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ECUACIONESDIFERENCIALES
POR ELMETODO DE
EULER
FabricioAmaguaña
Leonardo MurilloIván Tapia
Introducción
Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
ECUACIONES DIFERENCIALES POREL METODO DE EULER
Fabricio AmaguañaLeonardo Murillo
Iván Tapia
UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS -ESPE
23 de febrero de 2015
ECUACIONESDIFERENCIALES
POR ELMETODO DE
EULER
FabricioAmaguaña
Leonardo MurilloIván Tapia
Introducción
Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Introducción
En ingeniería hay procesos que son modelados conecuaciones diferenciales ordinarias, cuya solución esaltamente complicada determinarla por métodos analíticos,es allí la utilidad de los métodos numéricos que calcula unasolución aproximada por medio de un número finito deiteraciones que mejora su efciencia de manera rápida, alutilizar un software adecuado.
ECUACIONESDIFERENCIALES
POR ELMETODO DE
EULER
FabricioAmaguaña
Leonardo MurilloIván Tapia
Introducción
Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Introducción al método
En matemática y computación, el método de Euler, llamadoasí en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento deintegración numérica para resolver ecuaciones diferencialesordinarias a partir de un valor inicial dado.
ECUACIONESDIFERENCIALES
POR ELMETODO DE
EULER
FabricioAmaguaña
Leonardo MurilloIván Tapia
Introducción
Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Procedimiento
Tenemos la siguiente ecuación:
dydx = f (x , y) (1)
Con la condición inicial indicada:
y(x0) = y0 (2)
La solución es una función que depende solamente de x:
y = y(x) (3)
ECUACIONESDIFERENCIALES
POR ELMETODO DE
EULER
FabricioAmaguaña
Leonardo MurilloIván Tapia
Introducción
Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Procedimiento
Esta solución se puede graficar en el plano xy, dando comoresultado la curva que se muestra a continuación:
Fig.1 Curva graficada.
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POR ELMETODO DE
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Introducción
Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
ProcedimientoEsta curva pasa por el punto (xo,yo). El siguiente paso esaproximar la función en el punto x1, el cual está a unadistancia h del punto xo, es decir el objetivo es acercarse alpunto (x1,y(x1))
Fig.2 Curva graficada aproximada al punto x1.
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POR ELMETODO DE
EULER
FabricioAmaguaña
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Introducción
Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Procedimiento
Procedemos a integrar la función del problema, para realizarla integral realizamos la siguiente sustitución:
dydx = y ‘(x) (4)
Una vez realizada esta sustitución, planteamos y resolvemosla integral: ∫ x1
x0y ‘(x)dx =
∫ x1
x0f (x , y(x))dx (5)
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POR ELMETODO DE
EULER
FabricioAmaguaña
Leonardo MurilloIván Tapia
Introducción
Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Procedimiento
En el lado derecho de la integral, dejamos la funciónconstante en xo, esto debido a que el intervalo de xo a x1 espequeño únicamente tomamos en cuenta xo:
y(x1) − y(x0) =∫ x1
x0f (x0, y0)dx (6)
y1 − y0 = (x1 − x0)f (x0, y0) (7)
y1 = y0 + hf (x0, y0) (8)
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EULER
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Introducción
Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Procedimiento
Una vez obtenido el valor de y1, podemos plantear tambiénel valor para y2:
y2 = y1 + hf (x1, y1) (9)
El valor de y2 corresponde a un valor x2 ubicado a unadistancia h de x1. Al haber identificado el patrón decreciemiento en y, podemos generalizar la fórmula de lasiguiente manera:
yn+1 = yn + hf (xn, yn) (10)
La fórmula generalizada para x es la siguiente:
xn+1 = xn + h (11)
Las ecuaciones (10) y (11), son las fórmulas a emplear en elmetodo de euler
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POR ELMETODO DE
EULER
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Introducción
Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Procedimiento
En la resolución de ejercicios habrá ocasiones en donde ladistancia h sea un dato del problema, cuando no contemoscon dicho dato, podemos emplear la siguiente fórmula:
h =xf − xo
n
Donde n es el número de subintervalos de ancho h,existentes en el intervalo de xo a xf
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EULER
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Introducción
Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Ejemplo
Resolver analíticamente y con el método de Euler:
dydx =
xy
y(1) = 2
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POR ELMETODO DE
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Introducción
Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
EjemploSolución analítica:
ydy = xdxy2
2 =x2
2 + c
222 =
122 + c
y2 = x2 + 3
y =√
x2 + 3
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POR ELMETODO DE
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Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
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Conclusiones
Referencias
EjemploSolución numérica: (h=0.5)
x0 = 1
y0 = 2
x1 = x0 + h = 1+ 0,5 = 1,5
y1 = y0 + h(x0y0
) = 2+ h(12) = 2,25
x2 = x1 + h = 1,5+ 0,5 = 2
y2 = y1 + 0,5(x1y1
) = 2,25+ 0,5( 1,52,25) = 2,583
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POR ELMETODO DE
EULER
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Leonardo MurilloIván Tapia
Introducción
Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Ejemplo
x3 = x2 + h = 2+ 0,5 = 2,5
y3 = y2 + 0,5(x2y2
) = 2,583+ 0,5( 22,583) = 2,970
x4 = x3 + h = 2,5+ 0,5 = 3
y4 = 2,970+ 0,5( 2,52,970) = 3,391
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POR ELMETODO DE
EULER
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Introducción
Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Tabla comparativa
x y(analitica) y(Euler) Error Porcentual1.0 2 2 01.5 2.291 2.250 1.82.0 2.646 2.583 2.42.5 3.041 2.970 2.33.0 3.464 3.391 2.1
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POR ELMETODO DE
EULER
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Introducción
Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
GráficaFinalmente tenemos la gráfica del problema, donde la línearoja es la aproximación obtenida, y la línea negra es lagráfica de la solución analítica:
Fig.3 Curva comparativa.
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Introducción
Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Error
El error presente en el método de Euler es de truncamiento yse acumula en cada iteracción. Dicho error depende en laelección del valor de h, mientras mas pequeño sea el valor deh menor será el error, y viceversa. Esto lo demostramos acontinuación realizando el mismo ejercicio planteadoanteriormente pero tomando un valor mayor y uno menorpara h.
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Introducción
Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
ErrorCon h=0.25:
y =√
x2 + 3
x0 = 1
y0 = 2
x1 = x0 + h = 1+ 0,25 = 1,25
y1 = y0 + h(x0y0
) = 2+ 0,25(12) = 2,125
x2 = x1 + h = 1,25+ 0,25 = 1,5
y2 = y1 + h(x1y1
) = 2,125+ 0,25( 1,252,125) = 2,272
x3 = x2 + h = 1,5+ 0,25 = 1,75
y3 = y2 + h(x2y2
) = 2,272+ 0,25( 1,52,272) = 2,437
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POR ELMETODO DE
EULER
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Introducción
Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Error
x4 = x3 + h = 1,75+ 0,25 = 2
y4 = y3 + h(x3y3
) = 2,437+ 0,25( 1,752,437) = 2,616
x5 = x4 + h = 2+ 0,25 = 2,25
y5 = y4 + h(x4y4
) = 2,616+ 0,25( 22,616) = 2,807
x6 = x5 + h = 2,25+ 0,25 = 2,5
y6 = y5 + h(x5y5
) = 2,807+ 0,25( 2,252,807) = 3,007
x7 = x6 + h = 2,5+ 0,25 = 2,75
y7 = y6 + h(x6y6
) = 3,007+ 0,25( 2,53,007) = 3,214
x8 = x7 + h = 2,75+ 0,25 = 3
y8 = y7 + h(x7y7
) = 3,214+ 0,25( 2,753,214) = 3,427
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POR ELMETODO DE
EULER
FabricioAmaguaña
Leonardo MurilloIván Tapia
Introducción
Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Tabla comparativa
x y(analitica) y(Euler) Error Porcentual1.0 2 2 01.25 2.136 2.125 0.5141.5 2.291 2.272 0.8291.75 2.462 2.437 1.0152.0 2.645 2.616 1.0962.25 2.839 2.807 1.1272.5 3.041 3.067 -0.8542.75 3.25 3.214 1.1073.0 3.464 3.427 1.068
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Introducción
Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
ErrorCon h=1:
y =√
x2 + 3
x0 = 1
y0 = 2
x1 = x0 + h = 1+ 1 = 2
y1 = y0 + h(x0y0
) = 2+ 1(12) = 2,5
x2 = x1 + h = 2+ 1 = 3
y2 = y1 + h(x1y1
) = 2,5+ 1( 22,5) = 3,3
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POR ELMETODO DE
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Introducción
Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Tabla comparativaTabla comparativa
x y(analitica) y(Euler) Error Porcentual1.0 2 2 02.0 2.645 2.5 5.4823.0 3.464 3.3 4.734
Como se puede apreciar en las 3 tablas comparativas,mientras más se reduzca el valor de h más se reducirá elerror, asi podemos conseguir resultados más exactos
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Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
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Referencias
Ejemplo 2
Utilizando el método de Euler para aproximar el valor de lasolución de la ec. diferencial dy
dx = 2x + y con la condicióninicial de y(0) = 1 en el intervalo de 0 a 1 con un n = 5.SOLUCIÓN.-
Fig. Gráfica y Solución de la EDO.
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Ejemplo 2
Por métodos sabemos que:
h =xf − xo
n =1 − 05 = 0,2
Para Xn, Yn:yn+1 = yn + hf (xn, yn)
xn+1 = xn + h
Para X1, Y1:x1 = x0 + 0,2 = 0,2
y1 = y0 + (0,2)f (0, 0) = 1+ (0,2)(1) = 1,2
Para X2, Y2:
x2 = x1 + h = 0,2+ 0,2 = 0,4
y2 = y1 + (0,2)f (x1, y1) = 1,2+ (0,2)(2(0,2) + 1,2) = 1,52
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Introducción
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Error
Ejemplo 2
Código
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Referencias
Ejemplo 2
Para X3, Y3:
x3 = x2 + h = 0,4+ 0,2 = 0,6
y3 = y2+(0,2)f (x2, y2) = 1,52+(0,2)(2(0,4)+ 1,52) = 1,98
Para X4, Y4:
x4 = x3 + h = 0,6+ 0,2 = 0,8
y4 = y3+(0,2)f (x3, y3) = 1,98+(0,2)(2(0,6)+ 1,98) = 2,62
Para X5, Y5:
x5 = x4 + h = 0,8+ 0,2 = 1
y5 = y4+(0,2)f (x4, y4) = 2,62+(0,2)(2(0,8)+ 6,62) = 3,46
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Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Ejemplo 2Para demostrar que el metódo tiene una mejor aproximacióncuando el valor de h es menor, es necesario aumentar el valorde n.Para n=10 tenemos que:
h =xf − xo
n =1 − 010 = 0,1
x1 = x0 + 0,1 = 0,1y1 = y0 + (0,1)f (x0, y0) = 1,1x2 = x1 + h = 0,1+ 0,1 = 0,2y2 = y1 + (0,1)f (x1, y1) = 1,23x3 = x2 + h = 0,2+ 0,1 = 0,3y3 = y2 + (0,1)f (x2, y2) = 1,39x4 = x3 + h = 0,3+ 0,1 = 0,4y4 = y3 + (0,1)f (x3, y3) = 1,63
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Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
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Referencias
Ejemplo 2
x5 = x4 + h = 0,4+ 0,1 = 0,5y5 = y4 + (0,1)f (x4, y4) = 1,83x6 = x5 + h = 0,5+ 0,1 = 0,6y6 = y5 + (0,1)f (x5, y5) = 2,11x7 = x6 + h = 0,6+ 0,1 = 0,7y7 = y6 + (0,1)f (x6, y6) = 2,44x8 = x7 + h = 0,7+ 0,1 = 0,8y8 = y7 + (0,1)f (x7, y7) = 2,83x9 = x8 + h = 0,8+ 0,1 = 0,9y9 = y8 + (0,1)f (x8, y8) = 3,27x10 = x9 + h = 0,9+ 0,1 = 1
y10 = y9 + (0,1)f (x9, y9) = 3,78
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Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Gráfico de la solución
Fig. Gráfica del valor real y aproximados.
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Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Código
El código que vamos a emplear en el método es el siguiente:function euler(x,y,x1,n)x=0;y=0;x1=20;n=200;h=0.1h=(x1-x)/n; (tamaño del paso)X=x; (x inicial)Y=y; (y inicial)for i= 1:n ( inico del ciclo)y=y+h*f(x,y); ( iteracion de euler)x=x+h; (x nueva)X=[X;x]; (Actualiza la columna x)Y=[Y;y]; (Actualiza la columna y)end
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Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Código
fprintf(’ x (tsi) y(vsi)’);A=[X Y]plot(X,Y)grid on
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Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Ejemplo
Un paracaidista de masa M Kg salta desde un avión ent = 0. Consideremos que la velocidad vertical inicial delparacaidista es cero en t = 0 y que la caída es vertical. Si elarrastre aerodinámico está dado por Faire = cv2 , donde c esuna constante y v es la velocidad vertical (positiva haciaabajo), asuma M = 70kg , c = 0,27kg
m y h = 0,1. Halle lavelocidad del paracaidista para t ≤ 20s
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Método de Euler
Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
EjemploSolución:la primera ley de Newton, el equilibrio de fuerzas satisface:
M dv(t)dt = −Faire + gM
donde v es la velocidad del paracaidista en m/s (positivahacia abajo) y g es la aceleración debida a la gravedad de9,8 m/s2. La ec. puede escribirse como:
dv(t)dt = − c
M2 v2 + g , v(0) = 0
que es lo mismo a:
v ′ = f (t, v), v(0) = 0
reemplazando los valores indicados arriba tendremos que:
f (t, v) = −0,2770 v2 + 9,8
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Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Ejemplo
Resolviendo el problema con Euler: function euler(x,y,x1,n)x=0;y=0;x1=20;n=50;h=0.1h=(x1-x)/n;X=x;inicial Y=y;inicial for i= 1:ny=y+h*f(x,y);x=x+h;X=[X;x];Y=[Y;y];
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Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Ejemplo
endfprintf(’ x (tsi) y(vsi)’);A=[X Y]plot(X,Y)gridxlabel(’tiempo(s)’);ylabel(’velocidad(m/s)’);
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Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Ejemplo
Funcion de apoyo:function yp=f(x,y)yp=(-0.27/70)*y2̂+9.8; yp=y’
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Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Corrida del programa:
x (tsi) y(vsi)A =0 00.6667 6.47851.3333 12.74372.0000 18.61102.6667 23.94273.3333 28.65754.0000 32.72814.6667 36.17075.3333 39.03216.0000 41.37656.6667 43.27507.3333 44.79788.0000 46.0101
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Código
Conclusiones
Referencias
Grafica obtenida
Fig.1 Curva graficada.
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Método de Euler
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Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Conclusiones
I Para poder resolver el método de Euler, es necesariotener una condición inicial, ya que a partir de ese valorse da el desarrollo.
I Mientras más reducido sea el valor de h, menor será elvalor del error.
I Es un método sencillo de implementarI La desventaja de este método es que si se desea una
exactitud grande, se tendría que hacer un númeroelevado de iteracciones
I El método de Euler solo aplicable cuando se resuelveecuaciones diferenciales por separación de variables
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Ejemplo
Error
Ejemplo 2
Código
Conclusiones
Referencias
Referencias
[1] Instituto Politécnico Nacional - Unidad profesionalinterdisciplinaria de ingenieria Guanajuato (UPIIG) - México- 2011 -https://www.youtube.com/watch?v=9MekMkiqzGA[2] Curtis F. Gerald, Jaime Valls Cabreraa - AppliedNumerical Analysis - Segunda edición - USA - pags 285-292.[3] Marco Cruz Chávez - Licenciatura en Electrónica yComputación - [email protected] - CIICAp -METODO DE EULER -http://www.gridmorelos.uaem.mx/ mcruz//cursos/mn/euler.pdf[4] Universidad Nacional del Callao- Facultad de IngenieríaMecánica Energía Instituto de Investigación-COLLANTE A.-METODO NUMERICOS PARA ECUACIONESDIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATLAB-http://www.unac.edu.pe/documentos/organizacion/vri/cdcitra/Informes_Finales_Investigacion/Junio_2011/IF_COLLANTE_HUANTO_FIME.pdf