Presentación de PowerPointºmeros Complejos... · 2020. 5. 19. · «El cuadrado de un número,...

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Kharla Mérida

Matemática de 4to Año Números Complejos

Con los números complejos completamos el cuadro de campos de numeración con los que se realizan los distintos cálculos matemáticos, aplicados a todo ámbito del conocimiento, tecnológico o social. Este campo de numeración es fundamental para el estudio de matemática avanzada, pero sus fundamentos son sencillos, basados en todo lo que hasta ahora hemos estudiado. Combina conocimientos de números reales, geometría, vectores, entre otros objetivos. Conozcamos estos números.

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Todo va rápido a mi alrededor, todo cambia, se complica, se hacen más empinados los caminos… Pero siempre hay lugar para degustar la vida… Así lo elegí, es mi decisión ser parte de la evolución, no del caos…

7.1 Definición y Representación Grafica y

Operaciones

Descripción

7 7ma Unidad

Números Complejos


Kharla Mérida


Números Reales, Operaciones en los Reales, Plano Cartesiano, Vectores.

Definición y Representación en el Plano, Evolución Histórica de los Imaginarios, Complejos de Conjugadas, Múltiplos y Opuesto, Operaciones de la Suma de Números Complejos.

NÚMEROS COMPLEJOS. Evolución Histórica de los Imaginarios

NÚMEROS COMPLEJOS. Imaginarios. Definición y Operaciones

NÚMEROS COMPLEJOS. Forma Binómica. Analítica y Gráficamente

NÚMEROS COMPLEJOS. Complejos Conjugados

NÚMEROS COMPLEJOS. Múltiplos y Opuesto

NÚMEROS COMPLEJOS. Operaciones. Suma de Números Complejos en Forma Binómica NÚMEROS COMPLEJOS. Operaciones. Suma de Números Complejos Analítica y Gráficamente

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Se sugiere la visualización de los videos por parte de los estudiantes previo al encuentro, de tal manera que sean el punto de partida para desarrollar una dinámica participativa, en la que se use eficientemente el tiempo para fortalecer el Lenguaje Matemático y desarrollar destreza en las operaciones.

Conocimientos Previos Requeridos

Contenido

Videos Disponibles

https://guao.org/docentes/cuarto_ano/matematica/numeros_complejos_definicion_y_representacion_grafica_y_operaciones-evolucion_historica_de_los_imaginarios














https://guao.org/docentes/cuarto_ano/matematica/numeros_complejos_definicion_y_representacion_grafica_y_operaciones-numeros_imaginarios_definicion_y_operaciones













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https://guao.org/docentes/cuarto_ano/matematica/numeros_complejos_definicion_y_representacion_grafica_y_operaciones-suma_de_numeros_complejos_analitica_y_graficamente






















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NÚMEROS COMPLEJOS. Evolución Histórica de los Imaginarios

Considerando que nuestra mente tiene la capacidad de hacernos viajar en el tiempo, a través de la memoria, o a través de la imaginación, iniciemos un muy breve recorrido por un pequeño, pero trascendente, aspecto del conocimiento en el que mentes brillantes hicieron aportes para tener hoy un poderoso recurso de cálculo.

Nuestra primera parada nos lleva a la Biblioteca de Alejandría, a mediados del Siglo I de nuestra Era (después de Cristo).

Herón de Alejandría 10 a.c. – 70 d.c.

Guiones Didácticos

Viaje en el tiempo

Esta Biblioteca fue en su tiempo la más grande del mundo. Estaba ubicada en la ciudad de Alejandría, Egipto. Su fundación se estima alrededor del siglo III a.c.

Esta es la primera referencia escrita de la raíz de un número negativo. Sin embargo, aparece escrita como:

“raíz cuadrada de 144 – 81” No se ha determinado si este error se debe al propio Herón o al encargado de transcribir.

Biblioteca de Alejandría

Entre las obras manuscritas antiguas, encontramos, una de Herón de Alejandría en la que el desarrollo del cálculo conduce a:

“raíz de 81 – 144”

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Avanzando en la revisión de manuscritos antiguos, encontramos la siguiente referencia a raíces cuadradas de números negativos.

Diofanto de Alejandría

Siglo III

Por el año 275 de nuestra era, en la obra Aritmética, de Diofanto, puede verse el intento de cálculo de los lados de un triángulo rectángulo, de perímetro 12 y área 7.

z

x

y

x + y + z = 12

x · y = 7

Este problema lleva a la ecuación 336x2 + 24 = 172x, que es una ecuación de segundo grado, cuyas soluciones contienen raíces de números negativos.

x + y + z = 12

x · y = 7 336x2 + 24 = 172x

Soluciones con raíces de

números negativos

Pasó mucho tiempo antes de encontrar alguna solución a este tipo de ecuaciones, siendo los hindúes quienes dan las primeras explicaciones.

Alrededor de 1150 Bhaskara indica lo siguiente:

«El cuadrado de un número, positivo o negativo, es positivo; la raíz cuadrada de un número

positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; no existe raíz cuadrada de un número negativo ya que un número negativo no es un cuadrado»

Es así como Mahavira, alrededor del año 850, comenta en su tratado de los números negativos:

“como en la naturaleza de las cosas una cantidad negativa no es un cuadrado,

entonces no puede tener raíz cuadrada”

Siglo IX

Siglo XII

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El matemático, físico y filósofo italiano Jerome Cardan, publica su obra Ars Magna, (El Gran Arte) en la cual presenta un método para resolver ecuaciones de grado 3 y 4.

Jerome Cardan

(1501 – 1576)

Siglo XVI

Esta obra representa el mayor tratado de álgebra, luego de lo desarrollado por los babilonios, 3000 años antes. Tengamos presente que los babilonios dedujeron la forma de resolver ecuaciones de segundo grado.

En su obra, cardan presenta lo siguiente:

«Si alguien te pide dividir 10 en dos partes cuyo producto sea 40, es evidente que esta cuestión es imposible. No obstante, nosotros la resolvemos de la siguiente forma»

Procedimiento de Cardan

“dos parte de distinto valor que sumadas den 10” se representa: x + y = 10

Presenta las dos ecuaciones que se deducen del enunciado. x + y = 10

x · y = 40

A continuación cardan aplica el algoritmo que desarrolló para resolver estos sistemas de ecuaciones, llegando a obtener como soluciones:

“el producto de estas dos partes es 40” se representa: x y = 40

5 + -15 y 5 - -15

Si efectuamos la suma de estas dos cantidades verificamos que resulta 10, como indica el enunciado.

Nota:

Si efectuando el producto verificaremos que resulta 40, como efectivamente debe ser.

Esto constituye la primera constancia escrita de la raíz de un número negativo y su operatividad algebraica.

5 + -15 + 5 - -15 = 10

(5 + -15)(5 - -15) = 40

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Rafael Bombelli

(1526 – 1572)

Albert Girard

(1595 – 1632)

René Descartes

(1596 – 1650)

También indicó que las ecuaciones deben tener tantas raíces como sea su grado, aunque entre ellas existan raíces no reales, es decir, una ecuación lineal tiene una solución, una ecuación cuadrática tiene dos soluciones, una ecuación cúbica, 3 soluciones, y así sucesivamente.

Las ecuaciones lineales Una Solución

Las ecuaciones Cuadráticas Dos Soluciones

Las ecuaciones Cúbicas Tres Soluciones

La siguiente referencia notable que encontraremos es un comunicado que envía Christian Huygens a Gotfriedd Von Leibnizt, en respuesta a un comunicado de éste acerca de la expresión (1 + -3) + (1 - -3) …

Christian Huygens

(1629 – 1695)

Gotfriedd Von Leibniz

(1646 – 1716)

1 3 1 3

Luego de eso hubo pequeños pero valiosos aportes de matemáticos como: Rafael Bombelli, 30 años luego de cardan, o Albert Girard.

Pero es hasta René Descartes que se tiene la primera denominación para las raíces de números negativos. Los llamó Números Imaginarios.

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Lo que me escribes sobre cantidades imaginarias que, no obstante, cuando son sumadas da una cantidad real, me es sorprendente y

totalmente nuevo. Uno nunca creería que esto es cierto y debe haber algo escondido en ello que es incomprensible para mí.

En lo sucesivo. Leibniz y Johan Bernoulli utilizaron números imaginarios para la resolución de integrales, y grandes matemáticos como Johann Lambert, Jean D´Alembert, Gauss, Euler y Joseph Louis Lagrange, aplicándolos a distintas áreas del conocimiento como geometría, hidráulica y otros. Siendo Euler el primero en utilizar la notación -1

Uso de los Números Imaginarios para

Resolución de Integrales

Johann Lambert Jean

D´Alembert

Carl Friedrich

Gauss

Gotfriedd Von Leibniz

(1646 – 1716)

Leonard Euler

Joseph L. Lagrange

Dejemos ahora la evolución histórica de los números complejos y conozcamos cómo se definen y cómo se operan. Acompáñanos a la siguiente lección.

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NÚMEROS COMPLEJOS. Imaginarios. Definición y Operaciones

En la lección de historia de los números complejos vimos que el primero en utilizar -1 como notación del imaginario i, fue Leonard Euler. Desde entonces quedó definido de esta manera, de modo que cuando estamos trabajando con números complejos, y observamos i en alguna expresión, sabemos que se trata de el imaginario -1.

Ahora veamos como operar con los imaginarios es decir, cómo efectuar la suma, multiplicación y división de imaginarios.

4 es un factor que multiplica a i, también podemos verlo como el coeficiente de i

Ahora bien para efectuar la suma de números imaginarios aplicaremos el concepto de términos semejantes aprendido en polinomios, veamos.

i = -1

Ejemplos

4i

-5i 3 i

2 7 i

¿Cuál es el coeficiente o factor que multiplica a i en cada uno de los siguientes casos?

-5i -5 es el factor que multiplica a i, -5 el coeficiente de i

3 i

2 es el factor que multiplica a i, el coeficiente de i 3

2 3 2

7 i 7 es el factor que multiplica a i, 7 el coeficiente de i

i 1 es el factor que multiplica a i, 1 el coeficiente de i

i

Recordemos. Si una letra no tiene visible un coeficiente, es porque tiene un 1 sobre entendido

Efectuar la suma 3

4i 5i 2i2

¿cuáles son los términos semejantes en la expresión?

Recordemos. Para que dos o más términos sean semejantes deben tener las mismas expresiones literales.

En este caso, los términos semejantes están determinados por la presencia de la i, entonces, el 1ro, 2do y 4to término son semejantes porque los tres contienen la i como factor.

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Ahora que sabemos como operar con números imaginarios, conozcamos las tres formas de representar números complejos y cómo operar con ellas.

Indicamos la suma de los coeficientes de i entre paréntesis.

Multiplicación de

imaginarios

Cuando multiplicamos múltiplos del imaginario, lo que hacemos es multiplicar los coeficientes entre sí, y los imaginarios entre sí.

Para hallar el cociente

34 5 2

2 i i i

3

= 4 5 22

i

3=1

2i

3 34 5 2 =

2 2 i i i i

Para multiplicar números imaginarios debemos tener presente que el imaginario es una raíz cuadrada. Veamos que quiere decir esto.

Efectuamos la suma

Imaginarios en

forma de raíz

Conclusión:

i i -1 -1

El producto de

dos raíces iguales

2

-1

Simplificando

exponente y raíz

-1

= -1i i

2 = -1i

El producto del imaginario, i, por sí mismo es -1

El cuadrado del imaginario, i, es -1

Efectuar la multiplicación 5i·(-8i)

Multiplicamos los coeficientes entre sí, y los imaginarios entre sí. 5 (-8 )i i

=(5 (-8))( ) i i

= -40 (-1)Efectuamos cada producto

5 (-8 )= 40i i

Dividimos los coeficientes entre sí, y los imaginarios entre sí

6

3

i

i

6 62 1 2

3 3

i i

i i

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NÚMEROS COMPLEJOS. Forma Binómica. Analítica y Gráficamente

En primer lugar debemos saber que la forma genérica de representar un número complejo es con la letra z entonces se define el conjunto de los números complejos, dados en forma binómica, de la siguiente manera

Número Complejo Genérico: z

Número Complejo en forma binómica: a + bi

Las expresiones:

z1 = 5 + 2i z2 = -6 + 9i z3 = 4 + i z4 = -7i

Números Complejos en Forma Binómica

También

Para representar gráficamente un número complejo en forma binómica, necesitamos trazar el plano complejo.

Conjunto de Números Complejos, C. Es el conjunto de todas las z, tales que z es igual a a + bi con a y b perteneciente a los reales, e i es el número imaginario, es decir, i = -1

C = { z / z = a + bi , a y b R , i = -1 }

Son números complejos presentados en forma Binómica. También pueden escribirse sin la z, así:

5 + 2i , -6 + 9i , 4 + i -7i

z1 = 5 + 2i z2 = -6 + 9i z3 = 4 + i z4 = -7i

5 + 2i -6 + 9i 4 + i -7i

El plano complejo es la misma estructura del cartesiano, pero ahora el eje horizontal se corresponde con los valores de la parte real, mientras que el eje vertical se corresponde con los valores de la parte imaginaria.

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Ubicamos el valor de la parte real, a, en el eje

horizontal y trazamos una vertical segmentada por allí.

Graficar los siguientes números imaginarios: z1 = 5 + 2i , z2 = -6 + 9i , z3 = 4 + i , z4 = -7i

z1 = 5 + 2i: tiene 5 unidades positivas en la parte real, y 2

unidades positivas en la parte imaginaria.

Representación de un número complejo en el plano complejo

Ubicamos el valor de la parte imaginaria, b, en el eje

vertical y trazamos una horizontal segmentada por allí.

El punto donde se cruzan las dos líneas segmentadas es el extremo de un vector que es la

imagen del número complejo

z = a + bi

Ejemplo

z2 = -6 + 9i: tiene 6 unidades negativas en la parte real, y 9

unidades positivas en la parte imaginaria.

z3 = 4 + i: tiene 4 unidades positivas en la parte real, y 1

unidad positiva en la parte imaginaria.

z4 = -7i: tiene 0 unidades en la parte real, y 7 unidades

negativas en la parte imaginaria.

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NÚMEROS COMPLEJOS. Complejos Conjugados

El conjugado de -5 + 3i es -5 – 3i el conjugado de 15 – 8i es 15 + 8i el conjugado de 3i es -3 i

De manera general podemos decir que cuando un número complejo tiene la forma bi sus opuesto y conjugado son iguales.

Conjugado de un número complejo, z. El conjugado del complejo z = a + bi, es el número complejo z = a – bi.

z se lee z barra o z conjugado

Ejemplos

Con los primeros dos casos puedes notar que el conjugado se diferencia del opuesto en que sólo cambia el signo de la parte imaginaria. En el último caso, el conjugado del complejo dado es igual a su opuesto.

¿Qué sucede si la parte imaginaria es cero? ¿cómo es el opuesto y cómo es el imaginario?

Si la parte imaginaria es cero, el número complejo es de la forma z = a, entonces: Su opuesto es –z = -a

Su conjugado es z = a Nota: el conjugado de un número real es el mismo número, z = a.

NÚMEROS COMPLEJOS. Múltiplos y Opuesto

En el objetivo 2.1 Múltiplos, Divisores, Números Primos, Compuestos, aprendimos que para hallar los múltiplos de un número, basta con multiplicar dicho número por los números naturales.

Múltiplos de 7:

2.7 = 14

En los números complejos este concepto se extiende ampliamente. Considerando que un complejo z1 será múltiplo de un complejo z, si resulta de multiplicar z por un número real cualquiera.

Ejemplo

Algunos múltiplos de 7 son: 14 , 21 , 35 , 63

3.7 = 21 5.7 = 35 9.7 = 63

Múltiplos de a k.a

z1 es múltiplo de z Si resulta de: kz k

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Sea un número real cualquiera k, y un número complejo z = a + bi, el producto de k por z es un múltiplo del número complejo z.

Número Real Número c Producto k.z

-28i

Para efectuar el producto se aplica propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma.

Opuesto de Número Complejo

En el objetivo 4.1 Números Negativos, Valor Absoluto, El Opuesto, Representación de Números Enteros en la Recta, Matemática de 1er Año (1er Lapso), conocimos el opuesto de un número, es decir, un número de igual valor absoluto pero distinto signo, de modo que la suma de dos números opuestos resulta cero. En los complejos entendemos que dos números son opuestos si tienen signos contrarios, o también si la suma resulta cero.

Número Complejo, z:

z = -a bi

Verifique si los números 4 – 11i , y -4 + 11i son opuestos.

Ejemplo

El producto de 7 por (-2 + 8i) es un número complejo múltiplo de -2 + 8i

7 7.(-28i) -14 56i

Resultado

Opuesto de z, -z:

-z = a – bi

Ejemplo

Partimos de la suma de ambos complejos

Los números -7 + 10i y 7 – 10i son opuestos

(4 – 11i) + (-4 + 11i)

Efectuamos la suma de parte real con parte

real y parte imaginaria con parte imaginaria. = (4 – 4) + (-11 + 11)i

= 0 Como resulta cero la suma, los complejos dados son opuestos.

Efectuamos la suma de ellos y resulta cero (-7 + 10i) + (7 – 10i)

(-7 + 7) + (10 – 10)i = 0

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NÚMEROS COMPLEJOS. Operaciones. Suma de Números Complejos en Forma Binómica

En los números complejos, igual que en los números reales, se tienen las operaciones: Suma, Resta, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación. Veamos cómo se efectúan las operaciones entre números complejos, dados en forma binómica y las propiedades que aplican a estas operaciones

Suma de Números Complejos en Forma Binómica

La suma de números complejos en forma binómica, es un número complejo en el que la parte real resulta de sumar las partes reales entre sí y la parte imaginaria resulta de sumar las partes imaginarias entre si.

(a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a1) + (b1 + b2)i

Dados los números complejos, hallar la suma z1 + z2 + z3

z1 = 5 + 2i z2 = -6 + 9i z3 = 4 + i

Sustituimos z1, z2 y z3 por sus formas binómicas

Ejemplo

z1 + z2 + z3

= (5 + 2i) + (-6 + 9i) + (4 + i)

= (5 – 6 + 4) + (2 + 9 + 1)i

z1 + z2 + z3 = 3 + 12i

Sumamos parte real con parte real y parte

imaginaria con parte imaginaria.

NÚMEROS COMPLEJOS. Operaciones. Suma de Números Complejos Analítica y Gráficamente

En la lección anterior aprendimos que la suma de números complejos en forma binómica, es un número complejo cuya parte real resulta de sumar las partes reales entre sí y la parte imaginaria resulta de sumar las partes imaginarias entre si.

Gráficamente la suma de números complejos se ejecuta como la suma gráfica de vectores.

z1 + z2

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Hallar la suma z1 + z2, con z1 = -3 + 11i y z2 = 10 - 6i

z1: tiene 3 unidades en la parte real negativa

y 11 unidades en la parte imaginaria positiva.

Suma analítica

Suma Gráfica

Sustituimos z1, z2 y z3 por sus formas binómicas

z1 + z2

= (-3 + 11i) + (10 – 6i)

= (-3 + 10) + (11 – 6)i Sumamos parte real con parte real y parte

imaginaria con parte imaginaria.

z1 + z2 = 7 + 5i

Para representar z2 tomamos el extremo del

que acabamos de graficar como el origen.

Partiendo de este extremo contamos 10

unidades hacia la parte real positiva, y 6 unidades hacia la parte imaginaria negativa.

El resultado de la suma es un número complejo de 7 unidades en la parte real, y 5 unidades en la parte imaginaria. Lo que habíamos obtenido de forma analítica.

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Emparejando el Lenguaje

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Conjunto de Números Complejos, C. Es el conjunto de todas las z, tales que z es igual a a + bi con a y b perteneciente a los reales, e i es el número imaginario, es decir, i = -1

Conjugado de un número complejo, z. El conjugado del complejo z = a + bi, es el número complejo z = a – bi.


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A Practicar

Efectuar las operaciones indicadas:

Efectuar las operaciones indicadas analítica y gráficamente:

1 2 35. z z + z 1 2 3 - 2z + 5z. z6 2 1 3 4z z. 6z7

- 3 7 4 11 9 131. i i i i i

2 15 9 1

7 5 35 2 2 6

2. i i i i

3 10 3 17 15 9

- 52 7 7

.2 2

32

i i i i

8 7 13 4

-11 18 125 2 10

4.3

i i i i

1z = -7 6i i 2

2z = - 6

5i i 3

1 3z = -

3 5i i

Graficar los siguientes números complejos:

1z = 5 8i i 2

7z = 3

4i i 3

3z = 6

2i i 4z = 9 6i i

Hallar las operaciones indicadas analítica y gráficamente:

1z = 6i i 2z = 5 7i i 3z = 2 5i i 4z = 4 5i i

1 2 z8 z. 3 4 z9 z.


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Lo Hicimos Bien?

Efectuar las operaciones indicadas:

Efectuar las operaciones indicadas analítica:

1 2 35. z z + z 1 2 3 - 2z + 5z. z6 2 1 3 4z z. 6z7

11 1. 22i 137

230

2. i 179 461

10 0

4.3

i

1z = -7 6i 2

2z = - 4

5i 3

1 3z = -

3 5i

-3 5 1. 1i

2 1 3

- 7i 6 i 4 i5 3

5.5

47 157

- i 3

6.5

17 68

5

.5

7 i

Graficar los siguientes números complejos:

1z = 5 8i i 2

7z = 3

4i i 3

3z = 6

2i i 4z = 9 6i i


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1 2 z8 z.

3 4 z9 z.

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