Teoría de Colas

ICEF

Una historia conocida por muchos de nosotros…

• En el banco.• En un hospital.• En el supermercado.• …• Se necesitan respuestas a preguntas tales como• ¿Qué fracción de tiempo cada servidor está libre?• ¿Cuál es el número esperado de clientes en la cola?• ¿Cuál es el tiempo esperado que un cliente permanece en una cola?• ¿Cuál es la distribución de probabilidad del número de clientes presentes

en una cola ?• Si un gerente de un banco desea asegurar que únicamente el 1% de todos

sus clientes tengan que esperar más de 5 minutos para ser atendidos, cuántos cajeros debe emplear.

Teoría de Colas• Una cola se produce cuando la demanda de un servicio por parte

de los clientes excede la capacidad del servicio.• Se necesita conocer (predecir) el ritmo de entrada de los clientes y

el tiempo de servicio con cada cliente.• La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que

describen sistemas de líneas de espera particularesObjetivo:• Equilibrar los costos de capacidad del servicio y el “costo” de una

espera larga.TEORÍA DE COLAS• Estudio matemático de las características de los sistemas de colas.

Proceso en una cola

• 1. Entrada de clientes• 2. Sistema de colas cola o línea de espera mecanismo de servicio• 3. Salida de clientes

Algunos ejemplos

Clientes Servicio ServidoresClientes tienda Venta artículo DependienteClientes banco Operación financiera VentanillaClientes sulpermercado Cobro compra CajaAutomóvil llenar depósito SurtidorAutomóvil Reparación avería Operarios tallerAvión Aterrizaje/ despegue PistaLlamadas telefónicas Conversación CentralEnfermos Atención médica MédicoCajas Transporte Personal AlmacenamientoJuicios pendientes Juicio Jueces

Estructuras típicas de sistemas de colas: una línea, un servidor

Llegadas

Sistema de colas

Cola ServidorSalidas

Estructuras típicas de sistemas de colas: una línea, múltiples servidores

Llegadas

Sistema de colas

Cola

Servidor Salidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas

Estructuras típicas de colas: varias líneas, múltiples servidores

Llegadas

Sistema de colas

Cola Servidor Salidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas

Cola

Cola

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Estructuras típicas de colas: una línea, servidores secuenciales

LlegadasSistema de colas

Cola

Servidor

Salidas

Cola

Servidor

Costos de un sistema de colas

1. Costo de espera: Es el costo para el cliente al esperar

• Representa el costo de oportunidad del tiempo perdido

• Un sistema con un bajo costo de espera es una fuente importante de competitividad

Costos de un sistema de colas

2. Costo de servicio: Es el costo de operación del servicio brindado

• Es más fácil de estimar– El objetivo de un sistema de colas es

encontrar el sistema del costo total mínimo

Entrada de clientesTAMAÑO Número total de clientes potenciales (población de entrada):• Finito (fuente limitada) (sistema cerrado)• Infinito (fuente ilimitada) (sistema abierto)Suposición habitual: tamaño infinito (es decir, el número de clientes en la cola NO afecta el

número potencial de clientes fuera de ella)ENTRADA O FUENTE• Unitaria• Por bloquesTIEMPO ENTRE LLEGADAS• Determinista• Probabilista (distribución de probabilidad exponencial)TASA MEDIA DE LLEGADA λ• Número medio de entrada de clientes por unidad de tiempo• Llegadas de clientes son independientes e idénticamente distribuidas (IID)

COLANúmero máximo de clientes admisible• Finito• Infinito• Suposición habitual: colas de longitud infinita (pérdida del cliente

o reintento). Muy común en centrales telefónicas Número de canales (carriles de una calle ante un semáforo) en la

cola e interferencia entre ellosDisciplina de la Cola

Orden de selección de sus miembros para ser atendidos• FIFO, FIFO con límite• LIFO• SIRO (Aleatorio)• Por prioridad (interruptora o no)

Mecanismo de ServicioSERVIDORES• Proporcionan el servicio al clienteNúmero de servidores:• Uno• Varios• Independencia o no entre servidoresTIEMPO DE SERVICIO• Determinista• Probabilista (distribución de probabilidad exponencial)TASA MEDIA DE SERVICIO µ• Número medio de clientes que son atendidos en un servidor por

unidad de tiempo.• Servicios a clientes son independientes e idénticamente distribuidos

(IID)

Especificación de un sistema de colasDistribución del tiempo entre llegadas / Distribución del tiempo de servicio / Número de servidores / Número máximo de clientes en el sistema / Disciplina de la cola

M exponencialD degenerada (tiempos constantes)E Erlang (Gamma)G generalEjemplos: M/M/s M/M/s/K/FIFO M/M/s/s M/G/1

David George Kendall

Medidas de Eficacia de un Sistema de Colas

l tasa media de llegadas 1/l tiempo medio entre llegadasm tasa media de servicio 1/m tiempo medio de servicior factor de utilización (intensidad de tráfico): fracción esperada

de tiempo que están ocupados los s servidores

habitualmente r < 1

mlrs

También puede interpretarse como número promedio de personas siendo atendidas

Si se tiene s=1

ρ: fracción esperada de tiempo que los servidores individuales están ocupados.

El servidor está trabajando 4 de cada cinco minutos, es decir el 80% del tiempo

Notación

• Se utilizará la siguiente notación:N(t): Número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t.s: número de servidores en el sistema de colas.λn :tasa media de llegadas de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema.μn: tasa media de servicio para todo el sistema cuando hay n clientes en el sistema (tasa combinada).

NotaciónLa condición estacionaria se produce cuando la distribución del número de clientes en el sistema se conserva a través del tiempo.

Notación

Notación

Ecuaciones en el sistema M/M/1

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Teoría fundamental

Cliente Servidor(es)

• Para formular un modelo de teoría de colas como una representación del sistema real, es necesario especificar la forma supuesta de cada una de estas distribuciones

Suficiente mente realista

Suficientemente sencilla

Predicciones razonables

Matemáticamente manejable

Distribución exponencial

Ejercicios

Procesos de nacimiento y muerte

En Teoría de colas

No hay nacimientos ni muertes colectivas

Principio clave:

Ejercicios:

Otros ejercicios

• El gerente de un banco desea determinar cuantos cajeros deben trabajar en Viernes. Por cada minuto que un cliente espera en la fila, el gerente cree que existe un costo de 5 centavos. Un promedio de 2 clientes por minuto llegan al banco. En promedio, le toma a un cajero 2 minutos atender a un cliente. El costo de contratar un cajero le representa al banco 9 dólares por hora. Los tiempos de servicio y entre llegadas son exponenciales. Para minimizar la suma de los costos de servicio y los costos de espera, ¿Cuántos cajeros deberían atender en el banco los días Viernes?

• Sugerencia: El costo esperado total es la suma del costo esperado del servicio por minuto mas el costo esperado de espera por minuto.