PRESIÓN LATERAL DE TIERRA

PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSOPRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO

o

hoK

''

Peso especifico del suelo = f = c + tan

´h = Ko´o

z

A

B

yoo

hh

Como ´o = z, tenemos

´h = Ko (z)

Para suelos de grano grueso, el coeficiente de presión de tierra en reposo se estima por la relación empírica (Jaki,1944)

Ko = 1 – sen

Donde = ángulo de fricción efectiva. Para suelo de grano fino, normalmente consolidados,Massarsch (1979) sugirió la siguiente ecuación para Ko :

100(%)42.044.0 IPKo

Donde OCR = tasa de preconsolidación. La tasa de preconsolidación se define como

OCR = presión de preconsolidaciónpresión de sobrecarga efectiva presente

La magnitud de Ko en la mayoría de los suelos varia entre 0.5 y 1.0, con valoresmayores para arcillas fuertemente preconsolidadas.

Para arcillas preconsolidadas, el coeficiente de presión de tierra en reposo se aproxima por

OCRKK daeconsolidanormalmentodadapreconsolio

PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO SECOPRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO SECO

H

Peso específico del suelo =

Ko H

2

21 HKP oo

3H

H

H1

H2

Ko(H1 + ’H2)

Peso específico saturadodel suelo = sat

Peso específico del suelo =

wH2

KoH1

Nivel de Agua freática

-(a) (b)

F

E

J K

A

B

I

G

z

+

C

PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO PARCIALMENTE PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO PARCIALMENTE SUMERGIDOSUMERGIDO

=

H1

H2

KoH1

Distribución de la presión de tierra en reposo para un suelo parcialmente sumergidoDistribución de la presión de tierra en reposo para un suelo parcialmente sumergido

Ko(H1 + ’H2) + wH2

(c)

Presión efectiva vertical = )( 11 HzHo

)( 11 HzHKK oooh

)( 1Hzu w

uhh

)()( 111 HzHzHK wo

2221

21 )(

21

21 HKHHKHKP woooo

22

2221

21 2

21 HHHHHKP woo

o

Presión efectiva horizontal =

Presión total horizontal =

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVATEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA

Peso especifico del suelo = f = c + tan

´h

z

A

B

A´

B´(a)

L

´O

Presión activa de tierra de RankinePresión activa de tierra de Rankine

Esfuerzo normal

(b)

Presión activa de tierra de RankinePresión activa de tierra de Rankine

c

A

Esf

uerz

o no

rmal

D´

D

OC

f = c + tan

OKoOa

a

b

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVATEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA

OCAOCD

ACCDsen

Pero

CD = radio del círculo de falla =2

ao

AO = c cot

y

2aoOC

Por lo que

2cot

2ao

ao

csen

22cos aoao senc

o

o

senc

sensen

oa

1cos2

11

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVATEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA

Pero

o presión de sobrecarga efectiva vertical = z

245tan

11 2

sensen

y

245tan

1cos

sen

Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación obtenemos

245tan2

245tan2 cza

La Variación de a con la profundidad. Para suelos sin cohesión, c = 0 y

245tan 2 oa

2

45tan2

o

aaK

La razón de a respecto a o se llama coeficiente de presión de tierra activa de Rankine,Ka,o

aKc2

c2 tan )

245(

z

(c)

aa KczK 2

(d)

245

245

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA ACTIVATEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA ACTIVA

ESTADO PASIVO DE RANKINEESTADO PASIVO DE RANKINE

Peso especifico del suelo = f = c + tan

´h

z

A

B

A´

B´(a)

L

´O

Presión pasiva de tierra de RankinePresión pasiva de tierra de Rankine

Esfuerzo Normal

f = c + tan

Esf

uerz

o N

orm

al

o

O

Presión pasiva de tierra de RankinePresión pasiva de tierra de Rankine

C

D

D

A

(b)

p

b

Koo

a

245tan2

245tan 2 cop

245tan2

245tan2 cz

La derivación es similar a la del estado activo de Rankinee

245tan2 op

o

245tan2

po

p K

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA PASIVATEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA PASIVA

z

pKc2 pzK

(c)

(d)

245

245

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVATEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA

EFECTO DE LA CEDENCIA DEL MUROEFECTO DE LA CEDENCIA DEL MURO

Muro de retención en voladizoMuro de retención en voladizo

245 245

z

C´A

H

A´

B

(a)

LaLa

245

H

A

Lp

A

Lp

C245

245

Rotación de un muro sin fricción respecto al fondoRotación de un muro sin fricción respecto al fondo

(b)

Presión activa a

Presión en reposo

Variación de la magnitud de la presión lateral de tierra con la inclinación del muroVariación de la magnitud de la presión lateral de tierra con la inclinación del muro

Presión pasivap

Pre

sión

de

tierr

a

Inclinacióndel muro

La

HInclinacióndel muro

LP

H

DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIÓN DE LA PRESIÓN LATERAL DE TIERRA CONTRA DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIÓN DE LA PRESIÓN LATERAL DE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCIÓNMUROS DE RETENCIÓN

RELLENO. SUELO SIN COHESIÓN CON SUPERFICIE HORIZONTAL DEL TERRENORELLENO. SUELO SIN COHESIÓN CON SUPERFICIE HORIZONTAL DEL TERRENO

zKaaa (Nota: c = 0)

HKaa

2

21 HKP aa

Caso Activo

Cuña defalla

H

245

c = 0

3H

(a)

H

KaH

Pa

a=a

Cuña de falla

H

245

c = 0

(b)

KpH

3H

Pp

Hp=p

Caso Pasivo

HK ppp

2

21 HKP pp

RELLENO. SUELO SIN COHESIÓN PARCIALMENTE SUMERGIDO SOPORTANDORELLENO. SUELO SIN COHESIÓN PARCIALMENTE SUMERGIDO SOPORTANDOSOBRECARGASOBRECARGA

Caso Activo

oaa K

qKaaa y

1Hqoo

1HqKaaa

y

Donde o y a son las presiones efectivas vertical y latera, respectivamente. En z = 0

qoo

A la profundidad z = H1,

Donde =sat - w. La Variación de a con la profundidad se muestra .

La presión lateral sobre le muro de la presión de poro entre z = 0 y H1 es 0, y para z > H1, esta aumenta linealmente con la profundidad. En z = H,

2Hu w

El diagrama de la presión lateral total a´, es la suma de los diagramas de presión mostrados. La FuerzaActiva total por longitud unitaria del muro es el área del diagrama de la presión total. Entonces,

2221

21 2

121 HKHHKHkqHKP waaaaa

21 HHqo y

21 HHqKaa

A la profundidad z = H,

H1

H2

H

45+ 2

Z

Nivel del Agua Freática

Cuña de falla

Sobrecarga = q

sat

(a)

+

H1

H2

21 HHqKa

qKHK aa 1

a =

2Hw

u a

1HqKa 22 HHK wa

(b) (c) (d)

Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con rellenoDistribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con rellenoDe un suelo sin cohesión parcialmente sumergido y soportando una sobrecargaDe un suelo sin cohesión parcialmente sumergido y soportando una sobrecarga

qKa

Caso Pasivo

opp pK

2221

21 2

121 HKHHKHKqHKP wppppp

RELLENO, SUELO COHESIVO CON RELLENO HORIZONTALRELLENO, SUELO COHESIVO CON RELLENO HORIZONTAL

Caso Activo

azaa KcK 2

02 aoa KczK

ao K

cz

2o

Para la condición no drenada, esto es, = 0, Ka = tan245° = 1, y c = cu (cohesión no drenada)tenemos

u

ocz 2

Entonces con el tiempo, se desarrollaran grietas de tensión en la interfaz suelo-muro hasta unaProfundidad zo

H1

H2

H

45 - 2

Z

Nivel del Agua Freática

Cuña de falla

Sobrecarga = q

sat

(a)

+

H1

H2

21 HHK p

qKHK aa 1

p =

2Hw

u p

1HqK p 22 HHK wp

(b) (c) (d)

qKa

pqK

Distribución de la presión pasiva de tierra de Rankine contra un muro de retención con rellenoDistribución de la presión pasiva de tierra de Rankine contra un muro de retención con rellenoDe un suelo sin cohesión parcialmente sumergido y soportando una sobrecargaDe un suelo sin cohesión parcialmente sumergido y soportando una sobrecarga

H

45+ 2

Cuña de falla

(a)

Z

HKa

Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con relleno de un suelo cohesivo relleno de un suelo cohesivo

aKc2

(d)

aa KcHK 2

H - =

aKc2

zo

H - zo

a

(c)(b)

La Fuerza activa total por longitud unitaria de muro se encuentra del área del diagrama depresión total

cHKHKP aaa 221 2

Para la condición = 0

HcHP ua 221 2

aaaa K

cHcKHKP

2221

22 22

21 ccHKHK aa

Para el cálculo de la fuerza activa total, es común tomar en cuenta las grietas de tensión. Comono existe contacto entre suelo y el muro hasta una profundidad de zo después del desarrollo de grietas de tensión, la distribución de la presión activa contra el muro entre z = 2cl(Ka) y , H es la única considerada. En este caso

Para la condición = 0,

22 22

21 u

uaCHcHP

Caso Pasivo

Muestra el mismo muro de retención con relleno similar al considerado. La presión pasiva deRankine contra el muro a la profundidad z se da por [ecuación]

cKzK ppp 2

En z = 0,

cK pp 2

Y en z = H,

cKHK ppp 2

H

45 - 2

Cuña de falla

(a)

Z

Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención conDistribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención conRelleno de un suelo cohesivoRelleno de un suelo cohesivo

(b)

p

pKc2 HK p

La fuerza pasiva por longitud unitaria del muro se encuentra con el área de los diagramas de presión como

cHKHKpP pp 221 2

Para la condición = 0, Kp = 1 y

HcHP up 221 2

EJEMPLO

Calcule las fuerzas activa y pasiva de Rankine por unidad de longitud del muro mostrado en la figura 9.14a, y determine también la posición de la resultante

Solución Para determinar la fuerza neta, ya que c = 0, tenemos

zKK aoaa

31

301301

11

sensen

sensenKa

5 m = 15.7 KN/m3

= 30°c = 0

(a)

5 m

26.2kN/m2

(b)

65.5 KN/m2

1.67 m

1.67 m

5 m

235.5 kN/m2

(c)

588.8 kN/m

El diagrama de la distribución de presión se muestra

Fuerza activa

2.26521aP

mkN /5.65

La distribución de la presión total triangula, y entonces Pa actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 arriba del fondo delmuro.Para determinar la fuerza pasiva, c = 0, por lo que

zKK poppp

35.015.01

11

sensenK p

En z = 0, p = 0; en z = 5m, p = 3(15.7)(5) = 235.5 kN/m2.

La distribución de la presión pasiva total el muro se muestra. ahora

mkNPp /8.5885.235521

La resultante actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 m arriba del fondo del muro.

EJEMPLO 2

Si el muro de retención mostrado no puede moverse, ¿Cuál será la fuerza lateral por longitud unitaria del muro?

Solución si el muro no puede moverse, el relleno ejercerá una presión de tierra en reposo. Entonces

zKKhh ooo

senKo 1

o

5.0301 senKo

Y en z = 0, h = 0; en 5m, h = (0.5)(5)(15.7) = 39.3 kN/m2

El diagrama de distribución de presión total se muestra

mkNPo /3.983.39521

EJEMPLO 3

Un muro de retención que tiene un relleno de arcilla blanda y saturada, se muestra. Para la condición no drenada ( = 0) del relleno, determine los siguientes valores:

a. La profundidad máxima de la grieta de tensiónb. Pa antes de que ocurra la grieta de tensiónc. Pa después de que ocurra la grieta de tensión

5 m

39.3 kN/m2

98.3 KN/m

1.67 m

Arcilla blanda saturada

= 15.7 kN/m3 = 0Cu = 17 kN/m2

6 m

(a)

2.17m

3.83m

60.2 kN/m2

(b)

34 kN/m2

Solución Para = 0, Ka = tan245° = 1c y c = cu. De la ecuación, para la condición no drenada, tenemos

ua cz 2

En z = 0,

2/341722 mkNcua

En z = 6m,

2/2.6017267.15 mkNa

La variación de a con la profundidad se muestra

a. De la ecuación, la profundidad de la grieta de tensión es igual a

mcz uo 17.2

7.151722

b. Antes de que ocurra la grieta de tensión

HcHP ua 221 2

o

mkNPa /6.78617267.1521 2

c. Después de que ocurre la grieta de tensión,

mkNPa /3.1152.6017.2621

Nota: La Pa precedente también se obtiene sustituyendo los valores apropiados en la ecuación

EJEMPLO 4

Se muestra un muro de retención sin fricción.

a. Determine la fuerza activa Pa, después de que ocurre la grieta de tensión.b. ¿Cuál es la fuerza pasiva, Pp?

Solución

a. Dado = 26°, tenemos

39.0261261

11

sensen

sensenKa

De la ecuación

aoaaa KcK 2

153.6 kN/m2

51.2kN/m2

(c)

4 – z = 2.96m

17.31kN/m2

(b)

z=1.04m

-6.09kN/m2

4m

= 15kN/m3

= 26°

c = 8kN/m2

(a)

q = 10 kN/m2

En z = 0

2/09.699.99.339.0821039.0 mkNaa

En z = 4 m

99.93.2739.0821541039.0 aa

2/31.17 mkN

De este diagrama vemos que

zz

431.1709.6

o

mz 04.1

Después de que ocurre la grieta de tensión

mkNzPa /62.2531.1796.22131.174

21

Dado = 26°, tenemos

56.25616.04384.1

261261

11

sensen

sensenK p

De la ecuación

2/2.516.256.25856.221056.2 mkNpp

De nuevo, en z = 4m, o = (10 + 4 x 15) = 70 Kn/m2 y

2/8.204856.227056.2 mkNpp

En z = 0, o = 10 Kn/m2 y

cKK poppp 2

La distribución de p (=p). La fuerza lateral por longitud unitaria de muro es

mkNPp /5122.3078.2046.15342142.51

EJEMPLO

Se muestra un muro de retención. Determine la fuerza activa de Rankine, Pa, por longitud unitaria De muro. Determine también la posición de la resultante

Solución dado c = 0, sabemos que a = Kao. Para el estrato superior del suelo, el coeficiente de presión activa de tierra de Rankine es

31

301301

1

sensenKK aa

1.2mArena

1 = 16.5kN/m3, 1 = 30°, c1= 0

Nivel agua freática6m

(a)

Arena 2 (peso especifico saturado) = 19.2 Kn/m3

2 = 35°C2 = 0

Mur

o si

n fri

cció

n

Para el estrato inferior,

271.05736.14264.0

351351

2

sensenKK aa

En z = 0, o = o = 0. En z = 1.2m ( justo dentro del fondo del estrato superior), o = o = (1.2)(16.5) = 19.8 Kn/m2

21 /6.68.19

31 mkNK oaaa

De nuevo, en z = 1.2 m (en el estrato inferior) o = o = (1.2)(16.5) = 19.8kN/m2, y

22 /37.58.19271.0 mkNK oaaa

En z = 6 m,

2/87.6481.92.198.45.162.1 mkNo

y

22 /58.1787.64271.0 mkNK oaa

La variación de a con la profundidad se muestra. Las presiones laterales de agua de poro son como sigue

En z = 0, u = 0

En z = 1.2m, u = 0

En z = 6m, u = (4.8)(w) = (4.8)(9.81) = 47.1 kN/m2

(b) (c)

+

5.371.2

0

617.58 47.1

6

1.2

0a (kN/m2) u (kN/m2)

z (m

)

z (m

)

6.6

1.2

6

1.8m

64.685.37

6.6

a (kN/m2)0

z (m

)=

(d)

Pa

1

2

3

La variación de u con la profundidad se muestra, y la variación de ( presión activa total) entonces

37.568.648.42137.58.42.16.6

21

aP

mkN /08.17234.14278.2596.3

La posición de la resultante se puede encontrar tomando momentos respecto al fondo del muro. Asíentonces

mz 8.1

08.17238.434.1424.278.25

32.18.496.3

MURO DE RETENCIÓN CON FRICCIÓNMURO DE RETENCIÓN CON FRICCIÓN

3H

(a) Caso activo (+)

C

B

H

A

DA

(b)

245

245

+

Pa

3H

(c) Caso activo (-)

C

B

H

A

DA245

2

45

-

Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.

(e)

3H

(d) Caso pasivo (+)

C

B

H

ADA2

45 2

45

+

Pp

3H

(f) Caso pasivo (-)

C

B

H

A245

-

245

A

A

TEORIA DE LA PRESION DE TIERRA DE COULOMBTEORIA DE LA PRESION DE TIERRA DE COULOMB

Caso Activo

H

W

90+-

90 - +

Pa

-

D

A

C

F

B

(a)

Presión activa de Coulomb: (a) cuña de falla de prueba; (b) polígono de fuerzasPresión activa de Coulomb: (a) cuña de falla de prueba; (b) polígono de fuerzas

90 + + - +

F

-

W

90 - -

Pa

(b)

La ley de los senos, tenemos

senP

senW a

90

o

Wsen

senPa

90

La ecuación precedente se puede escribir en la forma

90cos

coscos21

22

sensensenHPa

Donde = peso especifico del relleno. Los valores de , H, , , , y son constantes, y es la unicaVariable. Para determinar el valor crítico de para Pa, máxima, tenemos

0d

dPa

Después de resolver la Ec., cuando la relación de se sustituye en la Ec., obtenemos la presiónactiva de tierra de Coulomb como

2

21 HKP aa

Donde Ka es el coeficiente de la presión activa de tierra Coulomb, dado por

2

2

2

coscos1coscos

cos

sensenKa

Caso Pasivo

2

21 HKP pp

Donde Kp = coeficiente de presión de tierra pasiva para caso de Coulomb, o

2

2

2

coscos1coscos

cos

sensenK p

H

W

90 + +

90 - +

A

C

B

(a)

Pp

F

F

[180 - (90 - + ) – ( + )]

Pp

90 - +

+

W

(b)

Presión pasiva de coulomb:

(a) Cuña de falla de prueba

(b) Polígono de fuerzas

ANALISIS APROXIMADO DE LA FUERZA ACTIVA SOBRE MUROS DE RETENCIÓNANALISIS APROXIMADO DE LA FUERZA ACTIVA SOBRE MUROS DE RETENCIÓN

2

21 HKP aa

Donde

245tan

11 2

sensenKa

H

Wc

B

3H

Pa (coulomb)

A

(a)

H

Wc

B

A

(o)Wc

3H

Ws

Pa (Rankine)

C1

KaH

H

Wc

3H

Pa (coulomb)

A

(o)

(b)

H

Wc

B

A

Wc

3H

Ws

Pa (Rankine)

C2

H

Análisis aproximado de la fuerza activa sobre muros de retención de gravedad con relleno granularAnálisis aproximado de la fuerza activa sobre muros de retención de gravedad con relleno granular

B

El valor de Pa(Rankine) se da por la relación

221 HKP aa

Donde 2BCH y

22

22

coscoscoscoscoscoscos

245(tan

11 2

sensenKa

Donde = talud de superficie del terreno