Primer y Segundo Grado

8/3/2019 Primer y Segundo Grado

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MATEMTICAS 3 ESO 39

Antes de empezar.

1.Expresiones Algebraicas .. pg. 42Identidad y ecuacinSolucin de una ecuacin

2.Ecuaciones de primer grado... pg. 44DefinicinMtodo de resolucin

Resolucin de problemas

3.Ecuaciones de segundo grado .. pg. 46Definicin. TiposResolucin de ax+bx=0Resolucin de ax+c=0Resolucin de ax+bx+c=0Suma y producto de las racesDiscriminante de una ecuacinEcuacin (x-a)(x-b)=0Resolucin de problemas

Ejercicios para practicar

Para saber ms

Resumen

Autoevaluacin

Actividades para enviar al tutor

Objetivos

En esta quincena aprenders a:

Identificar las soluciones deuna ecuacin.

Reconocer y obtenerecuaciones equivalentes.

Resolver ecuaciones de primergrado

Resolver ecuaciones desegundo grado tantocompletas como incompletas.

Utilizar el lenguaje algebraicoy las ecuaciones para resolverproblemas.

Ecuaciones de segundo grado3


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40 MATEMTICAS 3 ESO


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MATEMTICAS 3 ESO 41

Antes de empezar

Ecuaciones de segundo grado

Llamamos x a la cantidad buscada:

x x x x21

4 5 6 215x 12x 10x 1260 30x60 60 60 60 60

7x 1260 x 180

+ + =

+ + =

= =

Cunto te cost esa radio?

Un cuarto, ms un quinto,

ms un sexto, menos 21

euros fue la mitad de todo.


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42 MATEMTICAS 3 ESO

1. Expresiones algebraicas

Identidad y Ecuacin.

Una igualdad algebraica esta formada por dosexpresiones algebraicas separadas por el signo igual(=).

Cuando la igualdad es cierta para algn valorde las letras se llama ecuacin.

Si la igualdad es cierta para cualquier valor delas letras se llama identidad .

Solucin de una ecuacin

El valor de la letra que hace que la igualdad severifique se llama solucin de la ecuacin.Resolver una ecuacin es encontrar la solucin soluciones.Una ecuacin se llama compatible si tiene solucin.Si no tiene solucin se llama incompatible .Dos o ms ecuaciones que tienen las mismassoluciones se llaman equivalentes.


Identidad: 2(x 1) 2x 2+ = +

Observa que se verifica para cualquier

valor de x:

x 0; 2(0 1) 2 2(0) 2

x 1; 2(1 1) 4 2(1) 2

x 2; 2(2 1) 6 2(2) 2

= + = = +

= + = = +

= + = = +

Ecuacin: x 1 2+ =

Observa que se verifica slo para x=1

x 1; 1 1 2

x 2; 2 1 3#2

x 3; 3 1 4#2

= + =

= + =

= + =

x 5 8+ = es una ecuacincompatible tiene por nicasolucin x=3

x 1 4+ = es una ecuacincompatible tiene por nicasolucin x=3

Las dos ecuaciones sonequivalentes

2x 1= es una ecuacinincompatible, no tiene solucin,ningn nmero elevado alcuadrado puede ser negativo

Ecuaciones equivalentes a

x 5 8+ =

x 7 10+ = se obtiene sumando 2x 5 2 8 2 x 7 10+ + = + + =

2x 10 16+ = se obtienemultiplicando por 22(x 5) 28 2x 10 16+ = + =

Para obtener una ecuacin equivalente auna dada se utilizan las siguientes reglas.

Si sumamos o restamos a los dosmiembros de una ecuacin la mismaexpresin algebraica, se obtiene unaecuacin equivalente a la dada.

Si multiplicamos o dividimos losdos miembros de una ecuacin lamisma expresin algebraica, seobtiene una ecuacin equivalente a ladada.


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MATEMTICAS 3ESO 43


EJERCICIOS resueltos

1. Clasifica la siguiente expresin algebraica:6(7x 1) 3x 4x 76 + = + ,en identidad oecuacin.

Sol: Es una ecuacin,6(7x 1) 3x 42x 6 3x 45x 6#4x 76 + = + = +

2. Clasifica la siguiente expresin alegraica:7(5x 1) 5x 40x 7 + = ,en identidad oecuacin.

Sol: Es una identidad, 7(5x 1) 5x 35x 7 5x 40x 7 + = + =

3. Escribe una ecuacin de la forma ax+b=c cuya solucin sea x=4

Sol:3x 5 7 =

4. Escribe una ecuacin de la forma ax =b que sea equivalente a 5x 4 16+ =

Sol: Restando 4 a los dos miembros de la ecuacin se obtiene 5x 20=

5. Escribe una ecuacin de la forma x +b=c que sea equivalente a 5x 20 15+ =

Sol: Dividiendo por 5 a los dos miembros de la ecuacin se obtiene 5x 4 3+ =

6. Razona si x=2 es solucin de la ecuacin: 5x 3(x 1) 13+ =

Sol: Si es solucin 5(2) 3(2 1) 10 31 10 3 13+ = + = + =

7. Razona si x=3 es solucin de la ecuacin: 7x 3(x 2) 16+ =

Sol: No es solucin 7(3) 3(3 2) 21 31 24#16+ = + =

8. Comprueba que x=-1, es solucin de la ecuacin 25x x 4+ =

Sol: Si es solucin 25( 1) ( 1) 5 1 4 + = + =

9. Escribe una ecuacin que sea incompatible

Sol: 2(x 1) 4 = , ningn nmero elevado al cuadrado es negativo


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44 MATEMTICAS 3 ESO

2. Ecuaciones de primer grado

DefinicinUna ecuacin de primer grado con una incgnitaes una igualdad algebraica que se puede expresar enla forma: ax=b, siendo a y b nmeros reales y a#0.

El mayor exponente de las x debe ser 1.Si a#0 siempre tiene solucin y adems es nica, lasolucin es: x=-b/ a

Mtodo de resolucin

Para resolver una ecuacin de primer grado se siguenestos pasos.

Se eliminan los denominadores. Para ello secalcula el mcm de los denominadores y semultiplican los dos miembros de la ecuacinpor l.

Se quitan los parntesis. Agrupar los trminos en x a la izquierda del

igual y los nmeros a la derecha. Reducir trminos semejantes.

Resolucin de problemas

Para resolver un problema mediante una ecuacin,hay que traducir al lenguaje algebraico lascondiciones del enunciado y despus resolver laecuacin planteada.

Comienza por leer detenidamente el enunciadohasta asegurarte de que comprendes bien lo que seha de calcular y los datos que te dan.

Una vez resuelta la ecuacin da la solucin alproblema.EJEMPLO 1) La edad de un padre es triple de la de suhijo, si entre los dos suman 72 aos, qu edad tiene cadauno?

Edad del hijo: x aos Edad del padre: 3x aosEntre los dos 72 aos 3x+x=72

EJEMPLO 2) Cuntos litros de vino de 4 litro tenemosque mezclar con vino de 2 litro, para obtener 40 litros devino cuyo precio sea 3 el litro.

Vino de 4/l: x litros Precio: 4xVino de 2/l: 40-x litros Precio: 2(40-x)Precio de la mezcla 403 4x+2(40-x)=340

Ecuacin : 3x+x=72Se resuelve: 4x=72 x=72/4=18El hijo tiene 18 y el padre 54 aos

Ecuacin : 4x+2(40-x)=340

Se resuelve: 4x+80-2x=1202x=40 x=40/2=20Hay mezclar 20 litros de vino decada precio.


2x 9 15+ = Ecuacin de grado 1,se puede escribir como 2x 6=

La solucin es:6

x 32

= =

3x2(x 1) 5

2

+ = Quitar denominadores:

3x2 2(x 1) 25

2

3x 4(x 1) 10

+ =

+ =

Quitar parntesis:

3x 4x 4 10+ = Agrupar:3x 4x 10 4+ = + Reducir:7x 14= Despejar: 14x 2

7= =


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MATEMTICAS 3 ESO 45



10. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)7x 5 9x 7

17 8

+ + = Sol:

7x 5 9x 756 56 56( 1) 8( 7x 5) 7(9x 7) 56

7 847

56x 40 63x 49 56 7x 47 x7

+ + = + + =

+ + = = =

b)2x (x 1) 5x 2

4 6 + +

= Sol:

x 1 5x 212 12 3(x 1) 2(5x 2)

4 67

3x 3 10x 4 7x 7 x 17

+= = +

= + = = =

c)3x 7(x 1) 2x 1

26 3

+ = Sol:

3x 7(x 1) 2x 16 6 62 3x 7(x 1) 2(2x 1) 12

6 37

3x 7x 7 4x 2 12 8x 7 x8

+ = + =

= = =

d)2x 5 2x 8

x3 7 +

= Sol:2x 5 2x 8

21 21 21x 7(2x 5) 3( 2x 8) 21x3 7

14x 35 6x 24 21x x 59 x 59

+ = + =

+ = = =

e)6x (x 8) 2x 17

x6 3

= + Sol:

6x (x 8) 2x 17

6 6 6x 6x (x 8) 2( 2x 17) 6x6 35x 8 4x 34 6x 3x 42 x 14

= + = +

+ = + = =

11. La edad de un padre es el triple que la de su hijo, si entre los dos suman 56 aosCul es la edad de cada uno?

Sol:Edad del hijo:x 56

x 3x 56 4x 56 x 144Edad del padre:3x

La edad del hijo es 14 aos y la del padre es 42 aos

+ = = = =

12. Cuntos litros de vino de 5 el litro deben mezclarse con vino de 3 el litro paraobtener 50 litros de vino cuyo precio sea de 4 el litro?

Sol:Litros de vino de 5 :x

litros preciovino de 3 el litro x 5x

5x 3(50 x) 200 2x 50 x 25vino de 4 el litro 50 x 3(50 x)vino de 6 el litro 50 200

Hay que mezclar 25 litros de 5 con vino de 3

+ = = =


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46 MATEMTICAS 3 ESO

3. Ecuaciones de segundo grado

Definicin. TiposUna ecuacin de segundo grado con unaincgnita es una igualdad algebraica que se puedeexpresar en la forma: ax 2 + bx + c = 0, siendo a, by c nmeros reales y a0.

Los coeficientes de la ecuacin son a y b. Eltrmino independiente es c.

Si b0 y c0, se dice que la ecuacin escompleta.

Si b=0 c=0 la ecuacin es incompleta .

Resolucin de ax2+bx=0

La ecuacin de segundo grado incompleta del tipoax 2+bx=0 tiene dos soluciones: x1=0 y x2=-b/ a

Se resuelve sacando factor comn a la x e igualandolos dos factores a cero.

Resolucin de ax2+c=0

La ecuacin de segundo grado incompleta del tipoax 2+c=0, puede no tener solucin tener dos

soluciones distintas de la formac

xa

=

Resolucin de ax2+bx+c=0

La ecuacin de segundo grado completa es unaigualdad algebraica que se puede expresar de laforma ax 2+bx+c=0, siendo a, b y c nmeros realesy a 0Para obtener las soluciones utilizamos la frmula

2b b 4acx

2a

= Suma y Producto de las races

Si x1 y x2 son las races de una ecuacin de segundogrado ax 2+bx+c=0, estas cumplen las siguientespropiedades :

1 2 1 2;b c

x x x xa a

+ = =

23x 9x 0+ =

x 0x(3x 9) 0

3x 9 0 x 3

=+ =

+ = =

2x 5x 6 0 + =

2( 5) ( 5) 416x

26 325 25 24 5 1

2 2 4 22

= =

=

= = =

=


Ecuacin de segundo grado

completa: 23x 4x 2 0+ + =

a=3 ; b=4 ; c=2

Ecuacin de segundo grado

incompleta: 23x 2 0+ =

a=3 ; b=0 ; c=2

23x 9 0 =

2

x x9 9 3 = = =

2x 5x 6 0 + =

Las races son x=3 y x=2

1 2

1 2

( 5)x x 2 3 5

16

x x 23 6 1

+ = + = =

= = =


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MATEMTICAS 3 ESO 47

Recuerda los pasos:

Comprender el enunciado

Identificar la incgnita

Traducir a lenguaje algebraico

Plantear la ecuacin

Resolver

Comprobar las soluciones

Discriminante

Se llama discriminante de una ecuacin de segundogrado ax 2+bx+c=0, a la expresin:

=b 2-4ac Si >0 hay dos races reales distintas Si =0 hay dos races reales iguales Si


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48 MATEMTICAS 3 ESO



13. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

a) 2x 6x 0 = Sol:x 0

x(x 6) 0x 6 0 x 6

= =

= =

b) 2x 27x 0+ = Sol:x 0

x(x 27) 0x 27 0 x 27

=+ =

+ = =

c) 23x 5x 0+ = Sol:

x 0

x(3x 5) 0 53x 5 0 x

3

=

+ = + = =

14. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

a) 2x 36 0 = Sol: 2x 6

x 36 x 36x 6

== =

=

b) 24x 9 0 = Sol: 2

3x

29 9x x

4 4 3x

2

=

= =

=

c) 2x 9 0+ = Sol: 2x 9 No hay solucin=

15. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas:

a) 2x 7x 10 0 + = Sol:57 49 40 7 9 7 3

x2 2 2 2

= = = =

b) 23x 17x 20 0+ + = Sol:5317 289 240 17 49 17 7x

6 6 6 4

= = = =

c) 23x 5x 4 0+ + = Sol:5 25 48 5 23

x No hay solucin6 6

= = =

16. Escribe una ecuacin de segundo grado cuyas raices sean x=-1, x=4:

Sol: 2S 1 4 3

x 3x 4 0P 14 4

= + = =

= =

17. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) (x 2)(x 3) 0 + = Sol: x 2 0 x 2 ; x 3 0 x 3 = = + = =

b) (3x 1)(x 5) 0 = Sol:1

3x 1 0 x ; x 5 0 x 53

= = = =


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MATEMTICAS 3 ESO 49

Parapracticar

1.Determina si las siguientes igualdadesalgebraicas son identidades o sonecuaciones:

a) 6(x 1) 3x 4x 6 = +

b) 3(x 1) 5 3x 8 =

c) 2 2(x 1) x 2x 1+ = + +

d) x (2x 5) 3x 8 =

2.Indica el grado de las siguientesecuaciones:

a) 2x 1 x 2 = +

b) 2 2x 1 x x 2 = + +

c) 3 3 2x 1 x 2x = ++

d) 1 3x 2x = +

3.Indica si x=4 es solucin de lassiguientes ecuaciones:

a) 3(x 1) 5 3x 8 =

b) 2(x 1) 5 x =

c) 2(x 3) 5x x 2+ = +

d) 3x 60 x =

4.Escribe una ecuacin de primer gradocuya solucin sea:

a) x=2

b) x=3c) x=1

5.Resuelve las siguientes ecuaciones deprimer grado:

a) 10 x 3 =

b)2x 5 15 =

c) 9 4x x + =

d) 3x 10 50 x = +

6.Calcula el valor de x:

a) 3(x 1) 2x x 1 + = +

b) 2 2(x 3) 3(x 3) 8 =

c) 2(x 3) 3(x 1) 24+ + + =

d)3x

2(x 1) 122

+ =

7.Obtn la solucin de las siguientes

ecuaciones:

a)x 1 x 3

12 3 +

=

b)x 3

3(x 2) 202

+ =

c)2 2(x 3) x 4

32 4

+ =

d)4(x 1) x 3

x 5 3(x 2)2 3

+ ++ = +

8.Encuentra dos nmeros consecutivosque sumen 71

9.Encuentra un nmero tal que sumadocon su triple sea igual a 100

10.Qu edad tengo ahora si dentro de 12aos tendr el triple de la edad quetena hace 8 aos?

11.Juan tiene 12 aos menos que Mara,dentro de 4 aos Mara tendr el triplede la edad de Juan cuntos aostienen ahora?

12.A una fiesta asisten 43 personas. Si semarchasen 3 chicos, habra el triple dechicas que de chicos.Cuntos chicos ychicas hay?



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50 MATEMTICAS 3 ESO

13.Resuelve

a)2

x 5x 0 = b) 2x 3x 0+ =

c) 2x 9 0 =

d) 2x 5 0+ =

14.Resuelve

a) 2x 5x 6 0 + =

b) 2x 3x 4 0 =

c) 2x 3x 10 0+ =

d) 2x 6x 9 0 + =

15.Resuelve

a) (x 2)(x 3) 0+ =

b) (3x 1)(x 5) 0+ + =

c) x(x 9) 0+ =

d) (2x 8)(3x 9) 0+ =

16.Escribe una ecuacin de segundogrado cuyas races sean:

a) x=3 y x=-5

b) x=2 y x=4

c) x=-1 y x=-9d) x=0 y x=-5

17.Resuelve

a) (x 2)(x 3) 6+ =

b) (x 1)(x 5) 16+ =

18.Calcula el valor de m sabiendo quex=3 es solucin de la ecuacin desegundo grado x2 - mx+27=0

19.La suma de un nmero natural y sucuadrado es 42. De qu nmero setrata?

20.La diagonal de un rectngulo mide 10cm. Halla sus dimensiones si un ladomide 2 cm menos que el otro.

21.Encuentra dos nmeros positivos quese diferencien en 7 unidades sabiendoque su producto es 44.

22.Encuentra dos nmeros cuya suma sea10 y su producto 24

23.Un campo de ftbol mide 30 m ms de

largo que de ancho y su rea es de7000 m2 , halla sus dimensiones.

24.Tenemos un alambre de 17 cm. Cmohemos de doblarlo para que forme unngulo recto de modo que susextremos queden a 13 cm?.

25.Halla el valor de los coeficientes a,b yc en la ecuacin de segundo grado

27x bx c 0+ + = para qu sus

soluciones sean 3 y -2

26.La diagonal de un rectngulo tiene 10cm. Calcula sus dimensiones si el ladopequeo mide del lado grande.

27.Reparte el nmero 20 en dos partes deforma que la suma de sus cuadradossea 202.

28.Encuentra dos nmeros positivos

sabiendo que se diferencian en 7unidades y su producto es 60.

29.Un tringulo rectngulo tiene depermetro 24 metros, y la longitud deun cateto es igual a del otro. Hallasus lados.

30.Encuentra dos nmeros sabiendo quesuma 18 unidades y su producto es77.



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MATEMTICAS 3 ESO 51

Congruencias linealesPara saber ms

Se dice que a es congruente con b mdulom sia y b dan el mismo resto al dividirpor m.

Se escribe: a b mod m

Una ecuacin lineal de congruencias es unaecuacin de la forma:

ax+b 0 mod m Si p es una solucin de la ecuacin tambinlo son p+m , p+2m,p+3m,....

Si M=m.c.d.(a,m)=1 hay una solucin

Si M=m.c.d.(a,m)#1 y M es divisor de bhay M soluciones

Si M=m.c.d.(a,m)#1 y M no es divisor

de b no hay solucin

17 12 mod 5

Observa que al dividir 17entre 5 da resto 2 y al dividir12 entre 5 da resto 2.

17 11 mod 2

12

6 mod 3

Reso lver: 2x-4 0 mod 3

mcd(2,3)=1 hay unasolucin que es x=2, tambinlo son 2+3k

Resolver: 2x-12 0 mod 4

mcd(2,4)=2 y 2 divisor de 4hay dos soluciones que son

x=0, tambin lo son 0+4k

x=2, tambin lo son 2+4k

Reso lver: 2x-1 0 mod 4

mcd(2,4)=2 y 2 no es divisorde 4 no hay solucin.

Observa que 2x-1 es impar, yningn impar es mltiplo de 4



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52 MATEMTICAS 3 ESO

Recuerda

lo ms importante


Solucin de una ecuacin Es el valor de la incgnita que hacecierta la igualdad.Ecuacin IncompatibleEs la ecuacin que no tiene solucin.Ecuacin CompatibleEs la ecuacin que tiene solucin.Ecuaciones equivalentesDos ecuaciones son equivalentes sitienen las mismas soluciones.

Ecuacin Cannica.Si S es la suma de las races y P elproducto la ecuacin des segundogrado se puede escribir en la forma:

x2-Sx+P=0

Propiedades de las races de laecuacin de segundo grado La suma de las soluciones de laecuacin de segundo grado es

1 2

bx x

a

+ = El producto de las soluciones de laecuacin de segundo grado es

1 2

cx x

a

=

Ecuacin de segundo grado Completas: ax 2+bx+c=0

Si b2-4ac>0 tiene 2 soluciones Si b2-4ac=0 tiene 1 solucin doble Si b2-4ac0, dos soluciones -c/a


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MATEMTICAS 3 ESO 53

Autoevaluacin

1. Escribe una ecuacin de la forma ax+b=c cuya solucin seax=8

2. Resuelve la ecuacin: xx 16

2(x 6)6

= +

3. Encuentra un nmero sabiendo que si ha dicho nmero le

sumo seis veces el consecutivo el resultado es igual a 755

4. Resuelve la ecuacin:x 4 x 7

12 3

++ +

=

5. Resuelve la ecuacin: 24x 7x 0 =

6. Resuelve la ecuacin: 22x 8 0 + =

7. Resuelve la ecuacin: 2x 24x 108 0 + =

8. Escribe una ecuacin de segundo grado cuyas races sean 20y 1

9. El cuadrado de un nmero positivo ms el doble de suopuesto es 960. Cul es el nmero?

10. Resuelve: (x+9)(4x-8)=0



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54 MATEMTICAS 3 ESO

Soluciones de los ejercicios para practicar

1. a) ecuacin b) identidad

c) identidad d) ecuacin2. a) 2 b) 1 c) 2 d) 1

3. a) si b) si c) no d) si

4. a) x 3 5+ = b) 2x 1 7+ = c) 3x 1 2 =

5. a) x=7 b) x=10c) x=3 d) x=30

6. a) x=1 b) x=5c) x=3 d) x=4

7. a) x=15 b) x=5c) x=1 d) x=68. 35

9. 25

10. 18

11. Juan 2 y Mara 14 aos

12. 13 chicos y 30 chicas

13. a) x=0 x=5 b) x=3 x=-3c) x=0 x=-3 d) No hay solucin

14. a) x=2 x=3 b) x=-1 x=4c) x=2 x=-5 d) x=3 x=315. a) x=-2 x=3 b) x=-1/3 x=-5

c) x=0 x=-9 d) x=-4 x=3

16. a)2x 2x 15 0+ =

b)2x 6x 8 0 + =

c)2x 10x 9 0+ + =

d)2x 5x 0 =

17. a) x=4 , x=-3 b) x=7 , x=-3

c) 2x 10x 9 0+ + = d) 2x 5x 0 =

18. 12

19. 6

20. 8 y 6

21. 11 y 422. 6 y 4

23. 100 y 70

24. Los puntos de doblado estn a 12 y 5 cm de losextremos

25. b=-7 c=-42

26. 6 y 8

27. 11 y 9

28. 12 y 5

29. 6,8 y 10

30. 11 y 7

No olvides enviar las actividades al tutor


SolucionesAUTOEVALUACIN1. -2x+7=-9

2. -8

3. 107

4. -4

5. 0 y -7/4

6. 2 y -2

7. 18 y 6

8. 2x 21x 20 0 + =

9. 32

10. -9 y 2

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