CÁLCULO EN UNA VARIABLEGRUPO # 2SEBASTIAN BAHAMONDEJORDI DIAZHENRY GERRACARLOS POGO

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

• La definición del área de una región plana llevo a la determinación de la integral definida partiendo del área de una figura conocida la cual fue el rectángulo.

• Nuestro trabajo se centrara en un proceso semejante, pues el propósito es comprender y llevar a la práctica la integral definida, para hallar los volúmenes de diferentes tipos de sólidos producidos por la rotación de una determinada área limitada por una curva.

• Uno de estos sólidos es el cilindro recto.

DEFINICION DE CILINDRO RECTO

• El cilindro recto está formado por dos regiones planas congruentes A1 y A2, que pertenecen a planos paralelos, y por una área lateral producida por un segmento rectilíneo que tiene sus extremos en los límites de A1 y A2, el cual se encuentra siempre perpendicular a los planos A1 y A2.

• Si el área de la base de un cilindro recto es A, su altura el h y si V es su volumen, entonces:

• Con esta fórmula obtendremos un método que proporcione la medida del volumen de un sólido para el cual el área de cualquier sección plana perpendicular a un eje es una función de la distancia perpendicular de la sección plana desde el punto fijo del eje.

V=Ah

• En la figura se muestra un sólido S q está entre los ejes perpendiculares el eje x en a y b. Sea A(x) unidades cuadradas el área de la sección plana S perpendicular al eje x en x. A tiene que ser continua en [a,b].

• Sea Δ una partición del intervalo cerrado [a,b] dada por

• Entonces existen n intervalos, los cuales forman n cilindros rectos.

• Se puede observar en la figura el i-ésimo cilindro recto el cual recibe el nombre de elemento de volumen.

• Si unidades cubicas es el volumen del i-ésimo elemento, entonces

•  

• La suma de los n volúmenes es

• Esta suma es la aproximación de lo que intuitivamente pensamos como el número de unidades cubicas del volumen del sólido. Cuanto más pequeña se tome la norma de la partición, de modo que dicha aproximación estará mas cerca del numero V que deseamos asignar a la medida del volumen.

• Por lo que se define a V como el limite de la suma de Riemann cuando se aproxima a cero, ya q A es continua en [a,b].

Sea S un sólido tal que este está entre dos planos perpendiculares al eje x en a y b. Si la medida de área de la sección plana S, perpendicular al eje x en x, está dada por A(x), donde A es continua en [a, b], entonces la medida del volumen de S esta dado por:

DEFINICIÓN DEL VOLUMEN DE UN SÓLIDO

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN-MÉTODO DE DISCOS

• Aplicando la definición anterior vamos a determinar el volumen de un sólido de revolución que gira una región de un plano alrededor de una recta del plano, llamada eje de revolución, la cual puede intersecarse o no la región.

• Para empezar vamos a considerar que el eje de revolución es un límite de la región que se girara.

• Sea f una función cualquiera continua en un intervalo [a, b], y que el eje x y unas rectas

• En la figura se muestra la región R y el i-ésimo rectangular. Cuando el i-ésimo rectángulo empieza a girar alrededor del eje x se obtiene un volumen el cual es un disco y cuya base es un círculo de radio unidades y su altura es unidades, Si

unidades cubicas es el volumen de este disco, entonces:

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN MÉTODO DE DISCOS

• METODO DE LOS DISCOS:

• Generalmente se emplean sólidos revolución en ingeniería y manufactura. Como ejemplos se tiene ejes, pistones, embudos, botellas, píldoras.

• Si una región en el plano gira alrededor de una recta, el solido resultante es un SÓLIDO DE REVOLUCIÓN; la recta se llama eje de REVOLUCIÓN.

• El solido de revolución más simple es un cilindro circular recto o disco que se forma al girar un rectángulo entero a uno de sus lados como se muestra en la figura.

El volumen V del disco es:V= (área del disco) (ancho del

disco)Donde R: radio de la base W: ancho de la base

• Para encontrar el volumen de un sólido general de revolución, se considera un sólido de revolución formado al girar una región plana alrededor del eje horizontal.

• Para determinar el volumen de este solido, se considera un rectángulo representativo en la región plana.

• Cuando este rectángulo gira alrededor del eje de revolución, genera un disco representativo cuyo volumen es:

• Aproximando el volumen del sólido con los n discos de ancho y Radio f(x) se tiente:

Esta aproximación mejora cuando . Se define el volumen del sólido como:

• Una fórmula similar se puede encontrar si el eje de revolución es vertical.

• Para encontrar el volumen (V) de un sólido de revolución con este método se usa una de las formulas siguientes:

• Eje de revolución horizontal:

• Eje de revolución vertical:

• En el método de discos el rectángulo representativo siempre es perpendicular al eje de revolución.

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN MÉTODO DE ARANDELAS

• El método de los discos se lo puede extender para calcular el volumen de sólidos de revolución huecos; esto se consigue reemplazando el disco por un anillo.

• Si r y R son los radios interior y exterior del anillo o arandela y w es el ancho, el volumen es:  

Este concepto se puede usar para encontrar el volumen de un sólido de revolución con un hueco en la parte central.

Para ello se considera una región acotada por un radio exterior R(x) y un radio interior r(x).

Si la región se gira alrededor de su eje de revolución, el volumen del solido resultante es:

La integral que contiene el radio inferior representa el volumen del hueco.