PRIMER REPASO CALCULO 2.pdf

8/11/2019 PRIMER REPASO CALCULO 2.pdf

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UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDERSEDE BUCARAMANGA

CÁLCULO II

UNIDAD TEMÁTICA: PRIMITIVAS

I. PRELIMINARES

1. Sabiendo que ( )∫−

−=0

1

2dx x f , ( )∫ =2

0

2dx x f y ( )∫ −=1

2

4dx x f hallar ( )∫−

1

1

dx x f

2. Sabiendo que ( )∫ =9

0

4,15dx x f , ( )∫ =7

4

3,7dx x f y ( )∫ =9

7

5,3dx x f hallar

a. ( )∫4

0

dx x f b. ( )∫9

4

dx x f c. ( )∫7

4

3 dx x f d. ( )∫9

4

dx x f + ( )∫4

0

25,0 dx x f

3. Una partícula se desplaza a lo largo de una recta. Su posición en el instante t es f(t). Cuando 0 ≤ t ≤1 la

posición viene dada por la integral ∫ +

+t

dx x

x x sen

0

21

cos21 π π

Encuentre la expresión para la velocidad en el

intervalo 0 ≤ t ≤1 y calcule la aceleración de la partícula cuando t = 1.

4. Los puntos (-1,3) y (0, 2) están sobre una curva y en cualquier punto (x, y) en la curva xdx

yd 42

2

2

−=

Formule una ecuación de la curva.

5. Encuentre la primitiva de ( ) ( )2

2

1

1

+−=

−

xe x f

x

que pasa por el origen (0, 0)

6. Calcular ( )∫3

1

dx x f si ( )

<≤

<≤=

42

202

x si x

x si x x f

7. Dado ( ) x F hallar ( ) x F ' : ( ) dt t

x F a x

∫ +=

2

1

21

1.

( ) dt t

x F b x

∫ +=

3

1

21

1.

8. La derivada de una función f ( x) es f ′( x) = 6 x2 − 4 x + 5 y se sabe que la función pasa por el punto P (2, 25)

Halla la función y calcula f (0).

9. Halla los máximos y mínimos relativos, si es que existen, en el intervalo [ ]2,2− , de la función

( ) ( ) dt et x F t

x

−

∫ −=

2

0

1

10. Dada la función ( ) cbxax x f ++= 23

determina los valores de a, b y c para que se cumpla que la función

tenga un mínimo en el punto ( )3,2 − y que ( ) 2

2

0

−=∫ dx x f



11. Dada la función ( ) cbxax x f ++= 2

determina los valores de a, b y c para que se cumpla que

( ) ( ) 110 =−= f f

y que ( ) 20

1

=∫−

dx x f

12. En cualquier punto (x,y) en una curva se cumple que2

2

2

3 xdx

yd += y una ecuación de la recta tangente a la

curva en el punto (1,-1) es 0242 =−+ x y

Obtenga una ecuación de la curva.

II. APLICACIONES MOVIMIENTO RECTILINEO – TEOREMA DEL VALOR MEDIO

1. Se ha estimado que la estrella de la NBA Michael Jordan saltaba verticalmente 4,5 pies. Despreciando la

resistencia del aire, ¿cuál era la velocidad inicial de su salto?

2. Un automóvil se desplaza a una velocidad de 90Km/h cuando el conductor observa otro vehículo atravesado

en la vía 50m más adelante. Este aplica los frenos de inmediato para tratar de detenerse. ¿Cuál es la

desaceleración constante que se requiere para evitar chocar con el otro vehículo?

3. Un meteorólogo determina que la temperatura T (en ºF) durante un frío día de invierno está dado por

( )( )241205,0 −−= t t t T donde t es el tiempo en horas y t=0 corresponde a la medianoche. Encontrar la

temperatura media entre las 6:00am y el mediodia.

4. El Gran Cañón del Colorado tiene 1600m de profundidad máxima. Se lanza una piedra con una velocidad de

4m/s desde encima de ese punto. ¿Cuánto tardará la piedra en llegar al suelo?

5. Se sabe que t horas después de la medianoche, la temperatura en el mes de marzo en Barbosa está modelada

mediante la función ( ) 2

10

3410 t t t f −+= . Calcular cual es la temperatura promedio en este municipio entre las

9:00am y el mediodía.

6. Una pulga salta con una velocidad inicial vertical de unos 5pies/s. ¿Qué altura alcanza? Calcula el cociente

entre el salto vertical de la pulga y su altura (12

1=altura pulgadas aproximadamente).

7. Una máquina de entrenamiento en beisbol se utiliza para lanzar directamente hacia arriba una pelota desde el

suelo con velocidad inicial de 40 m/s. Suponiendo que la resistencia del aire es despreciable:

a. Calcular la altura máxima alcanzada por la pelota y el tiempo que tarda en alcanzarla.

b. Determinar cuándo y con qué velocidad golpeará la pelota el suelo.

8. Suponga que en una gota de lluvia esférica su radio se evapora con una rapidez proporcional a su áreasuperficial (4veces el área del círculo central). Si originalmente su radio mide 3mm y media hora después se ha

reducido hasta medir 2mm, encuentre una expresión permita calcular el radio de la gota de lluvia en cualquier

instante

9. Persiguiendo a un correcaminos, un coyote no muy astuto, se lanza al aire mediante una catapulta. Si le

propulsa verticalmente hacia arriba, desde el suelo, con velocidad inicial de 64 pies/s. Calcular la máxima altura

que alcanza, el tiempo que está en el aire y su velocidad cuando vuelve a caer sobre la catapulta.



10. Nuestro no muy astuto coyote ha caído y rebotado de nuevo en la catapulta. Si esta le propulsa

verticalmente hacia arriba hasta alcanzar una altura de 256pies, ¿Cuál es la velocidad inicial con que salió el

coyote de la catapulta?

11. Cuando se analiza la diseminación de una enfermedad contagiosa como la gripe, es razonable suponer que

la tasa o razón con que se difunde es proporcional a la cantidad de personas, x(t), que la han contraído en e

momento t (en días) . Se sabe que la tasa de crecimiento del contagio está dada por 3 2 xk dt

dx=

.

con k una

constante de proporcionalidad. El lunes 20 de agosto llegaron a la UIS Sede Barbosa 18 personas con gripe, y

tres días después hubo ya 23 personas contagiadas. Tomando como inicio el día lunes 20 de agosto, ¿cuándo

llegó a 39 personas la población contagiada?

12. Una gota de lluvia cae desde una nube a 0,924Km de altura sobre el suelo. Despreciando la resistencia del

aire, ¿a qué velocidad llegará la gota al suelo?

13. Un nadador salta desde un trampolín situado a 15 pies de altura sobre el nivel del agua con una velocidad

inicial de 8 pies/s (hacia arriba). ¿Cuál es su velocidad al entrar en el agua?

III. APLICACIONES CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EXPONENCIAL1. Por razones obvias, la sala de disección de un forense se mantiene fría, a una temperatura constante de 5

grados Celsius. Mientras se encontraba realizando la autopsia de la victima de un asesinato del narcotráfico, el

propio forense es asesinado, y el cuerpo de la victima robado. A las 10a.m. el ayudante del forense descubre su

cadáver a una temperatura de 23 grados Celsius. A mediodía, la temperatura del cadáver es de 18.5 grados

Celsius. Suponiendo que el forense tenía en vida la temperatura normal de 37grados Celsius, ¿a qué hora

aproximadamente fue asesinado?

2. Un material cerámico se saca en cierto momento de un horno cuya temperatura es de 750 °C, para llevarlo a

una segunda etapa de un proceso que requiere que el material se encuentre a una temperatura de cuando mucho

200 °C. Suponga que la temperatura de una sala de enfriamiento donde se colocará este cerámico es de 5 °C yque, después de 15 min, la temperatura del material es de 600 °C. ¿En cuánto tiempo el material cerámico estará

listo para entrar a la segunda etapa de su proceso?

3. Supongamos que decides asesinar a la profesora de Cálculo II. Una vez perpetrado el horrendo crimen, se

encuentra el cuerpo en la sala de profesores, que está a una temperatura de 20°C a las 5:00 de la tarde. En ese

momento la temperatura corporal del cuerpo era de 35°C. Una hora más tarde, la temperatura era de 33°C. ¿A

qué hora se produjo el horripilante y brutal suceso?

4. Supóngase que un accidente nuclear ha dejado que el nivel de cobalto radioactivo ascienda en cierta región a

100 veces el nivel aceptable para la vida humana. ¿Cuánto tiempo pasará para que la región vuelva a ser

habitable? Justifique su respuesta. Nota: La vida media del cobalto radioactivo es de 5.27 años.

5. Datación según desintegración radioactiva. El carbono-14 (C 14

), sustancia radioactiva presente en ciertos

fósiles, se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Su vida media (tiempo en

desintegrarse a la mitad una cantidad inicial) es de 5730 años. En 1947 fueron encontrados unos 800 rollos de

papiros, incluyendo los manuscritos más antiguos del Antiguo Testamento, en unas cuevas cercanas a la ribera

nor-occidental del Mar Muerto, que se conocen como “los papiros de Qumram”. El manuscrito que contiene e

libro de Isaías fue datado en 1994 a partir de la técnica del carbono 14. Se observó que tenía cerca del 75% del

nivel inicial de C14

. Estimar la fecha en la que fue escrito el manuscrito.



6. Muchas personas creen que el Sudario de Turín, que muestra la imagen negativa del cuerpo de un hombre

aparentemente crucificado, fue el manto mortuorio de Jesús de Nazaret. En 1988 el Vaticano concedió e

permiso para que se investigara su antigüedad mediante el fechado por carbono. Tres laboratorios científicos

independientes analizaron las telas y concluyeron que el sudario tenía aproximadamente 660 años de

antigüedad, una edad que concordaba con su aparición histórica. Con base en esta edad, determine cual es el

porcentaje de la cantidad original de C-14 que permanecía en la tela hasta 1988.

7. La datación por carbono supone que el dióxido de carbono actual contiene la misma proporciçon de carbono14 radiactivo que tiempos atrás. Si eso es cierto, la cantidad de carbono 14 absorbida por un árbol que creció

siglos atrás debe ser la misma que absorbe un árbol actualmente. Un fragmento de carbón antiguo perteneciente

a una fortaleza incendiada, contiene solo el 15% del que contiene un fragmento actual. Calcular su antigüedad.

8. Sea L(t ) la longitud (en centímetros) de un pez en el tiempo t , medido en meses. Se supone que el pez crece

de acuerdo con la siguiente ley (de Bertalanffy): ( ) Lk dt

dL−= 34 donde k es una constante de proporcionalidad

El pez payaso mide al nacer 2cm y a la edad de 4 meses mide 10cm. Calcula la longitud del pez payaso a los 10

meses.

9. Cuando un rayo vertical de luz pasa a través de una sustancia transparente, el grado con que su intensidad I

disminuye es proporcional a I(t), en donde t representa el espesor del medio, expresado en pies. En agua de mar

límpida, la intensidad a 3pies bajo la superficie es el 25% de la intensidad inicial Io del rayo incidente. ¿Cuál es

la intensidad del rayo a 15 pies bajo la superficie?

10. Se sabe que la velocidad de propagación de una epidemia es proporcional al número de individuos

infectados multiplicado por el número de individuos no infectados. Si denotamos por I(t) el número de

individuos infectados en el tiempo t y por P la población total, la dinámica de la infección viene dada por

( ) I P I k dt

dI −=

donde k>0 es el coeficiente de proporcionalidad. En una granja en China con 40.000 aves hay

un pollo contagiado con la gripe aviar. Si suponemos que la rapidez de contagio es directamente proporcional

tanto al número de aves contagiadas como al número de no contagiadas, siendo la constante de

proporcionalidad k = 4x10-5

, determinar en cuánto tiempo un 75 % de los pollos de la granja quedarán

infectados.

11. El azúcar se disuelve en el agua a una tasa proporcional a la cantidad insoluta. Si se tenían 50kg de azúcar

presentes inicialmente y después de 5 horas ésta se redujo a 20kg, ¿cuánto tiempo deberá pasar para que el 90%

del azúcar se disuelva?

IV. INTEGRALES. Resuelva las siguientes integrales:

dxe

e x

x

∫−1

.1

dx x∫−

−−4

2

21.2

dww

w∫ −3

2

2

3

1.3

dy

y

y sen∫ + cos1.4

2

dx x

x sen∫

cos.5

3

6. dx

x x∫

+

11

1

2

( ) φ φ φ d ∫ ++ 2cottan.7 22 ( )

dx x

∫ ln

lnln.8 dx

x∫ +1

1.9 dx

x

x∫ −1.10

4



dx x

senx x sen x sen∫

−−+2

23

cos

22.11

dx x

∫ +

3

0 1

1.12

dy

y y

y∫ + ln1

ln.13 dx

x x∫ − 4

1.14

∫− x x

dx

senarc1.15

2

dx x∫ +

23

021

1.16

dy

y y sen∫ 22cos

1.17

dx x

x∫

−1.18 dx x x∫ −

41

0

422.19

( )dx x x 621.20

4

0

−+−∫

( )dx x x 621.21

4

0

−+−∫ ( )

dx

x

x∫

+ 2cos

.2242

3

dx

x x∫

+ )1(

1.23

( )dxee x x

∫ −− tan.24

( )dxe x

∫ −12ln.25 dx x∫

2tan.26 ( ) dx x x∫ +42 13.27 dx xe senx

∫ − cos.28

( )( ) dx x x∫ +−2

0

22.29 dx x

x∫

− 2.30

2 dxee

x x

∫ −1.31

dxee

ee x x

x x

∫ −

−

+

−.32 dx

e

e x

x

∫−−

2

5.33

dxe

ee x

x x

∫ ++ 12

.342

dx x

arcsenx∫

− 21.35 dx

x x∫ −1tgcos

136

2 dx

x

x∫ −3 31.37 ∫ dx xtan.38 3

dx x

x∫ 2

cos

tan.39 dx

senx∫ + 2

cos1.40

dx

x

x∫ − 2.41

3

2

dx x

x∫

+ 2sen1

2sen.42

( ) dx

x

x x∫ +

+2

2

1

2.43

dx x

x∫ +

−

1

1.44

∫

++ )1(ln)x+1(

dx.45

22 x x

dy y y

∫+1

1.46

dx

x x

+ −

∫ 2

3 111.47

dx x

x xsen∫

+

+

4

4.48

2

2

( ) dx x x∫ +2

2sec2tan.49

dx x

∫ +

4

0 1

1.50

dx x∫ −1

0

21.51 dx x∫−

+1

1

13.52

dx x x∫

3

2

4ln

1.53 dx x x∫

−

−+5

1

245.54 ( )dx x∫ −−8

0

26.55

dx x x x∫ +1

0

1.56 dx x x∫−

−1

1

.57

∫

+−

4

1

31

.58 dx x x x dx x sen∫

2

0

3

.59

π

dx x∫ −

5

1

3

12.60 ( )[ ] dx x x sen∫

tanln2

1

.61

INTEGRACIÓN NUMÉRICA. MÉTODO DEL TRAPECIO, DE SIMPSON Y SUMAS DE RIEMMAN

1. Dada la integral dx x

x

∫ +

−1

02

2

1

1 se pide a. Calcularla de forma exacta y mediante regla de Simpson.

2. Hallar el valor aproximado de dx x∫ +2

1

)1(ln utilizando las fórmulas de los trapecios y de Simpson.

3. Se desea averiguar un valor aproximado de 2ln . Sabiendo que 2ln12

1

=∫ dx x

4. Aproxime el valor de cada integral: a. ∫1

0

2

dxe x b. ∫4

1ln dx xe x c. dx

x

e x

∫4

2

d. dx x

x∫ +

6

01

cos

e. dxe x x

∫4

2

3 f. ( ) dx x x 1lnln6

1

+∫ g. ∫ −1

0

)4( dx xe x h. ∫ −1

0

24 dx x

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