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SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE BLACK-SCHOLES A TRAVÉS DEL MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN DE ADOMIAN Luis Blanco-Cocom, Eric Ávila-Vales . Universidad Autónoma de Yucatán, Facultad de Matemáticas. *E-mail: [email protected]
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SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE
BLACK-SCHOLES A TRAVÉS DEL
MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN DE
ADOMIAN
Luis Blanco-Cocom, Eric Ávila-Vales.
Universidad Autónoma de Yucatán,
Facultad de Matemáticas.
*E-mail: [email protected]
Introducción
A principios de los años 70 Black y Scholes realizaron un
descubrimiento científico de gran importancia en la valoración de
opciones.
Este hecho ha tenido una gran importancia en la manera en que
los participantes en el mercado fijan los precios de las opciones.
Introducción
En 1973 Fischer Black y Myron Scholes publicaron una fórmula
para encontrar el precio de opciones financieras, a la cual Robert
Merton denominó la ecuación de Black-Scholes. Por sus
contribuciones, Scholes y Merton recibieron el premio Nobel de
economía (desafortunadamente Fisher Black falleció y no pudo
recibir este premio).
Consideremos el problema de encontrar el precio de una opción
(a cierta moneda), con vencimiento al tiempo T, con un costo K.
El precio de la opción se puede pensar como el pago de una
prima para tener el derecho de ejercer la opción al tiempo de
vencimiento. El problema es encontrar el precio “justo” de la
opción.
El problema
Supóngase que se adquiere una opción al tiempo t=0, el cual da la
facultad para comprar una parte de la acción hasta o al tiempo T, el
tiempo de maduración o tiempo de expiración de la opción.
Si la opción se ejerce a un precio fijo K, llamado precio de
ejercicio de la opción, únicamente al tiempo de maduración T,
entonces la opción es conocida como opción de compra europea
(call option).
Si la opción se puede ejercer hasta o al tiempo T, se le conoce
como opción de compra americana.
Opciones
El poseedor de una opción de compra no está obligado a ejercer
esta, por lo cual, si al tiempo T, el precio es menor que K, el
poseedor de la opción podría comprar una acción por en el
mercado, y así el boleto expira como un trato sin valor.
Si el precio excede K, sería buena elección ejercer la llamada,
es decir, se puede comprar la acción al precio K, y vender al
precio para obtener un beneficio neto de . Por tanto, el
comprador de la opción de compra europea es facultado a una
retribución de
Opción de compra
La opción de venta (put option) es una opción para vender una acción
al precio dado K en o hasta una fecha particular de maduración T.
Una opción de venta europea es ejercida solamente al tiempo de
maduración.
Una opción de venta americana puede ser ejercida hasta o al
tiempo T.
El comprador de una opción de venta europea hace una ganancia
Opción de Venta
Una estrategia de autofinanciamiento se puede llegar a la
siguiente ecuación diferencial parcial denominada la Ecuación de
Black-Scholes,:
Donde, representa el valor de la acción, el tiempo, el precio
de una opción, es el tipo de interés del mercado de deuda y es
la volatilidad de la acción, medida como la desviación estándar
de los logaritmos de la cotización de la acción.
En adelante, se trabajará con opciones europeas.
La ecuación de Black-Scholes
Wilmott et al. and Courtadon utilizan métodos de diferencias
finitas para valuación de opciones.
Geske and Johnson, MacMillan, Barone-Adesi and Whaley,
Barone-Adesi & Elliot ans Barone-Adesi desarrollaron métodos
de aproximación analítica.
GülakÇ (2010), utiliza el homotopy perturbation method para
encontrar una solución aproximada a la ecuación de Black-
Scholes
Cheng, Zhu & Liao aplican el homotopy analisys method.
Metodologías
Bohner & Zheng utilizan el método de descomposición de
Adomian, sin embargo, ellos no utilizan las condiciones de
frontera para hallar la solución aproximada
Dada una ecuación diferencial,
donde representa un operador diferencial no lineal que envuelve
tanto términos lineales como no lineales.
Entonces la ecuación (2) puede ser escrita como
Donde el operador lineal es , L es un operador fácilmente invertible
y R el remanente del operador lineal, N representa el operador no
lineal y g es la función independiente de u(t).
El Método de Descomposición de Adomian
Resolviendo para ,
Como L es invertible, operando con la inversa tenemos que,
Una expresión equivalente es
(4)
operando
(5)
donde es la constante de integración y satisface .
El Método de Descomposición de Adomian
Este método asume una solución en forma de serie infinita para
la función desconocida dada por,
(6)
El término no lineal N es descompuesta como
(7)
donde An es llamado polinomio de Adomian, y depende de la
particularidad del operador no lineal.
El Método de Descomposición de Adomian
Las An's son calculadas de manera general por la siguiente fórmula:
(8)
Sustituyendo (6) - (8) en la ecuación (5) tenemos,
Consecuentemente obtenemos,
El Método de Descomposición de Adomian
La solución, en la práctica estará dada por la k-ésima aproximación :
La descomposición de la solución en serie, generalmente converge
muy rápido. La rapidez de esta convergencia hace que se necesiten
pocos términos para el análisis de la solución. Las condiciones para
las cuales el MDA converge ha sido fuertemente estudiada por
Cherruault, Cherruault and Adomian [20], and Abbaoui and
Cherruault.
El Método de Descomposición de Adomian
Consideremos la ecuación (1) con función terminal , la cual
será si se trata de una opción de compra, o ,
si se trata de una opción de venta.
Se puede aplicar el MDA considerando a los operadores como lo
menciona
Aplicación directa del MDA
Obteniendo los términos de la solución aproximada,
Aplicación directa del MDA
Consideremos el problema
Convirtamos este problema a un problema de difusión simple
mediante el siguiente cambio de variable
Cambios de variable
El sistema resultante es
Así, la solución del P.V.I. y C.F. es,
Haciendo un cambio de variable
Cambios de variable
El sistema resultante es
Aplicando el MDA, obtenemos
Así, la solución del P.V.I. y C.F. es,
Cambios de variable
Consideremos el problema
Se convierte este problema en,
Cambios de variable
Se convierte nuevamente el problema original a un problema de
difusion simple
La solución al problema origina esta dada por,
Cambios de variable
Conclusiones
El método de descomposición de Adomian por su rápida
convergencia lo hacen una herramienta alternativa y eficaz para
solucionar el problema de la ecuación de Black-Scholes.
Los resultados obtenidos al reducir la ecuación original a una
ecuación de difusión con condiciones de dirichlet nulas para
utilizar las condiciones de frontera muestran la eficacia del
método.
La metodología presentada en este artículo puede ser muy útil a
las personas que cotizan el precio de las opciones.
Referencias
F. Black, M. Scholes (1973). The pricing of option and corporate liabilities. The Journal of
Political Economy. 81(3), pp. 637-654.
E. J. Avila-Vales (1998). Opciones para ciertos riesgos. Eureka. 13, pp. 64-70.
P. Wilmott, S. Howison, J. Dewynne, The Mathematics of Financial Derivatives.
Cambridge University Press, Cambridge,1997.
G. Courtadon (1982). A more accurate finite difference approximations for the
valuation of options, J. Finan. Quart. Anal. 17, pp. 697–703.
G. Adomian, R. Rach (1983). Nonlinear stochastic differential delay equations. J.Math.
Anal. Appl. 91, pp.94-101.
M. Pujol, P. Grimalt (2003). A non-linear model of cerebral diffusion: stability of finite
differences method and resolution using the Adomian method. Int. Journ. of Num.
Math. for Heat and Fluid Flow. 13(4), pp. 473-485.
L. Blanco-Cocom, E. vila-Vales (2010). The use of the Adomian decomposition method
for a Sirc influenza model. Advan. in Diff. Eq. and Control. Proc. 5(2), 115-127.
Y. Cherruault (1989). Convergence of Adomian’s method. Kybernetes. 18(2), 31-38.
Y. Cherruault, G. Adomian (1993). Decomposition methods: a new proof of
convergence. Math. Comput. Modelling, 18(12), pp. 103-106.
