Presentacion de fraccion
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TEMA:
ENSEÑANZA DE LAS FRACCIONES UTILIZANDO REPRESENTACIONES Y JUEGOS
POR: CASTRO, NORIS
2014
INTRODUCCIÓN
Hoy en día existe consenso en admitir que cuando un alumno se enfrenta ante un nuevo concepto, su mente, lejos de ser una tabla rasa, lleva consigo un cúmulo de conocimientos y experiencias previas que interactúan con y para la adquisición del nuevo conocimiento
Algunos de esos conocimientos o concepciones previas pueden, sin embargo, lejos de ayudar, dificultar la adquisición del nuevo conocimiento, y pueden transformarse en auténticos obstáculos epistemológicos que, esencialmente, consisten en viejos conocimientos, útiles dentro de un cierto dominio durante algún tiempo, pero que en un momento dado, ante un nuevo conocimiento, se revelan contradictorios, inadaptados y falsos.
El dominio de las fracciones es un campo conceptual constituido por un conjunto de situaciones, cuyo dominio progresivo requiere de una variedad de procedimientos, de conceptos y representaciones simbólicas que están en estrecha conexión.
Por lo tanto, el conocimiento de los obstáculos, errores y dificultades permite al profesor conocer los conceptos que van a tener una especial dificultad.
El presente trabajo analiza los posibles
motivos que hay detrás de esas
dificultades y las forma de afrontarlas; Para ello se realizará un breve relato de la
historia, sus representaciones y las dificultades que ello conlleva en su
enseñanza aprendizaje.
IMPORTANCIA DE LAS REPRESENTACIONES
En la última década se ha dado un resurgimiento de la importancia de
las representaciones visuales, pictóricas y diagramáticas en
distintas actividades y ámbitos científicos, como también en el
ámbito de la lógica y la filosofía e historia de la ciencia.
EL VALOR EDUCATIVO DEL JUEGO
El juego infantil es una actividad que
puede abordarse desde muchos puntos de
vista, uno de ellos es el educativo. Con el
juego, el niño pone en marcha los
mecanismos de su imaginación, expresa su manera de ver el mundo que le rodea,
de transformarlo, desarrolla su
creatividad y le da la posibilidad de abrirse
a los demás.
En la escuela infantil el juego tiene un lugar importante en el horario y las rutinas diarias. Se desenvuelve a través de los llamados rincones o zonas de juego donde el niño encuentra todo lo necesario para desarrollar el juego simbólico (representación del mundo que le rodea, con el que así se identifica) como en la zona de “casita” tanto para niñas como para niños
Lugares destacado del juego en la escuela
En la zona de construcciones y puzzles desarrollan su creatividad y dominio del espacio y los materiales; en el rincón de los disfraces juegan a ser “mayores” (bombero, médico..) y desarrollan su fantasía representando al pirata o a la princesa de sus cuentos. No son los únicos rincones, también están la biblioteca, con libros infantiles o el rincón del artista, otra faceta del juego infantil, el trabajo manual, los dibujos, la plastilina o las pinturas, donde expresar su imaginación. "Las representaciones dramáticas como el guiñol, el teatro o los juegos de expresión corporal desarrollan el lenguaje, el dominio del cuerpo y la creatividad."
EL PAPEL DEL JUEGO EN LA MATEMÁTICA
La actividad matemática ha tenido desde siempre un componente
lúdico que ha sido el que ha dado lugar a una buena
parte de las creaciones más
interesantes que en ella han
surgido.
ENSEÑANZA DE LAS FRACCIONES
Las fracciones son una
manera de anotar los números
racionales. Es por eso que
enseñar fracciones es adentrarse en
cuestiones matemáticas
complejas que van más allá de
pintar pedacitos de un
dibujo.
Cuando en clase de Matemática se propone la representación de cantidades fraccionarias, es muy común este fenómeno en el que quiero poner la lupa. El docente pide representar 3/5, por ejemplo, y los chicos dibujan un rectángulo que partirán en 5 partes iguales y luego destacarán 3 de ellas, generalmente, coloreándolas.
CONCEPTO DE FRACCIÓN
El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de dividir una totalidad en partes iguales, como cuando hablamos, por ejemplo, de un cuarto de hora, de la mitad de un pastel, o de las dos terceras partes de un
depósito de gasolina. Tres cuartos de hora no son, evidentemente, la misma cosa que las tres cuartas partes
de un pastel, pero se “calculan” de la misma manera
Una fracción se representa
matemáticamente por números
que están escritos uno
sobre otro y que se hallan
separados por una línea recta
horizontal llamada raya fraccionaria.
La fracción está formada por dos
términos: el numerador y el denominador. El numerador es el número que está
sobre la raya fraccionaria y el denominador es
el que está bajo la raya fraccionaria.
TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓNEl Numerador indica el número de partes iguales que se han tomado o considerado de un entero. El Denominador indica el número de partes iguales en que se ha
dividido un entero.
EJEMPLO
EJEMPLO
Las fracciones equivalentes tienen el mismo valor, aunque
parezcan diferentes.
¿Por qué es lo mismo? Porque cuando multiplicas o divide a la vez arriba y abajo
por el mismo número, la fracción mantiene su valor. La regla a recordar es: ¡Lo que haces a la parte de arriba de la
fracción también lo tienes que hacer a la parte de abajo!
Y en un dibujo se ve así:
Dos fracciones son equivalentes cuando al multiplicarlas en cruz se obtiene el mismo resultado.
Ejemplo 1:
Las fracciones son equivalentes porque
La comparación de fracciones permite determinar, de una
pareja o varias fracciones, cuál es aquella con valor
superior. Se pueden dar tres
casos:
FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR
Para fracciones que tienen el mismo denominador hay que comparar los numeradores. La fracción con mayor numerador será mayor.
FRACCIONES CON IGUAL NUMERADOR
FRACCIONES CON DIFERENTE NUMERADOR Y DENOMINADOR
Para fracciones con diferente
numerador y denominador, se
deben buscar fracciones
equivalentes hallando el mínimo
común denominador
(reducir fracciones a común
denominador).
Para ello, se toma como denominador común el mínimo común múltiplo
(m c m) de los denominadores y a partir
de ahí estamos en el primer caso que ya hemos
visto.
Ejemplo: y El mínimo común denominador
es 20, resultando y . Como 5 < 8,
Nota: también se puede utilizar la notación decimal,
como 1/4 = 0,25 y 2/5 = 0,4; 0,25 < 0,4 así pues 1/4 <
2/5.
DIVISION
MULTIPLICACION
FRACIONES PROPIA
FRACIONES IMPROPIAS
FRACCIONES HOMOGÉNEAS
FRACCIONES HETEROGÉNEAS
REDUCIBLES / IREEDUCIBLES
UNITARIAS
EGIPCIAS
APARENTES
MIXTAS
LAS OPERACIONES MATEMÁTICAS
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
El término de ‘adición’ proviene del latín ‘addo, is’ significando ‘añadir, agregar’. De igual manera, el término de ‘resta’ tiene su origen en el latín ‘restare’, sobrar, quedar.
Observa que la lámina superpuesta presenta 12 divisiones, de las cuales dos están sombreadas de color VERDE, combinación (amarillo + azul),
obteniéndose así
+ =
EJEMPLO
- =
EJEMPLO
MULTIPLICACIÓN
Para multiplicar dos fracciones hay un procedimiento muy rápido. Solo basta
multiplicar los numeradores y denominadores, luego el numerador es el
producto de los numeradores y denominador es el producto de los denominadores.
Observa que la lámina superpuesta presenta 12 divisiones, de las cuales dos están sombreadas de color VERDE, combinación (amarillo + azul),
obteniéndose así
X =
EJEMPLO
DIVISIÓN
Como ya sabemos, la división es una operación, la cual consiste en buscar cuantas veces un número, o sea el divisor, está
contenido en otro, que sería el dividendo. Aquí veremos como resolver divisiones entre fracciones. Una de las formas de dividir fracciones es usando la regla “invertir y multiplicar” (de todos
modos esta regla no se aplica tan solo a la división de fracciones, si no que también se aplica a las divisiones en general).
Podemos utilizar también para resolver divisiones de fracciones,
(pueden ser dos o más fracciones) la multiplicación en cruz. O sea el numerador de la primera fracción se multiplica
por el denominador perteneciente a la segunda fracción, de esta forma ya
tendríamos el numerador. Luego multiplicamos el denominador de la primera fracción por el numerador perteneciente a la segunda fracción, por lo cual
finalmente hallamos el denominador.
Ejemplo:
Otra forma de pensarlo es de la forma en la cual la división de fracciones
siempre se cambia a la multiplicación y entonces la segunda fracción
cambia de este modo a su recíproco. Veamos un ejemplo claro:
FRACCIONES PROPIA
Una fracción propia es aquella en la cual el numerador es menor que el denominador. Por ejemplo, 3/8 o 5/16.
Supongamos que tenemos una pizza y comemos 2/6 de ella pizza, ¿nos quedará pizza? La fracción 2/6 es propia, o sea es menor que la unidad, por lo tanto, nos va a quedar pizza.
Veamos la representación de esto:
Aquí tenemos algunos otros ejemplos claros de fracciones propias:
FRACCIONES IMPROPIAS
Las fracciones impropias son aquellas en las cuales el número de arriba, que llamamos numerador y representa el número de partes que tenemos, es mayor o igual al número de abajo o sea el denominador, que sería el número de partes por el cual se divide el numerador.
Este tipo de fracciones pueden transformarse en la suma de un número natural y una fracción propia, por esta razón las fracciones impropias son invariablemente mayores que la unidad.
Las siguientes son ejemplos de fracciones impropias. Veamos:
Cuando el numerador y el denominador son iguales, sabemos que
es entonces un número entero escrito en forma de fracción, por
ejemplo 6/6. Generalmente se dice que este tipo de fracción es una
fracción impropia.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Simplificar una fracción es transformarla en una fracción equivalente más simple. La fracción a simplificar se debe seguir simplificando hasta
llegar entonces a una fracción que ya no se pueda simplificar más. A esta le damos el nombre de
fracción irreducible.
Para realizar una simplificación de fracciones lo que debemos hacer es dividir
el numerador y el denominador, ambos por un mismo número.
Por lo tanto, debe haber un número entre el cual podamos dividir el numerador y el denominador de forma exacta, o sea que lo correcto para realizar la simplificación
sería buscar algún divisor en común (debemos tener en cuenta que no pueden
ser primos entre sí).
Veamos algunos ejemplos:
En caso de que tanto el denominador como el numerador
terminen en cero, podemos hacer una simplificación rápida
y eficaz. Veamos un ejemplo:
AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Ejemplo:
Veamos ahora un ejemplo de otro tipo, en el cual podremos apreciar
claramente qué son las fracciones equivalentes. Veamos aquí cómo se
representan diferentes fracciones con la misma zona sombreada:
FRACCIONES HOMOGÉNEAS
Llamaremos fracciones homogéneas a aquellas que comparten el mismo
denominador, por ejemplo (3/8 y 6/8). Si no comparten el denominador, las llamamos fracciones heterogéneas. Si
realizamos una suma o adición de fracciones homogéneas, debemos
sumar los numeradores y mantener igual el denominador.
Veamos un ejemplo de esto:
En caso de realizar sustracciones o restas, procederemos de la misma forma que en
una suma, pero en este caso estamos restando. Observemos un ejemplo:
FRACCIONES HETEROGÉNEAS
Diremos que dos fracciones son heterogéneas cuando estas poseen distinto denominador, por lo cual se
diferencian de las fracciones homogéneas, que tienen el denominador en común. Si lo que queremos es realizar
sumas o restas con fracciones heterogéneas, lo que debemos hacer en primer lugar es encontrar el común
denominador, o sea hallar el mínimo común múltiplo de todos los denominadores. Luego de esto, lo que se debe
hacer es colocar el denominador común, dividimos entonces el común denominador entre el primer
denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador. Repetimos la operación con cada una de las
fracciones que tengamos. Por último, se suman los resultados obtenidos y así finalizamos. A veces no es necesario multiplicar entre sí los denominadores; eso
depende de las fracciones que tengamos.
Ejemplo:
Vemos en el ejemplo anterior que en primer lugar se multiplicaron los
denominadores, luego se realizó la multiplicación cruzada. Se sumaron los
productos para obtener luego el numerador y finalmente se simplificó la fracción.
Observemos otro ejemplo:
En la resta o sustracción de fracciones heterogéneas debemos utilizar las mismas
reglas que usamos en la suma. Lo único que cambia es que en este caso tenemos
que restar en vez de sumar. Veamos un ejemplo:
En la multiplicación de fracciones, tanto fracciones homogéneas como
heterogéneas se multiplican de igual forma. El producto de dos o más fracciones es
entonces igual a otra fracción que tiene como numerador el producto de los
numeradores y tiene también como denominador el producto de los
denominadores. Veamos un claro ejemplo:
FRACCIONES REDUCIBLES E IRREDUCIBLES
Tomemos como ejemplo la fracción 9/15, la cual es reducible.
El máximo divisor común de 9 y 13 es 3. Teniendo en cuenta esto,
podemos simplificar 9/15 de la siguiente forma:
FRACCIONES UNITARIAS
Una fracción unitaria representa a un número racional. Es una
fracción que tiene como numerador la cifra 1 y como denominador
tiene un número entero positivo. O sea, que las fracciones unitarias
tienen como numerador la unidad. Veamos algunos ejemplos:
Podemos observar que estas tipos de fracciones son los inversos de
números enteros positivos. Cuanto más grande sea el denominador,
menor será el número racional que representa la fracción.
Una fracción egipcia es una suma de fracciones unitarias diferentes, o sea fracciones que tienen de numerador la unidad y en donde el denominador presenta un número entero positivo, por ejemplo 1/2, 1/4, 1/7. Es posible demostrar entonces que cualquier número racional que sea positivo se
puede escribir como una fracción egipcia. Aparte de que la representación de una fracción no unitaria se representaba como la suma
de fracciones que tenían la unidad como numerador y que eran todas diferentes, se empleaban también símbolos diferentes a los nuestros.
FRACCIONES EGIPCIAS
Ejemplo:
Las fracciones que poseían un numerador distinto se descomponían
en la suma de fracciones unitarias, siempre los sumandos eran
diferentes. Por ejemplo, en el papiro de Rhind se escribe la fracción
2/5 como la suma de 1/3+1/15, jamás se podría haber empleado la
suma 1/5 + 1/5. La misma fracción 2/5 no tenía cabida en el
pensamiento egipcio, si no tan sólo su descomposición como suma de
fracciones unitarias.
Los jeroglíficos de las fracciones fueron tomados de las partes que componían el jeroglífico del ojo del dios egipcio Horus.
Las cejas equivalían 1/8la pupila ¼
la parte derecha de la pupila 1/16 la parte izquierda de la pupila 1/2,
la parte inferior diagonal del ojo representaba 1/64,
mientras que la parte inferior vertical 1/32.
FRACCIONES APARENTES
Una fracción aparente es siempre un número entero, también es posible que se le llame fracción entera. Los números enteros son un conjunto de números naturales que tienen incluidos también números enteros negativos, además del número cero. O sea, que la división del numerador entre el denominador nos tiene que dar un número sin coma. La fracción 4/4 es una fracción aparente, porque si dividimos 4 entre 4 nos da como resultado 1. La fracción 10/5 también es aparente, ya que la división da como resultado 2.
Ejemplos
FRACCIONES MIXTAS
Los números enteros abarcan lo que son el conjunto de números naturales, incluyendo también los números enteros negativos, además del cero. Sabiendo esto, podemos decir que una fracción mixta es la suma de una fracción y un número entero, o sea un número entero y una fracción combinados. Pese a esto, este tipo de fracciones se escriben sin el símbolo de suma.
Ejemplos
JUEGOS PARA SU ENSEÑANZA
Los juegos de naipes que se proponen son juegos de estrategias, es decir, aquellos en los que los jugadores deben buscar estrategias para ganar. Estos juegos permiten ejemplificar los procesos heurísticos o estrategias generales para resolver problemas e iniciar a los estudiantes en el desarrollo de procesos propios del pensamiento matemático.
Pescacartas: El juego consta de 40 naipes distribuidos de la siguiente forma:
•1
del
número
0
6
del
número
1
6
del
número
2
5
del
número
3
5
del
número
4
4
del
número
5
3
del
número
6
2
del
número
7
2
del
número
8
1
del
número
9
1
del
número
10
4 comodines
Este juego permite:
• Reconocer la representación de los 10 primeros números en cuatro formas diferentes:
· En forma natural (con los dedos)
· Digito
· Escrito
· Como cardinal
• Potenciar la descomposición de los primeros números.
• Fomentar el cálculo mental.
• Iniciarse en la búsqueda de las estrategias ganadoras.
CONCLUSIONES
Finalizado el análisis del tema, presento las siguientes conclusiones:
Las situaciones problema se deberán presentar al principio, en el contexto de la vida real, haciendo posible la aplicación de relaciones todo parte. Al iniciar el uso de las fracciones como razón, nos basaremos en comparaciones entre dos dimensiones.
Los modelos gráficos ofrecidos por los libros de texto son insuficientes y meramente pasivos para el alumno. Necesitamos ofrecer actividades complementarias en este sentido. La representación gráfica de las actividades realizadas con materiales manipulativos en el taller de matemáticas, a partir de 4º, es la alternativa más acertada.
De esta manera participan activamente en la construcción de modelos al transferir las actividades manipulativas a la representación gráfica en su cuaderno de matemáticas.
Al Ministerio de Educación de nuestro país, quien rige la educación en Panamá, el cual debe implementar el uso de herramientas tecnológicas y otros materiales similares, como juegos didácticos, para la enseñanza de las diversas clases de matemáticas.
RECOMENDACIONES
Otra recomendación, dirigida también al Ministerio de Educación, es que apoye la capacitación de los y las profesoras en el uso de la tecnología, para que sean capaces de hacer uso de la misma en beneficio de las y los estudiantes; dando lugar a que ellos puedan conocer sobre este tipo de herramientas tecnológicas, para que de este modo pierdan el temor a usar la tecnología y superen la apatía que muchos y muchas sienten.
RECOMENDACIONES
GRACIASGRACIAS