Presentación #1MATH 5400 ProbabilidadDr. Balbino García24 de septiembre de 2009

Integrantes del grupo:Wadi Adames RománJulia Crespo RodríguezJoane De Jesús Dátiz

Capítulo 8: Teoría de Colas

Libro: “Introduction to Probability Models”

Autor: Sheldon M. Ross

PRELIMINARES

La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de las líneas de

espera. Una línea de espera o cola se presenta cuando los clientes llegan a un lugar

demandando un servicio a un servidor o dependiente.

Dentro de la teoría de colas se presentan varios elementos identificados por:

L, el promedio de clientes en el sistema

LQ, el promedio de clientes esperando en la cola

W, el tiempo promedio que el cliente permanece en el sistema

WQ, el tiempo promedio que el cliente permanece esperando en la cola

Dado los elementos antes mencionados, debemos definir la terminología estándar

utilizada para presentar la teoría de colas. Definimos como el promedio de llegada de

nuevos clientes, cuando hay a clientes en el sistema. Formalmente,

donde N(t) es el número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t. Es de notar que

si suponemos que los clientes nuevos tuvieran que pagar dinero al sistema, entonces

tendríamos la siguiente regla o identidad básica de costo

Ahora, supongamos que cada cliente paga $1 por unidad de tiempo. Entonces, el

promedio de clientes en el sistema (L), está dado por:

lo que se conoce como la fórmula de Little. Similarmente, se obtiene que

Definamos E[S] como el tiempo promedio que un cliente espera en servicio, entonces

El promedio de clientes en servicio = .

Como dato importante las ecuaciones anteriores son válidas para todos los modelos de

colas, independientemente el proceso de llegada, el número de servidores o la disciplina

de colas.

Probabilidades de la condición en estado estable

Sea X(t) el número de clientes en el sistema en el tiempo t y sea n 0. Definimos,

O sea, Pn es la probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema. En general,

Pn es la proporción de tiempo a largo plazo durante el cual el sistema contiene

exactamente n clientes. Ejemplo, si P0 = 0.3, el sistema tendrá 0 clientes durante el 30%

del tiempo.

MODELOS EXPONENCIALES

Sistema de colas exponencial de servidor sencillo

Consideremos un sistema de colas de un solo servidor en acorde con un proceso

de Poisson de razón , donde es el número promedio de llegadas por unidad de tiempo,

y es el tiempo promedio entre llegadas. Los tiempos de servicios sucesivos se

distribuirán exponencialmente, de tal manera que es el número medio de clientes que el

servidor es capaz de atender por unidad de tiempo, y es el tiempo medio de servicio. A

esto se le conoce como la cola M/M/1. Las dos M se refieren a que tanto la distribución

entre servicio y la distribución entre llegadas son exponenciales, y el 1 se refiere a la

cantidad de servidores.

Pasemos a analizar las probabilidades limitantes Pn para este modelo, asumiendo

que y que (si el sistema se satura):

Como Pn es la probabilidad a largo plazo de que el sistema contenga exactamente n

clientes, y ya que obtenemos que:

Sistema de colas exponencial de servidor sencillo con capacidad finita

Un sistema de colas exponencial de servidor sencillo con capacidad finita es aquel

sistema con una capacidad máxima N, o sea 0 n N. En este caso:

Como Pn es la probabilidad a largo plazo de que el sistema contenga exactamente n

clientes, obtenemos que:

RED DE COLAS

Sistemas Abiertos

Consideremos un sistema de dos servidores en el cual los clientes llegan al

servidor 1 de acuerdo a una razón de Poisson . Luego de ser atendidos por el servidor 1

se unen a la cola del servidor 2. Asumamos que se tiene una cantidad infinita de espacio

de espera en ambos servidores. Cada servidor atiende un cliente a la vez con el servidor i

tomándose un tiempo exponencial con razón por servicio, donde i = 1, 2. Tal sistema

se conoce como sistema tandem o secuencial. Se les llama sistemas abiertos ya que los

clientes pueden entrar y salir del sistema. La figura a continuación ilustra el sistema.

Para comprender este sistema necesitamos llevar la cuenta del número de clientes

en el servidor 1 y el número de clientes en el servidor 2, para lo cual definimos el estado

mediante el par ordenado (n,m), que significa que hay n clientes en el servidor 1 y m en el

servidor 2. Notemos que la situación en el servidor 1 es justamente la de un modelo

M/M/1. Además, el proceso de salida en un modelo M/M/1 es un proceso de Poisson con

razón y por tanto, el servidor 2 se enfrenta igualmente a un modelo M/M/1. De todo

esto se sigue que la probabilidad de que haya n clientes en el servidor 1 es

Servidor 1 Servidor 2

abandona el sistema

y de la misma forma la probabilidad de que haya m clientes en el servidor 2 es

Ahora, como un proceso de llegadas de Poisson trabaja con promedios de tiempo,

se sigue que en un sistema tandem, la cantidad de clientes en el servidor 1 y en el

servidor 2 que un cliente nuevo (que irá al servidor 1) se encuentra al llegar son variables

aleatorias independientes.

Por lo tanto

.

Luego, resulta que las ecuació que describen a L es

de donde se tiene que

.

Es razonable preguntarse qué pasa si el sistema tiene más de dos servidores.

Asumamos que el sistema es uno con k servidores y los clientes llegan al servidor i de

acuerdo a procesos independientes de Poisson a razón ri, donde i = 1, 2,…, k. Una vez el

cliente es atendido por el servidor i, pasa a la cola del servidor j, con probabilidad Pij,

donde j = 1, 2,…, k.

Sea la razón total de llegadas de clientes al servidor j. Entonces

, j = 1, 2,…, k.

Resulta que el número de clientes frente a cada uno de los servidores es independiente.

Siguiendo el mismo razonamiento de antes tenemos que

Luego el promedio de clientes en este sistema viene dado por

El tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema, W, se puede obtener de la ecuación

inicial para L (es decir, ) y del hecho que . Entonces

.

Nota: La ecuación antes obtenida,

es un resultado interesante pues nos indica que la distribución del número de

clientes en el servidor i es la misma que se obtendría en un modelo M/M/1 con

razones y . Sin embargo en los modelos de redes el proceso de llegadas en

el servidor i no tiene que ser necesariamente un proceso de Poisson. Esto se

debe a que si permitimos la posibilidad de que un cliente visite un servidor más de

una vez (a esto le llamamos “feedback” o retroalimentación), entonces el proceso

de llegadas no será de Poisson.

Entonces podemos apreciar que aún cuando permitimos el “feedback”, las

probabilidades de condición estado-estable del número de clientes en cualquier

servidor tienen la misma distribución que en un modelo M/M/1 incluso cuando el

modelo no es M/M/1.

Sistemas Cerrados

Un sistema es cerrado cuando no entran clientes nuevos y aquellos ya existentes

nunca salen del mismo. Vamos a suponer que hay m clientes moviéndose en un sistema

de k servidores, donde los tiempos de servicio en el servidor i son exponenciales con

una razón , i = 1,…, k. Cuando un cliente termina de ser atendido en el servidor i, se

une a la cola frente al servidor j, j = 1,…, k, con probabilidad Pij, donde asumimos que

para toda i = 1,…, k. O sea, P = [Pij] es una matriz de probabilidades de

transición de Markov, que asumiremos irreducible. Denotemos las probabilidades

estacionarias para esta cadena de Markov mediante . Es decir es la

solución única de

(*)

(**)

Sea la razón promedio de llegadas al servidor j, donde j = 1, 2,…, k. Luego,

satisface que

.

Sea . Podemos ver que es la razón promedio en la cual el sistema

entero termina el servicio. Entonces, de (*) y (*) se obtiene que

. (***)

Consideremos las probabilidades limitantes

donde j = 1, 2,…, k. Se puede demostrar que

donde hemos aplicado la ecuación (***) y donde Cm viene dado por

.

Ahora, esta ecuación para es útil para valores pequeños de m

y k, pues la constante Cm trabaja sobre todos los posibles vectores para

los cuales se cumple que y hay vectores que verificar.

Por lo antes expuesto necesitamos de una forma más eficiente para hallar estas

probabilidades limitantes. Expondremos a continuación un acercamiento que nos

permitirá determinar de modo recursivo muchas de las cantidades de interés sin tener que

calcular Cm. Pensemos en un cliente que acaba de abandonar el servidor i y se dirige al

servidor j. Considérese la probabilidad de que este cliente observe, en ese momento, nl

clientes en el servidor l, donde l = 1,…, k y . Tal probabilidad viene dada

por

Esta ecuación la reescribimos

.

Ahora, C no depende de n1,…nk. Sin embargo esta ecuación es una densidad de

probabilidad sobre el conjunto de vectores que satisfacen .

Por tanto

,

donde .

Esto se satisface para toda i. Tenemos así el Teorema de Llegadas.

Teorema de Llegadas

En un sistema de redes cerrado con m clientes, el sistema como visto por clientes

que se dirigen al servidor j se distribuye como la distribución estacionaria en el

mismo sistema de redes cuando hay solamente m – 1 clientes.

Sea Lm(j) y Wm(j) el promedio de clientes y el tiempo promedio que un cliente pasa en

el servidor j cuando hay m clientes en la red. El Teorema de Llegadas implica que

.

Ahora, cuando hay m – 1 clientes en el sistema, de la ecuación (***) obtenemos que

y entonces tenemos que

.

Luego,

.

Ahora como , obtenemos que

.

La fórmula recursiva para Wm(j) viene entonces dada por

.

Nótese que .

Utilizando este último dato, las probabilidades estacionarias , con j = 1,…, k, y las

ecuaciones

(i)

(ii)

(iii)

que acabamos de describir podemos determinar recursivamente W2(j),…,Wm(j), luego

y finalmente Lm(j).

EL SISTEMA M/G/1

Preliminares: Trabajo y Otra Identidad de Costo

Consideremos un sistema de colas arbitrario. Definimos el trabajo en el sistema

en cualquier tiempo t como la suma de los tiempos de servicio restantes de todos los

clientes en el sistema en el tiempo t. Denotemos por V el promedio de tiempo en el

sistema. Ahora, en la sección de Preliminares discutimos la ecuación de costo

.

Para comprender lo que obtener V significa considérese la siguiente regla de costo

“Cada cliente paga a una razón de cuando su tiempo de

servicio restante es y, sea que esté en cola o que esté en servicio”.

Entonces la razón a la que el sistema gana es justamente el trabajo en el sistema, o sea

que

.

Para determinar definimos S como el tiempo de

servicio y como el tiempo que un cliente dado espera en cola. Ahora, si x es el

tiempo que el cliente está siento atendido, entonces el cliente paga a una razón de S por

unidad de tiempo mientras espera en la cola y a una razón de S – x luego de pasar un

tiempo x siendo atendido. Luego

y obtenemos así que

Esta ecuación es una identidad básica de la teoría de colas y es válida en prácticamente en

todos los modelos.

Si el tiempo de servicio de un cliente ies independiente de sue espera en cola

entonces

Aplicación de Trabajo al modelo M/G/1

Las premisas que indican que estamos trabajando con un modelo M/G/1 son:

(1) Las llegadas siguen un proceso de Poisson a razón .

(2) La distribución de servicio es general y no específica.

(3) Se tiene un solo servidor.

Asumiremos que los clientes son servidos según el orden de llegada (se atienden primero

aquellos que llegaron primero). Ahora queremos ver las ecuaciones que gobiernan este

sistema. Considérese un cliente arbitrario en el modelo M/G/1. Entonces como hay solo

un servidor

Tiempo que el cliente esperan en la cola = trabajo en el sistema cuando el cliente llega

Tomando el valor esperado a ambos lados de esta ecuación se obtiene

Por la condición (1), resulta que y obtenemos así la fórmula de Pollaczek-

Khintchine, esto es

con E[S] y E[S2] siendo los primeros dos momentos del servicio de distribución. De esta

ecuación obtenemos

Nota: Para que estas cantidades sean finitas, necesitamos que .

Periodos Ocupados

Todo sistema alterna entre periodos lentos, cuando no hay clientes en el sistema,

y periodos ocupados, en los que hay al menos 1 cliente. Sean In y Bn, r espectivamente,

los largos del n-ésimo periodo lento y el n-ésimo periodo ocupado, donde n > 1. Se

puede demostrar que

Ahora, resulta que las I1,…, In, son independientes y están idénticamente distribuidas

como lo están las B1,…, Bn. Por lo tanto, dividiendo el numerador y el denominador de

esta ecuación por n y aplicando la ley fuerte de los grandes números, se obtiene que

donde I y B son variables aleatorias de tiempo lento y tiempo ocupado. En particular I

se refiere al tiempo desde que un cliente abandona el sistema y el sistema queda vacío

hasta llegar un cliente nuevo. Por las llegadas de Poisson, se observa que I es

exponencial con razón y por lo tanto

Para calcular P0 utilizamos la siguiente fórmula

.

Luego tenemos que

.

La otra fórmula que nos interesa es una que nos determine el número de clientes servidos

en un periodo ocupado, cantidad que denotamos por C. Más aún, nos interesa el valor

esperado de C. Ahora, por cada E[C] llegadas exactamente un cliente encontrará el

sistema vacío, el primer cliente del periodo ocupado. Luego

.

Por las llegadas de Poisson, , lo cual implica que

VARIACIONES EN EL SISTEMA M/G/1

MODELO M/G/1

“RANDOM –SIZED BATCH ARRIVALS”

Supongamos que, como en un sistema M/G/1, las llegadas ocurren en acuerdo con

el proceso de Poisson con una razón de λ, con la diferencia de que cada llegada consiste

de una cantidad “random” de clientes. Por tanto ahora denotaremos por la

probabilidad con un puesto o lote arbitrario de j clientes y dado N una variable que

representa el tamaño del puesto entonces . Entonces , como la

fórmula básica para trabajar y hallar

Para obtener una segunda ecuación relativa de V a consideramos un promedio

de clientes expresado de la siguientes manera:

Cliente espera en la cola = el trabajo del sistema cuando el cliente llega + el

tiempo de espera por el cliente cuando este pasa a su

puesto

Utilizando el proceso de Poisson, podemos resumir lo anterior de la siguiente manera:

donde es el tiempo de espera del cliente para llegar al puesto.

Para determinar la probabilidad del promedio de clientes que pueden llegar de un

puesto con tamaño j debemos definir lo siguiente: Sea L un número mayor entonces el

primer M puestos aproximadamente , de tamaño j, , y de los cuales el número

aproximado de clientes legando al puesto esta dado por de en un puesto de tamaño j,

la proporción de llegadas en el primer puesto M esta dada por

Esta proporción es exactamente para , por lo que podemos observar que

La proporción de clientes de un puesto de tamaño j = . Dado esto, se puede

calcular , la espera en la cola de los otros clientes mientras que otros permanecen

en el puesto de la siguiente manera:

,

tomando en cuenta que el puesto es de tamaño j.

Colas de prioridad

Uno sistema de colas de prioridad es uno en el cual los clientes son clasificados y

según sean clasificados reciben un servicio de prioridad de acuerdo a su clasificación.

Considerando una situación en la que lleguen dos clientes con sus respectivas razones

y y tiene una distribución de servicio y . Dentro de un sistema sin un servicio de

prioridad conocido por FIFO (first come, first served) donde tenemos que

En el sistema donde existe el servicio de prioridad, suponemos que el primer

cliente mencionado tiene prioridad por tanto se dice que el promedio del trabajo esta dado

por

donde es la distribución de Queriendo llegar a calcular el promedio de

espera de un cliente de clasificación i denota do como , necesitamos definir las

siguientes fórmulas:

(i) donde es la cantidad promedio del cliente de

clasificación i en el trabajo

(ii) Si definimos que donde es la cantidad promedio del

cliente de clasificación i en la cola y es la cantidad promedio del cliente de

clasificación i en el servicio, tenemos que

y

Finalmente obtendríamos que

EL MODELO DE G/M/1

El Modelo de G/M/1 asume que el tiempo entre llegadas sucesivas tiene una

distribución arbitraria G. El tiempo de servicio es una distribución exponencial con razón 𝜇 en una servidor simple. La dificultad principal de este sistema es que el número de

clientes no es informado de una forma eficiente como para tener espacios en el servidor.

Para resolver este problema debemos definir que donde el numero en el

sistema de acuerdo a la legada n-nésima.

La probabilidad de transición en este sistema esta dada por

donde el nuemero de servidores en cualquier tiempo t es un “random” de Poisson con

significado 𝜇t.

El Modelo de G/M/1 ocupado y desocupado

Supongamos que surjan llegadas en un momento en que el sistema esta ocupado o

desocupado. Dado que N es el número de clientes atendidos en ese periodo en que el

sistema esta ocupado, por las cadenas de Markov tenemos que es la proporción de

transición e que la cadena de Markov cambia a estado 0que es equivalente a que el

sistema este desocupado. Dado esto

La suma de un sistema ocupado y desocupado puede expresarse como la suma de N

tiempos entre llegadas. Entonces , si es el tiempo de llegadas después de que el

sistema esta ocupado

VARIACIONES EN EL SISTEMA M/G/1

MODELO G/M/1

MODELO DE FUENTE FINITA

Consideremos un sistema de m máquinas, cuyos tiempos de trabajo son variables

exponenciales aleatorias independientes con razón . Tras un fallo, la máquina va

instantáneamente al departamento de reparaciones, el cual tiene un solo operador. Si el

operador esta libre, comienza a reparar la máquina, de lo contrario la máquina se une a la

cola de máquinas dañadas. Cuando una máquina se repara se convierte en una apta para

trabajar, y la reparación comienza con otra máquina de la cola. Los tiempos de

reparaciones siguientes son variables aleatorias independientes que tienen una función

densa g, con media dada por:

Para analizar este sistema se desarrolla el tiempo de trabajo exponencialmente distribuido

para obtener una cadena de Markov. Dado que el tiempo de reparación de cada máquina

es independiente, se obtiene la cadena . Para determinar la probabilidad de

transición Pi,j suponemos que i>0. Para esta cadena obtenemos que,

Si i=0, porque la siguiente reparación no comienza hasta que otra máquina tenga un fallo,

P0,j=P1,j,

Dado que, , representa las probabilidades de esta cadena de Markov, su

única solución es:

Dado que este sistema se renueva constantemente, supongamos que el sistema

comienza un nuevo ciclo, obtenemos que:

donde, Ri, i>1, es el número de reparaciones en el momento en que el ciclo comienza, N

es el número de reparaciones en el tiempo ocupado del ciclo, y B es el largo del periodo

en que el sistema esta ocupado. El tiempo de parada de esta secuencia esta dado por la

ecuación de Wald:

Por otra parte, la media de tiempo en que el sistema esta inactivo esta dado por:

Por lo tanto, PB, la proporción de tiempo en que el operador esta ocupado, satisface:

Sin embargo, la proporción de reparaciones completas que deja a todas las máquinas

trabajando, esta dada por:

Por consiguiente:

Si nos enfocamos en una máquina a la que identificaremos como máquina 1, y

tenemos en cuenta que todas las máquinas se fallan a la misma razón y tienen la misma

distribución de reparación, entonces:

donde P1,R es la proporción de tiempo en que la máquina 1 esta siendo reparada. Si la

máquina 1 tiene intervalos de tiempo alternados en los cuales la máquina trabaja (W), esta

en cola (Q) o se esta reparando (S). Tenemos entonces que la proporción de tiempo en

que la máquina esta siendo reparada en su prime ciclo n de trabajo-cola-reparación es:

Si tenemos en cuenta que y la ley de los números grandes podemos concluir que la

media de Wi converge a y la de Si a , obtenemos que:

donde es la cantidad promedio de tiempo que la máquina 1 esta en cola cuando se daña. Por lo que podemos definirla de la siguiente manera:

Si es igual a WQ , para determinar la media del tiempo en que la máquina

dañada en la cola, utilizamos:

donde es la razón promedio en que una máquina se daña. Utilizamos la fórmula

identidad básica de costo:

donde es la razón media en la que la máquina 1 se daña, entonces:

Entonces es:

Por lo tanto, el promedio de máquinas en la cola de espera es:

Entonces:

COLAS DE SERVIDOR MÚLTIPLE

Sistemas con múltiples servidores u operadores son más difíciles para analizar

que aquellos que tienen un solo servidor.

Sistema de pérdida de Erlang

Un sistema de perdida es un sistema de colas en el cual las llegadas que

encuentran a todos los servidores ocupados no entran, lo que significa una pérdida para el

sistema. El sistema M/M/k es un sistema de pérdida en el cual los clientes llegan de

acuerdo al proceso de Poisson que tiene razón , entre si al menos uno de los k servidores

esta libre, y permanece una cantidad exponencial de tiempo con razón para ser

atendido. Las ecuaciones balanceadas para este sistema son:

Utilizando , obtenemos:

Dado que , donde E[S] es la media de tiempo de servicio, lo anterior se puede

escribir como:

Cola M/M/k

La cola de capacidad infinita M/M/k puede ser analizada por la técnica de

ecuación balanceada. Lo siguiente se deja para que el lector verifique:

En la misma se tiene que imponer la condición .

Cola G/M/k

Supongamos que tenemos k servidores, cada uno de ellos a una razón exponencial

. Sin embargo, permitimos que el tiempo entre las llegadas sucesivas tenga una

distribución arbitraria G, donde si la distribución de estado estable existe, se llega a la

condición de que donde la media de G. Para derivar las probabilidades de la

cadena de Markov , donde Xn es el número en el sistema en el momento de la

llegada n, utilizamos:

donde Yn, es el número de salidas durante el tiempo de llegada entre n y (n+1) llegadas.

Las probabilidades de transición Pij se calculan de la siguiente forma:

Caso 1

Este sigue fácilmente que .

Caso 2

En ese caso si una llegada encuentra i en el sistema, luego como i<k la

nueva llegada también entrara inmediatamente a servicio. Si la siguiente llegada

encuentra j si de i+1 servicios i+1-j son completados en el tiempo entre llegadas,

el cual si es condicionado se obtiene:

Caso 3

En ésta caso todos los servidores están ocupados y la salida es un proceso

de Poisson con razón . Condicionando nuevamente el tiempo entre llegada

tenemos:

Con probabilidad

Con probabilidad

Caso 4

En este caso mientras todos los servidores están ocupados, la salida es un

proceso de Poisson, esto sigue que el intervalo de tiempo en el que solo hay k en

el sistema tendrá una distribución gama con parámetros .

Condicionando primero el tiempo entre llegadas y luego en el tiempo en que solo

hay k en el sistema obtenemos:

Si sustituimos directamente en la ecuación o en la cadena de

Markov , cuando , obtenemos que:

Por lo tanto si WQ es la cantidad de tiempo que el cliente esta en cola,

entonces:

Cola M/G/k

En esta cola se considera que los clientes llegan a la razón de Poisson y que son

atendidos por cualquier servidor k, cada uno de los cuales tienen una distribución de

servicio G. Comenzamos con la identidad básica:

luego intentamos derivar una segunda ecuación que relacione V con WQ.

Si consideramos una llegada arbitraria, obtenemos:

Trabajo en el sistema cuando llega un cliente=k tiempo que el cliente esta en la cola+R

donde R es la suma del tiempo de servicio que falta de todos los clientes en servicio al

momento en que entre nuestra llegada. Tomando en cuanta las expectativas de la primera

ecuación descrita en esta sección y utilizando las llegadas de Poisson, tenemos que:

Utilizando esto podemos calcular una aproximación para WQ cuando este tiene una

distribución de servicio gama, dado por:

EJEMPLO

1. Suponga que los clientes llegan a una razón de Poisson de 1 por cada 12 minutos,

y que el tiempo de servicio es exponencial a una razón de 1 servicio por 8

minutos. Determine L y W.

a. Solución:

i. Dado que y , tenemos que

Por lo tanto la media de clientes en el sistema es 2 y el tiempo

medio que un cliente está en el sistema es de 24 minutos.

Bibliografía

Ross, Sheldon M. (2000). Introduction to Probability Models. Seventh Edition. Academic

Press. Págs. 427-495.

Documentos obtenidos de la Web como referencia:

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_colas

http://www.monografias.com/trabajos18/teoria-colas/teoria-colas.shtml