SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES

Presentacin 3

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Muchos problemas en administracin y

economa envuelven dos o mas

ecuaciones en uno o ms variables.

Decimos que ecuaciones que describen

una misma situacin forman un sistema

de ecuaciones.

El objetivo es resolver el sistema de

ecuaciones, para hallar la solucin comn.

La solucin de un sistema Decimos que el punto

(a, b) es una solucin

del sistema de

ecuaciones

El punto(a, b)

pertenece a todas las

grficas del sistema.

El punto(a, b)

satisface todas las

ecuaciones del sistema.

Ejemplo (3,1 ) es la solucin del siguiente sistema

porque satisface ambas ecuaciones.

723

52

yx

yx

x + 2y = 5

3 + 2(1)= 5

3x - 2y = 7 3(3) 2(1) 9 2 = 7

Verificacin:

Ejemplo (cont)

Observemos la

grfica del sistema

anterior

Notamos que tienen

el punto de

interseccin en

(3, 1) .

Solucin del sistema

(3, 1)

723

52

yx

yx

Ejemplo Observemos la grfica del

siguiente sistema

Las coordenadas del punto

de interseccin no se

distinguen con exactitud ya

que no son valores enteros.

Necesitamos un mtodo

que nos de resultados ms

exactos. Solucin aproximada del sistema es:

1032

653

yx

yx

Mtodo de sustitucin

1. Resolver una ecuacin para y en trminos de

x (o x en trminos de y)

2. Sustituir la expresin que representa y ( x)

en la ecuacin que no se ha usado y resolver.

3. Finalmente, reemplazar el valor obtenido en

el paso anterior en cualquiera de la ecuaciones

originales para obtener el valor de la variable

que falta.

Ejemplo Resolver el sistema usando el mtodo de

sustitucin.

723

52

yx

yx

Despejar para x una ecuacin. Sustituir el

resultado en la otra ecuacin y resolver. Reemplazar el valor de y para determinar x.

Ejemplo Resolver el sistema usando el mtodo de

sustitucin.

62

2443

xy

yx

Despejar para y una ecuacin. Sustituir y resolver.

Sustituir el valor de x = 0 para determinar y.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Cuando las ecuaciones que forman el sistema

son lineales, podemos utilizar otros mtodos

adems del mtodo de sustituicin.

Mtodo de reduccin o eliminacin: consiste

en utilizar operaciones lcitas para reducir el

sistema

Mtodo de la igualacin: consiste en igualar las

ecuaciones y resolver.

Sistemas equivalentes

Manipulaciones lcitas incluyen:

intercambiar ecuaciones

multiplicar o dividir una ecuacin por una

constante diferente de cero.

sumar una ecuacin a otra.

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema utilizando el mtodo de reduccin.

Solucin:

52

13

yx

yx

Ejemplo (cont)

Resolver el siguiente sistema utilizando el mtodo de reduccin.

Solucin (cont):

52

13

yx

yx

Reemplazar en + =

+ = =

=

La solucin es (2, -1).

Ejemplo (cont)

Otra forma de aplicar el mtodo de reduccin es:

52

13

yx

yx

Ejemplo (contd)

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema utilizando el mtodo de reduccin.

Solucin:

2743

24

yx

yx

Ejemplo (contd)

4x y = 2

3x + 4y = 27

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema utilizando el mtodo de reduccin.

1334

1253

qp

qp

Multiplicar la primera por 3 y la segunda por 5 y sumar las dos ecuaciones.

Solucin:

Ejemplo (contd)

3x + 5y = -12

4x - 3y = 13

Sistemas de ecuaciones lineales

sin solucin

Resolver el sistema:

Solucin:

Usando el mtodo de eliminacin, podemos multiplicar la primera ecuacin por -2 y sumrselo a la segunda.

+ =

+ =

+ =

=

+ = + =

---------------------------------- + =

Esto es falso para todo par ordenado (x,y). El sistema NO tiene solucin.

Sistemas de ecuaciones lineales

sin solucin (cont)

Resolver el sistema:

Solucin:

Si expresamos las ecuaciones en la forma pendiente intercepto tendramos:

y = 6 3x

y = 10 3x

Notemos que las ecuaciones tiene la misma pendiente, por lo tanto son rectas paralelas. Las rectas paralelas NO tienen interseccin. Por lo tanto, el sistema no tiene solucin.

No Soluciones (contd)

Un sistema compuesta por rectas paralelas NO tiene solucin. Un sistema sin solucin se conoce como un sistema inconsistente.

Ejemplo

Resolver el sistema:

Solucin:

Si multiplicamos la segunda ecuacin por

nos da

Aplicando cualquier mtodo llegaremos al enunciado 0=0,

que es cierto siempre. (sistema dependiente)

Para describir el conjunto de soluciones, despejamos para

y en trminos de x, y = 6 3x

Luego, asignamos un valor a la x, y calculamos la

expresin que representa y: (a, 6 3a) (solucin general)

Ejemplo (contd)

Tres posibilidades

Resolviendo sistemas de ecuaciones lineales en dos variables

mtodo grfico

Hemos mencionado ya que si un sistema de ecuaciones lineales en dos variables tiene solucin, las rectas se cortan y tiene UN punto de interseccin.

Si podemos identificar claramente el punto de interseccin en la grfica, podemos identificar con exactitud la solucin.

Ejemplo grfico

Identifique la solucin del sistema.

La solucin es (5,4)

Ejemplo grfico

Identifique la solucin del sistema.

Sabemos que el sistema es consistente por que las rectas no son paralelas ni, tampoco, coincidentes.

Ejemplo grfico Utilizaremos la calculadora grfica.

Ejemplo grfico Utilizaremos la calculadora grfica.

La solucin del sistema es (10, 23).

Ejemplo El propietario de una tienda de televisores desea

expandir su negocio comprando y poniendo a la venta

dos nuevos modelos de televisores.

Cada unidad del primer modelo cuesta $300 y del

segundo, $400. El propietario tiene $2000 para gastar en

la compra de equipo.

El primer modelo ocupa 4 pies cuadrados de espacio y

el segundo ocupa 5. El propietario puede expandir su

tienda a los ms 26 pies cuadrados.

Cuntos modelos de cada tipo debe comprar si desea

hacer uso completo del capital y del espacio

disponibles?

Ejemplo (cont.)

1. Definir variables x: cantidad del primer modelo que se comprar y: cantidad del segundo modelo que se comprar

2. Formular ecuaciones

3. Determinar solucin del sistema

Ejemplo (cont.) 4. Determinar solucin del sistema

5. Determinar valores faltantes

Ejemplo

Una empresa fabrica dos productos, A y B utilizando dos

tipos de mquinas, I y II.

El producto A requiere 1 hora de procesamiento en la

mquina I y 1.5 horas de procesamiento en la mquina II.

El producto B requiere 3 horas de procesamiento en la

mquina I y 2 horas de procesamiento en la mquina II.

La mquina I est disponible 300 horas al mes mientras

que la mquina II est disponible 350 horas.

Cuntas unidades de cada producto se podrn fabricar si

se utiliza todo el tiempo disponible de las mquinas?

Ejemplo

1. Definir variables A: nmero de unidades del primer producto B: nmero de unidades del segundo producto

2. Formular ecuaciones

3. Determinar solucin del sistema

Ejemplo (cont)

3. Determinar solucin del sistema