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Matemática de 2do Año con Tu Profesor Virtual

Kharla Mérida

Factorización

Los Trinomios Cuadrados Perfectos son expresiones matemáticas notables,

presentes en diversos procesos de cálculo, y como parte de la representación de modelos matemáticos, con aplicación a infinidad de fenómenos reales e ideales, lo cual permite prever y mejorar procesos industriales, mecánicos, biológicos y tecnológicos en general. Debemos estudiar sus características, y métodos de descomposición, con el objetivo de aprenderlo y dominarlo.

1

Preparar nuestra mente y nuestro cuerpo en función de disfrutar el mundo al que pertenecemos retornando respeto y bienestar, es Ser Feliz.

7.3 Trinomios Cuadrados.

Parte I

Descripción

7 7ma Unidad

Factorización


Kharla Mérida

Factorización

Descomposición de Números en Factores Primos, Potenciación, Reglas de los Signos.

Trinomio Cuadrado Perfecto, Trinomio Cuadrado No Perfecto, Ejercicios.

FACTORIZACIÓN. Trinomio Cuadrado Perfecto. Cómo Reconocerlo y Cómo

Factorizarlo

FACTORIZACIÓN. Trinomio Cuadrado Perfecto. Ejercicio 1 y 2

FACTORIZACIÓN. Trinomio Cuadrado Perfecto. Ejercicio 3 y 4

FACTORIZACIÓN. Trinomio Cuadrados No Perfectos. Factorizaciones Enteras. Caso 1

FACTORIZACIÓN. Trinomio Cuadrados No Perfectos. Factorizaciones Enteras. Caso 2

FACTORIZACIÓN. Trinomio Cuadrados No Perfectos. Factorizaciones Enteras. Ejemplos

FACTORIZACIÓN. Trinomios Cuadrados. Ejercicio 1 y 2




2

Se sugiere la visualización de los videos por parte de los estudiantes previo al encuentro, de tal manera que sean el punto de partida para desarrollar una dinámica participativa, en la que se use eficientemente el tiempo para fortalecer el Lenguaje Matemático y desarrollar destreza en las operaciones.

Conocimientos Previos Requeridos

Contenido

Videos Disponibles

https://guao.org/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_i-trinomio_cuadrado_perfecto



















https://guao.org/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_i-trinomio_cuadrado_perfecto_ejercicio_1_y_2


































https://guao.org/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_i-trinomios_cuadrados_no_perfectos_caso_1










































https://guao.org/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_i-trinomio_cuadrado_no_perfecto_ejercicios



















https://guao.org/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_i-trinomios_cuadrados_ejercicio_1_y_2













































https://guao.org/segundo_ano/matematica/factorizacion_trinomio_cuadrado_no_perfecto_parte_i-trinomios_cuadrados_ejercicios_7_y_8
















Kharla Mérida

Factorización

m 9

2 2a ± 2ab +b

FACTORIZACIÓN. Trinomio Cuadrado Perfecto. Cómo Reconocerlo y Cómo Factorizarlo.

El segundo caso de factorización notable corresponde a los Trinomios Cuadrados Perfectos veamos cómo reconocerlos y

cómo factorizarlos.

2 2a ± 2ab +b

Lo primero que debemos observar es que la expresión tenga

3 términos, para que pueda ser trinomio.

El doble producto de las raíces debe dar el término no

cuadrado del trinomio.

Observaciones: • Tiene tres términos, es un trinomio • El primer y tercer término son cuadrados perfectos

sus raíces son m y 9 respectivamente.

• El doble producto de las raíces es 2·m·9 = 18m, que corresponde al otro término del trinomio.

Guiones Didácticos

Luego, observamos si dos de los términos son cuadrados

perfectos, es decir, tienen raíz cuadrada exacta.

1 2 3

2 2a ± 2ab +b

a b

2a2b

Si se cumple todo esto, se trata de un trinomio cuadrado perfecto.

2ab

Doble producto

Para factorizar

• Colocamos entre paréntesis las dos raíces cuadradas.

• Separamos con el signo del término correspondiente al doble producto, que es negativo, y elevamos al cuadrado.

Veamos un ejemplo.

a b

2

a b

Ejemplo

Factorizar 2m +18m+ 81 2m +18m+ 811 2 3

2m +18m+ 81

2·m·9

Cumple todas las condiciones del trinomio cuadrado perfecto.

Para factorizar

• Colocamos entre paréntesis las dos raíces cuadradas.

• Separamos con el signo del término correspondiente al doble producto, que es negativo, y elevamos al cuadrado.

m 9

2

m 9

3



Kharla Mérida

Factorización

4xy3 9

¿Es 4n4 + 1 – 4n un trinomio cuadrado perfecto?

FACTORIZACIÓN. Trinomio Cuadrado Perfecto. Ejercicios 1 y 2

Observaciones: • Esta expresión tiene tres términos, es un

trinomio • El primer y segundo término son cuadrados

perfectos. Sus raíces son: 4xy3 y 9. • Del doble producto de las raíces resulta el

tercer termino del trinomio.

Nota: No importa el orden en que se encuentren los términos siempre que se cumplan

las tres condiciones.

Verifica si se cumplen las condiciones para saber si se trata de un trinomio cuadrado perfecto. Y comparte tus observaciones a través de un comentario.

2 6 316x y + 81 72xyFactorización:

2 6 316x y + 81 72xy

1 2 3

2 6 316x y + 81 72xy

2·4xy3·9

Para factorizar

Colocamos entre paréntesis las raíces de los cuadrados perfectos separamos con el signo del doble producto, que es negativo, y elevamos al cuadrado

4xy 93

2

4xy 93


trinomio. • El segundo y tercer término son cuadrados

perfectos, sus raíces son 5m3 y 6n4 respectivamente.

• El doble producto de las raíces es igual al primer término de la expresión.

Esto es un trinomio cuadrado perfecto, nuevamente observamos que no importa el orden en que se encuentren los términos siempre que se cumplan las tres condiciones.

Factorizar: 6

3 4 825m30m n + + 36n

46

3 4 825m30m n + + 36n

41 2 3

63 4 825m

30m n + + 36n4

35m

2

46n3

45m2 6n

2

Para factorizar Colocamos entre paréntesis las raíces de los cuadrados perfectos, separamos con el signo del doble producto, que es positivo, y elevamos al cuadrado.

345m

6n2

345m

6n2

2

4



Kharla Mérida

Factorización

FACTORIZACIÓN. Trinomio Cuadrado Perfecto. Ejercicios 3 y 4

Factorizar: 2 24 a+1 -12 ab +b + 9b


trinomio • El 1er y 3er término son cuadrados perfectos.

Sus raíces son: 2(a + 1) y 3b. • El doble producto de las raíces es: 2(a + 1) 3b

1 2 3

2 24 a+1 -12 ab +b + 9b

2 24 a+1 -12 ab +b + 9b

2·2(a + 1)·3b

2·2(a + 1)·3b = 12(a + 1)b = 12(ab + b)

Para factorizar Colocamos entre paréntesis las raíces de los cuadrados perfectos separamos con el signo del doble producto, que es negativo, y elevamos al cuadrado,

2 a + 1 3b

2

2 a + 1 3b

2

2a + 2 3bAplicamos distributiva dentro del paréntesis, y obtenemos la factorización del trinomio.

Factorizar: 2 22 225

m+n + 20 m -n +144 m-n36


trinomio • El 1er y 3er término son cuadrados

perfectos. Sus raíces son:

• Del doble producto de las raíces resulta el tercer termino del trinomio.

1 2 3

2 22 225

m+n + 20 m -n +144 m-n36

2 22 225

m+n + 20 m -n +144 m-n36

5

m+n y 12 m-n6

5

m+n6

12 m-n 5

2 m+n 12 m n6

2 252 m+n 12 m n = 20 m n

6

Para factorizar Colocamos entre paréntesis las raíces de los cuadrados

perfectos separamos con el signo del doble producto, que es negativo, y elevamos al cuadrado,

5

m+n 12 m n6

2

5m+n 12 m n

6

Aplicamos distributiva en los paréntesis internos,

25 5

m+ n 12m 12n6 6

Dentro del paréntesis tenemos dos pares de términos

semejantes, los que contienen m y los que contienen n.

25

m 12m+5

n 1 n66

2

Simplificamos términos semejantes. 2

65n

7m

6 6

7

5



Kharla Mérida

Factorización

FACTORIZACIÓN. Trinomio Cuadrado No Perfectos. Factorizaciones Enteras. Caso 1

Cuando tenemos Trinomios Cuadrados No Perfectos existe la posibilidad de factorizar de forma exacta según dos casos fundamentales, vamos a conocerlos.

2x +bx + c

Caso 1. x2 bx + c. El término independiente es positivo.

2x ± bx + c

Multiplicados

1 2x x c

• Si el signo de b es positivo, se coloca signo mas en ambos

paréntesis.

• Si el signo de b es negativo, se coloca signo mas en ambos

paréntesis.

Ejemplos

Para factorizar Buscamos dos números, x1 y x2, que cumplan las siguientes condiciones: • Que multiplicados resulten “c”: • Que sumados den “b”:

Sumados

2x ± bx + c + : buscamos dos números de signos iguales

Colocamos el producto de dos paréntesis, dentro de los cuales el primer

termino es x y los segundos términos son los valores encontrados. 1 2= x x x x

Multiplicados 1 2x x b

Sumados

1 2= x x x x

1 2= x x x x

Factorizar 2x +15x + 56

2x +15x + 56+ : buscamos dos números de signos iguales

+ : Ambos positivos x x

¿Cuáles son estos números?

x 7 x 8

1 2x x 56

Multiplicados

1 2x x 15

Sumados

Los números 7 y 8 cumplen ambas condiciones. 7 8 56 Multiplicados

7 8 15 Sumados

Colocamos cada número como segundo

término de cada binomio entre paréntesis.

2x +15x + 56 x 7 x 8

Buscamos dos números que:

• Multiplicados den 56.

• Y sumados den 15.

6



Kharla Mérida

Factorización

¿Cuáles son estos dos números?

Factorizar 2x 11x + 30




+ : buscamos dos números de signos iguales

– : Ambos negativos x x

1 2x x 30

Multiplicados

1 2x x 11

Sumados

2x 11x + 30

x 6 x 5


6 5 11 Sumados



2x 11x + 30 x 6 x 5

FACTORIZACIÓN. Trinomio Cuadrado No Perfectos. Factorizaciones Enteras. Caso 2

Caso 2. x2 bx + c. El término independiente es positivo.

2x ± bx c

Multiplicados

M m c

• Si el signo de b es positivo, se coloca el mas al binomio del

número mayor.

• Si el signo de b es negativo, se coloca el menos al binomio del

número mayor.

Para factorizar Buscamos dos números, M (mayor) y m (menor), que cumplan las siguientes condiciones: • Que multiplicados resulten “c”: • Que restados den “b”:

Restados

2x ± bx c– : buscamos dos números de signos diferentes

Colocamos el producto de dos paréntesis, dentro de los cuales el primer

termino es x y los segundos términos son los valores encontrados. = x M x m

Multiplicados

M m b Sumados

= x M x m

= x M x m

: Este es el signo del número mayor

Ejemplos

Factorizar 2x + 2x 63




– : buscamos dos números de signos diferentes

+ : El mayor es positivo x x

M m 63

Multiplicados

M m 2 Sumados

2x + 2x 63

7



Kharla Mérida

Factorización


x 9 x 7


9 7 2 Restados



2x + 2x 63 x 9 x 7


Factorizar





– : El número mayor es negativo x x

M m 14 Multiplicados

M m 5 Restados

2x 5x 14

x 7 x 2


7 2 5 Restados



2x 5x 14 x 7 x 2

2x 5x 14

FACTORIZACIÓN. Trinomio Cuadrado No Perfectos. Factorizaciones Enteras. Ejemplos

Factoricemos los siguientes cuatro trinomios.

24x 6 2x + 8 4 249y + 4 7y + 3 8 425m 5m 72 2 4 2x y +7 xy 18

24x 6 2x + 8

2

6x 82 2x +

24x 6 2x + 8

Escribimos 4x2 como una potencia cuadrada.

Si la raíz del cuadrado perfecto (base de la potencia cuadrada)

está presente en el 2do término, podemos aplicar la factorización

de trinomios cuadrados no perfectos.

raíz

8



Kharla Mérida

Factorización

Buscamos dos números, M y n, que:



+ : los números buscados son de signos iguales

– : Ambos negativos 2x 2x

M m 8 Multiplicados

M m 6 Sumados

2

2x 6 2x + 8

Nota: La variable de este trinomio es 2x, de modo que tenemos como

coeficiente y término independiente, 6 y 8. Y colocamos 2x como

primer término de los binomios factorizados.

2

6x 82 2x +


2x 4 2x 2


4 2 6 Sumados



24x 6 2x 8 2x 4 2x 2

2 4 2x y +7 xy 18

2

2 2xy x7 y 18

Escribimos x2y4 como una potencia cuadrada.




raíz

2 4 2x y +7 xy 18




– : los números buscados son de signos diferentes

+ : El número mayor es positivo 2 2xy xy


M m 7 Restados

Nota: La variable de este trinomio es xy2, de modo que tenemos como coeficiente y término

independiente, 7 y -18. Y colocamos xy2 como primer término de los binomios factorizados.



4 2 2 Restados



2 4 2 2 2x y +7 xy 18 xy 4 xy 2

2

2 2xy x7 y 18

2 2xy 4 xy 2

9


Kharla Mérida

Factorización

8 425m 5m 72

2

4 45m 5m 72

Escribimos 25m8 como una potencia cuadrada.




raíz


+ : El número mayor es positivo 4 45m 5m

Nota: La variable de este trinomio es 5m4, el coeficiente de (5m4) es 1, el término

independiente es 72. Colocamos 5m4 como primer término de los binomios factorizados.

2

4 45m 5m 72

8 425m 5m 72



• Y restados den 1.


M m 1 Restados



9 8 1 Restados



8 4 4 425m 5m 72 5m 8 5m 9

4 45m 8 5m 9

4 249y + 4 7y + 3

2

2 24 37y 7y

Escribimos 49y4 como una potencia cuadrada.

Si la raíz del cuadrado perfecto está en el 2do término, podemos

aplicar la factorización de trinomios cuadrados no perfectos.

raíz


+ : El número mayor es positivo 2 27y 7y

Nota: La variable de este trinomio es 7y2, el coeficiente de (7y2) es 4, el término independiente

es 3. Colocamos 7y2 como primer término de los binomios factorizados.




M m 3

Multiplicados

M m 4 Sumados

4 249y + 4 7y + 3

2

2 24 37y 7y

10


Kharla Mérida

Factorización



3 1 4 Sumados



4 2 2 249y + 4 7y + 3 7y 3 7y 1

2 27y 3 7y 1

FACTORIZACIÓN. Trinomio Cuadrado. Ejercicios 1 y 2

Nota: Una herramienta valiosa, que ayuda a identificar los números que satisfacen estas dos condiciones, es la descomposición en factores primos del término independiente.

35 5

7 7

1

Factorizar 2x 12x + 35






– : Ambos negativos x x


M m 12 Sumados

x 5 x 7


5 7 12 Sumados



2x 12x 35 x 5 x 7

2x 12x + 35

De la descomposición podemos obtener todos los

números que multiplicados entre sí resultan 35. 2x 12x + 35


M m 12 Sumados

1 + 35 = 36 12 : no satisfacen la condición.

Pares de números que multiplicados dan 35:

5 y 7

35 y 1 El mismo número y 1 son siempre una opción

Los dos factores primos que componen al 35.

¿Cuáles de los pares satisfacen la 2da condición?

5 + 7 = 12 : satisfacen la condición

11



Kharla Mérida

Factorización

Nota: Descomponemos el término independiente para ayudar a identificar los números que satisfacen estas dos condiciones.

Factorizar






+ : Ambos positivos x x


M m 18 Sumados

x 6 x 12

Los números 6 y 18 cumplen ambas condiciones. 6 12 72 Multiplicados Sumados



2x 18x 72 x 6 x 12


números que multiplicados entre sí resultan 72.


M m 18 Sumados


El mismo número y 1 son siempre una opción

Factores que componen al 72.


6 + 12 = 18 : este par satisface la condición

2x +18x +72

2x +18x +72

2x +18x +72

72 2

36 2

18 2

9 3

3 3

1

1 y 72

2 y 36

3 y 24

4 y 18

6 y 12

8 y 9

12

6 12 18


Kharla Mérida

Factorización


Factorizar 2c +6c 135







+ : El mayor de los números es positivo c c


M m 6 Restados

c 15 c 9


15 9 6 Restados



2c 6c 135 c 15 c 9




M m 6 Restados





15 – 9 = 6 : este par satisface la condición

2c +6c 135

2c +6c 135

135 3

45 3

15 3

5 5

1

135 y 1

3 y 45

5 y 27

9 y 15

13



Kharla Mérida

Factorización

Factorizar 2y y 42







– : El mayor de los números es negativo y y


M m 1 Restados

y 6 y 7


7 6 1 Restados



2y y 42 y 6 y 7




M m 1 Restados






1 y 42

2 y 21

3 y 14

6 y 7

2y y 42

2y y 42

42 2

21 3

7 7

1

14


Kharla Mérida

Factorización


2

2x 7 2x 44 Factorizar







– : El mayor de los números es negativo 2x 2x


M m 7 Restados







44 y 1

2 y 22

4 y 11

44 2

22 2

11 11

1

2

2x 7 2x 44

2

2x 7 2x 44

2x 4 2x 11


11 4 7 Restados



2

2x 7 2x 44 2x 4 2x 11

M m 7 Restados



15



Kharla Mérida

Factorización

2

5x + 41 5x + 400Factorizar







+ : Ambos positivos 5x 5x


M m 41 Sumados



M m 400

Multiplicados




2

5x + 41 5x + 400

2

5x + 41 5x + 400

5x 16 5x 25


16 25 41 Sumados

Colocamos cada número como segundo término

de cada binomio entre paréntesis.

2

5x + 41 5x + 400 5x 16 5x 25

M m 41 Sumados



400 2

200 2

100 2

50 2

25 5

5 5

1

1 y 400

2 y 200

4 y 100

5 y 80

8 y 50

10 y 40

16 y 25

20 y 20

16


Kharla Mérida

Factorización

4x 2xe 15e + 36Factorizar

Descomponemos el término independiente para ayudar a identificar los números que satisfacen estas dos condiciones.






+ : Ambos positivos 2x 2xe e


M m 15 Sumados



M m 36

Multiplicados




2x 2xe 3 e 12


3 12 15 Sumados

Colocamos cada número como segundo término

de cada binomio entre paréntesis.

2

2x 2x 2x 2xe 15 e + 36 e 3 e 12

M m 15 Sumados



1 y 36

2 y 18

3 y 12

4 y 9

6 y 5

Nota: Escribimos la potencia e4x como una potencia cuadrada. 2

2x 2xe 15 e + 36

2

2x 2xe 15 e + 36

2

2x 2xe 15 e + 36

36 2

18 2

9 3

3 3

1


17



Kharla Mérida

Factorización

24x 4x 63 Factorizar







– : El mayor de los números es negativo 2x 2x


M m 2 Restados







63 y 1

3 y 21

7 y 9

63 3

21 3

7 7

1

2

2x 2 2x 63

2x 7 2x 9

Los números 7 y 9 cumplen ambas condiciones. 7 9 63

Multiplicados

9 7 2 Restados



24x 4x 63 2x 7 2x 9

M m 2 Restados



Nota: Escribimos la potencia 4x2 como una potencia cuadrada, y 4x como el producto 2(2x).

2

2x 2 2x 63

2

2x 2 2x 63

18


Kharla Mérida

Factorización

A Practicar

1. x2 + 4x + 4

2. y4 + 1 – 2y2

3. a2 – 10a + 25

4. 9 – 6x + x2

Factorizar los siguientes trinomios

9. a8 + 18a4 + 81

10. a6 – 2a3b3 + b6

11. 4x2 – 12xy – 9y2

12. 9b2 – 30a2b + 25a4

5. 16 – 40x2 – 25x4

6. 1 + 49a2 – 14a

7. 36 – 12m2 – m4

8. 1 – 2a3 + a6

13. 1 – 14x2y – 49x4y2

14. 1 – a10 – 2a5

15. m2 – 13m – 30

16. x2 – 15x + 56

17. x2 – 15x + 54

18. a2 – 7a – 60

19. x2 – 8x – 180

20. m2 – 20m – 300

21. x2 – x – 132

22. m2 – 2m – 168

23. c2 – 4c – 320

24. x2 – 8x – 1008

25. x4 – 5x2 – 4

26. x2y2 – xy – 12

27. (5x)2 – 13(5x) – 42

28. x2 – 2ax – 15a2

19


Kharla Mérida

Factorización

¿Lo Hicimos Bien?

1. (x + 2)2

2. (y2 – 1)2

3. (a – 5)2

4. (3 – x)2

9. (a4 + 9)2

10. (a3 – b3)2

11. (2x – 3y)2

12. (3b – 5a2)2

5. (4 – 5x2)2

6. (1 – 7a)2

7. (6 – m2)2

8. (1 – a3)2

13. (1 – 7x2y)2

14. (1 – a5)2

15. (m – 15)(m + 2)

16. (x – 8)(x – 7)

17. (x – 9)(x – 6)

18. (a – 12)(a + 5)

19. (x – 18)(x + 10)

20. (m – 30)(m + 10)

21. (x – 12)(x + 11)

22. (m – 14)(m – 12)

23. (c – 20)(c + 16)

24. (x – 36)(x – 28)

25. (x2 – 4)(x2 – 1)

26. (xy – 4)(xy + 3)

27. (5x – 14)(5x + 3)

28. (x – 5a)(x + 3a)

20

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