Universidad Industrial de Santander Escuela de Fsica I Previo de Mecnica Cuntica II

Nombre Cdigo

Profesor Ilia Mikhailov Fecha 25.06.2012

0

2 20

2

,0 1 2 1 2 /0 , , 1,0,0 3 20 0

00

2 2 22

0 02 2

2 2 ; ; min; min

1 !; ; ; ; ;

1; ; ; 4

22

n m r an xn n n n n n n n n n

m n n m

n n n

e

H p m V m V p i E H H E

Vx e dx n H H V E E E E E V E V e

aE E

RyE n E n E a

m L n me

r r

2 4

2 2 20 0 0

0,0529 ; 13.68 2 4

e menm Ry eV

a

1. Utilizando la funcin de prueba si 0 y 0 si 0x x exp x x x x con el parmetro variacional , encuntrese la energa del estado base de un electrn en un campo 1D, cuyo potencial de confinamiento se define como

2 2

2 si 0 y si 0V x m x x V x x (10ptos). Explquese porque el valor exacto para la energa del estado base es

3

2 ? Compare con la estimacin por el mtodo variacional e interprete los resultados obtenidos (5ptos).

Solucin:

2. Utilizando funcin de pruebaae , encuntrese la energa del estado base para de un anlogo de tomo hidrogeno bidimensional

tomando como el potencial de atraccin entre ncleo y el electrn en coordenadas polares como 2 0/ 4V e (15ptos)

.Solucin:

22

0

2

2 2

0 0

22 2 2 2 2 22

2

0 0 0

2 22 2

0 00 0

14

2

22

22

2

2 42

24 2

x

a x

a

d d dH T V ; T ; V e / ; e ; e ;

m d d d

e d xe dx ;

dT d e d xe dx ;

m d m mm

e eV e d e d

2

0

2 2 2 2 2

0 0

2 2 2 4 4 4

2 2 2 22 2 20 0 0 0 0

4

4 4 2 2

0 42 2 2 2 2 2 2

e;

He eH T V ; E

m m

dE e me me me me; ; E Ry

d m

3. El Hamiltoniano de tomo de hidrogeno en presencia de un campo magntico externo B parra estados S tiene la forma 0 H H V ,

donde 2 2

0

02 4

eH

m r es el Hamiltoniano del tomo sin perturbacin y 2 2 2 2 8V e B r sin m es la energa diamagntica dadas en

coordenadas esfricas. Considerando V como una perturbacin encuntrese la energa del tomo de hidrogeno para el estado base en la

primera orden de la teora de perturbaciones (10ptos) y condicin de la aplicabilidad de este resultado (5ptos) Solucin:

0

2 2 4

1 0 0 0 0 0 2 23 2 20 00 0

11 4 0 0529 13 6

8 2 4

r / a

, ,

e mea Estado base : e ; E Ry;a , nm; Ry . eV

amea

;

2 2

2 2

3 30 0

2 22 2 2 22

0 0 0

22 2

exp ; exp 2 ; 1 exp

2 1 1exp 2 ;

2 42

21 exp 2 1 ;

22 2 4 2 8

2

y

y

x

x x x x x x x x x

x yx x dx y e dy

x y

x yd yT dx x x dx e dy

x ym dx m m m

V m x xe dx

2 22 4 2 4

5 50 0 0

2 2 2 2 2

5 2

1 22 2 2 2

2

3 2

22

2 32 ;

2 82 2

3 3;

8 28 2

3 30; 3;

33 3

3 1.73 ; 1.52 2

2 3

x y

exact

x y m mm x e dx y e dy

x y

Hm mH T V E

m m

dE m m m

d m

m

mE E

mm

0

0 0

22 2 2 2 2

2

0 0 1 0 0 1 0 0 3 20 0 0 0

02 2 2 2 2 22 23 4 2 4

3 3 3

0 0 00 0 0

1

8

41

34 4 4

r / a

, , , , ,

r / a r / a

e B r sinb )Elemento matricial de la perturbacion : V V d sin d e r drm a

e B e B e Bsin d e r dr cos d cos e r dr

ma ma ma

5 2 2 2

0 0552 4

a e B a!

m

2 2 2

1 0

0 0 0 0

2 2 22

0

3

0 0 0

51

4

5

8 4

,

e B ac Energia del estado base en la primera orden de la teoria de perturbaciones : E E V Ry

m

e B ae

a ma

2 2 2 2

0

0 0 1 0

0 0

22

3

0 0

53 3

4 4 4 8

3

40

,

e B a ed Condicion de aplicabilidad : V E E Ry

m a

meB

a

4. Para un pozo bidimensional de forma cuadrada con la barrera infinita cuyo potencial:

0xU dentro del cuadrado 0 x a , 0 y a y xU fuera del cuadrado.. a) Demustrese: que el primer nivel excitado es doblemente degenerado y encuntrese su energa y

dos funciones de onda correspondientes (5ptos). b) Utilizando la teora de perturbaciones

demustrese que la perturbacin 2

0/ 4 2 / 3V a V x a y a desacopla estos dos estados y

encuntrese las nuevas energas (10ptos).

Solucin:

a)

2 22

2 2

, ,, , ;

2

0 , ; 0, , ,0 , 0

x y x yV x y E x y

m x y

x y a y a y x x a

2 2

2 2, . 2

2, sin sin ; ; , 1,2,3,

2n l n l n m

nx lyx y X x Y y E n l n l

a a a ma

Estado base 2 2 2 2

2 21,1 1,1 2 2

2, sin sin ; 1 1

2

x yx y E

a a a ma ma

Primer estado excitado es doblemente degenerado

2 2 2 2

01,2 2,1 1 1,2 2 2,1 1,2 2,12 2

3 2 2 2 2 3; , , sin sin ; , , sin sin ;

2 2

x y x yE E x y x y x y x y E E E

a a a a a ama ma

b) Para la perturbacin 2

0/ 4 2 / 3V a V x a y a elementos matriciales son:

2 2 2 2 2 21,1 1 1 1 0 0 020 0 0 0

4 2 4, , sin sin / 4 2 / 3 4 sin sin 3

4 3

L L L Lx y

V V dx x y V x y dy dx a V x a y a dy V Va aa

2 2 2 2 2 22,2 2 2 2 0 0 020 0 0 0

4 2 2, , sin sin / 4 2 / 3 4 sin sin 6

2 3

L L L Lx y

V V dx x y V x y dy dx a V x a y a dy V Va aa

21,2 1 2 1 2 020 0 0 0

0 0 2,1 1,2 0

4 2 2, , , sin sin sin sin / 4 2 / 3

4 24 sin sin sin sin 3 2 ; 3 2

4 3 2 3

L L L Lx y x y

V V dx x y x y V x y dy dx a V x a y a dya a a aa

V V V V V

Ecuacin secular para calcular el desdoblamiento de los estados doblemente degenerados:

0 02 21,1 1,2 00 0

0 00 02,1 2,2 0 0

01,2 0 0

3 3 20 0 3 3 2 0

3 2 6

3 3 2

E E V V E E V VE E V V

V E E V V E E V

E E V V