DÍA 4

Estimada y estimado estudiante, te invitamos a dar solución a la siguiente situación para que continúes

desarrollando tus aprendizajes

Para contribuir con la economía familiar y disminuir los gastos,

Paty ha decidido cultivar tomates, apios, lentejas, frejoles,

cebollas y papas por igual en toda la extensión del terreno

triangular que tiene detrás de su casa.

1. ¿Cómo podría hacer Paty la distribución uniforme del terreno para cultivar estos seis productos?

2. ¿Dónde deben estar instaladas las regaderas de modo que cubran todos los rincones de cada sector?

Para regar el terreno ha pensado instalar regaderas giratorias

caseras para cada sector de cultivo y así gastar la menor

cantidad de agua. Sin embargo, aún no sabe cómo distribuir

uniformemente el terreno en seis sectores, ni el lugar donde

debe ubicar las regaderas.

Antes de resolver las preguntas de la situación debo recordar sobre la mediana y el baricentro.

Mediana. Es el segmento determinado por un

vértice del triángulo y el punto medio del lado

opuesto.

Triángulo

obtusánguloTriángulo

acutángulo

Triángulo

rectángulo

En cualquier triángulo se pueden trazar tres

medianas.

B

A CMa a

En el ΔABC:

BM: mediana relativa a AC.

M: punto medio de AC.

AM = MC = = a.

B

A A

B B

C C A C

El punto donde se intersectan las tres

medianas se llama baricentro.

AC

2

Baricentro (G). Es el punto de concurrencia de las

medianas de un triángulo.

B

A CM

b

2b

G

PR

En el ΔABC:

G: baricentro del triángulo ABC:

M: punto medio de AC AM = MC.

P: punto medio de BC BP = PC.

R: punto medio de AB AR = RB.

1. El baricentro divide cada mediana en dos

segmentos de modo que la distancia del

baricentro al vértice es el doble de la distancia

del baricentro al punto medio del lado opuesto.

Propiedades del baricentro

• BM: mediana relativa a AC, entonces

BG = 2GM.

• AP: mediana relativa a BC, entonces

AG = 2GP.

• CR: mediana relativa a AB, entonces

CG = 2GR.

En el ΔABC:

G: baricentro del triángulo ABC:

B

CM

G

PR

A

3. Las tres medianas dividen el triángulo ABC

en seis triángulos de igual área.

2. Una mediana divide el triángulo ABC en dos

triángulos de igual área.

BM: mediana relativa a AC

B

A CMa a

A1 A2

A1 = A2 A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = A6

A2A1

A3

A4A5

A6

1. ¿Cómo podría hacer Paty la distribución uniforme del terreno para cultivar estosseis productos?

• Represento el terreno de cultivo utilizando elementos geométricos.

B

A CM

PR

B

A C

Superficie

del

terreno de cultivo

• Ubico el punto medio de cada lado.

En el triángulo ABC:

M: punto medio de AC AM = MC.

P: punto medio de BC BP = PC.

R: punto medio de AB AR = RB.

Superficie

del

terreno de cultivo

Resolución

En el triángulo ABC:

Vértices: A, B y C

Lados: AB, BC y AC

• Trazo las medianas en el triángulo.

BM: mediana relativa a AC.

AP: mediana relativa a BC.

CR: mediana relativa a AB.

• Determino la distribución del terreno de cultivo.

Uno con una línea recta cada vértice con el

punto medio de su lado opuesto, obteniendo

las tres medianas.

Las tres medianas dividen el terreno en seis

regiones triangulares de igual área.

B

A CM

PR

G

A

Respuesta: Patty debe realizar la distribucióndel terreno trazando las medianas desde cadaesquina del terreno hacia su lado opuesto.

A

A A

A A

B

A CM

PR Superficie

del

terreno de cultivo

2. ¿Dónde deben estar instaladas las regaderas de modo que cubran todos los rincones de cada sector?

En el ΔABC:

L : recta mediatriz relativa a AC.

F: punto medio del AC.

AF = FC = .

A

B

CF

L

• Para dar solución a esta pregunta es necesario recordar sobre la mediatriz y el circuncentro.

Circuncentro. Es el punto

de concurrencia de las

mediatrices de los lados

de un triángulo.

Su ubicación dependerá

de la naturaleza del

triángulo (acutángulo,

obtusángulo o

rectángulo).

Resolución

Mediatriz. Es la recta que biseca

perpendicularmente a un lado.

AC

2

B

C

A

O

F E

D

• Analizo la segunda pregunta. • Determino el circuncentro del triángulo 1.

Ubico los puntos medios de cada uno de los

lados del triángulo 1, trazo las mediatrices y su

intersección me da la ubicación de la primera

regadera giratoria R1.

La segunda pregunta pide identificar los lugares

donde deban ubicarse las regaderas giratorias para

que realmente se pueda regar todo el terreno.

Entonces, para cada triángulo se hace necesario

determinar un punto equidistante a sus vértices.

Esos puntos vendrían a ser los lugares donde

deben ubicarse las regaderas.

1

B

A C

R1

1

1

B

A C

1

23

4

5 6

• Determino el circuncentro del triángulo 2.

Trazo las tres mediatrices del triángulo 2 y el punto

R2 es la ubicación de una segunda regadera.

• Grafico el circuncentro de los triángulos 1 y 2.

Observo que con dos regaderas giratorias se

puede regar una gran parte del terreno de cultivo.

1

B

A C

R1

1

2

R2

1

B

A C

R1

1

2

R2

Circuncentro 1

Circuncentro 2

• Ubico en el terreno los cuatro circuncentros que faltaban.

• Grafico los circuncentros R1, R2, R3, R4, R5.

Observo en el gráfico que con 5 regaderas

giratorias se logra regar todo el terreno. Por

ello, no es necesario la regadera 6.

Respuesta: La ubicación de los 5 circuncentros corresponde al lugar donde se debe instalar las 5 regaderas giratorias.

B

A C

R2

R6

R1

R5

R3

R4

B

AC

R2

R1

Circuncentro 1

R5

R3

R4

Gracias