Presentación 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES · PDF fileSistemas de Ecuaciones...

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  • SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES

    Presentacin 3

  • Sistemas de Ecuaciones Lineales

    Muchos problemas en administracin y

    economa envuelven dos o mas

    ecuaciones en uno o ms variables.

    Decimos que ecuaciones que describen

    una misma situacin forman un sistema

    de ecuaciones.

    El objetivo es resolver el sistema de

    ecuaciones, para hallar la solucin comn.

  • La solucin de un sistema Decimos que el punto

    (a, b) es una solucin

    del sistema de

    ecuaciones

    El punto(a, b)

    pertenece a todas las

    grficas del sistema.

    El punto(a, b)

    satisface todas las

    ecuaciones del sistema.

  • Ejemplo (3,1 ) es la solucin del siguiente sistema

    porque satisface ambas ecuaciones.

    723

    52

    yx

    yx

    x + 2y = 5

    3 + 2(1)= 5

    3x - 2y = 7 3(3) 2(1) 9 2 = 7

    Verificacin:

  • Ejemplo (cont)

    Observemos la

    grfica del sistema

    anterior

    Notamos que tienen

    el punto de

    interseccin en

    (3, 1) .

    Solucin del sistema

    (3, 1)

    723

    52

    yx

    yx

  • Ejemplo Observemos la grfica del

    siguiente sistema

    Las coordenadas del punto

    de interseccin no se

    distinguen con exactitud ya

    que no son valores enteros.

    Necesitamos un mtodo

    que nos de resultados ms

    exactos. Solucin aproximada del sistema es:

    1032

    653

    yx

    yx

  • Mtodo de sustitucin

    1. Resolver una ecuacin para y en trminos de

    x (o x en trminos de y)

    2. Sustituir la expresin que representa y ( x)

    en la ecuacin que no se ha usado y resolver.

    3. Finalmente, reemplazar el valor obtenido en

    el paso anterior en cualquiera de la ecuaciones

    originales para obtener el valor de la variable

    que falta.

  • Ejemplo Resolver el sistema usando el mtodo de

    sustitucin.

    723

    52

    yx

    yx

    Despejar para x una ecuacin. Sustituir el

    resultado en la otra ecuacin y resolver. Reemplazar el valor de y para determinar x.

  • Ejemplo Resolver el sistema usando el mtodo de

    sustitucin.

    62

    2443

    xy

    yx

    Despejar para y una ecuacin. Sustituir y resolver.

    Sustituir el valor de x = 0 para determinar y.

  • Sistemas de Ecuaciones Lineales

    Cuando las ecuaciones que forman el sistema

    son lineales, podemos utilizar otros mtodos

    adems del mtodo de sustituicin.

    Mtodo de reduccin o eliminacin: consiste

    en utilizar operaciones lcitas para reducir el

    sistema

    Mtodo de la igualacin: consiste en igualar las

    ecuaciones y resolver.

  • Sistemas equivalentes

    Manipulaciones lcitas incluyen:

    intercambiar ecuaciones

    multiplicar o dividir una ecuacin por una

    constante diferente de cero.

    sumar una ecuacin a otra.

  • Ejemplo

    Resolver el siguiente sistema utilizando el mtodo de reduccin.

    Solucin:

    52

    13

    yx

    yx

  • Ejemplo (cont)

    Resolver el siguiente sistema utilizando el mtodo de reduccin.

    Solucin (cont):

    52

    13

    yx

    yx

    Reemplazar en + =

    + = =

    =

    La solucin es (2, -1).

  • Ejemplo (cont)

    Otra forma de aplicar el mtodo de reduccin es:

    52

    13

    yx

    yx

  • Ejemplo (contd)

  • Ejemplo

    Resolver el siguiente sistema utilizando el mtodo de reduccin.

    Solucin:

    2743

    24

    yx

    yx

  • Ejemplo (contd)

    4x y = 2

    3x + 4y = 27

  • Ejemplo

    Resolver el siguiente sistema utilizando el mtodo de reduccin.

    1334

    1253

    qp

    qp

    Multiplicar la primera por 3 y la segunda por 5 y sumar las dos ecuaciones.

    Solucin:

  • Ejemplo (contd)

    3x + 5y = -12

    4x - 3y = 13

  • Sistemas de ecuaciones lineales

    sin solucin

    Resolver el sistema:

    Solucin:

    Usando el mtodo de eliminacin, podemos multiplicar la primera ecuacin por -2 y sumrselo a la segunda.

    + =

    + =

    + =

    =

    + = + =

    ---------------------------------- + =

    Esto es falso para todo par ordenado (x,y). El sistema NO tiene solucin.

  • Sistemas de ecuaciones lineales

    sin solucin (cont)

    Resolver el sistema:

    Solucin:

    Si expresamos las ecuaciones en la forma pendiente intercepto tendramos:

    y = 6 3x

    y = 10 3x

    Notemos que las ecuaciones tiene la misma pendiente, por lo tanto son rectas paralelas. Las rectas paralelas NO tienen interseccin. Por lo tanto, el sistema no tiene solucin.

  • No Soluciones (contd)

    Un sistema compuesta por rectas paralelas NO tiene solucin. Un sistema sin solucin se conoce como un sistema inconsistente.

  • Ejemplo

    Resolver el sistema:

    Solucin:

    Si multiplicamos la segunda ecuacin por

    nos da

    Aplicando cualquier mtodo llegaremos al enunciado 0=0,

    que es cierto siempre. (sistema dependiente)

    Para describir el conjunto de soluciones, despejamos para

    y en trminos de x, y = 6 3x

    Luego, asignamos un valor a la x, y calculamos la

    expresin que representa y: (a, 6 3a) (solucin general)

  • Ejemplo (contd)

  • Tres posibilidades

  • Resolviendo sistemas de ecuaciones lineales en dos variables

    mtodo grfico

    Hemos mencionado ya que si un sistema de ecuaciones lineales en dos variables tiene solucin, las rectas se cortan y tiene UN punto de interseccin.

    Si podemos identificar claramente el punto de interseccin en la grfica, podemos identificar con exactitud la solucin.

  • Ejemplo grfico

    Identifique la solucin del sistema.

    La solucin es (5,4)

  • Ejemplo grfico

    Identifique la solucin del sistema.

    Sabemos que el sistema es consistente por que las rectas no son paralelas ni, tampoco, coincidentes.

  • Ejemplo grfico Utilizaremos la calculadora grfica.

  • Ejemplo grfico Utilizaremos la calculadora grfica.

    La solucin del sistema es (10, 23).

  • Ejemplo El propietario de una tienda de televisores desea

    expandir su negocio comprando y poniendo a la venta

    dos nuevos modelos de televisores.

    Cada unidad del primer modelo cuesta $300 y del

    segundo, $400. El propietario tiene $2000 para gastar en

    la compra de equipo.

    El primer modelo ocupa 4 pies cuadrados de espacio y

    el segundo ocupa 5. El propietario puede expandir su

    tienda a los ms 26 pies cuadrados.

    Cuntos modelos de cada tipo debe comprar si desea

    hacer uso completo del capital y del espacio

    disponibles?

  • Ejemplo (cont.)

    1. Definir variables x: cantidad del primer modelo que se comprar y: cantidad del segundo modelo que se comprar

    2. Formular ecuaciones

    3. Determinar solucin del sistema

  • Ejemplo (cont.) 4. Determinar solucin del sistema

    5. Determinar valores faltantes

  • Ejemplo

    Una empresa fabrica dos productos, A y B utilizando dos

    tipos de mquinas, I y II.

    El producto A requiere 1 hora de procesamiento en la

    mquina I y 1.5 horas de procesamiento en la mquina II.

    El producto B requiere 3 horas de procesamiento en la

    mquina I y 2 horas de procesamiento en la mquina II.

    La mquina I est disponible 300 horas al mes mientras

    que la mquina II est disponible 350 horas.

    Cuntas unidades de cada producto se podrn fabricar si

    se utiliza todo el tiempo disponible de las mquinas?

  • Ejemplo

    1. Definir variables A: nmero de unidades del primer producto B: nmero de unidades del segundo producto

    2. Formular ecuaciones

    3. Determinar solucin del sistema

  • Ejemplo (cont)

    3. Determinar solucin del sistema