El pensamiento combinatorio El pensamiento combinatorio en escenarios escolares. en escenarios escolares. Dificultades en el conteo.Dificultades en el conteo.

Silvia Cristina TajeyanSilvia Cristina TajeyanTRABAJO DE TESIS

Programa de Maestría en Línea del Prome-CICATA-IPN Unidad Legaria

Fenómeno didáctico que da Fenómeno didáctico que da origen a la investigaciónorigen a la investigación

Los alumnos del nivel medio y superior luego de estudiar el tema COMBINATORIA y la correspondiente aplicación en problemas muestran ante una nueva situación problemática del concepto de conteo una casi nula comprensión del tema. Porque ya conocidas las fórmulas del tema, la primera tarea que plantean es el diagrama de árbol como si no pudieran reconocer la diferencia entre variaciones, combinaciones y permutaciones o vuelven a razonar de manera intuitiva desde el inicio, como si fuera un concepto matemático nunca tratado como se le planteó al iniciar el estudio concepto matemático.

PreguntasPreguntas dede investigacióninvestigación

• ¿Será posible identificar las características del pensamiento combinatorio?

• ¿El conteo es una construcción social y cultural?

• ¿Cuáles son los factores o elementos que hacen que los estudiantes no reconozcan problemas de conteo aún siendo una temática vista?

• ¿Qué factores influyen en el hecho de contar?

• ¿Qué es un problema específico de la actividad matemática de conteo?

Objetivos de la investigaciónObjetivos de la investigación

• Intentar identificar las características del pensamiento combinatorio, para lograr el proceso de aprendizaje de los alumnos.

• Analizar el tema de conteo en los libros de texto del sistema escolar por exigencias del currículo del nivel medio y superior para llegar a posteriori al concepto de probabilidad.

• Investigar en el contexto histórico de las matemáticas como se generó la problemática y sus soluciones, y cuáles fueron y son las problemáticas del tema.

• Inferir qué tipo de pensamiento subyace detrás de los problemas combinatorios en los alumnos, y la idea de contar.

FundamentaciónFundamentación

• Expresión del profesor de matemáticas argentino Enzo Gentile “el Análisis combinatorio es la ciencia y, en alguna medida, el arte de contar los elementos de un conjunto finito”. (Alderete, 2002)

• El acto de contar se aprende desde pequeño, como así el clasificar y el distinguir ente distintas categorías por sus propiedades los elementos de un conjunto pero, aunque se trabaja el mismo campo numérico en el tema de combinatoria, la aplicación de las leyes formales que las rigen no les permite a los estudiantes el reconocer fácilmente a qué tipo de problema corresponde y la procedente fórmula resolutoria.

Línea de investigaciónLínea de investigación

• Desde la socioepistemología, se enmarcará en la construcción social del conocimiento matemático y sus cuatro componentes: epistemológica, cognitiva, didáctica y social.

• Análisis de los fenómenos desarrollados en el sistema educativo con el saber matemático, justificado desde la investigación del origen del concepto de combinatoria y el proceso de construcción del concepto matemático, desde el entorno y por quiénes lo crearon para favorecer el aprendizaje y una reflexión en la práctica docente para contribuir en ese aprendizaje mediante su construcción en el aula.

• “Que el conocimiento matemático es una construcción sociocultural en cuyo surgimiento y desarrollo se lleva a cabo en el seno de una sociedad y refleja las características de ésta.” (Crespo Crespo, 2007)

Contexto HistóricoContexto Histórico

• Se recurre a la Historia de las Matemáticas para que el docente comprenda de manera profunda las dificultades que se fueron presentando en las matemáticas y que conduce finalmente a lograr la enseñanza y el aprendizaje.

• “Hay que conocer el pasado para comprender el presente del que resulta por permutación de los verbos una máxima de muchos historiadores: hay que comprender el pasado para conocer el presente.” (González Urbaneja, 2004)

• A lo largo de la historia hubo problemas de combinatoria de forma explícita o no que fascinan a los matemáticos: el problema de los cuadrados mágicos aparecido en un viejo libro chino del 2200 a. C, y en el libro I – Ching, el libro de las transformaciones, que da con sus combinaciones de trigramas místicos uno de los ejemplos más antiguos, como inicio del pensamiento combinatorio.

Contexto HistóricoContexto Histórico

• En Grecia se encuentran diversos problemas, los que hoy se resolverían con el cálculo combinatorio. Pero no hay evidencias de que contaran con estos conocimientos, excepto el estudio de los números poligonales por los pitagóricos.

• En los romanos que parecían tener desinterés por las matemáticas, el filósofo Boecio del siglo V plantea las pautas para encontrar las combinaciones de n objetos tomados dos a dos.

• En la India Bhaskara en el siglo X da reglas para el cálculo con variaciones (con y sin repetición) y combinaciones.

• Algunos autores sostienen que en el medioevo se le prestó atención para aplicarla en la Cábala judía y, por su relación con la astronomía se preocuparon los científicos árabes y hebreos, cuyos cálculos de esta época eran expresados en forma retórica.

Contexto HistóricoContexto Histórico

• Los coeficientes binomiales enteros de la expresión de (a+b)n se conocen ya en el siglo XII. El triángulo de Pascal es un arreglo triangular de los coeficientes binomiales desarrollado en el siglo XIII.

• En el siglo XIV Nicole Oresme insistió en los cálculos, siempre expresados retóricamente.

• Hacia los siglos XV y XVI, los conceptos combinatorios aparecieron ya en varios trabajos impresos. 

• Los estudios sobre el juego de dados y en el cálculo de la potencia de un binomio fue usado por Tartaglia (1500-1557).

• Se considera que los estudios de combinatoria en Occidente surgen en el siglo XVII con los trabajos de Blaise Pascal y de Pierre Fermat sobre la teoría de juegos de azar.

Contexto HistóricoContexto Histórico

• La palabra "combinatoria" la introduce Wilhem Leibniz en su Dissertatio de Arte Combinatoria, y el artículo de Ars Conjectandi (el arte de conjeturar) por Jacob Bernoulli la consolida.

• Con estos matemáticos se inicia el establecimiento de la combinatoria como una nueva e independiente rama de las matemáticas, y el análisis combinatorio permitió desarrollar a posteriori la teoría de probabilidades, iniciada por éstos.

• Históricamente lo hecho en un principio por Pascal y Fermat y luego por Leibniz y Bernoulli establecen de manera sistemática la teoría combinatoria con base científica formando parte de la matemáticas discretas en la actualidad.

CognitivaCognitiva

• Una de las hipótesis de trabajo del por qué los alumnos trabajan estos conceptos como si no fuera un conocimiento matemático sino un problema del tipo lúdico que se da en el currículo escolar, es que posiblemente el pensamiento combinatorio no sea ni concreto ni pertenezca al estadio formal como lo plantea Piaget.

• El trabajo con números naturales, la naturaleza de este conjunto numérico y la idea de contar sea diferente a la naturaleza que originó el pensamiento combinatorio. Quizás en el saber contar tal vez se encuentre ese origen sociocultural que no nos planteamos en los escenarios escolares. Sigue aún siendo una de las hipótesis.

CognitivaCognitiva

• En los análisis y resultados de Fischbein sobre el análisis combinatorio, con sus conceptos y métodos no exclusivos de las matemáticas en niños (López de Neira, 2008), plantea que con estrategias intuitivas se llega a la resolución de problemas aún sin tener el pensamiento formal totalmente desarrollado son capaces de descubrir el método para construir las combinaciones, permutaciones, etc.

• Mientras que Piaget e Inhelder sostienen que las operaciones combinatorias se dan en los distintos estadios de desarrollo, que van desde algunas agrupaciones con material concreto en los niños hasta la búsqueda exhaustiva de un método para realizar todas las agrupaciones posibles en la etapa de las operaciones formales, de manera sistemática de un conjunto de elementos dados llegando a la comprensión del concepto.

CognitivaCognitiva

• Fischbein (1975) ha demostrado con experimentos que los niños escolarizados asimilan procedimientos enumerativos basados en la construcción de diagramas de árbol. Considerándolo a éste, como un un modelo generativo facilitador de la generalización iterativa al aumentar el número de elementos y permite una generalización constructiva, siendo éstas las dos características del razonamiento propio de la combinatoria.

• Hadar y Hadass (1981) trabajan sobre las dificultades típicas de los alumnos al resolver los problemas combinatorios en la correcta identificación de objetos a enumerar, que en muchas ocasiones quedan implícitos y son poco claros para los alumnos, como la notación correcta o apropiada. y la falta de generalización aún cuando hayan resuelto varios casos particulares.

CognitivaCognitiva

• Godino y Batanero presentan que el razonamiento combinatorio se basa en los fundamentos ontológicos y epistemológicos de la cognición matemática de Godino "mediante las cuales se enfocan las cuestiones cognitivas desde una perspectiva semiótica" (Roa, 2000). Partiendo de la idea de representación icónica del diagrama de árbol que plantean los alumnos se analiza el tipo de razonamiento a través de un modelo, y las dificultades en la resolución de los problemas que conlleva finalmente, a la idea de probabilidad, y a la búsqueda de estrategias de resolución que muestra dificultades y errores en los alumnos.

La combinatoria en la EscuelaLa combinatoria en la Escuela

• En Argentina, en los Cuadernos para el Aula de los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios (NAP) el concepto de combinatoria forma parte de una política educativa como base común de saberes para todos.

• En la serie del Primer Ciclo de la EGB/Nivel Primario, se plantean para niños en 3º (8 años) en el eje “Número y Operaciones” ampliar la propuesta de las operaciones básicas en relación con los problemas aritméticos que resuelven y en como calculan para que los alumnos exploren los primeros significados de las operaciones de los números naturales: ”trabajándose en 3º, ampliando la propuesta con problemas de combinatoria que involucren poca cantidad de elementos.” (Cuadernos para el Aula, 2006)

La combinatoria en la La combinatoria en la EscuelaEscuela

Ejemplo del Cuaderno para Ejemplo del Cuaderno para la Ciudad de Buenos Aires:la Ciudad de Buenos Aires:

En cuanto a los problemas de combinatoria, es decir, aquellos en los que hay que combinar elementos de diferentes colecciones:

“Si tengo una remera roja, otra verde y otra azul y un pantalón negro y otro blanco, ¿de cuántas maneras diferentes puedo vestirme?”

La combinatoria en la La combinatoria en la EscuelaEscuela

En preparación En preparación

• Análisis de un documento curricular de la Provincia de Buenos Aires planteado para el nivel medio, y para zonas rurales.

• Entrevistas con docentes y sus propias experiencias como alumnos en el tema de combinatoria: para saber cuáles fueron sus dificultades, y qué estrategias elegían al resolver las situaciones problemáticas.

• Puesta en acción de las secuencias con problemas en distintos escenarios escolares, desde los 13 años hasta los 21 años aproximadamente. Algunas ya fueron aplicadas, con registros gráficos.

• Determinación de los problemas matemáticos que han surgido en el aula y su comparación con los de la génesis en la historia de las matemáticas en el tema de conteo en el marco metodológico de la socioepistemología.

• Análisis en búsqueda de conclusiones con el material recogido con el propósito de analizar y confirmar o no, lo propuesto y las hipótesis planteadas en la investigación.

BibliografíaBibliografía• Agnelli, H., Peparelli, S, (2006, noviembre) La probabilidad y la resolución de problemas. En ponencia

efectuada en las XIII Jornadas Nacionales de Educación Matemática, Universidad Austral, Sochiem, Valparaíso, Chile.

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• Salgado, H. (2007). Conteo: una propuesta didáctica y su análisis. Tesis de Maestría no publicada, CICATA-IPN, México DF.

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