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Seminario de investigación en Matemática Educativa l

Presenta M C: Rosa Isela Vázquez Camacho

Directora Dra. Gabriela Buendía

Una articulación de la matemática escolar a través de prácticas sociales: estudio de la propiedad

periódica

Junio.2010

CENTRO DE INVESTIGACIONEN CIENCIA APLICADAY TECNOLOGIA AVANZADA-IPN

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Construyendo un estado del Arte

• El siguiente estado del arte, tiene por objetivo dar evidencia de cómo los objetos periódicos están presentes en la curricula, de manera claramente expresada o de forma intrínseca en su propia naturaleza, así como de la necesidad de la conformación de herramientas para su tratamiento en la escuela mismas que se constituyen de forma acotada al contexto en que se encuentran el objeto matemático, mostrando su evolución en cuanto a su forma relacionada de manera directa con lo que hacen los estudiantes.

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• En Cordero y Martínez (2002) expone que la periodicidad como concepto, es un tema poco examinado en la matemática educativa aun cuando se halla en la curricula de la matemática escolar. Comenta que no existen estudios muy amplios entorno a ello, retoman de forma importante los resultados que expone Shama (1998), este estudio muestra la complejidad que se presenta en el estudiante en su constitución como proceso y su conformación como objeto

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• Reporta hallazgos de elementos epistemológicos de la periodicidad como el movimiento en un todo y no en un instante, el desplazamiento lineal como el argumento de los fenómenos periódicos y el comportamiento periódico de una función como argumento contextual, que pudieran formular una socioepistemología del concepto todo ello acotado en un marco referido a la descomposición genética

• Se plantean preguntas como ¿Cuáles son los procedimientos encontrados en ambos contextos que nos permiten la transformación del proceso al objeto del concepto de periodicidad? ¿Qué papel juega el comportamiento periódico, como categoría, para entender la periodicidad

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• En Shama (1998) se encuentra que en el entendimiento del concepto aparecen ciertas nociones como: la repetición regular, el movimiento y el tiempo. Estos elementos nos ha conducido a analizar tres movimientos básicos (Movimiento Circular Uniforme, Péndulo Simple y un Sistema Masa-resorte) con el fin de hallar nuevos elementos epistemológicos

• Cordero( 2001) El primero es acerca de que el alumno al construir el concepto de periodicidad, desarrolla un procedimiento para el contexto continuo y otro para el contexto discreto, y que ambos procedimientos son necesarios para construir el concepto de periodicidad, y el segundo, consiste en considerar que el comportamiento periódico es una componente crucial para construir el concepto.

• Parece ser que en los tratamientos de los estudiantes se ponen a debate dos aspectos: la identificación de la propiedad periódica y el comportamiento periódico.

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• Cordero presenta un análisis de contextos de lo discreto y lo continuo y explica la formulación de una epistemología de la periodicidad, en la que se hacen evidentes elementos como; la repetición regular, desplazamiento lineal como argumento de las funciones periódicas y el comportamiento periódico de una función con un argumento contextual, acotando que el concepto de periodicidad es tratado en la curricula como una propiedad de funciones llamadas periódicas. Las causas de ello las atribuye a la transferencia de propiedades del proceso, esto es, se relaciona el producto de un procedimiento periódico, como periódico con relación en el resultado de repetición de un patrón periódico o un algoritmo. Define pues a la periodicidad como una representación integral caracterizada por lo local y lo global en una relación dialéctica, así explica que el comportamiento periódico está aligado a la periodicidad.

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Las investigaciones que se están desarrollando han dado evidencia de elementos socioepistemológicos de conceptos como los logaritmos (Ferrari, en prensa) y lo periódico (Buendía y Cordero, 2003). A través de revisiones históricas y de lo que sucede en los sistemas didácticos, en esas investigaciones se da evidencia de cómo el discurso matemático suele favorecer sólo algunos aspectos relacionados con dichos conceptos, dejando de lado elementos presentes en la construcción social del conocimiento tales como los argumentos y las herramientas relacionadas; que son básicamente aquellos factores que posibilitan la construcción del conocimiento. Arreita (2003)

 

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Lo periódico• Lo periódico es un ejemplo de conocimiento

que transita desde lo intuitivo hacia el sistema educativo trayendo consigo caracterizaciones un tanto cotidianas (lo periódico es algo que se repite). Esto suele entrar en conflicto con la formalidad exigida en una estructura matemática, la cual al seno de la escuela limita los significados para esta propiedad

• Buendía (2004,2007) da cuenta en su estudio de la relación entre lo periódico y la predicción

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Predicción----periodicidad

Procedimientos• Gráficos• Analíticos• Aritméticos

Herramientas

Evidencia

Lenguaje de herramientas nos permite una visión de las matemáticas mas acorde no con la adquisición o no del objeto matemático sino con su uso dependiente del objeto con el que se esta trabajando.

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Tratamiento Escolar

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. Marcos analíticos para el uso de la periodicidad (Purcell, 1987)

Reconocimiento de Patrones; énfasis en la observación del orden.

Periódica 7/22: comenzó a escribir explícitamente todas las cifrasTratando de llegar al lugar 120 (Buendía, 2006a).

En el nivel superior, la periodicidad se aborda a través de las funciones trigonométricas

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• Vázquez (2008) se estudiaron otros objetos periódicos, como las sucesiones y funciones, en tres contextos: gráfico, tablas y verbales explorados por estudiantes de nivel básico, medio superior y superior. En dicho estudio da cuenta de la identificación y uso de una unidad de análisis, como aquella parte del objeto que contiene suficiente información de la forma como el objeto se repite. Se dio evidencia de que son los contextos los que

brindan la configuración de la identificación y uso de la unidad de análisis, así como el desarrollo y uso de las operaciones básicas como la multiplicación y división para poder predecir. También abordamos contextos científicos y culturales con la intención de dar evidencia de cómo convivimos con lo periódico

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. En la Astronomía Prehispánica encontramos al Tsolkin, (U.A) empleada para la predicción de fenómenos naturales, que ha quedado grabada en piedra y pinturas, reflejadas en calendarios y estelas. En contexto científico está presente en la predicción de mareas y los oleajes y la frecuencia de aparición de los ciclos lunares. En el estudio de composición del ADN en Genética, en el ámbito de la Biología ya que todo ser vivo posee procesos periódicos de desarrollo; Culturalmente en el conocimiento empírico del tiempo; las Cabañuelas donde la observación de los días del primer mes del año les permite vaticinar las condiciones climatológicas para los próximos 334 días; es una auténtica sabiduría oral. Entonces, reconocer las diferentes formas de identificación y uso de la (U.A) puede enriquecer el aspecto didáctico de los fenómenos periódicos.

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La predicción y lo periódicoUn resultado que arroja la investigación bajo la perspectiva socioepistemológica es la relación entre la predicción, como práctica social y lo periódico en un contexto de funciones (Buendía y Cordero, 2002, 2003).El discurso matemático escolar suele favorecer la presentación inicial de la periodicidad funcional, a través del estudio de las funciones trigonométricas, como el seno, que son periódicas con periodo 2π porque sen (x +2π) = sen x. De ahí, cualquier fenómeno que se modele a través de dicha función será, por consiguiente, periódico.

El comportamiento del objeto también se evidencia a través de la identificación y uso de una unidad de análisis, elemento potenciado por la predicción. Se le llamó genéricamente “unidad de análisis” (Vázquez, 2008) ya que puede ser desde un patrón hasta un periodo. En cualquier caso es aquello que contiene suficiente información para poder predecir qué va a pasar después. Lo periódico es un ejemplo de conocimiento que transita desde lo intuitivo hacia el sistema educativo trayendo consigo caracterizaciones un tanto cotidianas (lo periódico es algo que se repite). Esto suele entrar en conflicto con la formalidad exigida en una estructura matemática, la cual al seno de la escuela limita los significados para esta propiedad

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• Por su parte Patricio, H. (2005) se da evidencia mediante un cartel fue elaborado en base a la práctica que tienen algunas comunidades campesinas del estado de Guerrero para calcular la hora. En estas comunidades, predecir es una práctica cotidiana donde se recurre a la experiencia pasada y al comportamiento periódico de los fenómenos.

• Nuestro interés es comunicar como viven los conocimientos cotidianos en contextos específicos, en este caso, mostramos formas de cómo el comportamiento periódico del sol y las estrellas sirven como herramienta para calcular la hora. Lo periódico vive en comunidades, escolares y extraescolares. Reconoce que Lo periódico vive en diversas comunidades, una de estas es la que se muestra en este trabajo, sin duda, investigando en otras comunidades, como la de

ingenieros electrónicos, lo periódico adquirirá su concreción. •  

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• Para realizar un estudio un tanto más profundo considero necesario y pertinente tomar algunos puntos me parece significativos. Que intento estructurarlos en un matriz (formato) con la finalidad de organizar mejor estos

Para la ubicación curricular: Nivel, Unidad, Subtema, Tema.

Objeto que se estudia:

Presentación: si hay o no los siguientes elementos: Definición, desarrollo que se expone,

Si este es un ejercicio o un ejemplo

Tareas que se solicita al estudiante: predicción, Grafique, Bosqueje, calcule, etc.

Herramienta que usan:

Conocimientos previos

Presencia De Patrones. Operaciones, Graficas, Tablas. Textos. Ilustraciones, Formulas, Tecnología

¿Como revisar los textos?

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Lo periódico y Los objetos

• Series periódicas• Decimales• Series• Sucesiones• Funciones

trigonométricas• Números complejos• Funciones Periódicas

• Series de Taylor• Transformada de Taylor• Serie de Fourier• Transformada de Fourier• Transformada de Laplace• Diferenciales e integrales

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Sucesiones • En series y sucesiones lineales y geométricas se encontró un

ejercicio con el siguiente enunciado en donde al estudiante se le solicita:

• Determina los primeros cinco términos de la sucesión cuyo término general es:

• a n=1-(1)n

• a1=1-(-1)1=1-(-1)=1+1=2

• a2=1-(-1)2=1-(1)=1-1=0

• a3=1-(-1)3=1-(-1)=1+1=2

• a4=1-(-1)4=1-(1)=1-1=0

• a5=1-(-1)5=1-(-1)=1+1=2

• Los cinco primeros términos son 2, 0, 2, 0,2,…

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Números complejos un ejemplo

• Calcular las primeras 12 potencias de i es decir, i, i2, i3…i12 • ¿Observa un patrón? Explique cómo calcular cualquier potencia de

número entero de i con el patrón que descubrió. Use este procedimiento para calcular i4446

• Números complejos • Potencias de i • Calcular las primeras 12 potencias de i es decir, i, i2, i3…i12 • Desarrollando: si i=-1, entonces i2 = -1 • i3=i2 i= (-1) (i ) = -i • i4=i2 i2 = (-1) (-1) = 1 • i5=i3 i2 = (-i) (-1) = i • i6=i2 i2 i2 = (-1) (-1) (-1) = -1 • i7=i4i3 = (1)(-i) =-i

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• De donde podemos observar que existe un patrón, justo de la siguiente manera: En donde podemos dar cuenta de que hay presencia de Una unidad de análisis (Modulo Generador) como herramienta que permite predecir y hace evidente la naturaleza periódica.

• Así el patrón que se obtiene es: i -1 -i 1 • Seguidamente se solicita al estudiante .Use este

procedimiento para calcular i4446 • Considerando modulo encontrado, se toma la

cantidad del exponente en cuestión, 4446 y se divide entre en MG para este caso es (4), dados los elementos que lo constituyen:

• 4446/ 4 = 1111, con un residuo de 2, de forma tal que se ubica en el MG de manera puntual, en el

• Caso se corresponde a -1. El resultado de i4446= -1

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• Cordero, F y Martínez, J. (2001) La comprensión de la periodicidad en los contextos discreto y continuo. En Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol. 14 Panamá Editorial: Grupo Editorial Iberoamérica pág. 430-435

• Cordero, F. y Martínez, J. (2002) El comportamiento periódico de una función como un argumento contextual. La manifestación del movimiento fuera del instante en Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol. 15 Tomo 1 Buenos Aires Editorial: Grupo Editorial Iberoamérica pág. 55-61

• Patricio, H. (2005) A Través de lo Periódico, el Sol y las Estrellas son mi Reloj. En Acta Latinoamericana De Matemática Educativa Volumen 18.México Editorial Comité Latinoamericano de Matemática Educativa. A. C. pag.613-618

•  Vázquez, R. (2008). Estudio de lo periódico en diferentes contextos: identificación y uso de la unidad de análisis. Tesis de maestría no publicada, Universidad Autónoma de Chiapas, México.

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Zill, D. G. (2005). Ecuaciones Diferenciales, con aplicaciones de modelado. Mexico: Cengage Learninig.

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Gracias por su atención

• Agradezco todo comentarios y sugerencia que pueda ayudar a construir