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RESPUESTA EN EL

TIEMPO

CURSO CONTROL APLICADO- MARCELA VALLEJO VALENCIA-ITM

BUENO, YA TENGO UN MODELO MATEMÁTICO. ¿Y AHORA QUÉ?

Vamos a analizar el comportamiento del sistema.

Entonces analizamos las respuestas aseñales de prueba particulares.


PLANTAENTRADA

NO SE COMO VA A SER. NO LO PUEDO PREDECIR.NO LA PUEDO DESCRIBIR DE FORMA ANÍTICA.

SALIDA

BUENO, YA TENGO UN MODELO MATEMÁTICO. ¿Y AHORA QUÉ?

El controlador que diseñemos debe encargarse de tomarese comportamiento y transformarlo en el quedeseamos.

PLANTAENTRADA CONTROLADOR SALIDA

SENSORSET POINT

ELEMENTO FINAL DE CONTROL

Para ver el funcionamiento del sistema completonecesito la función de transferencia de lazo cerrado

¿SEÑALES DE PRUEBA?• Muchos criterios de diseño se basan en tales señales o en la respuesta del

sistema a los cambios en las condiciones iniciales (sin señales de prueba).

• El uso de señales de prueba se justifica porque existeuna correlación entre las características de respuestade un sistema para una señal de entrada de pruebacomún y la capacidad del sistema de manejar lasseñales de entrada reales.


¿Y CUÁL USO?

La forma de la entrada a laque el sistema estará sujetocon mayor frecuencia enuna operación normaldetermina cuál de lasseñales de entrada típicas sedebe usar


Y AL APLICAR ESTAS SEÑALES DE PRUEBA ¿QUE TENGO QUE OBSERVAR?


RESPUESTA TRANSITORIA•VELOCIDAD DEL SISTEMA ALRESPONDER•SOBREELONGACIONES YOSCILACIONES

RESPUESTA EN ESTADOESTABLE•ERROR EN ESTADO ESTABLE•SI HAY ESTABILIDAD

Respuesta transitoria y respuesta en estado estacionario


TRANSITIORIA ESTADO ESTABLE

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN


SI QUIERO VER QUE PASA EN EL TIEMPOTENGO QUE HALLAR LA TRANSFORMADAINVERSA. PASO PREVIO: FRACCIONESPARCIALES

RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Cuanto más pequeña es la constante de tiempo T, menor es

el error en estado estacionario después de la entrada rampa


SISTEMAS DE PRIMER ORDENCON RETARDO


RETARDO DE TIEMPO

APROXIMACIÓN DE PADE

Primer Orden

Segundo Orden

Tercer Orden

Retardo de 3 segundos y aproximaciones

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN


22

2

2)(

)()(

nn

n

i sssV

sVsG

12

4 22

nna

acbbpolos

ωn= Frecuencia natural del sistema• ζ=Coeficiente (o factor) de amortiguamiento• Kp =ganancia del proceso,

VEAMOS LAS POSIBILIDADES

• Si 0< ζ <1, los polos son complejos conjugados. El sistema, entonces, sedenomina subamortiguado y la respuesta transitoria es oscilatoria.

• Si ζ =1, Los polos son reales. E iguales El sistema se denominacríticamente amortiguado.

• Si ζ >1 los polos son reales y diferentes. El sistema es sobreamortiguado yno presenta oscilaciones.

• Si ζ =0 la respuesta se vuelve oscilatoria.


12 nnpolos

VEAMOS GRÁFICAMENTE


DEFINICIONES DE LAS ESPECIFICACIONES DE RESPUESTA TRANSITORIA

• La respuesta transitoria de un sistema para una entradaescalón unitario depende de las condiciones iniciales.

•Por conveniencia al comparar respuestas transitorias devarios sistemas, es una práctica común usar la condicióninicial estándar de que el sistema está en reposo alinicio. De este modo, las características de respuesta secomparan con facilidad.



• Tiempo de retardo, td

• Tiempo de subida, tr

• Tiempo pico, tp

• Sobreelongación, Mp

• Tiempo de asentamiento, ts



El tiempo de retardo esel tiempo requeridopara que la respuestaalcance la primera vez lamitad del valor final.



El tiempo de subida es el tiemporequerido para que la respuestapase del 10 al 90%, del 5 al 95% odel 0 al 100% de su valor final.

• Para sistemas subamortiguadosde segundo orden, por logeneral se usa el tiempo desubida de 0 a 100%.

• Para sistemassobreamortiguados, sueleusarse el tiempo delevantamiento de 10 a 90%.



El tiempo pico es eltiempo requerido paraque la respuesta alcanceel primer pico desobreelongación.



La máxima sobreelongaciónes el máximo valor del picode la curva de respuesta,medido a partir de launidad. Si el valor final enestado estacionario de larespuesta es diferente de launidad, es frecuente utilizarel porcentaje desobreelongación máxima


DEFINICIONES DE LAS ESPECIFICACIONES DE RESPUESTA TRANSITORIA El tiempo de asentamiento es

el tiempo que se requierepara que la curva derespuesta alcance un rangoalrededor del valor final deltamaño especificado por elporcentaje absoluto del valorfinal (por lo general, de 2 o5%). El tiempo deasentamiento se relacionacon la mayor constante detiempo del sistema decontrol. Los objetivos deldiseño del sistema encuestión determinan quécriterio de error enporcentaje utilizar.


Sistemas de segundo orden y especificaciones de la respuesta transitoria

A continuación, se obtendrá el tiempo de subida, el tiempo pico, lasobreelongación máxima y el tiempo de asentamiento del sistema de segundoorden. Se supone que el sistema está subamortiguado.


Respuesta transitoria de los sistemas de orden superior


• La respuesta transitoria de este sistema a cualquier entrada determinada se obtiene medianteuna simulación por computador.

• Si se pretende una expresión analítica para la respuesta transitoria, es preciso factorizar elpolinomio del denominador.

• Recuérdese que los polos en lazo cerrado determinan el tipo de respuesta transitoria, mientras que los ceros en lazo cerrado determinan principalmente la forma de la respuesta transitoria

Caso en el que todos los polos en lazo cerrado son reales y distintos (Respuesta al escalón)

aies el residuo del polo en s=pi

Un par polo-cero cercanos entre sí se cancelarán efectivamente uno al otro.


Todos los polos en el semiplano izquierdolas magnitudes relativas de los residuos determinan la importancia relativa

Si hay un cero cerca de un poloEl residuo en este polo es pequeño y el coeficiente del término de respuesta transitoria se vuelve pequeño

Si un polo está lejos del origenEl residuo puede ser pequeño. Los valores transitorios duran poco tiempo

Los términos con residuos pequeñosPueden pasarse por alto y así aproximar el sistema a uno de orden inferior.

Caso en el que los polos de C(s) están formados por polos reales y pares de polos complejos conjugados

Todos los polos en el semiplano izquierdo


términos exponenciales y los términos sinusoidalesamortiguados se aproximarán a cero conforme el tiempot aumente. Por tanto, la salida en estado estacionario esc(∞)=a.

La respuesta es la suma de un número de curvas exponenciales y curvas sinusoidales amortiguadas

Caso en el que los polos de C(s) están formados por polos reales y pares de polos complejos conjugados


Si el sistema es estable Polos que están lejos del eje jω tienen partes reales grandes y negativas.

Los términos exponenciales que corresponden a estos polos llegan a cero con mucha rapidez

la distancia horizontal del polo al eje jω determina el tiempo de asentamiento de los transitorios producidos por tal polo. Cuanto más pequeña es la distancia, más prolongado es el tiempo de asentamiento

POLOS DOMINANTES

• Los polos en lazo cerrado que tienen efectos dominantessobre el comportamiento de la respuesta transitoria sedenominan polos dominantes en lazo cerrado.

• Con mucha frecuencia, estos aparecen en forma de un parcomplejo conjugado. Los polos dominantes en lazo cerradoson los más importantes entre todos los polos en lazocerrado.

Polos dominantes en lazo cerrado

La dominancia relativa de los polos Cociente de las partes reales de los polos Magnitudes relativas de los residuos evaluados en los polos en lazo cerrado

Las magnitudes de los residuos dependen tanto de los polos como de los ceros

Los polos más cercanos al eje jω dominarán elcomportamiento de la respuesta transitoria, debido aque corresponden a los términos de la respuestatransitoria que se disminuyen lentamente.

Si los cocientes de las partes reales son superiores a 5 y no hay ceros cerca

EJERCICIO

Para el siguiente sistema de segundo suponga ωn=1.

Use matlab para graficar la respuesta al escalón y los respectivos diagramas de polos y ceros para valores de ζ desde 0 hasta 1,4 en pasos de 0,2.

¿Qué conclusiones puede sacar de estos gráficos con respecto a la relación entre ζ, la posición de los polos y ceros y el comportamiento del sistema?


EJERCICIO

Para el siguiente sistema de segundo orden suponga ζ =0,4.

Use Matlab para graficar la respuesta al escalón y los respectivos diagramas de polos y ceros para valores de ωn desde 1 hasta 10 n pasos de 1.

¿Qué conclusiones puede sacar de estos gráficos con respecto a la relación entre ωn, la posición de los polos y ceros y el comportamiento del sistema?


Análisis de estabilidad en el plano complejo

• Obsérvese que el solo hecho de que todos los polos en lazo cerradose encuentren en el semiplano izquierdo del plano s no garantizacaracterísticas satisfactorias de respuesta transitoria.

• Si los polos dominantes complejos conjugados en lazo cerrado seencuentran cerca del eje jω, la respuesta transitoria presentaráoscilaciones excesivas o será muy lenta.

• Por esta razón, a fin de garantizar características de respuestatransitoria rápidas y bien amortiguadas, es necesario que los polos enlazo cerrado del sistema se encuentren en una región determinadadel plano complejo


Análisis de estabilidad en el plano complejo


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