Presentación1 Mate FLUIDOS

7/25/2019 Presentacin1 Mate FLUIDOS

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORFACULTAD DE INGENIERIA EN GEOLOGIA,

MINASPETROLEOS Y AMBIENTAL

MATEMTICA

TEMA:

APLICACIN DE LAS INTEGRALES EN ELAMBIENTE MINERO

AUTORES:David Barre!Sa"ia#! Carrera$e%er&! Fierr!

TUTOR:


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1.Captulo

1.1 INTEGRALES SIMPLES O INMEDIATASSon las que salen directamente por la propia definicin

de integral, es decir, la que se puede resolver de forma

ms o menos intuitiva pensando en una funcin que

cuando se derive el resultado sea la integral.

1.2 FORMULACION DEL PROBLEMA

Cmo aplicar el uso de las integrales para el clculo de

la velocidad de fluidos dentro de una minera

subterrnea?


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1.3 TIPO DE INVESTIGACION

La investigacin que se realiz dentro

del proecto presentado estadireccionado a emplear el tipo de

investigacin e!ploratoria, a que esta

se basa principalmente en el uso de

documentos o te!tos a e!istentes

nos centramos en estudiar su

contenido, para desarrollar el proecto

en cuestin

1.4 OBETIVO

"plicar integrales mediante el

teorema de #orricelli el

principio de $ernoulli para

calcular la velocidad el tiempo

de los fluidos dentro de unamina subterrnea.

%l propsito que

investigacin es

conocimientos ap

aula acerca de

lograr realizar el

forma e!periment

terica.

1.! PROP


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&Las ecuaciones diferenciales aparecen a partir de las familias de curva

geom'tricas del intento de describir en t'rminos matemticos, problema

fsicos de ciencias e ingeniera.( )*niversidad de la +uaira -acultad d

ngeniera/.

#ienen usos e!tensos dentro de diferentes ramas, as como varia

aplicaciones cotidianas cientficas. Sus usos pueden variar entre e

estudio de dinmicas de una poblacin, como el modelo logstic

modificado0 reacciones qumicas, modelo de la velocidad de una reaccin

propagacin de enfermedades, modelo de 1errimac2 1c2endric20 le d

enfriamiento de 3e4ton, entre otros )1ontoa/.

%n esta investigacin se va a utilizar las ecuaciones diferenciales en eestudio de la dinmica de fluidos aplicando el teorema de #orricelli par

determinar el tiempo que se demora en vaciar un tanque cilndrico vertica

con agua con un orificio lateral. %n esta investigacin se va a determinar l

relacin entre el dimetro del orificio de descarga con el tiempo de vaciad

se va a comparar el tiempo de vaciado calculado mediante ecuacione

diferenciales con el tiempo tomado con un cronometro.

1.# INTRODUCCI"N


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2. MARCO TEORICO

2.1 INTEGRACI"N

La integracin es un concepto fundamental delclculo del anlisis matemtico. $sicamente, una

integral es una generalizacin de la suma de

infinitos sumandos, infinitamente peque5os.

La integral definida de una rea limitada por la grfica

sistema de coordenadas cartes

%l clculo integral, encuad

infinitesimal, es una rama de proceso de integracin o antide

%s mu com6n en la ingeniera

tambi'n0 se utiliza principalme

reas vol6menes de regiones

revolucin.

-ue usado por primera vez por cientficos como

"rqumedes, 7en' 8escartes, saac 3e4ton,

+ottfried Leibniz e saac $arro4. Los trabaos de

este 6ltimo los aportes de 3e4ton generaron el

teorema fundamental del clculo integral, que

propone que la derivacin la integracin son

procesos inversos.


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2.2 INTEGRALES INDEFINIDAS

8esde su origen, la nocin de

integral 9a respondido a la

necesidad de meorar losm'todos de medicin de reas

subtendidas bao lneas

superficies curvas. La integral

definida es un concepto

utilizado para determinar el

valor de las reas limitadas por

curvas rectas.

8ado el intervalo :a, b; en e

que, para cada uno de sus

puntos !, se define una fun

f )!/ que es maor o igual qen :a, b;, se llama integral

definida de la funcin entre

puntos a b al rea de la

porcin del plano que est

limitada por la funcin, el e

9orizontal => las rectas

verticales de ecuaciones !

! b.

La integral definida de la funcin entre los e!tremos del intervalo

:a, b; se denota como@


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A TEOREMA FUNDAMENTAL DEC$LCULO INTEGRAL

La relacin entre derivada e integral definida queda establecida

definitivamente por medio del denominado teorema fundamental delclculo integral, que establece que, dada una funcin f )!/, su funcin

integral asociada - )!/ cumple necesariamente que@

" partir del teorema fundamental del clculo integral es posible definir un

m'todo para calcular la integral definida de una funcin f )!/ en un intervalo

:a, b;, denominado regla de $arro4@

Se busca primero una funcin - )!/ que verifique que -)!/ f )!/.

Se calcula el valor de esta funcin en los e!tremos del intervalo@ - )a/ -

)b/.%l valor de la integral definida entre estos dos puntos vendr entonces

dado por@

Se busca

- )!/ que

)!/. Se calcul

funcin e

intervalo@

%l valor de la integral definida entre estos dos puntos vendr

entonces dado por@


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2.3 PRINCIPIO DE BERNOULLI

%n dinmica de fluidos, el principio de $ernoulli, tambi'n

denominado ecuacin de $ernoulli o trinomio de $ernoulli,

describe el comportamiento de un fluido movi'ndose a lo

largo de una corriente de agua. -ue e!puesto por 8aniel

$ernoulli en su obra Bidrodinmica )DEF/ e!presa que

en un fluido ideal )sin viscosidad ni rozamiento/ en

r'gimen de circulacin por un conducto cerrado, la

energa que posee el fluido permanece constante a lo

largo de su recorrido.


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ECUACI"N DIFERENCIAL DE BERNOULLI

%n una ecuacin diferencial lineal de primer

orden, mediante la sustitucin, que

se caracteriza por adoptar la forma@

*na ecuacin diferencial ordinaria de

primer orden, formulado por Gacob$ernoulli.

son funciones continuas en

H es un n6m


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2.4 TEOREMA DE TORRICELLI

%l teorema de #orricelli o principio de #orricelli es una

aplicacin del principio de $ernoulli estudia el fluo de

un lquido contenido en un recipiente, a trav's de un

peque5o orificio, bao la accin de la gravedad.

La velocidad de un lquido en una vasia abierta, por un

orificio, es la que tendra un cuerpo cualquiera,

caendo libremente en el vaco desde el nivel del

lquido 9asta el centro de gravedad del orificio.


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3.DESARROLLO CONCEPTUAL

%l teorema de #orricelli es una aplicacin del principio

de $ernoulli, el cual asume que todos los lquidos

cumplen las caractersticas de los fluidos ideales, es

decir son@

. 3o viscosos

I. %stacionarios )velocidad constante/

E. ncompresibles )densidad constante

J. rrotacionales )no presenta turbulen

$ernoulli estudio el movimiento de fluidos establecila relacin entre trabao o energa por unidad de

volumen, con base en el principio de conservacin de

energa o el teorema trabao energa.

%ste plantea que un fluido tiene tres componentes en

todo momento@ cin'tica, energa debida a la velocidad

del fluido0 potencial gravitacional, energa dada la altitud

a la que se encuentra el fluido0 energa del fluo,

energa debida a la presin del fluido.


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ara calcular la velocidad de vaciado de untanque podemos utilizar esta ecuacin

cancelando los valores de a que son

iguales tomando en cuenta que la altura de

la superficie del lquido est dada por

or la ecuacin de continuidad, , donde es el rea

transversal del tanque el rea del aguero, podemos asumir

que . %sto se da a que es muc9o maor a por lo tanto es

muc9o maor a , por lo que la ecuacin a continuacin es una

buena apro!imacin del suceso


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%l teorema de #orricelli plantea que la velocidad de salida de un

lquido en un recipiente por un orificio es directamente

proporcional a la raz cuadrada de dos veces el valor de la

aceleracin de la gravedad multiplicada por la altura a la que se

encuentra el nivel del fluido con respecto al aguero )-isicaecci/.

Lo cual, como podemos ver, viene dado por el desarrollo del

principio de $ernoulli.


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"dicionalmente indica que la

razn con la que el agua sale

del aguero, es decir la variacin

del volumen con respecto al

tiempo, puede ser e!presada

como el rea del orificio )a/ porla velocidad )K/ del agua

)*niversidad de la +uaira

-acultad de ngenieria/.

%sta ecuacin

directamente re

volumen del

podemos calcular

tomando en cuen

9orizontal del

derivndola con re

%n esta investigacin se va calcular

el tiempo de descarga de agua de un

tanque e!perimentalmente

matemticamente. Se van a varias

las alturas del nivel del agua cada


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OBTENCI"N DE DATOS E%PERIMENTAL

ara la e!perimentacin se

recipiente a partir de dos tubo

metro de alto < mm

debidamente sellado. %n el

9izo un orificio de M mm de d

obtencin de datos se vari e

cada


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OBTENCI"N DE DATOS MATEM$TICOS&

=rificio @

Se calcula la constante de integracin con el tie


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Ta'la (1& #iempos de vaciado de los recipientes a diferentes

alturas, calculados con el teorema de #orricelli

A*"1ra 2'-33

"ri#cio 1

-' 25.19

'5 23.9

'6 22.53

'7 21.8

'. 19.51

'8 1!.81

'9 15.93

' 13.8

'+ 11.2!


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Ta'la (2& Comparacin de resultados e!perimentales matemticos del vaciado del recipiente

A*"1ra

2'-33

Tie34!

&

$atem%tico &xperimental 'ariaci(nPorcenta)e de

-' 25.19 25.34 +.15 .6

'5 23.9 23.41 .49 2.5

'6 22.53 22.39 .14 .62

'7 21.8 21.42 +.34 1.61'. 19.51 2.4 +.53 2.!2

'8 1!.81 18.5! +.!6 4.2!

'9 15.93 1!.44 +1.51 9.48

' 13.8 15.4 +1.6 11.59

'+ 11.2! 12.64 +1.3! 12.16

Pr!3edi! .!! 5.1


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Ta'la (3&Coeficiente de relacin de los tiempos de descarga delos recipientes a diferentes alturas

A*"1ra

2'-3 3

C!e;


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G)a*+,o (1&

#iempos de vaciado del recipiente a diferentes alturas, calculados mediante el teorema de #orrice

"ri#cio 1


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G)a*+,o (2

Comparacin de tiempos de vaciado del recipiente

$atematico

&xperiment

9 CONCLUSIONES


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odemos observar como las ecuaciones diferenciales son art

matemticos que se encuentran presentes en nuestra vida diaria.

tipo de ecuaciones nos audan a modelar diferentes situaciones qu

audan en la optimizacin de dise5o de modelos los recursos.

%n conclusin, se puede apreciar que la relacin entre el dimetr

orificio de descarga con el tiempo de vaciado es inversa. Se p

observar que mientras maores el tama5o del orificio, menor es el ti

requerido para que el tanque se vaci'.

odemos observar que el tiempo de vaciado calculado med

ecuaciones diferenciales con el tiempo tomado con un cronomet

diferencian dependiendo del dimetro del orifico. %n el recipien

variacin promedio de los datos es de


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8' RECOMENDACIONES

A %s importante recalcar, que e!istieron limitaciones durante la tom

datos e!perimentales. %s posible que los datos se vieran afect

por la precisin al momento de tomar los tiempos con el cronome

en la estimacin del momento de vaciado.

A Se podra colocar una manguera en el orificio de descarga,

mantener constante la velocidad de salida del agua poder apr

de manera ms precisa el momento en que esta dea de salir. 8e

forma se podran tomar los datos con menor error lograr m

precisin en la toma de datos.


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!. BIBLIOGRAF-A

$uffa, "nt9on G. Gerr 8. Pilson. Fisica. #rads. 7oberto Luis %scalona, Kirgilio +onzalez oz

Cera "lonso. Quinta. 1e!ico@ %"7S=3 %8*C"C=3, I

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