RA. 2.1 Resuelve problemas de

dimensiones lineales y superficiales de

figuras geométricas mediante

propiedades, teoremas, cálculos

aritméticos y algebraicos.

UNIDAD 2. Modelado angular,

lineal, de superficie y

espacial.

GEOMETRÍA PARTE DE LA MATEMÁTICA DEDICADA AL ESTUDIO DE LAS FORMAS Y PROPIEDADES DE LOS CUERPOS NATURALES. LA

PALABRA SE DERIVA DE LOS VOCABLOS GRIEGOS GEO = TIERRA Y METRON = MEDIDA DE LA TIERRA.

• Geometría plana

- Se dedica al estudio de las figuras planas.

• Geometría del espacio

- Estudia los cuerpos geométricos sólidos, los cuales

tienen tres dimensiones: largo,

ancho y alto.

CONCEPTOS PREVIOS

Concepto Definición Descripción

gráfica

Punto

Es la marca más

pequeña que puede

efectuarse, carece de

anchura, longitud,

altura.

A

Línea Conjunto infinito de

puntos, tiene largo pero

carece de alto y ancho.

Línea Recta

Conjunto infinito de

puntos que se extiende

en una misma dirección

Línea Curva Conjunto infinito de

puntos que no se alinean en una misma dirección.

Concepto Definición Descripción

gráfica

Semirrecta o

rayo

Parte de la recta formada por todos los puntos hacia

un lado de un punto fijo

A

Segmento de

recta

Es una recta limitada por

dos puntos

A B

Rectas

Paralelas

Son rectas que se desplazan en la misma dirección (sin

tocarse nunca)

Rectas

Perpendiculares

Son rectas que se cortan

formando ángulos iguales

(de 90°)

Rectas

Oblicuas

Son aquellas rectas que se cortan en diferentes ángulos

Concepto Definición Descripción

gráfica

Plano

ES UNA SUPERFICIE QUE

SE EXTIENDE

INDEFINIDAMENTE

HACIA TODOS LOS

LADOS (tiene dos

dimensiones largo y

alto)

Espacio

ES TODO LO QUE NOS

RODEA Y ES ILIMITADO

(tiene tres dimensiones

largo, alto y ancho)

ÁNGULOS

Llamamos ángulo a la abertura resultante de la

unión de dos semirrectas que tienen un mismo

punto de origen llamado vértice.

vértice

ángulo

NOTACIÓN Y SIMBOLOGÍA DE LOS ÁNGULOS

Cualquier letra mayúscula situada en el

vértice fuera del ángulo hace referencia al

ángulo en cuestión. Por ejemplo < A

Se puede usar también un símbolo griego

dentro del ángulo, por ejemplo en el

ángulo α

Tres letras mayúsculas, cada una

refiriéndose a una semirrecta dejando la

letra de en medio definiendo al vértice en

cuestión. Por ejemplo < ABC

A

α

C B

A

SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS

SISTEMA Medida Unidades

SEXAGESIMAL

Consiste dividir una circunferencia en 360

partes iguales llamadas grados; el grado

se divide en 60 partes iguales llamadas

minutos y cada minuto se divide en 60

partes llamadas segundos.

Grado °

Minuto ‘

Segundo ‘’

Ej. 45° 23’ 55’’

DECIMAL

Consiste en expresar los ángulos en

grados sexagesimales y en fracciones

decimales de grados sexagesimales.

Ej. 38° 30' se expresa

como 38.5°, Porque 30'

equivalen 0.5 grados

CENTESIMAL

Consiste dividir una circunferencia en 400

partes iguales llamadas grados

centesimal; el grado se divide en 100

partes iguales llamadas minutos y cada

minuto se divide en 100 partes llamadas

segundos.

Grado g

Minuto m

Segundo s

Ej. 178g 89m28s

CIRCULAR

Los ángulos se miden en radianes; un

radián es el ángulo central de la

circunferencia, cuyo arco determinado

por los lados del ángulo tiene una longitud

igual al radio de la circunferencia.

EQUIVALENCIA ENTRE SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS

Como el perímetro del círculo está determinado por

P = 2 π r (2 por pi por radio), entonces una revolución

(vuelta) equivale a 2 π radianes.

A su vez una revolución equivale a 360° y a 400g, por lo

tanto tenemos la siguiente equivalencia:

1 revolución = 360° = 2 π radian = 400g

1 rev = 360° = 400g = 6.2832 radian (con π = 3.1416)

Aplicando una regla de tres podemos pasar de un

sistema a otro

Por ejemplo 1 radian = 57.2957° = 0.1591 rev

Ángulo Medida Imagen

Ángulo agudo Mide menos de 90°

Ángulo recto Mide 90°

Ángulo obtuso Mide más de 90° y

menos de 180°

Ángulo llano Miden 180°

Ángulo cóncavo Miden más de180° y

menos de 360°

Ángulo perigonal Miden 360°

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA.

Nombre Definición Imagen

Ángulos opuestos por

el vértice.

Son los que resultan

cuando dos rectas se

cortan de manera que

se forman dos pares

de ángulos iguales.

Ángulos adyacentes.

Son los que están

formados de manera

que tienen un lado

común y los otros dos

pertenecen a la

misma recta .

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS POR SU POSICIÓN

b

d

a c

a = c y b = d

a

b

Nombre Suma de medidas Imagen

Complementarios µ +Ø = 90°

Suplementarios µ+Ø = 180°

Conjugados µ+Ø = 360°

Ej.

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS POR LA SUMA DE SUS MEDIDAS

µ Ø

µ

Ø

µ

Ø

PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE

• Si se cortan dos rectas paralelas con una secante se forman 8

ángulos, que tienen las siguientes propiedades:

Nombre de

Ángulos Ejemplo (figura) Características

Internos 3, 4, 5, 6

Externos 1, 2, 7, 8

Correspondientes 1 – 5 , 3 – 8

2 – 6 , 4 – 7 Iguales entre sí

Alternos internos 3 – 6 , 4 – 5 Iguales entre sí

Alternos externos 1 – 7 , 2 – 8 Iguales entre sí

Colaterales internos 3 – 5 , 4 - 6 Suplementarios

(suman 180°)

Colaterales externos 2 – 7 , 1 – 8 Suplementarios

(suman 180°)

Opuestos por el

vértice

1 – 4 , 2 – 3

5 – 7 , 6 - 8 Iguales entre sí

TRIÁNGULOS

Triangulo: figura geométrica localizada en un plano, formada

por tres rectas que se cortan en parejas y forman tres ángulos.

Un triángulo tiene:

- Tres lados (a, b c)

- Tres vértices (A, B, C)

- Tres ángulos ( <A, < B , <C)

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS POR SUS LADOS

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS POR SUS ÁNGULOS

Teoremas

importantes

Teorema 1:

La suma de los ángulos internos de cualquier triangulo

mide 180°.

Esto es: A+B+C=180°

Teorema 2:

La suma de los tres ángulos externos de cualquier

triangulo es igual a 360°.

• Esto es: p + q + r =360°.

Teorema 3:

• Un ángulo externo de cualquier triangulo es igual a

la suma de los ángulos no adyacentes a el.

Esto es: A + C = P

PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

Bisectriz: recta que divide a un ángulo en dos partes exactamente iguales. Las bisectrices se cortan en un punto interior del triángulo llamado Incentro, el cual es el centro de un circulo inscrito en el triángulo.

PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

Mediatriz: recta perpendicular a cada uno de los lados, que pasa por el punto medio de estos. Las mediatrices se cortan en un punto llamado Circuncentro, que es el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triangulo.

PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

Mediana: segmento que une el vértice de un triángulo con el punto medio de su lado opuesto. Las medianas se cortan en un punto en el interior del triángulo llamado Baricentro, el cual es el centro de gravedad del triángulo.

PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

Altura: recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto o la prolongación de este. Las alturas se cortan en un punto llamado Ortocentro.

PERÍMETRO Y ÁREA DEL TRIÁNGULO

Perímetro: es la longitud del contorno de una figura.

Se obtiene sumando la longitud de

los lados del triángulo.

P = a + b + c

Área: es la medida de la superficie de una figura, se mide en unidades cuadradas ej. cm2, m2.

Otra forma de calcular el área es

mediante la fórmula de Herón:

( )( )( )

donde es el semiperímetro2

A s s a s b s c

Ps

base x altura

2 2

bhÁrea

CONGRUENCIA

• Dos figuras son congruentes si al colocar una sobre la otra

todos sus puntos coinciden, es decir si tienen la misma forma y tamaño, se representa con el símbolo .

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

SEMEJANZA DE FIGURAS

• Se dice que dos figuras son semejantes cuando

tienen la misma forma pero diferente tamaño.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

• Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus

respectivos ángulos son iguales y sus lados son

proporcionales.

TEOREMA DE PITÁGORAS

• En cualquier triángulo rectángulo ‘la suma del

cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la

hipotenusa’.

• - Los lados cortos son los catetos

• - El lado mayor es la hipotenusa (frente al ángulo recto)