Presentación_UPQ(1)

Ingeniera en Mecatrnica

Conceptos bsicos y equivalencia del dinero a travs del tiempo

1

Jos Antonio Arroyo O.

Objetivo de la clase

Aprender los conceptos bsicos, as como

la importancia y utilidad de los flujos de

efectivo, y su representacin grfica, con la

finalidad de analizar los movimientos de

dinero de una entidad, sea fsica o moral.

2

Introduccin

3

Dado que la ingeniera econmica tiene como

objetivo analizar los movimientos de dinero,

llamados formalmente flujos de efectivo,

necesita herramientas, tanto grficas como

algebraicas, para representar de manera clara

y sencilla tales flujos de efectivo;

independientemente del tipo de entidad en la

que se produzca, es decir, ya sea fsica o moral,

la representacin de los movimientos de

dinero debe ser similar, para facilitar su

estudio y comprensin en ambos casos.

Flujo de efectivo que entra o

sale con respecto a una entidad

Si la entidad es una empresa, se dice que

tiene un flujo de efectivo positivo cuando

recibe dinero por la venta de sus

productos; de igual forma, tendr un flujo

de efectivo negativo cuando el dinero fluya

o salga de la empresa, como cuando paga

el sueldo a sus trabajadores.

4

Supngase que una persona deposit

$1,000 pesos en el banco el 1 de enero

de 1990 y pudo retirar $1,750 el 31 de

diciembre de 1992. La representacin

grfica de ese hecho, desde el punto de

vista de la persona que deposita, es el sig.:

$1,750

0 1 2 3

1990 1991 1992 Ao

$1,000

P F 5



6



Desde el punto de vista del banco que recibe el

depsito la grfica es:

$1,000

0 1 2 3

1990 1991 1992 Ao

$1,750

P F

Por lo anterior, es importante mencionar que un

problema puede ser representado desde

cualquier punto de vista, lo cual no influye en el

resultado numrico pero s en la decisin que

pueda tomarse.

7

Inters.- Es el pago que se hace al

propietario del capital por el uso del

dinero.

Perodo de Capitalizacin.- Es el tiempo

mnimo necesario para que se pueda

cobrar un inters.

Principal Original.- Es la inversin o el

monto del prstamo original.

El concepto de inters y de

perodo de capitalizacin

8

Si una persona invierte dinero en algn

momento, el inters ser:

Inters = Monto total ahora-Principal Original = F - P

Si el resultado es negativo, la persona ha

perdido dinero y no hay inters. Por otra

parte, si obtuvo en prstamo dinero en algn

momento, el inters ser:

Inters = Monto debido ahora-Principal Original = F - P



Cuando el inters se expresa como un

porcentaje de la suma original por unidad

de tiempo, el resultado es una tasa de

inters (i). Esta tasa se calcula como: Inters causado por unidad de tiempo (F-P)

Tasa de inters (%)= x 100%

Suma original (P)

9



10

Ejemplo 1: La firma Inversiones El Orculo

invirti $100,000 el 1 de mayo y retir un

total de $106,000 exactamente un ao

ms tarde. Calcule (a) el inters obtenido y

(b) la tasa de inters sobre la inversin.

Solucin

(a) Inters (F-P) = $106,000-$100,000=$6,000

$6,000 anuales (F-P)

(b) i = x 100% = 6% anual $100,000 (P)



11



Ejemplo 2: Una persona presta $3,500 con

la condicin de que le paguen $4,025 al

cabo de un ao. Cul es la tasa de inters

anual que cobra el prestamista?

Solucin

(a) Inters = $4,025-$3,500=$525

$525 anuales

(b) i = x 100% = 15% anual $3,500

Inters Simple

12

Se calcula utilizando solo el Principal,

ignorando cualquier inters causado en los

perodos de inters anteriores.

En el Sistema de inters simple, solo el capital

devenga intereses, es decir, los intereses no se

capitalizan, no se convierten en capital para

ganar intereses.

El inters simple total durante diversos

perodos se calcula como:

Inters = (Principal)(no. de perodos)(tasa de inters)

Tasa de inters: expresada en forma decimal

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Inters Simple

Ejemplo: El prestamista del ejemplo 2 cobra inters

simple en sus operaciones. Si presta $3,500 durante

cuatro aos al 15% de inters anual y acuerda que

tanto el capital como los intereses se pagarn en una

sola suma al final de los cuatro aos, a cunto

asciende este nico pago?

Solucin

Como se cobra inters simple, esto significa que cada ao se

acumularn intereses por $525, aunque no se efecte ningn pago al

propietario del dinero, por lo tanto, la suma pagada al final del cuarto

ao ser:

Inters = ($3,500)(4)(0.15) = $2,100

F = $3,500 + $2,100 = $5,600

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Inters Compuesto o

Capitalizado

Desarrollo de Frmulas de inters

capitalizado o compuesto

Sean: Fn= la cantidad acumulada al final del perodo n

i= la tasa de inters

n= perodo de capitalizacin

P= la cantidad inicial depositada en el perodo cero

Si se deposita una cantidad P a una tasa de inters i durante un

perodo de capitalizacin n=1, la cantidad F1 acumulada al final de ese

perodo ser:

F1= P+Pi= P(1+i)1 (1)

(n=2)

F2= P+Pi+(P+Pi)i (2)

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Inters Compuesto o

Capitalizado

Dnde P+Pi es la cantidad acumulada al final del perodo 1 y por tanto

es la inicial del perodo 2. Multiplicando y factorizando (2) se obtiene:

F2= P+Pi+Pi+Pi2= P(1+2i+i2)= P(1+i)2 (3)

(n=3)

F3= P+Pi+Pi+Pi2+(P+2Pi+Pi2)i

= P+2Pi+Pi2+Pi+2Pi2+Pi3

= P+3Pi+3Pi2+Pi3

= P(1+3i+3i2+i3)= P(1+i)3 (4)

Generalizando:

Fn= P(1+i)n (5)

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Inters Compuesto o

Capitalizado

Aplicando la frmula del inters compuesto, calclense las Fn para el

ejemplo 2

F1= 3,500 (1+0.15)1 = 4,025.00

F2= 3,500 (1+0.15)2 = 4,628.75

F3= 3,500 (1+0.15)3 = 5,323.06

F4= 3,500 (1+0.15)4 = 6,121.52

Si en vez de transferir el valor del dinero del presente al futuro se

desea hacerlo a la inversa del futuro al presente-, basta con despejar

P de la frmula (5):

Fn

P= (6)

(1+i)n

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Inters Compuesto o

Capitalizado Ejemplo: Una persona espera recibir una herencia

dentro de 5 aos por un total de $ 50,000. Si la tasa

de inters es de 12% anual capitalizado cada ao, a

cunto equivalen los $ 50,000 al da de hoy?

Solucin

Los datos son: Fn=50,000 o F=50,000, i=12%, n=5.

F= 50,000

0 1 2 3 4 5

P=? 50,000

P= = 28,372

(1+0.12)5

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Serie Uniforme de Pagos

y su Relacin con el Presente

La frmula que simplifica la obtencin del

resultado del ltimo problema de la clase pasada

(12/10/2012), es:

A=P[[i(1+i)n]/[(1+i)n-1]] (7) Ahora, obtenga el resultado empleando la frmula

(7).

A= 100,000[[0.1(1+0.1)10]/[(1+0.1)10-1]]

A=16,274.54

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Demostracin. En el perodo cero se deben

$100,000; al final del ao 1 se debern 100,000 x

1.1=110,000, pero en ese mismo momento se hace

el primer pago, por lo que la deuda al final del ao

1 ser de 110,000-16,274.54=93,725.46.

Al final del ao 2, dado que se cobra un inters de

10% se debern 93,725.46 x1.1=103,098 y se

efecta en ese momento el segundo pago, y as

sucesivamente. Para observar los movimientos de

efectivo durante los 10 aos, se construye la tabla

siguiente:

20



Ao Inters Deuda + inters

Pago a fin de

ao

Deuda

despus

de pago

0 100,000

1 10,000 110,000 16,274.54 93,725.46

2 9,372.54 103,098 16,274.54 86,823.46

3 8,682.34 95,505.80 16,274.54 79,231.26

4 7,923.12 87,154.39 16,274.54 70,879.85

5 7,087.98 77,967.83 16,274.54 61,693.30

6 6,169.33 67,862.62 16,274.54 51,588.08

7 5,158.80 56,746.89 16,274.54 40,472.35

8 4,047.23 44,519.59 16,274.54 28,245.04

9 2,824.50 31,069.55 16,274.54 14,795.01

10 1479.50 16,274.51 16,274.54 -0.03

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Una serie uniforme de pagos y el valor presente de

una cantidad se pueden relacionar inversamente

con respecto al ejemplo anterior, es decir, en un

problema cualquiera se pueden conocer los pagos

uniformes y desconocer el presente. Para resolver

problemas de este tipo se puede utilizar la misma

frmula (7) si se desea simplificar el clculo;

tambin se puede utilizar la frmula bsica (6). De

este modo, si se despeja P de la frmula (7) se

obtiene:

P=A [[(1+i)n-1]/[i(1+i)n]] (8)

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Ejercicio: Una ama de casa compra a crdito una

lavadora y acuerda pagarla en 12 pagos iguales

mensuales de $95 comenzando dentro de un mes.

Si el proveedor cobra un inters del 2% mensual

en sus ventas a crdito, cul es el valor de

contado de la lavadora?

Solucin. Los datos son: A=95, i=2%, n=12 Utilizando la frmula (6): P=95(10.575)=1,004.65

Usando (8): P=95[[(1+0.02)12-1]/[0.02(1+0.02)12]]

P= 1,004.65

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y su Relacin con el Futuro

Ejemplo. Si una persona ahorra $800 cada ao en

un banco que paga el 12% de inters capitalizado

anualmente, cunto tendr ahorrado al finalizar el

noveno ao, luego de hacer nueve depsitos de fin

de ao?

Solucin. Los datos son: A=800, i=12%, n=9 F=?

1 2 3 4 5 6 7 8 9

800 800 800 800 800 800 800 800 800

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y su Relacin con el Futuro

Utilizando la frmula bsica (5), considrese que

cada pago de $800 es un presente P que debe

trasladarse a su valor equivalente en el futuro, cada

uno a diferente nmero de perodos. El clculo es:

F=800(1+0.12)8+800(1+0.12)7++800(1+0.12)0

F=800(14.776)=11,820.8

Frmula para simplificar el proceso de clculo:

F=A[[(1+i)n-1]/i] (9) F=800[[(1+0.12)9-1]/0.12]=11,820.8

Referencias Bibliogrficas

25

1. Baca, Gabriel (1994). Fundamentos de

Ingeniera Econmica, Ed. Mc Graw-Hill, Mxico.

2. Blank, Leland T. y Tarqun, Anthony J. (1999).

Ingeniera Econmica, Ed. Mc Graw-Hill,

Colombia.

3. Riggs, James L.; Bedworth, David D,;Randhawa,

Sabah U. (2002). Ed. Alfaomega, Mxico.

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