DIAGRAMA DE BASE

DIAGRAMA DE FASE

Un diagrama de fase es un método cualitativo-gráfico que nos permite Analizar la solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden Autónoma.Recordemos que una EDO autónoma es una ecuación que depende solo de La variable dependiente

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑔(𝑦)

Por ejemplo en la ecuación

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑦

La función 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑦 depende solo de y que es la variable independiente, por eso se dice que es una EDO autónoma

Para realizar un diagrama de fase debemos recordar que información nos da La primera derivada de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Al igualar la primera derivada 𝑑𝑦

𝑑𝑥de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥)a cero; tenemos

información sobre los puntos críticos de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Al analizar el signo de la derivada para cada intervalo, podemos conocer la Monotonía de la función:

Si la primera derivada es mayor que cero «+», la función 𝑓 𝑥 crece « »Si la primera derivada es menor que cero «-», la función 𝑓(𝑥) decrece « »

Esta información la podemos resumir en la siguiente tabla

En un diagrama de fase se representa el comportamiento de la función solución De una ecuación diferencial autónoma a lo largo del eje y

Por ejemplo el siguiente diagrama de fase

Nos dice que la función crece en los intervalos −∞ ,−3 y 2 , +∞Y decrece en el intervalo −3 , 2 -6

Al analizar el diagrama de fase se puede ver que el comportamiento de la Función solución alrededor de los puntos críticos no es la misma

Cuando en el diagrama de fase se ve que la función solución converge a un mismo punto crítico,

En el diagrama se puede ver que el punto -3 es asintóticamente estable

se dice que el punto crítico es asintóticamente estable y se lo conoce como punto atractor o sumidero

Por el contrario

Cuando en el diagrama de fase se ve que la función solución se aleja de un mismo punto crítico,

En el diagrama se puede ver que el punto -3 es asintóticamente inestable

se dice que el punto crítico es asintóticamente inestable y se lo conoce como punto repulsor

También puede presentarse puntos singulares alrededor de los cuales la funciónno cambia de sentido a estos puntos se les conoce como puntos asintóticamente

SemiestablesPor ejemplo el punto -2 y 4 son puntos asintóticamente semiestables

,

Para realizar un diagrama de fase debemos seguir los siguientes pasos:

1.- Verificar que la EDO de primer orden sea autónoma

2.- calcular los puntos críticos de la función solución los cuales se obtienen Igualando la derivada a cero

3.- Analizar la monotonía de la función solución es decir analizamos el Signo de la derivada

4.- Realizar el diagrama de fase representar gráficamente los puntoscríticos y la monotonía de La función solución

Corina Villarroel RobalinoDOCENTE