2 , 4xG x x x x
![Page 347: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/347.jpg)
2
3
2
4 ( )
, ( )
, 4x
x x
x G x x x d x
G x x x x
![Page 348: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/348.jpg)
33 / 2
La transformada de Fourier de la función de
Green , es
1exp
2
donde hemos definido , dado que
, sólo puede depender de .
G x x
g k G G R ik R d R
R x x
G x x x x
F
2 , 4xG x x x x
![Page 349: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/349.jpg)
2
23 / 2
2
Tomando la transformada de Fourier de la ecuación
, 4
obtenemos
1 24
2
y finalmente
2 1
xG x x x x
k g k
g kk
F F
![Page 350: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/350.jpg)
33 / 2
2
32 2
1( , ) exp
2
2 1
exp1( , )
2
G x x g k ik R d k
g kk
ik RG x x d k
k
![Page 351: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/351.jpg)
32 2
22
2 20 0 0
2
20 0 0
0 0
exp1( , )
2
exp cos1( , ) sin
2
1( , ) exp cos sin
2
1exp cos sin( , ) ik
ik RG x x d k
k
ikRG x x k dkd d
k
G x x ikR dkd d
G x x dk R d
![Page 352: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/352.jpg)
0
0
0
exp cos sin
1 exp cos
1 exp cos
1 exp exp
2sin1 2 sin
ikR d
dikR d
ikR d
ikRikR
ikR ikRikR
kRi kR
ikR kR
![Page 353: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/353.jpg)
0
0 0
0
0
0
1( , )
( , ) exp cos sin
exp cos sin
2sinexp cos sin
2 1 sin( , )
ikR d
kR
G x x dk
G x x ikR dkd
ikR dk
kRG x x dk
R k
R
![Page 354: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/354.jpg)
0
0
2 1 sin( , )
s
1( ,
¿
)
in?
2
kRG x x dk
R k
kRd
G
k
x xR
k
![Page 355: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/355.jpg)
3
2
3
2
4 ( )
, ( )
)
, 4
1,
(
x
x
x x
x G x x x d x
G x x x x
d x
x
xx
x
G xx
x
![Page 356: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/356.jpg)
0
sin
kRdk
k
![Page 357: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/357.jpg)
![Page 358: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/358.jpg)
![Page 359: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/359.jpg)
2
¿Cuál es la solución de
la ecuación 1 0?x
![Page 360: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/360.jpg)
Un polinomio tiene tantas raíces como su grado
![Page 361: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/361.jpg)
2
Un número complejo es uno de la forma
donde y son números reales e
es la unidad imaginaria con la propiedad
1
x y
x iy
i
i
![Page 362: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/362.jpg)
Un número complejo es uno de la forma
1) El número real es llamado la parte real
2) El número real es llamado la parte
imaginaria
x iy
x
y
![Page 363: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/363.jpg)
Un número complejo es uno de la forma
Los números reales pueden ser considerados
como números complejos con la parte imaginaria
igual a cero.
Es decir, el número real es equivalente al
número complej
x iy
a
o 0a i
![Page 364: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/364.jpg)
Si
es un número complejo,
la parte real, , se denota como Re( )
y la parte imaginaria, , se denota Im( )
z x iy
x z
y z
![Page 365: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/365.jpg)
y
a ib c id
a c b d
![Page 366: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/366.jpg)
a ib c id a c i b d
a ib c id a c i b d
a ib c id ac bd i bc ad
![Page 367: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/367.jpg)
Las leyes de la suma y de la multiplicación
son asociativas,
conmutativas y
distributivas,
así que los numeros complejos son un campo
![Page 368: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/368.jpg)
X
Y
,x y
z x iy
x
y
![Page 369: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/369.jpg)
X
Y
,x y
arg
z x iy
r z
z
r
![Page 370: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/370.jpg)
cos
sin
x r
y r
X
Y
z x iy
x
yr
![Page 371: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/371.jpg)
cos sin
z x iy
z r i
X
Y
,x y
r
![Page 372: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/372.jpg)
cos sin
i
z x iy
z r
r
i
z e
X
Y
,x y
r
![Page 373: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/373.jpg)
2 2
arctan
r x y
y
x
X
Y
z x iy
x
yr
![Page 374: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/374.jpg)
cos sinixe x i x
![Page 375: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/375.jpg)
cos sin
iz r
z x iy
z r i
e
![Page 376: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/376.jpg)
Es un conjunto donde hay definidas dos operaciones
a) SUMA: +
b) MULTIPLICACION:
1) Es cerrado con respecto a la suma y a la multiplicación
2) La suma y a la multiplicación son asociativas
3) La suma y
a la multiplicación son conmutativas
4) La multiplicacion es distributiva respecto a la suma
5) Existe la identidad aditiva: 0
6) Existe la identidad multiplicativa: 1
7) Existe el inverso aditivo
8) Existe el inverso multiplicativo
![Page 377: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/377.jpg)
arctan si 0
arctan Si 0 y 0
arctan Si 0 y 0
Si 0 y 02
Si 0 y 02
indefinido Si 0 y 0
yx
x
yx y
x
yx y
x
x y
x y
x y
![Page 378: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/378.jpg)
*
Cambiamos por
z x iy
z x y
i
i
i
![Page 379: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/379.jpg)
* 2 2
* 2 2
2 *
zz x iy x iy x y i xy xy
zz x y
z zz
![Page 380: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/380.jpg)
Funciones de variable compleja
son aquellas cuyo dominio es un
subconjunto del plano complejo
y su contradominio son también
los números complejos,
:f
![Page 381: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/381.jpg)
2
:
:
ln : ln ln
exp : exp z
I I z z
f f z z
z z
z e
![Page 382: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/382.jpg)
2
2 2
2 2
:
2
, ,2
f f z z
f z x iy x iy x y ixy
x y x y xy
![Page 383: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/383.jpg)
2 2
:
, , , , , ,
Se pueden ver como funciones
:
f
f z f x y u x y iv x y u x y v x y
f
![Page 384: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/384.jpg)
0 00
0
Dada
:
se define la derivada como
lim
Si la derivada existe para todos los puntos
de un conjunto , entonces se dice que
es diferenciable en
z
f
f z z f zf z
z
f
![Page 385: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/385.jpg)
0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
La derivada de la función : en
existe si y sólo si
, ,
, ,
y estas primeras derivadas son continuas en
f z
u vx y x y
x y
u vx y x y
y x
z
Son las ecuaciones
de Cauchy-Riemman
![Page 386: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/386.jpg)
0
00
0
Una función compleja es analítica
en un punto si tiene un desarrollo en
serie de potencias
que converge a para todo
suficientemente cerca a
i
ii
f z
z
f z a z z
f z z
z
![Page 387: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/387.jpg)
0
0
Una función compleja
:
es diferenciable en
si tiene derivada en
f z
z
z
![Page 388: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/388.jpg)
0
Una función compleja ,
diferenciable en un punto ,
es infinitamente diferenciable
en dicho punto
f z
z
![Page 389: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/389.jpg)
0
0
0
0
Una función compleja
:
es analítica en
si es diferenciable en todos los puntos de una
vecindad de
Un conjunto es una vecindad de si hay
un disco : , 0 tal que
f z
z
S z
S z
z z z r r S
![Page 390: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/390.jpg)
Una función compleja
:
es analítica en un conjunto
si es analítica en todos los puntos
del conjunto
f z
D
![Page 391: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/391.jpg)
1.- Sea :
2.- Sea una trayectoria de a ,
que es un subconjunto de
3.- Sea : , una descripción
compleja de la trayectoria
Entonces tenemos
C
f z
C a b
C
f z dz f t t dt
![Page 392: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/392.jpg)
1.- Sea : una función analítica
2.- Sea una trayectoria cerrada en
Entonces
0C
f
C
f z dz
![Page 393: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/393.jpg)
Si es analítica en un dominio
simplemente conexo ,
entonces
0
para cualquier curva cerrada C
f z
f z dz
C
C
![Page 394: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/394.jpg)
Los puntos donde una función no es analítica se llaman singularidades.
1) Singularidades aisladas
Suponiendo que no está definida en , pero sí en
i) Singularidad removible. Existe : tal
f a a
g
que en
ii) Polo
Existe : y tales que en
iii) Singularidad esencial
Si no es ni removible ni polo
n
f z g z a
g zg n f z a
z a
![Page 395: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/395.jpg)
Los puntos donde una función no es analítica
se llaman singularidades.
2) Puntos de ramificación
Se presentan con funciones multivaluadas
como z
![Page 396: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/396.jpg)
Sea una función analítica para todo
arbitrariamente cercano a , pero no igual a .
El residuo de en el punto está
definido por la integral compleja
1Re
2
La curva es simple y
z aC
f z z
a a
f z z a
s f z f z dzi
C
contiene a en su
interior
a
![Page 397: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/397.jpg)
Sea una función analítica para todo arbitrariamente cercano a ,
pero no igual a .
El residuo de en el punto está definido por la integral
1compleja Re
2
La curva es simple
z aC
f z z a
a
f z z a
s f z f z dzi
C
y contiene a en su interiora
Si
tiene un polo simple en , entonces
Rez a
g zf z
z az a
s f z g a
![Page 398: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/398.jpg)
1
Sea una curva simple cerrada en la dirección
contraria a las manecillas del reloj.
Supongamos que es analítica dentro de
excepto por un número finito de singularidades
,..., .
Entonces
2 Re
n
C
f z C
a a
f z dz i s 1 i
n
z aiC
f z
![Page 399: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/399.jpg)
1
1
Sea : de la forma
La función : tiene la propiedad
1) Si 0, 0 cuando
2) Si 0, 0 más rápido que 1/ cuando
El lema de Jordan dice que
lim 0
donde es una tr
i z
RC
f f z e g z
g
g z R
g z z R
f z dz
C
ayectoria semicircular
de radio centrada en el origen.R
![Page 400: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/400.jpg)
0
sin
kRdk
k
![Page 401: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/401.jpg)
0
sin
kRdk
k
21 1 12 2
0iz iz iz ize e e edz dz dz dz
z z z z
![Page 402: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/402.jpg)
0
sin
kRdk
k
1 1 2
21 2 2 1
R R Riz ix ix ix
R R R
e e e edz dx dx dx
z x x x
![Page 403: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/403.jpg)
0
sin
kRdk
k
2
12 1
Riz ix
R
e edz dx
z x
![Page 404: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/404.jpg)
0
sin
kRdk
k
2 2
21 12 1 1
2 2
1 1
sin2
R Riz iz ix ix
R R
R Rix ix
R R
e e e edz dz dx dx
z z x x
e e xdx i dx
x x
![Page 405: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/405.jpg)
0
sin
kRdk
k
2
Por el lema de Jordan 0izedz
z
![Page 406: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/406.jpg)
1
Nos falta la integral izedz
z
![Page 407: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/407.jpg)
1
Nos falta la integral izedz
z
x
y
1R
La función tiene un
polo simple en 0
ize
zz
![Page 408: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/408.jpg)
1
Nos falta la integral izedz
z
x
y
1R
La función tiene un
polo simple en 0
El residuo es 1
ize
zz
![Page 409: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/409.jpg)
1
Nos falta la integral izedz
z
x
y
1R
La función tiene un
polo simple en 0
E
Por tanto
l r
la
esiduo
integral
es 2
es 1
ize
zz
i
![Page 410: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/410.jpg)
1
Nos falta la integral izedz
z
x
y
1R
La función tiene un
polo simple en 0
El residuo es 1
Por tanto la integral
es 2
ize
zz
i
La integral sobre la parte de arriba es entonces i
![Page 411: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/411.jpg)
0
Finalmente
sin
2
kRdk
k
![Page 412: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/412.jpg)
![Page 413: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/413.jpg)
Hasta aquí llegue el miércoles 24 de marzo del 2010 después de 5 clases de 1:30 horas, de 12:30 a 14:00
![Page 414: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/414.jpg)
Sexta Clase: Miércoles 7 de abril del 2010 de 12:30 a 14:00
![Page 415: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/415.jpg)
![Page 416: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/416.jpg)
• Clasificación y tipos de ecuaciones diferenciales parciales• Existencia y unicidad y las condiciones de frontera• La ecuación de propagación del calor en una dimensión espacial• La ecuación de Laplace
Coordenadas cartesianasCoordenadas esféricasCoordenadas cilíndricas
• La ecuación de onda en una dimensión espacial• La ecuación de onda sin fuentes• La ecuación de Poisson. Función de Green• La ecuación de onda con fuentes. Función de Green• La ecuación de Schrödinger
Problemas en una dimensiónEl átomo de hidrógeno
![Page 417: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/417.jpg)
Repaso de la sexta Clase: Miércoles 7 de abril del 2010 de 12:30 a 14:00
![Page 418: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/418.jpg)
![Page 419: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/419.jpg)
2 4x x
![Page 420: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/420.jpg)
2
3
2
4 ( )
, ( )
, 4x
x x
x G x x x d x
G x x x x
![Page 421: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/421.jpg)
33 / 2
La transformada de Fourier de la función de
Green , es
1exp
2
donde hemos definido , dado que
, sólo puede depender de .
G x x
g k G G R ik R d R
R x x
G x x x x
F
2 , 4xG x x x x
![Page 422: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/422.jpg)
2
23 / 2
2
Tomando la transformada de Fourier de la ecuación
, 4
obtenemos
1 24
2
y finalmente
2 1
xG x x x x
k g k
g kk
F F
![Page 423: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/423.jpg)
33 / 2
2
32 2
1( , ) exp
2
2 1
exp1( , )
2
G x x g k ik R d k
g kk
ik RG x x d k
k
![Page 424: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/424.jpg)
32 2
22
2 20 0 0
2
20 0 0
0 0
exp1( , )
2
exp cos1( , ) sin
2
1( , ) exp cos sin
2
1exp cos sin( , ) ik
ik RG x x d k
k
ikRG x x k dkd d
k
G x x ikR dkd d
G x x dk R d
![Page 425: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/425.jpg)
0
0
0
exp cos sin
1 exp cos
1 exp cos
1 exp exp
2sin1 2 sin
ikR d
dikR d
ikR d
ikRikR
ikR ikRikR
kRi kR
ikR kR
![Page 426: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/426.jpg)
0
0 0
0
0
0
1( , )
( , ) exp cos sin
exp cos sin
2sinexp cos sin
2 1 sin( , )
ikR d
kR
G x x dk
G x x ikR dkd
ikR dk
kRG x x dk
R k
R
![Page 427: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/427.jpg)
0
0
2 1 sin( , )
si
1
n
2
( , )
kRG x x dk
R k
kRd
G
kk
x xR
![Page 428: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/428.jpg)
3
2
3
2
4 ( )
, ( )
)
, 4
1,
(
x
x
x x
x G x x x d x
G x x x x
d x
x
xx
x
G xx
x
![Page 429: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/429.jpg)
FIN del Repaso de la sexta Clase: Miércoles 7 de abril del 2010 de 12:30 a 14:00
![Page 430: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/430.jpg)
40B B J
c
Las ecuaciones de Maxwell
para la magnetoestática son:
![Page 431: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/431.jpg)
2
2
0
4
0
4
B B A
B A A A Jc
A
A Jc
Sustituyendo en la ley de Ampere
Usando la invariancia de norma
40B B J
c
![Page 432: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/432.jpg)
2 4A J
c
B A
La ecuación
de Poisson:
más
0
4
B
B Jc
![Page 433: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/433.jpg)
31 J rA r d r
c r r
2 4A J
c
B A
La ecuación
de Poisson:
más
0
4
B
B Jc
![Page 434: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/434.jpg)
![Page 435: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/435.jpg)
22
2 2
2
,1, 4 ,
, 4 ,
x tx t f x t
c t
x t f x t
![Page 436: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/436.jpg)
t
E
cJ
cB
B
t
B
cE
E
14
0
1
4
![Page 437: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/437.jpg)
0B
B A
t
E
cJ
cB
B
t
B
cE
E
14
0
1
4
![Page 438: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/438.jpg)
1
1
10
1
AE
c t
A
c t
AE
c t
AE
c t
4
0
4 1
1 BE
c
E
B B A
EB J
c c
t
t
![Page 439: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/439.jpg)
t
A
cE
AB
1
![Page 440: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/440.jpg)
2
14
14
A
c t
A
c t
4
1
0
4 1
1
BE
c t
B
EB J
c c t
B A
AE
c
E
t
![Page 441: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/441.jpg)
2
22 2
22
2 2
1
4 1
4 1 1
1 4 1
A
c tA J
c c t
AA A J
c c t c t
AA J A
c t c c t
4 1 1 con y
E AB J B A E
c c t c t
![Page 442: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/442.jpg)
10A
c t
![Page 443: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/443.jpg)
22
2 2
22
2 2
1 ( , )( , ) 4 ( , )
1 ( , ) 4( , ) ( , )
x tx t x t
c t
A x tA x t J x t
c t c
![Page 444: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/444.jpg)
2
22 2
,1, 4 ,
x tx t f x t
c t
3
22
2 2
Debido a la linealidad, se propone
, , ; , ( , )
donde
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
x t d x dt G x t x t f x t
G x t x tG x t x t x x t t
c t
![Page 445: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/445.jpg)
2
2 32 2
1, ; , ( , ) 4 ,x d x dt G x t x t f x t f x t
c t
2
3 22 2
1, ; , ( , ) 4 ,xd x dt G x t x t f x t f x t
c t
2
22 2
1, ; , 4x G x t x t x x t t
c t
3 4 ( , ) 4 ,d x dt x x t t f x t f x t
4 , 4 ,f x t f x t
![Page 446: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/446.jpg)
22
3
22
2 2
,1, 4 ( , )
, , ; , ( , )
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
x tx t f x t
tc
x t d x dt G x t x t f x t
G x t x tG x t x t x x t t
c t
![Page 447: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/447.jpg)
2
22 2
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
G x t x tG x t x t x x t t
c t
22
2 2
22
2 2
2
Sacando la transformada de Fourier de esta ecuación
1 ( , ; , )( , ; , ) 4
1 ( , ; , )( , ; , ) 4
(
x
x
G x t x tG x t x t x x t t
c t
G x t x tG x t x t x x t t
c t
k G
F F
F F F
F 2
2 3
1, ; , ) ( , ; , )
4x t x t G x t x t
c
F
![Page 448: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/448.jpg)
2
22 2
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
G x t x tG x t x t x x t t
c t
22
2 3
22
2 3
2
3 2 2 2
1( , ; , ) ( , ; , )
4
1, ,
4
1,
4
k G x t x t G x t x tc
k g k g kc
cg k
c k
F
![Page 449: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/449.jpg)
2
22 2
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
G x t x tG x t x t x x t t
c t
-1
2
3 2 2 2
23
3 2 2 2
Por lo tanto, como ( , ; , ) ,
y
1,
4tenemos
exp( , ; , )
4
con y
G x t x t g k
cg k
c k
ik R icG x t x t d d k
c k
R x x t t
F
![Page 450: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/450.jpg)
2
22 2
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
G x t x tG x t x t x x t t
c t
23
3 2 2 2
exp( , ; , )
4
con y
ik R icG x t x t d d k
c k
R x x t t
![Page 451: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/451.jpg)
23
3
2 2 2
2 2 2( , ; , ) exp
4
e p
ex
x
pcG x t x t d k ik R
iI
i
d
d
c k
c k
23
3 2 2 2
exp( , ; , )
4
con y
ik R icG x t x t d d k
c k
R x x t t
![Page 452: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/452.jpg)
2 2 2
exp expi iI d d
c k ck ck
![Page 453: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/453.jpg)
1
Sea una curva simple cerrada en la dirección
contraria a las manecillas del reloj.
Supongamos que es analítica dentro de
excepto por un número finito de singularidades
,..., .
Entonces
2 Re
n
C
f z C
a a
f z dz i s 1 i
n
z aiC
f z
![Page 455: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/455.jpg)
Sea una función analítica para todo
arbitrariamente cercano a , pero no igual a .
El residuo de en el punto está
definido por la integral compleja
1Re
2
La curva es simple y
z aC
f z z
a a
f z z a
s f z f z dzi
C
contiene a en su
interior
a
![Page 456: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/456.jpg)
Sea una función analítica para todo arbitrariamente cercano a ,
pero no igual a .
El residuo de en el punto está definido por la integral
1compleja Re
2
La curva es simple
z aC
f z z a
a
f z z a
s f z f z dzi
C
y contiene a en su interiora
Si
tiene un polo simple en , entonces
Rez a
g zf z
z az a
s f z g a
![Page 457: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/457.jpg)
1
1
Sea : de la forma
La función : tiene la propiedad
1) Si 0, 0 cuando
2) Si 0, 0 más rápido que 1/ cuando
El lema de Jordan dice que
lim 0
donde es una tr
i z
RC
f f z e g z
g
g z R
g z z R
f z dz
C
ayectoria semicircular
de radio centrada en el origen.R
![Page 458: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/458.jpg)
Caso I. Función de Green retardada.
Bajamos los polos.
exp iI d
ck i ck i
1 2
exp
exp exp
C
C
izI dz
z ck i z ck i
iz zdz
z ck i z ck i
![Page 459: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/459.jpg)
1 2exp expC
iz zI dz
z ck i z ck i
1z
2z
,ck
,ck
![Page 460: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/460.jpg)
1 2exp expC
iz zI dz
z ck i z ck i
2 2Si 0, para que exp +z sea analítica necesariamente 0z
1z
2z
,ck
,ck
![Page 461: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/461.jpg)
1 2
Como los polos no están dentro del contorno de integración
exp
exp exp0
C
C
izI dz
z ck i z ck i
iz zdz
z ck i z ck i
Caso 0
![Page 462: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/462.jpg)
1 2
1 2
semicirculosuperior de radio
Ahora
exp exp
exp
exp exp
C
R
R
R
iz zI dz
z ck i z ck i
id
ck i ck i
iz zdz
z ck i z ck i
Caso 0
![Page 463: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/463.jpg)
1 2
1 2
semicirculosuperior
Tomando ahora el límite cuando ,
exp exp
exp
exp exp
C
R
iz zI dz
z ck i z ck i
id
ck i ck i
iz zdz
z ck i z ck i
Caso 0
![Page 464: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/464.jpg)
1 2
semicirculosuperior
2
Pero
exp exp0
ya que 0 y la exponencial "mata" a todo lo demás
iz zdz
z ck i z ck i
z
Caso 0
Por tanto
exp0
id
ck ck
![Page 465: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/465.jpg)
1 2
2
2
exp exp
Si 0, para que exp +z sea analítica
necesariamente 0
C
iz zI dz
z ck i z ck i
z
1z
2z
,ck
,ck
0
para
>0
I
![Page 466: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/466.jpg)
Tenemos entonces,
, ; , 0
siempre que
G x x t t
t t
![Page 467: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/467.jpg)
1 2exp expC
iz zI dz
z ck i z ck i
2 2Si 0, para que exp +z sea analítica necesariamente 0z
1z
2z
,ck
,ck
![Page 468: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/468.jpg)
exp
2exp
z ck i
z ck i
izz ck i
z ck i z ck iI i
izz ck i
z ck i z ck i
2 Suma de los residuos en el interior del trayectoI i
Caso 0
![Page 469: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/469.jpg)
exp exp2
2 2
exp exp exp
2exp sin( )
i ck i i ck iI i
ck ck
iick ick
ck
ckck
Caso 0
![Page 470: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/470.jpg)
1 2
1 2
semicirculoinferior de radio
Ahora
exp exp
exp
exp exp
C
R
R
R
iz zI dz
z ck i z ck i
id
ck i ck i
iz zdz
z ck i z ck i
Caso 0
![Page 471: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/471.jpg)
1 2
1 2
semicirculoinferior
Tomando ahora el límite cuando ,
exp exp
exp
exp exp
C
R
iz zI dz
z ck i z ck i
id
ck i ck i
iz zdz
z ck i z ck i
Caso 0
![Page 472: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/472.jpg)
1 2
semicirculoinferior
2
Pero
exp exp0
ya que 0 y la exponencial "mata" a todo lo demás
iz zdz
z ck i z ck i
z
Caso 0
0
Por tanto
exp 2lim exp sin( )
2sin( )
id ck
ck ck ck
ckck
![Page 473: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/473.jpg)
0 , 0
2sin( ) , 0
Ick
ck
2 2 2
exp expi iI d d
c k ck ck
![Page 474: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/474.jpg)
23
3 2 2 2
exp( , ; , ) exp
4
icG x t x t d k ik R d
c k
Sabemos que para
( , ; , ) 0
t t
G x t x t
2
33
Para 0
2 sin( )( , ; , ) exp
4
t t
c ckG x t x t d k ik R
c k
![Page 475: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/475.jpg)
23
3
22
20 0 0
22
20 0 0
2 sin( )( , ; , ) exp
4
sin( )sin exp
2
sin( )sin exp
2
c ckG x t x t d k ik R
c k
c ckdkk d d ik R
k
c ckdkk d ik R d
k
![Page 476: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/476.jpg)
2
22
0 0 0
sin( )( , ; , ) sin exp
2
c ckG x t x t dkk d ik R d
k
0 0
Como nada depende de ,
la integral sobre resulta ser 2 , y
( , ; , ) sin( ) sin expc
G x t x t dkk ck d ik R
![Page 477: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/477.jpg)
0 0
0
sin exp sin exp cos
1 1exp cos exp exp
2sin12 sin
d ik R d ikR
ikR ikR ikRikR ikR
kRi kR
ikR kR
0 0
( , ; , ) sin( ) sin exp , >0c
G x t x t dkk ck d ik R
![Page 478: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/478.jpg)
0
2sin( , ; , ) sin( ) , >0
kRcG x t x t dkk ck
kR
( , ; , ) sin( )sin , >0
( , ; , )
exp( ) exp( ) exp( ) exp( )
2 2
cG x t x t dk ck kR
R
G x t x t
c ick ick ikR ikRdk
R i i
![Page 479: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/479.jpg)
exp exp
4 exp exp
R Rick ickc ccdk
R R Rick ickc c
exp exp1
4 exp exp
R Ri ic cd
R R Ri ic c
1( ) ( ) ( ) ( )
2R R R Rc c c cR
1( ) ( ) R R
c cR
![Page 480: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/480.jpg)
Así que
1( , ; , ) ( )RG x t x t cR
Como 0 y 0, 0 y
( ) 0
RR x x cRc
( )( , ; , ) para
x xt t
cG x t x t t tx x
![Page 481: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/481.jpg)
3
3
3
( , ) ( , ; , ) ( , )
( )( , ) ( , )
( , )
x t d x dt G x t x t f x t
x xt t
cx t d x dt f x tx x
x xf x t
cd xx x
xx
txfxdtx
ret3 ),(),(
![Page 482: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/482.jpg)
22
2 2
3 ret
3
,1, 4 ,
( , )( , )
( , )( , )
x tx t f x t
c t
f x tx t d x
x x
x xf x t
cx t d xx x
![Page 483: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/483.jpg)
Hasta aquí llegue el miércoles 7 de abril del 2010 después de 6 clases de 1:30 horas, de 12:30 a 14:00
![Page 484: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/484.jpg)
Séptima Clase: Miércoles 14 de abril del 2010 de 12:30 a 14:00
![Page 485: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/485.jpg)
![Page 486: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/486.jpg)
• Clasificación y tipos de ecuaciones diferenciales parciales• Existencia y unicidad y las condiciones de frontera• La ecuación de propagación del calor en una dimensión espacial• La ecuación de Laplace
Coordenadas cartesianasCoordenadas esféricasCoordenadas cilíndricas
• La ecuación de onda en una dimensión espacial• La ecuación de onda sin fuentes• La ecuación de Poisson. Función de Green• La ecuación de onda con fuentes. Función de Green• La ecuación de Schrödinger
Problemas en una dimensiónEl átomo de hidrógeno
![Page 487: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/487.jpg)
![Page 488: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/488.jpg)
22
2 2
2
,1, 4 ,
, 4 ,
x tx t f x t
c t
x t f x t
![Page 489: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/489.jpg)
4 0
1 4 1
E B
B EE B J
c t c c t
1
10
AB A E
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![Page 490: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/490.jpg)
22
2 2
22
2 2
1 ( , )( , ) 4 ( , )
1 ( , ) 4( , ) ( , )
x tx t x t
c t
A x tA x t J x t
c t c
4 0
1 4 1
E B
B EE B J
c t c c t
![Page 491: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/491.jpg)
22
2 2
2
,1, 4 ,
, 4 ,
x tx t f x t
c t
x t f x t
![Page 492: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/492.jpg)
2
22 2
,1, 4 ,
x tx t f x t
c t
3
22
2 2
Debido a la linealidad, se propone
, , ; , ( , )
donde
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
x t d x dt G x t x t f x t
G x t x tG x t x t x x t t
c t
![Page 493: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/493.jpg)
2
2 32 2
1, ; , ( , ) 4 ,x d x dt G x t x t f x t f x t
c t
2
3 22 2
1, ; , ( , ) 4 ,xd x dt G x t x t f x t f x t
c t
2
22 2
1, ; , 4x G x t x t x x t t
c t
3 4 ( , ) 4 ,d x dt x x t t f x t f x t
4 , 4 ,f x t f x t
![Page 494: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/494.jpg)
22
3
22
2 2
,1, 4 ( , )
, , ; , ( , )
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
x tx t f x t
tc
x t d x dt G x t x t f x t
G x t x tG x t x t x x t t
c t
![Page 495: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/495.jpg)
2
22 2
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
G x t x tG x t x t x x t t
c t
22
2 2
22
2 2
2
Sacando la transformada de Fourier de esta ecuación
1 ( , ; , )( , ; , ) 4
1 ( , ; , )( , ; , ) 4
(
x
x
G x t x tG x t x t x x t t
c t
G x t x tG x t x t x x t t
c t
k G
F F
F F F
F 2
2 3
1, ; , ) ( , ; , )
4x t x t G x t x t
c
F
![Page 496: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/496.jpg)
2
22 2
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
G x t x tG x t x t x x t t
c t
22
2 3
22
2 3
2
3 2 2 2
1( , ; , ) ( , ; , )
4
1, ,
4
1,
4
k G x t x t G x t x tc
k g k g kc
cg k
c k
F
![Page 497: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/497.jpg)
2
22 2
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
G x t x tG x t x t x x t t
c t
-1
2
3 2 2 2
23
3 2 2 2
Por lo tanto, como ( , ; , ) ,
y
1,
4tenemos
exp( , ; , )
4
con y
G x t x t g k
cg k
c k
ik R icG x t x t d d k
c k
R x x t t
F
![Page 498: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/498.jpg)
2
22 2
1 ( , ; , )( , ; , ) 4x
G x t x tG x t x t x x t t
c t
23
3 2 2 2
exp( , )
4
con y
ik R icG x x t t d d k
c k
R x x t t
![Page 499: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/499.jpg)
23
3
2 2 2
2 2 2( , ; , ) exp
4
e p
ex
x
pcG x t x t d k ik R
iI
i
d
d
c k
c k
23
3 2 2 2
exp( , ; , )
4
con y
ik R icG x t x t d d k
c k
R x x t t
![Page 500: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/500.jpg)
2 2 2
exp expi iI d d
c k ck ck
![Page 501: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/501.jpg)
1
Sea una curva simple cerrada en la dirección
contraria a las manecillas del reloj.
Supongamos que es analítica dentro de
excepto por un número finito de singularidades
,..., .
Entonces
2 Re
n
C
f z C
a a
f z dz i s 1 i
n
z aiC
f z
![Page 503: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/503.jpg)
Sea una función analítica para todo
arbitrariamente cercano a , pero no igual a .
El residuo de en el punto está
definido por la integral compleja
1Re
2
La curva es simple y
z aC
f z z
a a
f z z a
s f z f z dzi
C
contiene a en su
interior
a
![Page 504: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/504.jpg)
Sea una función analítica para todo arbitrariamente cercano a ,
pero no igual a .
El residuo de en el punto está definido por la integral
1compleja Re
2
La curva es simple
z aC
f z z a
a
f z z a
s f z f z dzi
C
y contiene a en su interiora
Si
tiene un polo simple en , entonces
Rez a
g zf z
z az a
s f z g a
![Page 505: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/505.jpg)
1
1
Sea : de la forma
La función : tiene la propiedad
1) Si 0, 0 cuando
2) Si 0, 0 más rápido que 1/ cuando
El lema de Jordan dice que
lim 0
donde es una tr
i z
RC
f f z e g z
g
g z R
g z z R
f z dz
C
ayectoria semicircular
de radio centrada en el origen.R
![Page 506: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/506.jpg)
AVANZADA
![Page 507: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/507.jpg)
Subimos los polos.
exp iI d
ck i ck i
1 2
exp
exp exp
C
C
izI dz
z ck i z ck i
iz zdz
z ck i z ck i
![Page 508: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/508.jpg)
1 2exp expC
iz zI dz
z ck i z ck i
1z
2z
,ck
,ck
![Page 509: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/509.jpg)
1 2exp expC
iz zI dz
z ck i z ck i
2 2Si 0, para que exp +z sea analítica necesariamente 0z
1z
2z
,
ck
,
ck
![Page 510: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/510.jpg)
exp
2exp
z ck i
z ck i
izz ck i
z ck i z ck iI i
izz ck i
z ck i z ck i
2 Suma de los residuos en el interior del trayectoI i
Caso 0
![Page 511: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/511.jpg)
exp exp2
2 2
exp exp exp
2exp sin( )
i ck i i ck iI i
ck ck
iick ick
ck
ckck
Caso 0
![Page 512: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/512.jpg)
1 2
1 2
semicirculosuperior de radio
Ahora
exp exp
exp
exp exp
C
R
R
R
iz zI dz
z ck i z ck i
id
ck i ck i
iz zdz
z ck i z ck i
Caso 0
![Page 513: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/513.jpg)
1 2
1 2
semicirculosuperior
Tomando ahora el límite cuando ,
exp exp
exp
exp exp
C
R
iz zI dz
z ck i z ck i
id
ck i ck i
iz zdz
z ck i z ck i
Caso 0
![Page 514: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/514.jpg)
1 2
semicirculosuperior
2
Pero
exp exp0
ya que 0 y se satisface el lema de Jordan.
iz zdz
z ck i z ck i
z
Caso 0
![Page 515: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/515.jpg)
Caso 0
0
Por tanto
exp
2lim exp sin( )
2sin( )
id
ck ck
ckck
ckck
![Page 516: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/516.jpg)
1 2exp expC
iz zI dz
z ck i z ck i
1z
2z
,ck
,ck
![Page 517: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/517.jpg)
1 2exp expC
iz zI dz
z ck i z ck i
2 2Si 0, para que exp +z sea analítica necesariamente 0z
1z
2z
,
ck
,
ck
![Page 518: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/518.jpg)
1 2
Como los polos no están dentro del contorno de integración,
usando el teorema integral de Cauchy,
exp
exp exp0
C
C
izI dz
z ck i z ck i
iz zdz
z ck i z ck i
Caso 0
![Page 519: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/519.jpg)
1 2
1 2
semicirculoinferior de radio
Ahora
exp exp
exp
exp exp
C
R
R
R
iz zI dz
z ck i z ck i
id
ck i ck i
iz zdz
z ck i z ck i
Caso 0
![Page 520: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/520.jpg)
1 2
1 2
semicirculoinferior
Tomando ahora el límite cuando ,
exp exp
exp
exp exp
C
R
iz zI dz
z ck i z ck i
id
ck i ck i
iz zdz
z ck i z ck i
Caso 0
![Page 521: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/521.jpg)
1 2
semicirculoinferior
2
Pero
exp exp0
ya que 0 y se cumplen las condiciones
del lema de Jordan.
iz zdz
z ck i z ck i
z
Caso 0
![Page 522: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/522.jpg)
Caso 0
Por tanto
exp0
id
ck ck
![Page 523: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/523.jpg)
2 2 2
exp expi iI d d
c k ck ck
2sin( ) , 0
0 , 0
ckI ck
![Page 524: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/524.jpg)
23
3 2 2 2
exp( , ; , ) exp
4
icG x t x t d k ik R d
c k
Por lo tanto, es claro que
para 0
( , ) 0
t t
G x x t t
![Page 525: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/525.jpg)
23
3 2 2 2
exp( , ; , ) exp
4
icG x t x t d k ik R d
c k
2
33
Entonces
2 sin( )exp
( , ; , ) 4
0
c ckd k ik R t t
G x t x t c k
t t
![Page 526: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/526.jpg)
23
3
22
20 0 0
22
20 0 0
2 sin( )( , ; , ) exp
4
sin( )sin exp
2
sin( )sin exp
2
c ckG x t x t d k ik R
c k
c ckdkk d d ik R
k
c ckdkk d ik R d
k
![Page 527: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/527.jpg)
2
22
0 0 0
sin( )( , ; , ) sin exp
2
c ckG x t x t dkk d ik R d
k
0 0
Como nada depende de ,
la integral sobre resulta ser 2 , y
( , ; , ) sin( ) sin expc
G x t x t dkk ck d ik R
![Page 528: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/528.jpg)
0 0
0
sin exp sin exp cos
1 1exp cos exp exp
2sin12 sin
d ik R d ikR
ikR ikR ikRikR ikR
kRi kR
ikR kR
0 0
( , ; , ) sin( ) sin exp , <0c
G x t x t dkk ck d ik R
![Page 529: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/529.jpg)
0
2sin( , ; , ) sin( ) , <0
kRcG x t x t dkk ck
kR
( , ; , ) sin( )sin , <0
( , ; , )
exp( ) exp( ) exp( ) exp( )
2 2
cG x t x t dk ck kR
R
G x t x t
c ick ick ikR ikRdk
R i i
![Page 530: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/530.jpg)
exp exp
4 exp exp
exp exp1
4 exp exp
R Rick ickc ccdk
R R Rick ickc c
R Ri ic cd
R R Ri ic c
exp( ) exp( ) exp( ) exp( )( , ; , )
2 2
c ick ick ikR ikRG x t x t dk
R i i
![Page 531: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/531.jpg)
1exp
2x d i x
![Page 532: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/532.jpg)
1( ) ( ) ( ) ( )
2
1( ) ( )
R R R Rc c c cR
R Rc cR
exp exp1
4 exp exp
R Ri ic cd
R R Ri ic c
![Page 533: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/533.jpg)
Como 0 y 0, 0
y necesariamente ( ) 0
Así que
1( , ; , ) ( )
RR x x cRc
RG x t x t cR
1, ( ) ( ) R RG R c cR
![Page 534: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/534.jpg)
( )( , ; , )
x xt t
cG x t x tx x
![Page 535: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/535.jpg)
3
3
3
( , ) ( , ; , ) ( , )
( )( , ) ( , )
( , )
x t d x dt G x t x t f x t
x xt t
cx t d x dt f x tx x
x xf x t
cd xx x
3 avanzada( , )
( , )f x t
x t d xx x
![Page 536: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/536.jpg)
22
2 2
3 avanzada
3
,1, 4 ,
( , )( , )
( , )( , )
x tx t f x t
c t
f x tx t d x
x x
x xf x t
cx t d xx x
![Page 537: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/537.jpg)
MIXTA
![Page 538: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/538.jpg)
Caso III. Función de Green mixta
"Subimos uno, bajamos el otro"
exp
expC
iI d
ck i ck i
izI dz
z ck i z ck i
![Page 539: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/539.jpg)
"Subimos uno, bajamos el otro"
exp
expC
iI d
ck i ck i
izI dz
z ck i z ck i
![Page 540: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/540.jpg)
C
C
ickzickz
zizdz
ickzickz
izdzI
21 expexp
exp
![Page 541: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/541.jpg)
2
Si primero consideramos el caso 0,
para que resulte se debe cumplir el lema
de Jordan y necesariamente 0;
es decir, para 0 debemos de cerrar el
contorno de integración por "arriba",
z
![Page 542: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/542.jpg)
,ck
,ck
20 0z
![Page 543: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/543.jpg)
Entonces para 0
exp2
exp2
2 2
exp
z ck i
izI i z ck i
z ck i z ck i
i ck ii
ck i
ie ick
ck i
![Page 544: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/544.jpg)
Tomando el límite cuando 0,
exp( )i
I ickck
Si >0 tenemos expi
I e ickck i
![Page 545: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/545.jpg)
2
Consideramos ahora el caso 0,
para que resulte se debe cumplir el lema
de Jordan y necesariamente 0;
es decir, para 0 debemos de cerrar el
contorno de integración por "abajo",
z
![Page 546: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/546.jpg)
,ck
,ck
20 0z
![Page 547: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/547.jpg)
Entonces para 0
exp2
exp2
2 2
exp
z ck i
izI i z ck i
z ck i z ck i
i ck ii
ck i
ie ick
ck i
![Page 548: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/548.jpg)
Tomando el límite cuando
tiende a cero,
exp( ), si 0i
I ickck
Entonces para 0
expi
I e ickck i
![Page 549: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/549.jpg)
Tenemos entonces
exp( ) 0
exp( ) 0
iick
ckIi
ickck
![Page 550: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/550.jpg)
23
3
23
3
2
20 0 0
0
2
0
2 2( , ; , ) exp
4
exp4
sin exp exp4
exp( )
exp
exp
sin exp2
cG x t x t d k ik R
cd k ik R
icdkk d d ick ik R
icdkk ick d ik
id
c k
k
R
iic
ck
0
![Page 551: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/551.jpg)
0 0
0
sin exp sin exp cos
1exp cos
1exp exp
2sin12 sin
d ik R d ikR
ikRikR
ikR ikRikR
kRi kR
ikR kR
0
![Page 552: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/552.jpg)
0 0
0
0
( , ; , ) exp( ) sin exp2
2sinsin exp
( , ; , ) exp( )sin
icG x t x t dkk ick d ik R
kRd ik R
kR
icG x t x t dk ick kR
R
0
![Page 553: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/553.jpg)
exp( ) exp( )( , ; , ) exp( )
2
exp exp2
1exp exp
2
c ikR ikRG x t x t dk ick
R
c R Rdk ick ickc cR
R Rd i ic cR
0
0
( , ; , ) exp( )sinic
G x t x t dk ick kRR
![Page 554: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/554.jpg)
exp( ) exp( )exp( )
2
exp exp2
1exp exp
2
c ikR ikRdk ick
R
c R Rdk ick ickc cR
R Rd i ic cR
0
![Page 555: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/555.jpg)
1exp
2x d i x
![Page 556: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/556.jpg)
exp( ) exp( )exp( )
2
c ikR ikRdk ick
R
exp exp2
c R Rdk ick ickc cR
1( ) ( )R R
c cR
1exp exp
2R Rd i ic cR
( )Rc
R
0
![Page 557: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/557.jpg)
exp( ) 0
exp( ) 0
iick
ckIi
ickck
![Page 558: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/558.jpg)
23
3 2 2 2
23
3
2
20 0 0
0 0
exp( , ; , ) exp
4
exp exp4
sin exp exp4
exp( ) sin exp2
icG x t x t d k ik R d
c k
c id k ik R ick
ck
icdkk d d ick ik R
icdkk ick d ik R
0
![Page 559: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/559.jpg)
0 0
0
sin exp sin exp cos
1exp cos
1exp exp
2sin12 sin
d ik R d ikR
ikRikR
ikR ikRikR
kRi kR
ikR kR
0
![Page 560: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/560.jpg)
0 0
0
0
( , ; , ) exp( ) sin exp2
2sinsin exp
( , ; , ) exp( )sin
icG x t x t dkk ick d ik R
kRd ik R
kR
icG x t x t dk ick kR
R
0
![Page 561: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/561.jpg)
exp( ) exp( )exp( )
2
exp exp2
1exp exp
2
c ikR ikRdk ick
R
c R Rdk ick ickc cR
R Rd i ic cR
0
0
( , ; , ) exp( )sinic
G x t x t dk ick kRR
![Page 562: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/562.jpg)
1exp
2x d i x
![Page 563: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/563.jpg)
1( , ; , ) ( ) ( )R RG x t x t c cR
1exp exp
2R Rd i ic cR
0
![Page 564: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/564.jpg)
Pero como >0, 0 y 0,
0 y
( )1( ) ( )
R c
Rc
RcR R
c cR R
0 1
( , ; , ) ( ) ( )R RG x t x t c cR
![Page 565: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/565.jpg)
( ) ( )( , ; , )
R Rc cG x t x tR
![Page 566: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/566.jpg)
3
3
3 3
3 avanzada retarda
( , ) ( , ; , ) ( , )
( ) ( )( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )( , )
x t d x dt G x t x t f x t
R Rc cx t d x dt f x tR
x x x xf x t f x t
c cd x d xx x x x
f x t f x tx t d x
x x
![Page 567: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/567.jpg)
22
2 2
3 3
3 avanzada retarda
,1, 4 ,
( , ) ( , )( , )
( , ) ( , )( , )
x tx t f x t
c t
x x x xf x t f x t
c cx t d x d xx x x x
f x t f x tx t d x
x x
![Page 568: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/568.jpg)
Hasta aquí llegue el miércoles 14 de abril del 2010 después de 7 clases de 1:30 horas, de 12:30 a 14:00
![Page 569: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/569.jpg)
Octava Clase: Miércoles 28 de abril del 2010 de 12:30 a 14:00
![Page 570: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/570.jpg)
![Page 571: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/571.jpg)
• Clasificación y tipos de ecuaciones diferenciales parciales• Existencia y unicidad y las condiciones de frontera• La ecuación de propagación del calor en una dimensión espacial• La ecuación de Laplace
Coordenadas cartesianasCoordenadas esféricasCoordenadas cilíndricas
• La ecuación de onda en una dimensión espacial• La ecuación de Poisson. Función de Green• La ecuación de onda sin fuentes• La ecuación de onda con fuentes. Función de Green• La ecuación de Schrödinger
Problemas en una dimensiónEl átomo de hidrógeno
![Page 572: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/572.jpg)
![Page 573: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/573.jpg)
22
2i V
t m
![Page 574: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/574.jpg)
Si el potencial no depende del tiempo,
podemos proponer separación de
variables:
,
V
x t x T t
22
2i V
t m
![Page 575: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/575.jpg)
22
22
2
1
2
T ti x T t x V x T t
t m
T tix V
T t t x m
22
2i V
t m
![Page 576: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/576.jpg)
2
21
2
T tix V
T t t x mE
22
2i V
t m
![Page 577: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/577.jpg)
22
22
1
2
1
2
T tix V E
T t t x m
T tiE
T t t
x V Ex m
22
2i V
t m
![Page 578: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/578.jpg)
expE
T tiE
T t t
T t Ei T
t t
t
EC i
t
T
22
2i V
t m
![Page 579: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/579.jpg)
2
2
2
21
2
2x V E
x V x E xm
x m
22
2i V
t m
![Page 580: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/580.jpg)
2
2
2x V x E x
m
22ˆ
2
ˆ
H Vm
H E
![Page 581: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/581.jpg)
2
2
2x V x E x
m
22
22Es una ecuación diferencial
ordinaria de segundo orden
lineal homogénea
d xV x x E x
m dx
![Page 582: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/582.jpg)
![Page 583: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/583.jpg)
22
22
0 0,
0,
d xV x E x
m dx
x aV x
x a
![Page 584: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/584.jpg)
2
2
2r V r r E r
m
22
22
d xE x
m dx
0x x a
( 0) 0 ( ) 0x x a
![Page 585: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/585.jpg)
22
22
0 0
0
d xE x
m dx
xx
x a
22
2
0 0,
0,2
x ad xV x E x V x
x am dx
![Page 586: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/586.jpg)
2
2 2
22
22
2
2
2
d x mEx
dxmE
k
d xk x
dx
22
2
0 0
02
xd xE x x
x am dx
![Page 587: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/587.jpg)
22
2
2 2
0
La ecuación característica es: 0
Las raices son: y
Así queikx ikx
d xk x
dx
k
ik ik
x Ae Be
![Page 588: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/588.jpg)
2
22
0 ; ikx ikxd xk x x Ae Be
dx
2 s
0 0
in
x A B
B
x A kx
A
i
![Page 589: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/589.jpg)
2 2 2 2 2
2
2 sin 0
ó bien 0 que nos lleva a un resultado trivial
ó 1,2,3,....
Por tanto
2 2
,
k
x a iA
nE
m m
ka
ka n
a
A
n
2
22
más 0 0 2 sind x
k x x x iA kxdx
![Page 590: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/590.jpg)
22
2
2 2 2
2
2
0 0,
0,
sin
; 1,2,3,....2
n
d xV x E x
m dx
x aV x
x a
n xx A
a
nE n
ma
![Page 591: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/591.jpg)
2 22
2
1,2,3,...
1,2,3,...2n
ka n n
E n nma
0x x a
2 2
1 22E
ma
2 2
2 24
2E
ma
2 2
2 29
2E
ma
3
100
10 m
37.58 10 eV
a
E
10
0
10 m
37.58 eV
a
E
![Page 592: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/592.jpg)
sin 1,2,3,...n
nx C x n
a
0
1a
n nx x dx
2 2 2 2
0 0
2 2 2
0
sin sin
1cos sin 1
2 2 2 2
a n
n
n aC x dx C d
a n
C a C a n C a
n n
2C
a
2 sin 1,2,3,...nnx x n
a a
![Page 593: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/593.jpg)
1
21 sinn x x
a a
![Page 594: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/594.jpg)
2
2 22 sinn x x
a a
![Page 595: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/595.jpg)
3
2 33 sinn x x
a a
![Page 596: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/596.jpg)
4
2 44 sinn x x
a a
![Page 597: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/597.jpg)
24
2 2424 sinn x x
a a
![Page 598: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/598.jpg)
124
2 124124 sinn x x
a a
![Page 599: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/599.jpg)
0 0
2 2 2
Para tenemos
2sin sin
cos sin sin cos20
a a
n m
n m
n mx x dx x x dx
a a a
n n m m n ma
a n m
2sin 1,2,3,...n
nx x n
a a
![Page 600: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/600.jpg)
Las funciones
2sin ; 1,2,3,...
forman una base ortonormal
del problema.
n
nx x n
a a
completa
![Page 601: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/601.jpg)
1
2, sin exp n
nn
n Ex t a x i t
a a
![Page 602: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/602.jpg)
![Page 603: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/603.jpg)
2 2
2
1
2V x m x
dV xF x m x
dx
![Page 604: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/604.jpg)
22
2
22
2
d xm m xdt
d xx
dt
2 2 21
2
dV xV x m x F x m x
dx
![Page 605: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/605.jpg)
2 2
1 2
0
exp exp
cos sin
i i
x t A i t B i t
x t A t B t
22
20
d xx
dt
![Page 606: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/606.jpg)
22 2
2 22 2
2
El Hamiltoniano:
1ˆ2 2
Ecuación de Schrodinger estacionaria:
1
2 2
pH m x
m
dm x E
m dx
![Page 607: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/607.jpg)
2 22 2
2
1
2 2
dm x E
m dx
22 2
22
Haciendo el cambio de variable
tenemos
1
2 2
xm
m d mm x E
m mmd x
![Page 608: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/608.jpg)
2 22 2
2
1
2 2
dm x E
m dx
22 2
22
22
2
1
2 2
2 2
m d mm x E
m mmd x
dE
d
![Page 609: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/609.jpg)
2 2 22 2 2
2 2
1
2 2 2 2
d dm x E E
m dx d
22
2
22
2
2
2Con
tenemos
d E
d
E
d
d
![Page 610: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/610.jpg)
2
22
0d
d
22
2
2
Si 0, entonces 0 y
0
que tiene como solución asintótica
exp2
x
d
d
![Page 611: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/611.jpg)
2
2 2 2 22 2
2
22
exp2
exp exp 1 exp2 2 2
exp2
d
d
d
d
22
2
2
Si 0, entonces 0
que tiene como solución asintótica exp2
dx
d
![Page 612: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/612.jpg)
2
Obviamente la solución con + es inaceptable
fisicamente pues diverge en el .
La solución asintótica es entonces
exp2
22
2
2
Si 0, entonces 0
que tiene como solución asintótica exp2
dx
d
![Page 613: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/613.jpg)
22
20
d yx y
dx
![Page 614: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/614.jpg)
22
2
0
1
0
22
20
2 2
0 0
0
1
1 0
nn
n
nn
n
nn
n
n nn n
n n
d yx y
dx
y x a x
dyna x
dx
d yn n a x
dx
n n a x a x
![Page 615: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/615.jpg)
2 2
0 0
22
0 0
22 3 2
2 0
2 22 3 4
0 0
2 3
1 0
2 1 0
2 6 2 1 0
2 6 4 3 0
0 y 0
n nn n
n n
n nn n
n n
n nn n
n n
n nn n
n n
n n a x a x
n n a x a x
a a x n n a x a x
a a x n n a x a x
a a
![Page 616: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/616.jpg)
2 24
0 0
24
0
4
4
4 3 0
4 3 0
4 3 0
4 3
n nn n
n n
nn n
n
n n
nn
n n a x a x
n n a a x
n n a a
aa
n n
![Page 617: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/617.jpg)
4
0 14 5
2 36 7
4 3
4 3 5 4
0 06 5 7 6
nn
aa
n n
a aa a
a aa a
![Page 618: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/618.jpg)
4 08
5 19
10 11
8 7 8 7 4 3
9 8 9 8 5 4
0 0
a aa
a aa
a a
0 1
4 4 5 4 3 4 3 5 4
nn
a a aa a a
n n
![Page 619: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/619.jpg)
8 012
9 113
14 15
12 11 12 11 8 7 4 3
13 12 13 12 9 8 5 4
0 0
a aa
a aa
a a
0 1
4 4 5 4 3 4 3 5 4
nn
a a aa a a
n n
![Page 620: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/620.jpg)
1
0
1
0
1 1
0 0
1
0
4 4 4 4 1
4 4 4 1
4 4 4 1
4 ! 4 4 1
k
j
k
j
k kk
j j
kk
j
k j k j
k j k j
k j k j
k k j
![Page 621: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/621.jpg)
0
4 1
0
4 ! 4 4 1k k
k
j
aa
k k j
Falta identificar cada una de las series con sus correspondientes Bessel
![Page 622: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/622.jpg)
22
20
d yx y
dx
![Page 623: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/623.jpg)
22
2
2
0
2
d yx y
dx
xy x x f
![Page 624: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/624.jpg)
2 2
22
0 2
d y xx y y x x f
dx
2 2 2 2
1/ 2 1/ 2 3/ 2
2 23/ 2 1/ 2
2 21/ 2 3/ 2
2 23/ 2 1/ 2
1 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2 2 2
3
2 2 2
12
4 2
x x x xy x f xxf x f x f
x xy x f x xf
x xx f x xf
x xy x f x f
25/ 2
2 2
xx f
![Page 625: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/625.jpg)
2 2
22
0 2
d y xx y y x x f
dx
2 2 2 2
3/ 2 1/ 2 5/ 2 5/ 2
2 2 23/ 2 5/ 2 1/ 2 5/ 2
2 2 22 2 2
12 0
4 2 2 2 2
12 0
4 2 2 2
12 0
2 2 4 2
x x x xx f x f x f x f
x x xx x f x f x f
x x xx f f x x f
![Page 626: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/626.jpg)
2 2
22
0 2
d y xx y y x x f
dx
2 2 22 2 2
2
2 2
12 0
2 2 4 2
22
1 12 2 2 0
4 2
10
16
x x xx f f x x f
xx
f f f
f f f
![Page 627: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/627.jpg)
2 2
22
0 2
d y xx y y x x f
dx
2 2 10
16
ecuación de Bessel modificada.
f f f
![Page 628: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/628.jpg)
2 2
22
0 2
d y xx y y x x f
dx
2 2
2 2
1 1/ 4 2 1/ 4
10
16
Así que
2 2
f f f
x xy x c xI c xK
![Page 629: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/629.jpg)
1 2 1 21 ...
82
2
x
a
x
eI x
xx
K x ex
22
2
2 2
1 1/ 4 2 1/ 4
0
2 2
d yx y
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![Page 630: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/630.jpg)
22
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Entonces
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![Page 631: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/631.jpg)
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![Page 632: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/632.jpg)
22 2 2
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2
2 2 2 2 2
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exp2
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d
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du
d
![Page 633: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/633.jpg)
22
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![Page 634: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/634.jpg)
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![Page 635: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/635.jpg)
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2
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5 15 5 1
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5 4 5 4 3 2 1 5 4 3 2 19 9 5 1
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7 6 7 6 5 4 3 2 1
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a a a a
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2
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2 1n
n n nn
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2 1 1
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2 1 !
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n
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n n na a
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2
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n n nn
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2
2
2 1 2 1 2
2 1 3 3n
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a n n n n n
2
220
2 12 1 0 ; ;
2 1n
n n nn
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![Page 641: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/641.jpg)
2
4 6 2 2 2 22
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n
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Desarrollo de una función en serie de Taylor:
1
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Formula de Leibniz:
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k
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k
n nk k n k
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2
4 6 2 2 2 22
0
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n
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1
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n
n
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![Page 643: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/643.jpg)
2
La serie converge, pero se comporta
igual que exp y por lo tanto es
inaceptable.
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2 12 1 0 ; ;
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2
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![Page 645: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/645.jpg)
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2 22
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1/ 4 21
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n nn
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![Page 646: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/646.jpg)
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc7.html#c1
![Page 647: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/647.jpg)
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc7.html#c1
![Page 648: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/648.jpg)
Hasta aquí llegue el miércoles 28 de abril del 2010 después de 8 clases de 1:30 horas, de 12:30 a 14:00
![Page 649: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/649.jpg)
Novena Clase: Miércoles 12 de mayo del 2010 de 12:30 a 14:00
![Page 650: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/650.jpg)
![Page 651: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/651.jpg)
• Clasificación y tipos de ecuaciones diferenciales parciales• Existencia y unicidad y las condiciones de frontera• La ecuación de propagación del calor en una dimensión espacial• La ecuación de Laplace
Coordenadas cartesianasCoordenadas esféricasCoordenadas cilíndricas
• La ecuación de onda en una dimensión espacial• La ecuación de Poisson. Función de Green• La ecuación de onda sin fuentes• La ecuación de onda con fuentes. Función de Green• La ecuación de Schrödinger
Problemas en una dimensiónEl átomo de hidrógeno
![Page 652: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/652.jpg)
![Page 653: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/653.jpg)
![Page 654: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/654.jpg)
22
2
Potencial central:
r V r r E rm
V r V r V r
![Page 655: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/655.jpg)
22
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2sin 0
sin sin
Proponemos que
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2
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2r V r r E r
m
![Page 656: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/656.jpg)
22
2 2 2 2 2 2
2
2
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2
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2sin 0
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1 1sin
sin sin
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1 1
1
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2
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2
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1 1 1 2sin 0 ,
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mr V E r R r Y
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![Page 657: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/657.jpg)
2
2 2
2
2 2
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1 1sin 1
sin sin
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2
2
2r V r r E r
m
![Page 658: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/658.jpg)
2
2 2
1 1ˆ sinsin sin
ˆ 1
2 1 !, cos
4 !m m iml l
L
LY l l Y
l l mY P e
l m
l m
l m l
donde y son enteros y se cumple que
![Page 659: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/659.jpg)
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1 0 21 2
1 2 2 22 2
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![Page 660: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/660.jpg)
![Page 661: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/661.jpg)
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![Page 663: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/663.jpg)
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2
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2 ; 2
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22 2
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2
l ld d m ZeR E R
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![Page 667: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/667.jpg)
2
2 2
12 10
4
l ld R dRR R
d d
2
2
Cuando , la ecuación se transforma en
04
y la solución es
exp / 2
d R R
d
R
![Page 668: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/668.jpg)
2
2 2
12 10
4
l ld R dRR R
d d
2
2 2
Se propone la solución
exp / 2
y se sustituye en la ecuación, para obtener
12 11 0
R G
l ld G dGG
d d
![Page 669: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/669.jpg)
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02 2
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l ld G dGG
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2
2 2
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l ld G dGG
d d
![Page 670: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/670.jpg)
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0
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exp
exp
exp
12exp exp exp 0
120
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l lz z z
2
2 2
12 11 0
l ld G dGG
d d
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20
02 2
10
l ld GG
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2
2 2
12 11 0
l ld G dGG
d d
![Page 672: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/672.jpg)
20
02 2
10
l ld GG
d
0
220
2
22
22
exp
exp
1exp exp 0
10
G zd
d Gz z zd
d
l lz z zd zd
l lz z
![Page 673: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/673.jpg)
22
22
22
10
10
12
1 0
No es exacta
l ldzz
d
l ldz z d
l lz z
z
![Page 674: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/674.jpg)
22
2 22 2
22
10
1 11
1
12
Sí 2
l ldz z d
l l l la z z
z
l la z z
a
![Page 675: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/675.jpg)
![Page 676: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/676.jpg)
20 0
02 2
120
l ld G dGG
d d
00 0
2 2 2
0 0 0
2
0
2 2
1 2 1 0
1 2 1 0
1 2 1 0
0
1 2 1 0
2 1 1 0
1 1 4 1 1
2 2
r n n rn n
n n
n r n r n rn n n
n n n
r nn
n
G a a
n r n r a n r a l l a
n r n r n r l l a
n r n r n r l l
n
r r r l l
r r r l l r r l l
l lr
2 1 1 2 1
2 2 2
1
l l
r l r l
![Page 677: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/677.jpg)
20 0
02 2
120
l ld G dGG
d d
2 2 2
2
2
1 2 1 0
1 2 1 0
2 2 2 0
2 2 0
2 1 0
0 2 1
n r n r n r l l
n l n l n l l l
n nl l n l n l l l
n nl n n
n l n
n n l
![Page 678: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/678.jpg)
20 0
02 2
120
l ld G dGG
d d
2 2 2
2
2
1 2 1 0
1
1 1 1 2 1 1 0
1 2 2 1 1 0
2 3 3 2 2 2 2 0
2 0
2 1 0
0 2 1
n r n r n r l l
r l
n l n l n l l l
n l n l n l l l
n nl l n l n l l l
n nl n
n n l
n n l
Correo de Jesús [email protected]
![Page 679: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/679.jpg)
20
02 2
10
l ld GG
d
00
2 2
0 0
1 1 0
nn
n
n nn n
n n
G a
n n a l l a
![Page 680: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/680.jpg)
2
2 2002 2
0 0
10 1 1 0n n
n nn n
l ld GG n n a l l a
d
2 2
2 0
2 2 1 20 1
2 2
2 20 1
2
1 1 0
1 1 1 1 0
1 1 1 1 0
n nn n
n n
n nn n
n n
nn
n
n n a l l a
n n a l l a l l a l l a
n n l l a l l a l l a
![Page 681: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/681.jpg)
20
02 2
2 20 1
2
10
1 1 1 1 0nn
n
l ld GG
d
n n l l a l l a l l a
2
2
2
1 2
1 1 0
1 0
1 1 4 1 1 4 4 1
2 2
1 1 2 1 1 2
2 21
n n l l
n n l l
l l l ln
l l
n l n l
![Page 682: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/682.jpg)
20
02 2
10
10
l l
l ld GG
d
G c d
2
2 2
12 11 0
l ld G dGG
d d
![Page 683: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/683.jpg)
2
2
Poniendo
tenemos
2 2 11 0
lL G
d L l dL lL
d d
2
2 2
12 11 0
l ld G dGG
d d
![Page 684: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/684.jpg)
0
nn
n
L a
2
2
2 2 11 0
d L l dL lL
d d
![Page 685: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/685.jpg)
0
1
0
22
20
1
nn
n
nn
n
nn
n
L a
dLna
d
d Ln n a
d
2
2
2 2 11 0
d L l dL lL
d d
![Page 686: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/686.jpg)
2 1
0 0 0
2 1 1
0
2 2 1 1
0
2 2 11 1 0
2 21 1 1 0
1 2 2 1 0
n n nn n n
n n n
n n nn n n
n
n n n nn n n n
n
l ln n a na a
ln n a na l a
n n a l na na l a
2
20
2 2 11 0 ; n
nn
d L l dL lL L a
d d
![Page 687: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/687.jpg)
2 2 1 1
0
1 1 11 1
0
11
0
1 2 2 1 0
1 2 2 1 1 0
1 2 2 1 0
n n n nn n n n
n
n n nn n n
n
nn n
n
n n a l na na l a
n na l n a l n a
n n l a l n a
2
20
2 2 11 0 ; n
nn
d L l dL lL L a
d d
![Page 688: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/688.jpg)
11
0
1
1 2 2 1 0
1
1 2 2
nn n
n
n n
n n l a l n a
n la a
n n l
2
20
2 2 11 0 ; n
nn
d L l dL lL L a
d d
![Page 689: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/689.jpg)
0 1 20
1
Sea la serie ...
Sea lim
Entonces la serie
a converge (absolutamente) si 1
b diverge si 1
Si 1 el criterio falla.
nn
n
nn
u u u u
u
u
![Page 690: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/690.jpg)
12
11
2
1 1
1 2 2 2 3 2 2
Es claro que
1lim lim 0
2 3 2 2
y por lo tanto la serie converge
n
n
nn
nn nn
a n l n l
a n n l n l n l
a n l
a n l n l
2
20
2 2 11 0 ; n
nn
d L l dL lL L a
d d
![Page 691: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/691.jpg)
1
2
1
Sin embargo,
1 1
1 2 2 2 3 2 2
Por tanto para grande tenemos que
1
n
n
n
n
a n l n l
a n n l n l n l
n
a
a n
2
20
2 2 11 0 ; n
nn
d L l dL lL L a
d d
![Page 692: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/692.jpg)
2
4 6 2 2 2 22
0
1 ...2! 3! ! 1 ! !
n n n
n
en n n
1
0
Desarrollo de una función en serie de Taylor:
1
!
Formula de Leibniz:
!donde
! !
nn
nn x a
nn k n k
k
d ff x x a
n dx
nf g f g
k
n nk k n k
![Page 693: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/693.jpg)
2
4 6 2 2 2 22
0
1 ...2! 3! ! 1 ! !
n n n
n
en n n
1
1
1 !coef ! 1 11coef 1 ! 1!
n
n
n n
n n nn
![Page 694: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/694.jpg)
2
1
Por tanto para grande tenemos que
1
es decir, la serie se comporta como
para grande, y eso es inaceptable.
La serie tiene que ser cortada.
n
n
n
a
a n
e
2
20
2 2 11 0 ; n
nn
d L l dL lL L a
d d
![Page 695: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/695.jpg)
11
0
Debemos cortar la serie
1 2 2 1 0
por eso, dado , para algún , debemos tener
1 0
o bien
1
nn n
n
r
r
r
n n l a l n a
l n n
n l
n l
2
20
2 2 11 0 ; n
nn
d L l dL lL L a
d d
![Page 696: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/696.jpg)
Llamamos número cuántico principal a
1
Como 0, tenemos
1. 1
2. es un entero
r
r
n l
n
l
2
20
2 2 11 0 ; n
nn
d L l dL lL L a
d d
![Page 697: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/697.jpg)
1/ 22
4 2
2 2
Como 1 tenemos
3. 2
1,2,3..
es decir
.2
r
Rn
m e ZE
n l
Ze m
E
2
20
2 2 11 0 ; n
nn
d L l dL lL L a
d d
![Page 698: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/698.jpg)
0
1
22
3 23
Las soluciones que resultan al cortar la serie
son polinomios, son los polinomios de Laguerre.
1
1
14 2
21
9 18 66
.....
L x
L x x
L x x x
L x x x x
![Page 700: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/700.jpg)
Formula de Rodrigues
!
x nx n
n n
e dL x e x
n dx
![Page 701: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/701.jpg)
0
Con el producto escalar
, exp
los polinomios de Laguerre son
ortogonales
f g f x g x x dx
![Page 702: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/702.jpg)
3
/ 2 13
290
0 2
1 !2 2 2
!
5.292 10 cm
1,2,3...; 1;
z
l
r na lnl n l
z z z
zR
n l r rR r e L
na na nan l
aa a
Z m e
n l n m l
![Page 703: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/703.jpg)
4 2
2 2 1,2,3...
2R
n
m e ZE n
n
es el número cuántico princip
Surge de la ecuación ra
a
l
l.
dia
n
![Page 704: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/704.jpg)
, , ,mnlm nl lr R r Y
1,2,3...; 1; n l n m l
es el número cuántico principal
es el número cuántico orbital
es el número cuántico magnético
n
l
m
![Page 705: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/705.jpg)
![Page 706: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/706.jpg)
![Page 707: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/707.jpg)
![Page 708: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/708.jpg)
![Page 709: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/709.jpg)
![Page 710: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/710.jpg)
![Page 711: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/711.jpg)
1
1 1
Solución general para el átomo de hidrógeno
, , , , exp /n m l
mnlm nl l n
n l m l
r t a R r Y iE t
![Page 712: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/712.jpg)
, , ,mnlm nl lr R r Y
3
/ 2 13
1 !2 2 2
!
2 1 !, 1 cos 0
4 !
2 1 !, cos 0
4 !
1,2,3... 0,1,...., 1
z
l
r na lnl n l
z z z
mm m iml l
m m iml l
n l r rR r e L
na na nan l
l l mY P e m
l m
l l mY P e m
l m
n l n
2
,...,0,...,
ZR
m l l
aZm e
![Page 713: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/713.jpg)
4 2
2 2 1,2,3...
2R
n
m e ZE n
n
ˆ , , , ,nlm n nlmH r E r
1
2
0
Degeneración: 2 1n
l
l n
![Page 714: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/714.jpg)
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2
2
2x V x E x
m
22
22Es una ecuación diferencial
ordinaria de segundo orden
lineal homogénea
d xV x x E x
m dx
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0
0 0
0
0
x
V x V x a
x a
2
2
2x V x E x
m
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2
20
0 0
; 02
0
x
x V x E x V x V x am
x a
22
2
22
02
22
2
02
02
2
d xE x x
m dx
d xx E V x x a
m dx
d xE x x a
m dx
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22
02
0 0
; 02
0
xd x
V x x E x V x V x am dx
x a
0 0
0 0
00
0
0
22 ;
ik x ik x
ikx ikx
ik x ik x
Ae Be x
x Ce De x a
Ee Fe x a
m E VmEk k
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0
0
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es negat
20
0 ; 2
Si ,
2 2
iv
2
a
ik x ik x
ikx ikx
ik x ik x
mEAe Be x k
x Ce De x am E V
Ee Fe x
E
a k
m E i m EmEk
![Page 720: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/720.jpg)
0 0
0 0
0
0
0
20
0 ; 2
2Definiendo = tenemos
ik x ik x
ikx ikx
ik x ik x
mEAe Be x k
x Ce De x am E V
Ee Fe x a k
m E
![Page 721: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/721.jpg)
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0
0
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2
i i x i i x
ikx ikx
i i x i i x
Ae Be x
x Ce De x a
Ee Fe x a
m E
m E Vk
![Page 722: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/722.jpg)
0 0
0 0
0
0
0
0 ;
2=
2
x x
ikx ikx
x x
Ae Be x
x Ce De x a
Ee Fe x a
m E
m E Vk
![Page 723: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/723.jpg)
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0
0 ;
Por tanto, debemos de tener
0 y 0
x x
ikx ikx
x x
Ae Be x
x Ce De x a
Ee Fe x a
A F
![Page 724: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/724.jpg)
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0
0
0
0
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2=
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x
ikx ikx
x
Be x
x Ce De x a
Ee x a
m E
m E Vk
![Page 725: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/725.jpg)
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0
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0
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0
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x
ikx ikx
x
Be x
x ikCe ikDe x a
Ee x a
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m E Vk
![Page 726: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/726.jpg)
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
x
ikx ikx
x
x
ikx ikx
x
Be x
x Ce De x a
Ee x a
Be x
x ikCe ikDe x a
Ee x a
![Page 727: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/727.jpg)
0
0
0
0
00
0 00
0
x ikx ikx
xx
xikx ikx
x a x a
x ikx ikx
xx
xikx ikx
x a x a
Be Ce De
Ce De Ee
Be ikCe ikDe
ikCe ikDe Ee
![Page 728: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/728.jpg)
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0
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0
aika ika
aika ika
B C D
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B ik C D
ikCe ikDe Ee
![Page 729: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/729.jpg)
0
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aika ika
aika ika
Ce De Ee
C D ik C D
ikCe ikDe Ee
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aika ika
aika ika
B C D
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B ik C D
ikCe ikDe Ee
![Page 730: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/730.jpg)
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0 0
exp exp exp 0
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ika ika a C
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ik ika ik ika a E
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![Page 731: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/731.jpg)
0
0
Este sistema tiene solución sólo si
2cotk
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![Page 733: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/733.jpg)
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![Page 734: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/734.jpg)
![Page 735: Primera Clase: Miércoles 24 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b46a1a28abb57c915644/html5/thumbnails/735.jpg)