ÁREAS EN COORDENADAS POLARES

CONTENIDO

Definición de coordenadas polares Conversión de coordenadasTipos de gráficas polaresÁrea de una región plana:(definición,

teoremas, ejemplos)Puntos de intersecciónResolución de ejercicios

DEFINICIÓN Es un sistema en el cual

cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia.

Para formar sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado polo (u origen) y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar. A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r, ).

En coordenadas rectangulares, cada punto (x, y) tiene una representación única. En coordenadas polares, no sucede así. Las coordenadas (r,) y (r, 2 +) representan el mismo punto.

Plano polar

Conversión de coordenadas

Relación para las coordenadas

222

.

cos.cos

tan

yxr

senryr

ysen

rxr

xx

y

Relación entre coordenadas polares y rectangulares

 

TIPOS DE GRÁFICAS • Ahora presentaremos ecuaciones polares

típicas las cuales permitirán por simple inspección describir su lugar geométrico.

Rectas

CIRCUNFERENCIAS

r = 2acos(θ)x²+y² = r²r = a

En ecuaciones polares se presentan de la siguiente manera:

r = -2acos(θ) r= 2asen(θ)

r= -2asen(θ)

CARACOLES

•  

Los tipos de caracoles son:

Cardiodes Con hendidura

  

SIMETRÍA Y DIRECCIÓN DE UN CARACOL SI  

Simetría con respecto al eje polar; apunta hacia la derecha.

Simetría con respecto al eje polar; apunta hacia la izquierda.Simetría con respecto al eje ; apunta hacia arriba. 

Simetría con respecto al eje ; apunta hacia abajo. 

ROSAS Estos lugares geométricos tienen ecuación

polar de la forma

•Si n es PAR es una rosa de 2n pétalos. •Si n es IMPAR es una rosa de n pétalos.

Se clasifican de acuerdo al valor que tome n, así:

LEMNISCATAS Son lugares geométricos que tienen ecuación

polar de la forma:

r 2=acos 2θ r 2=asen 2θ

ESPIRALES

ESPIRAL DE ARQUIMIDES ESPIRAL LOGARITMICA

Son ecuaciones de la forma r=aθ

Son ecuaciones de la forma

Existen dos tipos de espirales, las cuales son:

CÓNICAS

Se define a la parábola (e=1), a la elipse (0<e<1) y a la hipérbola (e>1) como el conjunto de puntos del plano tales que:

Donde d es la distancia de la directriz al foco y e es la excentricidad.

AREA DE UNA REGION PLANA EN COORDENADAS POLARES El proceso que culmina en una fórmula para el área de una región

polar es paralelo al del área en coordenadas cartesianas, pero utiliza sectores circulares en lugar de rectángulos como elementos básicos.

Observemos, en la figura ,que el área de un sector circular de radio r viene dada por , en el supuesto de que se mida en radianes.

Consideremos la ecuación r = f(θ) , con f continua y no negativa en el intervalo 𝛼≤θ≤𝛽 . La figura 9.48 muestra la región acotada por la gráfica y por las rectas radiales θ=𝛼 y θ=𝛽. Para hallar el área de esta región, dividimos el intervalo 𝛼,𝛽⦋ ⦌ en n subintervalos iguales.

 

TEOREMA 1

 

Ejemplo: Calcular el área de un pétalo de una rosa de ecuación r = 3cos3θ

PUNTO DE INTERSECCIÓN DE GRAFICAS POLARES Dado que cada punto admite diversas representaciones

en coordenadas polares, hay que tener cuidado al determinar los puntos de intersección de dos gráficas en polares.

Por ejemplo, consideremos los puntos de intersección de las gráficas de:

r = 1 - 2cos(θ)

r = 1

Si intentáramos hallar los puntos de intercesión tal como lo hacemos en coordenadas rectangulares, ósea resolviendo las dos ecuaciones simultáneamente, obtendríamos:

r= 1-2cosθ Primera ecuación

1= 1-2cosθ Sustituir r=1 de la segunda ecuación en la primera

cosθ=0 Simplificar

θ= Despejar

Los correspondientes puntos de intersección son Sin embargo, en la figura, se puede observar que existe un tercer punto de intersección que no aparecía al resolver las ecuaciones simultáneamente. El motivo por el que no se encontró el tercer punto es que no aparece con las mismas coordenadas a las ambas gráficas. En la gráfica r =1 , corresponde a las coordenadas (1, ) , mientras que en la de r= 1-2cosθ , sus coordenadas son ( -1,0). .

TEOREMA 2 

Ejemplo: Calcule el área de la región encerrada r= 3senθ y fuera e la cardioiode r=1+senθ

MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCIÓN