MECANICA DE FLUIDOS I

Juan Chamorro GonzálezJuan Chamorro GonzálezDepartamento de Metalurgia

Universidad de Atacama

PRESIÓN Y MANOMETRÍAPRESIÓN Y MANOMETRÍA

La PresiónLa Presión

El término presión se usa para indicar la El término presión se usa para indicar la fuerza normal por unidad de área en un punto dado que actúa sobre un plano punto dado que actúa sobre un plano específico dentro de la masa de fluido de interés.

La presión en un puntoConsidere el diagrama de cuerpo libre obtenido al eliminar una cuña triangular de fluido de alguna ubicación dentro de una masa de fluido.

La presión en un puntoComo no hay esfuerzos cortantes, las únicas fuerzas externas que actúan sobre la cuña se deben a la presión y al peso.

Las ecuaciones de movimiento (Segunda Ley de Newton, F = m a) en las direcciones Y y Z son, respectivamente:

ZYXZYX

YZYX

SXSZXYY

δδδδδδθδδδδF

a2

δδδρθsenδδpδδpF

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅−⋅⋅=

∑

∑

ZZYXZYX

SXSYXZZ a2

δδδρ2

δδδγθδδpδδpF ⋅=⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅=∑ cos

Donde pS, pY y pZ son las presiones medias sobre las caras, γ y ρ el peso específico y la densidad del fluido, respectivamente y aY, aZ son las aceleraciones.

La presión en un puntoPara obtener la fuerza generada por la presión es necesario multiplicar la presión por un área adecuada. Según la geometría de la cuña, se tiene:

θsenδδθδδ SZSY ⋅=⋅= cos

Por lo que las ecuaciones de movimiento se pueden escribir como: q p

2δaρpp Y

YSY ⋅⋅=−

2δγaρpp

2ρpp

ZZSZ

YSY

⋅+⋅=− )(

Como interesa lo que sucede en un punto, se considera el límite cuando δX, δY y δZ tienden a cero, se concluye que:

SZSY pPpp ==

La presión en un puntoEs decir:

ZYS ppp ==

Según lo anterior se concluye que:

LEY DE PASCAL : La presión en un punto de un LEY DE PASCAL : La presión en un punto de un fluido en reposo, o en movimiento, es independiente de la dirección en tanto no haya p yesfuerzos cortantes

Este instrumento consta de una esfera hueca de vidrio provista de pequeños orificios abiertos en varios puntos de su superficie Empujando por medio de orificios abiertos en varios puntos de su superficie. Empujando por medio de un émbolo el agua contenida en el interior de esta esfera se aprecia su salida a través de los orificios con velocidad uniforme (pequeños chorritos de igual intensidad), lo que evidencia el principio de Pascal, es decir, que "la presión j id lí id d d t d i i t t it i l ejercida a un líquido encerrado dentro de un recipiente se transmite por igual

a todos los puntos del fluido y a las propias paredes del mismo".

Propiedades de la presiónp p• La presión en un punto de un fluido en reposo es igual en todas

direcciones.

• La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el seno de un fluido en reposo es la misma.

• En un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce en el interior, una parte del fluido con la otra contigua el mismo tiene la p gdirección normal a la superficie de contacto.

• La fuerza de presión en un fluido en reposo se dirige siempre hacia La fuerza de presión en un fluido en reposo se dirige siempre hacia el interior el fluido, es decir, es una compresión, no una tracción.

• La superficie libre de un líquido siempre es horizontal a menos que La superficie libre de un líquido siempre es horizontal, a menos que existan fuerzas externas que influyan.

Presión absoluta y manométricayLa presión de referencia es la atmósfera y la presión resultante que se mide se conoce como presión manométrica.

La presión que se mide en relación con el vacío perfecto se conoce como presión absoluta.

La relación entre la presión absoluta, presión atmosférica y presión é i ( ió l i ) manométrica (o presión relativa) es:

aatmosféricamanométricabsoluta ppp +=

La presión atmosféricapLa presión atmosférica se lleva a cabo con un barómetro de mercurio (Exp i n i d E n list T i lli (Experiencia de Evangelista Torricelli en 1644)

vaporaatmosféric php +=

La presión de vapor del mercurio por ser muy pequeña (0,000023 psi ºabsolutos a 68 ºF ) puede ignorarse, por lo que:

hp t fé i = hp aatmosféric

Evangelista Torricelli (1608 -1647)En 1643 realizó el descubrimiento del principio del barómetro, por el que pasó a la posteridad, que demostraba la existencia de la presión atmosférica principio posteriormente confirmado por Pascal realizando mediciones a existencia de la presión atmosférica, principio posteriormente confirmado por Pascal realizando mediciones a distinta altura. La unidad de presión torr (presión ejercida por una columna de un milímetro de mercurio, es decir 1/760 atmósferas ) se nombró en su memoria. Enunció, además, el teorema de Torricelli, de importancia fundamental en hidráulica.

La presión manométrica

La presión manométrica se mide con respecto a la presión atmosférica local.local.

Una presión manométrica de cero corresponde a una presión que es i l l ió fé i l l

p p p qigual a la presión atmosférica local.

Los dispositivos para medir presión se denominan manómetros (de tuboLos dispositivos para medir presión se denominan manómetros (de tuboen U y de Bourdon)

El manómetro de tubo en UU té i l di l ió h d l d Una técnica normal para medir la presión hace uso de columnas de líquido en tubos verticales o inclinados.

Medida de la presión arterial: Un manómetro conocido es el que utilizan los médicos para determinar la presión arterial. p

Consiste en un cojín que se coloca alrededor del brazo, y que se infla hasta ejercer una presión superior a la presión que se infla hasta ejercer una presión superior a la presión arterial del brazo. Luego se desinfla lentamente.

El manómetro de mercurio entrega dos valores en mm-Hg: El manómetro de mercurio entrega dos valores en mm Hg: la presión más alta o sistólica y la presión más baja o diastólica.

El manómetro de BourdonUn dispositivo para medir presión que se utiliza ampliamente es el medidor de presión de tubo de Bourdon. p p

Transductores de presiónDi iti i t l ió lid lé t iDispositivo que convierte la presión en una salida eléctrica.

Por ejemplo: cuando se requiere controlar continuamente ó l

j p quna presión que cambia con el tiempo.

Algunos conceptos básicos

• Un vacío perfecto es la presión más baja posible. Es decir, una presión absoluta siempre será positiva.

• Una presión manométrica que esté por encima de la presión atmosférica es positiva.

• Una presión manométrica que esté por debajo de la presión atmosférica es negativa (presión de vacío).g p

• La magnitud real de la presión atmosférica varía con el lugar y con las condiciones climatológicas.las condiciones climatológicas.

• A nivel del mar, la presión atmosférica estándar es de 101.325 pascales (absoluta) = 14 69 psi (absoluta)pascales (absoluta) = 14,69 psi (absoluta).

Presión absoluta y manométricay

La presión p se define como la fuerza F que se ejerce p p f f q jsobre un área unitaria A de una sustancia. Se calcula a partir de:

FAFp =A

E l l ( / 2) En el Sistema S.I. se expresa en pascales (= N/m2) , mientras que en el Sistema Inglés se expresa en lb/pulg2

= psi (del inglés: pound per square inches)p ( g p u p qu )

Variación de la presión en un fluido en reposo

Superficie del fluidoSuperficie del fluido

0F∑ 0=F∑ H

Variación de la presión en un fluido en reposo

Superficie del fluido

F2 = p2A A

z2

2 p2

(p1+dp) = p2

dz, dpw

z1p1

F1 = p1A Peso esp. fluido = γ

0 = w - F - F = F 21∑

0 = dz×A×γ - A×dp) + (p - A×p

0 w F F F 21v∑

dz γ = dp

0 = dz×A×γ - A×dp) + (p - A×p 11

dz γ - = dp

Ecuación fundamental para fluidos en reposo (se puede utilizar para Ecuación fundamental para fluidos en reposo (se puede utilizar para determinar la forma en que la presión cambia con la elevación).

La presión disminuye a medida que se efectúa un desplazamiento p y q pascendente en un fluido en reposo.

Para líquidos y gases en reposo, el gradiente de presión en la dirección y p pvertical en cualquier punto del fluido depende sólo del peso específico del fluido en dicho punto.

Fluido IncompresiblePara líquidos suele ser insignificante la variación de la densidad, inclusive sobre grandes distancias verticales, de modo que cuando se trata con líquido es aceptable la suposición de que el peso específico es

t t P l l ió t i d i t constante. Por lo que la ecuación anterior puede integrarse como:

∫∫22 Z

Z

p

p

dZγ-dp =11 Zp

)( 1212 ZZγpp −⋅−=−

)( 1221 ZZγpp −⋅+=

hhγpp 21 ⋅+=

En un fluido incompresible en reposo la presión varía linealmente con En un fluido incompresible en reposo la presión varía linealmente con la profundidad.

Dentro de un fluido dos puntos A y B tienen la misma presión si:

1) El fluido se encuentra en reposo

2) Los puntos A y B se encuentran al mismo nivel

3) Los puntos A y B están dentro de la misma masa contínua de fluido.

La diferencia de presión entre dos puntos puede f p p pespecificarse mediante la distancia h, es decir:

ppγpph 21 −=

En este caso h se denomina cabeza o carga de presión y i l l d b di l se interpreta como la altura que debe medir una columna

de fluido de peso específico γ para obtener una diferencia de presión p1-p2. p p1 p2

Por ejemplo, una diferencia de presión de 10 psi se puede especificar en términos de la carga de presión como 23,1 pies de agua (γ= 62,4 en términos de la carga de presión como 23,1 pies de agua (γ 62,4 lb/pie3) o como 518 mm-Hg (γ=133 kN/m3)

La paradoja de Pascal

Cuando se trabaja con líquidos a menudo hay una superficie libre (que es conveniente usar como plano de referencia) La presión de referencia pconveniente usar como plano de referencia). La presión de referencia pocorresponde a la presión que actúa sobre la superficie libre (que suele ser la presión atmosférica).

El cambio de presión depende solamente del cambio de elevación y del tipo de fluido, no del tamaño ni de la forma del contenedor donde se encuentra el fluido.La presión es la misma en todos los puntos a lo largo de la recta A-B

La paradoja de Pascal

El requisito de igualdad de presiones a elevaciones iguales se aplica en prensas hidráulicas en controles hidráulicos de aviones y en aplica en prensas hidráulicas, en controles hidráulicos de aviones y en ciertos tipos de maquinaria pesada.

El efecto de los cambios de elevación suele ser insignificante para éste tipo de dispositivo hidráulico, por lo que resulta F2=(A2/A1)F1.

Fluidos Compresibles

Los gases son fluidos compresibles (aire, oxígeno, nitrógeno, etc) cuya densidad varía de manera significativa con cambios de presión y de temperaturacon cambios de presión y de temperatura.

Los pesos específicos de gases comunes son pequeños en L p p f g mu p qucomparación con los de los líquidos. Por ejemplo, a nivel del mar y a 60 ºF el peso específico del aire es de 0,0763 lb/pie3 mientras que el del agua en las mismas condiciones lb/pie3 mientras que el del agua, en las mismas condiciones, es de 62,4 lb/pie3.

El gradiente de presión en la dirección vertical es pequeño por lo que es posible ignorar el efecto de los cambios de elevación sobre la presión en gases contenidos en depósitos elevación sobre la presión en gases contenidos en depósitos, balones de gas, tuberías, etc.

Fluidos CompresiblesEn el caso en que la variación de altura es grande, del orden de miles de pies, es necesario considerar el peso específico del gas.

La ecuación de estado de los gases ideales establece que:

TRnVp ⋅⋅=⋅

TRmVp

p

⋅⋅=⋅

Rm

TRPM

Vp ⋅⋅=⋅

TPMR

Vmp ⋅⋅=

TRρp ⋅⋅= ∗

La ecuación fundamental de fluidos en reposo (dp=-γdZ) puede combinarse con la ecuación anterior:

TRpgγ

dZdp

⋅⋅

−=−= *

Al separar variables se tiene:

⋅−=

dZgdp

∫∫ ⎟⎞

⎜⎛

⋅=

22 Zp dZgpdp

TRp *

∫∫ −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

11 Z1

2

p TdZ

Rg

pp

pdp

*ln

Si la temperatura se considera constante T = T0 (condiciones p 0 (isotérmicas) se concluye que:

⎥⎤

⎢⎡ −⋅−⋅= 12

12ZZgpp )(exp ⎥

⎦⎢⎣ ⋅ 0

12 TRpp *exp

ManometríaPiezómetro

Consiste en un tubo vertical, abierto en la parte superior, conectado al recipiente en que se desea medir la presión.

Como A y 1 están al mismo nivel, PA= P1

Por lo que:

PA= γ h1

Se utiliza solo si la presión en el recipiente es mayor que la presión atmosférica (en caso contrario aspiraría aire). La presión a medir debe ser relativamente pequeña (de modo que la altura de la columna de fluido pequeña (de modo que la altura de la columna de fluido sea razonable). Se aplica solo a los líquidos.

Manómetro simple de tubo en UEl fluido del manómetro se llama fluido manométrico (puede ser Hg CCl4 aceite agua etc )Hg, CCl4, aceite, agua, etc.)

En la configuración mostrada se cumple que: pA = p1 y p2 = p3.

Además, p2 = p1 + γA h1 y p3 = p0 +γmanómetro h2

Es decir:pA = γmanómetro h2 – γ1 h1

Manómetro simple de tubo en ULa ventaja del tubo en U es que el fluido manométrico puede ser distinto al fluido que se quiere medir.med r.

Se aplica en líquidos y en gases.

Si el fluido en A fuera un gas, se tiene que pA = p2, por lo que:

pA = γmanómetro h2

Si la presión en A es grande, se debe usar un fluido manométrico pesado usar un fluido manométrico pesado (por ejemplo Hg) para tener una columna de fuido no demasiado grande.Si la presión en A es pequeña, se debe p p qusar un líquido manométrico más ligero, para tener una columna de fluido que se pueda leer.

Manómetro diferencial de tubo en USe usa para medir la diferencia de presión que hay entre dos recipientes o dos puntos de un sistema dado.s stema dado.

Dos líquidos manométricos comunes son agua y mercurio. Ambos poseen un m nisc bi n d finid un menisco bien definido y propiedades bien conocidas.

El fluido manométrico debe ser El fluido manométrico debe ser inmiscible con los demás fluidos con los que esté en contacto.

Para obtener mediciones exactas es necesario medir la temperatura, ya que los diversos pesos específicos de los fluidos manométrica varían con ella.

Manómetro de tubo inclinado

Manómetro de tubo inclinadoSe usa para medir pequeños cambios de presiónSe usa para medir pequeños cambios de presión.

Una rama del manómetro está inclinada en un ángulo Θ y la lectura diferencial l2 se mide a lo largo del tubo inclinado

La diferencia de presión entre los puntos A y B está dada por:

hγhγ+θsenlγ=pp

Para ángulos relativamente pequeños, la lectura diferencial a lo largo del tubo inclinado se puede hacer grande incluso para pequeñas diferencias de presión.

113322BA hγhγ+θsenlγ=pp --

El manómetro de tubo inclinado se usa para medir pequeñas diferencias de presión en gases, así si los tubos A y B contienen un gas, entonces:

pppA – pB = γ2 l2 senθ Es decir :

La lectura diferencial del manómetro de tubo inclinado se puede incrementar f t d 1/ θ b l bti ó t d t b

θsenγpp

=l2

BA2

-

por un factor de 1/senθ sobre la que se obtiene con un manómetro de tubo en U convencional.

Medidores de presión de aireConstan de un cilindro en cuyo extremo se ubica la válvula de entrada del aire, mientras que el otro extremo está sellado. En el interior del cilindro existe una regla móvil que sale hacia el exterior del extremo sellado por la acción de la presión donde esta regla es graduada y se observa la medición por lectura directa. Una de las aplicaciones prácticas es la medición de la presión de aire en los neumáticos y compresores de aire.

EjerciciosEjercicios

Ejercicio 1) El lago de una montaña tiene una temperatura media de 10 ºC y una profundidad máxima de 40 m. Para una presión barométrica de y p p598 mm-Hg, determinar la presión absoluta (en pascales) en la parte más profunda del lago.

Datos: a 10 ºC γH = 133 kN/m3 y γ = 9 804 kN/m3Datos: a 10 C, γHg = 133 kN/m y γagua = 9,804 kN/m

Respuesta: 472 kPa (absoluta)

Ejercicio 2) Un depósito cerrado contiene aire comprimido y aceite (GEaceite=0,90). Al depósito se conecta un manómetro de tubo en U con mercurio (GE =13 6) Para las alturas de columna h =36 pulgadas h = 6 mercurio (GEHg=13,6). Para las alturas de columna h1=36 pulgadas, h2 = 6 pulgadas y h3 = 9 pulgadas, determine la lectura de presión en el manómetro (en psi).

Datos: γagua,4ºC = 62,4 libras/pie3

Respuesta: pmanométrica = 3,06 psi

Ejercicio 3) Un depósito se construye con una serie de cilindros que ti n n diám t s d 0 30 0 25 0 15 m El d pósit nti n it tienen diámetros de 0.30 , 0.25 y 0.15 m. El depósito contiene aceite, agua y glicerina, y en el fondo se conecta con un manómetro de mercurio. Calcular la lectura h del manómetro.

Respuesta: 0 0327 mRespuesta: 0,0327 m

Ejercicio 4) El caudal que pasa por una tubería se puede determinar por medio de una tobera situada en la tubería. La tobera crea una caída de presión, p ,pA-pB, a lo largo de la tubería que está relacionada con el flujo a través de la ecuación Q = K √(pA-pB), donde k es una constante que depende de la tubería y del tamaño de la tobera.(a) Determinar una ecuación para p p en términos de los pesos específicos (a) Determinar una ecuación para pA-pB, en términos de los pesos específicos del fluido y del manómetro y de las diversas alturas indicadas.(b) Para γ1 = 9,80 kN/m3, γ2=15,6 kN/m3, h1= 1,0 m y h2= 0,5 m. ¿cuál es el valor de la caída de presión pA-pB ?

Respuest : Respuesta: (a) pA-pB = h2(γ2-γ1) (b) 2,90 kPa

Ejercicio 5) Un manómetro de tubo en U se conecta a un depósito d i i E l d d l ó l cerrado que contiene aire y agua. En el extremo cerrado del manómetro la

presión de aire es de 16 psia. Determinar la lectura en el indicador de presión para una lecura diferencial de 4 pies en el manómetro. Expresar la respuesta en psig. Suponer la presión atmosférica normal e ignorar el peso de las en psig. Suponer la presión atmosférica normal e ignorar el peso de las columnas de aire en el manómetro.

Respuesta: 4,68 psig

Ejercicio 6) Para el manómetro de tubo inclinado de la figura, la presión en el tubo A es de 0 8 psi El fluido en ambos tubos A y B es agua y el fluido en el tubo A es de 0,8 psi. El fluido en ambos tubos A y B es agua, y el fluido en el manómetro tiene tiene une densidad relativa de 2,6. ¿Cuál es la presión en el tubo B correspondiente a la lectura diferencial que se muestra?

Respuesta: 0,424 psip p

Ejercicio 7) Pequeñas diferencias de presión en un gas suelen medirse con un micromanómetro (como el que se muestra en la figura). Este dispositivo consta de dos grandes depósitos, cada uno de los cuales tiene un área de sección transversal Ar, que están llenos de un líquido de peso específico γ1 y conectados por un tubo en U de área de sección transversal At, que contiene un líquido de peso específico γ2. Cuando al gas se le aplica una diferencia de presión p1 – p2, se obtiene una lectura diferencial h. Se desea que esta lectura sea suficientemente grande (a fin de poder leerla fácilmente) para pequeñas diferencias de presión. Determinar la relación que hay entre h y p1 – p2 cuando la razón de áreas At/Ar es pequeña, y demostrar que la lectura diferencial h se puede ampliar haciendo pequeña la diferencia de pesos específicos γ2 – γ1. Suponer que inicialmente (con p1 = p2) los niveles del fluido en ambos depósitos son iguales.

Respuesta: 21

γγpph −

=12 γγ −

Ejercicio 8) Determinar la razón de las áreas A1/A2 de las dos ramas del manómetro si con un cambio de presión de 0 5 psi en el tubo B se obtiene un manómetro si con un cambio de presión de 0,5 psi en el tubo B se obtiene un cambio correspondiente de 1 pulgada en el nivel del mercurio en la rama derecha. La presión en el tubo A no cambia.

Respuesta: 11,7

Ejercicio 9) Determinar la nueva lectura diferencial a lo largo de la rama inclinada del manómetro de mercurio si la presión en el tubo A disminuye 12 inclinada del manómetro de mercurio si la presión en el tubo A disminuye 12 kPa y la presión en el tubo B permanece sin cambio. La densidad del fluido en el tubo A es de 0,9 y el fluido en el tubo B es agua.

Respuesta: 0,244 m

Ejercicio 10) Determinar el ángulo θ del tubo inclinado que se muestra en Ejercicio 10) Determinar el ángulo θ del tubo inclinado que se muestra en la figura si la presión en A es de 2 psi mayor que en B.

º Respuesta: 34,2 º

Ejercicio 11) Un manómetro de mercurio se usa para medir la diferencia de presión en las dos tuberías mostradas en la figura. Por A fluye aceite p m f g f ycombustible (peso específico = 53,0 lb/pie3), y por B fluye aceite lubricante SAE 30 (peso específico = 57,0 lb/pie3). Una bolsa de aire queda atrapada en el aceite lubricante, como se indica. Determine la presión en el tubo B si la presión en A es de 15 3 psi (γ = 847 lb/pie3)presión en A es de 15,3 psi. (γHg = 847 lb/pie3)

Respuesta: 18,2 psi

Niels Henrik David Bohr (1885-1962)Premio Nobel de Física de 1922

Ejercicio 12) La presión arterial comúnmente se expresa como la relación de la presión máxima (presión sistólica) a la presión mínima (presión diastólica) de la presión máxima (presión sistólica) a la presión mínima (presión diastólica). Por ejemplo, un valor representativo de ésta relación para un ser humano es de 120/70 mm-Hg. ¿No sería más simple y más barato usar un manómetro de agua en vez de uno de mercurio?. Explique su respuesta apoyándose en los cálculos necesarios.

Respuesta: Si se usa un manómetro de agua, la columna sería muy grande 1 63 m (manómetro impráctico)grande, 1.63 m. (manómetro impráctico)

Ejercicio 14) El manómetro de mercurio de la figura indica una lectura diferencial de 0,30 m cuando la presión de vacío en el tubo A es de 25 mm-Hg.

l ó l Determine la presión en el tubo B. γHg= 133 kN/m3 , γaceite= 8,95 kN/m3, γagua= 9,80 kN/m3

Respuesta: 33,4 kPa p

Ejercicio 13) Obtener una expresión para la variación de presión en un líquido en que el peso específico aumenta con la profundidad h según la líquido en que el peso específico aumenta con la profundidad, h, según la relación γ = kh + γ0, donde k es una constante y γ0 es el peso específico en la superficie libre.

Respuesta: hγ2hkp 0

2

⋅+⋅

=